Principes de choix d une méthode économique d allocation

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1 07RP-07 Prncpes de chox d une méthode économque d allocaton Partage des coûts et tarfcaton à Gaz de France Marcel Boyer, Ncolas Marchett Rapport de projet Project report Montréal Ma Marcel Boyer, Ncolas Marchett. Tous drots réservés. All rghts reserved. Reproducton partelle permse avec ctaton du document source, ncluant la notce. Short sectons may be quoted wthout explct permsson, f full credt, ncludng notce, s gven to the source

2 CIRANO Le CIRANO est un organsme sans but lucratf consttué en vertu de la Lo des compagnes du Québec. Le fnancement de son nfrastructure et de ses actvtés de recherche provent des cotsatons de ses organsatonsmembres, d une subventon d nfrastructure du Mnstère du Développement économque et régonal et de la Recherche, de même que des subventons et mandats obtenus par ses équpes de recherche. CIRANO s a prvate non-proft organzaton ncorporated under the Québec Companes Act. Its nfrastructure and research actvtes are funded through fees pad by member organzatons, an nfrastructure grant from the Mnstère du Développement économque et régonal et de la Recherche, and grants and research mandates obtaned by ts research teams. Les partenares du CIRANO Partenare majeur Mnstère du Développement économque, de l Innovaton et de l Exportaton Partenares corporatfs Alcan nc. Banque de développement du Canada Banque du Canada Banque Laurentenne du Canada Banque Natonale du Canada Banque Royale du Canada Banque Scota Bell Canada BMO Groupe fnancer Bourse de Montréal Casse de dépôt et placement du Québec DMR Consel Fédératon des casses Desjardns du Québec Gaz de France Gaz Métro Hydro-Québec Industre Canada Investssements PSP Mnstère des Fnances du Québec Raymond Chabot Grant Thornton State Street Global Advsors Transat A.T. Vlle de Montréal Partenares unverstares École Polytechnque de Montréal HEC Montréal McGll Unversty Unversté Concorda Unversté de Montréal Unversté de Sherbrooke Unversté du Québec Unversté du Québec à Montréal Unversté Laval Le CIRANO collabore avec de nombreux centres et chares de recherche unverstares dont on peut consulter la lste sur son ste web. ISSN (Verson mprmée) / ISSN (Verson en lgne) Partenare fnancer

3 PRINCIPES DE CHOIX D UNE MÉTHODE D ALLOCATION PARTAGE DES COÛTS ET TARIFICATION À GAZ DE FRANCE Marcel Boyer Professeur Ttulare, Chare Bell Canada en économe ndustrelle Département de scences économques de l Unversté de Montréal Fellow CIRANO, CIREQ, C.D. Howe Insttute Ncolas Marchett Chercheur Postdoctoral CIRANO Rapport préparé à l ntenton de la Drecton de la Recherche de Gaz de France. Ne pas dstrbuer hors de Gaz de France sans l autorsaton des auteurs. 3

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5 TABLE DES MATIÈRES SOMMAIRE EXÉCUTIF... 9 RAPPORT SYNTHÉTIQUE... Introducton... RS. Le contexte d applcaton... 3 RS.2 Étape : le partage des coûts... RS.2. Les méthodes de répartton... RS.2.2 Les prncpes et proprétés souhatables des méthodes de partage de coûts... RS.2.3 Le chox d une méthode de partage de coûts... 2 RS.3 Étape 2 : la tarfcaton RS.3. La tarfcaton à la Ramsey-Boteux RS.3.2 La tarfcaton non lnéare Concluson INTRODUCTION GÉNÉRALE PROBLÉMATIQUE ET SOLUTION TARIFAIRE GLOBALE LE PARTAGE DES COÛTS COMMUNS La formalsaton du problème de répartton des coûts Les demandes Les fonctons de coût La règle de répartton Les méthodes de partage des coûts Les règles de proportonnalté La règle des coûts moyens La méthode des bénéfces résduels Les méthodes comptables... 47

6 TABLE DES MATIÈRES Les méthodes nsprées de la théore des jeux coopératfs La tarfcaton au coût margnal La tarfcaton à la Aumann-Shapley La méthode Shapley-Shubk Le nucléole Le cœur (noyau) La répartton séquentelle Le cas des demandes undmensonnelles Le cas des demandes multdmensonnelles Les grands prncpes L équté La cohérence L effcacté Les proprétés Le tratement égaltare des équvalents Le prncpe séquentel Le tratement des enttés néglgeables La monotone Les bornes sur les contrbutons L nsensblté aux untés de mesure Les proprétés de séparaton La corrélaton proprétés / prncpes Les proprétés des méthodes de partage de coûts Les proprétés des règles de répartton proportonnelle La règle des coûts moyens La règle égaltare La méthode des bénéfces résduels Les méthodes comptables La répartton proportonnelle aux coûts margnaux Les proprétés des règles nsprées de la théore des jeux La tarfcaton à la Aumann-Shapley

7 TABLE DES MATIÈRES La méthode Shapley-Shubk Le nucléole Les proprétés de la répartton séquentelle La règle séquentelle orgnale La règle séquentelle radale Tableaux synoptques Concluson : chox d'une méthode LA TARIFICATION La maxmsaton des profts ou du ben-être : tarfcaton à la Ramsey-Boteux La maxmsaton du proft avec une catégore de consommateurs La maxmsaton du proft avec deux catégores de consommateurs L'optmum de second rang avec deux catégores de consommateurs La prse en compte des élastctés crosées La tarfcaton non lnéare Le menu de tarfs polynômes Le menu optmal Un exemple Les tarfs de Ramsey-Boteux Les tarfs bnômes auto-sélectfs La prse en compte de l'effet de la charge fxe Concluson... 2 CONCLUSION GÉNÉRALE BIBLIOGRAPHIE

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9 SOMMAIRE EXÉCUTIF La plupart des organsatons, snon toutes, répartssent d'une manère ou d'une autre des coûts communs entre leurs dverses composantes ou encore entre leurs dfférents partenares ou clents. La rentablté de l entreprse, la performance de l organsme publc, le succès du partenarat recherché dépendent en grande parte de la «qualté» des règles de partage des coûts communs mses en place. En dépt de cette réalté, et ben que leur analyse scentfque explcte sot déjà relatvement avancée, leur applcaton au sen des organsatons reste relatvement embryonnare et souvent trbutare d'une approche hstorque ad hoc, plutôt que ratonnellement chose pour maxmser la performance et la valeur de l'organsaton. Pour ben cerner toute la complexté du problème, l'étude des caractérstques de ces méthodes repose nécessarement sur une certane dose de représentaton mathématque et ce, afn d en smplfer l analyse. C est là le «prx à payer» pour gagner en compéttvté et performance en présence de problèmes complexes Gaz de France n échappe pas à la règle et dot fare face au déf du partage de coûts communs. L approvsonnement, l entrée sur le réseau de transport ou encore le stockage sont autant de coûts non attrbuables qu l faut partager entre les groupes de clents. La problématque de Gaz de France ne se lmte pas unquement au partage de ces coûts mas s étend jusqu à la couverture de ces derners par la tarfcaton. Coupler partage des coûts et tarfcaton, deux concepts ntmement lés, tel est le réel déf auquel Gaz de France est confronté. La dfférence fondamentale entre ces deux problématques peut être comprse comme sut : dans un problème pur de partage des coûts, on consdère généralement que la demande exprmée par l ensemble des partenares est donnée alors que dans un problème type de tarfcaton, la demande est consdérée comme sensble au tarf. Dans le contexte spécfque de Gaz de France, nous percevons le couplage entre le partage des coûts et la tarfcaton comme sut. Gaz de France supporte dvers coûts pour fournr du gaz à ses clents. Ces coûts se partagent en coûts attrbuables à un clent ou groupe de clents donné et en coûts communs,.e. non attrbuables. Au cours d une premère étape les coûts communs dovent être réparts, à l ade d une méthode approprée de partage des coûts, entre les dvers groupes de clents dentfés. Une fos cette premère étape franche, on passe à la phase de tarfcaton. Au cours de cette 9

10 SOMMAIRE EXÉCUTIF seconde étape, l faut récupérer pour chaque groupe de clents l ensemble des coûts attrbués à ce groupe. Les coûts attrbuables au départ peuvent souvent être récupérés par une tarfcaton au coût margnal (sauf cas exceptonnels). Les coûts communs attrbués, lors de la premère étape, aux dvers groupes pourront être récupérés grâce à des écarts de prx par rapport aux coûts margnaux qu eux seront calculés de manère à mnmser les dstorsons de consommaton par rapport aux quanttés «optmales» obtenues (calculées ou prédtes) par une tarfcaton au coût margnal. L objectf de rentablté pourra quant à lu être rencontré par un ajustement appropré (proportonnel) de ces écarts entre prx et coût margnal. 2 Le présent rapport vse à défnr et présenter dvers outls pour ader le décdeur à fare les melleurs chox possbles, selon l objectf poursuv, au cours de chacune des deux étapes exposées c-dessus. Il débouche également sur des pstes d analyse des problèmes nédts que soulève le couplage explcte et ntégré du partage de coûts et de la tarfcaton. L objectf de ce rapport n est pas de conclure sur une recommandaton d un couple spécfque (méthode de partage de coûts, méthode de tarfcaton) qu serat le plus à même d embrasser les contrantes et objectfs de Gaz de France. En effet, afn d aboutr à ce type de conclusons, les recherches devront être approfondes en tenant compte par exemple des nformatons dsponbles ou encore de la forme des fonctons de coût et de demande. Nous nsstons cependant dès à présent sur le fat que le chox d'une méthode de partage de coûts dot se fare sur la base de ses proprétés. Il est contre-ndqué de chosr une méthode sur la smple base d'un seul ou même de quelques exemples, comme le font tradtonnellement les organsatons ou consortums, à la sute de longues et souvent dffcles négocatons entre les partes, chacune d'elles prvlégant évdemment la méthode qu lu est la plus favorable. Nous soulgnons le fat qu l est beaucoup plus smple et logque d'dentfer une méthode parm l'ensemble des méthodes possbles sur la base des proprétés de ces méthodes, avant même de connaître les résultats qu'elles peuvent donner dans des applcatons concrètes précses. 30 Nous croyons que Gaz de France aurat ntérêt à nvestr des ressources dans l'apprentssage de méthodes de partage de coûts communs et de tarfcaton plus rgoureuses, plus effcaces, plus équtables et plus nctatves que celles couramment utlsées. La problématque soulevée est complexe. Elle ne dot pourtant pas être éludée au rsque de perdre en compéttvté et performance.

11 RAPPORT SYNTHÉTIQUE Introducton La plupart des organsatons, snon toutes, répartssent d'une manère ou d'une autre des coûts communs entre leurs dverses composantes ou encore entre leurs dfférents partenares ou clents. Gaz de France n échappe pas à la règle. En effet, pour fournr du gaz à ses clents fnals, Gaz de France est confronté à dvers coûts dont certans ne sont pas drectement attrbuables à un clent donné. Il s agt par exemple des coûts lés à : l approvsonnement : contrats négocés auprès des producteurs ou nterventon sur des marchés spots ; l accès au réseau de transport et de dstrbuton ; l accès à des capactés de stockage pour fare face aux fluctuatons sasonnères de la demande de ces clents. 2 Il convent cependant de récupérer ces coûts. La queston qu se pose est alors la suvante : comment détermner la part que chaque clent ou groupe de clents dot supporter et quel mécansme (tarfcaton) utlser pour récolter la part de chacun? La compéttvté et la performance de Gaz de France dépendent, pour une part non néglgeable, de la qualté de la méthode de partage des coûts et de la méthode de tarfcaton qu seront mses en place. Notons dès à présent que la problématque soulevée par Gaz de France mplque le rapprochement novateur de deux consdératons dfférentes mas ntmement lées : le partage des coûts communs et la tarfcaton. L'objet du présent rapport est de rendre les méthodes de partage de coûts et de tarfcaton plus accessbles et d en démontrer la pussance en termes d'analyse. Il consste également à suggérer les premères pstes de recherche dans le domane novateur du couplage méthode de partage de coûts / méthode de tarfcaton. Les méthodes de partage des coûts communs et de tarfcaton développées depus quelques années consttuent des outls pussants qu permettent de répondre de manère rgoureuse à la queston soulevée plus haut. Cependant, ben que l analyse scentfque de ces méthodes sot déjà relatvement avancée, leur applcaton au sen des organsatons (entreprses, allances ou

12 RAPPORT SYNTHÉTIQUE 2 30 réseaux d'entreprses, gouvernements) reste relatvement embryonnare et souvent trbutare d'une approche hstorque ad hoc, plutôt que ratonnellement chose pour maxmser la performance et la valeur de l'organsaton. Il faut reconnaître que l'analyse de ces méthodes exge une certane dose de mathématques pour représenter de la manère la plus fdèle possble les prncpes (équté, cohérence, effcacté) et les proprétés (nsensblté aux untés de mesure, tratement égaltare des égaux ) souhatables des méthodes consdérées, pour vérfer les lens entre méthodes et proprétés, prncpes et caractérstques, et pour tradure, dans un langage rgoureux et programmable, les contrantes nsttutonnelles et les objectfs poursuvs. Le présent rapport vse à défnr et présenter dvers outls pour ader le décdeur à fare les melleurs chox possbles, selon l objectf poursuv, en matère de méthode de partage de coût et de tarfcaton. Il débouche également sur des pstes d analyse des problèmes nédts que soulève le couplage explcte et ntégré du partage de coûts et de la tarfcaton. L objectf de ce rapport n est pas de conclure sur une recommandaton d un couple spécfque (méthode de partage de coûts, méthode de tarfcaton) qu serat le plus à même d embrasser les contrantes et objectfs de Gaz de France. En effet, afn d aboutr à ce type de conclusons, les recherches devront être approfondes en tenant compte par exemple des nformatons dsponbles ou encore de la forme des fonctons de coût et de demande. Nous nsstons cependant dès à présent sur le fat que le chox d'une méthode de partage de coûts dot se fare sur la base de ses proprétés. Il est contre-ndqué de chosr une méthode sur la smple base d'un seul ou même de quelques exemples, comme le font tradtonnellement les organsatons ou consortums, à la sute de longues et souvent dffcles négocatons entre les partes, chacune d'elles prvlégant évdemment la méthode qu lu est la plus favorable. Nous soulgnons le fat qu l est beaucoup plus smple et logque de chosr une méthode parm l'ensemble des méthodes possbles sur la base des proprétés de ces méthodes et de leurs capactés de rencontrer les prncpes retenus et les objectfs poursuvs, avant même de connaître les résultats qu'elles peuvent donner dans des applcatons concrètes précses. 2

13 RAPPORT SYNTHÉTIQUE Ce rapport synthétque comprend tros sectons. Nous décrvons tout d abord brèvement la problématque à laquelle Gaz de France est confronté. La soluton que nous proposons est décomposable en deux étapes : partage des coûts et tarfcaton. Ces deux étapes font l objet des sectons RS.2 et RS.3 c-dessous. RS. Le contexte d applcaton Le problème de partage des coûts qu nous a été décrt dans le caher des charges réf. M.DEG.E2S.0.8-OME/CJA est le suvant : Un négocant gazer vertcalement ntégré (en l occurrence Gaz de France) supporte des coûts pour fournr du gaz à ses clents fnals. «[ ] En effet, un négocant moblse des contrats d approvsonnements négocés auprès des producteurs ou ntervent sur des marchés spots, un accès aux réseaux de transport et de dstrbuton ans que des capactés de stockage pour fare face aux fluctuatons sasonnères de la demande de ces clents. Parm ces coûts, une part prépondérante n est pas drectement attrbuable à un clent donné, l s agt des coûts d approvsonnement, d entrée sur le réseau de transport et des coûts de stockage. Les coûts relatfs au transport et au stockage sont détermnés par des tarfs régulés que les gestonnares d nfrastructures applquent ; ls sont donc dentques quelle que sot la nature de celu qu sollcte l accès à l nfrastructure». Dans ce contexte, le projet MECONG a pour objectf de proposer des outls permettant d allouer les coûts communs supportés par le négocant gazer. Cette problématque mplque, à notre sens, le rapprochement novateur de deux consdératons dfférentes mas ntmement lées : le partage des coûts communs et la tarfcaton. Nous envsageons ce rapprochement de la façon décrte c-dessous et llustrée dans la fgure suvante. 3

14 RAPPORT SYNTHÉTIQUE Partage de coûts Tarfcaton Coût Total pour satsfare les clents Chox parm les méthodes de partage de coûts Part groupe Dstorson A Dstorson B Dstorson C Dstorson A + Cm Part groupe Dstorson B + Cm Dstorson C Dstorson na + Part groupe n Dstorson nb + Cm n Coûts Communs Coûts Attrbuables Dstorson nc Tarfcaton au coût margnal Cette fgure s'nterprète de la manère suvante. Gaz de France supporte dvers coûts pour satsfare ses clents. Ces coûts se partagent en coûts communs (au départ non attrbuables) et coûts attrbuables ou spécfques. Au cours d'une premère étape (à gauche de la lgne en pontllés), les coûts communs sont réparts, à l'ade d'une méthode approprée de partage des coûts, entre les dvers groupes de clents dentfés. Une fos cette étape franche, on passe à la phase de tarfcaton (à drote de la lgne en pontllés). Il convent au cours de cette étape de récupérer, pour chaque groupe de clents, l'ensemble des coûts attrbués à ce groupe. À ce stade, chaque groupe de clents sera possblement scndé en pluseurs catégores et le processus de tarfcaton pourra être affné davantage. Les coûts qu étaent attrbuables au départ peuvent souvent être récupérés par une tarfcaton au coût margnal (sauf cas exceptonnels). Les coûts communs attrbués, lors de la premère étape, aux dvers groupes de clents pourront être récupérés grâce à des écarts de 4

15 RAPPORT SYNTHÉTIQUE prx par rapport aux coûts margnaux qu eux seront calculés de manère à mnmser les dstorsons de consommaton par rapport aux quanttés optmales obtenues (calculées ou prédtes) par une tarfcaton au coût margnal. Ce phénomène est représenté par les tros dstorsons (catégores) llustrées pour chaque groupe dans la fgure c-dessus. L objectf de rentablté pourra quant à lu être rencontré par un ajustement appropré (proportonnel) de ces écarts entre prx et coût margnal. Dvers types de tarfs peuvent alors être employés pour que chaque groupe fnance la part des coûts communs qu lu a été attrbuée. RS.2 Étape : le partage des coûts La premère étape de la procédure que nous proposons consste à attrbuer une part des coûts communs à chaque entté ou (grand) groupe de clents. Quelles sont les méthodes de partage des coûts à dsposton du décdeur? Comment chosr parm l ensemble des méthodes connues? RS.2. Les méthodes de répartton On peut dstnguer tros grandes classes de méthodes de répartton des coûts. Elles font l'objet des tros paragraphes qu suvent. 2 Les règles de proportonnalté Ces méthodes consstent à répartr la totalté ou une parte des coûts selon une règle de proportonnalté, à partr de crtères plus ou mons ad hoc. Elles sont parfos motvées par certanes consdératons éthques. On peut multpler à l'nfn ce genre de méthodes en varant la parte des coûts qu font l'objet de la répartton proportonnelle et les crtères de cette répartton. Ce sont les plus ancennes de toutes les méthodes de répartton et sans doute celles qu sont encore le plus utlsées. Pluseurs raffnements de ces méthodes ont été suggérés dans des revues de comptablté, d où leur vocable de «règles comptables».

16 RAPPORT SYNTHÉTIQUE La règle des coûts moyens. Il s'agt sans doute de la méthode la plus répandue et la plus smple. Elle s'applque à la classe générale de problèmes où les demandes sont homogènes et représentées par des nombres non-négatfs. Elle consste à répartr les coûts totaux ou une parte des coûts selon les quanttés demandées. De façon mécanque, chaque entté pae donc un montant qu est le produt de sa demande et du coût moyen La méthode des bénéfces résduels. Cette méthode a été proposée pour répartr les coûts des bassns hydraulques à usages multples. Son orgne remonte aux travaux de la Tennessee Valley Authorty en 938, ben que cette agence se défendat ben à l époque de voulor utlser une «formule mathématque». La méthode des bénéfces résduels est un raffnement de celle que cette agence avat conçue pour son propre usage. Elle consste à fare payer à chaque entté son coût de fare cavaler seul et à redstrbuer le surplus ans généré au prorata des dfférences entre coûts de fare cavaler seul et coûts ncrémentaux. D'aucuns y ont vu la recherche d'une forme d'équté, ce qu n'est pas évdent. Les méthodes comptables. Entre 97 et 98, on a vu apparaître des propostons de méthodes de répartton proportonnelle dans des revues de comptablté. On en recense deux c. La premère a été proposée par Shane Morarty en 97. Elle consste à fare payer à chaque entté une contrbuton de base égale au plus pett des montants entre son coût de fare cavaler seul d une part et la somme de son coût attrbuable augmenté des coûts communs d autre part. Le surplus alors généré est redstrbué au prorata des contrbutons de base. La méthode de Morarty peut mputer à une entté une contrbuton nféreure à la parte du coût dont elle est drectement responsable. Il résulte de cette possblté que les autres enttés peuvent avor ntérêt à exclure l'entté subventonnée et à réalser seules le projet, même en supposant que les coûts communs vont rester nchangés après l'excluson. Pour reméder à ce défaut (neffcacté) de la méthode de Morarty, Joseph G. Louderback a proposé en 976 de modfer cette dernère et de fare supporter une grande parte des coûts communs par ceux qu semblent gagner le plus de la réalsaton conjonte du projet. La méthode de Louderback élmne ans les subventons d'une entté par une autre et aucun sous-ensemble d'enttés n'aura ntérêt à exclure les autres du projet global. 6

17 RAPPORT SYNTHÉTIQUE Les méthodes nsprées de la théore des jeux coopératfs La deuxème catégore de méthodes est nsprée de la théore des jeux coopératfs. Un jeu coopératf est une stuaton où pluseurs agents nteragssent en se concurrençant tout en voulant collaborer entre eux : chacun veut profter au maxmum des gans de la coopératon sans pour autant la remettre en cause. La tarfcaton au coût margnal. On connaît l'mportance que les économstes attachent à la tarfcaton au coût margnal. La dernère unté d'un ben ou servce devrat être vendue à un prx égal à la valeur des ressources supplémentares requses pour sa producton. La tarfcaton au coût margnal consste donc à demander à chaque entté un montant égal au produt de sa quantté demandée et du coût addtonnel qu'entraîne la dernère unté demandée, en supposant fxées les demandes des autres enttés. C'est une règle qu dot être respectée pour maxmser le proft dans un contexte de concurrence parfate. Ce mode de tarfcaton pose cependant problème pusqu'l entraîne généralement un surplus ou un défct et ne résout pas a fortor le problème de la répartton du coût total dans des contextes plus généraux. 2 La tarfcaton à la Aumann-Shapley. Robert J. Aumann et Lloyd Shapley ont proposé en 974 une soluton élégante au problème du surplus ou du défct qu'mplque la tarfcaton au coût margnal. La méthode Aumann-Shapley consste, non pas à tarfer toutes les untés au coût margnal de la dernère unté demandée comme c est le cas lors de la tarfcaton au coût margnal, mas à tarfer chaque unté consommée à son coût margnal le long d un senter décomposant la consommaton totale en untés ncrémentales et menant à cette dernère. On peut montrer qu en tarfant les dverses enttés en fasant la somme des coûts margnaux de leur consommaton le long du senter en queston, l n'y aura n surplus n défct. Robert J. Aumann est lauréat 0 du prx Nobel d économe pour ses travaux en théore des jeux. 7

18 RAPPORT SYNTHÉTIQUE 2 30 La méthode Shapley-Shubk. Parm les règles de répartton proposées pour les jeux coopératfs, la plus fréquemment utlsée est celle qu'a défne Lloyd Shapley en 93, connue sous le nom de valeur de Shapley. On donne le nom de Shapley-Shubk à cette méthode parce que c'est l économste Martn Shubk qu en 962 a proposé de l'applquer à la répartton des coûts. Elle peut être présentée de manère ntutve comme sut : supposons qu'on ordonne les joueurs d'une certane façon et qu'on fasse payer au premer le coût enter de ses besons en supposant qu'l est seul, et au deuxème le coût addtonnel (ncrémental) mposé par ses besons, en supposant que seuls ces deux partenares partcpent au consortum. Et ans de sute, s'l y a plus de deux partenares. On répartrat alors le coût total de tous les besons. Une telle répartton est dte répartton selon les coûts ncrémentaux. Elle correspond à un ordonnancement donné des partenares. Certans joueurs pourraent évdemment se plandre de l'ordre chos ; par exemple, le premer usager serat appelé à supporter des coûts mportants lés au démarrage du projet, alors que le derner ne se verrat mputer que des coûts mnmes correspondant au smple coût margnal de ses besons. Le mathématcen Lloyd Shapley a trouvé une réponse élégante à ce problème. Elle consste à consdérer tous les ordres possbles entre les usagers et à prendre comme répartton fnale des coûts la moyenne des coûts ncrémentaux. Les usagers sont ans tous tratés de façon symétrque. Certans voent ce mode de répartton comme celu qu pourrat résulter d'une négocaton entre les enttés. Le nucléole. En 969, Davd Schmedler ntrodut le concept du nucléole dont l dée est de maxmser le ben-être de la mons heureuse ou favorsée des coaltons, enttés ou groupe d enttés. Notons que ce concept est relatvement complexe à manpuler et que son applcaton souffre d un beson mportant en efforts de calcul. Le cœur (noyau). Le cœur n'est pas en so une méthode de répartton pusqu l détermne plutôt un ensemble de réparttons des coûts, qu peut d'alleurs être vde. Il s'agt des réparttons qu'aucune coalton ou sous-ensemble d'enttés ne peut contester sous prétexte de surfacturaton. Il y aurat surfacturaton s une méthode de répartton mputat aux membres d une coalton une charge supéreure au coût auquel la coalton en queston pourrat seule satsfare aux demandes de ses membres. Le fat d'appartenr au cœur confère à une répartton 8

19 RAPPORT SYNTHÉTIQUE un caractère de crédblté non néglgeable. Le nucléole appartent au cœur lorsque celu-c exste et la valeur de Shapley (la répartton obtenue par la méthode Shapley-Shubk) appartent au cœur pour les jeux de coûts concaves,.e. ceux où les coûts ncrémentaux de jondre un sous-ensemble d'enttés décroît à mesure que ce sous-ensemble augmente en talle. La répartton séquentelle La trosème catégore de méthodes est beaucoup plus récente. Elle comprend les règles dtes de répartton séquentelle (seral cost sharng) proposées pour la premère fos par Scott Shenker en 990. Elles ont fat l'objet d'une abondante lttérature depus et sont applcables dans un contexte undmensonnel comme multdmensonnel. Le prncpe de constructon étant smlare dans ces deux contextes, nous ne présentons c que le cas de demandes undmensonnelles. 2 Dans un premer temps toutes les enttés se voent mputer une part égale du coût d'un projet tout juste suffsant pour répondre aux besons de l ensemble des enttés lorsque leurs demandes ont toutes été ramenées au nveau de la plus fable d entre elles. La contrbuton de l entté est alors fxée et cette entté «dsparaît» de la sute du problème de partage des coûts. Dans un second temps, les enttés restantes se voent mputer, en plus de la part déjà calculée, une part égale de l'accrossement de coût qu'entraînerat un accrossement de capacté suffsant pour répondre à des demandes de leur part qu seraent toutes égales à celle de la nouvelle entté dsposant de la demande la plus fable. On contnue ans à mputer les coûts assocés à des accrossements de capacté nécesstés par des demandes de plus en plus grandes. Dans le cas où les coûts ncrémentaux crossent avec l'ampleur des demandes, on évte ans que les enttés ayant des demandes plus fables se voent mputer des coûts relés aux externaltés mposées par ceux qu ont des demandes plus fortes. À l'nverse, s les coûts ncrémentaux dmnuent avec l'ampleur des demandes, on évte que les enttés ayant des demandes plus fables proftent des externaltés générées par les enttés qu ont des demandes plus grandes. 9

20 RAPPORT SYNTHÉTIQUE RS.2.2 Les prncpes et proprétés souhatables des méthodes de partage de coûts Confronté au nombre élevé de méthodes de partage des coûts communs, le chox de l une d entre elles peut s avérer complexe. Comment effectuer ce chox dans les melleures condtons? Pour un décdeur, la tentaton pourrat être forte de chosr une méthode sur la base d'un seul ou même de pluseurs exemples ou sur la base des réparttons qu'elle peut donner dans une stuaton partculère. C'est malheureusement trop souvent la façon de fare. Il en résulte névtablement des frustratons et des conflts. Idéalement, l faut chosr une méthode à partr d une comparason des proprétés des dfférentes méthodes et de leurs capactés respectves de rencontrer les prncpes retenus et les objectfs poursuvs, avant même de connaître les résultats qu'elles peuvent donner dans des applcatons concrètes précses. Un peu comme un pays se dote d'une consttuton sans connaître toutes les répercussons qu'elle aura sur les ctoyens actuels et à venr. Les proprétés seules, traducton formelle d dées relatvement smples, peuvent cependant ne pas convenr aux gestonnares souceux de fonder leur chox, et accessorement de les défendre, sur la base de crtères plus généraux. L utlsaton de prncpes est alors une soluton envsageable. Un recours aux prncpes a le double avantage qu ls exstent en nombre lmté et qu ls trouvent écho chez la plupart des ctoyens. L nconvénent majeur est qu l est possble d assocer pluseurs défntons à un seul et même prncpe. Notons cependant que prncpes et proprétés sont ntmement lés. Il est en effet possble d assocer à chaque proprété un ou pluseurs prncpes. Les prncpes ayant un caractère plus général que les proprétés, nous nous ntéressons dans un premer temps à ces derners Au sen de cette étude tros prncpes ont été retenus : l équté, la cohérence et l effcacté/effcence. Le prncpe d effcacté/effcence correspond à la recherche de crtères ratonnels de performance lors de la défnton et de la mse en œuvre du partage des coûts et de la tarfcaton. L effcacté est le rapport entre les résultats obtenus et les objectfs vsés. Il ne faut pas confondre ce concept avec l'effcence qu est le rapport entre les résultats obtenus et les ressources utlsées pour les attendre. L équté et la cohérence peuvent être consdérées

21 RAPPORT SYNTHÉTIQUE comme des contrantes qu dovent être vérfées pour garantr le succès d une nouvelle pratque tarfare. D autres prncpes peuvent auss être consdérés tels les prncpes de légalté ou de transparence. Dans son accepton générale, le terme «équté» désgne la qualté de ce qu est juste et mpartal. Le problème avec le sentment d équté est que la percepton qu en ont les consommateurs en est très subjectve. Une dfférence est parfos vue comme légtme, parfos comme llégtme, quelle que sot son objectvté. Cela résulte de la dversté des défntons possbles de l équté. Soulgnons le fat que ben que les concepts d équté ne soent n bons, n mauvas, les méthodes utlsées pour le suv et la poursute de l équté peuvent s avérer plus ou mons cohérentes et générer des dstorsons par rapport à une soluton effcace ou effcente. 2 Compte tenu des nformatons dont nous dsposons, le prncpe d équté correspondrat c au concept d équté horzontale qu établt que ceux qu sont dans des condtons dentques ou smlares dovent être tratés de manère dentque ou smlare. Nous dscernerons autant de concept d équté horzontale qu l exste de sgnfcatons du terme «smlare». Le concept d équté vertcale qu tradut pour sa part l dée d une redstrbuton ne sera pas abordé dans ce rapport. En effet, les méthodes de partage de coûts sont d abord et avant tout un outl de répartton des coûts et non de redstrbuton. L aspect redstrbutf n ntervent qu une fos la méthode de partage des coûts mplémentée et unquement s la soluton obtenue s avérat dffclement applcable. Dans ce cas on tentera de la rendre acceptable en mnmsant certanes dstorsons par rapport à la soluton «premère». 2 2 La soluton premère est c celle qu a été obtenue par la méthode de partage des coûts chose au départ par l ensemble des enttés. 2

22 RAPPORT SYNTHÉTIQUE La cohérence est un prncpe qu garantt que le partage des coûts se fera de manère harmoneuse, logque, c est-à-dre exempt de toute sorte de contradctons. Le prncpe d effcacté/effcence peut, au même ttre que le prncpe d équté, souffrr de multples défntons. Ans, une méthode de partage de coûts est effcace s elle permet de rencontrer l'objectf ntal et elle est effcente s les ressources utlsées correspondent au mnmum nécessare pour l'attente de cet objectf. Dans le cadre de cette prestaton nous ne connassons pas les objectfs vsés par Gaz de France du fat de son statut de Socété Anonyme soumse à une msson de servce publc. Il nous est par conséquent dffcle de défnr plenement le prncpe d effcacté. Notons cependant que l effcacté est souvent assocée aux concepts de partcpaton et d nctaton. Intéressons-nous à présent aux proprétés souhatables des méthodes de partage de coûts. Ces dernères, à l nverse des prncpes, sont des concepts rgoureux qu ne souffrent pas de multples défntons. Elles peuvent être regroupées en sept catégores. A ttre d llustraton nous nous lmtons à présenter pour chacune de ces catégores une ou deux proprétés. 3 Dans le cadre de futurs travaux, l sera possble de tradure de manère formelle de nouvelles proprétés en foncton des objectfs et contrantes de Gaz de France. 2 Tratement égaltare des équvalents Préservaton des rangs (PR) : les contrbutons relatves aux coûts totaux des dfférentes enttés devraent aller dans le sens de leurs coûts de fare cavaler seul. Tratement égaltare des équvalents (TE) : s deux enttés ont des coûts de fare cavaler seul dentques, elles devraent se vor mputer la même part des coûts totaux du regroupement. 3 Une lste plus complète est présentée à la secton

23 RAPPORT SYNTHÉTIQUE Prncpe séquentel Insensblté à l ampleur des plus grandes demandes (RG) : la contrbuton d'une entté ne devrat pas être affectée par l'ampleur des demandes plus grandes que la senne. Prncpe séquentel (PS) : la contrbuton d'une entté ne devrat pas être affectée par l'ampleur des demandes des enttés dont la contrbuton est plus élevée que la senne. Tratement des agents néglgeables Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) : s une entté a une demande nulle, la contrbuton des autres ne devrat pas dépendre de la présence ou non de cette entté dans le problème de partage. Insensblté des contrbutons aux enttés néglgeables (IEN) : s une entté est néglgeable, c'est-à-dre s l'ajout de sa demande à celle de n'mporte quel autre sousensemble d'enttés entraîne une augmentaton des coûts égale à son coût de fare cavaler seul, alors sa contrbuton aux coûts devrat se résumer à son coût de fare cavaler seul. Monotone Monotone par rapport à la demande (MD) : les parts des enttés ne devraent jamas décroître par rapport à leurs demandes. Monotone par rapport aux coûts (MCT) : s les coûts devaent s'avérer plus élevés, quelle que sot l'ampleur du projet ou les nveaux de producton à réalser, alors les parts des coûts mputées aux dfférentes enttés ne devraent pas dmnuer. 2 Bornes sur les contrbutons Partcpaton (PA) : s les enttés sont lbres de partcper à un projet commun, chacune d elle le fera s elle est assurée de ne pas payer plus que son coût de fare cavaler seul. 30 Invarance aux échelles Insensblté aux untés de mesure (IU) : la répartton de coûts ne devrat pas être affectée par une transformaton des échelles (par exemple un remplacement des Km par des mètres ou un changement d'unté monétare). 23

24 RAPPORT SYNTHÉTIQUE Proprétés de séparaton Séparaton entre enttés (SE) : s la foncton de coût peut être séparée selon les enttés (c les clents ou groupes de clents), l devrat en être de même de pour la répartton des coûts. Addtvté (AD) : s les coûts peuvent être décomposés en pluseurs éléments, la règle de partage de coûts devrat donner les mêmes résultats, qu'on l'applque séparément aux dvers éléments de coût, comme par exemple les coûts spécfques et communs, ou globalement à l'ensemble des coûts. Prncpes et proprétés sont des concepts étrotement lés. Il est en effet possble d assocer à chacune des sept catégores de proprétés un et parfos pluseurs prncpes. Ces assocatons sont schématsées dans la fgure qu sut. Au centre de cette fgure se trouvent les tros prncpes. Elles sont représentées par des cercles se chevauchant afn de sgnaler le fat que ces concepts ne sont pas étanches. Autour de ces concepts gravtent les sept ensembles de proprétés. Tros relatons nous semblent mérter des éclarcssements. Il s agt de celles relatves à l effcacté. Le tratement des agents néglgeables est assocé à l effcacté pusqu l favorse l unanmté. Les bornes sur les contrbutons garantssent pour leurs parts la partcpaton, un concept que nous avons assocé à l effcacté. Enfn, la proprété de monotone peut quant à elle être assocée à la fos à l effcacté car elle ndut une relaton drecte et nctatve entre contrbuton et demande et à l équté pusqu l apparaît équtable que l entté qu demande plus pae plus. 24

25 RAPPORT SYNTHÉTIQUE TRAITEMENT ÉGALITAIRE DES ÉQUIVALENTS PRINCIPE SÉQUENTIEL MONOTONIE ÉQUITÉ EFFICACITÉ PROPRIÉTÉS DE SÉPARATION TRAITEMENT DES AGENTS NÉGLIGEABLES BORNES SUR LES CONTRIBUTIONS COHÉRENCE INVARIANCE AUX ÉCHELLES Toute la complexté du chox en terme de prncpes naît de l absence de défntons rgoureuses et unanmement acceptées de ces concepts. Nous nsstons donc sur le fat que le chox de la méthode dot se fare sur la base de ses proprétés. Il est ensute possble de construre un argumentare autour des prncpes qu sous-tendent la méthode de partage de coûts chose. RS.2.3 Le chox d une méthode de partage de coûts La dernère étape consste donc à départager les méthodes en foncton des proprétés qu elles possèdent. Le tableau qu sut présente un échantllon des résultats qu sont présentés dans le rapport prncpal. Un «O» à l ntersecton d une lgne et d une colonne ndque que la méthode de la lgne correspondante satsfat la proprété de la colonne correspondante. À 2

26 RAPPORT SYNTHÉTIQUE l nverse, un «N» sgnale que la proprété n est pas satsfate. Enfn, un «SC» sgnale que la proprété n est satsfate que sous certanes condtons. Le tableau est séparé horzontalement en deux partes. La parte supéreure concerne deux règles qu ne peuvent être utlsées qu avec des demandes portant sur un ben prvé homogène alors que les règles de la parte nféreure peuvent être applquées à un contexte très général. On dstngue également des séparatons vertcales. Elles permettent de séparer les groupes de proprétés en foncton des prncpes qu elles ncarnent. Les proprétés de monotone qu peuvent être assocées à l équté et l effcacté sont stuées entre les colonnes représentant ces prncpes. Prncpes & Proprétés Méthodes de partage ÉQUITÉ EFFICACITÉ COHÉRENCE RG TE PS MCT MD IDN IEN PA SE AD coûts moyens O O N O O O O SC O O séquentelle «undmensonnelle» O O O N O O O SC O O égaltare O O N O O N N N N O bénéfces résduels N N N N N O O SC O N méthodes comptables N N N N N O N SC O N proportonnelle au coût margnal N N N N SC O N SC N N Auman-shapley N N N N SC O O SC O O Shapley-Shubk N N N N O O O SC O O nucléole N N N N N O O SC O N séquentelle «multdmensonnelle» O O O N O O N SC O N Généralement, on va rechercher des méthodes qu satsfont à pluseurs proprétés à la fos. Idéalement, on amerat que le plus grand nombre de ces proprétés vore toutes soent satsfates. Malheureusement, certanes proprétés peuvent être ncompatbles entre elles. Un certan nombre de propostons ont été démontrées à ce sujet. D'autres propostons affrment que telle et telle proprété est satsfate par telle ou telle méthode. D'autres enfn établssent qu'l y a une seule méthode qu satsfat smultanément à un ensemble donné de proprétés. Ce derner type de proposton peut s avérer partculèrement utle pour le décdeur. 26

27 RAPPORT SYNTHÉTIQUE Par delà ces proprétés, la dsponblté et la qualté des données va condtonner la qualté des réparttons. Ans, toutes les règles qu sont basées sur la foncton de coût nécesstent la connassance de cette foncton, au mons pour la demande totale et parfos pour toutes les demandes pouvant émaner de chaque sous-groupe. Dans le cas de la règle séquentelle, l faut au mons pouvor calculer le coût des demandes ntermédares dont le nombre est égal au nombre total d enttés. Dans le cas de la règle de répartton proportonnelle au coût margnal, l faut connaître le coût margnal de la dernère unté demandée de chaque entté. Pour la règle Aumann-Shapley, l faut connaître ce coût margnal pour chaque unté. De manère générale, l faut connaître les technologes de producton et de dstrbuton, desquelles les fonctons de coûts peuvent être obtenues ou estmées. RS.3 Étape 2 : la tarfcaton Une fos cette étape de partage de coût franche, l convent de mettre en place un système de tarfcaton permettant de couvrr et récupérer ces coûts. Dans le problème de partage des coûts communs, on suppose, comme nous l avons fat dans la secton précédente, que les quanttés demandées par les dfférents agents ou enttés sont données au départ. Il s'agt alors de répartr entre ces derners le coût de les satsfare de façon conjonte. La queston abordée dans la présente secton est de couvrr et récupérer les coûts attrbués à chaque entté en admettant que la manère même de le fare peut avor une nfluence sur les demandes ellesmêmes. On suppose donc que les agents, clents ou consommateurs ont une foncton de demande pour les bens et servces en queston. 2 Un certan nombre de méthodes de tarfcaton sont présentées dans cette secton. On débutera par la tarfcaton à la Ramsey-Boteux, auss dte lnéare. Dans ce cas, l n'y a qu'un prx par ben ou servce (entendu au sens large) ben qu'l pusse varer d'un ben à un autre. On montrera par la sute qu'on peut fare meux avec des tarfs polynômes ou non lnéares, comprenant des charges fxes, des prx d'usage, etc. RS.3. La tarfcaton à la Ramsey-Boteux La théore économque nous ensegne que, pour assurer la maxmsaton du ben-être des consommateurs, les bens et servces dovent être vendus à leur coût margnal socal. 27

28 RAPPORT SYNTHÉTIQUE Cependant, en présence d'économes d'échelle, ce mode de tarfcaton génère un défct. Une soluton possble serat de combler ce défct par une subventon, comme on le fat souvent pour le transport en commun et la producton de spectacles par exemple. Dans d'autres stuatons, cela est poltquement mpossble et on requert plutôt que le responsable de la producton s'autofnance, au mons en parte, ou encore qu l attegne un certan nveau (possblement maxmal) de rentablté. Pour ce fare, l dot alors majorer les prx, du mons certans d'entre eux, au dessus des coûts margnaux. La règle de Ramsey-Boteux ndque comment opérer cette majoraton, tout en générant le mons de dstorsons possbles par rapport aux consommatons effcaces ou de premer rang obtenues avec la tarfcaton au coût margnal. Elle maxmse le ben-être total des consommateurs sous la contrante budgétare ou la contrante de rentablté. Elle suppose les fonctons de demande connues ou, du mons, les élastcté-prx de ces dernères. Avec la tarfcaton Ramsey-Boteux la marge réalsée par rapport au prx dot être d'autant plus mportante que la demande des consommateurs a une fable élastcté. L'ntuton derrère cette méthode est la suvante. Les consommateurs dont la demande est mons élastque sont mons sensbles aux varatons de prx que ceux dont la demande est plus élastque. Ils peuvent fare face à un prx plus élevé, payer une marge plus mportante, sans pour autant dmnuer sensblement leur consommaton. Les consommateurs ayant une élastcté plus grande paeront un prx plus proche du coût margnal qu'ls mposent au producteur. On veut ans que tous les consommateurs ou tous les groupes de clents mantennent leurs quanttés demandées respectves à des nveaux proches des nveaux de premer rang RS.3.2 La tarfcaton non lnéare S l'on se contente d'une tarfcaton lnéare, défne par un seul nombre ou monôme, la méthode de Ramsey-Boteux ndque comment fare payer les dfférents types de consommateurs de manère à maxmser le ben-être socal sous contrante de budget ou de rentablté. 28

29 RAPPORT SYNTHÉTIQUE Cependant, la théore économque nous ensegne qu'l est possble de fare meux, en offrant aux consommateurs un menu de dfférents tarfs polynômes, parm lesquels chacun peut lbrement chosr. Un tarf polynôme est un tarf non lnéare, défn par dfférents prx qu s'applquent à dfférentes caractérstques de la demande. Un tarf non lnéare peut, par exemple, être composé d'une charge fxe et de dfférents prx pour dfférentes plages de consommaton. Plus exactement, l est possble d'avantager certans consommateurs, sans en défavorser d'autres, tout en augmentant les recettes nettes. Le fat que toutes les structures tarfares soent dsponbles à tous les consommateurs confère à cette forme de tarfcaton un prncpe d'équté notable, celu d'absence d'enve. Chaque utlsateur peut chosr le tarf qu convent le meux à ses besons et ses partculartés. Une queston venant naturellement à l'esprt est de savor s'l exste une structure optmale pour de tels tarfs. La réponse est postve. Cette structure optmale dépend de la nature des dfférentes demandes, plus partculèrement des élastctés des demandes des consommateurs ou groupes de consommateurs (marchés, demandes). En fat, quand on consdère des tarfs polynômes, l faut dstnguer l'élastcté par rapport à la charge fxe de l'élastcté par rapport à la charge varable. Ces élastctés sont en prncpe dfférentes et la structure tarfare optmale dépend des deux. Dans la recherche du menu optmal de tarfs, on dot s'assurer que chaque consommateur ou groupe de consommateurs chosra, volontarement et naturellement, le tarf qu lu est dédé. En outre, les dfférents tarfs dovent être conçus de sorte que la contrante d'équlbre budgétare (ou de proft) sot vérfée. 2 Comme pour les méthodes de partage de coûts, ces règles de tarfcaton effcaces ou optmales sont trop souvent gnorées. Elles consttuent pourtant un outl remarquable permettant à toute entreprse de gagner en performance. Concluson 30 Dans notre rapport, nous proposons une approche globale à la tarfcaton ntégrant une étape de partage de coûts communs. Nous présentons également les prncpales méthodes de partage des coûts et de tarfcaton permettant aux décdeurs de prendre des décsons sur la base de crtères explctes rgoureux. Des études plus poussées devraent permettre de détermner la 29

30 RAPPORT SYNTHÉTIQUE combnason méthode de partage de coûts / méthode de tarfcaton la plus à même d embrasser les contrantes et objectfs de Gaz de France. Deux conclusons peuvent cependant d ores et déjà être dégagées de ces premers travaux. D une part, le chox d une méthode de partage de coûts communs dot être fondé sur les proprétés que vérfe cette dernère. L utlsaton de grands prncpes assocés à ces proprétés peut ader ensute à construre l argumentare entourant la communcaton et la défense du chox effectué. D autre part, nonobstant le caractère effcace ou optmal de cette procédure, l est possble que son applcaton entraîne le façonnement de tarfs qu pourraent être perçus comme dffclement acceptables au plan poltque. Dans un tel cas, l serat nopportun de modfer de manère ad hoc la règle de partage des coûts communs, chose au départ pour ses proprétés d'effcacté, d équté ou de cohérence, ou la règle de tarfcaton à la Ramsey- Boteux (contrantes de tarfs unformes et de proftablté), permettant de s'élogner le mons possble des nveaux de consommaton effcaces (obtenus par une tarfcaton au coût margnal). Il faudrat plutôt recourr à des mécansmes nctatfs de support drect pour ader et compenser les clents à protéger et ce, sans manpulaton des tarfs. Partage des coûts effcace, équtable et cohérent d'un côté et tarfcaton optmale (accompagnée de mécansmes d'atténuaton des mpacts, le cas échéant) de l'autre sont des outls essentels et complémentares qu permettront à Gaz de France de gagner en compéttvté et performance Mas partage des coûts et tarfcaton sont des consdératons qu suvent chronologquement la réalsaton d nvestssements en nfrastructures qu eux-mêmes dovent fare l objet d une optmsaton rgoureuse. La chronologe ne dot cependant pas fare oubler que la valorsaton des nfrastructures communes dot reposer sur les tros plers que consttuent les méthodologes de chox d nvestssements, de partage des coûts et de tarfcaton. Nous n avons traté dans notre rapport que des deux dernères. Mas l ne faut pas oubler qu l faut se préoccuper auss de la premère. Le tro méthodologque n aura en défntve que la pussance du mallon le plus fable. 30

31 INTRODUCTION GÉNÉRALE La plupart des organsatons, snon toutes, répartssent d'une manère ou d'une autre des coûts communs entre leurs dverses composantes ou encore entre leurs dfférents partenares ou clents. Gaz de France n échappe pas à la règle. En effet, pour fournr du gaz à ses clents fnals, Gaz de France est confronté à dvers coûts dont certans ne sont pas drectement attrbuables à un clent donné. Il s agt par exemple des coûts lés à : l approvsonnement : un négocant gazer moblse des contrats d approvsonnement négocés auprès des producteurs ou ntervent sur des marchés spots ; l accès au réseau de transport et de dstrbuton ; l accès à des capactés de stockage pour fare face aux fluctuatons sasonnères de la demande de ces clents. Attrbuables ou non, les coûts se dovent d être récupérés. La queston qu se pose est alors la suvante : comment détermner la part que chaque clent (ou groupe de clents) dot supporter et quel mécansme (tarfcaton) utlser pour récolter la part attrbuée à chacun? La compéttvté et la performance de Gaz de France dépendent, pour une part non néglgeable, de la qualté de la règle de partage des coûts et du mécansme de tarfcaton qu seront ms en place. Notons dès à présent que la problématque soulevée par Gaz de France mplque le rapprochement novateur de deux consdératons dfférentes mas ntmement lées : le partage des coûts communs et la tarfcaton. 2 La dfférence fondamentale entre ces deux méthodes se stue prncpalement au nveau de la demande à l orgne du coût. Lors du partage des coûts cette dernère est donnée en ce sens que la demande de chaque clent n est pas supposée varer en foncton de la part des coûts qu lu est attrbuée. La tarfcaton, à l nverse, est fondée sur l hypothèse que la demande est sensble au tarf. 30 L'objet du présent rapport est de rendre les méthodes de partage de coûts et de tarfcaton plus accessbles et d en démontrer la pussance en termes d'analyse. Il consste également à suggérer les premères pstes de recherche dans le domane encore nconnu du couplage 3

32 INTRODUCTION GÉNÉRALE méthode de partage de coûts / méthode de tarfcaton en vue d amélorer la compéttvté et l effcacté de Gaz de France. Les méthodes de partage des coûts communs et de tarfcaton développées depus quelques années consttuent des outls pussants qu permettent de répondre de manère rgoureuse à la problématque du présent rapport. Cependant, ben que l analyse scentfque de ces méthodes sot déjà relatvement avancée, leur applcaton au sen des organsatons (entreprses, allances ou réseaux d'entreprses, gouvernements) reste relatvement embryonnare et souvent trbutare d'une approche hstorque ad hoc, plutôt que ratonnellement chose pour maxmser la performance et la valeur de l'organsaton. Il faut reconnaître que l'analyse de ces méthodes exge une certane dose de mathématques. Il est mportant, par alleurs, de précser que ces mathématques ne servent qu à tradure, dans un langage rgoureux et programmable, les contrantes nsttutonnelles et les objectfs que dot satsfare ou rencontrer la règle de partage recherchée. Aucune recommandaton en ce qu concerne le couple méthode de partage de coûts / méthode de tarfcaton qu serat le plus à même d embrasser les contrantes et objectfs de Gaz de France ne sera fate au sen du présent rapport. En effet, afn d aboutr à ce type de conclusons, les recherches devront être approfondes en tenant compte par exemple des nformatons dsponbles ou encore de la forme des fonctons de coût et de demande Nous nsstons cependant dès à présent sur le fat que le chox d'une méthode de partage de coûts dot se fare sur la base de ses proprétés. Il est contre-ndqué de chosr une méthode sur la smple base d'un seul ou même de quelques exemples, comme le font tradtonnellement les organsatons ou consortums, à la sute de longues et souvent dffcles négocatons entre les partes, chacune d'elles prvlégant évdemment la méthode qu lu est la plus favorable. Nous soulgnons le fat qu l est beaucoup plus smple et logque d'dentfer une méthode parm l'ensemble des méthodes possbles sur la base de ses proprétés et ce avant même de connaître les résultats qu'elles peuvent donner lors d applcatons concrètes. 32

33 INTRODUCTION GÉNÉRALE Le rapport est consttué des partes suvantes : nous décrvons dans la parte 2 la problématque auquel Gaz de France est confronté et présentons la soluton tarfare globale susceptble de répondre à cette problématque. La soluton que nous proposons est décomposable en deux étapes : une étape de partage des coûts est suve d une étape de tarfcaton. Ces deux étapes font respectvement l objet des partes 3 et 4. La parte est consacrée à la concluson. 33

34 34

35 2 PROBLÉMATIQUE ET SOLUTION TARIFAIRE GLOBALE Le problème de partage des coûts qu nous a été décrt dans le caher des charges réf. M.DEG.E2S.0.8-OME/CJA est le suvant : Un négocant gazer vertcalement ntégré (en l occurrence Gaz de France) supporte des coûts pour fournr du gaz à ses clents fnals. «[ ] En effet, un négocant moblse des contrats d approvsonnements négocés auprès des producteurs ou ntervent sur des marchés spots, un accès aux réseaux de transport et de dstrbuton ans que des capactés de stockage pour fare face aux fluctuatons sasonnères de la demande de ces clents. Parm ces coûts, une part prépondérante n est pas drectement attrbuable à un clent donné, l s agt des coûts d approvsonnement, d entrée sur le réseau de transport et des coûts de stockage. Les coûts relatfs au transport et au stockage sont détermnés par des tarfs régulés que les gestonnares d nfrastructures applquent ; ls sont donc dentques quelle que sot la nature de celu qu sollcte l accès à l nfrastructure». Dans ce contexte, le projet MECONG a pour objectf de proposer des outls permettant d allouer les coûts communs supportés par le négocant gazer. Cette problématque mplque, à notre sens, le rapprochement novateur de deux consdératons dfférentes mas ntmement lées : le partage des coûts communs et la tarfcaton. Nous envsageons ce rapprochement par la créaton d une méthode de tarfcaton globale ntégrant une étape de partage des coûts communs Notons qu l n y a pas nécessarement de corrélaton très forte entre la concepton des tarfs et les méthodes de répartton des coûts en vgueur dans les entreprses. La concordance entre la répartton des recettes et celle des coûts ne peut donc habtuellement être vérfée que par smulaton et, à la rgueur, ex post. La dvergence entre les deux représente ce qu on qualfe communément d'nterfnancement entre les classes de clents. Lorsqu'un clent pae mons que ce qu'l aurat dû payer en vertu de la répartton des coûts, on dt qu'l est fnancé par les clents qu paent plus que leur part de coûts. 3

36 2 PROBLÉMATIQUE ET SOLUTION TARIFAIRE GLOBALE Souvent les exgences des organsmes de régulaton portent à la fos sur les règles de répartton des coûts et sur les tarfs. On veut souvent que les premères soent les plus «équtables» possbles et que les deuxèmes donnent des résultats qu se rapprochent de la répartton des coûts, et donc ne produsent pas trop d'nterfnancement. L entreprse dot par contre tenr compte au premer chef de la poston concurrentelle des dfférents tarfs, des rsques nhérents à chaque catégore de consommateurs et de l'«équté» entre les classes tarfares. Les préoccupatons des régulateurs en ce qu concerne la répartton des coûts et la prse en compte de cette répartton dans la fxaton des tarfs ne sont généralement pas au dapason des exgences d une tarfcaton optmale ou effcace. La théore économque veut qu'l n'y at pas de mal, ben au contrare, pour un monopole sujet à une réglementaton de ses profts, ou encore pour une entreprse avec pouvor de marché plus ou mons lmté par la concurrence, à se préoccuper de la proftablté relatve des servces qu'l offre et par conséquent à dscrmner entre les clents en foncton de ce qu'ls sont prêts à payer étant donné les alternatves dont ls peuvent bénéfcer. À l'nverse, une tarfcaton basée exclusvement sur une formule de partage des coûts, même s cette formule obét à des crtères d'équté fort défendables, peut donner des résultats très dfférents d'une tarfcaton effcace dans la mesure où elle ne tent aucunement compte des élastctés des dfférentes composantes des demandes globale et spécfque des dverses clentèles. Dans le cadre de la problématque de Gaz de France, nous envsageons de coupler le partage des coûts communs et la tarfcaton de la manère décrte dans la fgure qu sut. 36

37 2 PROBLÉMATIQUE ET SOLUTION TARIFAIRE GLOBALE Partage de coûts Tarfcaton Coût Total pour satsfare les clents Chox parm les méthodes de partage de coûts Part groupe Dstorson A Dstorson B Dstorson C Dstorson A + Cm Part groupe Dstorson B + Cm Dstorson C Dstorson na + Part groupe n Dstorson nb + Cm n Coûts Communs Coûts Attrbuables Dstorson nc Tarfcaton au coût margnal Fgure Du partage des coûts à la tarfcaton Cette fgure s'nterprète de la manère suvante. Gaz de France supporte dvers coûts pour satsfare ses clents. Ces coûts se partagent en coûts communs (au départ non attrbuables) et coûts attrbuables ou spécfques. Au cours d'une premère étape (à gauche de la lgne en pontllés), les coûts communs sont réparts, à l'ade d'une méthode approprée de partage des coûts, entre les dvers groupes de clents dentfés. Une fos cette étape franche, on passe à la phase de tarfcaton (à drote de la lgne en pontllés). Il convent au cours de cette étape de récupérer, pour chaque groupe de clents, l'ensemble des coûts attrbués à ce groupe. Les coûts qu étaent attrbuables au départ pourront souvent être récupérés par une tarfcaton au coût margnal. Les coûts communs attrbués aux dvers groupes, dans la premère étape, seront récupérés grâce aux dstorsons par rapport aux coûts margnaux en s assurant de 37

38 2 PROBLÉMATIQUE ET SOLUTION TARIFAIRE GLOBALE s élogner au mnmum de la soluton optmale. 4 A ce stade, chaque groupe de clents sera possblement scndé en pluseurs catégores et le processus de tarfcaton pourra être affné davantage. Ce phénomène est représenté par les tros dstorsons (catégores) proposées pour chaque groupe. Confronté à cette méthode globale de tarfcaton, le décdeur est tenu d effectuer des chox. Le premer de ce ces chox dot porter sur la méthode de partage des coûts à nstaurer. Intéressons-nous dans un premer temps à cette étape crucale. Quelles sont les méthodes à dsposton du décdeur? Comment effectuer un chox optmal? Sur quels crtères dot porter ce chox? Telles sont les questons auxquelles nous apportons des réponses dans la parte qu sut. 4 Les dstorsons seront calculées en foncton de la règle de l'nverse de l'élastcté. 38

39 Avant de présenter les méthodes de partage de coûts, l convent de formalser le problème de la répartton des coûts communs de la manère la plus générale possble. 3. La formalsaton du problème de répartton des coûts Un problème peut mplquer des clents d'une entreprse ou d'un organsme quelconque, les dvsons d'une entreprse, les partenares d'un projet, les mssons d'un organsme, les dvers usages d'un équpement, etc. On les désgnera sous le terme générque d'enttés. Ces dernères ont des besons qu peuvent porter sur un ou pluseurs bens, qu peuvent être dfférents d'une entté à l'autre, et qu peuvent être publcs ou prvés. Ces besons peuvent auss porter sur les caractérstques d'un équpement, pourvu qu'ls pussent être représentés par des nombres réels, un par caractérstque. On suppose qu'l y a n enttés concernées par un projet ben défn. Ces enttés sont repérées par un ndce (parfos j lorsqu'l faut dstnguer entre deux enttés). Elles forment un ensemble N = {,..., n}. Ces enttés ont des besons, généralement dfférents, qu peuvent prendre des formes dverses. Dans certans cas, les besons ou demandes peuvent être exprmés par un nombre réel. On examne d'abord ce cas. On présente ensute le cas plus général où les demandes, plus complexes, sont exprmées sous forme de sutes ou vecteurs de paramètres. 3.. Les demandes Dans les stuatons les plus smples, les besons des n enttés portent sur un même ben prvé homogène. Elles peuvent être représentées par des nombres réels non négatfs q,..., q n. On convent alors d'ndcer les enttés par ordre crossant de leurs besons : q q 2... qn. On 2 désgne ces quanttés par le vecteur Q= ( q,..., q n ). La demande totale est donnée par On dt alors que les demandes sont undmensonnelles. n q =. 39

40 De façon plus générale, les besons ou demandes des enttés comportent pluseurs caractérstques qu peuvent être communes ou propres aux enttés. On suppose que la demande de l'entté peut être décrte à l'ade de m caractérstques, par exemple la hauteur, la largeur et la longueur d'un tunnel ou les volumes de gaz requs respectvement en été et en hver. On suppose de plus que ces caractérstques peuvent être représentées par des nombres réels non-négatfs. La demande de l'entté peut donc être représentée par un vecteur q = ( q,..., q ) dont les éléments sont les valeurs des dfférentes caractérstques de cette m demande. 2 n On pose m = m. La sute des demandes des dfférentes enttés est notée Q= ( q,..., q n ). = Il s'agt d'une sute de m nombres. Dans la mesure où les bens peuvent avor un caractère publc, la demande globale n'est plus nécessarement donnée par la sommaton des demandes ndvduelles, qu peuvent d'alleurs comporter des nombres de bens dfférents d'une entté à l'autre. On parle de demandes multdmensonnelles pour ce contexte plus général. Comme exemples de cette classe plus générale de problèmes, mentonnons : la constructon d'un réservor hydraulque dont les dfférents usages exgeraent normalement des capactés et des confguratons fort dfférentes ; la constructon d'une route dont la capacté portante de la chaussée et la talle des vaducs sont largement détermnées par la nécessté d'achemner un trafc de pods lourds, alors que le seul trafc automoble n'exgerat que des ouvrages plus légers ; la constructon d'un réseau de dstrbuton (gaz, électrcté, communcatons, routes) dans lequel les capactés peuvent dfférer d'un segment à l'autre alors que les demandes peuvent dfférer d'une pérode à une autre ans que d'un segment à un autre. Dans cette parte on suppose que la demande Q est donnée une fos pour toutes,.e. qu'elle est nélastque. On se place auss dans un contexte où les enttés n'ont pas d'autre chox que de se Pour plus de détals sur la représentaton de ce type de demandes, vor Téjédo et Truchon (02). 40

41 mettre ensemble pour répondre à leurs besons, que ce sot pas ntérêt ou décret. Bon nombre de stuatons se présentent de cette façon dans la réalté. Dans la parte 4, on verra l nfluence que peut avor l ntégraton d une foncton de demande à savor le passage d un problème de partage des coûts à un problème de tarfcaton Les fonctons de coût La formulaton du problème est complétée par l'ntroducton d'une foncton de coût,.e. d'une règle qu attrbue des coûts aux valeurs possbles des demandes. Cette foncton est notée C. De façon précse, on désgne par CQ ( ) le coût de satsfare à une demande Q. On aura auss beson des coûts des demandes de sous-ensembles d'enttés S. Comme C est défn sur l'ensemble des sutes Q, qu sont de dmenson m, l faut mettre les demandes ndvduelles et celles de tout sous-ensemble d'enttés sous cette forme pour pouvor leur applquer C. On représente la demande d'un sous-ensemble S d'enttés par S Q, qu est le vecteur Q dans lequel toutes les demandes, autres que celles des enttés de S, sont ramenées à S 0. Le coût de satsfare unquement aux demandes des enttés de S est donc CQ ( ). Comme cas partculer, on a CQ {} ( ), qu est le coût de fare cavaler seul. En fat, on aura beson du coût de fare cavaler seul pour dfférentes demandes Q. Auss, on défnt les fonctons de coût de fare cavaler seul pour les dfférentes enttés. Elles sont notées c et défnes par : {} ( ) c ( q ) = C Q, =,..., n où q est, rappelons-le, la composante de Q qu concerne l'entté. On suppose que C est non décrossante. Une augmentaton de la demande de la part d'une ou pluseurs enttés ne peut entraîner une dmnuton de coût. Elle pourrat cependant lasser les coûts nchangés. C'est le cas s'l est possble de répondre à une plus grande demande de la part d'une entté sans changer la producton. Par contre, on suppose que la foncton C ndut des fonctons c 2 crossantes. Il peut y avor pluseurs façons de satsfare à une demande,.e. de tradure une demande en un projet commun. Dfférents projets peuvent avor des coûts dfférents. Le nombre CQ ( ) 4

42 dot s'entendre comme le coût du projet qu permet de répondre aux besons exprmés de la manère la mons coûteuse possble. Ce melleur projet peut changer avec la demande ellemême et les condtons du marché comme les prx. Rappelons-nous cependant qu'on suppose Q donné. On désgne par α ( Q) un projet capable de répondre à la demande Q et par A( Q ) l'ensemble de tous ces projets. Un projet α ( Q) est généralement défn par une lste de caractérstques qu peuvent plus ou mons correspondre à celles qu servent à exprmer les demandes. La foncton α peut auss être vue comme une foncton d'agrégaton des demandes des enttés en demande globale. Sot c( α ( Q)) le coût d'un projet α ( Q). La foncton de coût est alors défne par : α ( Q) A( Q) ( α ) CQ ( ) = mn c ( Q) Un cas partculer est celu où les demandes des enttés portent toutes sur une même lste de bens prvés. La foncton α est alors défne de façon unque par n α ( Q) = = q. Autrement dt, la demande globale est la somme des demandes ndvduelles. La foncton C est alors de la forme : et on dt qu elle est homogène. n CQ ( ) = c q = 2 Un autre cas partculer est celu où les enttés demandent encore les mêmes bens mas où ces derners sont des bens publcs purs. La quantté consommée par une entté ne restrent pas la consommaton des autres. La foncton α est encore défne de façon unque, cette fos par α ( Q) = c(max y,...,max y ) où k est le nombre de ces bens. Autrement dt, la quantté à k produre de chaque ben est la quantté maxmale demandée par les enttés. C est alors de la forme : ( k) CQ ( ) = c max y,...,max y 42

43 La dérvée de la foncton C par rapport à un de ses arguments, lorsqu'elle exste, est le coût margnal de la quantté correspondante. Pour des changements dscrets de quantté, on parlera S S plutôt de coût ncrémental. Par exemple, CQ ( ) CQ ( ) est le coût ncrémental de l'ajout de la demande de l'entté à celles des enttés de S La règle de répartton Une règle de répartton est une foncton x qu, pour toute demande Q et toute foncton de coût C, spécfe la part du coût CQ ( ) supportée par les dfférentes enttés. On note x ( QC, ) la charge mputée à l'entté et x( QC, ) la lste de ces dernères : ( ) x( QC, ) = x( QC, ),..., x( QC, ) Une règle de répartton satsfat normalement : rsque de confuson, on peut écrre x pour x ( QC, ). n = n x ( QC, ) = CQ ( ). Lorsqu'l n'y a pas 3.2 Les méthodes de partage des coûts On peut dstnguer au mons tros grandes classes de méthodes de répartton des coûts. Elles font l'objet des tros sous-sectons qu suvent. Dans la premère, on retrouve les méthodes qu consstent à répartr la totalté ou une parte des coûts selon une règle de proportonnalté, à partr de crtères plus ou mons ad hoc. Elles sont parfos motvées par certanes consdératons éthques. On peut multpler à l'nfn ce genre de méthodes en fasant varer la parte des coûts qu font l'objet de la répartton proportonnelle et les crtères de cette répartton. Ce sont les plus ancennes de toutes les méthodes de répartton et sans doute celles qu sont encore le plus utlsées. Pluseurs raffnements de ces méthodes ont été suggérés dans des revues de comptablté, entre autres par Morarty (97), Louderback (976), Balachandran et Ramakrshnan (98). Elles sont présentées sous le ttre de méthodes comptables. 2 La deuxème catégore de méthodes est empruntée à la théore des jeux coopératfs. Dans cette catégore, on retrouve le concept de cœur, la valeur de Shapley, le nucléole et les tarfs à la Aumann-Shapley. Ces derners sont donnés par la somme (l'ntégrale) des coûts margnaux 43

44 le long d'un rayon allant de l'orgne au pont qu représente la demande. L'dée est généralsée à d'autres types de senter et à des changements dscrets. La trosème catégore de méthodes est beaucoup plus récente. Elle comprend les règles dtes de répartton séquentelle (seral cost sharng). Ce type de règle a été proposé pour la premère fos par Shenker (990) pour les demandes undmensonnelles. Il a été l'objet d'une abondante lttérature depus. Mouln et Shenker (992, 994) en ont fat une analyse extensve. Koster et al. (998) l'ont étendu au contexte où les agents demandent pluseurs bens prvés homogènes. Sprumont (998) a étendu la règle au contexte où chaque agent demande un ben qu lu est spécfque. Téjédo et Truchon (00 et 02) poussent la généralsaton au contexte multdmensonnel décrt à la sous-secton Les règles de proportonnalté Certanes des règles qu'on va examner font ntervenr les éléments de CQ ( ) qu peuvent être attrbués drectement aux dfférentes enttés. On les notera ca ( Q ) et on les appellera coûts attrbuables. Il ne faut pas confondre ces coûts avec ceux de fare cavaler seul,.e. c ( q ). Cec nous amène à défnr les coûts communs par : n cc( Q) C( Q) ca ( Q) = On aura également beson du coût ncrémental de desservr l'entté en plus des autres dans N, lequel est défn par : = cm ( Q) = C( Q) C Q N\{ } ( ) Dans certans cas, on peut avor ca ( Q ) = 0 pour tout et donc cc( Q) = C( Q). 2 Un très grand nombre de méthodes utlsées en pratque et d'autres qu ont été envsagées consstent à exger une contrbuton de base xb de l'entté et à répartr le résdu du coût total du projet, une fos soustrates les contrbutons de base, entre toutes les enttés, proportonnellement aux valeurs d'une certane varable t. La formule générale prend donc la forme : 44

45 t x xb C Q xb n = + ( ) n j t j j j = = () Il est à noter que le résdu n CQ ( ) xb peut être postf ou négatf. j= j Par le chox des xb et des t, on peut obtenr autant de règles que l'on veut. En posant xb = 0 et t = pour tout, ce sont les coûts totaux qu sont réparts de façon égaltare entre les enttés : x = CQ ( ) n Certanes règles poussent la sophstcaton jusqu'à décomposer le terme n () en pluseurs composantes, dsons ( CQ ( ) xb j= j ) s n CQ ( ) xb de j=, et à répartr chacune de ces j composantes selon un crtère t s qu lu est propre. Ans, la Formule du Massachusetts (Bddle et Stenberg (98)) consste à répartr le ters des coûts communs d'une entreprse entre ses dvsons, proportonnellement aux ventes s des dvsons, un deuxème ters proportonnellement aux actfs a et le trosème ters proportonnellement aux nombres d'employés e. Cela revent à poser xb = ca( Q) et à remplacer t n j = t j dans () par : s a e + + n n n 3 s 3 a 3 e j= j j= j j= j Inutle de dre qu'une telle règle ne possède aucune justfcaton théorque La règle des coûts moyens Il s'agt sans doute de la méthode la plus répandue et la plus smple. Elle s'applque à la classe générale de problèmes où les demandes sont homogènes et représentées par des nombres nonnégatfs q. Elle consste à répartr les coûts totaux ou une parte des coûts selon les quanttés demandées. Chaque entté pae un montant qu est le produt de sa demande et du coût moyen. Autrement dt, elle est tarfée au coût moyen. Cette méthode est défne formellement par : 4

46 q c x = C( Q) = q n q n ( q j= j ) j= j j= Il s'agt clarement d'un cas partculer de la formule (). n q j (2) Cette règle ne peut évdemment pas être utlsée dans le cas des demandes hétérogènes ou multdmensonnelles. Certanes des autres règles de proportonnalté peuvent être vues comme des généralsatons de la règle des coûts moyens. De façon générale, l s'agt de remplacer les q dans (2) par des fonctons numérques h de q. Cela donne : x h( q) = CQ ( ) (3) n hq j= j j Ans, on verra que la méthode de Morarty, présentée c-dessous, revent à poser h( q ) = c ( q ) pour chaque entté,.e. à répartr le coût total proportonnellement aux coûts de fare cavaler seul. Un autre chox possble pour h( q ) est le coût margnal de la demande de l'entté. La répartton proportonnelle aux coûts margnaux qu en résulte est présentée de façon formelle au paragraphe Ces crtères sont évdemment arbtrares et l est dffcle d'en chosr un plutôt qu'un autre. Alors que la règle de tarfcaton au coût moyen possède des proprétés ntéressantes, ce n'est pas le cas d'une règle plus générale comme (3), sauf peut-être pour la répartton proportonnelle aux coûts margnaux. S on veut une généralsaton de la tarfcaton au coût moyen, l faut plutôt regarder du côté de la méthode Aumann-Shapley présentée au paragraphe et qu possède des proprétés ntéressantes La méthode des bénéfces résduels 2 Cette méthode a été proposée pour répartr les coûts des bassns hydraulques à usages multples. Son orgne remonte aux travaux de la Tennessee Valley Authorty en 938, ben que cette agence se défendat ben de voulor utlser une formule mathématque. La méthode, connue aujourd'hu sous le nom de méthode des bénéfces résduels, est un raffnement de 46

47 celle que cette agence avat conçue pour son propre usage. Elle a été utlsée par le Japon, au mons jusqu'en 98, pour le partage des coûts de ses réservors hydraulques. 6 La méthode est obtenue en posant xb = c ( q ) et t = c ( q ) cm ( Q) dans la formule (), ce qu donne : j= n c ( q ) cm ( Q) x = c( q) cj( qj) C( Q) n ( cj( qj) cmj( Q )) j= Elle consste à fare payer à chaque entté son coût de fare cavaler seul et à redstrbuer le surplus ans généré au prorata des dfférences entre coûts de fare cavaler seul et coûts ncrémentaux. D'aucuns y ont vu la recherche d'une forme d'équté, ce qu n'est pas évdent. Les facteurs de proportonnalté n'étant pas défns lorsque c ( q ) = cm ( Q), on pose alors (4) x = c ( q ) Les méthodes comptables Entre 97 et 98, on a vu apparaître des propostons de méthodes de répartton proportonnelle dans des revues de comptablté. On en a recensé tros, qu sont présentées sous le ttre de méthodes comptables. La premère a été proposée par Morarty (97). Elle consste à fare payer une contrbuton de base qu est égale au plus pett des montants c( q ) et ca ( Q) + cc( Q), noté w, et à redstrbuer le surplus qu serat généré de cette façon au prorata des w. On l'obtent en posant xb = t = w ou, de façon équvalente, xb = 0 et t = w dans (), ce qu donne : w w x w C( Q) w C( Q) w n = + n j = n w j j j = = j= Dans le cas où c ( q ) ca ( Q) + cc( Q) pour tous les, elle revent à partager le coût total au prorata des c ( q ). j 6 À ce sujet, vor Ransmeer (942) et Okada (98). 47

48 Morarty voyat les quatre avantages suvants à sa méthode : elle favorse la partcpaton à un projet commun dans la mesure où ce projet peut amener une réducton des coûts totaux. Chaque entté partcpe à la réducton des coûts totaux. Aucune entté n'est subventonnée par les autres. Elle ncte les enttés à chercher à mnmser le coût de fare cavaler seul. Il faut cependant noter que, s le coût de fare cavaler seul est une nformaton prvée, les enttés sont nctées à prétendre que ces coûts sont plus fables qu'ls ne le sont en réalté. La méthode de Morarty peut mputer à une entté une contrbuton nféreure à ca ( Q ), la parte du coût dont elle est drectement responsable. On peut donc mettre en doute le deuxème avantage que Morarty voyat à sa méthode, à savor qu'aucune entté n'est subventonnée. Tout dépend évdemment de ce que l'on entend par subventon. Il résulte de cette possblté que les autres enttés peuvent avor ntérêt à exclure l'entté subventonnée et à réalser seules le projet, même en supposant que cc( Q ) va rester nchangé après l'excluson. 7 Pour reméder à ce défaut de la méthode de Morarty, Louderback (976) a proposé de modfer cette dernère en posant xb = ca ( Q) et t = c ( q ) ca ( Q) dans (), ce qu donne : c( q) ca( Q) x = ca ( Q) + cc( Q) n j= ( cj( qj) caj( Q) ) Louderback suppose que c ( q ) ca ( Q), ce qu est assez réalste. Sa règle consste à mputer à chaque entté une contrbuton de base égale aux coûts qu peuvent lu être attrbués. On répartt ensute cc( Q ) selon un crtère qu donne d'autant plus de pods à une entté que son coût de fare cavaler seul est élevé par rapport aux coûts qu peuvent lu être attrbués drectement. On fat donc supporter une grande parte de cc( Q ) à ceux qu semblent gagner le 2 plus de la réalsaton conjonte du projet. Il n'exste plus de subventon d'une entté par une autre et aucun sous-ensemble d'enttés n'a ntérêt à exclure les autres du projet global. On pose x = ca ( Q) quand c ( q ) = ca ( Q). 7 C'est dans cette perspectve que Gangolly (98) a proposé une extenson de la méthode de Morarty au contexte où des sous-coaltons peuvent se former parm les enttés. 48

49 Balachandran et Ramakrshnan (98) ont proposé une varante à la méthode de Louderback. Comme dans cette dernère, on pose xb = ca ( Q) dans () mas t = w ca ( Q), d'où : w( q) ca( Q) x = ca ( Q) + cc( Q) n j= ( wj( qj) caj( Q) ) On peut observer que : c( q) ca( Q) s c( q) ca( Q) + cc( Q) w ca( Q) = cc( Q) s c( q) > ca( Q) + cc( Q) s ben que, s c ( q ) ca ( Q) + cc( Q) pour tout, cette méthode donne la même répartton que celle de Louderback. S, au contrare, c ( q ) > ca ( Q) + cc( Q) pour tout, elle donne x = ca( Q) + cc( Q). On pose x = ca( Q) quand w = ca( Q). n Les méthodes nsprées de la théore des jeux coopératfs Le pont de départ des méthodes présentées dans cette sous-secton est la théore des jeux coopératfs. Un jeu est une stuaton où pluseurs agents nteragssent ou collaborent entre eux. Beaucoup de comportements économques tombent dans cette catégore, au même ttre que les jeux proprement dts. L'objet de la théore des jeux est l'étude de ce genre de stuaton. On dstngue deux sortes de jeux : les jeux non-coopératfs et les jeux coopératfs. C est à ce derner type de jeu qu'on s'ntéresse. Un jeu coopératf met en relaton un ensemble de joueurs N. Ces joueurs peuvent former des coaltons plus ou mons grandes. Formellement, les coaltons possbles sont les sousensembles S de N. Les coaltons obtennent des gans qu résultent de la coopératon de leurs membres. La descrpton d'un jeu coopératf comprend donc une règle g qu défnt les gans gs ( ) que peuvent réalser les dfférentes coaltons S une fos formées. La théore des jeux coopératfs s'ntéresse aux réparttons,.e. au partage des gans entre les joueurs. 2 Le problème de la répartton des coûts communs peut être vu comme un jeu coopératf, appelé jeu de coût. Les enttés de l'ensemble N sont les joueurs. Ils peuvent, par la 49

50 coopératon, réalser des gans sous forme de réducton de coût. On peut cependant aborder ce jeu sous l'angle de la répartton des coûts plutôt que des gans. C'est l'approche adoptée c. Parm les règles de répartton proposées pour les jeux coopératfs, la plus fréquemment utlsée est celle qu'a défne Shapley (93), connue sous le nom de valeur de Shapley. C'est Shubk (962) qu a suggéré de l'applquer aux jeux de coût. Une autre contrbuton marquante de la théore des jeux coopératfs est celle de Aumann et Shapley (974). Ils proposent une généralsaton de la méthode Shapley-Shubk au cas où l y a une nfnté de joueurs (enttés), assocés à une nfnté de nveaux de producton possbles. La méthode Aumann-Shapley consste à mputer à chaque entté la somme (l'ntégrale) des coûts margnaux lés à sa demande le long du rayon qu va de l'orgne au pont qu représente la demande globale On peut magner d'autres types de senter le long desquels calculer et mputer des coûts margnaux ou ncrémentaux. Ces dfférents senters donnent leu à autant de méthodes de répartton de coûts. Par exemple, la règle Shapley-Shubk est une moyenne de somme de coûts ncrémentaux assocés à un déplacement le long de senters consttués de segments de drotes parallèles aux dfférents axes et allant de l'orgne au pont qu représente la demande globale. Les méthodes sont présentées dans un ordre qu correspond à des senters de plus en plus complexes. Comme la plupart des méthodes font ntervenr la noton de coût margnal ou ncrémental, on commence par la tarfcaton au coût margnal. On ntrodut ensute la méthode Aumann-Shapley. Elle est suve de la classe plus générale des méthodes de tarfcaton selon les coûts ncrémentaux le long d'un senter quelconque. La méthode Shapley-Shubk sut comme un autre cas partculer de cette catégore générale. La soussecton se termne avec la présentaton d'une autre méthode empruntée à la théore des jeux coopératfs, sot le nucléole, et avec le concept de cœur qu vent également de cette théore. Ce derner est avant tout une proprété des réparttons plutôt qu'une méthode de répartton strcto sensu. 0

51 La tarfcaton au coût margnal On connaît l'mportance que les économstes attachent à la tarfcaton au coût margnal. La dernère unté d'un ben ou servce devrat être vendue à un prx égal à la valeur des ressources supplémentares requses pour sa producton. C'est une règle qu dot être respectée pour maxmser le proft dans un contexte de concurrence parfate. C'est auss ce qu'exge l'utlsaton et la répartton effcace des ressources pour l'ensemble de la socété, pour autant que les coûts margnaux soent correctement défns. Ce mode de tarfcaton pose cependant problème pusqu'l donne généralement un surplus ou lasse un défct, sauf en cas de rendement à l'échelle constant. On examne d'abord l'applcaton de ce prncpe dans le contexte des demandes undmensonnelles. Étant donné un vecteur de demandes Q= ( q,..., q n ) et la foncton de coût C, le tarf untare applqué à chaque entté devrat être égal au coût margnal de sa demande,.e. au coût addtonnel qu'entraîne la dernère unté demandée, en supposant les demandes des autres fxes. Dans le cas où les demandes sont parfatement dvsbles et où la foncton C est dfférentable, le coût margnal est la dérvée partelle de C par rapport à son ème argument, évaluée en Q. On la note CQ ( ). La tarfcaton au coût margnal consste à demander le montant q C( Q) à l'entté. La même formule est valable pour les demandes multdmensonnelles mas CQ ( ) dot mantenant être nterprété comme le vecteur des dérvées partelles de C par rapport aux varables q,..., q m : ( ) CQ ( ) = CQ ( ),..., CQ ( ) m 2 Le terme q C( Q) est donc mantenant le produt scalare m q = Le terme q C( Q) peut s exprmer sous une autre forme. Pour un C( Q). nm Q + et une foncton C donnés, on défnt d'abord la foncton ˆ :[0,] n nm par : Q + Q ˆ( τ ) = ( τ q,..., τ q ) n n

52 Q ˆ( τ ) est un nouveau vecteur de demandes obtenu en rédusant proportonnellement chacune des demandes orgnales q par le facteur τ,.e. en multplant chaque vecteur q par le nombre τ. L'argument τ est le vecteur des τ. On défnt ensute la foncton C ˆ :[0,] par : ( ˆ ) Cˆ( τ) = C Q( τ) = C( τ q,..., τ q ) n n En toute rgueur, l faudrat écrre C ˆ( τ ; Q, C) pusque cette foncton dépend évdemment de Q et C. S les q sont des nombres réels (scalares), cette défnton revent smplement à changer les untés dans lesquelles les demandes sont exprmées pour des fractons des demandes orgnales. Avec des demandes multdmensonnelles, cela revent à se lmter à des changements proportonnels dans la demande de chaque agent. Il n'y a pas de perte de généralté pour autant pusque, en applquant la règle de dfférentaton en chaîne, on obtent : Cˆ( τ ) = q C ( τ q,..., τ q ) n n Avec cette nouvelle défnton, la tarfcaton au coût margnal consste à demander le montant ˆ(,...,) à l'entté. Cette formulaton peut sembler complexe mas l n en est ren. Elle est C partculèrement smple à applquer. Comme nous l avons sgnalé plus haut, ce mode de tarfcaton pose problème pusqu l donne en général un surplus ou lasse un défct, sauf en cas de rendement à l échelle constant. Il ne résout donc pas le problème de la répartton du coût total. On pourrat toujours le compléter avec une formule de répartton proportonnelle du défct ou du surplus qu'mplque ce mode de tarfcaton. Autrement dt on pourrat utlser une règle de la forme : t x ( Q, C) C(,...,) C( Q) Cˆ (,...,) n ˆ = + n j t j j j = = Il s'agt évdemment d une règle de la forme (). Il est cependant dffcle de donner une justfcaton théorque à une telle règle. Un autre chox possble, et peut-être plus naturel, est 2 t = Cˆ(,...,). Cela donne : 2

53 Cˆ(,...,) x ( Q, C) C(,...,) C( Q) Cˆ (,...,) n ˆ = + n j ˆ(,...,) j j jc = = Cˆ(,...,) C ( Q ) q = CQ ( ) = CQ ( ) n n Cˆ(,...,) C ( Q ) q j= j j= j j.e. la répartton proportonnelle aux coûts margnaux. Cette règle a été analysée par Wang (02). Nous montrons dans la secton 3.6 qu'elle peut être caractérsée par un ensemble restrent de proprétés, à la manère des règles qu suvent La tarfcaton à la Aumann-Shapley Aumann et Shapley (974) ont proposé une soluton élégante au problème du surplus ou du défct qu'mplque la tarfcaton au coût margnal. On consdère le vecteur ( λq,..., λ q n ) où λ est un nombre réel. En fasant varer λ de 0 à, on obtent une nfnté de telles sutes, toutes proportonnelles entre elles. On calcule ensute le coût margnal de chaque entté pour chaque demande ( λq,..., λ q n ),.e. pour chaque valeur de λ, et on fat la somme de ces coûts margnaux. En utlsant ces sommes comme tarfs untares, l n'y a n surplus n défct, du mons s'l n'y a pas de coûts fxes. En termes mathématques, la somme de ces coûts margnaux est défne par leur ntégrale entre 0 et. En multplant cette ntégrale pour l'entté par la demande q, on obtent la part des coûts totaux mputée à l'entté. Formellement, on a donc : 0 x ( QC, ) = q C( λqd ) λ () Cette ntégrale est en fat la somme des coûts margnaux le long du rayon qu va de l'orgne au pont Q dans l'espace des demandes. Dans le cas des demandes undmensonnelles pour un ben prvé, cette règle est celle de la tarfcaton au coût moyen. 8 8 n On a en effet C( λq,..., λq ) = c ( λ q ) n pour tout, d où : j = j n n q q q C( λq) dλ = qc λ q dλ = c q = C( Q) q 0 0 j n j n j= q j= j= j j= j 3

54 La formule () est également valable pour des demandes multdmensonnelles. Il s'agt d'nterpréter q C comme un produt scalare. Comme pour les coûts margnaux, on peut mettre la formule () sous la forme équvalente : x ( QC, ) = Cˆ ( λ,..., λ) dλ 0 L'nterprétaton de la formule sous cette forme est ntéressante. Non seulement les demandes de toutes les enttés sont-elles rédutes de façon proportonnelle dans le processus d'ntégraton mas, par défnton de Ĉ, le coût margnal de chaque entté est lu-même défn par rapport à des changements proportonnels de tous les éléments de sa demande. La méthode Aumann-Shapley a été généralsée par Mrman, Samet et Tauman (983) au cas où l y a un coût fxe (CF) à partager, le coût total étant alors la somme de ce coût fxe et du coût varable (CV). La méthode Aumann-Shapley ne procède qu'au partage de CV. On a donc : n CV = Cˆ( λ,..., λ ) dλ = 0 La généralsaton proposée par Mrman, Samet et Tauman (983) consste à répartr CF proportonnellement aux C ˆ( λ,..., λ ) dλ. La formule exacte s'écrt : 0 CF x (, ) ˆ QC = + (,..., ) 0 Cλ λ dλ CV La méthode Aumann-Shapley consste à fare la somme (prendre l'ntégrale) des coûts margnaux le long du rayon qu va de l'orgne au pont Q dans l'espace des demandes. On pourrat cependant fare cette somme le long d'un autre senter, ce qu donnerat une répartton dfférente. On peut même magner de travaller le long d'un senter dscret (ou lnéare par morceau), ce qu est d'alleurs la seule façon de procéder lorsque les quanttés demandées sont ndvsbles La méthode Shapley-Shubk 2 Supposons que la demande totale de l'entté dove être satsfate avant celle de l'entté 2 et cette dernère avant celle de l'entté 3, etc. Supposons également qu'on convenne de fare 4

55 supporter à l'entté la totalté du coût de sa demande, sot c ( q ), et à l'entté 2 le coût supplémentare qu'entraîne l'adjoncton de sa demande à celle de l'entté, sot Cq (, q,0,...,0) c( q). De façon smlare, l'entté 3 devra supporter 2 Cq (, q, q,0,...,0) Cq (, q,0,...,0) et ans de sute L'ordre d'apparton des enttés est évdemment mportant. Certanes enttés pourraent donc contester l'ordre chos. Shapley (93) a apporté une réponse élégante à ce conflt. Elle consste à supposer que l'ordre dans lequel les enttés se jognent à une coalton et l'ordre dans lequel les coaltons se forment est aléatore, avec des chances égales d'arrver premer, deuxème, etc. S, pour un ordre d'arrvée donné, chacun se vot mputer un montant égal au coût ncrémental qu'l mpose à la coalton à laquelle l se jont, chacun est alors en mesure de calculer, ex ante, l'espérance du coût qu lu sera mputé. La répartton qu consste à mputer aux dfférentes enttés un montant égal à cette espérance, autrement dt la moyenne de ces coûts ncrémentaux, est appelée valeur de Shapley. 9 On donne le nom de Shapley-Shubk à cette méthode parce que c'est Shubk qu a proposé de l'applquer à la répartton des coûts. Avec tros enttés, l y a sx ordres d'arrvée possbles représentés par autant de sutes : (, 2,3), (,3, 2), (2,,3), (3,, 2), (2,3,), (3, 2,) La probablté est donc 3 que l'entté entre en premer dans le consortum, 6 qu'elle entre en deuxème derrère l'entté 2, 6 qu'elle entre encore en deuxème mas derrère l'entté 3 et 3 qu'elle arrve enfn en trosème, l'ordre dans lequel arrvent les deux autres enttés n'ayant alors aucune mportance. 2 S Pour défnr la méthode Shapley-Shubk, l est commode de poser cs ˆ( ) = CQ ( ). Rappelonsnous que S Q est le vecteur Q dans lequel toutes les demandes autres que celle des enttés de S 9 Strcto sensu, ce que dot payer le joueur est la valeur de Shapley du jeu pour ce joueur.

56 sont ramenées à 0. La foncton ĉ est défne pour tous les sous-ensembles d'enttés. On a en partculer cˆ({ }) = cq. Cette foncton s'entend pour une demande Q donnée. Elle défnt ce qu'on appelle un jeu de coût. Pour le cas de tros alternatves, la méthode Shapley-Shubk est défne par : x = cˆ({}) + cˆ({, 2}) cˆ({2}) + cˆ({, 3}) cˆ({3}) + cˆ({, 2, 3}) cˆ({2, 3}) x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = c({2}) + c({, 2}) c({}) + c({2, 3}) c({3}) + c({, 2, 3}) c({, 3}) x ˆ = c({3}) + [ cˆ({,3}) cˆ({}) ] + cˆ({2,3}) cˆ( {2}) ˆ ({, 2, 3}) ˆ ({, 2}) c c [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] On vérfe que x + x 2 + x 3 = cˆ( N) = C( Q). De façon plus générale, la répartton par la valeur de Shapley est défne par : S \{}! N \ S! x = cs ˆ cs ˆ N! S N [ ( ) ( \{}) ] où S représente le nombre d'éléments dans S. Certans voent ce mode de répartton comme celu qu pourrat résulter d'une négocaton entre les enttés. Bddle et Stenberg (98) en parlent comme d'un costless surrogate for the allocaton that would be obtaned through barganng. Une varante consste à admettre que certanes enttés ont une stature telle que les ordres d'entrée dans le consortum ne sont pas équprobables. Certanes enttés devraent en fare parte avant même que d'autres pussent jondre le consortum, ce qu permettrat de représenter leurs pouvors de négocaton respectfs. 2 On pourrat auss applquer la valeur de Shapley à la répartton des bénéfces trés de la coopératon,.e. aux coûts épargnés, plutôt qu'aux coûts. Les résultats ne seraent pas nécessarement les mêmes. 6

57 S'l y a un coût fxe, on peut le trater de deux façons. La premère consste à l'nclure dans chacun des cs ˆ( ), ce qu revent à le répartr de façon égaltare entre toutes les enttés. La deuxème consste à applquer la méthode Shapley-Shubk aux seuls coûts varables et à répartr le coût fxe selon une règle quelconque, par exemple dans les mêmes proportons que les coûts varables, comme cela a été proposé par Mrman, Samet et Tauman (983) pour la méthode Aumann-Shapley Le nucléole Un autre concept emprunté à la théore des jeux coopératfs est celu de nucléole. L'dée derrère ce concept est de chercher à maxmser le ben-être de la mons heureuse des coaltons. Étant donné une répartton x = ( x,..., x n ) et un sous-ensemble S non-vde de N et dfférent de N, on défnt l'excédent de la coalton S avec la répartton x par : exs (, ) cs ˆ( ) x = Le nombre exs (, ) est ce que gagne la coalton S s elle accepte la répartton x plutôt que de S répondre elle-même aux besons de ses membres. On désgne ensute par ex ( ) le vecteur des (2 n 2) valeurs de exs (, ) pour S N, ordonnées de la plus pette à la plus grande. Le nucléole est défn comme l'unque répartton x qu maxmse lexcographquement ex ( ) : ex ( ) ex ( ) pour toute répartton x où désgne la relaton «nféreure ou égale à au sens lexcographque». Autrement dt, x est la répartton qu maxmse le plus pett gan d'une coalton, de même que le deuxème En toute rgueur, on devrat parler de pré-nucléole, le terme nucléole étant normalement réservé aux réparttons qu satsfont x c({ }), une restrcton qu'on n'mpose pas. Un vecteur e = ( e,..., e ) m est lexcographquement nféreur à un autre d = ( d,..., d ) m s la premère composante de e dfférente de la composante correspondante de d est plus pette que cette dernère. Par exemple, (3,,9) est lexcographquement plus pett que (3,2,). 7

58 plus pett gan, le trosème, etc. C'est auss le pont central, au sens géométrque, de l'ensemble des réparttons possbles. Il exste autant de varantes du nucléole que de façons de défnr l'excédent d'une coalton. Certans ont proposé de travaller avec l'excédent per capta,.e. : cs ˆ( ) exs (, ) = S S x On obtent alors le nucléole per capta ou le nucléole normalsé Le cœur (noyau) Le cœur n'est pas en so une méthode de répartton. Il détermne plutôt un ensemble de réparttons des coûts, qu peut d'alleurs être vde. Il s'agt des réparttons qu'aucune coalton ou sous-ensemble d'enttés ne peut contester sous prétexte qu'elles mputeraent à ses membres une charge supéreure au coût auquel la coalton en queston pourrat seule satsfare aux demandes de ses membres. Plus précsément, c'est l'ensemble des réparttons qu satsfont les deux condtons suvantes : S S x cs ˆ( ), pour tout sous-ensemble Sde N x = cˆ( N) La premère condton spécfe que, quelle que sot la coalton S, la somme des coûts attrbués à ses membres ne peut dépasser le coût total cs ˆ( ) auquel cette coalton dot fare face s elle décde de se passer des autres. La deuxème condton stpule que la somme des coûts attrbués à toutes les enttés dot couvrr exactement le coût total de produre l'ensemble des demandes. Cela lasse supposer que c'est la grande coalton qu va se former. On peut défnr le cœur, de façon équvalente, comme l'ensemble des réparttons qu satsfont les condtons : S S x cn ˆ( ) cn ˆ( \ S), pour tout sous-ensemble Sde N x = cˆ( N) 8

59 Sous cette forme, chaque coalton se vot mputer un montant au mons auss élevé que le coût supplémentare qu'elle mpose à la coalton complémentare N \ S lorsqu'elle la rejont pour former la grande coalton N. S ce n'état pas le cas, les membres de la coalton N \ S verseraent un subsde aux membres de la coalton S, d'où une objecton possble de leur part. Il se peut que les condtons qu défnssent le cœur soent mutuellement ncompatbles. Le cœur est alors vde. Il exste des condtons sur les fonctons de coût qu garantssent l'exstence du cœur. Lorsqu'l exste, l peut par contre être très grand. Le cœur est davantage une proprété désrable des dverses méthodes de répartton. Une répartton se trouve ou non dans le cœur. Le fat d'appartenr au cœur confère à une répartton un caractère de crédblté non néglgeable. Par exemple, le nucléole appartent au cœur lorsque celu-c exste. La valeur de Shapley appartent au cœur pour les jeux de coûts concaves,.e. ceux où les coûts ncrémentaux de jondre un sous-ensemble d'enttés décroît à mesure que ce sous-ensemble augmente en talle. Autrement, l'appartenance au cœur n'est pas garante La répartton séquentelle La méthode de répartton séquentelle a été conçue à l'orgne pour le cas des demandes portant sur un seul ben prvé. On va commencer par présenter la méthode dans ce contexte plus smple. On l'étendra ensute au contexte plus général décrt dans la sous-secton Le cas des demandes undmensonnelles Les demandes des n enttés sont données par des nombres q, =,..., n. On suppose q q2... qn. Typquement, avec les méthodes de ce type, toutes les enttés se voent 2 mputer une part égale du coût d'un projet ou d'une capacté tout juste suffsante pour répondre aux besons de n enttés ayant une demande dentque à la plus pette des demandes, celle de l'entté c. Ensute, les n autres enttés se voent mputer, en plus, une part égale de l'accrossement de coût qu'entraînerat un accrossement de capacté suffsant pour répondre à des demandes de leur part qu seraent toutes égales à celle de l'entté 2. On 9

60 contnue ans à mputer les coûts assocés à des accrossements de capacté nécesstés par des demandes de plus en plus grandes jusqu'à l'entté n. Dans le cas où les coûts ncrémentaux crossent avec l'ampleur des demandes, on évte ans que les enttés ayant des demandes plus fables se voent mputer des coûts relés aux externaltés mposées par ceux qu ont des demandes plus fortes. À l'nverse, s les coûts ncrémentaux dmnuent avec l'ampleur des demandes, on évte que les enttés ayant des demandes plus fables proftent des externaltés amenées par ceux qu ont des demandes plus grandes. Pour décrre cette méthode de façon formelle, on ntrodut des sutes de demande ntermédare Q, =,..., n de même dmenson que Q= ( q,..., q n ). Elles sont défnes par : Autrement dt : q { q q } = mn, j j Q = ( q,..., q, q, q,..., q) n fos Les premers éléments de Q sont ceux de Q. Les n autres sont tous remplacés par q. Il ne faut pas confondre Q avec {} Q. On a évdemment méthode de répartton séquentelle est défne par : { n} Q = Q et on pose 0 Q = (0,...,0). La La formule générale est : CQ ( ) x ( Q, C) = n CQ x2( Q, C) = x( Q, C) + n CQ x3( Q, C) = x2( Q, C) + n 2 2 ( ) CQ ( ) 3 3 ( ) CQ ( ) n n(, ) = n (, ) + ( ) ( ) x QC x QC CQ CQ j j CQ ( ) CQ ( ) x ( QC, ) =, =,..., n (6) n+ j j= 60

61 Cette méthode satsfat : n x ( QC, ) = CQ ( ). De plus x x 2... xn. À noter que, s'l y a = un coût fxe, cette méthode le répartt également entre toutes les enttés dont la demande est postve. Ce coût fxe est en effet comprs dans le premer CQ ( j ) postf Le cas des demandes multdmensonnelles On peut envsager une généralsaton de la méthode présentée au paragraphe précédent au cas des demandes multdmensonnelles. L'approche présentée c a été ntée par Koster et al. (998) pour le cas de pluseurs bens homogènes et par Sprumont (998) pour les bens hétérogènes. Téjédo et Truchon (00) généralsent la méthode au contexte plus général envsagé c. Un premer problème qu se présente dans cette démarche est celu d'ordonner des demandes qu ne sont peut-être pas comparables. La soluton adoptée consste à ordonner les demandes en termes des coûts qu'entraînerat leur réalsaton ndépendante : c ( q ) c ( q )... c ( q ) (7) 2 2 Dans le cas undmensonnel, l'ordre q q2... qn est équvalent à celu établ en (7). n n Avec des demandes multdmensonnelles, se pose auss le problème de la constructon des demandes ntermédares Q. Elle ne peuvent évdemment pas l'être comme pour les demandes undmensonnelles pusque qu'elles peuvent porter sur des bens dfférents. Cependant, dans le cas undmensonnel, Q est défn de manère à ce que : c ( q ) = c ( q ) =... = c ( q ) (8) 2 2 n n 2 Q de manère à ce que : etc. Autrement dt, c ( q ) = c ( q ) =... = c ( q ) (9) n n Q est défn de manère à ce que le coût de fare cavaler seul sot le 2 même pour tous, 2 Q de manère à ce que le coût de fare cavaler seul sot le même pour les enttés 2 à n, etc. C'est ce qu est fondamental. 6

62 Pour construre Q, l s'agt donc de rédure les demandes des enttés 2 à n jusqu'à ce que leur coût de fare cavaler seul sot le même que pour l'entté et ans de sute. Il y a cependant pluseurs façons de rédure la demande d'une entté. Ic, on se lmte aux réductons proportonnelles,.e. le long d'un rayon. Téjédo et Truchon (02) envsagent des réductons le long de senters plus généraux. De façon précse, on défnt : ( τ,..., τn n) Q = q q où τ = et où τ sont les solutons des équatons : c ( τ q ) = c ( q ), = 2,..., n De façon smlare, des équatons : Q = ( τ q,..., τ q ) où τ 2 = τ 2 = et où les autres τ 2 sont les solutons n n 2 c ( τ q ) = c ( q ), = 3,..., n 2 2 et ans de sute jusqu'à n-. Comme dans le cas undmensonnel, on a n Q = Q. Il s'agt j ensute de calculer les CQ ( ), j=,..., net de les utlser dans les fonctons x défnes en (6). Confronté à la dversté des règles de répartton à dsposton la tentaton pourrat être forte de chosr une méthode sur la base d'un seul ou même de pluseurs exemples ou sur la base des réparttons qu'elle peut donner dans une stuaton partculère. C'est malheureusement trop souvent la façon de fare. Il en résulte névtablement des frustratons et des conflts. C'est souvent les cas lorsqu'arrvent de nouveaux partenares ou que le contexte change de toute autre manère. 2 Idéalement, l faudrat chosr une méthode sur la base de ses proprétés, avant même de connaître les résultats qu'elle peut donner, un peu comme un pays se dote d'une consttuton sans connaître toutes les répercussons qu'elle aura sur les ctoyens actuels et à venr. Dans les sectons qu suvent, on cherche à départager les méthodes de partage de coûts sur la base des proprétés ou prncpes qu'elles peuvent ou non satsfare. On verra que certanes méthodes peuvent être caractérsées comme étant les seules à satsfare à un certan sous-ensemble de proprétés. 62

63 3.3 Les grands prncpes Comme l avons affrmé plus tôt dans le rapport, le chox d une méthode de partage des coûts communs devrat se fare sur la base de ses proprétés par rapport aux proprétés des méthodes alternatves. En effet, l est en général contre-ndqué de chosr une méthode sur la smple base d un seul ou même de quelques exemples, comme le font tradtonnellement les organsatons ou consortums, à la sute de longues et dffcles négocatons entre les partes, chacune prvlégant évdemment la méthode qu lu est la plus favorable. Il est beaucoup plus smple et logque d dentfer une méthode parm l ensemble des méthodes possbles sur la base des proprétés de ces méthodes avant même de connaître les résultats qu elles peuvent donner dans des applcatons concrètes. Notons que même s l est plus smple de s accorder sur des proprétés (en nombre fn) que sur des réparttons (en nombre nfn), l peut paraître possble de smplfer encore le problème du chox de la méthode de partage des coûts en fondant le chox sur des prncpes plutôt que sur des proprétés. Comme nous le verrons plus lon dans le rapport cette tentatve de smplfcaton n est pas sans poser problèmes. En effet, pluseurs grands prncpes peuvent être assocés à une même proprété. Cet aspect du problème sera dscuté dans la secton 3.. Il n en demeure pas mons qu l est ntéressant de s attarder sur les prncpes qu sous-tendent les proprétés des méthodes de partage de coûts. Au sen de cette étude tros de ces prncpes ont retenu notre attenton : l équté, la cohérence et l effcacté/effcence L équté, la cohérence et l effcacté/effcence, sont des concepts centraux dans le domane du partage des coûts et de la tarfcaton. L effcacté se justfe par la recherche de crtères ratonnels de performance lors de la défnton et de la mse en œuvre du partage des coûts et de la tarfcaton. L équté et la cohérence peuvent être consdérées comme des contrantes qu dovent être vérfées pour garantr le succès d une nouvelle pratque tarfare. De nombreux autres prncpes pourront être dscutés lors de rencontre avec le partenare (à ttre d exemple, les prncpes de légalté ou de transparence). 63

64 3.3. L équté Dans son accepton générale, le terme «équté» désgne la qualté de ce qu est juste et mpartal. Le problème avec le sentment d équté est que la percepton qu en ont les consommateurs en est très subjectve. Une dfférence est parfos vue comme légtme, parfos comme llégtme, quelle que sot son objectvté. Cela résulte de la dversté des défntons possbles de l équté. La percepton des négaltés fat en effet appel à des mécansmes complexes de comparason, foncton des négaltés objectves mas auss de nombreuses autres varables. L équté est un mot normatf et, contrarement à l égalté qu qualfe, sans jugement de valeur, une dstrbuton, l équté suppose un jugement. Enfn, soulgnons le fat que ben que les concepts d équté ne soent n bons, n mauvas, les méthodes utlsées pour le suv et la poursute de l équté peuvent s avérer plus ou mons cohérentes (Mooney (994)) et générer des dstorsons par rapport à la soluton optmale. Notons que ben qu l n y at pas de crtère unversel permettant d évaluer l équté, le consensus général veut que celle-c progresse chaque fos que l on rédut les négaltés extrêmes. Dans le cadre de ce projet, la soluton extrême qu consste à attrbuer l ensemble des coûts à un seul et unque groupe de consommateurs peut être consdérée comme néqutable. Sommes-nous ben plus avancés? Non car on ne s entend cependant guère sur ce que serat exactement une répartton équtable. Le contexte nous apparaît donc prmordal pour défnr ce prncpe. 2 Compte tenu des quelques nformatons dont nous dsposons nous rédusons le prncpe d équté au concept d équté horzontale défn c-dessous. Le concept d équté vertcale, également défn dans le paragraphe suvant, tradut l dée d une redstrbuton et ne sera qu effleuré dans ce rapport. En effet, les méthodes de partage de coûts sont d abord et avant tout un outl de répartton des coûts et non de redstrbuton. 2 L aspect redstrbutf ne vent qu une fos la méthode de partage des coûts mplémentée et unquement s la soluton obtenue 2 Notons qu l est possble d assocer une certane forme d équté à certanes méthodes : le nucléole par exemple mnmse la contrbuton du plus fable. Il n en demeure pas mons que ce n est pas cet aspect du nucléole qu dot condure à sa sélecton lors du partage des coûts mas ben les proprétés qu l vérfe. 64

65 s avère dffclement applcable. Dans ce cas on tentera de la rendre acceptable en mnmsant certanes dstorsons par rapport à la soluton «premère». 3 L équté horzontale est un prncpe qu établt que ceux qu sont dans des condtons dentques ou smlares dovent payer un nveau équvalent de taxe ou dovent recevor la même part des avantages. Adaptée au contexte décrt dans la parte 2, l équté horzontale se tradura par des contrbutons dentques pour des clents «smlares». Nous dscernerons autant de concept d équté horzontale qu l exste de sgnfcatons du terme «smlare». L équté vertcale est un prncpe qu dt que ceux qu sont dans des crconstances dfférentes eues égard aux consdératons d équté dovent être tratés de façon dfférente. Adaptée au contexte décrt dans la parte 2, l équté vertcale se tradura par des contrbutons dfférentes de clents pouvant être consdérés comme smlares, du pont de vue par exemple des coûts de fare cavaler seul ou de la demande, mas étant dans des stuatons dfférentes La cohérence La cohérence est un prncpe qu garantt que le partage des coûts se fera de manère harmoneuse, logque, c est-à-dre exempt de toute sorte de contradcton mutats mutands. À ttre d exemple on peut souhater qu une règle de partage des coûts donne les mêmes résultats, peu mporte les untés de mesure qu sont utlsées ou peut mporte qu on l applque séparément à dvers éléments de coût ou globalement à l ensemble des coûts ou encore qu on l applque séparément à certanes enttés ou à l ensemble des enttés L effcacté 2 Le prncpe d effcacté peut, au même ttre que le prncpe d équté, souffrr de multples défntons. L effcacté est le rapport entre les résultats obtenus et les objectfs vsés. Il ne faut pas confondre l'effcacté avec l'effcence qu est le rapport entre les résultats obtenus et 3 La soluton premère est c celle qu a été obtenue par la méthode de partage des coûts chose au départ par l ensemble des enttés. 6

66 les ressources utlsées pour les attendre. Ans, une méthode de partage de coûts est effcace s elle permet de réalser entèrement l'objectf ntal et elle est effcente s un mnmum de ressources sont utlsées pour l'attente de cet objectf. Dans le cadre de ce premer rapport nous ne connassons pas les objectfs vsés par Gaz de France du fat de son statut de Socété Anonyme soumse à une msson de servce publc. Il nous est donc dffcle de défnr plenement le prncpe d effcacté. Notons que d autres prncpes peuvent être «assocés» à l effcacté : la partcpaton et l nctaton en sont deux exemples. Dans le cadre du projet MECONG, le caher des charges stpule que le prncpe d nctaton consste à mnmser le rsque de départ de la clentèle à la concurrence. Compte tenu des nformatons dont nous dsposons nous ne pouvons que rédure le prncpe d effcacté à celu de l nctaton. Cette smplfcaton ne résout cependant pas le problème pusque la connassance de la concurrence est une condton sans laquelle nous ne pourrons pas travaller concrètement sur ce prncpe. 3.4 Les proprétés 2 Une méthode peut produre des résultats satsfasants dans un contexte partculer mas elle peut donner des aberratons lorsque ce contexte vent à changer (arrvée d'un nouveau partenare, changements dans les besons, les coûts, etc.). Idéalement, l faudrat fare le chox d'une méthode sur la base de ses proprétés, avant même de connaître les résultats qu'elle peut donner. Auss, est-l mportant de chercher à départager les méthodes de répartton des coûts sur la base de proprétés générales qu'elles peuvent ou non satsfare. L objectf de cette secton est de dresser une lste relatvement exhaustve des prncpales proprétés qu peuvent s avérer ntéressante dans le cadre du projet MECONG. Rappelons qu'un problème de partage de coûts est défn par le vecteur des demandes de n enttés, Q= ( q,..., q n ), où les composantes q peuvent également être des vecteurs, et par une foncton C qu donne le coût CQ ( ) de satsfare à la demande Q. Une règle de partage 66

67 de coûts est une foncton x qu, pour toute demande Q et toute foncton de coût C, spécfe la part du coût CQ ( ) supportée par les dfférentes enttés. On note x ( QC, ) la charge mputée à l'entté et x( QC, ) le vecteur de ces dernères. On représente la demande d'un sous-ensemble S d'enttés par S Q, qu est le vecteur Q dans lequel toutes les demandes, autres que celle des enttés de S, sont ramenées à 0. Le coût de S satsfare unquement aux demandes des enttés de S est donc CQ ( ). Comme cas partculer, on a {} ( ) CQ, qu est le coût de fare cavaler seul. On pose également {} ( ) C( Q ) c q = pour chaque entté. On présente c 29 proprétés regroupées en sept catégores qu font l'objet d'autant de soussectons. Un exemple llustre chacune de ces proprétés Le tratement égaltare des équvalents Le mnmum qu'on pusse demander à une règle de partage de coûts, c'est qu'elle trate de la même façon les enttés qu ont des demandes comparables et en partculer des demandes dentques. C'est ce qu'exge la condton (TEE) c-dessous. De manère plus générale, la comparason entre les demandes de deux enttés pose problème lorsqu'elles portent sur des bens ou caractérstques dfférentes. Toutefos, on peut consdérer ces demandes comme étant suffsamment smlares s les quanttés demandées sont les mêmes et s on peut nterchanger les demandes des deux enttés sans changer le coût total. C'est le cas lorsque la foncton de coût est symétrque par rapport aux demandes des deux enttés. De façon précse, la foncton C est symétrque par rapport aux demandes de deux enttés et j s CQ ( ) = CQ ( j ) pour toute demande Q et la demande Q j obtenue en nterchangeant smplement q et q j dans Q. La 2 condton (S), plus forte que (TEE), exge que de telles demandes soent également tratées de la même façon. Fnalement, on peut consdérer des demandes comme étant équvalentes s elles satsfont un même crtère (le coût de fare cavaler seul par exemple). La condton (TE), plus forte que les deux autres, exge que des demandes ayant le même coût de fare cavaler seul soent également tratées de la même façon. Une dernère condton va plus lon. Elle 67

68 requert que les contrbutons exgées des enttés allent dans le sens de leurs coûts de fare cavaler seul. Tratement égaltare des égaux (TEE) Cette proprété dt que, s les bens sont homogènes et s deux enttés demandent les mêmes quanttés de ce ben, elles devraent se vor mputer la même part des coûts totaux. De façon formelle, q = qj devrat entraîner x( QC, ) = xj( QC, ). Exemple : sot le problème de partage de coûts à 3 enttés dont la foncton de coût est : 2 : : ( ) 4 4 ( ) 2 C C Q = + + Q = + q + q + q 2 3 Supposons que Q = (,, 2) et donc que CQ ( ) =. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges xqc (, ) = (4, 4,2) vérfe la proprété (TEE) pour le vecteur de demande Q. En effet, les enttés et 2 qu ont des demandes dentques q = = se voent mputer la même charge x( Q, C) = x2( Q, C) = 4. q2 Symétre (S) Une règle de partage de coûts satsfat à la symétre s q = q entraîne j x ( QC, ) = x( QC, ), lorsque la foncton C est symétrque par rapport aux demandes des j enttés et j. Cette proprété est en fat un cas partculer de (TE). Exemple : sot le problème de partage de coûts à 3 enttés dont la foncton de coût est : 3 : : ( ) C C Q = q + + q + qq + q Cette foncton est symétrque par rapport aux demandes des enttés et 2. Supposons que Q = (3,3, 6) et donc que CQ ( ) = 2. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges xqc (, ) = (,,) vérfe la proprété (S) pour le vecteur de demande Q. En effet, les enttés et 2 qu ont des demandes dentques q = q 2 = 3 se voent mputer la même charge x ( Q, C) = x 2 ( Q, C) = car la foncton de coût est 2 symétrque rapport aux demandes de ces enttés. Tratement égaltare des équvalents (TE) Cette proprété dt que, s deux enttés ont des coûts de fare cavaler seul dentques, elles devraent se vor mputer la même part des coûts totaux. De façon formelle, c ( q ) = c ( q ) devrat entraîner x ( QC, ) = x( QC, ). j j j 68

69 Exemple : sot le problème de partage de coûts à 3 enttés dont la foncton de coût est : 3 : : ( ) C C Q = + + qq + q 2 3 À partr de cette foncton, on a c ( q ) = c 2 ( q 2 ) =. Supposons que Q = (,3, 4) et donc que CQ ( ) = 2. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges x( Q, C ) = (3,3,6) vérfe la proprété (TE) pour le vecteur de demande Q. En effet, les enttés et 2 qu ont les mêmes coûts de fare cavaler seul se voent mputer la même charge x( Q, C) = x2( Q, C) = 3. Préservaton des rangs (RG) Selon cette proprété, les contrbutons relatves aux coûts totaux des dfférentes enttés devraent aller dans le sens de leurs coûts de fare cavaler seul. De façon formelle, c ( q ) c ( q ) devrat entraîner x ( QC, ) x( QC, ). j j j Exemple : sot le problème de partage de coûts à 3 enttés dont la foncton de coût est : 3 : : ( ) C C Q = + + qq + q + q À partr de cette foncton, on a c ( q ) =, c 2 ( q 2 ) = + q 2 et c 3 ( q 3 ) = + q 3. Supposons que Q = (,3, 4) et donc que CQ ( ) =. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges xqc (, ) = (2,6,7) vérfe la proprété (TE) pour le vecteur de demande Q. En effet, les charges mputées aux tros enttés x ( Q, C) = 2 x ( Q, C) = 6 x ( Q, C) = 7 sont ordonnées de la même manère que coûts 2 2 de fare cavaler seul c( q) = c2( q2) = c3( q3) = 2. Remarque La proprété (RG) mplque (TE), qu mplque (S), qu mplque (TEE) Le prncpe séquentel 2 Dans certanes stuatons, on peut se préoccuper de l'mpact des demandes mportantes sur les contrbutons des enttés dont les demandes sont plus fables. Par exemple, s'agssant de partager le coût d'un embranchement router menant à dfférents stes en forêt, les tenants des stes les plus rapprochés de la route prncpale peuvent souhater ne pas être à la merc de ceux qu pourraent aller s'nstaller plus lon. A l'nverse, dans un projet où les économes d'échelle 69

70 sont mportantes, une entté ayant de gros besons peut souhater que ce ne sot pas les pettes qu proftent, à ses dépens, des économes d'échelle dont elle est responsable. Les proprétés qu sont présentées dans cette sous-secton stpulent l'nvarance des contrbutons exgées des petts par rapport à l'ampleur des plus grandes demandes. Elles sont à la base des règles de répartton séquentelle. La premère de ces proprétés est énoncée drectement en termes de l'ampleur des demandes, telles que mesurées par les quanttés demandées. Cette défnton a du sens dans le contexte où les enttés exgent un même ben prvé et où elles peuvent être ordonnées en termes des quanttés demandées. Dans un contexte plus général, les quanttés demandées ne sont pas nécessarement comparables entre elles. Comment ordonner les enttés dans un tel contexte? La réponse de Sprumont (998) à cette queston est d'ordonner les enttés par rapport aux contrbutons exgées d'elles selon la règle de partage envsagée. Cela donne leu au prncpe séquentel. Dans un contexte général où les demandes peuvent prendre toutes sortes de formes, le prncpe séquentel est très exgeant. On peut l'affablr et exger seulement que les contrbutons des petts ne changent pas dans l'éventualté où les plus gros augmentent leurs demandes de façon proportonnelle. En résulte alors le prncpe séquentel radal. Insensblté à l'ampleur des plus grandes demandes (PG) Cette proprété exge que la contrbuton d'une entté ne sot pas affectée par l'ampleur des demandes plus grandes que la senne. Une entté ne devrat pas subr les externaltés assocées à ces plus grandes demandes, ou en profter selon le cas. On la défnt formellement comme sut. Sot une entté et deux demandes Q et Q telles que : q = q pour j = et pour tout j tel que qj < q, j j 2 q q pour tout j tel que q j j q. j On devrat alors avor x ( QC, ) = x( Q, C). Exemple : supposons dans un premer temps que, lors d un problème de partage de coûts à 3 enttés, le vecteur de demande sot de la forme Q = (, 3, 4). Dans un second temps, 30 l entté 3 accroît sa demande. Supposons qu on obtenne alors le vecteur de demande Q = (,3, 6). À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges 70

71 xqc (, ) = (3,,9) et xq (, C) = (3,,3) vérfe la proprété (PG) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, les contrbutons des enttés et 2 ne sont pas affectées par l accrossement de la demande de l entté 3 : x( Q, C) = x( Q', C) = 3 et x ( Q, C) = x ( Q', C) =. 2 2 Prncpe séquentel (PS) Il s'agt d'une verson plus forte de la proprété précédente. Elle dt que la contrbuton d'une entté ne devrat pas être affectée par l'ampleur des demandes des enttés dont les contrbutons sont plus élevées que la senne. On la défnt formellement comme sut. Sot une entté et deux demandes Q et Q telles que : q = q pour tout j = et pour tout j tel que x ( QC, ) < x( QC, ), j j j q q pour tout j tel que x ( QC, ) x( QC, ). j j On devrat alors avor x ( QC, ) = x( Q, C). j Exemple : supposons dans un premer temps que, lors d un problème de partage de coûts à 4 enttés, le vecteur de demande sot de la forme Q = (,3,,7). Dans un second temps, l entté 3 accroît sa demande. Supposons qu on obtenne le vecteur de demande Q ' = (,3,,9). À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges xqc (, ) = (2,, 4,7) et xq (, C) = (2,, 4,) vérfe la proprété (PS) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, les contrbutons des enttés à 3 ne sont pas affectées par l ampleur des demandes des enttés dont les contrbutons sont plus élevées que les leurs. 2 Prncpe séquentel radal (PSR) Il s'agt d'une verson plus fable de la proprété précédente. Elle dt que la contrbuton d'une entté ne devrat pas être affectée par une augmentaton proportonnelle des demandes des enttés dont les contrbutons sont plus élevées que la senne. On la défnt formellement comme sut. Sot une entté et deux demandes Q et Q telles que : = pour tout j = et pour tout j tel que x ( QC, ) < x( QC, ), qj qj q = β q avec β pour tout j tel que x ( QC, ) x( QC, ). j j j j j j 7

72 On devrat alors avor x ( QC, ) = x( Q, C). Exemple : sot un problème de partage de coûts à 4 enttés portant sur des demandes bdmensonnelles. Supposons dans un premer temps que le vecteur de demande sot de la forme Q = ((,2),(2,),(,3),(3,6)). Dans un second temps, l entté 3 trple sa demande tands que l entté 4 double la senne. On obtent le vecteur de demande Q ' = ((, 2),(2,),(3,9),(6,2)). À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges xqc (, ) = (2,,,9) et xq (, C) = (2,,8,) vérfe la proprété (PSR) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, les contrbutons des enttés et 2 ne sont pas affectées par l ampleur des demandes des enttés dont les contrbutons sont plus élevées que les leurs Le tratement des enttés néglgeables Les proprétés de cette sous-secton consttuent une sute naturelle au prncpe séquentel. On pourrat avor de séreux doutes sur une règle qu mputerat une part de coûts postve à une entté qu aurat une demande nulle. Une des proprétés énoncées c-dessous va plus lon, en exgeant que les parts des autres agents soent nsensbles à l'élmnaton d'une entté dont la demande est nulle. Une proprété encore plus forte exge que les contrbutons des autres agents soent nsensbles à l'élmnaton d'une entté dont l'ajout de la demande à n'mporte quel sous-ensemble des autres enttés, entraîne toujours un accrossement de coûts égal à son coût de fare cavaler seul, ce qu mplque que cet agent pae son coût de fare cavaler seul. Une dernère proprété exge que les contrbutons des agents soent ordonnées de la même façon que leurs coûts de fare cavaler seul. Dans les défntons qu suvent, Q est le vecteur des demandes Q duquel on a élmné la 2 composante q alors que à ( Q, C ). C est la restrcton de C au vecteur Q et N \{ } x celle de la règle x 72

73 Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) S une entté a une demande nulle, les contrbutons des autres ne devraent pas dépendre de la présence ou non de cette entté dans le problème de partage. Formellement, s q = 0, alors : ( ) ( ) x Q, C = x Q, C j N \{} N\{ } N\{ } j j ce qu mplque \{ } ( N, ) 0 x Q C =. Exemple : sot le problème de partage de coûts à 3 enttés dont la foncton de coût est : C: : C( Q) = + q + q + q q + q Supposons que Q = (0,3,4) et donc que N\{ } ( ) ( ) 2 C Q = C Q =. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges x Q C = ( N \{}, ) 0, x ( Q, C ) = x ( Q, C) = et N\{} N\{} 2 2 x ( Q, C ) = x ( Q, C) = 7 vérfe la proprété N\{} N\{} 3 3 (IDN) pour le vecteur de demande Q. En effet, que l entté, qu a une demande nulle, sot absente ou présente dans le problème de partage, elle n a pas d nfluence sur la part des coûts attrbuée aux enttés 2 et 3. Notons que la part des coûts attrbuée à l entté est forcement nulle. Insensblté des contrbutons aux enttés néglgeables (IEN) Une entté est néglgeable pour un problème ( QC, ) s CQ CQ = c q pour tout sous-ensemble S N \{ }. S {} s ( ) ( ) ( ) Une entté est néglgeable s elle est néglgeable quel que sot le problème. 2 On dt qu'une règle de répartton est nsensble à l'élmnaton d'une entté néglgeable s les contrbutons exgées des autres enttés restent les mêmes une fos élmnée l'entté néglgeable du problème de répartton des coûts. Cette proprété mplque que l'entté néglgeable pae exactement son coût de fare cavaler seul. Elle va cependant plus lon en spécfant que le retrat de cette entté du problème de partage ne dot pas changer les contrbutons des autres. Formellement, s l'entté est néglgeable, on dot avor : ( ) ( ) x Q, C = x Q, C j N \{} N\{ } j j ce qu mplque x ( QC, ) = c( q). Exemple : sot le problème de partage de coûts à 3 enttés dont la foncton de coût est : 73

74 C: : C( Q) = + q + q + q q + q Seule l entté 3 est néglgeable dans cet exemple. En effet S {3} S ( ) ( ) = 3 = 3( 3) CQ CQ q c q pour tout sous ensemble S N \{3}. Supposons que Q = (, 4,8) et donc que CQ ( ) = 4 C ( Q ) = 6. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges et 3 3 x ( Q, C ) = x ( Q, C) = 2, N \{3} 3 3 x ( Q, C ) = x ( Q, C) = 4 avec x 3 ( Q, C ) = 8 vérfe la N \{3} proprété (IEN) pour le vecteur de demande Q. En effet, que l entté 3, qu est néglgeable, sot absente ou présente dans le problème de partage de coûts, elle n a pas d nfluence sur la part des coûts attrbuée aux enttés et 2. Notons que la part des coûts attrbuée à l entté 3 est égale à son coût de fare cavaler seul. Insensblté du classement des contrbutons aux enttés non pertnentes (INP) Le classement des contrbutons de deux enttés ne dot pas dépendre de la demande des autres enttés. Formellement, étant donné deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C) et deux enttés et j tels que q = q et qj = q j, on dot avor : (, ) (, ) (, ) (, ) x Q C x Q C x Q C x Q C j j Exemple : supposons dans un premer temps que, lors d un problème de partage de coûts à 3 enttés, le vecteur de demande sot de la forme Q = (,4,2). Dans un second temps, l entté 2 accroît sa demande tands que les demandes des enttés et 3 restent nchangées. Supposons qu on obtenne le vecteur de demande Q ' = (,,2). À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges xqc (, ) = (3, 7, 4) et xq (, C) = (4,6,) vérfe la proprété (INP) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, le classement des charges mputées aux enttés et 3 n est pas affecté par la modfcaton de la demande de l entté 2. On a x( QC, ) = 3 4 = x3( QC, ) et 2 x ( Q, C) = 4 6 = x ( Q, C). 3 Remarque 2 La proprété (IEN) mplque évdemment (IDN). Par contre, dans la mesure où le coût ncrémental d'ajouter une entté dont la demande est nulle à d'autres est toujours nul, la 74

75 proprété (IDN) est plus fable que (IEN). S'l s'agt de comparer les proprétés (IEN) et (INP), aucune n'est plus forte que l'autre La monotone On s'attend généralement à ce que les enttés paent davantage lorsqu'elles augmentent leurs exgences ou quand les coûts augmentent. La monotone par rapport aux coûts et la monotone par rapport à la demande, défnes c-après, tradusent cette préoccupaton. Dans certanes crconstances, on peut auss s'ntéresser à la façon dont la contrbuton d'une entté peut être affectée par le changement de la demande des autres enttés. Dans certans cas, elles peuvent augmenter et dans d'autres dmnuer. On parle de monotone crosée postve quand elles augmentent toutes et négatve quand elles dmnuent toutes. Ces proprétés s'avèrent très fortes dans un contexte général et l faudra souvent se contenter de la monotone le long d'un rayon. 2 Monotone par rapport aux coûts (MCT) Cette proprété veut que, s les coûts devaent s'avérer plus élevés que prévu, quelle que sot l'ampleur du projet ou les nveaux de producton à réalser, alors les parts des coûts mputées aux dfférentes enttés ne devraent pas dmnuer. Formellement, étant donné deux problèmes ( QC, ) et ( QC, ) tels que CQ ( ) C ( Q), on devrat avor x ( QC, ) x( QC, ) pour chaque entté. On peut la vor comme une proprété nctatve. Les enttés devraent être encouragées à rédure leurs coûts en les fasant bénéfcer de ces réductons. Comme on le verra, cette proprété est très forte et est satsfate par très peu de méthodes. Il exste des formes plus fables de monotone par rapport aux coûts sur lesquelles on revendra en temps et leu. Exemple : sot deux problèmes de partage de coûts à 3 enttés dont les fonctons de coût sont: 3 C: + : C( Q) = q+ q2q3 3 2 C : : C ( Q) = q + q q On a CQ ( ) C ( Q). Supposons que Q = (,, 2) et donc que CQ ( ) = 3 et C ( Q) =. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges xqc (, ) = (,,) et x( Q, C ) = (,2,2) vérfe la proprété (MCT) pour le vecteur de demande Q. En effet, les 7

76 charges de toutes les enttés sont rédute (ou mantenue en ce qu concerne l entté ) du fat de la réducton de coût lée au passage de C à C. Monotone par rapport à la demande (MD) Cette proprété exge que la contrbuton demandée à une entté ne décrosse jamas par rapport aux quanttés demandées par cette entté. Formellement, s on a deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C) et une entté tels que q q alors que j j q = q pour toute autre entté j, on devrat observer x ( QC, ) x( Q, C). Exemple : supposons dans un premer temps que, lors d un problème de partage de coûts à 3 enttés, le vecteur de demande sot de la forme Q = (, 3, 4). Dans un second temps, l entté 2 accroît sa demande tands que les demandes des enttés et 3 restent nchangées. Supposons qu on obtenne le vecteur de demande Q ' = (,6,4). À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat à l entté 2 les charges x ( Q, C ) = 4 2 et x ( Q, C) 6 2 = vérfe la proprété (MD) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, la charge mputée à l entté 2 n a pas été rédute sute à l augmentaton de sa demande : x ( QC, ) = 4< 6 = x( Q, C). 2 2 Dans la mesure où une augmentaton de la demande entraîne généralement une augmentaton de coût, on peut s'attendre à ce que (MD) sot volée lorsque (MCT) l'est. Monotone par rapport à des changements proportonnels dans la demande (MDR) Cette proprété, conçue pour les demandes multdmensonnelles, exge que la contrbuton exgée d'une entté ne décrosse jamas lorsque cette entté augmente les quanttés qu'elle demande de façon proportonnelle. Formellement, s on a deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C) et une entté tels que q = β q avec β > alors que q j = q j pour toute autre entté j, on 2 devrat observer x ( QC, ) x( Q, C). Exemple : sot un problème de partage de coûts à 4 enttés portant sur des demandes bdmensonnelles. Supposons dans un premer temps que le vecteur de demande sot de la forme Q = ((,2),(2,),(,3),(3,6)). Dans un second temps, l entté 3 accroît sa demande tands que les demandes des autres enttés restent nchangées. Supposons que β = 3, on 76

77 obtent le vecteur de demande Q = ((,2),(2,),(3,9),(3,6)). À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat à l entté 3 les charges x 3 ( Q, C ) = 4 et x 3 ( Q, C) = 6 vérfe la proprété (MDR) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, la charge mputée à l entté 3 n a pas été rédute sute à l augmentaton proportonnelle des quanttés qu elle demandat : x3( QC, ) = 4< 6 = x3( Q, C). Monotone crosée postve par rapport à la demande (MCP) La monotone crosée postve dans la demande exge que l'accrossement de la demande d'une entté n'entraîne pas de basse des contrbutons exgées des autres enttés. Formellement, s on a deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C) et une entté tels que q q alors que qj = q j pour toute autre entté j, on devrat observer x ( QC, ) x( Q, C) pour toutes les enttés autres que. j j Exemple : supposons dans un premer temps que, lors d un problème de partage de coûts à 3 enttés, le vecteur de demande sot de la forme Q = (, 3, 4). Dans un second temps, l entté 2 accroît sa demande tands que les demandes des enttés et 3 restent nchangées. Supposons qu on obtenne le vecteur de demande Q ' = (,6,4). À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges x ( Q, C ) =, x ( Q, C ) = 4 et x ( Q, C) =, x ( Q, C) = vérfe la proprété (MCP) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, les charges mputées aux enttés et 3 n ont pas été rédutes sute à l augmentaton de la demande de l entté 2 : x ( QC, ) = = x ( Q, C) et x ( QC, ) = 4< 6 = x( Q, C). 3 3 Monotone crosée négatve par rapport à la demande (MCN) S on a deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C) et une entté tels que q q alors que qj = q j pour toute autre entté j, on devrat observer x ( QC, ) x( Q, C) pour toutes les enttés autres que. j j 2 Exemple : sur la base de l exemple qu précède, une règle de répartton qu mputerat les charges x ( Q, C ) =, x ( Q, C ) = 4 et x ( Q, C) =, x ( Q, C) = vérfe la proprété (MCN) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, les charges mputées aux enttés 77

78 et 3 n ont pas été augmentées sute à l augmentaton de la demande de l entté 2 : x( QC, ) = = x( Q, C) et x3( QC, ) = 4> 3 = x3( Q, C). Monotone crosée (postve MCPR ou négatve MCNR) par rapport à des changements proportonnels dans la demande La contrbuton exgée d'une entté ne dot pas décroître ou croître lorsqu'une autre entté augmente les quanttés qu'elle demande de façon proportonnelle. Exemple : sot un problème de partage de coûts à 3 enttés portant sur des demandes bdmensonnelles. Supposons dans un premer temps que le vecteur de demande sot de la forme Q = ((,2),(3,4),(,)). Dans un second temps, l entté 2 accroît les quanttés qu elle demande de façon proportonnelle tands que les demandes des enttés et 3 restent nchangées. Supposons qu on obtenne le vecteur de demande Q ' = ((,),(6,8),(,)). une règle de répartton qu mputerat les charges x ( Q, C ) =, x ( Q, C ) = 4 et 3 x ( Q, C) =, x ( Q, C) 6 3 = vérfe la proprété (MCPR) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, les charges mputées aux enttés et 3 n ont pas été rédutes sute à l augmentaton de la demande de l entté 2 : x( QC, ) = = x( Q, C) et x3( QC, ) = 4< 6 = x3( Q, C) ; à l nverse, une règle de répartton qu mputerat les charges x ( Q, C ) =, x ( Q, C ) = 4 et x ( Q, C) =, x ( Q, C) = vérfe la proprété (MCPN) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, les charges mputées aux enttés et 3 n ont pas été augmentées sute à l augmentaton de la demande de l entté 2 :: x( QC, ) = = x( Q, C) et x3( QC, ) = 4> 3 = x3( Q, C) Les bornes sur les contrbutons 2 Au delà des proprétés normatves qu précèdent, une entté sera souvent ntéressée à connaître a pror les contrbutons mnmale et maxmale qu'on pourra exger d'elle. Par exemple, s les enttés sont lbres de partcper à un projet commun, chacune d'elle le fera s elle est assurée de ne pas payer plus que son coût de fare cavaler seul, une proprété qu'on 78

79 appelle la partcpaton. Les enttés peuvent exger davantage dans la mesure où des sousgroupes pourraent toujours chosr de former des allances pour répondre à leurs besons. Pour contrer ce type de dévaton, on ne devrat pas exger davantage des membres de toutes les coaltons possbles que le coût auquel ces coaltons pourraent fonctonner seules. En cas de déséconomes d'échelle, au mons une entté devra payer davantage que son coût de fare cavaler seul. C'est dre que le cœur n'exste pas. On peut néanmons forcer les enttés à coopérer et à partager les coûts parce qu'un projet commun peut comporter des avantages, esthétques par exemple, pour l'ensemble de la socété. Autant on peut consdérer comme équtable que les enttés ne paent pas plus que leur coût de fare cavaler seul lorsque c'est possble, autant on devrat exger que chaque entté pae au mons son coût de fare cavaler seul et que les membres de chaque coalton possble paent ensemble au mons le coût auquel elle pourrat fonctonner seule lorsque cela est possble, comme lorsqu'l y a déséconomes d'échelle. On dra d'une répartton qu rencontre cette proprété qu'elle satsfat le test de l'ant-cœur. Partcpaton (PA) La partcpaton veut qu'aucune entté ne se vot mputer une part des coûts supéreure à son coût de fare cavaler seul,.e. x ( QC, ) c( q) pour tout. Exemple : sot le problème de partage de coûts à 3 enttés dont la foncton de coût est : 3 : : ( ) C C Q = + + qq + q + q À partr de cette foncton, on a c ( q ) =, c 2 ( q 2 ) = + q 2 et c 3 ( q 3 ) = + q 3. Supposons que le vecteur de demande sot de la forme Q = (, 3, 4). À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat des charges x ( Q, C), x 2 ( Q, C) 8 et x 3 ( Q, C) 9 vérfe la proprété (PA) pour le vecteur de demande Q. En effet, les charges mputées aux tros 2 enttés sont alors nféreures ou égales à leurs coûts de fare cavaler seul. Ant-partcpaton (APA) C'est l'nverse de la proprété précédente. Chaque unté pae au mons son coût de fare cavaler seul,.e. x ( QC, ) c( q) pour tout. 79

80 Exemple : sur la base de l exemple qu précède, À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat des charges x ( Q, C), x 2 ( Q, C) 8 et x 3 ( Q, C) 9 vérfe la proprété (APA) pour le vecteur de demande Q. En effet, les charges mputées aux tros enttés sont alors supéreures ou égales à leurs coûts de fare cavaler seul. Test du cœur (CO) Une répartton passe le test du cœur lorsque l'mputaton qu'elle donne pour n'mporte quel sous-ensemble d'enttés ne dépasse pas le coût total auquel cette coalton pourrat fonctonner seule dans le cas où l exste des mputatons ayant cette proprété. Formellement, x ( QC S, ) CQ ( ) pour tout sous-ensemble S de N. On peut écrre cette S négalté sous la forme N\ S (, ) ( ) ( ) x Q C C Q C Q S. Sous cette forme, la proprété veut que chaque coalton se vot mputer un montant au mons auss élevé que le coût supplémentare qu'elle mpose à la coalton complémentare N \ S lorsqu'elle la rejont pour former la grande coalton N. S ce n'état pas le cas, les membres de la coalton N \ S verseraent un subsde aux membres de la coalton S, d'où une objecton possble de leur part. On peut donc vor (CO) comme une condton spécfant l'absence d'nterfnancement ou encore la robustesse à la sécesson. Exemple : sot le problème de partage de coûts à 3 enttés dont la foncton de coût est : 3 : : ( ) C C Q = + + qq + q + q À partr de cette foncton et supposant que le vecteur de demande sot de la forme Q = (, 2,), on a : c ( q ) = c ( q ) = 7 c ( q ) = {2} {3} {23} {23} ( ) = 9 ( ) = 6 ( ) = 8 ( ) = CQ CQ CQ CQ Dans ce cas, une règle de répartton qu mputerat des charges telles que : x ( Q, C) x ( Q, C) 7 x ( Q, C) x ( Q, C) 9 x ( Q, C) + x ( Q, C) 6 x ( Q, C) 8 x ( Q, C) 3 = = 2 = vérfe la proprété (CO) pour le vecteur de demande Q. 80

81 Remarque 3 Le test du cœur mplque évdemment la partcpaton dans la mesure où on admet les sngletons comme coaltons dans le test du cœur. Test de l'ant-cœur (ACO) Une répartton passe le test de l'ant-cœur lorsque l'mputaton qu'elle donne pour n'mporte quel sous-ensemble d'enttés n'est pas nféreure au coût total auquel cette coalton pourrat fonctonner seule dans le cas où l exste des mputatons ayant S cette proprété. Formellement, x ( QC, ) CQ ( ) pour tout sous-ensemble S de N, S lorsque possble. Exemple : sur la base de l exemple qu précède, une règle de répartton qu mputerat des charges telles que : x ( Q, C) x ( Q, C) 7 x ( Q, C) x( QC, ) 9 x( QC, ) + x( QC, ) 6 x( QC, ) 8 x( QC, ) 3 = = 2 = vérfe la proprété (ACO) pour le vecteur de demande Q. Sut une proposton qu rele ces dernères proprétés à la monotone crosée. Proposton Toute règle qu satsfat à la monotone crosée négatve par rapport à des changements proportonnels dans la demande satsfat également au test du cœur. A l'nverse, toute règle qu satsfat à la monotone crosée postve par rapport à des changements proportonnels dans la demande satsfat au test de l'ant-cœur. 2 Le premer énoncé a été démontré par Mouln (986) dans le contexte d'un seul ben prvé homogène. Il a été généralsé par Téjédo et Truchon (02) à l'ant-cœur et au contexte plus général. En fat, les versons plus fables de monotone crosée que sont (MCNR) et (MCPR) leur suffsent pour établr ces résultats. Il ne serat pas rasonnable d'exger les proprétés (PA) et encore mons (CO) dans toutes les crconstances. Tout au plus devrat-on exger d'une règle qu'elle donne des réparttons qu satsfont (PA) ou (CO) lorsque de telles réparttons exstent. Dans le cas de (CO), on dt alors 8

82 que le cœur exste. On sat que c'est le cas en présence d'économes d'échelle. La satsfacton de (PA), quant à elle, est possble sous l'hypothèse n CQ ( ) c( q). Le même genre de remarque s'applque à (MCN). Une telle condton a du sens unquement en présence d'économes d'échelle. = L nsensblté aux untés de mesure On a souvent le chox des untés dans lesquelles on va exprmer les caractérstques des demandes et des projets dont on dot partager les coûts. Par exemple, on peut exprmer la longueur d'une pste d'atterrssage en mètres ou en peds, la résstance d'un barrage en Kg par centmètre carré ou en lvres par pouce carré, la température mnmale à laquelle l devra résster en degrés Celsus ou Fahrenhet. On ne voudrat évdemment pas que la fracton des coûts échéant à chaque entté dépende du chox des untés. En partculer, on voudrat que les réparttons produtes par une règle soent nsensbles à des transformatons lnéares (changements proportonnels) des untés de mesure. S'l s'agt de passer des degrés Celsus à Fahrenhet, on parle alors de transformaton affne (changements proportonnels plus ajout ou retrat d'une constante). On peut même aller plus lon et décder de mesurer la demande d'une entté en termes de son coût de fare cavaler seul, comme avec la règle séquentelle radale. Dans la mesure où ce coût n'est pas proportonnel à la demande, l s'agt là d'une transformaton non lnéare des quanttés en untés monétare. L'ordnalté exge qu'une règle ne sot pas affectée par une telle transformaton. Elle couvre également le cas des transformatons affnes. 2 Insensblté aux untés de mesure (IU) Une règle de partage de coûts est nsensble aux untés de mesure s une transformaton lnéare des untés dans lesquelles les quanttés et les coûts sont exprmés ne change pas la répartton des coûts. Pour énoncer formellement cette proprété, on défnt deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C ) comme étant équvalents s'l exste un vecteur λ = ( λ,..., λ nmn ) strctement postf, de même dmenson que Q, tel que Q= λ Q ( λ q,..., λ q ) et C ( Q ) = C( λ Q ). On permet donc que les quanttés nmn nmn d'un même ben demandées par deux enttés dfférentes soent transformées par un scalare 82

83 dfférent. L'nsensblté aux untés de mesure exge que, pour deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C ) équvalents, on at x ( QC, ) = x( Q, C ) pour tout. Ordnalté (O) Une règle de partage de coûts satsfat l'ordnalté s une transformaton crossante des untés dans lesquelles les quanttés et les coûts sont exprmés ne change pas la répartton des coûts. Ic, on défnt deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C ) comme étant ordnalement équvalents s'l exste une lste f = ( f,..., f n ) de transformatons bjectves, une pour chaque entté, telles que Q= f( Q ) = ( f( q ),..., fn( q n)) et C ( Q ) = C( f( Q )). L'ordnalté exge que, pour deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C ) ordnalement équvalents, on at x ( QC, ) = x( Q, C ) pour tout. Exemple : supposons que deux enttés ont des demandes qu portent sur la température d un ben. Dans un premer temps les demandes de ces enttés sont réalsées en degrés Celsus ( C ), le vecteur de demande est de la forme Q = (7,). Dans un second temps, supposons que les enttés et 2 changent les untés dans lesquelles elles effectuent leurs demandes. L entté utlse des kelvns (K) et l entté 2 des degrés Fahrenhet ( F ). D après les formules suvantes : K = C et F =.8 C+ 32, le vecteur de demande est alors de la forme : Q = (290., 68). On a également les fonctons de coûts suvantes : C C Q q q 2 : + : ( ) = C C Q = q + q 9 2 : + : ( ) 2( 273,) ( 2 32) À partr de ces fonctons, on a CQ ( ) = C ( Q ) = 4. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat les charges x( QC, ) = (,34) = x ( Q, C ) vérfe la proprété (O) pour les vecteurs de demande Q et Q. En effet, les charges mputées aux enttés et 2 n ont pas été modfées sute une transformaton crossante des untés dans lesquelles les quanttés et les coûts sont exprmés (les problèmes ( QC, ) et ( Q, C ) sont 2 ordnalement équvalents). 83

84 Ordnalté radale (OR) Pour l'ordnalté radale, on mpose que chaque foncton f qu peut être applquée à la demande de l'entté transforme tout rayon de l'espace de ses demandes en un rayon (possblement le même). Deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C ) dont l'un est obtenu par une telle transformaton sont dts radalement équvalents. L'ordnalté radale exge que, pour deux problèmes ( QC, ) et ( Q, C ) radalement équvalents, on at x ( QC, ) = x( Q, C ) pour tout. C'est une proprété plus fable que l'ordnalté dans la mesure où on restrent le type de transformaton qu'on peut fare subr à un problème. Remarque 3 Toutes les règles qu sont défnes unquement en termes des coûts c ( q ), ca ( Q ) ou cm ( Q ) satsfont à l'ordnalté (O), dans la mesure où ces coûts sont nsensbles au chox des untés pour exprmer les demandes. Par contre, les règles qu font ntervenr les quanttés ou les dérvées des fonctons de coût volent cette proprété. Certanes de ces dernères satsfont cependant à l'nsensblté aux untés de mesure (IU) Les proprétés de séparaton On regroupe c des proprétés qu veulent que, s la foncton de coût peut être séparées selon les enttés, l devrat en être de même pour la répartton des coûts; s les coûts peuvent être décomposés en pluseurs éléments, la règle de partage de coûts devrat donner les mêmes résultats, qu'on l'applque séparément aux dvers éléments de coût, comme par exemple les coûts spécfques et communs, ou globalement à l'ensemble des coûts; et la règle devrat exger les mêmes contrbutons d'un sous-ensemble d'enttés s on la lu applque, après avor prélevé ce qu est dû par les autres enttés. Séparaton entre enttés (SE) La séparaton entre enttés exge que, s les coûts sont séparables entre les enttés, les parts des coûts mputées aux enttés devraent correspondre 2 aux coûts qu leur sont mputables. De façon formelle, s n CQ ( ) = c( q), on dot avor = x ( QC, ) = c( q). Exemple : sot le problème de partage de coûts à 3 enttés dont la foncton de coût est : C C Q q q q 3 : : ( ) =

85 À partr de cette foncton, on a c ( q ) = 3 q, c 2 ( q 2 ) = 2 q 2 et c 3 ( q 3 ) = q 3 par conséquent : 3 = CQ ( ) = c( q). Supposons que le vecteur de demande sot de la forme Q = (, 3, 4) et donc que CQ ( ) = 3. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat des charges xqc (, ) = (3,6,4) vérfe la proprété (PA) pour le vecteur de demande Q. En effet, la charge mputée à chaque entté est alors égale à sont coût de fare cavaler seul. Proportonnalté (PR) Cette proprété veut que, s les coûts sont proportonnels à la demande, l devrat en être de même des contrbutons. Formellement, s'l exste un vecteur A de même dmenson et confguraton que Q tel que n m CQ ( ) AQ. aq =, on dot = h= h h avor x ( QC, ) = aq. a q pour tout. h= h h m Exemple : sot un problème de partage de coûts à 3 enttés portant sur des demandes trdmensonnelles dont la foncton de coût est : Cette foncton peut s écrre : C C Q = q + q + + q + q + q + q 3 : : ( ) m = h= CQ ( ) AQ. aq = avec A = ((3,,0),(3,2,2),(0,,0)). Supposons que le vecteur de demande sot de la h h forme Q = ((,, 0), (,,), (0, 2, 0)) et donc que CQ ( ) = 3. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat des charges xqc (, ) = (4, 7, 2) vérfe la proprété (PR) pour le vecteur de demande Q. En effet, la charge mputée à chaque entté est proportonnelle à sa demande. Par exemple, pour l entté, 3 (, ) = a hqh = 3 + = 4. h= x Q C On vot mmédatement que (SE) mplque (PR) dans la mesure où AQ. est une foncton séparable. Il est également à noter que cette défnton est plus forte que celle de Mouln et Shenker (994). En effet, ls posent a = α 0 h,. h 2 8

86 Addtvté (AD) L'addtvté veut que, s on peut séparer les coûts d'un projet en deux composantes, dsons C et C 2, répartr les composantes séparément devrat mener au même résultat que la répartton des coûts totaux. De façon formelle : x ( QC, + C) = x( QC, ) + x( QC, ) pour tout 2 2 S cette proprété est vrae pour deux composantes, elle l'est également pour un nombre quelconque de composantes. Exemple : sot un problème de partage de coûts à 2 enttés dont la foncton de coût est : 2 C: : C( Q) = + 2qq + 2 q Cette foncton peut s écrre : CQ ( ) = C+ C2avec C = 2qq 2 et C2 = q. Supposons que le vecteur de demande sot de la forme Q = (2,3) et donc que CQ ( ) = 4. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat des charges xqc (, ) = (6,8) vérfe la proprété (IDC) pour le vecteur de demande Q s elle mpute également x ( Q, C ) = 4, x( Q, C 2) = 2 et x 2 ( Q, C ) = 8, x2( Q, C 2) = 0. En effet, la charge mputée à chaque entté est la même que l on décompose ou non le projet en deux composantes. Par exemple, pour l entté, x( Q, C) = x( Q, C) + x( Q, C2) = 6. Insensblté à la décomposton en coûts spécfques et communs (IDC) Il s'agt d'un cas partculer de l'addtvté. Un problème de partage ( QC, ) est décomposable en coûts spécfques ou drects et coûts communs s on peut écrre : 2 n CQ ( ) = ca( Q) + ccq ( ) Une méthode de partage de coûts x est nsensble à une telle décomposton s : = x ( QC, ) = ca( Q) + x( Qcc, ) Avec une méthode nsensble à ce type de décomposton, peu mporte qu'on décompose les coûts ou non et peu mporte la décomposton, la répartton du coût total sera la même. Exemple : sot un problème de partage de coûts à 3 enttés dont la foncton de coût est : C C Q q q q q q 3 : : ( ) = ( ) où les deux premers termes peuvent être consdérés comme des coûts attrbuables respectvement à l entté et 2. Supposons que le vecteur de demande sot de la 86

87 forme Q = (,, 2) et donc que CQ ( ) = 4, ca ( Q ) =, ca ( ) 2 Q = et cc ( Q ) = 2. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat des charges xqc (, ) = (3,3,8) et xqcc (, ) = (2, 2,8) vérfe la proprété (IDC) pour le vecteur de demande Q. En effet, la charge mputée à chaque entté est égale à la somme de son coût attrbuable et d un part des coûts communs. Par exemple, pour l entté, x( Q, C) = ca( q) + x( Q, cc) = + 2= 2 et pour l entté 2 x2( Q, C) = ca2( q2) + x2( Q, cc) = + 2= 3. Supposons mantenant que l entté 2 n accepte pas le fat que le coût q 2 lu sot attrbué. Une règle de répartton des coûts qu vérfe la proprété (IDC) mputera alors exactement les mêmes charges à chaque entté que s le coût q 2 avat été attrbué. On aura donc toujours : xqc (, ) = (3,3,8). Cohérence (CH) Ben que les autres proprétés ctées c-avant soent auss des proprétés de cohérence, la présente, qu prend pluseurs formes dans la lttérature, dt essentellement que, s une ou pluseurs enttés devaent se retrer du problème de partage des coûts, après avor payé leur contrbuton selon la règle de partage en vgueur, et que les membres restants devaent satsfare à toute la demande, la contrbuton de ces derners aux coûts résduels, selon la même règle, ne devrat pas être dfférente de ce qu'elle aurat été dans le problème de partage orgnal. De façon formelle, étant donné une règle de partage x et un sous-ensemble d'enttés S N, défnssons la foncton de coût résduel La cohérence exge que : ( ) max ( ) (, ),0 N\ S C QN\ S = C Q xj Q C j S N S ( ) N\ S \ x QN\ S, C = x( Q, C) N \ S N\ S C des autres enttés par : 4 Exemple : sot un problème de partage de coûts à 4 enttés dont la foncton de coût est : 4 C: : C( Q) = 3q + qq q + 2 q + 3 q4 4 Cette défnton est due à Hart et Mas-Colell (989). 87

88 Supposons que le vecteur de demande sot de la forme Q = (,,2,) et que CQ ( ) = 8. Dans un premer temps, une répartton des coûts mpute les charges xqc (, ) = (,2,3,2). Dans un second temps, les enttés 3 et 4, qu ont payé leurs charges, se retrent du problème de partage de coût. Les coûts résduels sont donc {,2}\{3,4} C ( Q {,2}\{3,4}) = 3. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat des charges x ( Q, C ) = et {,2}\{3,4} {,2}\{3,4} {,2}\{3,4} x ( Q, C ) = 2 vérfe la proprété {,2}\{3,4} {,2}\{3,4} 2 {,2}\{3,4} (CH) pour le vecteur de demande Q. En effet, la charge mputée à chaque entté restant dans le problème de partage de coût (.e. et 2) n est pas affectée par le départ des autres enttés. Par exemple, pour l entté : x ( Q, C) = x ( Q, C ) =. {,2}\{3,4} {,2}\{3,4} {,2}\{3,4} Cohérence fable (CHF) Étant donné un problème ( QC, ) et un sous-ensemble d'enttés S N ayant les plus pettes demandes,.e. tel que c ( q ) c ( q ) pour tout S et tout j j j N \ S, on dot avor x ( Q, C ) = x ( Q, C) pour tout dans N \ S. En mots, s un N\ S N\ S N\ S certan nombre d'enttés ayant les plus pettes demandes, en termes des coûts de fare cavaler seul, devaent qutter le problème après avor payé leur dû selon la règle de partage en vgueur et qu'on applquat la même règle pour répartr entre les autres le coût résduel de la demande totale, leurs contrbutons seraent les mêmes que dans le problème orgnal. Exemple : sot un problème de partage de coûts à 4 enttés dont la foncton de coût est : 4 C: : C( Q) 3q qq 2 q2 q3 q4 + = À partr de cette foncton, on a c ( q ) = 3 q, c 2 ( q 2 ) = q 2, c 3 ( q 3 ) = q 3 et c 4 ( q 4 ) = q 4. Supposons que le vecteur de demande sot de la forme Q = (,,2,) et donc que CQ ( ) = 8. Dans un premer temps, une répartton des coûts mpute les charges xqc (, ) = (,2,3,2). Dans un second temps, les enttés 2 et 4, qu ont payé leurs charges et dsposent des coûts de fare cavaler seul les plus fables ( c 2 ( q 2 ) = c 4 ( q 4 ) = ), se retrent 2 du problème de partage de coût. Les coûts résduels sont donc {,3}\{3,4} C ( Q {,3}\{2,4} ) = 4. À ttre d llustraton une règle de répartton qu mputerat des charges x ( Q, C ) = et {,3}\{2,4} {,3}\{2,4} {,3}\{2,4} x ( Q, C ) = 3 vérfe la proprété {,3}\{2,4} {,3}\{2,4} 2 {,3}\{2,4} 88

89 (CHF) pour le vecteur de demande Q. En effet, la charge mputée à chaque entté restant dans le problème de partage de coût n est pas affectée par le départ des enttés ayant les demandes les plus fables en termes des coûts de fare cavaler seul. Par exemple, pour l entté : x ( Q, C) = x ( Q, C ) =. {,3}\{2,4} {,3}\{2,4} {,3}\{2,4} La proposton qu sut établt la relaton entre quelques proprétés d'nsensblté aux décompostons. Proposton 2. (AD) mplque (IDC) ; 2. (IDC) et (IDN) mplquent (IEN) ; 3. (IEN) mplque (SE) ; 4. (PA) de même que (APA) mplquent (SE). Chacune des proprétés présentées peut être assocée à des consdératons (ou prncpes) d'équté, d effcacté ou encore de cohérence. Ces assocatons ne sont cependant pas toujours évdentes comme nous le verrons dans la secton qu sut. 3. La corrélaton proprétés / prncpes Prncpes et proprétés sont des concepts étrotement lés. Il est en effet possble d assocer à chacune des sept catégores de proprétés un et parfos pluseurs prncpes. Ces assocatons sont schématsées dans la Fgure 2. 2 Au centre de cette fgure se trouvent les tros proprétés. Elles sont représentées par des cercles se chevauchant afn de sgnaler le fat que ces concepts ne sont pas étanches. Autour de ces concepts gravtent les sept ensembles de proprétés. Tros relatons nous semblent mérter des éclarcssements. Il s agt de celles relatves à l effcacté. Le tratement des agents néglgeables est assocé à l effcacté pusqu l favorse l unanmté. Les bornes sur les contrbutons garantssent pour leurs parts la partcpaton c est-à-dre un concept que nous avons assocé à l effcacté. Enfn, la proprété de monotone peut quant à elle être assocée à la fos à l effcacté car elle ndut une relaton drecte et nctatve entre contrbuton et demande et à l équté pusqu l apparaît équtable que l entté qu demande plus pae plus. 89

90 TRAITEMENT ÉGALITAIRE DES ÉQUIVALENTS PRINCIPE SÉQUENTIEL MONOTONIE EQUITÉ EFFICACITÉ PROPRIÉTÉS DE SÉPARATION TRAITEMENT DES AGENTS NÉGLIGEABLES COHÉRENCE BORNES SUR LES CONTRIBUTIONS INVARIANCE AUX ÉCHELLES Fgure 2 Relatons entre proprétés et prncpes Toute la complexté du chox en terme de prncpe naît de l absence de défntons rgoureuses et unanmement acceptées de ces concepts. Nous nsstons donc sur le fat que le chox de la méthode dot se fare sur la base de ses proprétés. L utlsaton des prncpes assocés à ces proprétés peut ader ensute à construre l argumentare entourant la communcaton et la défense du chox effectué. 3.6 Les proprétés des méthodes de partage de coûts Dans la mesure où une entté qu a une demande nulle n'a aucun mpact sur les coûts quels qu'ls soent, toutes les règles recensées c, sauf la répartton égaltare, satsfont 90

91 l'nsensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN). Il s'agt donc d'une proprété très fable. Dans la sute, certanes proprétés sont satsfates par certanes règles lorsqu'l y a économes d'échelle. En bref, on dt qu'l y a économes d'échelle s les coûts ncrémentaux sont décrossants par rapport à l'ampleur des demandes. Il est à noter que s une règle satsfat à une des proprétés (MCN), (PA) et (CO) quand on a économes d'échelle, elle satsfat à la proprété nverse,.e. (MCP), (APA) ou (ACO) quand on a déséconomes d'échelle. On notera dans les énumératons qu suvent économes d échelle et déséconomes d échelle respectvement par EE et DE Les proprétés des règles de répartton proportonnelle On a le résultat général suvant pour les règles de répartton proportonnelle. Proposton Toutes les règles qu ont la forme qu sut satsfont à la cohérence (CH) : t x xb c Q xb n = + ( ) n j t j j j = = La règle des coûts moyens 2 La règle des coûts moyens, qu n'est défne que dans un contexte où les demandes sont undmensonnelles, satsfat aux proprétés suvantes : Préservaton des rangs (RG) Tratement égaltare des équvalents (TE) (TE) Symétre (S) (S) Tratement égaltare des égaux (TEE) Insensblté des contrbutons aux enttés néglgeables (IEN) Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) Séparaton entre enttés (SE) (SE) Proportonnalté (PR) Insensblté du classement des contrbutons aux enttés non pertnentes (INP) 9

92 Monotone par rapport aux coûts (MCT) Monotone par rapport à la demande (MD) Monotone crosée négatve par rapport à la demande (MCN), s EE (MCP), s DE Partcpaton (PA), s EE Ant-partcpaton (APA), s DE Test du coeur (CO), s EE Test de l ant-coeur (ACO), s DE Addtvté (AD) Insensblté à la décomposton en coûts spécfques et communs (IDC) Cohérence (CH) Dans les contextes où cette règle peut s'applquer, (TEE), (S) et (TE) sont équvalentes. Cette règle est la seule à satsfare à deux sous-ensembles des condtons qu précèdent. Ils sont précsés dans les propostons qu suvent. Proposton 2 (Mouln et Shenker, 994) La règle des coûts moyens est la seule qu satsfat à (PR) et à (MCT). En fat, cette règle satsfat à la condton plus forte qu'est (SE). Comme pluseurs autres règles satsfont à (PR), cette proposton mplque que ces autres règles ne peuvent satsfare à la monotone telle que défne par Mouln et Shenker et encore mons à (MCT). Il y a auss de fortes chances qu'elles volent également la monotone par rapport à la demande (MD), dans la mesure où l'augmentaton de la demande se tradut souvent en des augmentatons de coûts. Proposton 3 (Mouln et Shenker, 994) La règle des coûts moyens est la seule qu satsfat à (A), (CH), (PR) et (TEE) La règle égaltare La règle qu consste à répartr les coûts de façon égaltare entre les enttés satsfat aux proprétés suvantes : Préservaton des rangs (RG) Tratement égaltare des équvalents (TE) (TE) Symétre (S) 92

93 (S) Tratement égaltare des égaux (TEE) Insensblté du classement des contrbutons aux enttés non pertnentes (INP) Monotone par rapport aux coûts (MCT) Monotone par rapport à la demande (MD) Monotone crosée postve par rapport à la demande (MCN) Ordnalté (O) Addtvté (AD) Insensblté à la décomposton en coûts spécfques et communs (IDC) Cohérence (CH) Il faut cependant noter que la plupart de ces proprétés sont satsfates de façon trvale. Elles le sont parce que les contrbutons exgées de toutes les enttés sont toujours égales entre elles. La monotone crosée négatve n'est pas satsfate parce que l'accrossement de la demande de la part d'une entté entraîne toujours une augmentaton de la part des coûts mputées aux autres enttés, même quand l y a économes d'échelle La méthode des bénéfces résduels Cette règle satsfat aux proprétés suvantes : Insensblté des contrbutons aux enttés néglgeables (IEN) Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) Séparaton entre enttés (SE) (SE) Proportonnalté (PR) Partcpaton (PA) sous les hypothèses n CQ ( ) c( q) et cm ( Q) c ( q ) = Ant-partcpaton (APA) sous les hypothèses n CQ ( ) c( q) et = 2 cm ( Q) c ( q ) Ordnalté (O) Cohérence (CH) 93

94 Étant donné n CQ ( ) c( q), l'hypothèse cm ( Q) c ( q ) est assez naturelle. S'l en = coûte mons cher à se regrouper qu'à fonctonner de façon solée, le coût ncrémental de se jondre aux autres ne devrat pas être plus élevé que le coût de fare cavaler seul. C'est une hypothèse plus fable que la concavté. Concernant le test du coeur, on a le résultat suvant qu est essentellement dû à Young (994). Proposton 4 Sous les hypothèses n CQ ( ) c( q), l'hypothèse cm ( Q) c ( q ), la = règle des bénéfces résduels donne des réparttons qu satsfont : x c ( q ) j N\{ } x j C Q N\{ } ( ) lorsque de telles réparttons exstent. En partculer, s n 3, elle donne des réparttons qu satsfont à (CO) lorsque possble. () On a évdemment la concluson nverse avec les hypothèses nverses. L'ensemble des réparttons qu satsfont à () forme ce qu'on appelle le sem-coeur. Ce derner se confond au coeur pour n 3. Le test du coeur n'est cependant pas nécessarement satsfat lorsque n > 3. Young (994) donne un exemple avec cnq enttés où (CO) est volée, alors que le coeur exste Les méthodes comptables Les tros méthodes présentées sous le ttre de méthodes comptables dans le paragraphe satsfont aux proprétés suvantes : Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) n Partcpaton (PA) sous les hypothèses ca( Q) c( q) et CQ ( ) cj( qj) j= 2 Ant-partcpaton (APA) sous les hypothèses ca ( Q) c ( q ) et n CQ ( ) cj( qj) j= 94

95 Séparaton entre enttés (SE), lorsque n CQ ( ) = c( q) mplque j= j j c ( q ) = ca ( Q) et cc( Q ) = 0 Proportonnalté (PR) lorsque n CQ ( ) = c( q) mplque c ( q ) = ca ( Q) et j= j j cc( Q ) = 0 Ordnalté (O), dans la mesure où les ca ( Q ) sont nsensbles au changement d'untés Cohérence (CH) Pour les méthodes de Louderback et de Balachandran et Ramakrshnan, on a auss : Insensblté des contrbutons des contrbutons aux enttés néglgeables (IEN) lorsque CQ = c q + CQ mplque c ( q ) = ca ( Q) N\{ } ( ) ( ) ( ) Insensblté des contrbutons à la décomposton en coûts spécfques et communs n (IDC) quand CQ ( ) = ca( Q) + ccq ( ) mplque cc Q = c q ca Q = {} ( ) ( ) ( ) L'hypothèse n CQ ( ) = c( q) mplque c ( q ) = ca ( Q) et cc( Q ) = 0, sous laquelle (SE) j= j j est satsfate, est naturelle. En effet, s le coût total est la somme des coûts de fare cavaler seul, cela sgnfe que le bénéfce à la coopératon est nul. Dans ce cas, les coûts de fare cavaler seul devennent naturellement les coûts attrbuables aux enttés La répartton proportonnelle aux coûts margnaux 2 Cette méthode satsfat aux proprétés suvantes : Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) Monotone par rapport à la demande (MD), s'l y a économes d'échelle Monotone crosée négatve par rapport à la demande (MCN), s EE (MCP), s DE Partcpaton (PA), s EE Ant-partcpaton (APA), s DE Test du coeur (CO), s EE Test de l ant-coeur (ACO), s DE Insensblté aux untés de mesure (IU) Proportonnalté (PR) Cohérence (CH) 9

96 La répartton proportonnelle aux coûts margnaux est une extenson de la règle des coûts moyens. Elle devent cette dernère dans le contexte d'un seul ben prvé homogène. Elle satsfat également à une condton qu n'a pas été défne plus haut et qu'on appelle l'ndépendance locale (IL). Cette condton veut que deux demandes qu ont le même coût margnal se voent mputer les mêmes parts du coût total. On a d'alleurs le résultat suvant dû à Wang (02). Proposton La répartton proportonnelle aux coûts margnaux est la seule extenson de la règle des coûts moyens qu satsfat à (IL) et à (IU) Les proprétés des règles nsprées de la théore des jeux La tarfcaton à la Aumann-Shapley Cette méthode de répartton satsfat aux proprétés suvantes : Insensblté des contrbutons aux enttés néglgeables (IEN) Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) Séparaton entre enttés (SE) (SE) Proportonnalté (PR) Monotone par rapport à la demande (MD), s'l y a économes d'échelle Monotone crosée négatve par rapport à la demande (MCN), s EE (MCP), s DE Partcpaton (PA), s EE Ant-partcpaton (APA), s DE Test du coeur (CO), s EE Test de l ant-coeur (ACO), s DE Insensblté aux untés de mesure (IU) Addtvté (AD) Insensblté à la décomposton en coûts spécfques et communs (IDC) 2 En présence d'économes d'échelle, comme cette méthode satsfat à (MCN), elle satsfat forcément à (MD). Autrement, ren ne garantt que (MD) est respectée. 96

97 On a vu, dans le paragraphe , que la règle Aumann-Shapley est une généralsaton de la règle des coûts moyens pour les demandes undmensonnelles et homogènes. En fat, on dot à Fredmann et Mouln (998) la caractérsaton qu sut de cette règle. Proposton 6 (Fredmann et Mouln, 998) La règle Aumann-Shapley est la seule qu satsfat à (IU) et qu sot une généralsaton de la règle des coûts moyens pour les demandes undmensonnelles et homogènes. Comme la règle satsfat à (SE), elle satsfat forcément à (PR) et, en vertu de la Proposton 3, elle ne peut satsfare à la condton plus forte (MCT) La méthode Shapley-Shubk 2 Cette méthode de répartton satsfat aux proprétés suvantes : Symétre (S) Insensblté des contrbutons aux enttés néglgeables (IEN) Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) Séparaton entre enttés (SE) (SE) Proportonnalté (PR) Monotone par rapport à la demande (MD) Monotone crosée négatve par rapport à la demande (MCN), s EE (MCP), s DE Partcpaton (PA), s EE Ant-partcpaton (APA), s DE Test du coeur (CO), s EE Test de l ant-coeur (ACO), s DE Ordnalté (O) Addtvté (AD) Insensblté à la décomposton en coûts spécfques et communs (IDC) Young (98) montre cependant que cette règle satsfat à une forme de monotone par rapport aux coûts plus fable que (MCT). 97

98 On trouve un certan nombre de caractérsatons de cette règle dans la lttérature dont les deux suvantes, qu se ressemblent d'alleurs. Proposton 7 (Sprumont, 998) La règle Shapley-Shubk est la seule qu satsfat à (AD), (IEN), (S) et (O). Proposton 8 (Fredmann et Mouln, 998) La règle Shapley-Shubk est la seule qu satsfat à (AD), (IEN), (S), (IU) et (MD). Notez que ces auteurs utlsent en fat une verson plus fable de (IEN) mas cette règle satsfat la verson qu a été défne c. Encore c, (MCT) n'est pas satsfate Le nucléole Cette méthode de répartton satsfat aux proprétés suvantes : Insensblté des contrbutons aux enttés néglgeables (IEN) Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) Séparaton entre enttés (SE) (SE) Proportonnalté (PR) Partcpaton (PA), s'l y a économes d'échelle Test du coeur (CO), s'l y a économes d'échelle Ordnalté (O) Insensblté à la décomposton en coûts spécfques et communs (IDC) Les proprétés de la répartton séquentelle 2 On trate séparément la règle séquentelle orgnale et la règle radale pusqu'l s'agt de deux règles avec des proprétés dfférentes. On rappelle que la règle séquentelle orgnale s'applque unquement au cas des demandes undmensonnelles et homogènes. 6 Young (98) montre cependant que cette règle satsfat à une forme de monotone par rapport aux coûts plus fable que (MCT). Il montre également que la règle Shapley-Shubk est la seule à satsfare à cette condton, tout en tratant les enttés de façon anonyme. 98

99 La règle séquentelle orgnale Cette règle satsfat aux proprétés suvantes : Préservaton des rangs (RG) Tratement égaltare des équvalents (TE) (TE) Symétre (S) (S) Tratement égaltare des égaux (TEE) Prncpe séquentel (PS) Addtvté (AD) Insensblté à la décomposton en coûts spécfques et communs (IDC) Insensblté des contrbutons aux enttés néglgeables (IEN) Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) Séparaton entre enttés (SE) (SE) Proportonnalté (PR) Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) Insensblté du classement des contrbutons aux enttés non pertnentes (INP) Monotone par rapport à la demande (MD) Monotone crosée négatve par rapport à la demande (MCN), s EE (MCP), s DE Partcpaton (PA), s EE Ant-partcpaton (APA), s DE Test du coeur (CO), s EE Test de l ant-coeur (ACO), s DE Ordnalté (O) Cohérence fable (CHF) 2 Par défnton, la règle séquentelle est la seule à satsfare à (TEE) et à (PS). Mouln et Shenker (992) ajoutent une autre proprété à la lste qu précède, qu'ls appellent la Gratuté pour les demandes dentque de coût nul (GR). Cette proprété dt que, s'l est possble de fournr une même quantté dentque q à toutes les enttés à un coût nul, l'entté ne devrat pas avor à payer quo que ce sot et les parts des autres ne devraent pas être affectées par la demande de l'entté. n fos N\{ },..., 0 j (, ) j(, ) \{ } C q q = x Q C = x Q C N 99

100 C'est une proprété qu a du sens dans les contextes où la foncton de coût est symétrque. C'est une autre des caractérstques de la règle séquentelle obtenue par Mouln et Shenker (992). Proposton 9 (Mouln et Shenker) La règle de répartton séquentelle est la seule qu satsfat à (AD), (RG), (PR) et (GR). 2 Dans le cas de déséconomes d'échelle, les enttés vont devor payer au mons leur coût de fare cavaler seul sous la règle séquentelle. Elles peuvent alors se demander s'l y a un majorant à leur contrbuton. Mouln et Shenker (992) ont établ le résultat suvant : cnq ( ) x N n Autrement dt, une entté est assurée de ne jamas payer plus que la contrbuton moyenne qu serat exgée d'elle s toutes les autres enttés avaent la même demande qu'elle. C'est assez équtable comme majorant La règle séquentelle radale La règle séquentelle radale satsfat aux proprétés suvantes : Préservaton des rangs (RG) Tratement égaltare des équvalents (TE) (TE) Symétre (S) (S) Tratement égaltare des égaux (TEE) Prncpe séquentel radal (PSR) Insensblté des contrbutons aux demandes nulles (IDN) Insensblté du classement des contrbutons aux enttés non pertnentes (INP) Monotone par rapport à des changements proportonnels dans la demande (MDR) Monotone crosée négatve par rapport à des changements proportonnels dans la demande (MCNR) Partcpaton (PA), s EE Ant-partcpaton (APA), s DE Test du coeur (CO), s EE Test de l ant-coeur (ACO), s DE Séparaton entre enttés (SE) 0

101 Proportonnalté (PR) Ordnalté (OR) Cohérence fable (CHF) On peut également garantr un majorant aux contrbutons des enttés dans le contexte multdmensonnel. Étant donné une entté, construsons un vecteur de demande Q en changeant proportonnellement les demandes des autres enttés de façon à ce que j c ( q ) = c ( q ) j. Les demandes des enttés pour lesquelles c ( q ) < c ( q ) se trouvent ans à j j j être augmentées et celles pour lesquelles c ( q ) > c ( q ) à être dmnuées. Téjédo et Truchon j j (0) montrent que la règle de répartton séquentelle radale donne une répartton qu respecte : CQ ( ) x N n Koster, Tjs et Borm (998) ont démontré la proposton suvante dans le cas des demandes homogènes. Elle demeure vrae dans le contexte plus général retenu c, comme le montrent Téjédo et Truchon (00). Proposton (Koster, Tjs et Borm, 998) La règle de répartton séquentelle radale est la seule qu satsfat à (TE) et à (PSR). Dans le cas où chaque entté demande un seul ben qu lu est spécfque, la règle radale devent la règle axale et on a alors cette autre caractérsaton. 2 Proposton (Sprumont, 998) La règle séquentelle axale est la seule à satsfare à (O), (PS), (IDN), (INP) et (S). Téjédo et Truchon (02) montrent qu'l n'exste pas de caractérsaton semblable dans le contexte plus général consdéré c. On aura noté qu'on a gagné l'ordnalté avec la règle radale et donc avec la règle axale, alors que la règle orgnale ne satsfat même pas à (IU). Ce gan est attrbuable à l'utlsaton des coûts de fare cavaler seul plutôt que les quanttés

102 pour classer les demandes et construre les demandes ntermédares. Par contre, on a perdu l'addtvté. En fat, la proposton suvante établt qu'l n'est pas possble de généralser la répartton séquentelle au contexte multdmensonnel tout en exgeant (IU) et (AD). Proposton 2 (Kolpn, 996) Il n'exste pas de généralsaton de la règle de répartton séquentelle qu satsfat à (IU) et à (AD) Tableaux synoptques Dans le Tableau, nous ndquons les proprétés vérfées par les méthodes présentées au sen de ce rapport. Un «O» ndque que la méthode de la rangée correspondante satsfat à la proprété en queston, un «R» qu'elle satsfat à la forme radale de la proprété, un «Q» qu'elle satsfat à la proprété en présence d'économes d'échelle, et un «N» que la proprété n'est pas satsfate,.e. qu'l exste des contextes ou problèmes dans lesquels elle est volée. Dans certans cas, nous ndquons le nom d'une proprété plus fable ou apparentée qu est vérfée en leu de la condton proprement dte. LB sgnfe que la proprété est satsfate par les méthodes de Louderback et de Balachandran et Ramakrshnan La proprété (IDN) n'apparaît pas dans ce tableau parce qu'elle est satsfate par toutes les méthodes, sauf la répartton égaltare. D'autres proprétés n'y apparassent pas non plus parce qu'elles sont apparentées à d'autres qu s'y trouvent. Rappelons les abrévatons des proprétés : RG : préservaton des rangs TEE : tratement égaltare des égaux S : symétre TE : tratement égaltare des équvalents PS : prncpe séquentel PSR : prncpe séquentel radal IDN : nsensblté des contrbutons aux demandes nulles IEN : nsensblté des contrbutons aux enttés néglgeables GR : gratuté pour des demandes dentques de coût nul 2

103 INP : nsensblté du classement des contrbutons aux enttés non pertnentes MCT : monotone par rapport aux coûts MD : monotone par rapport à la demande MCN : monotone crosée négatve par rapport à la demande MCP : monotone crosée postve par rapport à la demande PA : partcpaton APA : ant-partcpaton CO : test du coeur ou absence d'nter-fnancement ACO : test de l'ant-cœur IU : nvarance par rapport aux untés de mesure O : ordnalté OR : ordnalté radale SE : séparaton entre enttés PR : proportonnalté AD : addtvté IDC : Insensblté à la décomposton en coûts spécfques et communs CH : cohérence CHF : cohérence fable 2 Le tableau est séparé horzontalement en deux partes. La parte supéreure concerne deux règles qu ne peuvent être utlsées qu'avec des demandes portant sur un ben prvé homogène alors que les règles de la parte nféreure peuvent être applquées à un contexte très général. On dstngue également des séparatons vertcales. Elles permettent de séparer les groupes de proprétés en foncton des prncpes qu ls ncarnent. 30 3

104 Prncpes et prorétés EQUITÉ ÉQUITÉ & EFFICACITÉ COHÉRENCE EFFICACITÉ Méthodes de partage de coûts RG TE PS MCT MD MCN IEN INP PA CO SE O AD CH coûts moyens O O N O O Q O O Q Q O N O O séquentelle orgnale O O O N O Q O O Q Q O O O CHF égaltare O O N O O N N O N N N O O O bénéfces résduels N N N N N N O N Q N O O N O méthodes comptables N N N N N N LB N Q N PR O N O prop. au coût margnal N N N N Q Q N N Q Q O IU N O Auman-shapley N N N N Q Q O N Q Q O IU O N Shapley-Shubk N N N N O Q O N Q Q O O O N nucléole N N N N N N O N Q Q O O IDC N séquentelle radale O O O N R RQ N O Q Q O R N CHF Tableau - Prncpes et proprétés des méthodes de partage de coûts Généralement, on va rechercher des méthodes qu satsfont à pluseurs proprétés à la fos. Idéalement, on amerat que le plus grand nombre de ces proprétés vore toutes soent satsfates. Malheureusement, certanes proprétés peuvent être ncompatbles entre elles. Un certan nombre de propostons ont été démontrées dans la lttérature économque à ce sujet. D'autres propostons affrment que telle et telle proprété est satsfate par telle ou telle méthode. D'autres enfn établssent qu'l y a une seule méthode qu satsfat smultanément à un ensemble donné de proprétés. On a énoncé un certan nombre de ces propostons dans cette secton. Ans, dans le cas des demandes undmensonnelles et homogènes, l n'y a que la règle des coûts moyens pour satsfare à la fos aux proprétés d'addtvté, de cohérence, de proportonnalté et de tratement égaltare des équvalents (les égaux dans ce cas-c). En prme, on obtent la monotone par rapport aux coûts. En fat, on sat qu'elle est la seule à satsfare à la fos à la proportonnalté et à la monotone par rapport aux coûts. 4

105 Toujours dans un contexte undmensonnel, la méthode de répartton séquentelle est la seule à satsfare à la fos à la préservaton des rangs, à la gratuté pour des demandes dentques de coût nul, à la proportonnalté et à l'addtvté. Cette dernère méthode satsfat également à la monotone par rapport à la demande et au prncpe séquentel. Elle est en fat caractérsée par ce derner prncpe et le tratement égaltare des égaux. Dans le cas des demandes multdmensonnelles, la règle séquentelle radale est la seule à satsfare à la fos au prncpe séquentel radal et au tratement égaltare des demandes équvalentes. Par contre, l faut oubler l'nsensblté des contrbutons aux enttés néglgeables, l'addtvté et même l'nsensblté à la décomposton en coûts spécfques et communs. S on veut avor l'addtvté, l'nsensblté des contrbutons aux enttés néglgeables, la symétre, l'nvarance par rapport aux untés de mesure et la monotone par rapport à la demande, c'est vers la règle Shapley-Shubk qu'l faut se tourner. Cette méthode est la seule à satsfare à toutes ces proprétés à la fos. On peut même retrancher la monotone par rapport à la demande de cette lste et remplacer l'nvarance par rapport aux untés de mesure par l'ordnalté pour obtenr une autre caractérsaton de la méthode Shapley-Shubk. Ces propostons sont résumées dans le Tableau 2 chaque rangée ndque un ensemble de proprétés, marquées d'un «X», que la méthode est la seule à satsfare smultanément. Le «R» sgnfe qu'l faut remplacer (PS) par (PSR). RG TE S PS IEN GR MCT MD PR IU O AD CH coûts moyens X X coûts moyens X X X X séquentelle orgnale X X séquentelle orgnale X X X X Shapley-Shubk X X X X Shapley-Shubk X X X X X séquentelle radale X R 2 Tableau 2 - Caractérsaton des méthodes de partage de coûts

106 Par delà ces proprétés, la dsponblté et la qualté des données va condtonner la qualté des réparttons. Ans, toutes les règles qu sont basées sur la foncton C nécesstent la connassance de cette foncton, au mons pour la demande Q et parfos pour toutes les demandes comprses dans l'ensemble défn par 0 y q pour =,..., n. Dans le cas de la règle séquentelle, l faut au mons pouvor calculer le coût des demandes ntermédares, au nombre de n. Dans le cas de la règle de répartton proportonnelle au coût margnal, l faut connaître le coût margnal de chaque entté au pont Q. Pour la règle Aumann-Shapley, l faut connaître ce coût margnal tout au long du segment [ 0,Q ]. Les règles qu font ntervenr la foncton ĉ nécesstent unquement la connassance de cette foncton. Avec la méthode Shapley-Shubk l faut connaître la valeur de cette dernère pour les 2 n sous-ensembles possbles d'enttés. Ce derner nombre croît assez rapdement. Il est égal à successvement 3,7,,3,63,27,2 lorsque n crot de 2 à 8. Cela ne pose évdemment aucun problème s on connaît la foncton C. Certanes règles de répartton proportonnelle font également ntervenr des coûts spécfques ca.. La valeur de ces derners va nfluencer drectement la répartton des coûts. 3.7 Concluson : chox d'une méthode La règle des coûts moyens est d'un usage très répandu dans les contextes undmensonnels,.e. lorsque les demandes des enttés s'exprment par un seul nombre et que ces demandes peuvent être sommées pour donner la demande globale. Cette popularté s'explque sans doute pas la smplcté de cette règle. Comme on l'a vu, elle peut se justfer également par ses nombreuses proprétés. Elle satsfat en effet à la plupart de celles qu ont été recensées dans la secton Une excepton notable est le prncpe séquentel, qu rend les contrbutons des plus pettes enttés ndépendantes de l'ampleur des demandes des plus grosses. Pour les stuatons où l'mpact des plus grosses demandes sur les contrbutons des plus pettes enttés est une préoccupaton mportante, la règle de répartton séquentelle est toute ndquée pusqu'elle satsfat au prncpe séquentel. En fat, c'est la seule à satsfare à ce prncpe en même temps 6

107 qu'au tratement égaltare des demandes équvalentes. Elle satsfat également à toutes les autres proprétés de la règle des coûts moyens, à l'excepton de la monotone par rapport aux coûts. De plus, elle peut être étendue à des contextes où les demandes sont hétérogènes ou multdmensonnelles. C'est là une consdératon mportante. Nous avons argué que la descrpton de la plupart des problèmes réels requert une lste de pluseurs nombres, lstes qu de surcroît peuvent être dfférentes d'une entté à une autre. La pratque la plus répandue consste à concevor des méthodes de répartton proportonnelle pour ces contextes, en utlsant des clefs de répartton de toutes sortes. Malheureusement, le comportement des règles de répartton proportonnelle lasse beaucoup à désrer dans les contextes multdmensonnels. Les méthodes de ce type, même les plus sophstquées, qu ont été proposées dans la lttérature volent bon nombre des proprétés qu'on pourrat juger souhatables. C'est le cas de la méthode des bénéfces résduels, de la répartton proportonnelle aux coûts margnaux et des méthodes auxquelles on a donné le nom de comptable dans ce rapport et qu ont été proposées par Morarty (97), Louderback (976) et Balachandran et Ramakrshnan (98). 2 Par opposton aux méthodes de répartton proportonnelle, la règle séquentelle radale conserve la plupart des proprétés de la règle séquentelle orgnale, ben que parfos sous une forme plus fable, dans les contextes multdmensonnels. La seule perte notable est l'addtvté (AD) et l'nsensblté des contrbutons à la décomposton en coûts spécfques et communs (IDC). Ces dernères sont ntéressantes parce qu'l arrve souvent qu'on souhate fare la répartton des coûts, composante par composante. Par exemple, on peut voulor répartr les coûts de captal séparément des fras d'explotaton. L'addtvté garantt que, peu mporte qu'l y at décomposton des coûts ou non et peu mporte la façon de les décomposer, la répartton totale sera la même. S on sat que la méthode utlsée satsfat à cette proprété, on convendra faclement qu'l est nutle de consacrer beaucoup d'énerge à la décomposton des coûts. 30 Dans le même ordre d'dée, on peut souhater mputer drectement aux enttés les coûts qu leur sont spécfques et réserver l'utlsaton d'une règle de répartton aux coûts qu sont 7

108 vértablement communs. La dstncton entre les deux n'étant pas toujours clare, on peut consacrer beaucoup d'efforts pour arrver à établr une telle dstncton, à la satsfacton de toutes les enttés. L'ntérêt d'une règle qu satsfat à (IDC) est précsément qu'elle dspense de tous ces efforts parce que, en fn de compte, les résultats seront les mêmes, peu mporte la décomposton adoptée. S les proprétés (AD) et (IDC) s'avèrent mportantes, l faut oubler la règle séquentelle radale pour les contextes multdmensonnels et se tourner plutôt vers les règles ssues de la théore des jeux coopératfs. Parm ces dernères, celle de Shapley-Shubk est certanement la plus facle à utlser. Avec cette dernère, on retrouve (AD) et (IDC). On gagne également l'nsensblté des contrbutons aux enttés néglgeables mas on dot sacrfer la préservaton des rangs, le tratement égaltare des demandes équvalentes (pour ne conserver que la symétre), le prncpe séquentel et l'nsensblté du classement des contrbutons aux enttés non pertnentes. Dans ce domane, comme dans ben d'autres, on ne peut donc tout avor. Il y a des chox à fare et ces chox mplquent des coûts en termes des proprétés sacrfées et de données requses. En vertu des résultats établs dans cette parte, le chox dans les contextes multdmensonnels devrat se fare entre la règle séquentelle radale et la règle Shapley- Shubk, selon les proprétés prvlégées. 8

109 4 LA TARIFICATION Dans un problème de partage des coûts, on suppose souvent, comme nous l avons fat dans la parte qu précède, que les quanttés demandées par les dfférents agents ou enttés sont données au départ. Il s'agt alors de répartr entre ces derners le coût de les satsfare de façon conjonte. La queston abordée dans la présente parte du rapport est plus générale. Nous admettons que la façon même de répartr les coûts peut avor une nfluence sur les demandes elles-mêmes. Nous supposons donc que les agents, clents ou consommateurs ont une foncton de demande pour les bens et servces, qu'on supposera pour le moment connue avec certtude. La queston étudée est celle de la détermnaton des tarfs auxquels les dfférents groupes d agents, de clents ou de consommateurs seront soums de façon à satsfare un objectf détermné (maxmsaton des profts, maxmsaton du ben-être, ou autre) en foncton le cas échéant de dverses contrantes, poltques, réglementares ou autres, qu peuvent être mposées dans la détermnaton des tarfs De façon générale, les nfrastructures (de transport, d entreposage ou de lquéfacton dans le cas du gaz naturel) ont été mses en place à grand fras, alors que leur coût d'opératon (en parte fxe et en parte varable) est relatvement fable. L'ntérêt général commanderat qu'on tarfe l'usage de ces nfrastructures en foncton du coût margnal de producton et de dstrbuton des bens et servces consdérés, en prenant son d'y nclure tous les coûts d'opportunté, dont ceux lés à la congeston et à la polluton. À tout le mons, on devrat abasser les tarfs de manère à assurer une utlsaton maxmale de ces nfrastructures. Un problème de sous-fnancement se pose lorsque la tarfcaton au coût margnal d approvsonnement ne permet pas de couvrr les coûts totaux, tant les coûts d nfrastructures que les coûts d approvsonnement. Lorsque la tarfcaton est faîte au coût margnal, nous obtenons ce que les économstes consdèrent comme la soluton de premer rang, correspondant à un optmum de Pareto. À l'autre bout du spectre, le gestonnare de l'nfrastructure pourrat exercer tout son pouvor de marché le cas échéant et maxmser ses profts prvés, compte tenu de la demande. 9

110 4 LA TARIFICATION L'objectf vsé se stue le plus souvent entre ces deux solutons. Il faut collecter suffsamment de recettes pour couvrr les coûts, une parte d'entre eux, ou encore pour assurer un nveau normal de proft ou de rentablté où la norme est détermnée de manère exogène, possblement par un organsme de réglementaton. Dans l'ntérêt général, les recettes totales dovent alors être prélevées de manère à rencontrer l objectf fxé tout en s élognant le mons possble des consommatons assocées à la soluton de premer rang pour le plus grand benêtre des ctoyens. On cherche ce que les économstes appellent la soluton de second rang,.e. la melleure soluton étant donnée la contrante budgétare mposée au gestonnare des nfrastructures en queston. Le problème de tarfcaton est alors de caractérser et détermner les tarfs de manère à attendre cet objectf. C'est la problématque abordée dans cette parte du rapport. Nous débutons par la tarfcaton optmale à la Ramsey-Boteux, auss dte lnéare. Dans ce cas, l n'y a qu'un prx par unté de ben ou servce, ben qu'l pusse varer d'un ben à un autre. Nous montrons par la sute qu'on peut fare meux avec des tarfs polynômes ou non lnéares, comprenant des charges fxes, des prx d'usage, etc. 4. La maxmsaton des profts ou du ben-être : tarfcaton à la Ramsey-Boteux 2 La théore économque nous ensegne que, pour assurer la maxmsaton du ben-être des consommateurs, les bens et servces dovent être vendus à leur coût margnal socal. Ce derner nclut les dommages à l'envronnement et les effets externes. Cependant, en présence d'économes d'échelle, ce mode de tarfcaton donne un défct. Une soluton possble consste à combler ce défct par une subventon, comme on le fat souvent pour le transport en commun et la producton de spectacles par exemple. Dans d'autres stuatons, cela est poltquement mpossble et on requert plutôt que le responsable de la producton s'autofnance, au mons en parte. Pour ce fare, l dot alors majorer les prx, du mons certans d'entre eux, au dessus des coûts margnaux. 30 La règle de Ramsey-Boteux ndque comment opérer cette majoraton, tout en générant le mons de dstorsons possbles par rapport aux consommatons effcaces ou de premer rang obtenues avec la tarfcaton au coût margnal. Dans l ensemble des tarfcatons lnéares, elle

111 4 LA TARIFICATION maxmse le ben-être total des consommateurs sous la contrante budgétare. Elle suppose la foncton de demande connue ou, du mons, l'élastcté-prx de cette dernère. Notons pour le moment que l élastcté-prx drecte et l élastcté-prx crosée de la demande de gaz naturel s adressant au négocant consdéré (par exemple Gaz de France) mesure la varaton en pourcentage de la demande sute à une varaton en pourcentage des prx et permet donc de prendre en consdératon non seulement les préférences des clents/demandeurs mas auss les alternatves que leur offre les autres négocants en gaz naturel et entreprses offrant des bens substtuts. Une entreprse qu fat face à des pressons concurrentelles fortes [fables] sera confrontée à une demande à forte [fable] élastcté. Ans, une entreprse qu pratque une tarfcaton effcace à la Ramsey-Boteux pour récupérer l ensemble de ses coûts (y comprs les coûts de congeston, les coûts envronnementaux, le coût du captal, etc.) ou pour attendre un nveau de rentablté donné poursut mplctement l objectf d évter que ses clents actuels mgrent vers des concurrents. Il sera plus asé de comprendre la règle de Ramsey-Boteux s on comprend ben la manère dont un monopole fxerat les prx pour maxmser son proft. On va donc commencer par ce problème, d'abord avec une catégore de clents et ensute deux. On passera ensute assez naturellement à la règle de Ramsey-Boteux. 4.. La maxmsaton du proft avec une catégore de consommateurs 2 Consdérons un monopole qu produt un ben à un coût margnal c constant, sgnfant que la producton de toute unté supplémentare entraîne un coût addtonnel c. Ce monopole fat cependant face à un coût fxe C, nécessare au fonctonnement et à l'entreten de l'nfrastructure. C'est le type de confguraton de coûts qu justfe l'exstence d'un monopole. Dans ce cas, le coût margnal est en effet toujours nféreur au coût moyen et ce derner est toujours décrossant. La tarfcaton au coût margnal donnerat forcément un proft négatf. Supposons pour l'nstant qu'l n'y a qu'une catégore de consommateurs, avec une demande dont l élastcté est égale à η ( p). Pour maxmser le proft, le prx p dot être chos de manère à satsfare :

112 4 LA TARIFICATION p c = () p η( p) Ans, pour maxmser le proft, l faut chosr un prx p de manère à ce que la marge ( p c) réalsée par rapport au prx sot égale à l'nverse de l'élastcté. 7 De plus, le prx ne dot pas être s fable que la demande dépasse les capactés de producton. Une justfcaton ntutve de l'expresson c-dessus est la suvante. La réducton du prx d'une unté ( Δ p = ) a deux effets. Le premer est négatf, pusqu'l correspond à une dmnuton drecte du proft de Δ ( p) q= q. Le deuxème effet est postf et correspond à l'accrossement de la quantté demandée sute à la basse du prx. En vertu de la défnton de q l'élastcté, cette dernère est donnée par Δ q= η( p). Elle entraîne une augmentaton du p proft d'un montant : q p c ( p c) Δ q= ( p c) η( p) = η( p) q p p Pour maxmser le proft, l faut qu à la marge les deux effets s'annulent : p c η( p) q = q. p En dvsant les deux partes de cette égalté par η ( p) q, on obtent la règle (). Comme cas partculer, s le coût margnal de producton c est nul, le prx dot être fxé de manère à égalser l'élastcté à ( η ( p) = ). De façon générale, le prx p ne dot jamas être fxé de sorte que l'élastcté sot nféreure à. 8 7 Dans la lttérature sur le monopole, on réfère au rapport p c sous le vocable d'ndce de Lerner. 8 Avec η ( p) <, une augmentaton de prx d'une unté ( Δ p = ) entraînerat une augmentaton drecte du proft de Δ p q = q. La basse ndrecte, due à l'augmentaton de prx, serat nféreure à la hausse drecte. On aurat en effet p Δ q = η( p) q > q. En termes absolus, p Δ q < q. p 2

113 4 LA TARIFICATION 4..2 La maxmsaton du proft avec deux catégores de consommateurs Consdérons mantenant le cas où l exste deux catégores de consommateurs, avec des élastctés respectves η ( p) et η ( p) 2, pouvant être serves à des coûts margnaux respectfs c et c 2. Pour les mêmes rasons et suvant les mêmes ntutons que pour la maxmsaton du proft, la structure optmale des prx est donnée par la formule suvante : p c p2 c2 = = p η ( p ) p η ( p ) La marge réalsée par rapport au prx pour chaque type de consommateurs dot être égale à l'nverse de l'élastcté de la demande de ce même type de consommateurs. La marge réalsée par rapport au prx dot être d'autant plus mportante que la demande des consommateurs a une fable élastcté. L'ntuton derrère ces formules est la suvante. Les consommateurs dont la demande est mons élastque sont mons sensbles aux varatons de prx que ceux dont la demande est plus élastque. Ils peuvent fare face à un prx plus élevé, payer une marge plus mportante, sans pour autant dmnuer sensblement leur consommaton. Les consommateurs ayant une élastcté plus grande paeront un prx plus proche du coût margnal qu'ls mposent au producteur. On veut ans qu'ls mantennent la quantté demandée à un nveau élevé. Comme cas partculers, s les coûts margnaux des deux catégores de consommateurs sont nuls ( c = c2 = 0), alors chaque prx p dot être fxé de sorte que l'élastcté η( p) sot égale à L'optmum de second rang avec deux catégores de consommateurs Supposons dorénavant que le monopole n'at pas le drot de maxmser ses profts mas qu'on lu permette smplement de couvrr ses coûts,.e. d'attendre l'équlbre budgétare. 9 Comment alors dovent être fxés les prx qu attegnent l'objectf de second rang? En suvant les mêmes ntutons, la règle est donnée par la formule suvante : 9 S'agssant d'entreprses publques, on pourrat exger qu'elles récupèrent un certan pourcentage de leurs coûts. La noton d'équlbre budgétare peut s'entendre dans ce sens également. 3

114 4 LA TARIFICATION p c λ p2 c2 λ = = (2) p η ( p ) p η ( p ) Dans cette formule, λ est fxé de façon à satsfare la condton d'équlbre budgétare. On trouve cette valeur en résolvant un système d'équatons smultanées, par tâtonnement s nécessare. S on pose λ =, on retrouve la soluton qu maxmse le proft. Avec λ = 0, on obtent les prx de la soluton de premer rang, p = c et p2 = c2, qu donnent un défct. La soluton de second rang, correspondant au cas de l'équlbre budgétare, est quelque part entre les deux: 0 < λ <. Les prx qu sont défns par (2) sont dts de Ramsey-Boteux. La règle (2) elle-même est souvent appelée la règle de l'nverse de l'élastcté. S c = c2 = 0, les prx dovent être tels que : η ( p ) = η ( p ) = λ (3) 2 2 À l'optmum de second rang, les prx sont alors choss de sorte que les élastctés des deux catégores de consommateurs soent égales et nféreures à l'unté. Ce résultat montre que la structure des prx est, dans un sens, équtable: les deux types de consommateurs réagssent de manère smlare à une augmentaton margnale des prx, pusque leurs élastctés sont égales. Cette proprété d'équté est une caractérstque mportante de la structure de ces prx. Dans le cas plus général, les marges réalsées en fxant les prx optma de second rang (les membres gauches de (2)) sont proportonnelles, et non plus égales, à l'nverse des élastctés des demandes respectves des consommateurs. Les marges sont donc plus fables que lorsque le proft de l'entreprse est maxmsé. Le facteur λ, nféreur à, reflète la contrante d'équlbre budgétare mposée au gestonnare de l'entreprse, qu ne peut pas profter plenement de son pouvor de marché pour maxmser ses profts. 2 Comme pour la maxmsaton du proft, les consommateurs à forte élastcté bénéfcent d'une marge plus fable, par rapport au coût margnal, que ceux à fable élastcté. L'ntuton est la Pour une présentaton plus poussée, vor Brown et Sbley (986). Vor également Ramsey (927) et Boteux (96) 4

115 4 LA TARIFICATION même: s l'entreprse décdat d'une marge trop élevée, ces consommateurs auraent ntérêt à se tourner vers un ben substtut. À l'nverse, les marchés où la demande est peu élastque peuvent supporter une marge plus élevée sans que les consommateurs modfent leur chox de façon sensble pour un produt substtut. La règle de fxaton des prx exprmée en (2) permet à l'entreprse d'attendre l'équlbre budgétare, tout en mnmsant la dstorson par rapport à l'optmum de premer rang (pour lequel les prx sont égaux aux coûts margnaux). Même s les consommateurs à fable élastcté couvrent une plus grande part des coûts de fonctonnement et de mantenance, ls bénéfcent tout de même de la présence des consommateurs dont l'élastcté est plus grande, pusque ceux-c contrbuent auss à l'équlbre budgétare de l'entreprse La prse en compte des élastctés crosées Jusqu'à mantenant, l a été queston de deux catégores de consommateurs mas d'un seul ben ou servce. On peut nterpréter la règle (2) comme s'applquant à la demande pour deux bens dfférents mas à condton que la demande d'un ben dépende unquement de son prx. Dans de nombreuses stuatons, les dfférents servces dont l faut établr les tarfs sont cependant des substtuts ou des compléments. Par exemple, l'électrcté aux heures creuses est, jusqu'à un certan pont, un substtut pour l'électrcté aux heures de ponte. La quantté demandée dans une pérode dépend non seulement du tarf pour cette pérode mas également de celu qu s'applque aux autres pérodes. On peut toujours chosr de fare la lessve durant les heures creuses plutôt qu'en pérode de ponte, en foncton du tarf pour les dfférentes pérodes. Il mporte alors d'en tenr compte dans la dérvaton des tarfs optmaux. Supposons que l'entreprse vende deux servces et que la demande pour le servce sot 2 donnée par q = d( p, p2). Convenons de noter η 2 ( p, p 2 ) l'élastcté crosée de la demande du servce par rapport au prx du servce 2. De même, η2( p, p2) est l'élastcté crosée de la demande du servce 2 par rapport au prx du servce. La règle (2)devent alors : p c λ p2 c2 λ = = (4) p s p s 2 2

116 4 LA TARIFICATION où s η η η η = p q η2 η2 p q s 2 ηη2 η2η2 = pq η η2 p q 2 2 Les termes s et s 2 sont souvent appelés les super élastctés des demandes pour les deux bens. Ils devennent respectvement η et η 2 quand η2 = η2 = 0. À noter que les termes c et c 2 peuvent ne pas être constants et même dépendre de tout le vecteur ( q, q 2). 4.2 La tarfcaton non lnéare S l'on se contente d'une tarfcaton lnéare, défne par un seul nombre ou monôme, la formule de Ramsey-Boteux ndque comment fare payer les dfférents types de consommateurs de manère à maxmser le ben-être socal. Cependant, la théore économque nous ensegne qu'l est possble de fare meux, en offrant aux consommateurs un menu de dfférents tarfs polynômes, parm lesquels chacun peut lbrement chosr. Un tarf polynôme est un tarf non lnéare, défn par dfférents prx qu s'applquent à dfférentes caractérstques de la demande. Un tarf non lnéare peut, par exemple, être composé d'une charge fxe et de dfférents prx par unté pour dfférentes utlsatons de l'nfrastructure. Cette secton débute avec la défnton d'un tarf bnôme (à deux partes). Ensute, nous défnssons un menu de tarfs bnômes et nous généralsons enfn cette défnton aux tarfs polynômes Le menu de tarfs polynômes Un tarf bnôme est défn par un couple ( f, p ), où f est une charge fxe, par pérode de temps par exemple, et p une charge varable qu s'applque à l'utlsaton de l'nfrastructure (nombre de passages, nombres de mnutes, dstance parcourue, etc.). Consdérons mantenant une sute de tarfs bnômes ( f, p),( f2, p2),( f3, p 3),, telle que : p > p > p > f < f < f < Pour une présentaton plus extensve, vor Wlson (993). 6

117 4 LA TARIFICATION Cette sute consttue un menu de tarfs bnômes, s l'on permet aux consommateurs de chosr, dans cette sute, le couple ( f, p ) suvant lequel ls vont être facturés. En supposant qu'ls vont chosr le melleur tarf, c'est-à-dre celu qu mnmse leurs dépenses totales, on obtent la courbe de facturaton llustrée dans la Fgure 3. Cette courbe llustre la recette totale obtenue d'un consommateur, en foncton de son utlsaton de l'nfrastructure. Chaque pare ( f, p ) défnt une drote d'ordonnée à l'orgne f et de pente p. Cependant, seules les partes plenes de la drote dovent être consdérées, pusque tout pont des partes en pontllés est domné, en termes de coût, par un pont stué en dessous, sur une autre drote. $ p 3 f 3 p 2 f 2 p q Fgure 3 Courbe des charges avec un menu de tarfs bnômes Le concept de tarf bnôme peut être généralsé à un nombre quelconque de composantes. Par exemple, un tarf peut prendre la forme ( f, p, r, s ), où f est un charge fxe et p, r et s représentent des charges varables, chacune afférente à une caractérstque dfférente du servce. Par exemple, p pourrat être le prx à la mnute d'une communcaton Internet, r celu du volume d'nformaton téléchargée et s celu du volume téléversé. Un tel vecteur est un tarf polynôme. Une sute de tarfs polynômes est un menu de tarfs polynômes. 7

118 4 LA TARIFICATION La théore économque récente nous ensegne qu'l est toujours possble de fare meux avec un menu de tarfs polynômes qu'avec un tarf lnéare, dsons p > c. Plus exactement, l est possble d'avantager certans consommateurs, sans en défavorser d'autres, tout en augmentant les recettes nettes. On peut comprendre comment en consdérant deux consommateurs, l'un à fable demande et l'autre à forte demande. Sot q et q 2 les utlsatons respectves de l'nfrastructure par ces deux consommateurs à un prx unque p. Supposons q < q 2 et proposons mantenant le menu {(, ),(, )} f p f2 p2 aux consommateurs, avec 2 p < p et des charges fxes f = 0 et f 2 = ( p p 2 ) q 2. Les consommateurs peuvent chosr la même tarfcaton que précédemment,.e. p, pusque f = 0, ou ben ls peuvent chosr ( f2, p 2). La charge fxe f 2 satsfasant : f2 + pq 2 2 = pq 2 le consommateur 2, en chosssant ( f2, p 2), pae la même facture qu'avec un prx unque p et consomme la même quantté q 2. Toutefos, étant donné que le prx varable par unté de servce est plus fable ( p2 < p), ce consommateur peut envsager d'augmenter sa demande, au mons à long terme, ce qu se tradura par une augmentaton des recettes de l'entreprse. En ce qu concerne le consommateur, l va vrasemblablement chosr de conserver la tarfcaton ntale p, pusque, avec q < q2 : et donc : ( ) f > p p q 2 2 f2 + pq 2 2 > pq à mons qu'l ne trouve plus avantageux de payer la charge fxe f 2 et d'accroître sa consommaton au prx p 2. En tout état de cause, l ne se plandra pas, sa stuaton ne pouvant 2 évoluer que dans le bon sens. Le fat que toutes les structures tarfares soent dsponbles à tous les consommateurs confère à cette forme de tarfcaton un prncpe d'équté notable, 8

119 4 LA TARIFICATION celu d'absence d'enve. Chaque utlsateur peut chosr le tarf qu convent le meux à ses besons et ses partculartés. S le gérant de l'nfrastructure n'a pas beson des recettes supplémentares qu'apporterat ce menu de tarfs (s'l a déjà attent l'équlbre budgétare), l peut le redstrbuer aux consommateurs en rédusant les charges f et p. Ans, on a montré comment, en partant d'un prx unque lnéare p, l est possble d'amélorer le ben-être de chaque agent en ntrodusant une autre tarfcaton ( f2, p 2), où p2 < p Le menu optmal Une queston venant naturellement à l'esprt est de savor s'l exste une structure optmale pour de tels tarfs. La réponse est postve. Cette structure optmale dépend de la nature des dfférentes demandes, plus partculèrement des élastctés η ( p) et η 2 ( p) des deux consommateurs ou groupes de consommateurs (marchés, demandes). En fat, quand on consdère des tarfs polynômes, l faut dstnguer l'élastcté par rapport à la charge fxe de l'élastcté par rapport à la charge varable. Ces élastctés sont en prncpe dfférentes et la structure tarfare optmale dépend des deux. Dans la recherche du menu optmal de tarfs, on dot s'assurer que le consommateur chosra, volontarement et naturellement, le tarf ( f, p ), alors que le consommateur 2 préférera ( f2, p 2). En outre, les dfférents tarfs ( f, p ) dovent être conçus de sorte que la contrante d'équlbre budgétare sot vérfée et que l'nfrastructure sot utlsée de façon optmale,.e. à son maxmum. 2 S l'on peut amélorer l'utlsaton de l'nfrastructure, tout en satsfasant la contrante d'équlbre budgétare, en passant d'un tarf lnéare unque p à un menu de tarfs bnômes {(, ),(, )} f p f p, on peut amélorer davantage l'utlsaton de cette nfrastructure avec un 2 2 menu {(, ),(, ),(, )} f p f p f p et ans de sute. Le nombre maxmum de composantes à un

120 4 LA TARIFICATION menu de tarfs polynômes correspond au nombre de dfférents types de consommateurs ou groupes de consommateurs qu utlsent l'nfrastructure. Rappelons que, en construsant ce menu de tarfs, on dot s'assurer que chaque type de consommateur trouvera avantageux de chosr le tarf qu lu est destné, c'est-à-dre que le consommateur dot préférer ( f, p ) à tout autre tarf, le consommateur 2 le tarf ( f2, p 2), le consommateur 3 le tarf ( f3, p 3) et ans de sute. On dt alors que les tarfs permettent l'autosélecton des consommateurs, ou encore que ces tarfs sont auto-sélectfs. Il faut ben sûr trater cette complcaton supplémentare avec beaucoup d'attenton. En partculer, les dfférents tarfs ( f, p ) dovent être détermnés de manère à satsfare la contrante d'équlbre budgétare, tout en maxmsant l'utlsaton de l'nfrastructure. L'élaboraton de tarfs polynômes à n-partes est évdemment plus complexe que celle de tarfs bnômes Un exemple On a vu qu'une tarfcaton polynôme peut être plus effcace qu'un tarf lnéare smple. On a auss nssté sur le problème d'auto-sélecton qu'l faut résoudre lorsqu'on établt une telle tarfcaton. Voyons mantenant un exemple llustrant ces dées. En partculer, on va détermner un couple de tarfs bnômes qu permet d'attendre une soluton plus effcace que celle obtenue par les prx de Ramsey-Boteux. Supposons qu'l exste deux consommateurs, dont les fonctons de demande respectves sont : q = 0 p 2 q = 0. p 2 2 Le coût total qu dot être couvert est fxe et égal à 7$ Les tarfs de Ramsey-Boteux Les prx de Ramsey-Boteux sont les solutons du système d'équatons suvant :

121 4 LA TARIFICATION p 0.p2 = 0 p 0. p p p + p2 0. p2 = 7 La premère équaton est équvalente à η( p) = η2( p2) et la deuxème représente la contrante d'équlbre budgétare. La soluton est : p = p 2 =.3397 S ces prx sont proposés aux consommateurs, leurs demandes respectves sont : q = q 2 = Les tarfs bnômes auto-sélectfs Avec les tarfs de Ramsey-Boteux, le consommateur 2 préférerat payer p plutôt que p 2. Ce résultat est général : la tarfcaton à la Ramsey-Boteux ne satsfat pas au prncpe d'absence d'enve. Cela sgnfe qu'elle ne satsfat pas à la contrante d'auto-sélecton non plus : le consommateur 2 a ntérêt à se fare passer pour le consommateur. On va à présent montrer qu'l exste une structure tarfare (un menu) {(, ),(, )} f p f p permettant d'attendre une melleure soluton que celle obtenue avec les prx 2 2 de Ramsey-Boteux. Rappelons que f est une charge fxe, p un tarf par unté consommée et que chaque consommateur peut lbrement chosr entre les deux pares ( f, p) et ( f2, p 2). Cette structure tarfare est {(8, 0.74), (2,.493) }. Les deux composantes de ce menu de tarfs bnômes défnssent les deux drotes tracées sur la Fgure 4. La courbe formée des deux segments plens donne les dépenses totales en foncton de la quantté demandée. 2

122 4 LA TARIFICATION $ 2,.493 8, 0.74 q Fgure 4 Deux tarfs bnômes Pour l'nstant, fasons l'hypothèse smplfcatrce que les charges fxes, 8 ou 2, n'ont pas d'mpact sur la demande des consommateurs. Seules les charges varables entrent en lgne de compte dans leurs fonctons de demande. S le consommateur chost la pare (8, 0.74) et le consommateur 2 la pare (2,.493), leurs demandes respectves sont : q = q 2 = 9.42 Ces consommatons sont supéreures à celles calculées avec les prx de Ramsey-Boteux. En outre, les recettes lées à cette tarfcaton sont exactement de 7$. Il reste à montrer que le consommateur va effectvement chosr la pare (8, 0.74) et le consommateur 2 la pare (2,.493). Sur la Fgure 4, on vot que q = coûte mons cher au consommateur avec le premer tarf qu'avec le deuxème et que q 2 = 9.42 coûte mons cher au consommateur 2 avec le deuxème tarf qu'avec le premer. De plus, q se stue à drote du pont d'équvalence des deux tarfs, alors que q 2 se stue à gauche de ce pont. 22

123 4 LA TARIFICATION Cependant, on devrat comparer les surplus des consommateurs plutôt que les dépenses totales. Que sont ces surplus? Consdérons la foncton de demande représentée dans la fgure suvante. $ Fgure Le surplus des consommateurs lorsque le prx est fxé à $ q S le tarf lnéare est $, alors le surplus des consommateurs dans ce marché est donné par l'are ombrée, mons toute charge fxe f. En effet, on peut nterpréter la courbe de demande comme représentant le prx maxmum que le consommateur est prêt à payer pour chaque unté de servce. Ans, s'l pae en réalté $ pour une unté qu'l serat prêt à payer $, comme pour la e unté, le consommateur réalse un surplus de $ sur cette unté. En reprodusant ce même rasonnement pour toutes les untés de ben achetées, on obtent le trangle ombré, qu représente le surplus brut du consommateur. Le surplus net s'obtent en retranchant la charge fxe qu'l dot payer pour avor accès à l'nfrastructure. Avec une foncton de demande de la forme q= b ap, le surplus, foncton de f et de p, est facle à calculer. Il s'écrt : b p ( b ap) a S( f, p) = 2 f 23

124 4 LA TARIFICATION Applquons cette formule pour calculer le surplus du consommateur avec chacun des deux tarfs bnômes. On obtent : S (8, 0.7) = S (2,.493) = Il est clar que le consommateur gagne à chosr la premère pare de la structure tarfare, (8, 0.74). Quant au consommateur 2, on obtent : S 2 (8, 0.74) = S 2 (2,.493) = Le consommateur 2 a donc ntérêt à chosr le tarf (2,.493). En résumé, cette tarfcaton, où les pares (charge fxe, charge varable) ont été spécalement détermnées pour les consommateurs et 2, entraîne une soluton melleure que celle de Ramsey-Boteux et satsfat au prncpe de non enve et à la condton d'auto-sélecton. Il n'est donc pas nécessare d'mposer un tarf à un consommateur. Cette tarfcaton permet auss d'accroître le surplus de chaque consommateur. Remarquons auss que les charges varables de chaque tarf tennent compte des dfférentes élastctés de la demande. On a en effet p < p 2 comme avec la règle de Ramsey-Boteux. En fat, p et p 2 sont les prx optmaux de Ramsey-Boteux pour f = 8 et f 2 = 2. Toutefos, ces chox de f et f 2 ne sont pas nécessarement optmaux La prse en compte de l'effet de la charge fxe Jusqu'à mantenant, on a supposé que les charges fxes, f et f 2, n'avaent aucun mpact sur la demande. En réalté, elle peut nfluencer la demande. Supposons donc que la parte fxe du tarf a un effet négatf sur la quantté demandée. Par exemple, supposons que la foncton de demande sot de la forme d( f, p) = b ap cf. La foncton de surplus d'un consommateur 2 s'écrt alors : b cf ( p)( b cf ap) S( f, p) = a f 2 24

125 4 LA TARIFICATION Sot les demandes des deux consommateurs : q = 0 p 0. f q = 0. p 0. f Avec de telles fonctons de demande, voyons que les tarfs non lnéares : {(.2638, 0.74), (4.77,.493) } satsfont la condton d'auto-sélecton. En effet, les surplus du consommateur selon ces deux tarfs sont : S (.2638, 0.74) = S (4.77,.493) = Ans, l est clar que le consommateur va chosr le premer tarf (.2638, 0.74). Les surplus du consommateur 2 sont : S 2 (.2638, 0.74) =.39 S 2 (4.77,.493) = 44.7 Le consommateur 2 préfère donc le deuxème tarf (4.77,.493). En somme, les consommateurs et 2 ont toujours ntérêt à chosr les tarfs respectfs (.2638, 0.74) et (4.77,.493) qu ont été conçus pour eux. 4.3 Concluson La tarfcaton effcace exge qu'on connasse les élastctés des demandes. Il reste encore beaucoup à fare à ce chaptre. Il faut dstnguer les élastctés par rapport aux prx propres des élastctés crosés de court terme (plus fables) et de moyen ou long terme (plus élevées). C est par la modélsaton des élastctés que les effets des pressons concurrentelles peuvent être prs en compte. 2 Les tarfs des négocants en gaz naturel ont souvent des structures en pluseurs partes, fxe et varable, qu peuvent être dégressves sur certans ntervalles. Les servces de tarfcaton de ces négocants en gaz naturel cherchent à défnr ces tarfs en tenant compte de la nature de la demande des dfférents clents. Dans les entreprses en général, cela se fat plus souvent sur 2

126 4 LA TARIFICATION des bases subjectves, à défaut de pouvor compter sur une bonne approche théorque et sur l exstence et le tratement adéquat des données emprques nécessares. La queston qu devrat ntéresser les négocants en gaz naturel et leurs régulateurs est de savor s les tarfs peuvent prétendre à une quelconque optmalté ou effcacté économque. Des recherches plus poussées du côté des élastctés et de la répartton des dfférents types de clents de façon plus générale, de même que sur les coûts margnaux de desservr ces clents à dfférents moments dans le temps, pourraent permettre d'apporter des éléments de réponse à cette queston. La valorsaton des nfrastructures passe en parte par la répartton effcace de leur coût. De plus, on exge souvent qu'une nfrastructure se fnance par la tarfcaton, en totalté ou du mons en parte. Dans ce rapport, nous avons voulu montrer comment on peut approcher cette queston de la manère la plus effcace possble en fxant les prx de manère à se rapprocher le plus possble d'un optmum de premer rang. En pratque, dverses contrantes, autres que la contrante budgétare, peuvent nfluencer la tarfcaton. L'approche générale et les prncpes de tarfcaton que nous avons développés dans ce rapport permettent de consdérer des contrantes de toutes sorte. 2 Un des concepts qu ont été explorés est celu de la tarfcaton à la Ramsey-Boteux, qu consste à fxer les prx des dfférents bens ou servces en foncton de l'nverse de l'élastcté de leurs fonctons de demande. Les tarfs polynômes semblent encore plus ntéressants. Ils peuvent être construts comme des menus de dfférentes composantes, où chaque composante comprend une charge fxe (abonnement) et de prx relatfs à dfférentes caractérstques de la consommaton. L'aspect le plus mportant de cette approche est que les consommateurs ont la lberté de chosr, dans le menu, la composante qu lu convent le meux. 30 Par contre cette tarfcaton n'est pas mmune aux crtques au plan de l'équté. De plus, dans un contexte concret, l peut être dffcle d'avor toute l'nformaton requse (par exemple l'nformaton sur les demandes) pour calculer les prx de Ramsey-Boteux. La tâche rsque de s'avérer encore plus dffcle s'l s'agt d'établr un menu de tarfs non lnéares. 26

127 CONCLUSION GÉNÉRALE Dans notre rapport, nous proposons une approche globale à la tarfcaton ntégrant une étape de partage de coûts communs. Nous présentons également les prncpales méthodes de partage des coûts et de tarfcaton permettant aux décdeurs de prendre des décsons sur la base de crtères explctes rgoureux. Des études plus poussées devraent permettre de détermner la combnason méthode de partage de coûts / méthode de tarfcaton la plus à même d embrasser les contrantes et objectfs de Gaz de France. Deux conclusons peuvent cependant d ores et déjà être dégagées de ces premers travaux. D une part, le chox d une méthode de partage de coûts communs dot être fondé sur les proprétés que vérfe cette dernère. L utlsaton de grands prncpes assocés à ces proprétés peut ader ensute à construre l argumentare entourant la communcaton et la défense du chox effectué. D autre part, nonobstant le caractère effcace ou optmal de cette procédure, l est possble que son applcaton entraîne le façonnement de tarfs qu pourraent être perçus comme dffclement acceptables au plan poltque. Dans un tel cas, l serat nopportun de modfer de manère ad hoc la règle de partage des coûts communs, chose au départ pour ses proprétés d'effcacté, d équté ou de cohérence, ou la règle de tarfcaton à la Ramsey- Boteux (contrantes de tarfs unformes et de proftablté), permettant de s'élogner le mons possble des nveaux de consommaton effcaces (obtenus par une tarfcaton au coût margnal). Il faudrat plutôt recourr à des mécansmes nctatfs de support drect pour ader et compenser les clents à protéger et ce, sans manpulaton des tarfs. 2 Partage des coûts effcace, équtable et cohérent d'un côté et tarfcaton optmale (accompagnée de mécansmes d'atténuaton des mpacts, le cas échéant) de l'autre sont des outls essentels et complémentares qu permettront à Gaz de France de gagner en compéttvté et performance. 30 Mas partage des coûts et tarfcaton sont des consdératons qu suvent chronologquement la réalsaton d nvestssements en nfrastructures qu eux-mêmes dovent fare l objet d une optmsaton rgoureuse. La chronologe ne dot cependant pas fare oubler que la valorsaton 27

128 . CONCLUSION GÉNÉRALE des nfrastructures communes dot reposer sur les tros plers que consttuent les méthodologes de chox d nvestssements 22, de partage des coûts et de tarfcaton. Nous n avons traté dans notre rapport que des deux dernères. Mas l ne faut pas oubler qu l faut se préoccuper auss de la premère. Le tro méthodologque n aura en défntve que la pussance du mallon le plus fable. 22 Vor à ce sujet Boyer et Gravel (0) et Boyer et al. (03). 28

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