Chapitre 20 Ensembles nis

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Samuel Cloutier
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1 Chapitre 20 Esembles is I - Esembles is I1 - Déitios Défiitio 1 (Esemble fii L'esemble E est u esemble i si E = ou s'il existe u etier N et ue applicatio bijective f : 1, E Exercice 1 1 Doer des exemples d'esembles is 2 Motrer que si E est u esemble i et F est e bijectio avec E, alors F est u esemble i Lemme 1 Soiet p, q N Il existe ue bijectio de 1, p das 1, q si et seulemet si p = q Défiitio 2 (Cardial Soit E u esemble o vide et p, q N O suppose que E est e bijectio avec 1, p et 1, q Alors, p = q Cette valeur commue est appelée cardial de E et est otée Card(E = E = E Par covetio, = 0 Exercice 2 1 Soiet k, N tels que k Détermier le cardial de 1, puis de k, 2 Motrer que tout esemble e bijectio avec u esemble i de cardial est i et de cardial I2 - Esembles et cardiaux E et F désiget deux esembles is Lemme 2 Si x E, alors E\{x} est u esemble i et E\{x} = E 1 Théorème 1 (Sous-esemble Si F E, alors F est u esemble i et F E De plus, F = E si et seulemet si F = E Exercice 3 Motrer que N 'est pas u esemble de cardial i Lemme 3 Soit f F (E, F (i Si f est ijective et F est i, alors E est i et E F (ii Si f est surjective et E est i, alors F est i et F E Théorème 2 (Caractérisatio des bijectios Soiet E, F deux esembles is tels que E = F et f F (E, F Les assertios suivates sot équivaletes (i f est ijective (ii f est surjective (iii f est bijective

2 Chapitre 20 Esembles is MPSI 1 Corollaire 3 (Pricipe de Dirichlet Soiet E, F deux esembles is tels que E > F et f F (E, F Alors, f 'est pas ijective Exercice 4 Motrer que pour tout réel x et tout etier aturel N 2, il existe (p, q Q 2 tel que x p q 1 qn I3 - Parties de N Théorème 4 (Caractérisatio des parties fiies de N Ue partie de N est ie si et seulemet si elle est majorée Théorème 5 Soit P N u esemble de cardial o ul Il existe ue uique bijectio strictemet croissate de 1, sur P II - Déombremet Soiet E, F deux esembles is II1 - Opératios sur les esembles is Propriété 1 (Partitio Si E et F sot deux esembles disjoits, alors E F est i et E F = E + F Exercice 5 Soit N 1 Soit A E Motrer que c A = E A 2 Si (A k k 1, forme ue partitio de E, motrer que A k = A k Propriété 2 (Réuio Soiet A, B E Alors, A B est u esemble i et A B = A + B A B Exercice 6 (Formule du crible / de Poicaré Soiet N et (A i i 1, ue famille de parties de E Motrer que A k = ( 1 k+1 k A ij Propriété 3 (Produit cartésie E F est u esemble i et E F = E F 1 i 1 < <i k Théorème 6 (Lemme des bergers Soit p u etier aturel o ul, E et F deux esembles is et f : E F O suppose que pour tout y F, f 1 ({y} = p Alors, E = p F Exercice 7 Soit (, p (N 2 1 Détermier le ombre de couples (x, y de 1, 2 tels que x y 2 Soit E u alphabet coteat p lettres Détermier le ombre de mots de lettres pouvat être formés avec l'alphabet E qui e cotieet jamais deux lettres cosécutives idetiques Propriété 4 (Applicatios F (E, F est u esemble i et F E = F E j=1

3 Chapitre 20 Esembles is MPSI 1 Exercice 8 Soit N 1 Détermier le ombre d'applicatios de 1, das 1, 2 Détermier le ombre de faços de tirer successivemet 5 boules avec remise das ue ure coteat boules umérotées 3 Détermier le ombre de mots de 5 lettres pouvat être costruits avec u alphabet costitué des lettres du mot KAYAK Corollaire 7 P(E = 2 E II2 - Arragemets Défiitio 3 (Arragemets Soit E u esemble i de cardial et p u etier aturel U arragemet de logueur p d'élémets de E est ue p-liste d'élémets de E deux à deux disticts O ote A p le ombre d'arragemets de E de logueur p Propriété 5 Pour tous, p N, A p = {! ( p! si p 0 sio Exercice 9 Soit N Détermier le ombre de faços de tirer successivemet 5 boules sas remise das ue ure coteat boules umérotées Théorème 8 Soiet E u esemble de cardial p et F u esemble de cardial (i Il y a A p ijectios de E das F (ii Si p =, il y a! bijectios de E das F Les bijectios de E sot appelées des permutatios II3 - Combiaisos Défiitio 4 (Combiaisos Soit E u esemble i de cardial et p u etier aturel Ue combiaiso de p élémets de E est ue partie de E de cardial p O ote ( p le ombre de combiaisos de p élémets de E Propriété 6 Pour tous, p N, ( p = A p Exercice 10 p! 1 Soit N Détermier le ombre de faços de tirer simultaémet 5 boules sas remise das ue ure coteat boules umérotées 2 Détermier le ombre d'aagrammes du mot KAYAK Théorème 9 (i, p N, ( ( p = p (iii p N, N, p ( ( (ii, p N, p ( p = ( p + 1 ( p = 1 p 1 ( (iv N, k = 2 k=0 p 1

4 Chapitre 20 Esembles is MPSI 1 (v Triagle de Pascal, p N, ( ( p = 1 ( p p (vi Biôme de Newto x, y R, N, (x + y = p=0 ( p x p y p III - Groupe symétrique III1 - Élémets du groupe symétrique Das toute cette partie, désige u etier aturel o ul Défiitio 5 (Groupe symétrique Le groupe symétrique, oté S, est l'esemble des permutatios de 1, (S, est u groupe de cardial! Si 3, ce groupe est o commutatif Notatio Soit σ S O ote σ = ( 1 2 σ(1 σ(2 σ( Exercice 11 Décrire l'esemble des élémets de S 2, S 3 et S 4 Défiitio 6 (Traspositio Ue traspositio de S est ue permutatio θ telle qu'il existe i, j 1, satisfaisat i j, θ(i = j et θ(j = i et pour tout etier k diéret de i, j, θ(k = k O ote θ = (i, j Exercice 12 Détermier les traspositios de S 3 Propriété 7 Les traspositios sot des applicatios ivolutives Défiitio 7 (Cycle Soiet p 2 et A = {a 1,, a p } 1, Soit σ la permutatio déie par σ(x = x, x A et σ(a i = a i+1, i 1, p 1, σ(a p = a 1 σ est appelé cycle de logueur p de support A O ote σ = (a 1,, a p Exercice 13 (Ordre d u cycle 1 Détermier les cycles de S 3 2 Soit c u cycle de logueur p Motrer que mi{i 1, ; c i = Id 1, } = p Propriété 8 Motrer que si c et c sot deux cycles à support disjoits de S, alors c et c commutet III2 - Décompositios Lemme 4 Soit 2 et ϕ : S 1 S, σ ( σ(1 σ(2 σ( 1 ϕ est u morphisme de groupes et ϕ(s 1 = {σ S ; σ( = } Théorème 10 (Décompositio Toute permutatio de S se décompose e produit de traspositios Exercice 14 Soit c u cycle Doer ue décompositio de c e produit de traspositios Défiitio 8 (Orbite Soit σ S et x 1, L'orbite de x est l'esemble {σ p (x, p N}

5 Chapitre 20 Esembles is MPSI 1 Exercice 15 ( Soit σ = Détermier l'orbite de chacu des etiers de 1, Motrer qu'il existe u etier p 1, tel que l'orbite de k soit {σ l (k, l 0, p 1 } Propriété 9 Soit σ S Les orbites de σ formet ue partitio de 1, O otera o(σ le ombre d'orbites de σ Théorème 11 Toute permutatio se décompose comme u produit de cycles à supports disjoits Cette décompositio est uique à l'ordre des facteurs près ( Exercice 16 Décomposer la permutatio σ = e produit de cycles à supports disjoits III3 - Sigature d'ue permutatio Défiitio 9 (Sigature Soit σ S La sigature de σ, otée ε(σ, est le ombre ( 1 o(σ Exercice 17 Soit θ ue traspositio de S Détermier la sigature de θ Théorème 12 (Morphisme L'applicatio ε est u morphisme du groupe (S, das le groupe ({ 1, 1}, Exercice 18 (Iversios Soit σ S Le ombre d'iversios de σ, oté I(σ, est le cardial de {(i, j ; i < j et σ(j < σ(i} Motrer que ε(σ = σ(i σ(j i j = ( 1 I(σ {i,j}, i j Corollaire 13 Le ombre de traspositios das la décompositio d'ue permutatio est de parité costate Exercice 19 (Groupe alteré L'esemble A = Ker(ε est le groupe alteré d'ordre 1 Motrer que A est u groupe 2 Soit 2 Motrer que A =! 2

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