- PROBLEME D ELECTRONIQUE 2 -

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1 - D ELECTRONIQUE - ENONCE : «Quelques alicaions d un circui ulilieur» Inroducion : on donne ci-dessous le schéa oncionnel d un circui ulilieur x () y () E E s () Pour un oéraeur ulilieur sans déau, la relaion enrée/sorie es donnée ar: s () = k x () y () Rq : our les alicaions nuériques, on rendra k =, I. Déecion quadraique On envisage la ulilicaion d un signal ar lui-êe, uis le ilrage ar un ilre asse-bas de réquence de couure «correceen» choisie : x () E y () s () E C ilre asse-bas.) Monrer que le onage récéden ere d accéder au carré de la «valeur eicace vraie» du signal x (), soi : T Xe = x = x d T Rq : cee noion es à relier à celle de «uissance oyenne d un signal» (ex : ee Joule, où P Ri J () ().) On s inéresse au cas suivan : = ; veceur de Poyning our une OPPM dans le vide : P oy = K x! E Π= µ c ω x () = acos( ω), avec a = 5 e = = KHz ; le ilre asse-bas es un sile circui RC π rooser des valeurs our R e C, en jusiian les choix reenus. ) Page Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.

2 II. Mesure d iédances ar déecion synchrone.) Circui déhaseur R R L' AO es idéal e oncionne en régie linéaire x () R + C y () a) Déeriner la oncion de ranser du onage RCω b) Pour quelle valeur de a--on un déhasage de? ϕ = π / I.) Converisseur couran-ension Z Z = R+ jx R es une iédance à déeriner (voir aragrahes suivans). L'A.O es arai e oncionne en régie linéaire. + u R es une résisance connue. Quesion : que rerésenen les ensions e? u.3) Déecion de la arie réelle R v( ) vu converisseur couran-ension E s () E C ulilieur ilre asse-bas oi : v = cos( ω), avec connue. En suosan le ilrage arai, exrier en oncion de k,, Re R ; en déduire que la esure de ere d accéder à celle de R, arie réelle de l iédance Z inconnue..4) Déecion de la arie iaginaire X En uilisan le circui déhaseur de la quesion 3.), rooser une odiicaion à aorer au onage récéden erean la esure de X, arie iaginaire de l iédance Z. Page Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.

3 III. Modulaion d aliude On rerend le circui ulilieur avec les noaions suivanes : u () P u () E E u u = U + Acos( ω) u ( ) = A cos( ω ), avec ω " ω P P P P A = U u() es aelé «signal odulan», up es le «signal oreur» ou «oreuse», e es le «aux de odulaion». 3.) Déeriner les rois ulsaions (ou les rois réquences) que coore le signal odulé u ; quelle es l iorance relaive de l aliude de ces rois coosanes? 3.) Rerésener soaireen u (on ourra rendre ωp # ω) dans cas :, uis %. Dans ce dernier cas, la arie osiive de «l enveloe» de u es-elle égale à la coosane alernaive de u(), soi u & = Acos( ω)? I. Déodulaion d aliude 4.) Déeceur de crêe (ou d enveloe) On considère le circui suivan : D ue( ) R us C D es une diode, considérée coe idéale (ension de seuil nulle e résisance inerne nulle). On choisi la consane de es elle que: τ ω T = ' τ = RC ' T = ( avec: = ) π u = k u u es le signal odulé du aragrahe récéden. e Quesion : onrer, sans déveloeens calculaoires, que la ension us es raiqueen égale à u& A cos( ω ) ω " ω es réalisée ; cee =, d auan ieux que la condiion déodulaion ar déecion d enveloe oncionne--elle our %? 4.) Déecion synchrone On uilise un deuxièe circui ulilieur, au niveau du déodulaeur, selon le schéa suivan : ue u E E us C vs ulilieur ilre asse-bas Page 3 Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.

4 u = k u u es le signal odulé du aragrahe I. e u U cos( ω ) = es une ension délivrée ar un «oscillaeur local» (au niveau du déodulaeur) de êe réquence que la oreuse. a) Déeriner les cinq coosanes du signal us : une coosane coninue, «l inoraion» basse réquence (B.F), rois coosanes de haue réquence (H.F). = C π RC du ilre our que la v ne conserve que l inoraion B.F? (cee coosane sera b) Coen choisir la réquence de couure ension () s suerosée à la coosane coninue, que l on ourra elle-êe ilrer rès acileen, ar exele grâce à un condensaeur lacé en série). c) Ce ye de déecion oncionne--il our %? Quel en es l inérê? Pourquoi arle--on de déecion synchrone?. Boucle à verrouillage de hase En raique, «l oscillaeur local» (au niveau du ose de réceion) ne eu êre rigoureuseen synchrone avec la oreuse (générée ar l éeeur radio), à cause des lucuaions de réquence ou de hase de ce oscillaeur local ou êe de la oreuse : les deux oscillaeurs résenen alors un déhasage insanané ϕ évoluan leneen au cours du es. Pour reédier au roblèe occasionné ar ce déhasage, on réalise un sysèe bouclé (en anglais : «Phase Lock Loo» ou «P.L.L» coe on eu le voir sur cerains réceeurs radio) : u = k u v ' e e ue ilre asse-bas v( ) déhaseur oscillaeur conrôlé en ension v( ) v () réglage réquence "oyenne" de l'o.c.t ( ) k u v e ilre asse-bas vs Le signal à déoduler es oujours de la ore : u ( ) = U [ + cos( π )] cos( π ) e e où es la réquence du signal odulan («l inoraion») e la réquence de la oreuse. Page 4 Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.

5 La réquence de couure des ilres asse-bas es elle que : C C ' ' La sorie de «l oscillaeur conrôlé en ension» es de la ore : On déini sa «ulsaion insananée» ar : «réquence oyenne» e l on a : Le déhaseur aore un déhasage de v = sin[ π ϕ()] dϕ() ωi() = ω, avec ω = π ; d dϕ() = k v() (conrôle de la réquence ar une ension) d π enre es sa v e v. v ; on eu rearquer qu à cee éae de la boucle, v () es l équivalen de la ension vs de la quesion 5.), où v joue le rôle de u () : quel es l ee concre du déhasage aléaoire ϕ our un audieur 5.) Déeriner la ension () «écouan» la ension v () (arès assage dans un aliicaeur e un hauarleur )? 5.) On suose que grâce à la boucle, ϕ es devenu ei ; donner l équaion diérenielle vériiée ar ϕ e en déduire son évoluion, en aisan aaraîre un es caracérisique τ. Conclure quan à l inérê du bouclage. 5.3) Quel es le rôle du circui déhaseur? *************** Page 5 Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.

6 CORRIGE : «Quelques alicaions d un circui ulilieur».) Le ulilieur ourni en sorie une ension roorionnelle au carré de la ension d enrée ; si la réquence de couure du ilre asse-bas es correceen choisie, ce dernier ne laissera «asser» que la coosane coninue de x : le ilre oncionne donc en oéraeur «valeur oyenne», selon les roriéés de l analyse de Fourier. On a donc eeciveen :.) Exrions la ension y () : la ension de sorie s () sera égale à réquence KHz s cse k x k X () = = () = e a y () = x = a cos( ω) = [+ cos( ω)] a X e =, à condiion d éliiner la coosane de = il au que la réquence de couure du ilre asse-bas soi elle que : 3 = C. π RC ' 4 RC " # 3 en ordre de grandeur: RC # 4π Par exele : R= KΩ e C = µ F ou R= KΩ e C =,µ F Rq : des valeurs de résisance lus aibles conduiraien à des caaciés ro élevées (condensaeurs voluineux) ; des valeurs de résisance ro élevées conduisen à un ee «d anenne», où ces résisances son le siège de courans induis ar des ondes élecroagnéiques arasies..)a) L A.O éan arai, le couran sur l enrée + es nul ; les coosans R e C son donc en série on eu aliquer la relaion du «diviseur de ension», soi : jc v + ω = X = X R + + jrcω jc ω Le héorèe de Millan aliqué sur l enrée inverseuse condui à : L A.O éan en régie de oncionneen linéaire, il vien : + X + Y v = v X = + jrcω Y jrcω H = H ex( jϕ ) = = X + jrcω v X Y + R R X + Y = = + R R Rq : il s agi d un circui déhaseur ur, uisque H =, ω les ensions x () e () êe aliude e ne dièren que ar leur hase. b) On a : ϕ = Arc an( RCω) = π / our RCω = y on Page 6 Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.

7 +.) L A.O éan arai e oncionnan en régie linéaire, on a : v v = = I = R Par ailleurs : i = c es le couran I qui raverse l iédance inconnue Z inaleen, la ension es une iage idèle du couran raversan l iédance à esurer. Puisque v =, u es la ension aux bornes de l iédance inconnue..3) On a donc : ex( jω) Z I R jx I R jx R jx u = = ( + ) = ( + ) = ( + ) ; R R avan d eecuer la ulilicaion des signaux, on doi reasser en noaion réelle, d où : v = R X u ( ) [ cos( ω ) sin( ω )] R s = v v = k R X () () u () [ cos( ω ) R cos( ω ) sin( ω )] s ( ) = k [ R( + cos( ω)) Xsin( ω)] R Arès un ilrage eicace, on récuère la seule coosane coninue de la ension s (), soi : k = R connaissan k, e R, la esure de ere d accéder à celle de R. R.4) Pour échanger les rôles des aries réelle e iaginaire de l iédance Z, il au uiliser une ension v ' () en sin( ω ), e non () déhaseur réglé à = / dans le onage ci-dessous : ϕ π v qui es en cos( ω ), d où l aariion du circui v( ) vu converisseur couran-ension E s () déhaseur π / v ' E ulilieur C ilre asse-bas La ension vu a oujours la êe exression que récédeen, ais on doi la ulilier ' avec : v = cos( ω π /) = sin( ω) s () = v v = k [ Rcos( ω) sin( ω) Xsin ( ω)] = k [ Rsin( ω) X( cos( ω))] ' u R R Arès ilrage, on récuère la coosane coninue : k = X R la esure de la ension ere eeciveen d accéder à celle de X, arie iaginaire de l iédance inconnue. Page 7 Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.

8 3.) En sorie du ulilieur, la ension de sorie a our exression : u = k u u = ku A cos( ω ) + ka A cos( ω )cos( ω ) ou bien, arès linéarisaion : s kaa us( ) = ku Acos( ω) + {cos[( ω + ω) ] + cos[( ω ω) ]}, uis avec : ( ) cos( ) us = ku A ω + {cos[( ω + ω) ] + cos[( ω ω) ]} Les rois réquences du secre du signal odulé son : ; ; + Dans le secre, on rerouve la oreuse d aliude ku A, encadrées ar «raies» d aliude égale à celle de la oreuse, uliliée ar un aceur / : l aliude de ces raies eu donc êre suérieure à celle de la oreuse, à condiion que % (our %, on di qu il y a «surodulaion»). ku A ( + ) 3.) On obien les courbes suivanes, racées dans le cas où # 4 : us ku A ( + ) us ω ω ku A ( ) ku A ( ) % Il es clair que dans le cas où %, la arie osiive de l enveloe (racée en oinillés) n es as égale à la coosane alernaive de u(), soi u & = Acos( ω) (c es en revanche le cas our ). 4.) Pour corendre qualiaiveen le oncionneen du onage, il au considérer le oeniel d anode de la diode (sans seuil) égal à ue(), don la coosane la lus «raide» a une ériode T, e son oeniel de cahode, égal à us régi ar un es caracérisique τ = RC " T : an que la diode es assane, on a u = u la sorie rerodui idèleen l enrée. lorsque ue() se e à décroîre «ro raideen» our que us «suive», le oeniel d anode devien inérieur au oeniel de cahode la diode se bloque e le circui RC évolue en régie libre la ension de sorie es de la ore : s us ( ) = Aex( / τ ). Dès que la ension d enrée redevien égale à us, la diode redevien assane e l on rerouve u = u. s e e Page 8 Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.

9 Cee aroche qualiaive ere d obenir la courbe suivane, racée dans le cas : us ue u Le signal odulé e es rerésené en oinillés, alors que le signal déodulé u es racé en rais leins. () s T Rq : our que la ension us uisse suivre les variaions de l enveloe de ue(), c es-à-dire de u & = Acos( ω), il au que la consane de es τ du circui RC soi rès inérieure à T. Rq : la ension () s u rerodui u & A cos( ω ) = d auan lus idèleen que les condiions τ " T e τ ' T son bien vériiées. Rq3 : il es clair que cee déecion d enveloe n a as d inérê our %, uisque, dans ce cas, l enveloe ne corresond as à u & = A cos( ω ). Rq4 : our une diode réelle (avec seuil), le signal de sorie es encore lus déoré, surou our un signal odulé de aible aliude : on eu alors uiliser des diodes à aible seuil, ou des onages dis «déecion sans seuil», à base d A.O (noons ceendan que les A.O n on as une bande assane rès large ce n es as une soluion en haue réquence ). 4.) a) D arès la quesion 3.), on sai que l on eu écrire our ue() : ( ) cos( ) ue = ku A ω + {cos[( ω + ω) ] + cos[( ω ω) ]} il vien our us : () () () cos( ) us = k ue u = k U A ω + {cos[( ω + ω)] cos( ω)} + cos[( ω ω)] cos( ω)} En uilisan les orules de rigonoérie, on obien inaleen : ( ) ku A cos( ) cos( ) cos[( ) ] us = ω ω ω ω cos[( ω ω) ] Le signal us coore donc bien 5 coosanes : une coosane coninue d aliude une coosane BF, de ulsaion ku A ω (corresondan au signal odulan) rois coosanes HF, de ulsaions ω ω, ω e ω + ω (ar ordre croissan) Page 9 Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.

10 4.) b) La réquence de couure du ilre doi vériier la double inégalié : ' ' # C Rq : ces condiions seron d auan lus aciles à saisaire que la réquence de la oreuse sera suérieure à celle du signal odulan ( " ). 4.) c) Le ilrage asse-bas récéden ne ai as inervenir la valeur du aux de odulaion : ce ye de déodulaion oncionne donc our %, ce qui ere d aéliorer le «raor signal/brui» (aliude du signal odulan, roorionnelle à, sur aliude des arasies ec ). Ce ye de déecion es aelée «synchrone», car elle nécessie de disoser, au niveau du déeceur, d une ension araieen synchrone avec le signal odulan, généré au niveau de l éeeur : ceci n a rien d éviden! 5.) Des calculs analogues à ceux déveloés dans la quesion 4.) a) conduisen à : ' kue ue( ) = { sinϕ sinϕ cos( π ) + sin[ π( ) ϕ] + sin(4 π ϕ) + sin[ π( + ) ϕ]} Arès un ilrage asse-bas «eicace», on ne conserve que la coosane coninue e la coosane basse réquence, soi : ku v e () = sin ϕ [+ cos( π )] Arès éliinaion de la coosane coninue, l audieur écouera un signal à la «bonne réquence», ais don l aliude lucuera lus ou oins vie dans le es ; our ϕ roche de ou π, cee aliude sera roche de l audieur n enendra lus rien : c es le hénoène de «ading». 5.) Les roriéés de l O.C.T ereen d écrire : dϕ() kku kku = kv = + # + d e e ( ) [ cos( π )] sin ϕ( ) [ cos( π )] ϕ( ) L inégraion de l équaion diérenielle récédene condui à : dϕ kku e [ cos( π )] d ϕ = + ϕ() kku e Ln sin( π ) ϕ() = + π on en dédui l exression de ϕ : kku e kkue ϕ( ) = ϕ() ex sin( π ) ex 4π Page Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.

11 Le ere en ere en k ku e ex sin( π ) 4π kku e ex éan borné, le déhasage ϕ sui l évoluion du ϕ avec une cse de es : τ = kku e Rq : our τ suisaen eie, la boucle se «verrouille» raideen (à nore échelle de es) sur la valeur, e le hénoène de ading disaraî. ϕ = 5.3) La déodulaion es de ye synchrone : le signal odulé ue() éan en cosinus, il au le ulilier ar une ension elle-êe en cosinus, ce qui n es as le cas de la ension v () : un circui déhaseur réglé à ϕ = π / ere d élaborer, à arir de v, la ension v qui résene alors les bonnes caracérisiques (de réquence e de hase). *************** Page Chrisian MAIRE EduKlub.A. Tous drois de l aueur des œuvres réservés. au auorisaion, la reroducion ainsi que oue uilisaion des œuvres aure que la consulaion individuelle e rivée son inerdies.