5 Transformée de Fourier Discrète

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1 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD 5. Séries réelles 5 Trasformée de Fourier Discrète Das so ouvrage «Théorie aalytique de la chaleur (8» Joseph FOURIER itroduit la décompositio des foctios périodiques e foctios trigoométriques. Ue foctio périodique réelle (sigal, de période T peut être cosidérée comme ue série trigoométrique de la forme : avec f s( t S S cos f t T Le sigal est décomposable e somme (ifiie de foctios siusoïdales de fréqueces multiples de f. Les différetes composates du sigal sot des harmoiques (om masculi ou fémii, souvet masculi e physique, issu du vocabulaire musical. S est la valeur moyee du sigal ; S cos f t terme à la fréquece f est le fodametal ; S f t cos terme à la fréquece Voici par exemple u sigal trapézoïdal de période ms : f est l harmoique de rag. Joseph FOURIER Sa décompositio e série de Fourier : Figure 5.- Figure 5.- Rédacteur Claude BORDEAUX Page 87

2 Le sigal périodique est décomposé e somme de siusoïdes de fréqueces différetes. Par aalogie avec la décompositio de la lumière blache (avec u prisme par exemple, le résultat de la décompositio est appelé spectre du sigal. La décompositio exacte comporte ue ifiité de termes dot les fréqueces sot multiples de celle du fodametal. Observos ue décompositio approchée, la somme du fodametal et de l harmoique de rag 3 : Figure 5.-3 Le sigal recostitué à partir de la somme d u ombre fii d harmoiques présete des odulatios à cause des harmoiques égligés. C est u phéomèe aalogue à celui que ous avos déjà recotré das la trocature des réposes impulsioelles (Odulatios de Gibbs. L harmoique S cos f t peut se décomposer e somme de cosius et sius : S cos f t S cos cos f t S si si f t D où la série : s( t S A cos f t B si f t B Avec les relatios : S A B et tg A Les coefficiets sot calculés par les expressios : T S s tdt T T T A s tcos f t dt et B s t si f t dt T T Si le sigal présete des symétries, certais coefficiets s aulet. Précisos que la décompositio des sigaux périodiques e siusoïdes, est pas la seule. D autres bases de décompositio existet (Haar, Rademaer, Walsch. L itérêt des séries de Fourier tiet das la propriété des systèmes liéaires dot les foctios propres sot les siusoïdes (e fait les expoetielles imagiaires. Vocabulaire : Aalyse harmoique : décompositio d u sigal e foctios siusoïdales (spectre. Régime harmoique : régime de foctioemet d u système excité par u sigal siusoïdal. Distorsio harmoique : Déformatio d u sigal siusoïdal se traduisat par la créatio d harmoiques.

3 Traitemet umérique du sigal Aimatio : Séries complexes Cours ELE-FOD La décompositio e série de Fourier réelle est assez compliquée puisque le calcul des coefficiets écessite 3 expressios. E raisoat das le domaie complexe, les calculs se simplifiet. La décompositio e séries complexes se déduit de la défiitio précédete e appliquat les relatios d EULER. cos e e e e j jt jt jt jt t et si t Elle itroduit la otio de fréqueces égatives. E effet, la foctio cosius (ou sius peut être cosidérée comme la somme de vecteurs tourats e ses iverse. Figure 5.-4 U des ses de rotatio est choisi comme positif ; c est gééralemet le ses horaire iverse appelé ses trigoométrique. Les fréqueces peuvet doc être cosidérées positives ou égatives comme les autres gradeurs physiques. E appliquat ces relatios au développemet e séries réelles : T T s( t X exp j f t X s t exp j f t dt SF Pour le sigal trapézoïdal, le développemet complexe est le suivat : Figure 5.-5 Les coefficiets état complexes, il faut predre e compte le module et l argumet. Ici ous avos tracé le module uiquemet. Rédacteur Claude BORDEAUX Page 89

4 5. Trasformée de Fourier U sigal o périodique e peut pas être décomposé e série de Fourier. Lorsqu elle existe (les coditios sot étudiées au cours de l UE MAA7, la trasformée de Fourier permet d associer le domaie temporel au domaie fréquetiel. Le calcul et les propriétés de la trasformée de Fourier sot étudiées das les UE MAA7 et ELE3 5.. Trasformée d u sigal aalogique Cosidéros u sigal aalogique sa t d éergie fiie et sa trasformée de Fourier. ( ( j ft TF ( ( j ft a a a a S f s t e dt s t S f e df Figure 5.- Remarquos que la trasformée de Fourier d u sigal périodique existe. Elle est composée de Diracs : TF s( t X exp j f t S ( f X f f a 5.. Trasformée d u sigal échatilloé Echatilloos le sigal aalogique (K échatillos. ous avos vu au chapitre de ce cours «Sigaux échatilloés», que l échatilloage est ue multiplicatio par u peige de Diracs. ous cosidéreros que la coditio d échatilloage de Shao est respectée. K K K s ( t s ( t ( t T s ( T ( t T s ( t T e a e a e e e La trasformée d u produit est u produit de covolutio. S ( f S ( f f ( f f f S ( f f e a e e e a e L échatilloage temporel périodise le spectre et le multiplie par f e. Figure 5.- Le spectre état périodique, il est développable e série iverse de Fourier : fe fe j ( ( Te f j Te f a e e e a( fe fe s s T T S f e df S f e df

5 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD Remarque : La représetatio graphique est symbolique, les foctios pouvat être réelles ou complexes. Résumos par u schéma : Figure 5.-3 Rédacteur Claude BORDEAUX Page 9

6 5.3 De la TF à la TFD 5.3. Echatilloage du spectre La trasformée d u sigal échatilloé est ue foctio cotiue et périodique de la fréquece. Pour calculer le spectre, il faut calculer ue ifiité de valeurs. D où l idée de e calculer que quelques valeurs, c'est-à-dire d échatilloer la trasformée de Fourier das le domaie des fréqueces. Pour cela, il faut «périodiser» le sigal temporel e évitat le repliemet temporel. ous savos qu u sigal périodique a u spectre échatilloé. Cosidéros le sigal échatilloé périodique costruit e répétat le sigal s e (t avec la période T. Figure 5.3- Il y a pas de recouvremet temporel si le sigal est à support boré. Pour ce faire le sigal peut être découpé par ue feêtre temporelle de largeur T max. Cette feêtre d observatio est e gééral rectagulaire, mais peut predre d autres formes e aalyse spectrale. Figure 5.3- Le sigal aisi découpé est répété avec la période T Tmax. Le spectre est échatilloé avec la période fréquetielle f. T Soit le ombre d échatillos e fréquece. T Te et fe f Figure 5.3-3

7 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD Les deux domaies, temps et fréquece sot périodiques et échatilloés. Le ombre d échatillos par période est le même das les deux domaies. Avec la trasformée de Fourier, o peut établir ue correspodace etre les échatillos des deux domaies sur ue période. s T s et S f S Simplifios les otatios des échatillos : 5.3. Trasformée de Fourier discrète TFD ep e ep E fréqueces réduites, la trasformée de Fourier d u sigal échatilloé est : Echatilloos das le domaie des fréqueces : x e K S x s e j x Figure Le ombre d échatillos est le même das le domaie temporel et das le domaie fréquetiel. Les idices des échatillos de la période sot positifs ; ce est pas ue obligatio pour le domaie des fréqueces si le calcul est effectué poit par poit. Mais l utilisatio d ue trasformée de Fourier rapide TFR (FFT impose cette cotraite. ous coserveros doc ce choix pour la TFD. fe fe La période das le domaie fréquetiel est doc, f e et o,. Mais la traspositio est pas trop difficile!! Figure S ( S( pour et S ( S( pour r r Par défiitio la trasformée de Fourier discrète est : S s e j La trasformée iverse : s S e j j j TFD s S e S s e Il existe d autres défiitios ; celle-ci a l avatage d être cohérete avec la trasformée das la mesure où S s. C est la somme des échatillos, équivalet de l itégrale e umérique. l Rédacteur Claude BORDEAUX Page 93

8 5.3.3 Exemple : 4 Pour ce premier exemple, choisissos u sigal facile à aalyser : s(,5 si. 4 f C est u sigal siusoïdal d amplitude, de fréquece e 4 F (ou X e fréqueces réduites avec ue composate costate de,5 (valeur moyee. O cosidère ue feêtre de 8 échatillos. Figure Calculos la TFD, le ombre d échatillos ous oblige à utiliser u logiciel de calcul. : L échatillo d idice = représete la somme totale des échatillos. Figure L échatillo d idice =4 représete la moitié de l amplitude du sius, multipliée par le ombre d échatillos. L échatillo d idice =4, représete l autre moitié. Spectre recostitué : Figure 5.3-8

9 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD Le spectre du sigal réel respecte la symétrie Hermitiee. S ( S (. La partie fréquece égative est la cojuguée de la partie positive pour u sigal réel. Le spectre est u spectre de raies. La fréquece du sigal correspod à u échatillo de la trasformée car la durée de l observatio (largeur de la feêtre correspod à u ombre etier de périodes. E effet, le spectre du sigal observé est cotiu (ici tracé e orage et vous recoaissez certaiemet la trasformée de Fourier de la feêtre. La fréquece du sigal état u multiple etier de f, l échatilloage fréquetiel coïcide avec les maxima et les zéros. r r Cosidéros maiteat le sigal Figure ,5 s(,5 si de fréquece 4,5 f. Figure 5.3- Figure 5.3- Les échatillos du spectre e correspodet plus aux maxima et aux zéros. Pour approfodir étudiez les chapitres «Résolutio» et «Aalyse Spectrale». Rédacteur Claude BORDEAUX Page 95

10 5.3.4 Exemple Ce deuxième exemple est ue applicatio de la TFD à u sigal simple, composé de peu d échatillos et doc calculable sas logiciel. s(,5 ; ; ; ;,5 ; ; ; Calculos les échatillos de la TFD. S( s e 7 j 8 Figure j 4 j j 4 S(,5 e e e,5 e j S( e,5 e e e,5e j j j j j 4 4 j S( e cos cos 4 S( 4; S( j ; S( ; S(3 j ; S(4 ; S(5 j ; S(6 ; S(7 j. O retrouve u spectre de raies comme au paragraphe. Figure Remarquez la symétrie hermitiee, le sigal discret état réel. S( S( A titre de vérificatio rapide, S( est égal à la somme des échatillos.

11 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD Relatio avec la trasformée e Z Cosidéros u sigal s et sa trasformée e z, S( z s z j j S s e s e E idetifiat, o costate que la trasformée de Fourier discrète est l évaluatio de la trasformée e z sur le cercle uitaire. j j S s e S z pour z e Si l o cosidère l exemple précédet, la trasformée e 3 4 z du sigal est : S( z,5 z z z,5 z Figure j j j j 4 4 e posat z e S(,5 e e e,5 e j j O retrouve l expressio précédete: S( e cos cos Série de Fourier discrète SFD Le développemet e série de Fourier est défii par : S Attetio aux otatios pour éviter les cofusios avec la TFD. S s l C est la valeur moyee des échatillos. j s e. Le développemet e séries de Fourier, appliqué au sigal précédet permet de retrouver les différetes composates : valeur moyee, amplitudes (complexes. O l utilise e aalyse spectrale Autres défiitios La trasformée de Fourier discrète peut être ormée avec différets coefficiets. La défiitio que ous avos choisie est cohérete avec la trasformée de Fourier des sigaux cotius. Pour l aalyse spectrale, qui porte sur des sigaux périodiques échatilloés, la série de Fourier calcule les différetes composates du spectre. O trouve aussi la défiitio suivate : S( s( e s( S( e Durée du calcul l j j l Le calcul de chaque échatillo S( de la trasformée, écessite multiplicatios et - additios complexes. Rédacteur Claude BORDEAUX Page 97

12 Le calcul des échatillos écessite ² multiplicatios et.(- additios complexes Propriétés de la TFD Liéarité Cosidéros suites umériques périodiques de même période. s ( S ( s ( s ( S Traslatio temporelle s ( S ( ( S ( Calculos la TFD d u sigal umérique périodique de période. r( s( M R( S( e M j Le décalage temporel (retard se traduit au iveau de la trasformée par ue rotatio de phase proportioelle au rag de l échatillo Symétries Souvet les sigaux traités par TFD sot réels. Si la suite s( est réelle, la trasformée présete la symétrie hermitiee : S( j S( j La partie réelle est paire et la partie imagiaire impaire. La propriété s applique aussi à la trasformée iverse. La trasformée est réelle et paire si la suite s( est réelle et paire. Si la suite est réelle et impaire la trasformée est imagiaire et impaire. Ces propriétés de symétrie sot importates car tout sigal réel peut être décomposé e partie paire et impaire Covolutio circulaire La TFD trasforme le produit de covolutio e produit simple. s( h( l e( l h( l e( l l l j j S( s( e h( l e( l e l ( l l j j j e e e l l l ce qui permet de séparer les sommes imbriquées. l ( l j j S( h( l e e( l e H ( E( TFD s( h( l e( l S( H ( E( Théorème de Parseval Cosidéros u sigal complexe s( et calculos so cojugué : s( S( e j

13 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD Calculos la puissace moyee du sigal. P s( s( s( s( S( e j j P S( s( e S( S( S( La coservatio de la puissace s écrit P s( S( La coservatio de l éergie das les domaies W s S 5.3. Résolutio : Le ombre d échatillos est détermié par la largeur de la feêtre d observatio et la période d échatilloage. T Te et fe f Résolutio fréquetielle : La résolutio das le domaie des fréqueces est f f. f e Figure Pour l améliorer, il faut d augmeter le ombre d échatillos, e augmetat la largeur de la feêtre. Repreos otre exemple ( ,5 s(,5 si Figure Rédacteur Claude BORDEAUX Page 99

14 Figure Doublos la largeur de la feêtre avec la même fréquece d échatilloage. Figure Figure Ue autre solutio cosiste à ajouter au sigal des échatillos à zéro ; cette méthode, appelée «bourrage de zéros», augmete artificiellemet la période (largeur de la feêtre sas augmeter le temps d acquisitio. Repreos otre exemple et doublos le ombre d échatillos e ajoutat des zéros : Figure 5.3-

15 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD Figure 5.3- La résolutio est améliorée. Pour approfodir étudiez le chapitre «Aalyse Spectrale» Résolutio temporelle : Cosidéros le sigal suivat et so spectre : Figure 5.3- Figure Pour augmeter la résolutio temporelle, il faut iterpoler les échatillos itermédiaires. Raisoos das le domaie fréquetiel et ajoutos des zéros au spectre e doublat aisi le ombre d échatillos : Figure Rédacteur Claude BORDEAUX Page

16 Par trasformatio iverse : Figure O obtiet le sigal sur-échatilloé (x. e pas oublier de multiplier par pour coserver l amplitude origiale Relatio matricielle S( s( e s( S( e j j j posos W e S( s( W Développos cette expressio : S( s( s( s(...s( S( s( s( W s( W...s( W S( s( s( W s( W...s( W 4 ( S( - s( s( W s( W...s( W ( ( Ces équatios peuvet être mises sous forme matricielle : S(. s( S( W W. W s( 4 ( S( W W. W s( ( ( S( W. s( W W Les coefficiets de la matrice sot les racies ièmes de l uité.

17 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD 5.4 Trasformée de Fourier rapide Les coefficiets présetet des symétries qui permettet de simplifier le calcul et doc d e réduire la durée. Lorsque est ue puissace de, le ombre de symétries est maximum et l algorithme de Cooley et Tuey itroduit la trasformée de Fourier rapide TFR (FFT e aglais. James COOLEY Joh TUKEY 5.4. Défiitio Cosidéros ue suite de échatillos avec M Symétries et propriétés des racies ièmes. ous predros comme exemple =8. W W W l l W l W W W propriété des expoetielles périodicité symétrie /origie W W symétrie /axe réel Par exemple pour ue TFR sur 8 échatillos : Figure W8 ; W8 j ; ; W8 j W8 j W8 ; W8 j ; ; W8 j W8 j Etrelacemet temporel Posos p et séparos les échatillos pairs et impairs. p p S( s( W s( p W s( p W p p p p S( s( p W W s( p W p p p p j p p W W e W Rédacteur Claude BORDEAUX Page 3

18 p p p S( s( p W W s( p W s p W p ( est la trasformée des / échatillos pairs s p W p p p ( est la trasformée des / échatillos impairs p La trasformée sur échatillos est doc ue combiaiso liéaire des trasformées des / échatillos pairs et impairs. Mais la symétrie etraîe : W W Figure 5.4-, le schéma peut être mis sous la forme : Figure Pour simplifier les graphes, ous représeteros cette combiaiso liéaire par le schéma suivat : Figure 5.4-4

19 Traitemet umérique du sigal Cette forme de schéma est appelé «Papillo» Cours ELE-FOD Mais / est divisible par. O peut doc décomposer chaque TFR d ordre / e TFR d ordre /4. Pour cela, il faut trier les échatillos pairs et impairs après divisio par. Figure La TFR d ordre /4 peut être décomposée e TFR d ordre /8.etc.. Figure W8 ; W8 j ; ; W8 j W8 j Certais coefficiets sot simples et e écessitet pas de multiplicatio : W ; W j. 8 8 Rédacteur Claude BORDEAUX Page 5

20 E remplaçat par les valeurs et e remarquat qu ue multiplicatio par e est pas ue, le schéma deviet : E remplaçat ces coefficiets par leurs valeurs : Figure Code biaire iversé Le calcul de la TFR fait iterveir u ordre des échatillos différet de l ordre habituel. E effet ous avos trié les échatillos selo la parité de leur idice (bit LSB ou, puis à l itérieur de chaque groupe selo la parité de l idice divisé par etc... Cette opératio de tri reviet à iverser l ordre des échatillos e iversat les bits des idices : Durée du calcul M est ue puissace de : soit M log ( lb( Le calcul de TFR présete M phases ; das chaque phase le calcul compred / multiplicatios et additios. Doc pour ue TFR, il faut lb( multiplicatios et lb( additios. La TFR réduit doc cosidérablemet la durée des calculs pour des trasformées sur u grad ombre d échatillos Etrelacemet fréquetiel Il est possible de calculer la TFR sas etrelacer les échatillos temporels. Elle pred alors ue autre forme, le papillo état iversé. Les échatillos fréquetiels sot alors etrelacés.

21 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD TFR base 4 Il existe ue TFR à base 4 (Traitemet umérique du sigal Maurice BELLAGER (Duod 5.4. Limitatios Les ombres complexes e iformatique sot costitués de ombres réels Arrodi des coefficiets Les coefficiets de la TFR sot les racies ièmes de l uité. j e. L arrodi porte sur les parties réelles et imagiaires. Si ces ombres sot codés sur b c bits, l erreur d arrodi sur le coefficiet complexe est : b ( ( j ( avec ( ( C R I R I Das le domaie fréquetiel, l erreur sur la valeur calculée est l l j j Or x( X ( l e ( X ( l e ( l l l j ( X ( l. e ( X ( l ( l, l l b ( l, peut être majoré C m Cette derière valeur est surestimée. E fait pour >64, ( X ( l X ( l x( l Bruit de calcul m m l m m ( x( (,6 La quatificatio des échatillos apporte du bruit. Si les ombres sot cadrés etre - et +, le bi quatum est : si b b I est le ombre de bits des mémoires iteres destiées au calcul. I Le bruit de calcul évalué sur chaque sortie est Das le calcul de la série S l Pbqs. bc j s e o divise par qui est ue puissace de. Pour éviter les débordemets mémoire, il est prudet de faire des recadrages avat les multiplicatios. Comme il faut diviser par = M, o divise par à chaque iveau du calcul de la TFR. Das ce cas, le bruit de calcul évalué sur chaque sortie est Pbqs. (Cf Traitemet umérique du sigal Maurice BELLAGER (Duod Rédacteur Claude BORDEAUX Page 7

22 5.4.3 Aalyse spectrale Foctio de filtrage S( s( e j La TFD se comporte comme u bac de filtres décalés de f e. La démostratio figure e aexe. Chaque filtre sélectioe ue bade de fréquece autour de x Figure Remarquos que la foctio de filtrage présete des zéros pour les autres fréqueces aalysées. E aalyse spectrale, les coefficiets S( calculés par la TFD e représetet pas les échatillos du spectre du sigal aalogique. Les odulatios itervieet das ce calcul et la valeur du coefficiet calculé e déped pas que de la bade de fréqueces sélectioée. Pour dimiuer l amplitude des odulatios, o utilise ue feêtre d apodisatio (Ha, Hammig, Blacma Décompositio O démotre (voir Aexe que les différetes foctios de filtrage costituet ue base de décompositio orthogoale. Cette propriété est utilisée das les trasmissios umériques, otammet pour l ADSL et la TT Résolutio spectrale Pour l aalyse spectrale, o utilise la série de Fourier discrète : S( s( e j La fréquece d échatilloage état choisie de telle sorte qu il y ait pas de repliemet, le ombre d échatillos détermie la résolutio, puisque est aussi le ombre d échatillos fréquetiels. La durée d observatio doit predre e compte la résolutio e fréquece. f f e T e Pour ue aalyse plus fie, il faut augmeter la durée d observatio et doc le ombre d échatillos. Cette propriété est importate pour l usage d u oscilloscope umérique avec FFT.

23 Traitemet umérique du sigal Exemple : Observos u sigal composé de la somme de deux cosius échatilloé. Cours ELE-FOD Figure s( t cos f t,6 cos f t avec f 5Hz et f,78hz Observos so spectre moo-latéral, tel qu il serait tracé par u aalyseur. La fréquece d échatilloage est de 56 Hz. Avec 6 échatillos : Figure 5.4- Le spectre e correspod pas à otre attete. La résolutio est isuffisate f 6Hz. Augmetos le ombre d échatillos ; avec 8 échatillos : f e Figure 5.4- Rédacteur Claude BORDEAUX Page 9

24 f e Figure 5.4- La résolutio est meilleure f Hz ; o distigue sur le spectre fréqueces. Mais la valeur moyee et l amplitude des raies e sot pas exactes. Le problème viet de la durée d observatio qui est pas u multiple de la période ; la feêtre rectagulaire crée des odulatios du spectre et des iterféreces das le domaie fréquetiel. Lorsque la durée d observatio est multiple de la période du sigal, les iterféreces disparaisset. Mais il est impossible de satisfaire cette relatio pour u sigal quelcoque. C est pourquoi, la solutio réside das la suppressio des odulatios par ue feêtre de podératio (apodisatio. Ces feêtres (Ha, Hammig, etc ot été étudiées das le cadre des feêtres RIF. E utilisat ue feêtre de Ha, Figure Figure Meilleure résolutio, meilleure précisio. otammet la valeur moyee est ulle ce qui correspod au spectre réel et l amplitude des raies est plus proche de la valeur réelle. Avec 48 échatillos, la feêtre de Ha et u effet de zoom :

25 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD Figure Les fréqueces sot bie distictes et la précisio sur les amplitudes est meilleure. Le spectre est souvet représeté sous forme d u spectre cotiu, les échatillos itermédiaires état calculés par iterpolatio. Pour augmeter la précisio, il faut augmeter la largeur de la feêtre, c est-à-dire le temps d observatio. Il est possible d ajouter des échatillos uls pour améliorer la résolutio, mais aussi pour atteidre ue puissace de et utiliser u algorithme rapide Covolutio Décovolutio Pour u système liéaire, le sigal de sortie est le produit de covolutio de l etrée par la répose impulsioelle du système. s( h( e( l S( TFD E( e( H ( h( e( l TFD S ( H( E( La TFD et so iverse permettet de réaliser la décovolutio. Cette applicatio est utilisée e imagerie médicale, otammet das la costructio de l image du scaer et e restauratio de vieux eregistremets. Das ce cas, la coaissace de la foctio de trasfert du système d eregistremet permet de retrouver l etrée origiale Calcul de TFD par covolutio j S( s( e s( W e remarquat que ( ( ( ' ( ( ( W W W W d où S s W W W W s W W ( S( W s( W W W s( W W La TFD peut être calculée par covolutio. Ce calcul peut être réalisé par des dispositifs échatilloés à trasfert de charge foctioat à fréquece élevée. Utilisatio das les radars. Rédacteur Claude BORDEAUX Page

26 5.5 Trasformée e cosius 5.5. De la TFD à la TCD Sigal Cosidéros u sigal umérique : Et sa trasformée e série discrète de Fourier : Figure 5.5- Figure 5.5- Le développemet e série de Fourier discrète du sigal choisi présete de ombreuses raies. Si l o veut recostruire le sigal par trasformatio iverse, il faut coserver toutes les raies. Ceci est dû au fait que la SFD est échatilloée et porte sur u sigal périodique. Observos le sigal périodique e questio : Discotiuité Figure Le sigal présete ue variatio brusque de valeurs qui, o le sait, se traduit par des fréqueces élevées das le domaie spectral Sigal symétrique : Cosidéros u sigal pair costruit à partir du sigal précédet par symétrie.

27 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD Et so développemet e série de Fourier : Figure Figure Le spectre est beaucoup mois riche et quelques raies suffiset à recostituer le sigal. Le sigal est décomposable e somme de cos. Cette propriété est utilisée das la TCD (DCT e aglais Trasformée e cosius discrète DCT Observos le développemet e cosius du sigal de base : Figure Peu de raies sot écessaires à la recostitutio. Si o e coserve que les raies supérieures à, o obtiet les coefficiets (réels ci-dessus (seuillage. Et voici le sigal recostitué à partir des 4 coefficiets o uls par DCT iverse : Rédacteur Claude BORDEAUX Page 3

28 Figure Pas mal!!! ça c est de la compressio!! TFD cos et TFD si Cosidéros la TFD ; les échatillos et les coefficiets sot complexes. s j s S e S s e s S j l j si ( cos ( ( ( ( ( ( O peut doc décomposer la TFD e deux trasformées réelles : trasformée partieimagiairede la si ( ( partieréellede la trasformée cos ( ( s I s R Il s agit e fait d u développemet e série selo otre défiitio de la trasformée. ous garderos le om de TCD habituellemet utilisé TCD Si le sigal est pair, la TFD si est ulle ; il est décomposable e cos. La trasformée e cosius discrète découle de la TFD avec quelques modificatios. Etalemet du sigal e itroduisat échatillos uls, ce qui comprime le spectre das les basses fréqueces. Décalage d u échatillo. Symétrie pour redre le sigal pair. O obtiet u spectre à 4 échatillos qui présetet ue double symétrie car le sigal est réel et pair. Le spectre est doc réel et pair. Et périodique! échatillos suffiset. D où la défiitio de la TCD : ( ( cos ( ( ( cos ( ( ( C et C avec S C s s C S l

29 Traitemet umérique du sigal Relatio avec la TFD TCD( cos Re 4 4 TFD ( cos ImTFD ( La trasformée e cosius peut être calculée à partir de la TFD. Cours ELE-FOD Trasformée bidimetioelle Expressio de la trasformée : 4 S(, C( C( (, cos s s(, C( C( S(, cos avec C( et C( Applicatio aux images : cos cos La trasformée s applique à ue image. Cosidéros ue photo oir et blac et u carré de 8 x 8 pixels. Les valeurs des pixels (lumiace sot placées das ue matrice 8 x 8. Figure Figure La trasformée e cosius bidimesioelle fourit ue matrice 8 x 8 das laquelle les coefficiets les plus importats sot regroupés e basse fréquece. Matrice de la trasformée et représetatio 3D : Rédacteur Claude BORDEAUX Page 5

30 Figure 5.5- La trasformée iverse permet de recostituer l image sas perte de défiitio : Figure Compressio JPEG La compressio JPEG (Joit Photographic Expert Group est destiée au traitemet des images fixes complexes comme les photographies. Le traitemet est effectué e plusieurs étapes : Rotatio de l espace couleur Ue image est composée de pixels orgaisés e liges et coloes. Le fichier associé à l image composée de poits (BMP cotiet les iformatios couleurs sous la forme de 3 ombres coordoées de la couleur das l espace des couleurs primaires RVB. Ces coordoées sot exprimées sur 8 bits (das la plupart des cas. L image RVB est trasformée e lumiace Y et chromiaces rouge CR et bleu CB. Y C C R B,3,5,7,59,4,33, R,8 V,5 B L image peut être décomposée e 3 plas, chacu d eux correspodat à ue «couleur». La lumiace cotiet beaucoup plus d iformatios que les chromiaces. L œil est plus sesible aux variatios de lumiosité. Le ombre de pixels des plas de chromiaces est divisé par 4, ce qui réduit la taille du fichier TCD-D Chaque composate exprimée sous 8 bits est dimiuée de 8 pour cetrer les valeurs autour de. Chacu des 3 plas Y, CR, CB est découpé e carrés élémetaires 8x8 auxquels o applique ue trasformée e cosius bidimesioelle.

31 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD Les coefficiets de la matrice obteue ot des valeurs plus élevées das les basses fréqueces ; l œil est mois sesible aux fréqueces élevées. O applique doc ue quatificatio e utilisat ue matrice de coefficiets Figure 5.5- La quatificatio est obteue par divisio euclidiee de chaque valeur de la trasformée par l élémet correspodat de la matrice. La matrice de quatificatio détermie le taux de compressio. Par exemple, après quatificatio, la matrice de la trasformée deviet : Lecture e zig-zag Les valeurs sot lues e zig-zag pour sérialiser les doées. Figure Figure Les doées séries qui cotieet beaucoup de zéros, sot codées e RLE (Ru Legth Ecodig ce qui comprime le fichier. Rédacteur Claude BORDEAUX Page 7

32 U codage de Huffma permet ue réductio supplémetaire Décompressio La décompressio se fait e iversat la procédure. Figure Le résultat obteu das otre exemple e oir et blac motre ue perte de défiitio.

33 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD 5.6 Aexes 5.6. Foctios de filtrage S( s( e j Cosidéros les échatillos de la TFD et commeços par le plus simple S( s( S(, somme des échatillos, peut être cosidérée comme u produit de covolutio, c'est-à-dire le résultat d ue opératio de filtrage. Cosidéros la feêtre échatilloée ( m δ( m, Et le produit de covolutio : S( est ue valeur du produit de covolutio Figure l ( m s m l ( m s( m ( m S( s( (. Etudios la foctio de filtrage associée à la feêtre échatilloée, sa trasformée de Fourier. j m x j m x j x ( x m e e e m m m C est ue série géométrique dot o peut calculer la somme : e e e e ( x e e e e j x j x j x j x j x j x j x j x E appliquat la relatio d EULER, l équatio deviet : m m a m a a j x( si( x j x( si( x ( x e e ( x avec ( x si( x si( x ( x est la trasformée de Fourier de la feêtre échatilloée recetrée ; e effet le terme j Te f ( e est la trasformée d u décalage temporel de Te. Rédacteur Claude BORDEAUX Page 9

34 Figure 5.6- S x est la trasformée du sigal échatilloé e x S x x. e s, x la trasformée de m. Calculos S( par trasformatio iverse : j x S( ( x e dx x e S x x e S x x e e j x j x j x j x e e Si o cosidère le sigal s( cetré sur l origie (avec u décalage de c S x S x e j x e. S( ( Sc x x dx Te, sa trasformée est Le coefficiets S( est l itégrale du produit du spectre du sigal filtré par la feêtre échatilloée (recetrés. Pour les autres idices, o démotre de même faço : m j m e δ(m - j j x j ( x ( j m x x e e e e x S( représete l itégrale du sigal s(t filtré par la foctio (f décalée das le domaie fréquetiel de x. La TFD peut être cosidérée comme u bac de filtres décalés de si x si x x x si x si x f e.

35 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD 5.6. Base orthogoale Cosidéros foctios de filtrage. Figure Le produit scalaire de foctios est défii par Observos par exemple le produit x x x x x x x dx 5 7 est visiblemet ulle et le calcul umérique le cofirme. m m. La surface limitée par la courbe et l axe x dx Figure Quelques soiet les foctios de filtrages, le produit scalaire est ul si les idices sot différets. x x si m m La démostratio géérale est logue et compliquée. Les foctios de filtrage sot orthogoales (produit scalaire ul. Elles costituet ue base de décompositio orthogoale fiie. Le sigal est décomposé e ue somme de siusoïdes de fréqueces multiples de possédat u ombre etier de périodes. L amplitude de la siusoïde est u ombre complexe ; so module costitue so amplitude réelle et l argumet sa phase. Cette propriété est utilisée e trasmissios umériques, otammet pour l ADSL et la TT (Cf_ELE3 Bases de trasmissios umériques. f e Rédacteur Claude BORDEAUX Page

36 5.6.3 Sigaux complexes Sigal aalytique A A c( t A cos t e e j t j t Cosidéros u sigal siusoïdal : Das le pla complexe, u sigal siusoïdal de fréquece f peut être décomposé selo la formule d Euler e somme de deux expoetielles imagiaires représetées par deux vecteurs. Ces vecteurs touret e ses iverses à la vitesse agulaire pour l u et pour l autre. Figure Simplifios la figure, e cosidérat c(t comme la projectio du vecteur A au sigal c(t, le vecteur tourat (phaseur à vitesse positive. j p t e. O associe doc j t Le sigal complexe associé c ( t A e à fréquece positive, est appelée sigal aalytique. c( t Partie Réelle c ( t. A A Calculos la trasformée de Fourier du sigal c(t : C f f f p f f p Figure Le sigal aalytique est représeté das le domaie fréquetiel par le double de sa composate positive. Gééralisos à des sigaux réels quelcoques qui présetet doc la symétrie hermitiee. Leur spectre est bilatéral, avec u module pair et u argumet impair. Figure 5.6-7

37 Traitemet umérique du sigal Cours ELE-FOD Cosidéros la partie du spectre située das les fréqueces positives S ( f et celle qui est située das les fréqueces égatives S ( f. Le sigal aalytique a(t est le sigal complexe associé à s(t de trasformée de Fourier égale au double de la partie positive. Figure Pour obteir ce spectre, multiplios le spectre du sigal réel par le sige de la fréquece et additioos. ous obteos A(f, trasformée du sigal aalytique. A( f S ( f S ( f S ( f S ( f S ( f S( f sige( f S( f Mais la foctio sige(f est pas réalisable das le domaie temporel. Cosidéros u déphaseur de. Cette foctio H(f est appelée trasformée de Hilbert. E complexe, elle s exprime par la foctio mathématique H ( f j sige( f. O e déduit A f S f j H f S f Soit ŝ(t le sigal déphasé : sˆ( t TF j H ( f S( f Figure Le sigal aalytique associé à s(t est le sigal complexe : a( t s( t j sˆ ( t. Rédacteur Claude BORDEAUX Page 3

38 Figure 5.6- Tout ce qui viet d être expliqué peut être trasposé aux sigaux umériques. Le traitemet umérique permet doc de créer et de traiter des sigaux complexes. Les applicatios sot importates das la mesure où le spectre de ces sigaux est uilatéral ; ue modulatio d amplitude est doc à ue bade latérale uique. Applicatio à la Télévisio umérique Terrestre Sigaux umériques complexes ous avos cosidérés des sigaux réels. Mais il est possible de défiir des sigaux échatilloés complexes. Das ce cas chaque échatillo est défii par ue valeur réelle et ue valeur imagiaire. Ces sigaux complexes sot utilisés das le cas des sigaux aalytiques. Les sigaux réels présetet la symétrie hermitiee. Leur spectre est bilatéral, avec u module pair et u argumet impair. Coaissat cette symétrie, la moitié du spectre suffit pour le recostituer.