Probabilités et Statistiques
|
|
- Claude Lussier
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Préparatio à l Agrégatio Probabilités et Statistiques Fascicule d Exercices gééraux de Probabilités (iveaux L3-M1) Uiversité Pierre et Marie Curie - Paris VI Aée Lauret MAZLIAK U certai ombre des exercices qui suivet, surtout das les deux premiers chapitres, repérés par u, sot corrigés das le petit livre de la collectio Livrets d exercices de Lauret Mazliak chez Herma sous le titre Calcul de probabilités. D autres le sot das le livre Probabilités de Yves Lacroix et Lauret Mazliak publié chez Ellipses das la collectio Mathématiques à l Uiversité. Repérés par u, ces deriers peuvet évetuellemet correspodre das le livre à ue partie traitée das le cours (pas e exercice). 1
2 1 Variables aléatoires discrètes Exercice 1.1 Le Chevalier de Méré s étoait qu e laçat deux dés, il obtiee plus souvet 11 que 12 alors que l u et l autre de ces ombres était obteu que par ue combiaiso (5+6 et 6+6). Qu e pesez-vous? Exercice 1.2 a) O fait rouler quatre dés. Quelle est la probabilité d obteir au mois u six? b) O fait rouler deux dés vigt-quatre fois. Quelle est la probabilité d obteir au mois ue fois deux ciq? Exercice 1.3 persoes sot réuies das ue pièce. Calculez la probabilité pour que deux d etre elles au mois aiet la même date d aiversaire. Exercice 1.4 O suppose que das ue course, il y a chevaux au départ. a) Calculez le ombre de tiercés possibles b) Calculez la probabilité de gager, avec u ticket, le tiercé 1-das l ordre 2-das l ordre ou le désordre 3-das le désordre c) Applicatio umérique avec = 14. Exercice 1.5 Das les p boîtes à lettres d u immeuble, u facteur est chargé de distribuer lettres dot r 1 sot pour la boîte 1,...,r p pour la boîte p. Peu cosciecieux, il les distribue au hasard. a) Quelle est la probabilité pour que la distributio soit correcte? b) Quelle est la probabilité pour que la boîte 1 soit correctemet remplie? c) Quelle est la probabilité pour que das la boîte 1 il y ait aucue lettre destiée à u voisi? d) Quelle est la probabilité pour qu il y ait das chaque boîte exactemet le ombre de lettres qui lui était destié? 2
3 Exercice 1.6 O lace deux dés au hasard et o cosidère les évéemets suivats A = le premier dé tombe sur ue face impaire B = le deuxième dé amèe ue face impaire C = la somme des valeurs des faces des deux dés est impaire Motrer que A, B, C sot deux à deux idépedats mais pas idépedats. Exercice 1.7 Soiet évéemets idépedats A 1,..., A das (Ω, P ). Calculer e foctio de P (A i ) la probabilité p = P (A 1... A ) et motrer que 1 p exp{ i P (A i)}. Exercice 1.8 O tire au hasard,selo ue loi uiforme, u etier compris etre 1 et a) Si q divise, quelle est la probabilité de tirer u multiple de q b) O suppose que la décompositio e facteurs irréductibles de soit = q α qαp p O ote A i l évéemet: o tire u multiple de q i. Motrer que les A i sot idépedats. Exercice 1.9 E utilisat la loi de (X, Y ), démotrer que E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Exercice 1.10 Costruire u exemple de variable aléatoire o costate pour laquelle Var(X) = 0. Exercice 1.11 Ue populatio comporte 60% de femmes et 40% d hommes. O sait par ailleurs que 10% des hommes ot les cheveux logs et que 40% des femmes ot les cheveux courts. Ue persoe se présete avec les cheveux logs. Quelle est la probabilité pour que ce soit ue femme? 3
4 Exercice 1.12 Soit A u évéemet. O ote 1I A la variable aléatoire qui vaut 1 sur A et 0 ailleurs (foctio caractéristique de A). Motrer que E(1I A ) = P (A). Exercice 1.13 Soit X ue variable aléatoire réelle. a) Motrer que pour tout α > 0, si X 0, P (X α) 1 E(X) (Iégalité de Markov) α b) Motrer que pour tout ε > 0, P ( X E(X) > ε) Var(X) ε 2 (Iégalité de Bieaymé-Tchebitcheff) Exercice 1.14 Soiet X 1 et X 2 deux variables idépedates, de lois B( 1, p) et B( 2, p). Quelle est la loi de X 1 + X 2? Exercice 1.15 Calculer la probabilité pour qu e répartissat r boules das cellules, toutes les cellules soiet occupées. Exercice 1.16 U joueur joue à la roulette à 37 cases 10 euros sur le 19 et 100 euros sur pair : si la bille tombe sur 19 il touchera 36 fois sa mise (soit 360 euros) et si elle tombe sur pair (0 exclu), il touchera 2 fois sa mise ; das tous les autres cas, sa mise va à la baque. Quelle est l espérace de so gai? Exercice 1.17 a) Mo voisi a deux efats dot ue fille. Quelle est la probabilité pour que l autre soit u garço? b) U autre voisi a deux efats dot le plus jeue est ue fille. Quelle est la probabilité pour que l autre soit u garço? 4
5 Exercice 1.18 Ce mati là, Mosieur Marti, philosophe à ses heures, avait etrepris, compte teu des prévisios météorologiques pessimistes, de se redre à so travail e voiture et avait eu la boe idée de proposer à so voisi, l igéieur Félicie Optimal de l emmeer. Hélas, bietôt pris das des ecombremets désespérats, ils duret se résoudre à egager les plaisirs de la coversatio ce qui leur doa l occasio de mieux se coaître. M.Marti expliqua qu il avait trois efats dot u préommé Jacques et u autre Paul. N avez-vous pas aussi ue fille? demada Félicie. D ailleurs, je ai qu ue chace sur quatre de me tromper. M.Marti cotiua so propos qui fit apparaître que l aîé des efats était justemet Jacques. Je pese ecore que vous avez ue fille, reprit Félicie, mais j ai maiteat ue chace sur trois de me tromper. - Puisque cela vous itéresse, je puis vous doer ue autre idicatio, dit Mosieur Marti: mo bejami est Paul. - Alors, répodit Félicie, je e sais plus du tout si vous avez ue fille ou o! Cette démostratio de ratioalisme laissa otre philosophe u peu perplexe: ile lui apparaissait pas clair e effet que les iformatios successives qu il avait doées avaiet pu augmeter l icertitude de so voisi Félicie. Ces iformatios étaiet-elles des coaissaces ou des ati-coaissaces? Il s egagea alors das ue méditatio sur le réel et aboutit à la coclusio que puisque effectivemet le cadet de ses efats était ue fille, la première impressio de Félicie avait été la boe. (d après N.Bouleau: Probabilités pour l igéieur, Herma) Exercice 1.19 Soit (A ) ue suite d évéemets telle que P (A ) < Motrer que P ( ue ifiité de A i se produiset simultaémet ) = 0 (Lemme de Borel-Catelli) Exercice 1.20 Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates telles que X suit ue loi de Poisso de paramètre λ et Y ue loi de Poisso de paramètre µ. Détermier la loi de X + Y. 5
6 Exercice 1.21 O s itéresse à l effet biologique produit par des électros à l issue d ue cathode. Précisémet, o suppose que chaque électro émis a ue probabilité p d être actif. O suppose que tous les électros ot u comportemet idépedat les us des autres. O ote Z le ombre d électros émis et Y le ombre d etre eux qui sot actifs. O suppose que Z suit ue loi de Poisso de paramètre λ. Détermier la loi de Y. Exercice 1.22 Soiet A 1, A 2,..., A des évéemets. Motrer que P (A 1... A ) = P (A 1 )P (A 2 /A 1 )... P (A /A 1... A 1 ) Exercice 1.23 Soiet X et Y deux variables aléatoires de lois de Poisso de paramètres α et β. Motrer que pour tout i suffisammet grad, P (X = i) P (Y = i) α β. Exercice 1.24 Soit X ue variables aléatoire à valeurs etières. O pose p k = P (X = k) et q k = j k+1 Motrer que E(X) = j 0 q j p j Exercice 1.25 Trouver la loi du miimum de deux variables aléatoires géométriques idépedates Exercice 1.26 Décrire u espace de probabilité (Ω, A, P ) de l expériece aléatoire qui cosiste à répartir au hasard boules das N cases. O ote X le ombre de boules tombat das ue case doée à l avace. a) Expliciter les p k = P (X = k), 0 k, E(X) et Var(X) b) Doer la limite de p k quad k état fixé, et N tedet vers l ifii de telle sorte que N λ, 0 < λ < 6
7 Exercice 1.27 A - O dispose de N pièces umérotées de 1 à N et o e choisit au hasard sas replacemet ( N) a) Décrire l espace de probabilités (Ω 1, A 1, P 1 ) (resp. (Ω 2, A 2, P 2 )) associé à cette expériece aléatoire quad o regarde la suite (resp. l esemble) des uméros obteus. b) O suppose qu ue proportio p, 0 < p < 1, des N pièces sot défectueuses, avec pn >. O ote X le ombre de pièces défectueuses figurat parmi les pièces choisies. (i) E cosidérat X défiie sur Ω 2 expliciter les p k = P 2 (X = k). (ii) E cosidérat X défiie sur Ω 1 motrer que X peut s écrire comme la somme de variables aléatoires à valeurs das {0, 1} X = k=1 Calculer les E(Z k ), cov(z k, Z l ). E déduire E(X) = p et Var(X) = p(1 p)(1 1 N 1 ) B - O cosidère les mêmes pièces, mais o e choisit avec replacemet ( peut être plus grad que N). O ote Y le ombre de pièces défectueuses observées. a) Décrire l espace de probabilité (Ω, A, P ) associé à cette expériece aléatoire b) Expliciter les q k = P (Y = k), 0 k et motrer que, pour k et fixés, p k q k quad N. Commeter. Z k Exercice 1.28 Soit X ue variable aléatoire réelle telle que E(X) = m et Var X = σ 2. O se doe u α 0. a) Soit λ 0. Motrer que P (X m α) = P (X m + λ α + λ). b) Calculer E[(X m + λ) 2 ]. c) Motrer que d) E étudiat ϕ(λ) = λ 0, P (X m α) σ 2 + λ 2 α 2 + λ 2 + 2λα. σ 2 + λ 2 α 2 + λ 2, déduire l Iégalité de Catelli + 2λα P (X m α) 7 σ2 α 2 + σ 2
8 e) Motrer que P ( X m α) 2σ2 α 2 + σ 2 Quad cette iégalité est-elle meilleure que l iégalité de Bieaymé-Tchebitcheff? Exercice 1.29 Ue pricesse a prétedats umérotés par ordre de mérite décroissat 1,2,...,. Elle doit e choisir u. Le problème est qu ils défilet u par u au hasard devat elle et qu elle e peut reveir sur so choix si elle e a laissé partir u. Elle doit doc adopter ue stratégie pour avoir le plus de chace de choisir le meilleur... Soit Ω l esemble des permutatios de {1, 2,..., }. Ω est mui de la probabilité uiforme. σ Ω représete u tirage du hasard (les prétedats défilet das l ordre σ(1),..., σ()). Pour 1 k, o itroduit la variable Y k qui est le rag de σ(k) das l esemble {σ(1),..., σ(k)} ragé e ordre décroissat: Y k = 1 sigifie que σ(k) est le plus grad parmi l esemble {σ(1),..., σ(k)}, Y k = 2 sigifie qu il y a exactemet u élémet de {σ(1),..., σ(k)} plus grad que σ(k) etc... Par covetio, o pose Y +1 = 0. a) Motrer que F : σ (Y 1 (σ),..., Y (σ)) défiit ue bijectio de Ω sur Π = {1}... {1, 2,..., } b) E déduire que les variables Y j sot idépedates et que Y k suit la loi uiforme sur {1, 2,..., k}. c) Soit τ r = if{k r, Y k = 1} (= + 1 si cet esemble est vide). Calculer la probabilité pour qu au temps τ r, le prétedat qui se présete soit le meilleur (i.e. le umero 1). Commet choisir r pour maximiser la probabilité précédete? Trouver u équivalet de r quad ted vers l ifii. Exercice 1.30 Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires à valeurs das { 1, 1}, idépedates et de même loi doée par P (X 1 = 1) = P (X 1 = 1) = Soit S = X k. k=1 Calculer E(S ). 8
9 2- O appelle temps d arrêt de la suite (X ) ue variable aléatoire τ qui vérifie 0, A { 1, 1}... { 1, 1} = { 1, 1} (cet esemble peut être vide) tel que (τ ) = [(X 1,..., X ) A ] a- Motrer que toute variable aléatoire costate 0 IN est u temps d arrêt b- Motrer que si τ et ν sot deux temps d arrêt, ρ = max(τ, ν) est u temps d arrêt. c- Motrer que si τ est u temps d arrêt, alors, Ã { 1, 1} tel que (τ = ) = [(X 1,..., X ) Ã)]. d- Soit τ = if{ 1, X = 1}. Motrer que τ est u temps d arrêt. Calculer E(S τ ). Exercice 1.31 Soit X ue variable aléatoire réelle preat les valeurs x 1, x 2,..., x l avec les probabilités respectives p 1,..., p l (p p l = 1). O cosidère la foctio de momets de X défiie pour t IR par M(t) = E(e tx ). 1 - Motrer que l o a t IR, M(t) = k=0 t k k! E(Xk ) 2 - E déduire que M est de classe C sur IR et que k 0, E(X k ) = M (k) (0) 3 - Calculer la foctio de momets d ue variable de Beroulli de paramètre p 4 - Soiet X 1,..., X, variables aléatoires idépedates preat chacue u ombre fii de valeurs. O pose S = X X. Calculer la foctio de momets de S. 5 - Quelle est la foctio de momets d ue variable biômiale de paramètres et p 6 - Motrer que M(t) caractérise la loi de X 7 - O pose C(t) = l M(t) a) Motrer que C est défiie sur IR, de classe C b) Calculer C(0), C (0), C (0). c) Motrer que M et C sot covexes. 9
10 Exercice 1.32 Soit (X ) 1 ue suite idépedate de variables aléatoires à valeurs das {0, 1}. Soit τ le premier istat où la valeur 1 est prise: τ(ω) = if{m, X m (ω) = 1}, (= + si ) O pose r = P (X = 1) et l o suppose que 0 r < 1 pour tout. a) Expliciter la loi de τ à l aide des r A quelle coditio sur les r a-t-o τ < p.s.? b) Détermier la foctio géératrice de τ aisi que E(τ) et Var(τ) das le cas où r = a (a fixé das ]0,1[). c) O pose τ 0 = 0, τ 1 = τ et τ +1 = if{m > τ, X m = 1} Motrer que les variables τ sot fiies p.s., que les v.a. τ +1 τ, 0 sot idépedates et de même loi. E déduire la foctio géératrice et la loi de chacue des τ, leur espérace et leur variace. Exercice 1.33 U joueur va au casio avec ue fortue a IN. A chaque partie, il peut gager 1 euro avec ue probabilité p et perdre 1 euro avec ue probabilité q = 1 p. So but est de jouer jusqu à l obtetio de la fortue c a, c IN mais il doit s arrêter s il est ruié. O ote s c (a) sa probabilité de succès (atteidre c avat la ruie). a) Calculer s c (0) et s c (c) b) Motrer, pour a > 0, e raisoat sur ce qui s est passé au premier coup, la relatio s c (a) = ps c (a + 1) + qs c (a 1) c) Déduire la valeur de s c (a) d) Applicatio umérique: Calculer la valeur précédete avec a = 900, c = 1000; a = 100, c = das les cas p = 0, 5 et p = Exercice 1.34 O repred le modèle de l exercice précédet mais le jeu chage et le joueur est maitat autorisé à s edetter (il e doit plus s arrêter quad il est ruié). O s itéresse au temps d attete du premier gai par le joueur (c est à dire au premier istat où sa fortue s est accrue d ue uité par rapport à sa fortue iitiale). a) Posos 10
11 φ = P ( au ième coup, pour la première fois, le joueur réalise u gai ). Par covetio, φ 0 = 0. Calculer φ 1. b) O pose Φ(s) = 0 φ s pour 0 s 1. Motrer que pour > 1, φ = q(φ 1 φ φ 2 φ 1 ) c) Déduire que Φ(s) ps = qsφ 2 (s). d) Résoudre l équatio et e déduire Φ. e) Calculer 0 φ f) Soit N le uméro du coup où le joueur réalise u gai pour la première fois. Calculer E(N). 2 Variables aléatoires cotiues Exercice 2.1 Soit X ue variable aléatoire réelle. O pose F (t) = P (X t) (foctio de répartitio). a) Motrer que F est croissate et cotiue à droite. b) Commet iterpréter les sauts de F? Motrer qu il y e a au plus u ombre déombrable. c) Motrer que F est cotiue si X est ue variable à desité. d) Si X est à desité, relier F et la desité de X. e) Motrer que F caractérise la loi de X. Exercice 2.2 a) O suppose que X est à valeurs das IR +. O pose F (t) = P (X t). Motrer que E(X) = 0 (1 F (t))dt b) Soit X ue variable admettat u momet d ordre 1. Motrer que E(X) = P (X > t)dt 0 0 P (X < t)dt Exercice 2.3 Si X est uiforme sur [ 1, 1], détermier la loi de X et de X 2. 11
12 Exercice 2.4 Si X est ue variable aléatoire réelle strictemet positive de desité f, détermier la loi de X 1, X 2 + 1, mi(x, 1). Exercice 2.5 Supposos que X et Y soiet idépedates et f(x, y) 0. O pose g(x) = E(f(x, Y )). Motrer que E(g(X)) = E(f(X, Y )). Exercice 2.6 Soiet 3 ombres X, Y, Z choisis idépedammet et uiformémet das [0,1]. Quelle est la probabilité pour que l o puisse former u triagle à l aide de segmets de logueurs X, Y, Z? Exercice 2.7 Soit (X, Y ) ue variable aléatoire à valeurs das IR 2 de desité f(x, y) = 1 2 x e y 1I D (x, y) avec D = {x > 0, y > 0, y 2 > x}. a) Détermier les lois de X et Y. b) Les variables aléatoires X et Y sot-elles idépedates? c) Les variables X et Y X 1 2 sot-elles idépedates? d) Les variables aléatoires X Y 2 et Y sot-elles idépedates? Exercice 2.8 Soiet X 1 et X 2 deux variables aléatoires idépedates, de mêmes lois de desité f(x) = 2x, 0 < x < 1 Détermier la loi de X1 X 2. Exercice 2.9 Soit ue variable aléatoire telle que P (X > x + y/x > x) = P (X > y), x, y 0 Détermier la loi de X et iterpréter. 12
13 Exercice 2.10 O cosidère ue variable X admettat u momet d ordre 1. Motrer que ε > 0, δ > 0, A F, P (A) < δ E( X 1I A ) < ε Exercice 2.11 O dit qu ue suite de variables aléatoires (X ) est uiformémet itégrable si o a lim sup E( X 1I a X >a) = Motrer que (X ) est uiformémet itégrable si et seulemet si (E( X )) IN est borée et si ε > 0, δ > 0 tel que A F, P (A) < δ sup E( X 1I A ) < ε 2 - Soit (X ) ue suite de variables uiformémet itégrable. O pose Y = max( X 1, X 2,..., X ). Motrer que E(Y ) = o(). Exercice 2.12 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires à valeurs réelles. Costruire ue probabilité Q équivalete à P telle que toutes les variables X admettet par rapport à Q u momet d ordre 1. Exercice 2.13 Prouver que 1 2π e tx2 2 dx = t 1 2 et déduire que si X est ue variable gaussiee cetrée réduite E(X 2k ) = (2k 1), k 1 13
14 Exercice 2.14 Soiet X 1,..., X variables aléatoires réelles positives idé pedates, de même loi de foctio de répartitio F. O pose M = max(x 1,..., X ). Exprimer à l aide de F les momets de M (c est à dire les E(M k ) où k est u etier). Exercice 2.15 Soit X ue variable aléatoire réelle de loi N (0, 1) et soit ε ue variable aléatoire idépedate de X telle que P (ε = 1) = P (ε = 1) = 1 2. O pose Y = ε.x. a) Quelle est la loi de (X, Y )? b) Calculer E(XY ) c) X et Y sot-elles idépedates? Exercice 2.16 Soiet α > 0 et β > 0. Soit de plus (U, V ) u vecteur aléatoire à valeurs das IR 2 de loi uiforme sur la surface u 0, v 0, u 1/α + v 1/β 1. O ote S la mesure de cette surface. U 1/α Détermier la loi de X = U 1/α + V. 1/β Exercice 2.17 a) Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates. O suppose que la loi de X admet ue desité sur IR et que Y est à valeurs etières. La loi de X + Y admet-elle ue desité? b) Que pesez-vous du cas o-idépedat? Exercice 2.18 (Aiguille de Buffo). Le pla est strié de droites parallèles équidistates de 2a. Ue aiguille de logueur 2l, l < a est jetée au hasard sur le pla au ses où la distace du milieu de l aiguille à la droite la plus proche est ue variable aléatoire X uiforme sur [0, a] et où l agle que fait l aiguille avec cette droite est ue variable aléatoire ϕ, idépedate de X, uiforme sur [0, π]. Quelle est la probabilité que l aiguille coupe l ue des parallèles? Exercice 2.19 Soit Θ et Φ la logitude et la latitude d u poit tiré aléatoiremet sur la surface de la shère uité de IR 3 Détermier la loi du couple (Θ, Φ) et étudier l idépedace. 14
15 Exercice 2.20 Soiet A, B, C trois variables aléatoires strictemet positives et idépedates de foctio de répartitio F de classe C 1 sur IR. Motrer que la probabilité pour que le polyôme AX 2 + BX + C admette ue racie réelle est égale à 0 0 F ( x2 4y )F (x)f (y)dxdy Applicatio umérique si A, B, C suivet ue loi uiforme sur [0,1]. Exercice Soiet X 1, X 2,..., X des variables réelles idépedates et de même loi µ. Soit σ S, esemble des bijectios de {1, 2,..., } sur lui même. Motrer que H B(IR ), P [(X 1,..., X ) H] = P [(X σ(1),..., X σ() ) H] 2 - Soit (X ) IN ue suite de variables aléatoires réelles idépedates et de même loi possédat ue desité sur IR. a) O défiit Ω comme l esemble des ω Ω tels que X k (ω) X j (ω), (j, k) IN 2, k j Motrer que P ( Ω) = 1. b) Sur Ω, o défiit la variable aléatoire T (ω) à valeurs das S comme la permutatio ordoat (X 1 (ω),..., X (ω)). Autremet dit, T (ω) = σ sigifie X σ(1) (ω) < X σ(2) (ω) <... < X σ() (ω) O pose de plus Y (ω) égal au rag de X (ω) parmi X 1 (ω),..., X (ω) i.e. Y (ω) = k sigifie que parmi X 1 (ω),..., X (ω), k 1 valeurs exactemet sot iférieures à X (ω). Motrer que T suit ue loi uiforme sur S. c) Motrer que Y suit ue loi uiforme sur {1, 2,..., } d) Motrer que les variables Y 1, Y 2,..., Y,... sot idépedates e) Soit A l évéemet (max X k < X ) (o pose A 1 = Ω). k< Motrer que A 1, A 2,... sot idépedats et que P (A ) = 1 f) Soit N (ω) = if{ >, ω A } Motrer que P (N = + k) = ( + k 1)( + k) Calculer E(N ) 15
16 3 Covergeces des variables aléatoires Exercice 3.1 Soit (X ) ue suite de variables idépedates cetrées et telles que sup E(X) 4 <. Motrer que S = X X coverge vers 0 p.s. Exercice 3.2 Soit f : [0, 1] IR, cotiue. O pose B (x) = f( k )Ck x k (1 x) k. k=0 a) Motrer que si M = sup x pour tout b) Coclure sup x f(x) et δ(ε) = sup f(x) f(y), o a x y ε f(x) B (x) δ(ε) + 2M ε 2 Exercice 3.3 Soit (S ) ue suite de variables aléatoires telle que S suit ue loi biômiale de paramètres et p, 0 p 1. O suppose que lim p = λ IR +. Etudier la covergece e loi de la suite (S ). Exercice 3.4 Soit X ue variables aléatoire à valeurs etières, de foctio géératrice P (s). O suppose qu il existe s 0 > 1 tel que P (s 0 ) <. a) Motrer que m r = E(X r ) < pour tout r 0. b) O pose F (s) = m r r! sr r 0 Motrer que F coverge pour s < l s 0. Exercice 3.5 a) Moter que des variables à desité peuvet coverger vers des variables sas desité. b) Et réciproquemet. 16
17 Exercice 3.6 Motrer que si X coverge e loi vers X, alors µ X (I) µ X (I) pour tout borélie I tel que µ X ( I) = 0. Exercice 3.7 Calculer la foctio caractéristique d ue loi de Cauchy de desité 1 1 π 1 + x 2 Exercice 3.8 Soiet X 1,..., X idépedates et de loi de Cauchy. Détermier la loi de (X X ). Exercice 3.9 Soit X ue v.a. de loi µ et de foctio caractéristique ϕ. a) Motrer que 1 T µ({a}) = lim e ita ϕ(t)dt T 2T T b) Soit {x k } la suite des poits de masse o ulle pour µ. Motrer que lim T 1 T ϕ(t) 2 dt = 2T T k µ({x k }) 2 Idicatios: Commecer par cosidérer deux variables idépedates Z 1 et Z 2 de loi µ. Motrer que Motrer alors que lim T 1 T ϕ(t) 2 dt = P (Z 1 Z 2 = 0) 2T T P (Z 1 Z 2 = 0) = P (X = y)µ(dy) = k µ({x k }) 2 c) Motrer que µ a pas de poit de masse si ϕ est das L 2 (dt). 17
18 Exercice 3.10 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles qui coverge e loi vers X. a) Motrer que (ϕ X ) forme ue suite de variables uiformémet équicotiues. b) Motrer que ϕ X coverge uiformémet sur tout compact de IR. Exercice 3.11 Soiet X 1, X 2,... X,... des variables aléatoires de même loi admettat ue variace fiie. a) Motrer que ε, lim P ( X 1 > ε ) = 0 b) Déduire que lim P ( 1 max 1 k X k > ε) = 0 Exercice Motrer que si les v.a. X 1,..., X,... sot idépedates p.s. et X X, alors X est costate 2 - Démotrer que ce résultat reste vrai si l o suppose seulemet la covergece e probabilité. Exercice 3.13 Motrer que si X P X et o a X Y, où Y est ue v.a. itégrable, alors X L 1 X. Exercice 3.14 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires à valeurs 0 ou 1. O pose p = P (X = 1). a) Trouver ue coditio écessaire et suffisate pour que la suite (X ) coverge vers 0 das L 1. b) Trouver ue coditio écessaire et suffisate pour que la suite (X ) coverge vers 0 e probabilités. c) Trouver ue coditio écessaire et suffisate pour que la suite (X ) coverge vers 0 p.s. d) Trouver ue coditio écessaire et suffisate pour que la suite (X ) coverge vers 0 e loi. 18
19 Exercice 3.15 Soit (X ) IN ue suite de variables iid telles que P (X 1 0) = 1 et P (X 1 > 0) > 0. Motrer que X = p.s. Exercice 3.16 Soit (X ) IN ue suite de variables aléatoires covergeat p.s. vers X. O suppose de plus que lim E( X ) = E( X ). Motrer que la covergece a lieu e fait das L 1. Exercice 3.17 Soit {X } 1 ue suite de v.a. idépedates. a) O suppose que pour u c > 0 les trois séries IP { X c} =1 IE(X ) c =1 Var(X) c =1 coverget, où o ote X c = X 1 { X c}. Motrer que la série X coverge p.s. b) Motrer que la covergece des séries IE(X ) et IE( X p ) pour u 1 < p 2 etraie la co- =1 vergece p.s. de la série =1 X. =1 =1 Exercice 3.18 Soit f : IR 2 IR ue foctio uiformémet cotiue. O cosidère deux suites (X ) et (Y ) de variables réelles telles que X P X et Y P Y. Motrer que f(x, Y ) P f(x, Y ). Exercice 3.19 Soit f : [0, 1] IR ue foctio cotiue. Motrer que f( x1+...+x ) dx 1... dx f( 1 2 ) [0,1] 19
20 Exercice 3.20 Soit {X } 1 ue suite de v.a. idépedates et uiformes sur [0, 1]. Soit f boréliee borée. Etudier la covergece p.s. de la suite 1 (f(x 1) f(x )) pour. Exercice 3.21 Soit (X ) ue suite de v.a. idépedates de même loi de Beroulli de paramètre p = 1 q. O pose Y = 1I X+1=1,X +2=0. a) O pose Z = 1I X2+1=1,X 2+2=0 et Z = 1I X2=1,X 2+1=0. Motrer que les deux suites (Z ) et (Z ) sot composées, chacue, de variables idépedates. b) Déduire la covergece p.s. de la suite Z Z c) Etudier la covergece p.s. de la suite Y Y. et de la suite Z Z. Exercice 3.22 Soiet X 1 et X 2 des variables idépedates de moyee ulle et de variace σ 2 < +. O suppose que X1+X2 2 X 1 X 2. Quelle est cette loi? Exercice 3.23 Soit X = (X 1,..., X d ) à valeurs das IR d de foctio caractéristique Φ X (u). a) Quelle est la foctio caractéristique de X 1? b) Soit A : IR d IR p ue applicatio liéaire. Quelle est la foctio caractéristique de A(X)? Exercice 3.24 O dit qu ue variable aléatoire réelle admet ue loi à réseau si sa loi est portée par u esemble {a + b, Z}, où a et b > 0 sot deux réels. O ote ϕ la foctio caractéristique de X. a) Motrer que X a ue loi à réseau si et seulemet si ϕ(t) = 1 pour u t > 0. b) Motrer que si ϕ(t) = ϕ(t ) = 1 pour u t et u t icommesurables (i.e. de rapport irratioel), alors X est p.s. costate. 20
21 Exercice 3.25 Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates de même loi µ. O suppose que x > 0, µ([x, + [) = µ(], x]) et que µ est pas ue masse de Dirac. E outre, o suppose que (α, β) IR + IR +, αx +βy a même loi que (α + β)x. Détermier la loi µ. Exercice 3.26 Soiet (s i ) i 1 ue suite de réels positifs décroissate vers 0, (d k ) ue suite de réels positifs telle que k 1 d k = +. O suppose efi que k 1 s kd k = 1 et o pose t 0 = 0 et t k = d d k. Soit ϕ la foctio telle que ϕ(0) = 1, ϕ est affie sur chaque itervalle [t k, t k+1 ], de pete s k+1. a) Dessier le graphe de ϕ. b) Calculer la foctio caractéristique de la loi de desité (1 x )1I 1<x<1. c) Calculer la foctio caractéristique ϕ 0 de la loi de desité 1 π d) Motrer que, si p k = (s k s k+1 )t k, k 1 p k = 1 et ϕ(t) = 1 cos x x. 2 k=1 p k ϕ 0 ( t t k ). Déduire que ϕ est ue foctio caractéristique. e) Soit ψ ue foctio paire, réelle, telle que ψ(0) = 1, cotiue, covexe, positive et décroissate sur IR +. Motrer que ψ est ue foctio caractéristique. Exercice Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles. a) Motrer que si X coverge e loi vers X, alors ε > 0, il existe K > 0 tel que sup P ( X K) < ε [0, ] b) Motrer que si X coverge e loi vers X, alors ϕ X (t) coverge uiformémét vers ϕ X (t) sur tout itervalle boré de IR. 2- Soiet (a ) et (b ) deux suites réelles avec a > 0,. Soiet X et Y deux variables aléatoires o costates et (X ) ue suite de variables aléatoires telle que X coverge e loi vers X et a X + b coverge e loi vers Y. O ote ϕ, ϕ et ψ les foctios caractéristiques de X, X et Y. a) Motrer que ϕ (a t) coverge uiformémet sur tout itervalle boré vers ψ(t). b) Déduire que 0 est pas valeur d adhérece de la suite (a ) c) E échageat les rôles de ϕ et ψ, motrer que + est pas valeur d adhérece de la suite a. d) Motrer que (a ) coverge vers a > 0. 21
22 e) Motrer que e itb coverge vers ψ(t) das u voisiage de 0. ϕ(at) f) E cosidérat t 0 e isb ds, déduire que (b ) coverge. Exercice 3.28 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi. O suppose qu il existe a < b tels que (i) P (X 1 < a) = 0, P (X 1 > b) = 0 (ii) a < x < b, 0 < P (X 1 x) < 1 O pose Y = if(x 1,..., X ) et Z = sup(x 1,..., X ). a) Motrer que (Y ) coverge e loi vers a. b) Etudier la covergece e loi de (Z ) c) O suppose que X i suit ue loi uiforme sur [0,1]. Etudier la covergece e loi de W = Y. Exercice ) Soit X ue v.a.r. de loi N (0, 1). Calculer la foctio caractéristique de la variable Y = σx + m avec σ > 0, m IR. 2) Soit (X ) ue suite de v.a.r. de loi N (0, 1). O cosidère deux suites (σ ) et (m ), respectivemet das IR + et IR et o pose Y = σ X + m. a) O suppose que σ σ et m m. Motrer que (Y ) coverge e loi. b) O suppose que Y L Y. b1) Motrer que (σ ) coverge vers σ 0. b2) Motrer que (m ) coverge vers m IR. b3) Déduire la loi de Y. Exercice 3.30 Soit (U ) ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi uiforme sur [0,1]. O pose Y = e α (U 1... U ) α où α est ue costate strictemet positive. a) Motrer que E(l U 1 ) = 1 et Var(l U 1 ) = 1. b) Etudier la covergece e loi de 1 α l Y. c) Etudier la covergece e loi de Y. 22
23 Exercice 3.31 O cosidère la desité de probabilités h α (t) = α 1 e α2 2π t 3 2t 1I[0, [ (t) 2 où α > 0. a) Soiet α > 0 et β > 0 doés, et X h α, Y h β deux variables aléatoires idépedates. Détermier la loi de X + Y (o pourra utiliser des trasformées de Laplace). b) Soit (X ) ue suite de variables aléatoires idépedates de loi possédat la desité h α. Détermier la loi de X X 2 Y-a-t-il ue cotradictio avec la loi des grads ombres? c) Etudier la covergece de la suite Y = 1 2 max k X k (o pourra regarder la foctio de répartitio de Y ) Exercice 3.32 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires telle que sup E(X) 2 <. O suppose que (X ) coverge e loi vers X. Motrer que E(X ) E(X). Exercice 3.33 Soit S = X X où les X sot des variables aléatoires idépedates de loi de Poisso de paramètre 1. a) Motrer que ( E ( S ) ) = (+ 1 2 ) e! b) Motrer que ( S ) coverge e loi vers N, la partie égative d ue loi gaussiee cetrée réduite. c) Motrer que ( E ( S ) ) E(N ) d) Déduire u équivalet de! (formule de Stirlig). 23
24 Exercice 3.34 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles telles que (X ) coverge e loi vers X. a) Soit F (x) la foctio de répartitio de X (resp. F, foctio de répartitio de X). O pose G (t) = if{x, F (x) t} (resp.g(t) = if{x, F (x) t}). Détermier la loi de G e tat que variable aléatoire sur l espace de probabilités [0, 1] mui de la mesure de Lebesgue. b) Etudier la covergece de la suite G. (Théorème de Skorokhod) Exercice 3.35 Soiet p u etier fixé 2 et {X } 1 ue suite de v.a. réelles idépedates de même loi uiforme sur {0, 1,..., p 1}. Motrer que la série X coverge p.s. et que sa somme suit ue loi uiforme sur [0, 1]. p =1 Exercice 3.36 Soit {X } 1 ue suite de v.a. idépedates et de même loi uiforme sur [ 1, 1]. a) Soit α > 1 2. Motrer que la série X / α coverge das L 2 et p.s =1 b) Etudier le cas 0 < α 1 2. Exercice 3.37 Soit {X } 1 ue suite de v.a. telle que X suive la loi uiforme sur {0, 1,..., 1 }. Motrer que {X } 1 coverge e loi et détermier la loi limite. 4 Coditioemet et vecteurs gaussies Exercice 4.1 O pose Var(X/G) = E[(X E(X/G)) 2 /G]. Motrer que Var(X) = E[Var(X/G)] + Var(E(X/G)). 24
25 Exercice 4.2 a1) Soiet (X, Y, Z) tel que (X, Z) (Y, Z). Motrer que f 0 et boréliee, E(f(X)/Z) = E(f(Y )/Z). a2) O pose h 1 (X) = E(g(Z)/X) et h 2 (Y ) = E(g(Z)/Y ) pour g boréliee positive doée. Motrer que h 1 = h 2, µ-pp, où µ désige la loi de X. b) Soiet T 1,..., T des variables aléatoires réelles itégrables idépedates et de même loi. O pose T = T T. b1) Motrer que E(T 1 /T ) = T. b2) Calculer E(T/T 1 ) Exercice 4.3 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires réelles idépedates à valeurs das IR d. O pose S 0 = 0, S = X X, F σ(s k, k ). Motrer que pour toute f : IR d IR boréliee borée, E(f(S )/F 1 ) = E(f(S )/S 1 ) et calculer cette quatité. Exercice 4.4 a) Soit X à valeurs das IR m tel que X = ϕ(y ) + Z où Y et Z sot idépedates. Calculer E(f(X)/Y ). b) Soiet X et Y à valeurs das IR k et IR p respectivemet. ( ) MX O suppose que (X, Y ) est u vecteur gaussie de moyee et de ( ) M Y RX R covariace XY. O suppose R Y iversible. R XY R Y b1) Détermier A telle que X AY et Y soiet idépedates. b2) Motrer que E(f(X)/Y ) = f(x)µ Y (dx) où µ Y est la loi gaussiee de moyee E(X/Y ) = M X + R XY R 1 Y (Y M Y ) et de covariace R X R XY R 1 Y R Y X. Exercice 4.5 A) Soiet σ > 0, a IR d et C ue matrice d d défiie positive. Motrer que (C + σ 2 a t a) 1 = C 1 C 1 a t ac 1 σ 2 + < C 1 a, a >. B) Soiet (Z ) ue suite de variables aléatoires réelles idépedates. O suppose que pour tout, Z N (0, c 2 ) où c > 0. Soit X ue variable aléatoire 25
26 de loi N (0, σ 2 ) (σ > 0), idépedate de la suite (Z ). O pose Y = X + Z, G = σ(y 1,..., Y ), ˆX E(X/G ). O pose Y = (Y 1,..., Y ). B1) Quelle est la loi de (X, Y 1,..., Y )? B2) Calculer E(f(X)/Y ) B3) Calculer ˆX et E((X ˆX ) 2 ) B4) Motrer que ˆX X das L 2 si et seulemet si 1 c 2 = + Exercice 4.6 Soit (B t ) t IR + ue famille de variables aléatoires vérifiat les coditios suivates: (i) t 1 < t 2 <... < t, (B t1,..., B t ) est u vecteur gaussie cetré (ii) (s, t), E(B s B t ) = s t (iii) p.s., t B t (ω) est ue foctio cotiue a) Motrer que (B t ) est à accroissemets idépedats et statioaires i.e. t 1 < t 2 <... < t, B t1, B t2 B t1,..., B t B t 1 sot des variables idépedates et s < t, B t B s a même loi que B t s. 1 b) O pose G t = (B k+1 t B k t)2. k=0 Motrer qu il existe ue suite p telle que G p t t p.s. c) Soit t > 0. Motrer que p.s., s B s (ω) est pas à variatios fiies sur l itervalle [0, t]. d) Motrer que si o pose B t = tb 1 pour t > 0 et B t 0 = 0, ( B t ) satisfait aux propriétés (i) et (ii). Motre que (iii) est satisfaite sur ]0, + [. O admettra que la propriété (iii) est satisfaite par B sur [0, + [. e) Motrer que les tribus σ(b s, 0 < s < ε) et σ(b s, s t) e ε>0 t>0 cotieet que des évéemets de probabilité 0 ou 1. f) Motrer que if B = et sup B = + (o pourra motrer que >0 >0 B t = B t satisfait à (i),(ii) et (iii). g) Motrer que p.s., t B t (ω) est pas dérivable e 0. h) Motrer que p.s., t, s B s (ω) s aule sur ]0, t]. 26
27 Exercice 4.7 Soit (M ) ue suite de variables aléatoires. O pose G = σ(m 0,..., M ). O suppose que M 0 = 0 et, E(M +1 /G ) = M. Motrer que E(M) 2 = E((M k M k 1 ) 2 ). k=1 Exercice 4.8 Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates, de même loi cetrée, de variace 1. a) O suppose X et Y gaussiees. Trouver ue CNS sur les réels a, b, c, d pour que ax + by et cx + dy soiet idépedates. Motrer e particulier que X + Y et X Y sot idépedates. b) O suppose que X + Y et X Y sot idépedates. b1) Motrer que φ, foctio caractéristique de X est telle que φ(2t) = φ(t) 3 φ( t) b2) Motrer que φ e s aule pas. b3) Motrer que φ(t) = φ( t) pour tout t (cosidérer ρ(t) = φ(t) φ( t) ). b4) Déduire que X et Y sot gaussiees. Exercice 4.9 Soit (U ) 0 ue suite de v.a.r. idépedates de même loi N (m, σ 2 ), σ > 0. Soit a > 0 doé. O cosidère X 0 = 0 et X +1 = ax + U, 0. a) (X 1,..., X ) est-il u vecteur gaussie? b) Calculer E(X ) et Var(X ). c) c1) O suppose que a < 1. Motrer que (X ) 1 coverge e loi. c2) O suppose que a > 1. Motrer que X a coverge das L 2 vers ue 1 v.a.r. X dot o détermiera la loi. c3) O suppose a = 1. Que peut-o dire de X? Exercice 4.10 Soit (X 1, X 2, X 3 ) N 3 (0, I 3 ). Soiet U = X 1 X 2 + X 3, T 1 = X 1 + X 2, T 2 = X 2 + X 3, T 3 = X 1 X 3. a) Quelle est la loi de U? b) Motrer que U est idépedate de (T 1, T 2, T 3 ). 27
28 Exercice 4.11 Soit (X i ) i 1, ue suite de variables idépedates de loi ormale cetrée réduite. O pose X = 1 i=1 X i et S 2 = 1 i=1 (X i X) 2. a) Quelle est la loi de X? b) Motrer que X et S 2 sot idépedates. 28
Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailChapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.
Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détailPrincipes et Méthodes Statistiques
Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailUniversité Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME
Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par
Plus en détailINTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï
INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailUniversité Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014
Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailUNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce
UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailRESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *)
RESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *) *) Uiversité de Blida Faculté des scieces Départemet de Mathématiques. BP 270, Route de Soumaa. Blida, Algérie. Tel &
Plus en détailTélé OPTIK. Plus spectaculaire que jamais.
Télé OPTIK Plus spectaculaire que jamais. Vivez toute la puissace de la télévisio sur IP grâce au réseau OPTIK 1 de TELUS et découvrez-e l extraordiaire potetiel. Télé OPTIK MC vous doe la parfaite maîtrise
Plus en détailInitiation à l analyse factorielle des correspondances
Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailPOLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT
POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailMobile Business. Communiquez efficacement avec vos relations commerciales 09/2012
Mobile Busiess Commuiquez efficacemet avec vos relatios commerciales 9040412 09/2012 U choix capital pour mes affaires Pour gérer efficacemet ses affaires, il y a pas de secret : il faut savoir predre
Plus en détailLa maladie rénale chronique
La maladie réale chroique Qu est-ce que cela veut dire pour moi? Natioal Kidey Disease Educatio Program La maladie réale chroique: l essetiel Vous avez été iformé(e) que vous êtes atteit(e) de la maladie
Plus en détailEtude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT?
Etude Spéciale o. 7 Javier 2003 SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? MARK SCHNEIDER Le CGAP vous ivite à lui faire part de vos commetaires, de vos rapports et de toute demade d evoid autres
Plus en détailOne Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles en un seul pack
Uique! Exteded Fleet Appels illimités vers les uméros Mobistar et les liges fixes! Oe Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles e u seul pack Commuiquez et travaillez e toute liberté Mobistar offre
Plus en détailRéseaux d ondelettes et réseaux de neurones pour la modélisation statique et dynamique de processus
Réseaux d odelettes et réseaux de euroes pour la modélisatio statique et dyamique de processus Yacie Oussar To cite this versio: Yacie Oussar. Réseaux d odelettes et réseaux de euroes pour la modélisatio
Plus en détailUn nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction
A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés
Plus en détailÉchantillonnage et estimation
Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page Échatilloage et estimatio Partie C : Capacités et exercices-types. Rappelos
Plus en détailUne action! Un message!
Ue actio! U message! Cotact Master est u service exclusif de relaces automatiques de vos actes vers vos cliets, par SMS, messages vocaux, e-mails, courrier... Il se décleche lorsque vous réalisez ue actio
Plus en détailDivorce et séparation
Coup d oeil sur Divorce et séparatio Être attetif aux besois de votre efat Divorce et séparatio «Les premiers mois suivat u divorce ou ue séparatio sot très stressats. Votre patiece, votre cohérece et
Plus en détailTempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation
Tempêtes : Etude des dépedaces etre les braches Automobile et Icedie à l aide de la théorie des copulas Topic Risk evaluatio Belguise Olivier Charles Levi ACM Guy Carpeter 34 rue du Wacke 47/53 rue Raspail
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailMESURE DE L'INFORMATION
MESURE DE L'INFORMATION Marc URO TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION... 3 INCERTITUDE D'UN ÉVÉNEMENT (OU SELF-INFORMATION)... 7 INFORMATION MUTUELLE DE DEUX ÉVÉNEMENTS... 9 ENTROPIE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
Plus en détailLe chef d entreprise développe les services funéraires de l entreprise, en
Le chef d etreprise développe les services fuéraires de l etreprise, e assurat lui-même tout ou partie des activités de vete et e ecadrat directemet le persoel techique et commercial et d exploitatio.
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détail