Analyse de sensibilité 3D par la méthode de l état adjoint : application au forgeage

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1 Analyse de sensblté D par la métode de l état adjont : applcaton au forgeage Med Larouss To cte ts verson: Med Larouss. Analyse de sensblté D par la métode de l état adjont : applcaton au forgeage. Mécanque [pyscs.med-p]. École atonale Supéreure des Mnes de Pars,. Franças. <tel-5755> HAL Id: tel-5755 ttps://pastel.arcves-ouvertes.fr/tel-5755 Submtted on 5 Apr 4 HAL s a mult-dscplnary open access arcve for te depost and dssemnaton of scentfc researc documents, weter tey are publsed or not. Te documents may come from teacng and researc nsttutons n France or abroad, or from publc or prvate researc centers. L arcve ouverte plurdscplnare HAL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfques de nveau recerce, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de recerce franças ou étrangers, des laboratores publcs ou prvés.

2 THESE présentée à L ECOLE ATIOALE SUPEIEUE DES MIES DE PAIS par Med LAOUSSI Ingéneur ISA Toulouse en vue de l obtenton du ttre de DOCTEU en MECAIQUE UMEIQUE AALYSE DE SESIBILITE D PA LA METHODE DE L ETAT ADJOIT APPLICATIO AU FOGEAGE Soutenue le Décembre, devant le jury composé de : M. Alan DEVIEUX Présdent M. Jean-Plppe POTHOT apporteur M. Jean-Loup CHEOT Examnateur Mme Caterne KOPF-LEOI-VAYSSADE Examnateur M. Karm MAHJOUB Examnateur M. Lonel FOUMET Drecteur de tèse

3 emercements Avant tout, je tens à témogner de la profonde affecton que j éprouve pour mes parents, ma sœur ada et mon amour Audrey. Je vous sus très reconnassant du souten contnu que vous m avez apporté durant ces années d études. Cette tèse vous est entèrement dédée. Encore une fos un grand MECI. Je tens ensute à exprmer ma reconnassance à la drecton de l Ecole des Mnes de Pars pour m avor donné la possblté d effectuer ce traval de recerce en son sen. Merc tout partculèrement à M. Jean-Loup CHEOT, drecteur du CEMEF, qu m a fat l onneur de partcper à ce jury. Il m a été très agréable de réalser cette étude sous la drecton de Lonel FOUMET. Qu l trouve c le témognage de ma reconnassance pour l ntérêt constant qu l a manfesté pour mon traval et les consels dont l m a fat bénéfcer. Cette tèse s est déroulée dans le cadre du projet SIMULFOGE. Je tens à exprmer ma grattude à tous les acteurs de ce consortum, et partculèrement Perre AVASSAD et Karm MAHJOUB, anmateurs du Groupe d Etudes 6 sur le contrôle de la précson. Je remerce vvement M. Alan DEVIEUX, de l IIA Sopa-Antpols, M. Jean- Plppe POTHOT, de l Unversté de Lège, M. Karm MAHJOUB, de l entreprse Setforge et Mme. Caterne VAYSSADE-KOPF-LEOI de l UTC Compègne d avor accepté de fare parte de ce jury. Ce traval n aurat pu être réalsé sans le souten et la bonne umeur de tous mes ams, à commencer par oman et colas à qu je dos beaucoup et auss à Delpne, Frédérc, amzy, Alban, Julen, Josué, Laurent, card, Cyrlle, Franços, Véronque, Crstan, Olver, Med, Un grand merc auss à mes collègues Insaens Sven, Cyrl, Julen et Glles qu m ont perms de passer tros excellentes années au CEMEF et sur la Côte d Azur. Enfn, comment pourras-je oubler de remercer Maël, mon «frère» et am de toujours, Stépane, un type exceptonnel, et orbert mon «pote» Marsellas. Je tens enfn à saluer tous mes ams du club de badmnton d Antbes : Dder, Laurent, Vrgne, Olver, Sylvan, atale, Fabenne, «Taper dans le volant» m a apporté un réel équlbre et m a beaucoup adé à surmonter les moments de «blues» dus aux bugs nformatques!

4 Table des matères ITODUCTIO GÉÉALE... 4 CHAPITE... 6 LES DIFFÉETES TECHIQUES D AALYSE DE SESIBILITÉ LA MÉTHODE DES DIFFÉECES FIIES (D.F.) LES MÉTHODES AALYTIQUES Les métodes varatonnelles Les métodes dscrètes.... LA MÉTHODE SEMI-AALYTIQUE....4 LA MÉTHODE AUTOMATIQUE....5 BILA ET COCLUSIOS... 5 BIBLIOGAPHIE... 5 CHAPITE... SIMULATIO DU POCÉDÉ DE FOGEAGE PA LE LOGICIEL FOGE.... FOMULATIO DU POBLÈME..... Les équatons du problème contnu..... Formulaton fable contnue du problème DISCÉTISATIO DU POBLÈME Dscrétsaton temporelle Dscrétsaton spatale Geston ncrémentale du contact ésoluton numérque.... LAGE ET TASPOT DES VAIABLES... BIBLIOGAPHIE... 4 AALYSE DE SESIBILITÉ PA LA MÉTHODE DE L ÉTAT ADJOIT DESCIPTIO DE LA MÉTHODE DE L ÉTAT ADJOIT Formulaton du problème Les équatons Commentares mportants TECHIQUE SEMI-AALYTIQUE DE CALCUL DES DÉIVÉES TAITEMET DES TEMES DE COTACT ET DE FOTTEMET LAGE ET TASPOT «ADJOIT» emallage Transport «adjont» des varables BIBLIOGAPHIE CHAPITE LES DIFFÉETES FOCTIOS COÛT L ÉEGIE TOTALE DE MISE E FOME Cox du crtère et mplémentaton Calcul des dérvées LA DÉTECTIO DES EPLIS DE MATIÈE Cox du crtère et mplémentaton ésultats LE EMPLISSAGE DE LA MATICE FIALE Présentaton du défaut de remplssage et cox du crtère... 56

5 4.. Expresson du volume non rempl par une tecnque de projecton Calcul des dérvées... 6 BIBLIOGAPHIE... 6 VALIDATIOS DE LA MÉTHODE DE L ÉTAT ADJOIT ECASEMET D U CUBE ETE TAS PLATS Valdaton analytque Valdaton par la métode des Dfférences Fnes (D.F.) Prse en compte du remallage CAS DU TIAXE Valdaton par la métode des Dfférences Fnes (D.F.) Prse en compte du remallage TEMPS DE CALCUL ET STOCKAGE Estmaton du stocage Cas du traxe : stocage et temps de calcul BIBLIOGAPHIE APPLICATIO DE LA MÉTHODE DE L ÉTAT ADJOIT À U CAS IDUSTIEL : L EGEAGE ASCOFOGE DESCIPTIO DU CAS PÉSETATIO DU CAS D OPTIMISATIO Paramétrsaton polynômale D du lopn Génératon du mallage Cox de la foncton coût et des paramètres d optmsaton Contrante de volume constant PAAMÉTISATIO DU DOMAIE VOLUMIQUE VALIDATIO PA LA MÉTHODE DES DIFFÉECES FIIES (D.F.) DES CALCULS DE DÉIVÉES AALYSE DE SESIBILITÉ SU LE POBLÈME ÉEL ET ESSAIS D OPTIMISATIO Analyse de sensblté et optmsaton Commentares : temps de calcul et stocage BIBLIOGAPHIE... COCLUSIO... AEXES : VALIDATIO DES DIFFÉETES FOCTIOS COÛT... AEXES : APPLICATIO DE LA MÉTHODE DE L ÉTAT ADJOIT AU CAS D EGEAGE ASCOFOGE... 8

6 Introducton générale Introducton générale La smulaton numérque des procédés de mse en forme (emboutssage, formage, forgeage, ) qu état, l y a encore une vngtane d années, balbutante dans le mleu ndustrel, suscte désormas un très grand ntérêt. L'utlsaton des logcels de smulaton numérque devent à l'eure actuelle de plus en plus fréquente et quas ncontournable. Les rensegnements apportés sont nombreux. Ils facltent la prse de décson sur le cox du processus de fabrcaton, le cox du matérau, etc. Ils assurent également le moyen d'évter la mse au pont de prototypes. Par souc de compéttvté et de qualté, ces logcels dovent d'une part, être rapdes et d'autre part, être capables de reprodure le plus fdèlement les pénomènes observés, l'objectf étant d'obtenr des résultats auss proces que possble de l expérence. Pour résumer, les logcels de smulaton numérque sont ndspensables à la compéttvté et contrbuent à amélorer une gamme de forgeage et à dmnuer les coûts de fabrcaton (augmentaton de la durée de ve des outls, dmnuton du nombre d opératons, ). Dans cette optque, le Centre de Mse en Forme des Matéraux (CEMEF) de l Ecole des Mnes de Pars a développé et contnue de développer en partculer deux codes de smulaton numérque du forgeage, l un en D FOGE, l autre en D FOGE. Le traval d analyse de sensblté, tème de cette tèse, s nscrt dans le cadre du projet SIMULFOGE, consortum regroupant un grand nombre d entreprses françases. Ce traval revêt une grande mportance et répond à une vértable demande de la part des ndustrels. Il consste à calculer le gradent de fonctons coût à optmser par rapport à un nombre plus ou mons grand de paramètres _. Parm les fonctons coût recensées par les ndustrels, ctons : - le taux de remplssage des gravures - l énerge totale de mse en forme - la force maxmale de forgeage - les défauts géométrques, repls, aspraton - le crtère de qualté de l écoulement basé sur la température maxmale, sur la déformaton cumulée, sa valeur mnmum ou l écart entre ses valeurs extrêmes - le crtère de qualté de l écoulement basé sur le csallement nterne ou la presson ydrostatque - le crtère d endommagement des outls basé sur la contrante normale maxmale, la presson ydrostatque maxmale, la température maxmale, Quant aux paramètres d optmsaton, ls peuvent être lés sot au lopn sot à l outl. Les paramètres recensés par les ndustrels sont les suvants : - outl : vtesse constante de presse - outl : course de forgeage de l ébauce - outl : déport de l outllage - outl : coeffcent de frottement - outl : temps de contact avant forgeage - outl : température unforme - outl : forme/géométre 4

7 Introducton générale - lopn : poston du centre d nerte - lopn : température ntale et unforme - lopn : temps de transfert avant forgeage - lopn : géométre du lopn de départ Ben entendu, l nous a été mpossble de consdérer, dans un laps de temps auss court, l ensemble de ces fonctons coût et paramètres. ous avons focalsé notre étude sur quelques uns de ces paramètres et fonctons coût. Les résultats d analyse de sensblté nous permettent de répondre à de nombreuses questons : quel est le paramètre le plus nfluent? dans quel sens le modfer? comment les paramètres nteragssent entre eux? L analyse de sensblté est donc un outl pussant pour ader le forgeron à concevor une gamme de forgeage satsfasante. A ttre d exemple, on peut souater savor comment évolue le taux de remplssage des gravures en foncton de la lubrfcaton des matrces. Pour cela, on calculera la dérvée de la foncton coût «taux de remplssage des gravures» par rapport au paramètre «coeffcent de frottement». Le sgne de cette dérvée donnera le sens de la varaton. Sa valeur absolue ndquera l nfluence relatve du frottement sur le taux de remplssage, par comparason à d autres paramètres du procédé, comme la vtesse de forgeage par exemple. Cette tèse consttue auss une premère étape vers l optmsaton automatque du forgeage en D. Afn d être complet, nous nous devons de stuer le traval de cette tèse dans la cronologe des précédents travaux réalsés au CEMEF dans la tématque de l analyse de sensblté. Un logcel d optmsaton de forme d outls SAFO a été développé en D, pour des problèmes axsymétrques, dans le cadre du code de smulaton numérque FOGE d (B_lan 996) (Velledent 999). (B_lan 996) a ouvert la voe en calculant le gradent de quelques fonctons coût (énerge totale de mse en forme, taux de remplssage des gravures, ) par la métode drecte et en ntégrant ces sensbltés dans un algortme d optmsaton de type BFGS. L applcaton à des problèmes ndustrels a ensute été réalsée par (Velledent 999) qu a de plus mplémenté des fonctons coût plus élaborées (détecton de repls de matère, omogénésaton des déformatons, ). Enfn, les travaux de (Cung et al. ) nous servent de référence car ls montrent la fasablté numérque de la métode de l état adjont pour le forgeage nstatonnare en D. Ces travaux ouvrent donc la voe à l applcaton de la métode de l état adjont au forgeage nstatonnare en D. L objectf du premer captre de ce traval est de fare un tour d orzon des dfférentes tecnques d analyse de sensblté et d explquer pourquo nous nous sommes orentés vers une métode adjonte. Dans le second captre, nous rappelons les équatons régssant le problème de forgeage en D et les métodes de résoluton (descrpton du logcel FOGE ). Le trosème captre consttue le captre clé de ce manuscrt pusque nous détallons l applcaton de la métode de l état adjont au problème de forgeage. Les dfférentes fonctons coût mplémentées dans le code FOGE (dans le but d être dfférentées) sont décrtes dans le captre 4. Le captre 5 regroupe les résultats de valdaton de la métode de l état adjont sur des cas smples de forgeage. Enfn, dans le captre 6, un calcul de sensblté adjont est mené sur cas ndustrel proposé par la socété ASCOFOGE. Ces sensbltés adjontes sont ensute ntégrées dans un processus tératf et nous présentons les résultats d optmsaton obtenus. 5

8 Introducton générale Bblogrape (B_lan 996) T. B_lan. Optmsaton de forme des outls de forgeage par métode nverse. Tèse de Doctorat, ESMP, CEMEF, 996. (Cung et al. ) S.H. Cung, L. Fourment, J.-L. Cenot, M. Hwang. Adjont state metod for sape senstvty analyss n non-steady formng applcatons. Internatonal Journal for umercal Metods n Engneerng, Vol. 57, pp ,. (Velledent 999) D. Velledent. Optmsaton des outls en forgeage à caud par smulaton éléments fns et métode nverse. Applcatons à des problèmes ndustrels. Tèse de Doctorat, ESMP, CEMEF,

9 La métode des Dfférences Fnes (D.F.) Captre Les dfférentes tecnques d analyse de sensblté Avant d étuder en détal les dfférentes tecnques d analyse de sensblté, rappelons que le but est, étant donnés une foncton coût _ et un vecteur _ des paramètres, de calculer la d dérvée totale, sous la contrante que l équaton d équlbre de la mécanque (plus les dµ condtons aux lmtes) sot vérfée, quelle que sot la valeur de _ : dvσ µ que nous écrvons ( µ ) µ () où _ est le tenseur des contrantes de Caucy. Pour l nstant, nous consdérons et _ sous leur forme contnue (non dscrétsée). Le lecteur pourra se référer au captre pour plus de détals concernant l expresson de et les condtons aux lmtes. d On dstngue, pour le calcul de, quatre grandes famlles de métodes : dµ - la métode des Dfférences Fnes (D.F.) - les métodes analytques - la métode sem-analytque - la métode automatque. La métode des Dfférences Fnes (D.F.) Cette métode est très smple à mettre en œuvre numérquement. Dfférentes varantes peuvent être rencontrées dont notamment les Dfférences Fnes décentrées à drote ou à gauce et les Dfférences Fnes centrées (cf. formules ()). Les Dfférences Fnes centrées offrent une melleure précson que les Dfférences Fnes décentrées (le scéma D.F. centrées est d ordre tands que le scéma D.F. décentrées est d ordre ). On trouve des applcatons des D.F. en forgeage, pour l optmsaton de préformes (Becer et al. 989) ans que dans le domane de l dentfcaton de paramètres réologques par analyse nverse en D (Tller 998) et en D (Boyer ). d D. F. drote ( ì Äì ) ( ì ) ( ì ) ( ì Äì ) Äì d D. F. centrées ; d D. F. gauce ( ì Äì ) ( ì Äì ) Äì Äì ; () 7

10 Les métodes analytques Cependant, pour une foncton _(_) où le vecteur _ est de dmenson n, le calcul de sensblté par quotents dfférentels décentrés nécesste (n) évaluatons de la foncton coût tands que n évaluatons de celle-c sont nécessares pour un calcul centré, ce qu est très coûteux. Dans le domane du forgeage D, une seule smulaton d une gamme de forgeage (donc une évaluaton de _) peut nécesster pluseurs jours de calcul donc on se rend tout de sute compte du coût «paraonque» des D.F., proportonnel au nombre de paramètres. De plus, (Tortorell et al. 99) et (Goual 997) mettent en exergue l mportance du cox de l ncrément de perturbaton. Un cox de trop grand ou trop pett peut condure à des résultats totalement erronés. Dans le cas du forgeage, les remallages sont fréquents et l faut en plus consdérer une nouvelle source d mprécson lée au transport des varables, de l ancen mallage vers le nouveau. (B_lan 996) montre qu au bout de seulement de quelques remallages, les erreurs dues au transport des varables sont supéreures aux varatons de la foncton coût étudée. Les D.F. n ont plus aucun sens quelle que sot la valeur de la perturbaton cose. Il est alors ndspensable d utlser une analyse de sensblté analytque.. Les métodes analytques ous utlsons le terme «analytque» afn de ben fare la dfférence avec les métodes numérques (Dfférences Fnes). C est la plus précse des métodes de dfférentaton mas elle nécesste souvent des développements assez lourds en terme de calculs. Deux approces générales sont envsageables : l approce varatonnelle et l approce dscrète... Les métodes varatonnelles ous regroupons, sous la dénomnaton varatonnelle, les métodes dtes «globales» où la foncton coût _ et le résdu sont dfférentés sous leur forme varatonnelle ou ntégrale (ousselet 98) (Pronneau 984) (Tsay et al. 99) (Poldneff et al. 99) et les métodes dtes «locales» dans lesquelles les sensbltés de _ et sont obtenues par dfférentaton des équatons contnues régssant le problème drect (Badrnarayanan et al. 996) (Goual 997) (Srant et al. ) (Zabaras et al. ) (Zabaras et al. ). Pour llustrer cec, Duvaut et Goual (Goual 997) utlsent comme foncton coût l énerge totale de mse forme dont l expresson est la suvante : t t fn t t Ù t ó :ådwdt & () où ε& est le tenseur des vtesses de déformaton. La dfférentaton de _, sous sa forme contnue et par rapport au vecteur des paramètres _, donne : d d µ t t fn t t Ù t t t ó å& :å& ó: dwdt & µ µ t t Ù fn s ( ó :åv. n) t ds dt (4) 8

11 Les métodes analytques s où v désgne la vtesse de déplacement de la frontère Ùt due à la varaton des paramètres ó å& _. Afn de détermner les dérvées, et le terme v s. n ntervenant dans (4), les auteurs µ µ dfférentent les équatons consttutves du problème drect ans que les condtons aux lmtes. Ils écrvent ensute une forme fable, pus une forme dscrète du problème dérvé. Un pont délcat de cette approce est que les équatons dscrétsées ans obtenues ne sont pas coérentes avec celles du problème orgnal. Elles nécesstent ans de calculer des quanttés qu ne sont pas connues au nveau dscret et qu dovent donc être approcées. Dans le cas d une écrture lagrangenne (contrarement à (4) qu correspond à une écrture eulérenne), ces problèmes sont évtés (Zabaras et al. ). Un des ntérêts de ces métodes est que la dfférentaton des équatons ne nécesste pas la connassance du code éléments fns (Hafta et al. 99). Dans le cadre des procédés nstatonnares, ces métodes sont délcates à mettre en œuvre s on en juge le nombre rédut de travaux leur étant dédés. Un exemple d utlsaton de la métode varatonnelle est proposé par Zabaras et Srant (Srant et al. ) dans le domane de l optmsaton de forme : un lopn de forme cylndrque est écrasé à 5% entre deux tas plats. Les auteurs remarquent, à la fn du procédé, qu un léger bombé apparaît sur la surface lbre (la parte qu n est pas en contact avec les outls) du cylndre. Le but du problème est de trouver la préforme optmale afn d obtenr un cylndre parfat en fn de procédé (et donc d élmner le bombé). La surface du lopn est décrte par des courbes de Bezer et le matérau a un comportement vscoplastque. La préforme optmale est trouvée au bout de ut tératons (cf. Fgure ). Les auteurs montrent que les sensbltés calculées par la métode varatonnelle sont très proces de celles détermnées par la métode des D.F., l écart est nféreur à.%. De plus, le gan en temps CPU apporté par la métode varatonnelle par rapport à la métode des D.F. est de 6.5%. Itératon 7 Itératon Itératon 8 Itératon Fgure. Ecrasement de 5% d un lopn dans le but d obtenr un cylndre parfat. Dfférentes tératons de l algortme d optmsaton. Convergence au bout de 8 tératons. 9

12 Les métodes analytques.. Les métodes dscrètes Les métodes dscrètes consttuent l approce la plus couramment employée dans la lttérature. La dfférentaton est effectuée après dscrétsaton par éléments fns de la formulaton fable du problème drect (Balagangadar et al. ) (Paul et al. ). A partr de mantenant, nous consdérons nos fonctons coût _ et le résdu sous leur forme dscrétsée, c est-à-dre que _ et dépendent explctement des coordonnées X des nœuds du mallage, de V le camp nodal des vtesses et de _ le vecteur des paramètres : ( X ( µ ), V ( µ ), µ ) et ( X ( µ ), V ( µ ), µ ) (5) (Dantzg et al. 99) utlse cette approce pour un problème D de soldfcaton d un crystal. De nombreuses extensons de cette métode au forgeage exstent, et partculèrement dans le domane de l optmsaton de forme pour des procédés nstatonnares : en D (B_lan 996) (Velledent 999) (Castro et al. ) (Zao et al. 997) et en D (Sousa et al. ). (Tortorell et al. 994) affrme que pour les problèmes statonnares, effectuer une analyse de sensblté avant ou après dscrétsaton par éléments fns est équvalent s cette dscrétsaton est coérente. Quelle que sot la métode analytque cose (varatonnelle ou dscrète), l exste deux tecnques pour calculer le gradent de la foncton coût _ : la métode drecte et la métode de l état adjont. Il est cependant ben plus asé de décrre ces deux tecnques pour les métodes dscrètes.... La métode drecte La métode drecte est largement utlsée en optmsaton structurale (Hafta et al. 99) et en optmsaton dans le domane de la mse en forme (Kusa et al. 989) (Fourment et al. 996) (Zao et al. 997) (Antúnez 998) (Cung et al. 998) (Gao et al. 999) (Wrgt et al. 999) (Castro et al. ) (Zabaras et al. ) (Castro et al. ) (Gre_ovn et al. ). Parm ces publcatons ctons tout partculèrement les travaux ponners de (Castro et al. ) et (Castro et al. ) dans le domane de l optmsaton de forme en forgeage D. Les auteurs étudent un cas de forgeage où un problème de remplssage ntervent. L dée est de paramétrer les outls de forgeage et ensute de modfer leur forme afn de remplr correctement la matrce fnale. La métode drecte d analyse de sensblté est utlsée et ces sensbltés sont ntégrées dans un algortme d optmsaton à drecton de descente. La forme optmale des outls est obtenue au bout de sx tératons, la matrce fnale est parfatement remple. La dérvée totale de _ par rapport à _ donne : d dx dv (6) dµ µ X dµ V dµ

13 Les métodes analytques La métode drecte consste à calculer explctement la dérvée dv dµ en dfférentant l équaton résduelle d équlbre de la mécanque par rapport à _. système lnéare : V dx µ X dµ µ dv d dv est donc soluton du dµ (7) On remarque que le nombre de systèmes à résoudre est proportonnel au nombre de paramètres _. A pror, l utlsaton d une métode drecte n est donc ntéressante que s le nombre de paramètres est pett. On constate que les systèmes (7) ont la même matrce. V Ans, Il est ntéressant d utlser la métode drecte s celle c est couplée à une tecnque de dv résoluton drecte des systèmes lnéares. En effet, une fos calculée et stocée, V dµ s obtent par de smples produts matrce-vecteur. Dans le cadre du logcel SAFO et du code FOGE, les systèmes lnéares sont résolus de manère drecte d où l ntérêt de la métode drecte d analyse de sensblté (B_lan 996) (Velledent 999). Le coût est donc peu dépendant du nombre de paramètres. En revance, avec un algortme de résoluton tératf dv des systèmes lnéares, le coût de calcul de devent drectement proportonnel au nombre dµ de paramètres _. Avec le passage au D, le nombre de nœuds et d éléments du mallage est ben plus mportant qu en D. Ans, la résoluton des systèmes lnéares se fat généralement de manère tératve, afn d évter des temps de calcul trop mportants et des problèmes d espace mémore requs par le stocage de (Percat ). L déal est d utlser une métode dont le coût V (autrement dt le nombre de résolutons de systèmes lnéares) est ndépendant du nombre de paramètres. Dans ce but, nous ntrodusons la métode de l état adjont.... La métode de l état adjont dv Le but de la métode de l état adjont est d évter l évaluaton de la dérvée, dont le dµ coût de calcul est lé au nombre de paramètres (cf. paragrape... sur la métode drecte). (Tortorell et al. 994) décrt la métode pour des procédés statonnares régs par un comportement lnéare. (Joun et al. 99) (Cen et al. 995) et (Manatty et al. 997) utlsent la métode adjonte pour l optmsaton des procédés de mse en forme statonnares : extruson et lamnage. L extenson de la métode à des problèmes nstatonnares est étudée par (Poldneff et al. 99) (Mcalers et al. 994) (Fourment et al. ) et (Fourment et al. ) (Cung et al. ).

14 Les métodes analytques La métode consste à ntrodure le vecteur de varables adjontes λ en le multplant par l équaton résduelle. Pour caque foncton coût on ntrodut la fonctonnelle Λ(_, λ) défne par : T Ë( µ,ë) ( X ( µ ), V ( µ ), µ ) ë ( X ( µ ), V ( µ ), µ ) (8) S µ, V vérfe la relaton ( X ( µ ), V ( µ ), µ ), alors nous avons : Ë d Ë ( ì, ë) ( ì ) et ( ì, ë) ( ì ) (9) ì Ë Comme l est équvalent de calculer ou d (lorsque ( X ( µ ), V ( µ ), µ ) ), nous allons ì Ë nous attarder au développement du terme : ì Ë ì ì T Ë d ì ë ì X T T ë ë X d dx V T dv ë V () λ peut être cos de manère arbtrare, et l est possble de retenr une valeur qu élmne la dérvée mplcte dv des équatons : dµ Fnalement, avec la valeur de _ satsfasant () : T T Φ λ () V V Ë d ì ì T ë ì X T dx ë X () L équaton () montre que, contrarement à la métode drecte, le coût de la métode de l état adjont est proportonnel au nombre de fonctons coût _ et ndépendant du nombre de paramètres _. En effet, le nombre de systèmes lnéares à résoudre est égal au nombre de fonctons coût à trater. Une dscusson détallée sur la métode de l état adjont est réalsée dans le paragrape.5 («Blan et conclusons»). On remarque que, quelle que sot l approce utlsée (drecte ou adjonte), les mêmes dérvées dx ntervennent : ; ; ; ; ; et. Ces dérvées sont calculées de manère ì ì X X V V analytque, sem-analytque ou automatque.

15 La métode sem-analytque. La métode sem-analytque Cette métode de dfférentaton dot son succès aux progrès réalsés dans les domanes du calcul varatonnel et du calcul éléments fns, en passant par la concepton optmale de forme (Hafta et al. 99) (Kleber 99). Elle est utlsée dans le domane de l dentfcaton de paramètres réologques et trbologgues en D par analyse nverse (Boyer ) (Forester et al. ) et pour l optmsaton de forme d outls de forgeage D (Cung et al. 998). La dfférentaton sem-analytque est un comproms entre métode analytque et métode des d Dfférences Fnes. En effet, après un développement analytque du gradent, les dfférentes dérvées sont calculées smplement par la métode des Dfférences Fnes, le plus souvent en utlsant la formule décentrée à drote. Par exemple : lm X ÄX ( X ÄX,V, ì ) ( X,V, µ ) L utlsaton de la métode sem-analytque pour le calcul de sensblté offre une assez bonne précson pour un coût de calcul très rasonnable (Hafta et al. 99). Contrarement à la métode des D.F., son coût et sa précson sont pratquement smlares à ceux des métodes analytques. Cependant, le problème lé au cox de la perturbaton apparaît de nouveau (Tortorell et al. 994). En effet, la perturbaton _X des nœuds du mallage (cf. équaton ()) peut condure à la dstorson des éléments fns et donc nfluencer la précson des résultats (Goual 997). Dans la pratque, les valeurs optmales de perturbaton _X sont fables et se stuent, de manère relatve, dans l ntervalle [ 7 ; 4 ]. Il n y a donc aucun rsque de dégénérer le mallage. ÄX ().4 La métode automatque ous ne donnerons c que les grandes lgnes du fonctonnement d un logcel de dfférentaton automatque. Parm les dfférents logcels de dfférentaton exstant sur le marcé, nous cterons Odyssée, développé par l IIA de Sopa-Antpols, Gecado développé par le CEFACS de Toulouse et Adfor développé par deux laboratores amércans (Argonne atonal Laboratory de l unversté de Ccago et Center for esearc on Parallel Computaton de l unversté de ce). Tous ces logcels reposent sur le même prncpe. Ils prennent, en entrée, un code écrt en Fortran 77 qu calcule une foncton dfférentable et fournt, en sorte, un nouveau code Fortran 77, appelé code dérvé, qu calcule une dérvée tangente (une dérvée drectonnelle) ou cotangente (un gradent) de cette foncton (cf. Fgure ).

16 La métode automatque Code.f Fortran 77 Dfférentaton automatque Code_dérvé.f Fortran 77 Fgure. Fonctonnement de la dfférentaton automatque Pour cela, la foncton à dfférenter est décomposée en fonctons élémentares dont les dérvées sont connues (, -, *, /, cos, sn, exp, ). Tout comme les tecnques d analyse de sensblté, l exste deux modes de dfférentaton automatque : le mode lnéare tangent correspondant à la métode drecte et le mode lnéare cotangent correspondant à la métode de l état adjont. Ces deux modes dffèrent par leur coût d utlsaton, tant au nveau de la place mémore que du temps de calcul. (Elzondo et al. ) propose de tester ces deux modes sur un problème statonnare de dffuson D et de les comparer avec la dfférentaton analytque. Le logcel de dfférentaton automatque utlsé est Odyssée. La foncton coût étudée est dfférentée par rapport à un nombre de paramètres allant de un à ut. Tout d abord, la comparason entre sensbltés analytque et automatque est très concluante, l erreur relatve entre les deux métodes, tout paramètre confondu, est de l ordre de.% (et 9 l erreur relatve entre modes tangent et cotangent est de l ordre de %). Ensute, le Tableau regroupe les temps CPU obtenus pour le calcul des gradents : temps smu laton drecte temps dfférentaton temps smulaton drecte Dfférentaton analytque. Dfférentaton automatque : mode tangent.8*nbpar (nombre de paramètres _) Dfférentaton automatque : mode cotangent Tableau. Temps CPU nécessare à la dfférentaton, relatvement au temps requs par la smulaton drecte. Le temps de calcul du gradent de _ par la métode analytque ne représente que % du temps requs par la smulaton drecte. Le temps de calcul du mode lnéare tangent dépend, comme on peut s y attendre, du nombre de paramètres _ tands que le temps de calcul du mode lnéare cotangent est fxe quel que sot le nombre de paramètres. Les résultats du Tableau montrent que la dfférentaton automatque est coûteuse en temps de calcul, l exécuton du mode cotangent prend onze fos plus de temps que l exécuton de la smulaton drecte. Le mode cotangent ne devent plus effcace que le mode tangent qu à partr de 7 paramètres d optmsaton. Enfn, le nombre de varables ntermédares qu l est nécessare de stocer lors de l exécuton du mode cotangent peut devenr crtque en geston de place mémore. Sur l exemple proposé par (Elzondo et al. ), la génératon du code dérvé adjont (cotangent) nécesste une place mémore 4 fos plus mportante que celle nécessare à la génératon du code dérvé tangent. (Faure 998) a effectué pluseurs optmsatons dans le but de lmter les sauvegardes et a réuss, pour la premère fos, à générer automatquement par Odyssée un code dérvé adjont à partr du code D de termoydraulque opératonnel 4

17 Blan et conclusons THYC. Cec ouvre la voe à l applcaton de la dfférentaton automatque à des codes de talle ndustrelle. Les dfférentes tecnques d analyse de sensblté ont été présentées, laquelle retenr dans nos travaux dont le contexte est le forgeage D?.5 Blan et conclusons Tout d abord, les métodes analytques n ont pas été retenues car elles sont assez complexes à mettre en œuvre. otre cox s est plutôt tourné vers la tecnque semanalytque car elle est flexble et très smple à mplémenter dans le code FOGE (Larouss et al. ). Dans le cadre de cette tèse, le nombre de crtères _ à mnmser est lmté ( ou au plus) tands que le nombre de paramètres peut être élevé (une dzane) d où l ntérêt d utlser la métode de l état adjont au détrment de la métode drecte. De plus, le code FOGE se base sur une résoluton tératve des systèmes lnéares (la matrce du système () V n est plus calculée n stocée). otre préoccupaton premère étant de lmter le nombre de systèmes à résoudre, le cox de la métode de l état adjont paraît justfé. Cependant, pour des procédés nstatonnares, comme nous aurons à trater dans ce traval, de nombreux auteurs (Tsay et al. 99) (Poldneff et al. 99) (Mcalers et al. 994) déconsellent l utlsaton de la métode de l état adjont car elle demande des développements complexes et requert un espace mémore mportant (cf. parte ). Mas de récents travaux en optmsaton de forme en forgeage, en D (Fourment et al. ) (Cung et al. ) et en D (Larouss et al. ), ont prouvé la fasablté de cette métode. d Enfn, la dfférentaton automatque n est pas adaptée au calcul de car une seule smulaton drecte FOGE peut durer de nombreux jours. En revance, l peut être ntéressant de s nsprer de la métode sem-analytque et d utlser la dfférentaton automatque pour le calcul des dfférentes dérvées partelles (au leu d utlser la tecnque des quotents dfférentels). (Velledent 999) utlse la dfférentaton automatque et le logcel Odyssée afn de comparer les dérvées calculées analytquement avec celles obtenues «automatquement». L écart entre ces deux tecnques est nféreur à.%. Bblogrape (Antúnez 998) H.J. Antúnez. Termo-mecancal modellng and senstvty analyss for metal-formng operatons. Computatonal Metods n Appled Mecancs and Engneerng, Vol. 6, pp. -5, 998. (Badrnarayanan et al. 996) S. Badrnarayanan,. Zabaras. Senstvty analyss for te optmal desgn of formng processes. Computatonal Metods n Appled Mecancs and Engneerng, Vol. 9, o. 4, pp. 9-48,

18 Bblogrape (Balagangadar et al. ) D. Balagangadar, D.A. Tortorell. Desgn of large-deformaton steady elastoplastc manufacturng processes. Part II : senstvty analyss and optmzaton. Internatonal Journal for umercal Metods n Engneerng, Vol. 49, pp. 9-95,. (B_lan 996) T. B_lan. Optmsaton de forme des outls de forgeage par métode nverse. Tèse de Doctorat, ESMP, CEMEF, 996. (Becer et al. 989) M. Becer,. Kopp. A new approac to optmzaton of metal formng processes. E.G. Tompson et al. (édteurs), UMIFOM 89, pp. 7-, Balema : otterdam, 989. (Boyer ) B. Boyer. Métode nverse et calcul de sensblté sem-analytque : Applcaton à l dentfcaton de paramètres réologques et trbologques au cours des procédés de mse en forme. Tèse de Doctorat, ESMP, CEMEF,. (Castro et al. ) C.F. Castro, L. Costa Sousa, C.A. Conceçao Antono, J. César de Sà. A multlevel approac to optmzaton of bul formng processes. Conférence ECCOMAS, Barcelone,. (Castro et al. ) C.F. Castro, L.C. Sousa, C.A. Antono and J.M.A. César de Sa. An effcent algortm to estmate optmal de sape parameters n forgng. Engneerng Computatons (à paraître),. (Cen et al. 995) M.F. Cen, A.M. Manatty. An nverse tecnque for te optmzaton of some forgng processes. Sen et al. (édteurs), Smulaton of Materal Processng : Teory, Metods and Applcatons, pp , Balema : otterdam, 995. (Cung et al. 998) S.H. Cung, S.M. Hwang. Optmal process desgn n non-sotermal, non-steady metal formng by te fnte element metod. Internatonal Journal for umercal Metods n Engneerng, Vol. 4, pp. 4-9, 998. (Cung et al. ) S.H. Cung, L. Fourment, J.-L. Cenot, M. Hwang. Adjont state metod for sape senstvty analyss n non-steady formng applcatons. Internatonal Journal for umercal Metods n Engneerng, Vol. 57, pp ,. (Dantzg et al. 99) J.A. Dantzg, M.M. Tller, D.A. Tortorell. Optmal desgn and nverse problems n soldfcaton. Modellng of Castng, Weldng and Advanced Soldfcaton Processes VI, T.S. Pwona, V. Voller et L. Katgerman (édteurs), Te Mnerals, Metals & Materals Socety, pp , 99. 6

19 Bblogrape (Elzondo et al. ) D. Elzondo, C. Faure, B. Cappelaere. Automatc versus manual dfferentaton for non-lnear modelng. apport de recerce n 98, IIA Sopa-Antpols, Jullet. (Faure 998) C. Faure. Le gradent de THYCD par Odyssée. apport de recerce n 59, IIA Sopa-Antpols, Octobre 998. (Forester et al. ). Forester, Y. Castel, E. Masson. D nverse analyss model usng sem-analytcal dfferentaton for mecancal parameter estmaton. Inverse Problems n Engneerng, Vol., pp. 55-7,. (Fourment et al. 996) L. Fourment, T. Balan, J.-L. Cenot. Optmal desgn for non steady-state metal formng processes- I Sape optmzaton metod- II Applcaton of sape optmzaton n forgng. Internatonal Journal for umercal Metods n Engneerng, Vol. 9, o., pp. -66, 996. (Fourment et al. ) L. Fourment, J.-L. Cenot. Inverse metods appled to metal formng processes. Engneerng Computatonal Tecnology Conference, B.H.V. Toppng (édteurs), pp. 7-44, Saxe- Coburg Publcatons : Ednburg,. (Fourment et al. ) L. Fourment, S.H. Cung. Drect and adjont dfferentaton metods for sape optmzaton n non-steady formng applcatons. European Conference on Computatonal Mecancs, Cracow,. (Gao et al. 999) Z.Y. Gao,.V. Grand. Senstvty analyss and sape optmzaton for preform desgn n termo-mecancal coupled analyss. Internatonal Journal for umercal Metods n Engneerng, Vol. 45, pp. 49-7, 996. (Goual 997) M.A. Goual. ouvel outl d ade a la concepton de forme optmale : analyse de sensblté locale. Tèse de Doctorat, ES Cacan, 997. (Gre_ovn et al. ) I. Gre_ovn, T. od_. Practcal consderatons regardng optmsaton of sape n formng processes. Conférence ESAFOM, Cracove,. (Hafta et al. 99).T. Hafta, Z. Gürdal. Elements of Structural Optmzaton. Sold Mecancs and ts Applcatons, Vol., 99. (Joun et al. 99) M.S. Joun, S.M. Hwang. Optmal process desgn n steady-state metal formng by fnte element metod I Teoretcal consderatons II Applcaton to de profle desgn n extruson. Internatonal Journal of Macne Tools and Manufacture, Vol., pp. 5-7, 99. 7

20 Bblogrape (Kleber 99) M. Kleber. Sape and non-sape structural senstvty analyss for problems wt any materal and nematc non lnearty. Computatonal Metods n Appled Mecancs and Engneerng, Vol. 8, pp. 7-97, 99. (Kusa et al. 989) J. Kusa, E.G. Tompson. Optmzaton tecnques for extruson de sape desgn. E.G. Tompson et al. (édteurs), UMIFOM 89, pp , Balema : otterdam, 989. (Larouss et al. ) M. Larouss, L. Fourment. Te adjont state metod for senstvty analyss of non-steady problems. Applcaton to D forgng. Internatonal Journal of Formng Processes, (à paraître),. (Manatty et al. 997) A.M. Manatty, M.F. Cen. Algortm for optmmzaton of steady formng. Computatonal Plastcty, Fundamental and Applcatons. Barcelone, Espagne, 997. (Mcalers et al. 994) P. Mcalers, D. Tortorell, C. Vdal. Tangent operators and desgn senstvty formulatons for transent non-lnear coupled problems wt applcatons to elastoplastcty. Internatonal Journal for umercal Metods n Engneerng, Vol. 7, pp , 994. (Paul et al. ) S. Paul, P. Mcalers, J.Y. Sangv. Optmzaton of termo-elasto-plastc processes usng Euleran senstvty analyss. Internatonal Journal for umercal Metods n Engneerng, Vol. 56, pp. 5-5,. (Percat ) E. Percat. Mn-élément et factorsatons ncomplètes pour la parallélsaton d un solveur de Stoes D. Applcaton au forgeage. Tèse de Doctorat, ESMP, CEMEF,. (Pronneau 984) O. Pronneau. Optmal sapes desgn for ellptc systems. Sprnger-Verlag, 984. (Poldneff et al. 99) M.J. Poldneff, J.S. Arora. Desgn Senstvty Analyss of Coupled Termovscoelastc Systems. Internatonal Journal of Solds and Structures, Vol., o. 5, pp , 99. (ousselet 98) B. ousselet. Sape desgn senstvty of a membrane. Journal of Optmsaton. Teory and Applcatons, Vol.4, o. 4, pp , 98. (Sousa et al. ) L.C. Sousa, C.F. Castro, C.A.C. Antono, A.D. Santos. Inverse metods appled to ndustral forgng process. Conférence ESAFOM, Cracove,. 8

21 Bblogrape (Srant et al. ) A. Srant,. Zabaras. Sape Optmzaton and preform desgn n metal formng process. Computatonal Metods n Appled Mecancs and Engneerng, Vol. 9, pp ,. (Tller 998) Y. Tller. Identfcaton par analyse nverse du comportement mécanque des polymères soldes ; Applcatons aux sollctatons multaxales et rapdes. Tèse de Doctorat, ESMP, CEMEF, 998. (Tortorell et al. 99) D.A. Tortorell, G. Subraman, S.C.Y. Lu,.B. Haber. Senstvty analyss for coupled termoelastc systems. Internatonal Journal of Solds and Structures, Vol.7, o., pp , 99. (Tortorell et al. 994) D.A. Tortorell, P. Mcalers. Desgn senstvty analyss : overvew and revew. Inverse Problems n Engneerng, Vol., pp. 7-5, 994. (Tsay et al. 99) J.J. Tsay, J.S. Arora. onlnear structural desgn senstvty analyss for pat dependent problem. Part : Analytcal examples. Computatonal Metods n Appled Mecancs and Engneerng, Vol. 8, pp. 8-8, 99. (Velledent 999) D. Velledent. Optmsaton des outls en forgeage à caud par smulaton éléments fns et métode nverse. Applcatons à des problèmes ndustrels. Tèse de Doctorat, ESMP, CEMEF, 999. (Wrgt et al. 999) E. Wrgt,.V. Grand. Integrated process and sape desgn n metal formng wt fnte element senstvty analyss. Desgn Optmzaton : Internatonel Journal for Process and Product Improvement, Vol., o., pp , 999. (Zabaras et al. ). Zabaras, Y. Bao, A. Srant, W.G. Frazer. A contnuum Lagrangan senstvty analyss for metal formng processes wt applcatons to de desgn problems. Internatonal Journal for umercal Metods n Engneerng, Vol. 48, pp ,. (Zabaras et al. ). Zabaras, S. Ganapatysubramanan, Q. L. A contnuum senstvty metod for te desgn of mult-stage metal formng processes. Internatonal Journal of Mecancal Scences, Vol. 45, pp. 5-58,. (Zao et al. 997) G.Q. Zao,. Huff, A. Hutter,.V. Grand. Senstvty analyss based preform de sape desgn usng te fnte element metod. Journal of Materals Engneerng and Performance. Vol. 6, o., pp. -,

22 Formulaton du problème Captre Smulaton du procédé de forgeage par le logcel FOGE Dans ce captre, nous présenterons dans un premer temps la formulaton du problème contnu de mse en forme par forgeage. Dans un second temps, le problème dscret sera abordé avant d ntrodure la formulaton éléments fns ans que les métodes de résoluton utlsées dans le code de smulaton Forge. Enfn, une attenton partculère sera portée au remallage et au transport des varables.. Formulaton du problème L expresson mécanque du problème de forgeage est très classque, c est pourquo nous nous lmterons c à la présentaton des équatons de base dans un cadre soterme. Pour plus de détals, le lecteur pourra se référer à (Cescutt 989) pour la formulaton mécanque et à (Soyrs 99) pour l aspect termodynamque. En se plaçant à l écelle macroscopque, on assmle le métal caud à un mleu contnu et omogène. L écoulement de la matère forgée lors de la mse en forme vérfe les prncpes fondamentaux de la mécanque des mleux contnus que sont la conservaton de la masse et la conservaton de la quantté de mouvement. Matématquement, ces prncpes s écrvent comme sut : - équaton de contnuté : ρ dv t ( ρv) (4) - équaton de l équlbre dynamque : dv ρ dvσ dt (5) où t désgne le temps, ρ la masse volumque de la matère, v la vtesse d une partcule matérelle et σ le tenseur des contrantes... Les équatons du problème contnu Dans le cadre de la mse en forme des métaux à caud, l est classque de fare les ypotèses suvantes : - la composante élastque de la déformaton est fable au regard de la composante plastque, le matérau est donc supposé purement vscoplastque. - le matérau est ncompressble.

23 Formulaton du problème - la déformaton du matérau n est due qu à l acton des forces vsqueuses, les forces de gravté et d nerte sont en général néglgeables. En prenant en compte ces ypotèses, les équatons de conservaton (4) et (5) peuvent se smplfer en : dv v dvσ (6) Il faut mantenant fermer le système (6) en le complétant par la relaton de comportement entre contrantes et déformatons et par des condtons lmtes.... Les los de comportement La lo réologque de orton-hoff Le tenseur des contrantes σ est décomposé en une parte dévatorque s représentant le csallement et une parte spérque représentant la presson ydrostatque p : σ s pi avec p Trace( σ ) (7) où I désgne la matrce dentté. La lo de orton-hoff rele s au tenseur des vtesses de déformaton ε& (v) : et s écrt : ( v T v) ε& ( v) (8) m ( & ε ) & ε ( v) s K (9) où K est la consstance du matérau, m la sensblté à la vtesse de déformaton et ε& la vtesse de déformaton généralsée : & ε & ε( v) : & ε( v) () La consstance K peut dépendre de la température et de la déformaton généralsée ε en partculer. Dans le cadre de cette étude, et tant spécalement celu de l analyse de sensblté, nous nous plaçons dans un cadre soterme et nous consdérons que le matérau ne présente pas d écroussage. La pratque au CEMEF permet, à partr de cette lo, de modélser une très large gamme de procédés avec une bonne précson. Pour une présentaton détallée des équatons de comportement plus complexes, le lecteur pourra se référer à (appaz et al. 998) et (Alaga ).

24 Formulaton du problème La lo de frottement de orton Cette lo de frottement est ben adaptée aux fortes pressons de contact caractérsant les procédés de forgeage. Elle rele le vecteur csson de frottement τ à la vtesse de glssement tangentelle relatve entre la pèce et l outl Δ v : g avec f f g p f τ α K Δv Δv () g Δ v ( v v ) [ ( v v ) n]n () g outl outl. où v outl est la vtesse de l outl en contact avec le matérau, n la normale extéreure à la matère (cf. Fgure ), α f le coeffcent de frottement et p f la sensblté à la vtesse de glssement. Les coeffcents p f et K f sont respectvement prs égaux à m et K. Le frottement ne dépend donc plus qu un seul paramètre, α, détermné expérmentalement. f outl n pèce Fgure. Défnton de la normale n Ic auss d autres los peuvent être utlsées, telles que les los de Coulomb ou Tresca, mas par souc de smplcté, on se lmte à la lo de orton.... Les condtons aux lmtes Sot Ω un domane représentant le lopn, le bord de ce domane Ù est décomposé en deux partes dsjontes : Ù Ù l Ù c ()

25 Formulaton du problème - Sur la surface lbre du domane Ùl qu s exprme par la relaton :, la pèce n est soumse à aucune contrante, ce σ n (4) - Sur la surface en contact avec l outllage Ùc, les condtons de contact unlatéral de Sgnorn, qu mposent la non pénétraton des nœuds de la pèce dans l outllage, dovent être vérfées. Elles sont écrtes c sous leur forme nstantanée en vtesse : ( v v ). où σ σ n n est la presson de contact. n. outl n σ n (5) [ ( v voutl ). n] σ n emarque : sur Ùc, la condton aux lmtes dans la drecton tangentelle concernant la prse en compte du frottement a été tratée dans le paragrape précédent.... écaptulatf : le système d équatons à résoudre On aboutt fnalement au système d équatons suvant : dvσ dv v τ α f K Δv ( v voutl ). n g m Δv g sur Ù sur Ù sur Ù sur Ù c c (6) En utlsant la décomposton du tenseur des contrantes σ en s et p (cf. équaton (7)), le système (6) peut se réécrre comme sut : dv s grad p dv v m τ α f K Δvg ( v voutl ). n Δv g sur Ù sur Ù sur Ù sur Ù c c (7) En vue d une résoluton par la métode des éléments fns, l est nécessare de mettre le système (7) sous sa forme fable. Ce sera le tème du paragrape suvant.

26 Formulaton du problème.. Formulaton fable contnue du problème La formulaton fable s obtent par multplcaton des équatons locales (dtes «fortes») par des fonctons tests, pus par ntégratons et manpulatons dverses (formule de Green et condtons aux lmtes). Pour plus de détals, se référer à (Brezs 99). La formulaton fable assocée au problème fort (7), ou Prncpe des Pussance Vrtuelles ca (PPV) s écrt : Trouver telle que v V dv Ω * * * ca ( v ) dω τ. v ds v V dv s: ε& (8) Ωc ca ca où V dv (respectvement V dv ) désgne l espace des vtesses cnématquement admssbles (respectvement cnématquement admssbles à zéro) : V V ca dv ca dv { v ( H ( Ù) ); dv v sur Ù; ( v voutl ). n sur Ùc} v H ( Ù) ; dv v sur Ù; v. n sur Ù { ( ) } ous ne revendrons pas précsément sur la démonstraton de l exstence et de l uncté de la vtesse. Les grandes lgnes de cette démonstraton fgurent dans (Traoré ). ous pouvons ca seulement dre que l exstence et l uncté de la soluton sur l espace V dv sont assurées en remarquant que l équaton (8) est équvalente à la condton de statonnarté de la Ø v (German 985) : fonctonnelle vscoplastque strctement convexe ( ) Ø m f ( v) ( å) dù Äv ds c m (9) K á K & g m () m Ù Dans la pratque, la constructon des camps de vtesse ncompressbles Ù c ca V dv et ca V dv est ca ca ardue, on préférera utlser les espaces V et V. Pour cela, on écrt le problème (8) comme un problème de mnmsaton sous contrantes. La fonctonnelle à mnmser est toujours la fonctonnelle vscoplastque () et la contrante est l ncompressblté ( dv v ) : ca où V v ( H ( Ù) )( ; v v ). { n Ù } ( v) outl sur c Le Lagrangen assocé au problème (), que notons L, s écrt : Mn Ø ca v V () dv v ca L: ( v, p) V P a ( v, p) Ø ( v) dv v, p () où p est le multplcateur de Lagrange assocé à la contrante d ncompressblté que l on P L Ω. dentfe à la presson et ( ) 4

27 Compte tenu de l exstence d un mnmum local v ( ( v) condtons suffsantes de mnmalté donne : Dscrétsaton du problème Ø est convexe), l applcaton des D D v p L( v, p), v * L( v, p), p * () Fnalement : Ω Ω s: ε& p * * * ( v ) dω p dv( v ) dv Ω dω Ω τ. v c ds v V ca dv * ( v) dω p L ( Ω) * * (4) Pour l nstant, nous n avons pas traté le terme de contact. En effet l espace d admssblté ca des vtesses V content toujours la condton de contact unlatéral. ous verrons dans la parte suvante qu une métode de pénalsaton est utlsée pour gérer le contact.. Dscrétsaton du problème ca On approxme les espaces d admssblté de la vtesse V et de la presson P par des ca espaces dscrets de dmensons fnes V et P où désgne la talle de malle. ous v, convergent vers les solutons souatons ben évdemment que les fonctons ( p ) contnues ( p) v,. Une condton nécessare et suffsante pour obtenr cette convergence est que le problème sot consstant, c est-à-dre que l espace d approxmaton «tende» vers l espace contnu quand tend vers zéro. Ce sera le cas pusque les espaces d approxmaton dans lesquels nous travallerons sont des espaces de polynômes. Du fat du couplage entre les camps de vtesse et de presson, la condton de consstance ne sufft plus, l faut lu adjondre une condton de stablté spatale appelée condton de ca Brezz-Bab_sa (Brezz et al. 99). Cette condton tradut le fat que les espaces V et P ne peuvent pas être prs ndépendamment, comme nous le verrons au moment du cox des éléments fns. Avant cela, nous allons nous ntéresser à la dscrétsaton temporelle... Dscrétsaton temporelle otons par t et t fn les temps ntal et fnal de la smulaton de forgeage. L ntervalle t, t ] est dscrétsé en pluseurs pas de temps. Un des scémas d ntégraton temporelle [ fn utlsé dans FOGE, et que nous retenons c, est un scéma de type Euler explcte. Entre deux ncréments de temps consécutfs t et t Ät, l écoulement du matérau s écrt : t Ät t X X ÄtV t (5) 5

28 Dscrétsaton du problème L utlsaton d un tel scéma revent à fare l ypotèse que la vtesse est constante sur l ntervalle de temps [ t, t Ät]. (Traoré ) a montré qu en lamnage crculare, où l outl se déplace en rotaton, une telle approxmaton pouvat entraîner des erreurs, et notamment des gans de volumes consdérables. L ntroducton d un scéma d ordre deux de type unge- Kutta par (Boyère 999) dans FOGE a donné satsfacton pour ce type de procédés. L ntroducton de l nstatonnarté dans nos équatons nous oblge à prendre en compte des problèmes tels que la déformaton du mallage et la geston ncrémentale du contact (que nous aborderons plus lon). Il est temps de cosr un type d éléments fns adéquat pour la dscrétsaton spatale.. Dscrétsaton spatale Sot Γ une trangulaton éléments fns de Ù en sous éléments ω : Ù U ω (6) ω Γ De manère à vérfer la condton de compatblté de Brezz-Bab_sa, le cox des éléments fns ω ne peut se fare trvalement. Un des éléments fns mxtes possble est le P/P qu a été ntrodut par (Arnold et al. 984) et mplémenté dans FOGE par (Coupez 995) pour une formulaton vscoplastque ncompressble. En D, nous avons opté pour des éléments tétraédrques car d une part ceux-c permettent de décrre des domanes aux géométres dffcles et d une autre part leur smplcté permet la mse en œuvre d algortmes de remallage effcaces (Coupez 99). L dée est d enrcr l espace des vtesses par rapport à la presson en ntrodusant une «bulle» au centre de l élément. Le camp de vtesse est décomposé en une parte lnéare sur le tétraèdre de base et en une parte lnéare bulle (d où le de P) sur les quatre sous-tétraèdres défns par les 4 sommets et le centre de gravté du tétraèdre (cf. Fgure 4). La presson, quant à elle, est lnéare sur le tétraèdre. P V L B ca ω { p C ( Ù ); p P ( ω ) ω Γ } L { v ( C ( Ù ) ; v ( P ( ω ) ω Γ} ω b ( C ( Ù ) ; b ( P ( ω ),,...,4 où les ( ),..., 4 B ω ω désgnent les quatre sous-tétraèdres. et b sur ω Γ, ω (7) 6