2 Le cas des séries à termes positifs

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1 Agrégatio de Mathématiques Frédéric Boure AP30 Illustrer par des exemples et cotre-exemples la théorie des séries umériques Toutes les séries cosidérées das cette leço sot de terme gééral u R ou C Gééralités ) A propos du terme gééral d'ue serie covergete. Si la série de terme gééral u est covergete alors u 0 ( ). Mais la réciproque est fausse. Cotre-exemple. La série harmoique. 2) Covergece simple et covergece absolue. La covergece absolue implique la covergece simple mais il existe des séries covergetes o absolumet covergetes : ce sot les séries semicovergetes. Exemple. La série alterée. O motre, par le théorème de Taylor-Lagrage appliqué à la foctio x log( + x) que la somme de cette série vaut log(2). Elle 'est pas absolumet covergete par le cotre-exemple précédet. ( ) + Exemple. La série de terme gééral u déi par u 2 = + et u 2+ = + est semi-covergete. 3) Séries et opératios algébriques. Si u et v sot les termes gééraux de deux séries covergetes, alors o motre que la série de terme gééral w = (u + v ) est covergete. Si l'ue est covergete et l'autre divergete alors la série w est divergete mais o e peut rie dire si u et v sot divergetes. Exemple. Predre u = et v = pour. 2 Le cas des séries à termes positifs Pour l'étude des séries à termes positifs, ous avos à otre dispositio plusieurs outils : des critères de comparaisos etre termes gééraux de deux séries ; des séries de référeces : série géométrique, série de Riema et de Bertrad ; des règles de covergeces : règle de Cauchy, règle de d'alembert ; comparaiso série et itégrale gééralisée. Cepedat, o e peut gééraliser ces critères pour l'étude de séries à termes quelcoques : ) Critères de comparaisos. Exemple. O motre que la série est covergete e remarquat que 2 2. (+) La série de terme gééral v = = est covergete par télescopage. (+) + Cotre-exemple. Le critère de comparaiso par équivalece est faux pour des séries à termes quelcoques. Preos u = ( ) + et v = ( ) ; o a u = v ( + u ) v avec v coverge et u diverge.

2 Exemple. L'irratioalité de e Pour tout etier > 0, o a l'iégalité k! < e < k! +! Pour =, l'iégalité précédete motre que 2 < e < 3 et doc que e 'est pas etier. Supposos que e = p avec p > 0, q > etiers et appliquos l'iégalité précédete avec = q. Aisi, o a q soit, e otat α := q q! N, k! q q! q k! < p(q )! < q! k! + q 0 < p(q )! α < q < doc p(q )! α est u etier de ]0, [ d'où la cotradictio. 2) Comparaiso série et itégrale. L'hypothèse maîtresse de ce théorème est la décroissace de la foctio. Ce théorème permet d'établir la covergece/divergece des séries de Riema et de Bertrad e se rameat aux itégrales gééralisées du même om. Cotre-exemple. Soit f : [, + [ R + x si(2πx) alors + f(t)dt diverge alors que f() coverge. 3) Utilisatio des règles de covergeces. Les règles de d'alembert et de Cauchy peuvet sure pour étudier certaies séries à terme positif. Cepedat, certais critères plus s peuvet être écessaires comme la règle de Raab-Duhamel. Exemple. Détermier le rayo de covergece de la série etière 0 Exemple. Motrer que la série! coverge. Das le cas où la règle de Cauchy (ou de d'alembert) doe peut rie coclure : z!. u (ou u + /u ), o e Exemple. Pour u =, la règle de d'alembert doe u 2 + /u avec 0 u < et pour u =, la règle de d'alembert doe la même limite or la série harmoique diverge! La règle de Cauchy s'avère plus puissat que celle de d'alembert comme l'illustre l' Exemple. O cosidère la série de terme gééral u déit par { si est pair 3 u = 4 si est impair 3 La règle de Cauchy permet de coclure alors que celle de d'alembert e le permet pas. Exemple. Soit α > 0. Pour N, o cosidère la suite u =! u (α+) (α+) coverge si et seulemet si α > 2. E eet, o a u + u = + α ( ) + O. 2 Alors d'après la règle de Raab-Duhamel, il existe ue costate C 0 telle que u C α et doc la série u coverge si et seulemet α > i.e. α > 2 par le critère des séries de Riema.

3 4) Comportemet des sommes partielles et des restes. O peut, suivat la covergece ou la divergece d'ue série à termes positifs, obteir des équivalets des restes ou des sommes partielles. O peut aisi obteir des développemets asymptotiques à 'importe quel ordre de certaies suites. Doos deux exemples. Exemple. Soit H = k= la -ème somme de Riema, alors o a le développemet asymptotique k H = log() + γ + 2 ( ) 2 + o ( ) 2 2 où γ est la costate d'euler déie par γ = lim {H log()}. Exemple. O a u développemet asymptotique de! : ( ) (! = 2π + ( )) e 2 + o. Exemple. U théorème Taubérie. Théorème 2.. Soiet {a } 0 est ue suite décroissate de réels positifs, S := a k sa somme partielle, α ]0, [ et c > 0. Alors les assertios suivates sot équivaletes : (a) a c α lorsque ; (b) S c α α lorsque. 3 Séries à termes quelcoques ) La règle d'abel. La règle d'abel arme que si u = a b avec a ue suite positive, décroissate et qui ted vers 0 et b ue suite dot les sommes partielles sot majorées par ue même costate M, alors la série u est covergete. Exemple. Soit θ R 2πZ et α > 0, alors la série e iθ coverge. Cette série est semicovergete pour 0 < α, absolumet covergete pour α >. α Exemple. Le cas des séries alterées. Si u = ( ) a avec a ue suite positive, décroissate et tedat vers 0 alors la série u est covergete. La décroissace de la suite {a } est idispesable pour appliquer le critère d'abel (et doc de Leibiz) Cotre-exemple. Etudier, e foctio du paramètre α > 0, la ature de la série u où u = ( ) α +( ). (rép. α /2) 2) Utilisatio de développemets asymptotiques. Exemple. Discuter e foctio des paramètres réels θ et φ la ature de la série de terme gééral u = eiθ +e iφ. 3) Permutatio des termes. Soit ϕ ue bijectio de N. O rappelle que pour tout série absolumet covergete u, la série u ϕ() est covergete et de même somme. Ce résultat 'est pas gééralisable au cas de séries de termes quelcoques : Cotre-exemple. O cosidère la série harmoique alterée Σ = 0, elle coverge et sa somme vaut log(2). O forme la série Σ 2 e associat à chaque terme positif deux termes suivats égatifs : ( Σ 2 = 2 ) ( ) + 4 Cette deuxième série est covergete et sa somme vaut log(2)/2. ( ) +

4 Cotre-exemple. Si u est le terme gééral d'ue série semi-covergete, alors, quel que soit x R, il existe ue bijectio ϕ : N N telle que u ϕ() = x. 4) Sommatio par paquets. Cotre-exemple. O cosidère la suite {u } avec u = ( ) alors la série u diverge mais la série (u 2 + u 2+ ) coverge. Exemple. Certaies hypothèses permettet de sommer par paquets (si o somme sas chager l'ordre de sommatio par paquets de taille ie) o motre alors que la série de terme gééral u = ( )[ ] est covergete. 4 Séries umériques et séries etières ) Produit de Cauchy. Si a et { b sot absolumet covergetes, alors o déit la série produit de terme gééral i+j= a ib j et cette derière est covergete. Cepedat, ce produit } 'est pas toujours coverget si o e suppose pas la covergece absolue de a et b Cotre-exemple. Choisir pour, a = b = ( ). Exemple. La foctio expoetielle exp(z) := k 0 das (C, ). z k k! est u morphisme de groupe de (C, +) 2) Théorème d'abel et calcul de sommes. Théorème 4. (Théorème d'abel). Soit a z ue série etière de rayo de covergece avec a covergete. Soit fsa somme sur le disque uité. Soit θ 0 [ ] 0, pi 2 et θ0 = {z IC, z < et ρ > 0, θ [ θ 0, θ 0 ], z = ρe iθ }. Alors lim f(z) = a. z,z θ0 0 Exemple. ( ) 2 + thm = lim x,x< ( ) 2 + x = ( ) + = log(2). 3) Réciproques du théorème d'abel. Cotre-exemple. La réciproque est fausse. E eet : mais 0 ( ) diverge. lim z, z < ( ) z = lim arcta(x) = arcta() = π x,x< 4. lim z, z < + z = 2 Cepedat, o a le Théorème 4.2 (Théorème de Taubert faible). Si a z est ue série etière de rayo de covergece et f la somme de cette série etière sur le disque uité. O suppose que S C tel que lim f(x) = S. x,x< Si a = o ( ) alors a coverge et vaut S.

5 O a u théorème plus fort dû à Hardy et Littlewood qui suppose seulemet a = O ( ). Développemets proposés : D Démotratio du théorème taubérie (Théorème 2.) D2 Démostratio du théorème de Tauber faible