Correction du sujet 1 de l'agrégation externe de mathématiques (session 2006) t t 2 n dt. t 2n dt=[ln t ] nln 1 2n = t dt= nln 1 2n.

Transcription

1 Correctio du sujet de l'agrégatio extere de mathématiques (sessio6) PARTIE I : ) tdt= lim O ote A= Calculos A : tt = or > Coclusio : A= dt= lim t t t t dt t t t t dt= t t dt t dt A= [ l ll ]= [ l t dt= lim A= lim [ l ) (a) t >, t et tb t t > B t t dt=[l t ] =[l t ] l ] l ] l = tdt= l t t > B t A t t > B t A t t t = A t B t t = t[ A B t ] A t Soit f : x x x défiie sur [ ; ] f est cotiue sur [ ; ] et dérivable sur [ ; [ f ' x= x x x = x f est ue foctio strictemet décroissate sur [ ; ] et f()= x [ ; ] alors f x x x t > B t t > t t > B t B t A t B t t t A t B t A t et comme t t B t t t Page / 8

2 (b) t= t or d'après la formule du biôme de Newto : k t = C t k= k= t t k avec k > car t > t = 4 t t k avec k t = t t k avec k or N* et t tt t > t > t tt (c) B t t = or ' t = B t t = t t t t = t t t ' t t t ' t= t t t t t = t ' t t t t t t or t > t tt t B t > o a t t t ' t t t t ' t Page / 8

3 (d) O ote t t dt=b D'après (c) B t ' t dt Calculos cette itégrale par partie e posat Alors B [ [ t t] ut =t { v' t =' t tdt] B Cherchos ue majoratio de D'après (b) Or t dt B t dt ( ) tdt tt dt= t dt tdt l tdt tt dt t dt=l ( ) B l u 't = { vt = t Or lim t = et lim l =l t t dt l Si o ote u = alors u est strictemet décroissate N*, u t t dt l t t dt O lorsque ted vers + Page 3 / 8

4 (e) D'après (d) t t dt O t t dt O lorsque ted vers + t t dt avec lim = t dt t dt t dt or d'après. t dt= l l l t dt l l t dt t dt or l N 3)(a) t dt~ lorsque ted vers + N t= t t 4 4 N t= k= k C 4 4 k t k= k C k t N t t t = ot [tot ] 4t N t=[ t3 3 t 4 t t [ k= 4 ] t [ 4443 k C k] t 4t 4t3 t t t ot 4 ] t ot N t=ttt ot Or N t =N N ' N =, N ' = et N ' ' = t N ' ' t ot 6 Page 4 / 8

5 t= N t D t = ot D t t= N t D t = ot t t t or t > t tt d'après ) (b) t ot t t tt t o t t 4 o t 4t t La foctio racie carrée est strictemet croissate sur R + t 4 o 4 t t Or 4 o lim = t est itégrable e. t 4t t (b) t > l t t t> e t < t e Soiet g et h deux élémets de. l t t e t > t e t e M tel que g t, g ' t, g ' ' t, g ' ' ' t sot iférieurs à M, t [ ; ] N tel que h t, h' t, h' ' t, h' ' ' t sot iférieurs à N, t [ ; ] O ote u ue suite tel que u u t = g t h t alors t [ ; ] u t = g t h t g t h t u t M N u' t = g' th' t g ' t h' t u' t M N u' ' t = g ' ' th' ' t g ' ' t h' ' t u ' ' t M N u' ' ' t = g' ' ' th' ' ' t g ' ' ' t h' ' ' t u' ' ' t M N alors u est aussi élémet de est stable par la loi +. Page 5 / 8

6 O ote v ue suite tel que u v t=g th t alors t [ ; ] v t = g th t = g t h t MN v' t = g ' t h t g t h' t g ' t h t g t h' t v' t MN v' ' t = g' ' t h t g' t h' tg t h' ' t v' ' t g' ' t h t g' t h' t g t h' ' t v' ' t 4MN v' ' ' t = g ' ' ' t h t 3g' ' th' t 3g' t h' ' t g t h' ' ' t v' ' ' t g ' ' ' t h t 3g' ' th' t 3g ' t h' ' t g th' ' ' t v' ' ' t 8MN t [ ; ] v t, v' t, v' ' t, v' ' ' t sot iférieurs à 8M v est aussi élémet de est stable par la loi De plus la loi + est commutative, associative et u t = est l'élémet eutre. La loi est associative, distributive et u t = est l'élémet eutre. Doc (,+, ) est u aeau. O ote = Mi{ g t, g ' t, g ' ' t, g ' ' ' t sot iférieurs à M, t [ ; ]} De plus o ote f : R t f t =t alors f t t ' = f t t ' =t t '= f t f t '= f t f t ' f est homomorphisme de R das. Alors est ue algèbre. Motros maiteat que N O pose u t = t N t=u t v t w t, v t= t t et w t = t E motrat que u, v et que w alors puisque est ue algèbre, N u t = t = t u' t= t u' ' t = t 4e = t t e t 8e Page 6 / 8

7 u' ' ' t= De plus v t= t e v ' t = t e et v ' ' ' t = De plus w t = t t = et v ' ' t= t 4 e t t 3 8e = tt et w ' t= t t t t 36 et w ' ' t = 4 t t 4e 6 3 t 6 et w ' ' ' t= 8 8 Coclusio : puisque que u, v et que w alors N (c) Puisque N alors d'après le théorème de Taylor-Lagrage, M R tel que t [O,] N t M t 3 6 t [O,] t = N t D t M t 3 6 D t t [O,] t M t 3 6 t t t M t 3 6 t t t t or d'après ) (b) t tt t [O,] t Mt 3 6 t t tt t M 6 t 3 4t 4t t [O,] t M 6 6t t M 6 t Page 7 / 8

8 t [O,] d t M 6 t oc tdt M 6 t dt t [O,] 4 ) (a) tdt M 6 o a bie t dt O (b) O a E = 4 t t t dt E appliquat le chagemet de variable t= x o obtiet : E = 4 x dx= 4 x dx 4 x dx e appliquat le chagemet de variable. Or d'après ) (e) et 3) (c) o obtiet : E ~ 4 M 6 4 E ~ Page 8 / 8