Petit manuel de bonne rédaction

Transcription

1 Petit mauel de boe rédactio «Bie rédiger» peut sigifier deux choses : 1) exposer sa pesée clairemet, c est-à-dire avec ordre et rigueur et si possible avec style ; U raisoemet faux peut être bie rédigé, et il est das ce cas souvet facile de trouver l erreur commise. Au cotraire, u raisoemet «correct» mal rédigé est souvet sige d araque, volotaire ou o. ) se coformer aux covetios de otatio pratiquées par la commuauté des persoes auxquelles o s adresse. Par exemple, puisque tout le mode ote R l esemble des réels, il faudrait avoir l esprit tordu pour le oter autremet. O peut toujours cotester la otatio R et isister sur so caractère arbitraire, il e demeure pas mois qu il est écessaire de fixer ue otatio si l o veut pouvoir commuiquer. Das tout ce texte, les exemples de rédactios correctes sot précédées des symboles icorrectes des symboles. et les exemples de rédactio Je vais employer ci-dessous u to impératif et sûr de lui, mais sachez tout de même que les covetios de la boe rédactio e sot pas gravées das le marbre das les moidres détails. Chaque mathématicie a ses petites maies. Pour autat je sais que les petites maies qui suivet sot partagées par bo ombre de mes collègues. 1 Les grads pricipes de la rédactio mathématique Ne égligez sous aucu prétexte les eseigemets de cette première partie. Aussi étrage que cela puisse paraître, ils sot à bie des égards les plus importats de toute votre aée de MPSI. Si les forts e maths ot u secret qu ils igoret souvet eux-mêmes il vous est e grade partie livré ci-dessous. Si vous e coaissez pas les quatificateurs uiversel et existetiel, vous e trouverez ue brève expositio das mo chapitre de cours «Pour bie commecer l aée». 1.1 Itroduire tout ce dot o parle La première règle de rédactio e mathématiques, c est que toute otatio quelle qu elle soit doit être itroduite. E fraçais, si vous dites : «Ils ot travaillé toute la soirée» sas avoir précisé qui sot ces «ils» travailleurs, vous risquez de être pas compris. E maths, c est pareil : vous devez préseter tout ce dot vous parlez. Mais commet itroduit-o cocrètemet u objet mathématique? Cela déped du statut logique de l objet à itroduire : cet objet est soit u objet quelcoque, ue variable décrivat u certai esemble ; soit u objet précis déjà défii auquel o veut seulemet doer u om par souci de cocisio Itroduire ue variable Quad o veut itroduire ue variable décrivat tout u esemble, autremet dit u élémet x quelcoque, idétermié d u esemble E, o peut procéder de deux maières : Soit x E. Pour tout x E :... O peut bie sûr utiliser importe quel symbole à la place de x : y, z, α, f... Oublier ces petites phrases d itroductio est ue faute grave faute de rédactio mais surtout faute logique. Par exemple, imagiez qu o vous demade d établir la propositio : x R, si x+ π ) = six+cosx. Première répose : 4 si x+ π ) = sixcos π 4 4 +cosxsi π 4 = six+cosx. 1

2 Rédactio icorrecte car vous itroduisez pas votre x. Voici deux réposes correctes : Soit x R. Alors : si x+ π ) = sixcos π 4 4 +cosxsi π 4 = six+cosx. Pour tout x R : si x+ π ) = sixcos π 4 4 +cosxsi π 4 = six+cosx. Bo, mais tout ceci est-il pas u peu de la maiaquerie? Sur u exemple aussi simple, sas doute. Mais u ombre cosidérable d erreurs mathématiques, côté étudiats, proviet d ue idifférece totale aux objets maipulés et à leur itroductio. Pour cette raiso, de ombreux raisoemets d étudiats e sot i corrects i icorrects, mais ot tout simplemet aucu ses. Or il est grave de produire des phrases qui ot pas de ses! Das la vie courate, cela relève de la folie. Plus u problème mathématique est subtil, plus il exige de rigueur. E classe préparatoire, appreez doc à être rigoureux tout le temps. Les matheux professioels e le sot pas autat : mais eux savet bie quad ils peuvet se permettre u certai relâchemet sas commettre d erreur. Vous aussi, quad vous maîtriserez parfaitemet la lague mathématique, vous pourrez lâcher du lest mais pas avat! Les «Soit x E» sot certes d abord ue garatie de rigueur, mais ils sot e réalité davatage. Il arrive souvet que les étudiats e sachet pas du tout par quoi commecer la résolutio d u problème. La peur de la page blache e quelque sorte. Il leur suffirait pourtat d itroduire propremet quelques otatios, avec méthode, pour s e sortir. Imagiez par exemple qu o vous demade de démotrer le théorème suivat : «Toute foctio réelle croissate défiie sur R possède ue limite e.» Par où commecer? Il faut d abord traduire l éocé au moye de quatificateurs : «Pour toute foctio f : R R, si f est croissate, alors lim f existe.» Ou ecore, e résumé la rédactio suivate est icorrecte mais elle a pour elle ue certaie clarté : ) f : R R foctio, f croissate = limf existe. E voyat cela, o sait tout de suite par quoi la preuve doit commecer même si o e sait du tout ce qu o va faire derrière : Soit f : R R ue foctio. O suppose f croissate. Motros qu alors lim f existe. Tout élève mathématicie dige de ce om doit de lui-même écrire cela sur sa copie, même si la suite de la preuve lui échappe. Vous avez le droit de e pas savoir fiir, pas celui de e pas savoir commecer. O vous demade de motrer u résultat de la forme «Pour tout x E,...»? Commecez par «Soit x E». Le résultat est de la forme «Pour tout x E, si x a la propriété P, alors...»? Commecez par : «Soit x E. O suppose que x vérifie la propriété P.» Quel itérêt? Tat que vous e vous êtes pas doé ue foctio f croissate fixée, vous êtes pas e mesure de motrer que toute foctio croissate possède ue limite e. Au cotraire, maiteat que vous avez commecé votre preuve comme idiqué ci-dessus, vous avez ue foctio f fixée etre les mais et pouvez doc etamer ue réflexio à so sujet. De même qu u peitre e peut pas peidre sas peiture i toile, u mathématicie e peut pas réfléchir sas u matériau pour sa réflexio. Si cette méthode vous paraît idiote parce qu évidete, tat mieux! Mais sachez que beaucoup d étudiats sot icapables de peser mathématiquemet parce qu ils ot jamais compris cela. Avez-vous bie compris ce qui précède? Y peserez-vous quad vous serez seuls face à u exercice? 1.1. Doer u om à u objet par souci de cocisio Il arrive souvet e mathématiques qu o veuille doer u om simple à ue quatité compliquée parce qu o sait qu o va devoir souvet l écrire. Par exemple, si vous devez employer plusieurs fois das u raisoemet l expressio l e 0 0, où 0 est u etier déjà cou de votre lecteur, vous pouvez choisir de oter K cette quatité et profiter de ce om pour redre votre raisoemet plus lisible : plutôt que l e 0, vous écrirez partout K. Mais commet rédige-t-o ue telle défiitio? 0 Deux verbes ous permettet de le faire aisémet : les verbes «poser» et «oter». O ote K le réel l e 0 0. O pose K = l e 0 0.

3 Ces deux rédactios correctes, tout à fait équivaletes, appellet quelques commetaires : 1) Il est impératif das les deux cas que la lettre K ait pas déjà été utilisée ailleurs das le raisoemet que vous êtes e trai de faire : il faut qu elle soit euve. Si vous vous appelez Sarah ou Atoie, vous éviterez sas doute d appeler vos efats Sarah ou Atoie pour éviter les cofusios. C est pareil e maths. ) Das les deux cas égalemet, il est impératif que la quatité l e 0 soit parfaitemet coue du lecteur 0 au momet de votre défiitio. Ici cela suppose que vous avez déjà itroduit avat la lettre 0. 3) Remarquez pour fiir que l usage bait gééralemet la costructio suivate avec le verbe «oter» : O ote K = l e 0 0. Attetio, l exemple suivat est icorrect. Admettos que vous ayez déjà itroduit u certai réel positif y. Das ce cas vous avez pas le droit d écrire, pour itroduire la lettre x : O pose y = x. Cette formulatio sous-eted que c est y qui est itroduit et que x est déjà cou, alors que vous vouliez justemet faire le cotraire. A gauche du symbole d égalité doit figurer le ouveau om que vous êtes e trai d itroduire, et à droite, le coteu déjà itroduit auquel vous attachez ce ouveau om. Voici deux faços correctes d itroduire u réel x de carré y. O pose x = y. O pose x = y. Cocrètemet, à quelle occasio utilise-t-o les verbes «poser» et «oter»? Leur premier usage, préseté ci-dessus, vise à éviter les répétitios d expressios compliquées : e doat u petit om simple à ue expressio compliquée, o red plus lisible so travail. Mais o utilise aussi ces verbes pour ue raiso mois aecdotique. Imagiez qu o vous demade de motrer qu il existe des réels x et y dot la somme est u etier mais qui e sot pas eux-mêmes des etiers autremet dit, avec des quatificateurs : x,y R/ x+y Z et x / Z et y / Z. Ici, vous e pouvez pas commecer par «Soiet x,y R tels que...» car o e vous demade pas de prouver u résultat sur des réels quelcoques ), mais u résultat d existece ). Or pour motrer u résultat d existece, il faut trouver u exemple. Ici, vous devez sortir de votre chapeau u x et u y qui vérifiet les propriétés demadées. Exemple : O pose x = 1 et y = 1. Alors x et y sot deux réels o etiers. Pourtat x+y = 0 est u etier. Bie sûr, 1 et 1 e sot pas les seuls exemples possibles, mais puisqu o ous demade u résultat d existece, u simple exemple suffit : si o peut doer u exemple d objet vérifiat les propriétés demadées, c est qu u tel objet existe. Vous remarquerez bie que les verbes «poser» et «oter» sot liés au quatificateur existetiel alors que le «Soit...» était lié au quatificateur uiversel. 1. Mettre e évidece les articulatios logiques Quad o rédige u raisoemet, il est très importat de distiguer clairemet les hypothèses des coclusios par exemple, et d idiquer les rapports d implicatio etre les différetes propositios. Cela se fait otammet au moye de «doc», «alors», «par coséquet», «aisi», «or», «de plus», «e outre», «esuite», «efi», «mais», «cepedat», «toutefois», «puisque», «comme», «car», etc. Liste o exhaustive! Truffez vos raisoemets de ces petits mots qui guiderot votre lecteur et, si possible, variez-les : cela doera plus de style à votre rédactio. Par exemple, imagiez qu o vous demade de motrer la propositio : x [0, 1], 1 x [0,1]. Présetos deux réposes : 0 x 1 0 x 1 t t est croissate sur R +) 0 1 x x 1 t t est croissate sur R +) Soit x [0,1]. Par croissace de la foctio carrée sur R +, 0 x 1, ou ecore : 0 1 x 1. Mais la foctio racie carrée est aussi croissate doc : 0 1 x 1. Comme voulu, 1 x [0,1]. 3

4 Attetio : quad vous faites u raisoemet, e remplacez pas des mots comme «doc» ou «alors» par le symbole de l implicatio =. Supposos par exemple que pour u certai x [0,1] fixé d ue faço ou d ue autre, o veuille démotrer que 1 x [0,1]. E toute rigueur, la répose suivate est tout à fait icorrecte : 0 x 1 = 0 x 1 = 0 1 x 1 = 0 1 x 1. Mais pourquoi icorrecte? C est u peu subtil mais pas iitéressat. Ue propositio de la forme «p = q» affirme pas que q est vraie, et e part pas du pricipe que p l est o plus. Aisi, quad o affirme que «p = q», il se peut très bie que p, voire q, soit fausse. Ce qui est affirmé avec certitude, c est que si p est vraie, alors q l est aussi. Il ressort de cette remarque que «0 x 1 = 0 1 x 1» et «0 1 x 1» sot deux propositios différetes. La première affirme e effet que si x [0,1], alors 1 x [0,1]. Il se trouve ici qu il est vrai que x [0,1], c est otre hypothèse de départ. O peut doc e déduire que 1 x [0,1]. La secode propositio de la forme «q») se déduit doc de la première de la forme «p = q») parce qu o sait par ailleurs que la propositio «p» est vraie. E résumé, quad o veut démotrer ue propositio «q», o e peut se coteter de remarquer que «p = q». Ecore faut-il que la propositio «p» soit vraie aussi. Le raisoemet effectué a la forme suivate : } La propositio «p» est vraie doc la propositio «q» est vraie La propositio «p = q» est vraie et le doc ici préset e doit pas être remplacé par le symbole de l implicatio =. Je préfère isister lourdemet : quoi que vos acies professeurs de mathématiques aiet toléré, le symbole = est pas l équivalet exact d u «doc». La cofusio est pas trop gêate au lycée, mais puisqu o fait le choix des mathématiques à haut iveau e MPSI, elle est plus tolérable! 1.3 Aocer ce que l o fait Rédiger correctemet ue démostratio mathématique, c est aussi expliquer ce que l o fait. Aocez toujours quel raisoemet vous êtes sur le poit de faire : «Motros que...», «Nous allos maiteat prouver que...», «Il e ous reste plus qu à motrer que...», etc. Votre travail e sera que plus lisible. 1.4 Citer ue défiitio ou u théorème Citer ue défiitio ou u théorème exige ue précisio parfaite. Hypothèses, otatios et coclusios doivet être éocées clairemet et sas faute. U théorème à peu près correct mais pas tout à fait, ou mal rédigé, est u théorème mal appris et u théorème mal appris, c est ue impressio très égative du correcteur. Imagiez qu o vous demade de défiir le ombre dérivé d ue foctio e u poit. Première répose : Le ombre dérivé de f e a est f fx) fa) a) = lim. x a x a Ecoomique, certes, mais isuffisat. Qui sot f et a? Pourquoi la limite du taux d accroissemet existe-t-elle? Correctio : Soiet I u itervalle de R, f : I R ue applicatio et a I. fx) fa) O dit que f est dérivable e a si la limite lim existe et est fiie. O appelle das ce cas ombre dérivé x a x a de f e a cette limite, que l o ote f a) : f fx) fa) a) = lim. x a x a Coaître ue défiitio ou u théorème, c est être capable de les rédiger aisi et vite, bie sûr. 1.5 Les démostratios par récurrece La rédactio des démostratios par récurrece est présetée das le chapitre de cours «Pour bie commecer l aée». N y reveos pas ici. Il est tetat souvet de remplacer u raisoemet par récurrece par trois petits poits «...». A l oral ça peut passer, car l iterrogateur peut toujours exiger e direct ue rédactio propre. A l écrit ça passe ettemet mois bie surtout sur ue copie bourrée d erreurs qu o pourrait soupçoer de bluff... Par exemple, rappelos qu ue suite géométrique de raiso q C est ue suite u ) N telle que pour tout N : u = qu. U théorème affirme qu alors pour tout N : u = q u 0. Pourquoi ça? D abord avec trois petits poits : Soit N. u = qu 1 = q qu = q q qu 3 =... = fois { }} { q q... qu 0 = q u 0. 4

5 Esuite par récurrece : Iitialisatio : Comme q 0 = 1, u 0 = q 0 u 0. Hérédité : Soit N. O suppose que u = q u 0. Comme la suite u ) N est géométrique : u = qu. Or u = q u 0 par hypothèse, doc u = q q u 0 = q u 0 comme voulu. Fi de la récurrece. Il est vrai qu o compred souvet mieux la preuve avec trois petits poits que la preuve par récurrece. Seulemet voilà : la preuve par récurrece est rigoureuse et l autre o. Cas particuliers de rédactio problématique.1 Le mélage des geres Ecrivez fraçais ou mathématique, mais pas les deux à la fois! Par exemple, écrivez pas : m, Z, la somme de m et est u etier. mais au choix : m, Z, m+ Z. La somme de deux etiers est u etier. De même, e remplacez pas, das ue phrase e fraçais, l expressio «il existe» par le symbole. Le mélage autorisé le plus courat cocere le symbole, comme das «Soit x E». O est pas obligé d écrire : «Soit x u élémet de E». Ce est là qu ue questio de covetio.. Quelle différece etre f et fx)? ou commet défiir ue foctio Commeços par u exemple bie laid : La foctio e x six est dérivable doc cotiue sur R. Le problème das cet exemple, c est que e x six... expressio. est pas ue foctio! O dit plutôt que e x six est ue Ue foctio est u objet mathématique qui associe à tout élémet d u certai esemble u élémet d u autre esemble. Défiir ue foctio f reviet doc à défiir la faço dot u élémet x appelé argumet est trasformé e u élémet fx) dépedat de x. La foctio f est pas l expressio fx) elle-même, mais l associatio du x et du fx). Le fx) tout seul a pas de ses car ous avos vu qu e mathématiques il est essetiel que tout symbole soit itroduit : ici, quel est ce x qui flotte e l air tout seul? Pour toujours garder à l esprit l associatio x/fx), o ote x fx) ou tout simplemet f la foctio qui à u objet x associe l objet fx). Attetio à u détail : e cofodez pas la flèche et la flèche! E pratique, quad o veut faire référece à ue foctio précise das ue phrase, soit la foctio a u om et o peut employer ce om par exemple f,, exp, l, si, cos...), soit la foctio a pas de om mais est défiie par ue expressio explicite et o la ote alors x... Naturellemet, la lettre x peut être remplacée par importe quel symbole. Voici fialemet ue versio correcte de l exemple dot ous sommes partis : La foctio x e x six est dérivable doc cotiue sur R. 5

6 Pour fiir, tâchos d appredre à défiir correctemet ue foctio. Supposos par exemple qu o veuille itroduire propremet et appeler h la foctio qui evoie tout etier aturel sur so carré. O pourra procéder aisi : O ote h la foctio défiie sur N. O ote h la foctio { N R. O ote h la foctio défiie sur N par : N, h) =. Tous ces exemples sot corrects. Le secod est tout de même plus complet car o y précise aussi l esemble d arrivée, qui est seulemet implicite das les deux autres. Notez bie que la flèche, e haut, qui relie l esemble de départ N à l esemble d arrivée R est et o. Allez savoir pourquoi..3 Parler des propriétés d ue foctio Les deux exemples suivats sot icorrectemet rédigés : La foctio x x est dérivable pour tout x R. x La foctio x e ex est croissate pour tout x R. Le problème, c est qu o e dit pas qu ue foctio est dérivable/croissate «pour tout x...». O dit : La foctio x x est dérivable sur R. x La foctio x e ex est croissate sur R. Il y a de vraies justificatios à cette apparece de maiaquerie, mais je e détaillerai pas ici..4 Dériver ue foctio Dériver ue foctio est pas difficile, mais bie rédiger le calcul d ue dérivée est parfois u exercice de rédactio périlleux. Par exemple, soit l exercice cosistat à dériver sur R la foctio f : x e six). Voici ue répose : Pour tout x R : f x) = Cela e va pas du tout : les otatios de la forme e six )) = six ) ) e six) = xcosx )e six). fx)) sot absolumet iterdites. Notez f x) à la place. Seules les foctios tolèret la dérivatio. De fait, fx) est ue expressio, pas ue foctio. Si l o veut rédiger bie le calcul précédet, o écrit le bo résultat directemet après tout vous êtes grads, vous êtes cesés e plus faire d erreur de calcul quad vous dérivez : Pour tout x R : f x) = xcosx )e six), Quicoque sait dériver saura compredre à cette rédactio quel calcul vous avez fait. O e demade pas plus. Fiissos ce paragraphe avec ue précisio importate. Si vous voulez dériver la foctio x six), ous veos de dire que la otatio six)) est iterdite. Mais e la remplacez surtout pas par si x)! 1) Dériver x six) reviet à dériver la composée de x x suivie de y siy. Le calcul d ue telle dérivée ous doe doc la foctio x cosx). ) Quat à la foctio x si x), elle est autre que la foctio x cosx), car si = cos. 6

7 .5 La aïveté des otatios classiques Pour que leurs élèves retieet bie les formules, les professeurs de mathématiques utiliset tous les mêmes otatios. Par exemple, das leurs cours, ils otet uaimemet x ax +bx+c les foctios polyomiales de degré et le discrimiat associé quad ils vous présetet la résolutio des équatios du secod degré. Vous coaissez tous la formule «= b 4ac» avec les mêmes symboles, a, b et c. Imagiez u exercice où l o est obligé de résoudre de sa propre iitiative l équatio du secod degré x + 3x = 0 d icoue x R. Premier exemple de rédactio : = b 4ac = ) = 17 > 0, doc x 1 = et x = Cette rédactio est excessivemet maladroite, même si o la compred parfaitemet. Où les quatités, a, b, c, x 1 et x sot-elles itroduites das cet exemple? Nulle part. Comme ous l avos déjà dit, tout symbole utilisé doit être itroduit propremet. Exemple de rédactio correcte : L équatio x + 3x = 0 peut s écrire ax + bx + c = 0 avec a = 1, b = 3 et c =. So discrimiat vaut alors : = b 4ac = ) = 17 et est strictemet positif. Fialemet, l équatio étudiée possède deux solutios x 1 et x distictes : x 1 = et x = Cette première rédactio est parfaitemet correcte, mais qu elle est logue! Au fod, est-il écessaire d itroduire, a, b et c? Pas vraimet. La rédactio la plus limpide est ici la plus écoomique : L équatio x +3x = 0 d icoue x R a pour discrimiat ) = 17 strictemet positif. Elle possède doc deux solutios, à savoir et Bref : libérez-vous des, a, b, c! Peut-être e compreez-vous pas bie pourquoi il est maladroit d écrire «= b 4ac» même quad, a, b et c ot pas été itroduits. Après tout, tout le mode compred. Certes. Souveez-vous : ue stalactite est ue formatio calcaire qui se développe verticalemet à partir de la voûte d ue cavité souterraie, gééralemet e raiso d u phéomèe de ruissellemet goutte à goutte ; ue stalagmite est ue formatio calcaire aalogue qui se développe à partir du sol et o de la voûte. Vous coaissez sas doute le moye mémotechique classique utilisé pour reteir la différece etre ces deux otios : «stalactite/tombe», «stalagmite/mote». Imagiez u géologue professioel qui, das ses articles de recherche ou devat ses pairs das des coféreces iteratioales, écrirait etre parethèses «tombe» à chaque fois qu il écrit «stalactite» et «mote» à chaque fois qu il écrit «stalagmite». O le jugerait ridicule. Il se passe la même chose avec «= b 4ac». Que vous ayez u moye mémotechique pour reteir ue formule, pourquoi pas? Mais e faites pas profiter tout le mode et gardez-le pour vous. O a sio l impressio que vous avez aucu recul sur la formule e questio. Evitez de doer cette impressio aux ges qui vous liset. 7