COMPARAISON DE PROPORTIONS. Éric Taillard, Ph. Wälti, J. Zuber EIVD. Haute École spécialisée de Suisse occidentale, Yverdon-les-Bains, Suisse

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1 UN NOUVEAU TEST STATISTIQUE POUR LA COMPARAISON DE PROPORTIONS Éric Tillrd, Ph. Wälti, J. Zuber EIVD Hute École spécilisée de Suisse occidetle, Yverdo-les-Bis, Suisse FRANCORO04, Fribourg, Suisse, EXEMPLE TYPIQUE DE RÉSULTATS NUMÉRIQUES : Repris de Kim 3, JoH 9 (3), Jui 2003 Exemple de problème Nombre d exécutios TCC RSC FSC SSC SHC TMC Sortig etwork desig, = Sortig etwork desig, = Sortig etwork desig, = DTTTgme Nim(3,4,5,4) Nim(5,7,11,6) Coditios de l expériece : U certi ombre d exécutios de méthodes o-détermiistes sur le même exemple, ou Des méthodes (o-) détermiistes exécutées sur des exemples de problèmes choisis létoiremet Questio typique: Est-ce que SSC est sigifictivemet meilleure que FSC pour 2DTTT gme? i. e. est-ce qu u tux de succès de 9/10 est sigifictivemet meilleur qu u tux de 4/10? FRANCORO04, Fribourg, Suisse,

2 TEST STANDARD, COMPARAISON DE PROPORTIONS Coditios de l expériece : exécutios de l méthode A, succès, probbilité de succès de A (icoue) : p (= 1 q ) exécutios de l méthode B, b succès, probbilité de succès de B (icoue) : p b (= 1 q b ) Les exécutios sot toutes supposées idépedtes Soiet X A (resp. X B ) l vrible létoire ssociée u succès (X A = 1) de A (resp. B) Si et sot suffismmet grd lors : D = X A / X B / est pproximtivemet ormlemet distribuée Moyee : d = p p b 2 p Vrice :σ q p D b q b = FRANCORO04, Fribourg, Suisse, Hypothèse ulle : p p b Hypothèse ltertive : p > p b TEST STANDARD UNILATÉRAL Le prmètre p peut être pproché pr l estimteur groupé : pˆ = 1 qˆ = Clculer : dˆ ---- b = ---- et ŝ = pˆ qˆ pˆ qˆ Rejeter l hypothèse ulle (et ccepter l hypothèse ltertive) u seuil α si : dˆ Φ -- (Φ : foctio de réprtitio d ue vr. létoire ormle cetrée réduite) ŝ > 1 α dˆ (-- dˆ > pour α = 5% et -- > pour α = 1%) ŝ ŝ FRANCORO04, Fribourg, Suisse,

3 TEST STANDARD BILATÉRAL (Test du χ 2 pour comprer des proportios ds ue tble de cotigece 2 2) Hypothèse ulle : p = p b = p (i.e. d = 0) Hypothèse ltertive : p p b ( + ) ( + b ) 2 dˆ Clculer : T = (i.e. -- ) ( ) ( + b) ŝ 2 Sous l hypothèse ulle, l sttistique de test T suit pproximtivemet u loi du χ 2 à 1 degré de liberté Rejeter l hypothèse ulle (et ccepter l hypothèse ltertive) u seuil α si : T > χ 1 α [ 1] T > 3,841 pour α = 5% T > 6,635 pour α = 1% FRANCORO04, Fribourg, Suisse, NOUVEAU TEST UNILATÉRAL Problème : Comprer les proportios (icoues) p et p b de succès ds deux échtillos Échtillos : exécutios de l méthode A, succès, exécutios de l méthode B, b succès, ss être restrictif, o suppose / > b/ Hypothèse ulle : p p b Hypothèse ltertive : p > p b Méthode : L probbilité S(,, b,, p, p b ) d observer : succès ou plus pour l méthode A b succès ou mois pour l méthode B est doée pr S(,, b,, p, p b ) Rejeter l hypothèse ulle u seuil α si : = i = b j = 0 i i p ( 1 p ) i j j pb ( 1 p b ) j le mximum de S(,, b,, p, p b ) < α, sous cotrite p p b FRANCORO04, Fribourg, Suisse,

4 MAXIMUM DE S(A, N A, B, N B, P A, P B ) AVEC P A P B 1) Le mximum ur lieu pour p = p b = p cr o supposé / > b/ (sio, o e peut refuser l hypothèse ulle p p b ) 2) Le clcul lgébrique du mximum est que rremet possible Poser pˆ = , effectuer quelques ps de l méthode de Newto sur l foctio S(, p, p) + 3) Clcul de S mlcommode Tbultio de vleurs de et b pour 15 et 13 respectt le seuil α = 5% ds les ctes Le lecteur d urticle qu à compter,,, b et cosulter l tble (ps de clculs!) Le clcul de S est dispoible sur le web Les codes sources sot dispoibles FRANCORO04, Fribourg, Suisse, EXEMPLES DE CALCULS ALGÉBRIQUES DE S 1) Tous les exécutios de A sot des succès, tous les exécutios de B sot des échecs. S(,, 0,, p, p) 1 p ( 1 p) 0 1 p 0 ( 1 p) p ( 1 p) = = ds Mximum de S sur p : dp p 1 ( 1 p) p ( 1 p) 1 = = p Pour = 3, = 2, mx S(,, 0,, p, p) = 108/3125 < 5% = = O peut supposer, u seuil de cofice de 95% qu u tux de succès de 3/3 soit sigifictivemet plus élevé qu u tux de succès de 0/2. 2) 3 succès de A sur 4 exécutios, 0 succès de B sur 3 exécutios 3 ) Estimteur groupé pˆ = --, S(3, 4, 0, 3, 3/7, 3/7) < 4% 7 Au seuil de cofice de 96% o peut supposer que A soit meilleur que B b) S3, 4, 0, 3, , > 4% O e peut ps supposer A meilleur que B (4%) 7 7 FRANCORO04, Fribourg, Suisse,

5 NOUVEAU TEST NON PARAMÉTRIQUE Problème : Comprer les proportios p et p b de succès ds deux échtillos Échtillos : exécutios de l méthode A, succès, Hypothèse ulle : p = p b = p Hypothèse ltertive : p p b exécutios de l méthode B, b succès Clcul direct : L probbilité P d observer / et b/ succès sous l hypothèse ulle est doée pr : P p ( 1 p) b b p ( 1 p) b = = + p ( 1 p) + b b Rejeter l hypothèse ulle u seuil α si P < α FRANCORO04, Fribourg, Suisse, TEST DE MCNEMAR Vrite du test de siges Compriso de doées ppriées (typiquemet : vt-près) : Les méthodes A et B sot exécutées sur les mêmes exemples de problèmes. Les églités (succès, succès) ou (échec, échec) sot élimiées. succès pour l méthode A, b succès pour B sur exemples de problèmes Hypothèse ulle : P(X = 0, X b = 1) = P(X = 1, X b = 0) = 0,5 Hypothèse ltertive : P(X = 0, X b = 1) P(X = 1, X b = 0) (Test biltérl) Clcul direct : L probbilité P d observer b succès ou mois sur observtios sous l hypothèse ulle est : P = b + b i 0.5 i ( 1 0.5) i i = 0 Rejeter l hypothèse ulle u seuil α si 2P < α ou si 2P > 1 α FRANCORO04, Fribourg, Suisse,

6 COMPARAISON MCNEMAR, NOUVEAU TEST 25, b Bilterl, 5% 20 15, Both tests b, McNemr b, New test FRANCORO04, Fribourg, Suisse, /10 sigifictivemet 4/10 25, b Bilterl, 1% 20 15, Both tests b, McNemr b, New test FRANCORO04, Fribourg, Suisse,

7 25, b Uilterl, 5% , Both tests b, McNemr b, New test FRANCORO04, Fribourg, Suisse, , b Uilterl, 1% 20 15, Both tests b, McNemr b, New test FRANCORO04, Fribourg, Suisse,

8 CONCLUSIONS U ouveu test o prmétrique puisst été développé Permet de comprer des tux de succès de deux méthodes lorsque Les méthodes sot o détermiistes (u ou plusieurs exemples de problèmes) Les méthodes sot détermiistes, les problèmes choisis létoiremet Peut être ppliqué à de très petits échtillos, ps écessiremet de l même tille Permet de réduire l effort de clcul pour l justemet de prmètres Dispoible e lige. Nettemet plus puisst que le test de McNemr FRANCORO04, Fribourg, Suisse,

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