Chap. 9 : Probabilités, conditionnement et indépendance Mathématiques T S
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- Daniel Lemelin
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1 I Le poit sur les probabilités ) Modélisatio d ue expériece aléatoire a. Loi de probabilité Défiitio : Soit E = {x, x 2,, x r } u esemble fii dot tous les élémets sot les issues d ue expériece aléatoire. O défiit ue loi de probabilité sur E e se doat ue suite de ombre (p,, p r ), tous positifs ou uls, et r dot la somme est égale à : pour tout i, p i 0 et p Chaque ombre p i est appelé probabilité de l issue x i, et est u ombre théorique attaché à l issue x i, qui modélise la valeur expérimetale f i de la fréquece, sas varier d ue expériece à l autre. O ote aussi : p i = P( x i ). O prélève au hasard ue boule das ue ure coteat boules rouges, verte et 2 oires. Plusieurs choix des p i remplisset les coditios précédetes, mais le modèle choisi est bo que si les fréqueces statistiques f i se rapprochet des p i, quad le ombre d expérieces deviet grad. Notre ituitio coduit au modèle suivat : Issue x i R N V Probabilité p i 2 6 b. Loi équirépartie (ou équiprobable) Défiitio 2 : O dit que la loi est équirépartie, ou ecore que les issues sot équiprobables, ou ecore qu il y a équiprobabilité si tous les p i sot égaux. Das ce cas, si Ω cotiet élémets, o a alors pour tout i : P(x i ) = p. Si o lace u dé «parfait», l évéemet A : «faire u 6» a ue probabilité de 6.
2 Défiitio : c. Paramètres associés (issues umériques) Soit E = {x, x 2,, x r } u esemble fii de ombres dot tous les élémets sot les issues d ue expériece aléatoire, et P = {p,, p } ue loi de probabilité sur E. O appelle : espérace mathématique E de la loi P le ombre : µ = x i p i ; moyee des valeurs x i, podérées par les probabilités p i. variace V de la loi P le ombre : V = p i ( x i µ ) ² = σ ² écart-type σ de la loi P le ombre : σ = V 2) Probabilité d u évèemet Défiitio 4 : Soit E = {x, x 2,, x r } u esemble fii dot tous les élémets sot les issues d ue expériece aléatoire. O appelle évéemet d ue expériece aléatoire tout sous-esemble A de so uivers. U évèemet élémetaire est u évéemet possédat u seul élémet. E est l évéemet certai. (qui est ue partie de E) est l évéemet impossible. La probabilité P(A) d u évéemet A est la somme des probabilités des évèemets élémetaires qui le costituet. O coviet que : P( ) = 0. Das le cas de l équiprobabilité cette défiitio ramèe le calcul de P(A) à u problème de comptage (ou de déombremet). Théorème : Das le cas d équiprobabilité, la probabilité d u évéemet A est : P (A) = ombre d élémets de A ombre de cas favorables = ombre d élémets de E ombre de cas possibles ) Propriétés des probabilités Tableau récapitulatif : Parties de E Vocabulaire des évèemets propriété A A quelcoque 0 P (A) Evèemet impossible P( ) = 0 E Evèemet certai P (E) = A B = A et B sot disjoits ou icompatibles P(A B) = P(A) + P(B) A A est l évèemet cotraire de A P( A ) = P(A) A, B A et B quelcoques P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Das u jeu de 2 cartes, o tire ue carte au hasard. Quelle est la probabilité de l évèemet A : «la carte est i u roi i u c ur»? O cosidère R : «la carte est u roi» et C : «la carte est u coeur». O a : A = R C. P(R) = 4 2 = ; P(C) = 2 = 4 ; P(R C) = 2 ; doc P(R C) = P(R) + P(C) P(R C) = = 2 Or A = R C. O e déduit : P(A) = P(R C) = 2 = 2 2 2
3 4) Variables aléatoires Défiitio 5 : Ue variable aléatoire X est ue applicatio défiie sur u esemble E mui d ue probabilité P, à valeurs das IR, qui pred les valeurs x,, x avec les probabilités p,,p : p i = P( X = x i ). L affectatio des p i aux x i ( i ), permet de défiir ue ouvelle loi de probabilité P sur E = {x,, x }, appelée la loi de X. C est doc la foctio qui à tout x i associe le ombre P ( X = x i ). O lace trois fois de suite ue pièce de moaie équilibrée. O perds 2 pour chaque résultat «pile» et o perds pour chaque «face». Doer la loi de probabilité de la variable aléatoire X doat les gais. A chaque lacer, o a 2 issues possibles : P et F. O lace fois la pièce, l esemble des issues est doc au ombre de 2 = : Issue PPP PFP PFF PPF FPP FFP FPF FFF Gai ( e ) O obtiet aisi ue ouvelle loi dot les issues sot : { ; 0 ; ; 6} : Gai x i 0 6 Probabilité p i = P(X = x i ) Défiitio 6 : Soit X ue variable aléatoire preat les valeurs x,, x avec les probabilités p,, p. O appelle respectivemet espérace mathématique E, variace Var et écart-type σ de X l espérace, la variace et l écart type de la loi de probabilité P de T : E(X) = x i p i ; Var(X) = p i ( x i E(X) ) ² = σ ² (X) ; σ (X) = Var(X) Doer l espérace mathématiques du gai de l exemple précédet. E(x) = = 2 ( ) = = =,5. Le gai moye est doc de,50. 2 Doer la variace et l écart type de l exemple précédet. Var(X) = = 9,46 75 σ (X) = Var(X),0 5) Propriétés de l espérace, de la variace a. Iterprétatios Si E(x) = 0, o dit que le jeu est équitable Si E(x) > 0, o dit que le jeu est favorable au joueur Si E(x) < 0, o dit que le jeu est défavorable au joueur Tout comme e statistique, variace et écart type sot des paramètres de dispersio. Il faut raisoer pour leur iterprétatio e terme de risque de gager ou perdre gros, par exemple, s il s agit d u jeu. b. Liéarité de l espérace
4 Théorème 2 : Soit X et Y deux variables aléatoires défiies sur la même situatio, et a u réel. Alors l espérace des ouvelles variables aléatoires X + Y et a X est doé par : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = a E(X) Démostratio: Soit X ue variable aléatoire qui pred les valeurs x,, x avec les probabilités p,,p Y ue variable aléatoire qui pred les valeurs y,, y avec les probabilités p,,p Z = X + Y ue variable aléatoire qui pred les valeurs x + y,, x + y avec les probabilités p,, p W = a X ue variable aléatoire qui pred les valeurs a x,, a x avec les probabilités p,,p E(X + Y) = (x i + y i ) p i = x i p i + y i p i = E(X) + E(Y) E(aX ) = (ax i ) p i = a x i p i = a E(X) O lace trois dés. Quelle est, e moyee, la somme des poits obteus? Soit X, X 2, X, les variables aléatoires désigat les poits obteus sur chaque dé. La somme des poits obteus est X = X + X 2 + X. Comme E(X ) = E(X 2 ) = E(X ) = ( ) =,5 6 O e déduit que : E(X) = E(X ) + E(X 2 ) + E(X ) = 0,5. c. Effet d ue trasformatio affie Corollaire : Soit f : x a a x + b avec a et b réels. O a : Objet Image par f X a X + b E(X) E(a X + b) = a E(x) + b Var(X) Var(a X + b) = a 2 Var(X) σ(x) σ(a X + b) = a σ(x) Démostratio: Soit X ue variable aléatoire qui pred les valeurs x,, x avec les probabilités p,,p a X + b ue variable aléatoire qui pred les valeurs a x + b,, a x + b avec les probabilités p,,p E(a X + b ) = (ax i + b) p i = a x i p i + b = a E(X) + b Var(a X + b) = (ax i + b E(a X + b)) 2 p i = (ax i + b a E(X) b) 2 p i = a 2 (x i E(X)) 2 p i = = a 2 Var(X) σ(a X + b) = Var(a X + b) = a 2 Var(X)= a 2 Var(X) = a σ(x) II Probabilités coditioelles ) Défiitio 4
5 Défiitio 7 : Soit A u évèemet de l esemble E des issues, tel que : P(A) 0, o appelle probabilité coditioelle de B sachat A le ombre, oté P A (B) défii par : P A (B) = P(A B) P(A) P(A B) = P(A) P A (B). que l o peut aussi écrire : Das u jeu de 2 cartes, o tire ue carte au hasard : c est u coeur. Quelle est la probabilité pour que cette carte soit u roi? O cosidère R : «la carte est u roi» et C : «la carte est u coeur». P(R) = 4 2 = ; P(C) = 2 = 4 ; P(R C) = 2 O cherche à calculer P C (R) = P(R C) P(C) Remarque : = 2 4 = Il y a cartes de c ur das le jeu et u seul roi de c ur, o retrouve aisi le résultat précédet. 2) Formule des «probabilités totales» Théorème : Formule des probabilités totales. Soiet A, A 2,, A des évèemets de probabilité o ulle, réalisat ue partitio de l uivers E. Alors la probabilité d u évèemet quelcoque B est doée par : P(B) = P(B A ) + P(B A 2 ) + + P(B A ), c'est-à-dire : lorsque P(A i ) 0 pour tout i : P(B) = P(A ) P A (B) + P(A 2 ) P A2 (B) + + P(A ) P A (B) Démostratio: Si A, A 2,, A réaliset ue partitio de l uivers E alors B A, B A 2,, B A réaliset aussi ue partitio de l uivers E, d où le résultat. Ue ure cotiet boules blaches et 7 boules oires. O effectue deux tirages successifs sas remise. ) représeter cette situatio par u arbre 2) Calculer la probabilité d obteir ue boule oire au deuxième tirage. 0, 0,7 0,2 B 2 B 0,7 N 2 B 2 0, N 0,6 N 2 B et N formet ue partitio de l uivers E. O a doc : P(N 2 ) = P(B N 2 ) + P(N N 2 ) = P(B ) P B (N 2 ) + P(N ) P N (N 2 ) = 0, 0,7 + 0,7 0,6 = 0,7 (0,9) = 0,6 La probabilité d obteir ue boule oire au deuxième tirage est de 0,6. ) Mise e uvre das le cas d épreuves répétées O cosidère trois ures U, U 2 et U schématisées ci-dessous. U U 2 U 5
6 O choisit ue ure au hasard et o tire ue boule das cette ure. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge? ) Modélisatio L uivers E est l esemble des boules des trois ures. O ote U i l évèemet : «l ure choisie est U i» pour i égal, 2 ou. Soit R : «la boule tirée est rouge» et J : «la boule tirée est jaue» 2) Résolutio P(U ) = P(U 2 ) = P(U ) = ; P U (R) = 6 ; P U2 (R) = 4 ; P U (R) = U, U 2 et U formet ue partitio de E. O peut doc appliquer la formule des probabilités totales : P(R) = P(U R) + P(U 2 R) + P(U R) = P(U ) P U (R) + P(U 2 ) P U2 (R) + P(U ) P U (R) = = 5 2 III Idépedace ) Evèemets idépedats Défiitio : Dire que deux évèemets A et B sot idépedats sigifie que : P(A B) = P(A) P(B) Cela reviet à dire, si P(A) 0, que : P A (B) = P(B). Remarque : O jette successivemet deux pièces de moaie o truquées. Le évèemets A : «la première pièce doe FACE» et B : «les deux pièces doet le même résultat» sot-ils idépedats? Cette formule se gééralise das le cas d ue successio d évèemets idépedats. 2) Variables aléatoires idépedates Défiitio 9 : Soiet X et Y deux variables aléatoires défiies sur le même uivers E. X preat les valeurs x,, x et Y preat les valeurs y,, y m. O dit que X et Y sot idépedates lorsque, pour tous i et j ( i et j m), les évèemets (X = x i ) et (Y = y j ) sot idépedats. ) Expérieces aléatoires idépedates a. Pricipe Il arrive souvet que des expérieces aléatoires répétées (idetiques ou o) soiet idépedates, au ses ituitif du terme. Das ce cas, ous admettros que, coformémet à l ituitio : La probabilité de la liste des résultats est le produit des probabilités de chaque résultat Deux variables aléatoires attachées à deux expérieces différetes sot idépedates b. Commetaire Ce pricipe peut se justifier, das certais cas, par le déroulemet effectif des listes de résultats (loi produit ou pricipe multiplicatif) O lace fois ue pièce de moaie équilibrée. Quelle est la probabilité de l évèemet A : «o obtiet au mois ue fois pile»? D après le pricipe précédet, o a : P( A ) = = = 2 2 (o obtiet fois Face). Doc : P(A) = 2. 6
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