Corrigé Exercice 1 : SYSTÈME DU 1 ER ORDRE CAS GÉNÉRAL.

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Coralie Carignan
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1 TD 5 orrigé - Comoremen emorel des SCI roorionnel, dérivaeur, inégraeur e du er ordrepage /6 Corrigé Exerie : SYSTÈME DU ER ORDRE CAS GÉNÉRA Quesion : Déerminer la fonion de ransfer de e sysème es ondiions iniiales des fonions e() e s() son nulles ds() S ( ) K s( ) K e( ) S S K E H ( ) d E Quesion 2 : Déerminer les araérisiques de sa réonse : 'es-à-dire l ordonnée en + l équaion de la angene à l origine E e( ) u( ) E ( ) K E S ( ) ( ) s(+) e s( ) lim s( ) lim s( ) lim S K d où s( ) K Ordonnée en : Équaion de la angene à l origine : y s( ) s'( )( ) KE s '( ) lim s '( ) lim s '( ) lim S( ) s( ) lim S ( ) 2 Or KE d où y = a angene à l origine oue l asymoe finale y = KE en = Quesion 3 : En déduire sur le même grahe, l allure de s() e e() en réisan les oins araérisiques Rerésenaion our K < : e()=u() K e r ( ) Sorie ou réonse s() Tangene à l origine Quesion 4 : Caluler l erreur saique er ( ) e( ) s( ) e la laer sur le grahe Que faudrai-il faire our que e sysème soi réis? e ( ) e( ) s( ) r e ( ) K r er ( ) ( K) réis si K = K araérise le régime ermanen MPSI-PCSI Sienes Indusrielles our l Ingénieur S Génouël 3//2

2 TD 5 orrigé - Comoremen emorel des SCI roorionnel, dérivaeur, inégraeur e du er ordrepage 2/6 Quesion 5 : A ire indiaif, déerminer la réonse s() K K A B S ( ) ( ) (faorisaion e déomosiion en élémens simles) Pour déerminer A e B, il fau uiliser la méhode du ours qui es rès raide : A : mulilier S() ar e faire endre vers S K E A lim ( ) ( ) B : mulilier S() ar e faire endre vers lim S K B Si vous ne vous raelez lus ommen faire, vous ouvez oujours uiliser la méhode "lourde" lus longue (sauf ii our e as rès simle ) en mean au même dénominaeur A B( ) KE S ( ) ( ) Puis, on idenifie les ermes (le oeffiien onsan e le oeffiien en ) : KE B A B don B K A K E Ainsi, K K E S ( ) a réonse emorelle a don our exression : s( ) K e K E u( ) Quesion 6 : Exrimer le ems de réonse à 5 % de e sysème e laer sur le grahe Exrimer le ems mis our aeindre 99% de la valeur finale On herhe r 5% el que s(r 5% ) 95%s( ) Soi r5% K e K,95 K r soi 5% e,95 r 5% ln,5 don r 5% 3 araérise le régime ransioire De même, le ems mis our aeindre 99% de la valeur finale es : r % ln, don r % 5 MPSI-PCSI Sienes Indusrielles our l Ingénieur S Génouël 3//2

3 TD 5 orrigé - Comoremen emorel des SCI roorionnel, dérivaeur, inégraeur e du er ordrepage 3/6 Corrigé Exerie 2 : COMPORTEMENT D'UN MOTEUR DU REIN ARTIFICIE Quesion : Déerminer les aramères araérisiques de la fonion de ransfer de e moeur m Um, Cr e gain saique vau 2 (rad/s)/ e la onsane de ems vau, s Quesion 2 : Donner le ems de réonse à 5 % de e moeur à une enrée en éhelon r 5% 3,,3 s araérise le régime ransioire Quesion 3 : Ce sysème es-il réis? K es différen de, mais de oue façon, nous ne ouvons as onlure ar la sorie e l'enrée ne son as de même naure Quesion 4 : Traer l allure des réonses m() aux enrées suivanes, en réisan les oins araérisiques : u ( ) 5 ( ) u ( ) 7 u( ) u ( ) u( ) m m2 m3 NB : il n es as demandé de aluler m() 52, u m ()= 5(), Tangene à l origine Sorie ou réonse m() 27,9527,6327 Sorie ou réonse m() Tangene à l origine u m ()=7u() Sorie ou réonse m(), u m ()=u() Droie de ene Asymoe de ene 2, 3, Quesion 5 : Traer la fonion u 4 ( ) 2 u ( ) En déduire l allure de la réonse () de e sysème à m m un essai de lâhé um4 ( ) 2 u ( ) en réisan les oins araérisiques 22 Sorie ou réonse m() Tangene à l origine 2 2 u m ()=2-u() MPSI-PCSI Sienes Indusrielles our l Ingénieur S Génouël 3//2

4 TD 5 orrigé - Comoremen emorel des SCI roorionnel, dérivaeur, inégraeur e du er ordrepage 4/6 Corrigé Exerie 3 : FONCTION DE TRANSFERT ET CONSTANTE DE TEMPS D'UN CAPTEUR Quesion : A quel ye de sysème, le aeur de viesse eu-il êre idenifié? Jusifier a ourbe de sa réonse à un éhelon n a as de déassemen e la ene de sa angene à l origine n es as nulle : le aeur eu don êre modélisé ar un sysème du er ordre Quesion 2 : En déduire ses aramères araérisiques ainsi que sa fonion de ransfer On relève : la valeur de l'enrée en régime ermanen m ( ),25 rad / s la valeur de la sorie en régime ermanen umes ( ) l insan, ms où la réonse aein,63 umes ( ) On en dédui : K le gain saique du sysème ar la valeur finale umes ( ) K m ( ) Don K 8 / ( rad / s),25 rad / s la onsane de ems du sysème ar l insan relevé réédemmen Don, ms Don H aeur Umes K m Haeur 8, Quesion 3 : Peu-on ave une bonne aroximaion, onsidérer que le aeur de viesse es un sysème roorionnel Jusifier Simlifier alors sa fonion de ransfer a onsane de ems du aeur de viesse (, ms) éan négligeable devan elle du moeur (,2 s), on eu don onsidérer que elui-i réond insananémen Ainsi sa fonion de ransfer eu êre modélisé ar : H 8 / ( rad / s) (fonion de ransfer roorionnelle ou de gain ur) aeur Tou sysème a un ems de réonse, mais e dernier eu êre négligeable devan d'aures ems de réonse MPSI-PCSI Sienes Indusrielles our l Ingénieur S Génouël 3//2

5 TD 5 orrigé - Comoremen emorel des SCI roorionnel, dérivaeur, inégraeur e du er ordrepage 5/6 Corrigé Exerie 4 : ASSERISSEMENT D UN MOTEUR (Selon le onours Mines Albi, Alès, Douai e Nanes 998 filière PCSI) (Donné en DS3 année 23-24) Quesion : Pourquoi les fonions de ransfer de l inerfae H/M e du aeur son-elles ideniques? Pour que soi l image de l erreur, il fau que soi roorionnelle à l'erreur : K Er K M Or ii, C M F F inerfae H / M aeur M Don la seule ossibilié de vérifier que soi l image de l erreur, es que Fin / F K C erfae H M aeur e M Quesion 2 : Donner l exression de la fonion de ransfer du moeur : H U ( ) liéralemen e numériquemen, le gain K e la onsane de ems Préiser C ( ) KM M R ft JT KM KM H U K C ( ) M R( f ) T T JT KE KM R ft KE KM R J KE R f J R f K K T T T E M K KM R f K K T E M RJ T R ft KE KM AN : K,64 rad s AN : 29,5 s M Quesion 3 : En déduire l exression de la fonion de ransfer en boule ouvere : G2 fonion de K,, K, e M K K G2 K K v (NB : voir ours SCI age 8 our définiion de la FTBO) en Quesion 4 : Déerminer ( ) en fonion de C ( ) e G 2 ( ) C M C G2 G2 C C G 2( ) NB : On le savai ar selon le ours age 8, E' E' C ( ) ( ) FTBO G2 éan l enrée de la boule e non as l enrée du sysème e non as ( ) G2 MPSI-PCSI Sienes Indusrielles our l Ingénieur S Génouël 3//2

6 TD 5 orrigé - Comoremen emorel des SCI roorionnel, dérivaeur, inégraeur e du er ordrepage 6/6 Quesion 5 : En déduire l exression de l image de l erreur saique ( ) lim ( ) lorsque ( ),5 rad / s Faire l'aliaion numérique (enrée en éhelon) don C K K K C K K ( ) lim ( ) lim lim lim lim G2 G2 G2 K K K AN : ( ),3 Quesion 6 : On donne i-dessous, la réonse du sysème, à l enrée en éhelon ( ),47 rad / s Plaer sur la figure le ems de réonse à 5% e l erreur saique Donner les valeurs numériques orresondanes Rerouver le résula de la quesion réédene rad/s 95% M( ) e r ( ) Réonse M ( ) Consigne ( ) Sur le grahe, on eu lire : - le ems de réonse à 5% = 2,7 s - l'erreur saique Er ( ) C( ) M( ),33 rad / s Aenion : er ( ) C ( ) M ( ) es l'erreur saique en rad/s E ( ) ( ) m ( ) es l'image de l erreur saique en ( ) K ( ) K ( ) K er ( ) AN : ( ),95,33,3 MPSI-PCSI Sienes Indusrielles our l Ingénieur S Génouël 3//2

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