TD1. Ensembles. Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE 3M263 Intégration Année

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1 Uiversité Pierre & Marie Curie (Paris 6 Licece de Mathématiques L3 UE 3M263 Itégratio Aée TD1 Esembles Exercice 1 Soit A, B, C trois esembles a O suppose que A B A C et A B A C Motrer que B C b O suppose que A B = A C et A B = A C Motrer que B = C Solutio de l exercice 1 a Soit x B Alors ou bie x A, et das ce cas x A B A C, et e particulier x C; ou bie x / A, et das ce cas x B A B A C, avec x / A et doc x C Aisi das tous les cas x C b Les hypothèses de la questio a sot vérifiées, doc B C, et de même C B par symétrie Aisi B = C Exercice 2 Soit E u esemble et f ue applicatio de P(E das R + O suppose que f(a B = f(a + f(b pour toutes parties disjoites A et B de E a Motrer que f( = 0 b Motrer que f(a B = f(a + f(b f(a B pour toutes parties A et B de E c Motrer que f(a f(b pour toutes parties A et B de E telles que A B d Soit (A ue suite croissate de parties de E Motrer que la suite (f(a est croissate et covergete, de limite iférieure ou égale à f ( A e Exemple : Repredre la questio d avec E = {1,, } et f(a = card(a pour A E Solutio de l exercice 2 a Les esembles A = et B = sot disjoits, doc f( = f(a B = f(a + f(b = 2f(, ce qui assure que f( = 0 b Comme l esemble A B est l uio disjoite de A et de B A, alors par hypothèse f(a B = f(a + f(b A Comme de plus B est l uio disjoite de A B et de B A, alors par hypothèse f(b A = f(b f(a B O e déduit le résultat c B est l uio disjoite de A et de B A, doc par hypothèse f(b = f(a + f(b A f(a par positivité de f d Par hypothèse, A A +1 pour tout, doc f(a f(a +1 d après la questio c Aisi la suite (f(a est-elle croissate De plus, toujours d après la questio c, elle est majorée par f ( A puisque A A pour tout Elle coverge doc, avec ue limite iférieure ou égale à f ( A e L esemble E état fii, la suite croissate (A est écessairemet statioaire à partir d u certai rag, égale à A Par coséquet la suite (f(a est statioaire à partir d u certai rag, égale à f ( A 1

2 Exercice 3 Soit X u esemble et A, B, C, D des parties de X O ote A B A B = (A B (A B = (A B (B A la différece symétrique de A et B Calculer A, A X et A A, puis motrer a (A B = (A B (A B, b (A B C = A (B C c (A B (C D = (A C (B D, Solutio de l exercice 3 a Comme (A B (A B =, o a (A B (A B =, et doc (A B (A B = (A B (B A (A B = A B O peut aussi faire u dessi b Faire u dessi c O a (A B (C D = A ( c B C ( c D = (A C ( c (B D = (A C (B D Exercice 4 Soit X et Y deux esembles et f : X Y ue applicatio a Soit A X Motrer que A f 1 (f(a mais que l égalité peut faire défaut Motrer qu o a égalité si f est ijective b Motrer que si pour tout sous-esemble A de X o a l égalité A = f 1 (f(a, alors f est ijective c Soit B Y Motrer que f(f 1 (B B mais que l égalité peut faire défaut Motrer qu o a égalité si f est surjective d Motrer que si pour tout sous-esemble B de Y o a l égalité f(f 1 (B = B, alors f est surjective Solutio de l exercice 4 a Soit a A Comme f(a f(a, o a par défiitio a f 1 (f(a L iclusio peut être stricte : cosidéros par exemple la foctio carré de R das R +, et A = R + Si f est ijective, o a pourtat égalité Soit e effet x f 1 (f(a Par défiitio, f(x f(a, doc il existe a A tel que f(x = f(a Par ijectivité de f, il viet x = a A b Supposos réciproquemet que l égalité précédete est vraie pour tout sous-esemble A de X Soiet alors x 1, x 2 das X tels que f(x 1 = f(x 2 O cosidère A = {x 1 } Alors x 2 f 1 (f(a = A = {x 1 } doc x 1 = x 2 : f est ijective c Soit à préset y f(f 1 (B Par défiitio, il existe x f 1 (B tel que y = f(x Mais par défiitio de x, f(x B Doc y B L iclusio peut ici ecore être stricte : cosidéros la foctio carré de R das R et B = R Si f est surjective, o a alors égalité Soit e effet b B Comme f est surjective, il existe x X tel que b = f(x Doc par défiitio, x f 1 (B et b f(f 1 (B d Supposos réciproquemet l égalité précédete vérifiée pour tout sous-esemble B de Y Soit y Y O cosidère B = {y} ; comme B = f(f 1 (B est pas vide, f 1 (B est pas vide o plus f est doc surjective 2

3 Exercice 5 Soit X et Y deux esembles, f : X Y ue applicatio, (A i i I ue famille de parties de X et (B j ue famille de parties de Y O suppose I et J o vides Soit B ue partie de Y Démotrer ( les assertios suivates a f A i = ( f(a i et f A i f(a i, avec égalité quad f est ijective i I i I i I ( b f 1 B j = ( f 1 (B j et f 1 B j = f 1 (B j c c (f 1 (B = f 1 ( c B i I Solutio de l exercice 5 a Soit y f( i I A i ; par défiitio, il existe x i I A i tel que y = f(x Il existe doc i I tel que x A i, et aisi y f(a i i I f(a i Supposos réciproquemet y i I f(a i ; il existe doc i I tel que y f(a i, puis u x A i tel que y = f(x Comme x A i i I A i, o a bie y f( i I A i Soit à préset y f( i I A i Il existe x i I A i tel que y = f(x Pour chaque i, o a x A i, doc y f(a i Aisi y i I f(a i Cette iclusio peut être stricte : cosidérer par exemple A 1 et A 2 disjoits de même image E revache si f est ijective, o a égalité E effet soit y i I f(a i Pour chaque i I, il existe x i A i tel que y = f(x i Mais par ijectivité de f, tous les x i sot égaux Doc, appelat cet élémet x, o a x i I A i, et y f( i I A i b Soit x f 1 ( B j ; par défiitio, f(x B j doc il existe j J tel que f(x B j Alors x f 1 (B j et doc x f 1 (B j Supposos réciproquemet x f 1 (B j Il existe j J tel que x f 1 (B j, c est-à-dire f(x B j B j Doc x f 1 ( B j Soit à préset x f 1 ( B j Par défiitio, f(x B j Doc pour tout j J, x f 1 (B j, et x f 1 (B j Supposos réciproquemet x f 1 (B j Alors pour tout j J, x f 1 (B j, c est-à-dire f(x B j Aisi f(x B j et x f 1 ( B j c Soit x c (f 1 (B Comme x / f 1 (B, o a f(x / B, et doc f(x c B Aisi x f 1 ( c B Réciproquemet, si x f 1 ( c B, alors f(x c B, doc f(x / B, et x / f 1 (B O peut égalemet motrer que f( c A c (f(a pour tout A X ssi f est ijective, et que c (f(a f( c A pour tout A ssi f est surjective Aisi f( c A = c (f(a pour tout A ssi f est bijective Exercice 6 Soit A, B des parties d u esemble X Pour chacue des foctios suivates, défiies sur X et à valeurs réelles, dire si elle est la foctio idicatrice d ue partie de X et si oui, de laquelle a 1 A + 1 B, b 1 A 1 B, c 1 A 1 B, d 1 A 1 B, e1 A + 1 B 1 A 1 B, f sup(1 A, 1 B, g if(1 A, 1 B Solutio de l exercice 6 Ue foctio est ue idicatrice si et seulemet si elle est à valeurs das {0, 1} E effet, ue foctio idicatrice est à valeurs das {0, 1} par défiitio, et si f : X R est à valeurs das {0, 1}, alors f est la foctio idicatrice de l esemble {x X : f(x = 1} 3

4 a 1 A + 1 B est pas ue idicatrice dès que A B, car elle pred sur A B la valeur 2 E revache, si A et B sot disjoits, c est l idicatrice de A B b 1 A 1 B est pas ue idicatrice dès que B A, car elle pred sur B A la valeur 1 E revache, si B A, c est l idicatrice de A B c 1 A 1 B est l idicatrice de A B d 1 A 1 B est l idicatrice de A B e 1 A + 1 B 1 A 1 B est l idicatrice de A B f sup(1 A, 1 B est l idicatrice de A B g if(1 A, 1 B est l idicatrice de A B Exercice 7 Détermier explicitemet ou graphiquemet les foctios défiies sur R + 1 [,+1[, 1 [,+1/2[, 1 [,+ [, 1 [0,[ Solutio de l exercice 7 La première foctio est costate égale à 1 sur R + La deuxième foctio est égale à 1 sur les itervalles [k, k + 1/2[ et à 0 sur les itervalles [k + 1/2, k + 1[ avec k etier La troisième foctio pred la valeur k sur [k, k + 1[ pour tout etier k La quatrième foctio est costate égale à + sur R + Exercice 8 Si (A 0 est ue suite d esembles o ote lim if A = A k et lim sup A = A k k a Que représetet ces esembles? b Motrer que A lim if A lim sup A c Détermier lim if A et lim sup A si A =], ( 1 ] Solutio de l exercice 8 a U élémet x appartiet à lim if A ssi il existe u tel que pour tout k o ait x A k, soit ssi x appartiet à tous les A k à partir d u certai rag U élémet x appartiet à lim sup A ssi pour tout il existe k tel qu o ait x A k, soit ssi x appartiet à ue ifiité de A k b Si x appartiet à A, alors x appartiet à tous les A doc e particulier à tous les A à partir d u certai rag : aisi x appartiet à lim if A Si maiteat x appartiet à lim if A alors x appartiet à tous les A à partir d u certai rag, doc certaiemet à ue ifiité d etre eux : aisi x appartiet à lim sup A Si efi x appartiet à lim sup A alors x appartiet à ue ifiité de A, doc à au mois u A : aisi x appartiet à A 4 k A

5 c U élémet x appartiet à lim if A si et seulemet s il appartiet à tous les A k à partir d u certai rag, doc ici si et seulemet s il appartiet à ], 1] U élémet x appartiet à lim sup A si et seulemet s il appartiet à ue ifiité de A k, doc ici si et seulemet s il appartiet à ], 1] Exercice 9 a Motrer que l esemble des poits de discotiuité d ue foctio mootoe f : [a, b] R est déombrable O pourra cosidérer les esembles J( = {x ]a, b[ ; f(x+ f(x > 1/} b Qu e est-il pour ue foctio réelle mootoe défiie sur R tout etier? Solutio de l exercice 9 Rappelos qu ue foctio réelle mootoe admet e tout poit x itérieur à so esemble de défiitio ue limite à gauche otée f(x et ue limite à droite otée f(x+ De plus, f est cotiue e x si et seulemet si f(x = f(x = f(x+ a O peut supposer f croissate Cosidéros comme suggéré J( = {x ]a, b[ : f(x+ f(x > 1/} ; c est l esemble des poits où f effectue u saut de plus de 1 Alors l esemble des discotiuités est J(, auquel s ajoutet évetuellemet a et b E effet f est discotiue e x ssi f(x+ f(x, soit ssi f(x+ f(x > 0 puisque f est croissate, soit ssi il existe tel que f(x+ f(x > 1/, soit ssi il existe tel que x J( Or chaque J( est fii : e effet, s il est ifii, o peut trouver ue suite croissate (x k d élémets de J( Cette suite borée par b admet ue limite otée x O voit, par exemple par récurrece, que pour tout k, f(x f(x k f(a + k, ce qui est absurde J( est doc fii (O peut aussi dire que J( est fii car 1 J( < f(b f(a L esemble des poits de discotiuité das ]a, b[ est l uio des J(, c est-à-dire ue uio déombrable d esembles fiis : il est doc déombrable, et de même pour l esemble des poits de discotiuité das ]a, b[ b O cosidère les itervalles [, ] pour etier Sur chacu de ces itervalles, le ombre de discotiuité est déombrable (questio précédete Comme les [, ] sot e ombre déombrable et que leur uio est R, l esemble total des discotiuités est déombrable e tat qu uio déombrable d esembles déombrables 5