Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche

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1 Termiale S exercices 1 Exercices de base 1 1 Divisio Euclidiee - 1 (c) 1 Divisio Euclidiee- 1 3 Divisio Euclidiee-3 (c) 1 4 Multiples PGCD - 1 (c) PPCM et PGCD PPCM et PGCD Théorème de Gauss Bases de umératio Bases de umératio Bases de umératio Ecriture répétée Cogrueces-1 (c) 1 14 Cogrueces Cogrueces-3 (c) Divers Divers Divers Divers Divers-5 (QCM)(c) Nombres Premiers Nombres Premiers Nombres Premiers Démostratio de Fermat La classe U 6 Bézout 6 7 Bezout Bezout- 6 9 Bezout-3 30 Bezout Bezout Acies exos bac Somme et produit 3 33 Quadratique Divisibilité Equatio diophatiee Base de umératio Base de umératio Somme des cubes Somme des diviseurs Racies ratioelles (méthode de Descartes) QCM, Baque exercices Cryptographie, Baque exercices Repuits 1, Baque exercices Repuits, Baque exercices Recherche, Baque exercices Cryptographie, Baque exercices Exercices Baccalauréat Puissaces de 7, Polyésie QCM, Liba Bézout+spirale, Amérique du Nord Carrés et cubes+espace, Podicherry, Surface+équatio, Atilles Guyae Termiale S 1 F Laroche 4 5 Equatio diophatiee, Nelle Calédoie, Puissace de, Frace & La Réuio, Puissaces de 3, Liba Divisibilité + espace, La Réuio Divisibilité par 7, Frace Bézout+espace, Cetres étragers Restes chiois, Asie QCM, Atilles Th de Wilso, Am du Nord ROC+Base 1, N Calédoie, mars 008 (c) QCM, Polyésie, jui QCM, Liba, jui Réseau, Asie, jui Codage affie, Atilles, jui Surface+Eq dioph, Am Nord, jui 008 (c) Bézout+Fermat, Natioal, sept Bézout, N Calédoie, mars Codage affie, N Calédoie, mars Surface+éq dioph, Polyésie jui QCM, Liba jui Bézout, Natioal septembre ROC+Cogrueces, Am du Sud ov 006 (c) QCM, Polyésie, jui 006 (c) Restes chiois, Natioal, jui 006 (c) Fermat, Cetres étragers, jui Eq diophatiee, Asie, jui Similitude & suite, Am du Sud, sept QCM, Natioal, sept Restes de puissaces, Atilles, jui Eq dioph, Cetres étragers, jui 005 (c) Bézout+Fermat, Liba, jui Suite de restes, Polyésie, jui 005 (c) PGCD das suite, La Réuio, jui Fiboacci, Nelle-Calédoie, ov 004 (c) QCM, Atilles, sept 004 (c) Cogrueces, Asie, jui Repuit, Cetres étragers, jui Fermat et Bézout, Natioal, jui 004 (c) Fermat, La Réuio, jui Restes chiois + pla, N Calédoie, sept Eq dioph, Atilles, sept Bézout, Frace, sept Cogrueces, Polyésie, sept Suite, Atilles, jui 003 (c) PGCD, Asie, jui Cogrueces, Liba, mai Repuit, Am du Sud, décembre Eq dioph, N Calédoie, ov Bézout+rotatio, Frace, sept Bézout & suites, Asie, jui Triplets pythag, C étragers, jui Bézout, Frace, jui PGCD, Polyésie, jui Caledrier, Am du Nord, mai Divisibilité, N Calédoie, déc

2 4 107 PGCD & PPCM, Atilles, sept PGCD, Am du Sud, sept Similitude & Bézout, Frace, jui Caledrier, C étragers, jui Bézout, Atilles, jui Bézout, Am du Nord, jui Repuit, Podicherry, jui 001 (c) PGCD & PPCM, N Calédoie, jui Bézout, Polyésie, jui 001 (c) Bézout & rotatio, Atilles, jui PGCD, La Réuio, jui Bézout, Polyésie, jui Bézout et plas, Asie jui Homothétie & multiples, Liba, mai 000 (c) Cogrueces, Podicherry, mai 000 (c) 4 1 PGCD & parité, N Calédoie, déc Bases, Am du Sud, ov Bézout, Liba, jui 1999 (c) Bézout & pla, C étragers, jui Bézout, Asie, jui Bézout, Atilles - Guyae, jui Th de Wilso, Am du Nord, jui Premiers, Frace, jui Cogrueces, Polyésie, jui Eq dioph, Podicherry, mai 1999 (c) 4 13 Diviseurs+pgcd, Bac C, Lyo, Bézout + ppcm, Bac C, Japo Base et diviseurs, Bac C, Ide, Bases+cogrueces, Bac C, Aix, Nombres de Farey et approximatio d u ratioel par u ratioel 61 1 Exercices de base 1 1 Divisio Euclidiee - 1 (c) Das ue divisio euclidiee etre etiers aturels quels peuvet être le diviseur et le quotiet lorsque le dividede est 30 et le reste 39? Correctio O a 30= q b+ 39 q b= 30 39= 81 Cherchos les diviseurs de 81 : 1 et 81 Ce sot les seules valeurs possibles de q et b 1 Divisio Euclidiee- Quel est le ombre de diviseurs de 880? 1 3 Divisio Euclidiee-3 (c) 1 Écrire l'esemble des etiers relatifs diviseurs de 6 Détermier les etiers relatifs tels que 4 divise 6 3 Détermier les etiers relatifs tels que 4 divise + 4 Détermier les etiers relatifs tels que + 1 divise 3 4 Correctio 1 L'esemble des diviseurs de 6 est D = { 6 ; 3 ; ; 1 ; 1 ; ; 3 ; 6} 4 divise 6 si 4 appartiet à D, soit si appartiet à D + 4 = { ; 1 ; ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10} 3 O peut remarquer que + = Puisqu'il est évidet que 4 divise 4, le résultat du permet alors d'affirmer que si 4 divise +, alors 4 divise + ( 4) c'est-à-dire 4 divise 6 Réciproquemet si 4 divise 6 alors 4 divise c'est-à-dire 4 divise + O a doc démotré que 4 divise + si et seulemet si 4 divise 6 4 O peut raisoer e utilisat le même pricipe qu'à la questio précédete O remarque que Termiale S F Laroche 3 4 = 3( + 1) 7, et puisqu'il est immédiat que + 1 divise 3( + 1), o peut écrire : - si + 1 divise 3 4, alors + 1 divise 3 4 3( + 1) c'est-à-dire + 1 divise 7 ; réciproquemet : si + 1 divise 7 alors + 1 divise 7 + 3( + 1) c'est-à-dire + 1 divise 3 4 L'esemble des diviseurs de 7 (ou de 7) état { 7 ; 1 ; 1 ; 7}, o e déduit que + 1 divise 3 4 si et seulemet si + 1 appartiet à { 7 ; 1 ; 1 ; 7} soit appartiet à { 8 ; ; 0 ; 6} 1 4 Multiples - 1 a et b sot deux etiers relatifs Démotrez que si a + b est divisible par 7 alors a et b sot divisibles par 7

3 1 5 PGCD - 1 (c) Trouvez le PGCD des ombres 1640 et 49 e utilisat la décompositio e facteurs premiers, puis e utilisat l algorithme d Euclide Correctio Avec l aide de Maple o a immédiatemet : > ifactor(1640); ifactor(49); ( ) 3 ( 5 ) ( 41 ) ( ) ( 3 ) ( 41 ) et le PGCD : 41= 164 Avec Euclide : 1640= = doc 1 6 PPCM et PGCD - Trouvez les deux ombres a et b sachat que leur PGCD est 4 et leur PPCM est PPCM et PGCD - 3 Trouvez deux etiers dot la différece etre leur PPCM et leur PGCD est Théorème de Gauss-1 1 a est u etier aturel Motrez que a 5 a est divisible par 10 a et b sot des etiers aturels avec a b Démotrez que si a 5 b 5 est divisible par 10 alors a b est divisible par Bases de umératio-1 Trouvez toutes les valeurs des chiffres x et y telles que le ombre = 6x95y das le système décimal soit divisible par 3 et Bases de umératio- A est le ombre qui s écrit 1654 das le système à base 7 Ecrivez ce ombre e bases 10, puis et efi 16 (tous les calculs doivet apparaître) 1 11 Bases de umératio-3 Le ombre N s écrit 3 das le système décimal Peut-il s écrire 7 das ue autre base? 1 1 Ecriture répétée Soit u etier aturel qui s écrit das le système décimal = abcabc avec a 0 1 a Détermier tel que les deux coditios suivates soiet vérifiées : * est divisible par 5, * L etierbc est le double de a b Décomposer le ombre aisi obteu e produit de facteurs premiers Etude du cas gééral a Motrer que est divisible par abc E déduire qu il est divisible par 7, 11 et 13 b Motrer que e peut pas être u carré parfait (c est à dire le carré d u etier aturel) 3 Motrer que 11 et 140 sot premiers etre eux 4 O pose 1 = 1111 et = O appelle (E) l équatio x 1 + y = 1001 d icoues les etiers relatifs x et y a Détermier ue solutio particulière de (E) b Résoudre (E) das Z 1 13 Cogrueces-1 (c) Quel est le reste de la divisio par 7 du ombre (3) 45 Termiale S 3 F Laroche

4 Correctio Le reste de 3 das la divisio par 7 est 4 ; 4 doe, 4 3 doe 8, soit 1 ; comme 45 = 153, o a : Le reste est doc Cogrueces- Démotrez que le ombre 1 15 Cogrueces-3 (c) ( ) ( ) (7) 4 (7) 1 (7) 1(7) = ab( a b ) est divisible par 3 pour tous les etiers relatifs a et b 1 Détermier les restes de la divisio de 5 p par 13 pour p etier aturel E déduire que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 1, le ombre N = est divisible par 13 Correctio 1 p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = : 1 ou 1, p = 3 : 5 ou 8, p = 4 : 1 doc pour p= 4k le reste est 1, pour p= 4k+ 1 le reste est 5, pour p= 4k+ le reste est 1 ou 1, pour p= 4k+ 3 le reste est 8 ou N = : 31= (13) et 18= (13) ; o a doc ' + 3 N = (13) (13) [5+ 8](13) 0(13) 1 16 Divers-1 U ombre qui s écrit avec 4 chiffres idetiques peut-il être u carré parfait (carré d u ombre etier)? 1 17 Divers- Démotrez qu u etier cogru à 7 modulo 8 e peut être égal à la somme de trois carrés 1 18 Divers-3 a et b sot deux etiers positifs premiers etre eux Motrez que a + b et a b sot premiers etre eux 1 19 Divers-4 + O cosidère la fractio avec etier positif + 1 Termiale S 4 F Laroche 3 a prouvez que tout diviseur commu d à + 1 et 3 + est premier avec b Déduisez e que d divise + 1, puis que d = 1 ou d = 5 c Quelles sot les valeurs de pour lesquelles la fractio est irréductible? 1 0 Divers-5 (QCM) (c) Pour chacue des ciq propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit Propositio 1 : «l esemble des couples d etiers relatifs (x ; y) solutios de l équatio 1x 5y = 3 est l esemble des couples (4 + 10k ; 9 + 4k) où k Z» Propositio : Pour tout etier aturel o ul : « est divisible par 5» Propositio 3 : Pour tout etier aturel o ul : «Si u etier aturel est cogru à 1 modulo 7 alors le PGCD de et de est égal à 7» Propositio 4 : «x + x + 3 0[ 5] si et seulemet si x 1[ 5]» Propositio 5 : Deux etiers aturels M et N sot tels que M a pour écriture abc e base dix (M vaut 100a+10b+c où a, b, c sot des chiffres etre 0 et 9) et N a pour écriture bca e base dix

5 Correctio Termiale S 5 F Laroche «Si l etier M est divisible par 7 alors l etier M N est aussi divisible par 7» Propositio 1 : Faux 1 et 5 sot premiers etre eux, l équatio 1x 5y= 1 a des solutios ; particulièremet le couple (3, 7) doc le couple (9, 1) est solutio de 1x 5y= 3 O opère de maière stadard : 1x 5y= 3 x 9= 5k x = 9+ 5k 1( x 9) 5( y 1) = 0 ; = 3 y 1= 1k y = 1+ 1k les couples (4 + 10k ; 9 + 4k) e so qu ue partie des couples solutios (la solutio 9, 1 e fait même pas partie ) Propositio : Faux est évidemmet divisible par 5 ; 3+1 est formé que de puissaces de, aucu de ces ombres e sot divisibles par 5 = + et remplaços : k 4 7 1k 7( 1 3k) ( ) ( ) + et 1 4k Propositio 3 : Vrai Preos 1 7k 4+ 3= k + 3= 7+ 8k= k ; si le PGCD vaut 7, alors 1 3k premiers etre eux : o doit trouver u et v tels que u+ v= 1 u= 3 u( 1+ 4k) + v( 1+ 3k) = 1 Ok 4u+ 3v= 0 v= 4 Propositio 4 : Faux O teste tous les restes modulo 5 : + = + + = + = + puis + doivet être x x + x doc faux puisqu o a aussi 3 comme solutio possible Propositio 5 : Vrai M= 100a+ 10b+ c M N = 99a 90b 9c= 9 11a 10b c N = 100b+ 10c+ a de 7, comme ( ) =, o a [ ] Si M= 100a+ 10b+ c est u multiple 8a+ 10b+ c b+ c = 8a+ 7k Pour que M N soit divisible par 7 il faut que 11a 10b c = 11a 8a 7k= 3a 7k soit divisible par 3, ce qui est le cas 1 1 Nombres Premiers-1 Le ombre 401 est-il premier? Résolvez e etiers aturels l équatio 1 Nombres Premiers- p et q sot des etiers aturels 1 Démotrez que pq 1 est divisible par p 1 et par q 1 Déduisez e que pour que 1 soit premier, il faut que soit premier x y = Prouvez à l aide d u cotre-exemple que la coditio «est premier» est pas suffisate pour que 1 soit premier 1 3 Nombres Premiers-3 Soit p u etier premier Motrer que si p 5 alors 4 divise 1 4 Démostratio de Fermat Soit p, u etier aturel premier p 1 1 a Démotrer que si k est u etier aturel tel que 1 k p 1, le ombre 1 b E déduire que, quel que soit l'etier, le ombre ( + 1) p p 1 est divisible par p p est divisible par p k Démotrer que, quel que soit l'etier aturel, p est divisible par p (o pourra faire u raisoemet par récurrece)

6 3 Motrer que pour tout etier premier avec p, p 1 1 est divisible par p 1 5 La classe Das ue Termiale S, la taille moyee des élèves est de 167 cm, la taille moyee des filles est de 160 cm et la taille moyee des garços est de 173,5 cm Quel est l effectif de la classe (iférieur à 40 )? Correctio Appelos f le ombre de filles et g le ombre de garços : ( ) f 160+ g 173,5= f + g 167 6,5g= 7f 13g= 14f doc il y a 13 filles et 14 garços (ou 6 filles et 8 gars, mais le total dépasse 40) 1 6 U Les ombres etiers de 1 à 9999 sot écrits e fraçais : u, deux, trois, quatre, dix, oze,, vigt,, mille deux cet trete quatre, puis ragés par ordre alphabétique 1 Quels sot les deux premiers et les deux deriers de la liste? Quelle est la positio de «u» das la liste? Bézout 7 Bezout-1 1 E utilisat l algorithme d Euclide, détermier le PGCD des ombres 8 et 31 Trouver alors deux ombres x et y etiers relatifs tels que 31x 8y = 1 Résoudre das l esemble des etiers relatifs l équatio 31x 8y = Le pla est rapporté au repère orthoormal ( O; i, j) O doe les poits A( 30 ; 48) et B(8 ; 76) O appelle (D) la droite (AB) a Trouver l esemble des poits M(x ; y) de (D) dot les coordoées sot des ombres etiers relatifs b Le repère utilisé pour le graphique est gradué de 10 à +10 e abscisses et de 14 à +14 e ordoées Vérifiez et expliquez pourquoi il y a pas de poit de (D) à coordoées etières visible sur le graphique c Pour remédier à l icovéiet du 3b o décide d agradir la feêtre à [ 40 ; +40] e abscisses et à [ 50 ; +10] e ordoées Combie y-a-t-il de poits de (D) à coordoées etières sur ce ouveau graphique? Faire la figure 8 Bezout- 1 Résoudre das ZxZ l équatio 13x 3y = 1 Résoudre das ZxZ l équatio 156x + 76y = 4 9 Bezout-3 x y 1 Démotrer que, pour que la relatio suivate = 3 soit satisfaite, pour x et y etiers aturels, il faut 9 4 predre x et y de la forme : x= 9( k+ 3) et y= 4k avec k etier aturel Démotrer que le PGCD de x et y e peut être qu u diviseur de O pose m = PPCM(x ; y) et o evisage la décompositio de m e facteurs premiers Commet faut il choisir k pour que : a m e cotiee pas le facteur? b m cotiee le facteur ou le facteur? c m e cotiee pas le facteur 3? d m cotiee le facteur 3, ou le facteur 3, ou le facteur 3 3? 4 Commet faut-il choisir x et y de telle faço que l o ait PGCD(x ; y) = 18? 30 Bezout-4 1 Décomposer 319 e facteurs premiers Termiale S 6 F Laroche

7 Démotrer que si x et y sot deux etiers aturels premiers etre eux, il e est de même pour les ombres 3x + 5y et x + y 3 Résoudre das 31 Bezout-5 Termiale S 7 F Laroche Z le système d icoues a et b : (3a+ 5 b)( a+ b) = 176 où m est le PPCM de a et b ab= m Au 8 siècle, u groupe composé d hommes et de femmes a dépesé 100 pièces de moaie das ue auberge Les hommes ot dépesé 8 pièces chacu et les femmes 5 pièces chacue Combie pouvait-il y avoir d hommes et de femmes das le groupe? 3 Acies exos bac 3 3 Somme et produit O cosidère deux etiers aturels, o uls, x et y premiers etre eux O pose S = x + y et P = xy 1 a Démotrer que x et S sot premiers etre eux, de même que y et S b E déduire que S et P sot premiers etre eux c Démotrer que les ombres S et P sot de parités différetes (l u pair, l autre impair) Détermier les diviseurs positifs de 84 et les rager par ordre croissat 3 Trouver les ombres premiers etre eux x et y tels que : SP = 84 4 Détermier les deux etiers aturels a et b vérifiat les coditios suivates : a+ b= 84 avec d = PGCD(a ; b) 3 ab= d (O pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers etre eux) 3 33 Quadratique 1 Soit x u etier impair Quel est le reste de la divisio de x par 8? Résoudre das Z x Z l équatio x = 8y+ 1 3 O veut tracer sur l écra d ue calculatrice comportat 30 poits de large sur 00 poits de haut les 1 1 poits à coordoées etières de la courbe d équatio y= x 8 8 Le repère choisi a so origie e bas à gauche de l écra, et chaque poit de l écra a pour coordoées sa positio à l écra 1 (par exemple, le poit e haut à droite aura pour coordoées (319 ; 199)) Combie de poits pourra-t-o tracer? 3 34 Divisibilité Le ombre est u etier aturel o ul O pose a = et b = 5 + O ote d le PGCD de a et b 1 Doer la valeur de d das les cas suivats : =1, =11, =15 Calculer 5a 4b et e déduire les valeurs possibles de d 3 a Détermier les etiers aturels et k tels que = 7k b Détermier les etiers aturels et k tels que 5 + = 7k 4 Soit r le reste de la divisio euclidiee de par 7 Déduire des questios précédetes la valeur de r pour laquelle d vaut 7 Pour quelles valeurs de r, d est-il égal à 1? 3 35 Equatio diophatiee 1 O admet que 1999 est u ombre premier Détermier l esemble des couples (a, b) d etiers aturels tels que a + b = et dot le PGCD vaut 1999 O cosidère l équatio (E) : S = 0 où S est u etier aturel O s itéresse à des valeurs de S telles que (E) admette deux solutios das Z

8 a Peut o trouver S tel que 3 soit solutio de (E)? Si oui, préciser la deuxième solutio b Même questio avec 5? c Motrer que tout etier solutio de (E) est u diviseur de E déduire toutes les valeurs possibles de S 3 36 Base de umératio 1 1 Résoudre das Z l équatio x = 6y Soit N le ombre dot l écriture das le système de umératio de base 13 est N = 5x3 Pour quelles valeurs de x : * N est-il divisible par 6? * N est-il divisible par 4? * N est-il divisible par 4? (4 est écrit e décimal ) 3 37 Base de umératio 1 Démotrer que, pour tout etier aturel, 3 1 est divisible par 8 E déduire que est u multiple de 8 et que est u multiple de 8 Détermier les restes de la divisio par 8 des puissaces de 3 3 Le ombre p état u etier aturel, o cosidère le ombre A p défii par : A p = 3 p + 3 p + 3 3p + 3 4p a Si p =, quel est le reste de la divisio de A p par 8? b Démotrer que, si p = + 1, A p est divisible par 8 4 O cosidère les ombres a et b écrits das le système "base 3" : a = 1110 trois b = trois Les ombres a et b sot-ils divisibles par 8? 5 De même, o cosidère le ombre c = trois Démotrer que c est divisible par 16 Remarque : pour les questios 4 et 5, o raisoera sas utiliser la valeur umérique e base dix des ombres a, b, c 3 38 Somme des cubes 1 Calculer, e foctio de, la somme des premiers etiers aturels o uls Démotrer par récurrece que 3 p p = Exprimer 3 s p p= 1 p= 1 p= 1 3 Soit D le PGCD des ombres s et s +1 Calculer D lorsque a = k, b = k+1 E déduire que s, s +1 et s + sot premiers etre eux 3 39 Somme des diviseurs 1 O cosidère le ombre 3 = 00= 5 = e foctio de a Combie a-t-il de diviseurs? E utilisat u arbre, calculez les tous et faites leur somme s b Vérifiez que 3 s= ( )( ) α β O cosidère maiteat le ombre N = a b où a et b sot deux ombre premiers, α et β des etiers a Quel est le ombre de diviseurs de N? Termiale S 8 F Laroche

9 b Soit S la somme des diviseurs de N Motrez que Déduisez e ue expressio «simple» de S α S= (1 + a+ a + + a )(1 + b+ b + + b ) S a b c Motrez alors que pour α et β suffisammet grads o a N a 1 b 1 3 Applicatio umérique : N = 5 7 ; trouver ue valeur approchée de S β Rappel : la somme des premiers termes d ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q est q u0 1 q Correctio : voir Atisèches TS 3 40 Racies ratioelles (méthode de Descartes) 1 Motrer que si p et q sot deux etiers relatifs premiers etre eux, il e est de même de p et q 3 O se propose de trouver les solutios ratioelles de l équatio : 3 (1): 3x x + 6x 4= 0 O rappelle qu u ombre ratioel est le quotiet de deux etiers relatifs a Soit a b u ombre ratioel écrit sous forme irréductible Motrer que s il est solutio de (1) alors a divise 4 et b divise 3 b Motrer qu ue solutio de (1) e peut pas être égative c Déduire de ce qui précède que la seule solutio ratioelle de (1) est 3 3 Résoudre das Q l équatio 3 3x x + 6x 4= QCM, Baque exercices L exercice propose ciq affirmatios umérotées de 1 à 5 Pour chacue de ces affirmatios, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, e justifiat le choix effectué 1 Si u ombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8 Si u ombre est divisible par et par 3, alors il est divisible par 6 3 Si u ombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 4 4 Si deux etiers a et b sot premiers etre eux, alors les etiers a + b et a b sot premiers etre eux 5 Si deux etiers a et b sot premiers etre eux, alors les etiers a + b et 3a + b sot premiers etre eux 3 4 Cryptographie, Baque exercices a Détermier deux etiers relatifs u et v tels que 7u 13v = 1 b E déduire deux etiers relatifs u 0 et v 0 tels que 14u 0 6v 0 = 4 c Détermier tous les couples (a, k) d etiers relatifs tels que 14a 6k = 4 O cosidère deux etiers aturels a et b Pour tout etier, o ote ϕ() le reste de la divisio euclidiee de a + b par 6 O décide de coder u message, e procédat comme suit : à chaque lettre de l alphabet o associe u etier compris etre 0 et 5, selo le tableau : Lettre A B C D E F G H I J K L M Nombre Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z Termiale S 9 F Laroche

10 Nombre Pour chaque lettre α du message, o détermie l etier associé puis o calcule ϕ() La lettre α est alors codée par la lettre associée à ϕ() O e coaît pas les etiers a et b, mais o sait que la lettre F est codée par la lettre K et la lettre T est codée par la lettre O 5a+ b= 10 modulo 6 a Motrer que les etiers a et b sot tels que : 19a+ b= 14 modulo 6 b E déduire qu il existe u etier k tel que 14a 6k = 4 c Détermier tous les couples d etiers (a, b), avec 0 a 5 et 0 b 5, tels que 3 O suppose que a = 17 et b = 3 a Coder le message «GAUSS» Termiale S 10 F Laroche 5a+ b= 10 modulo 6 19a+ b= 14 modulo 6 b Soit et p deux etiers aturels quelcoques Motrer que, si ϕ() = ϕ(p), alors 17( p) = 0 modulo 6 E déduire que deux lettres distictes de l alphabet sot codées par deux lettres distictes 4 O suppose que a = 17 et b = 3 a Soit u etier aturel Calculer le reste de la divisio euclidiee de 3ϕ() + 9 par 6 b E déduire u procédé de décodage c E déduire le décodage du message «KTGZDO» 3 43 Repuits 1, Baque exercices Des ombres étrages (part oe)! Les ombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; etc sot des ombres que l o appelle rep-uits (répétitio de l uité) Ils e s écrivet qu avec des chiffres 1 Ces ombres possèdet de ombreuses propriétés qui passioet des mathématicies Cet exercice propose d e découvrir quelques-ues Pour k etier strictemet positif, o ote N k le rep-uit qui s écrit à l aide de k chiffres 1 Aisi N 1 = 1, N = 11, N 3 = 111, 1 Citer deux ombres premiers iférieurs à 10 apparaissat jamais das la décompositio d u rep-uit Justifier brièvemet la répose A quelle coditio sur k le ombre 3 apparaît-il das la décompositio du rep-uit N k? Justifier brièvemet la répose 3 Pour k > 1, le rep-uit N k est défii par Justifier l égalité : 9N = 10 1 pour tout etier k > 1 k k N k k 1 i k i= 0 = = Le tableau ci-dessous doe les restes de la divisio par 7 de 10 k, pour k etier compris etre 1 et 8 k Reste de la divisio de 10 k par Soit k u etier strictemet positif Démotrer que :«10 k 1(7)» équivaut à «k est multiple de 6» E déduire que 7 divise N k si et seulemet si k est multiple de Repuits, Baque exercices Des ombres étrages (part two)!

11 Les ombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; etc sot des ombres que l o appelle rep-uits (répétitio de l uité) Ils e s écrivet qu avec des chiffres 1 Ces ombres possèdet de ombreuses propriétés qui passioet des mathématicies Cet exercice propose d e découvrir quelques ues Pour k etier strictemet positif, o ote N k le rep-uit qui s écrit à l aide de k chiffres 1 Aisi N 1 = 1, N = 11, N 3 = 111, 1 Citer deux ombres premiers iférieurs à 10 apparaissat jamais das la décompositio d u rep-uit Justifier brièvemet la répose Doer la décompositio e facteurs premiers de N 3, N 4 et N 5 3 Soit u etier strictemet supérieur à 1 O suppose que l écriture décimale de se termie par le chiffre 1 a Motrer que, das so écriture décimale, se termie lui-même par 1 ou par 9 b Motrer qu il existe u etier m tel que s écrive sous la forme 10m + 1 ou 10m 1 c E déduire que 1(0) 4 a Soit k > Quel est le reste de la divisio de N k par 0? b E déduire qu u rep-uit distict de 1 est pas u carré 3 45 Recherche, Baque exercices Pour tout etier 1 o pose u = 1! +! + +! O doe la décompositio e facteurs premiers des dix premiers termes de la suite ( u ) u = 1 1 u = u = 3 u = 3 11 u = u = u = Motrer que u est jamais divisible par, par 5 i par 7 u = u = u = Peut-o affirmer que u est divisible par 11 à partir d u certai rag? 3 Peut-o affirmer que, à partir d u certai rag, u est divisible par 3 mais pas par 3 3? 3 46 Cryptographie, Baque exercices O cosidère les dix caractères A, B, C, D, E, F, G, H, I et J auxquels o associe das l ordre les ombres etiers de 1 à 10 O ote Ω = {1,,, 10} O appelle message tout mot, ayat u ses ou o, formé avec ces dix caractères 1 O désige par f la foctio défiie sur Ω par «f() est le reste de la divisio euclidiee de 5 par 11» O désire coder à l aide de f le message «BACF» Compléter la grille de chiffremet ci-dessous : Lettre B A C F f() 3 Lettre C Peut-o déchiffrer le message codé avec certitude? O désige par g la foctio défiie sur Ω par «g() est le reste de la divisio euclidiee de par 11» Etablir, sur le modèle précédet, la grille de chiffremet de g Permet-elle le déchiffremet avec certitude de tout message codé à l aide de g? 3 Le but de cette questio est de détermier des coditios sur l etier a compris etre 1 et 10 pour que la foctio h défiie sur E par «h() est le reste de la divisio euclidiee de a par 11» permette de chiffrer et déchiffrer avec certitude u message de 10 caractères Termiale S 11 F Laroche

12 Soit i u élémet de Ω a Motrer, e raisoat par l absurde, que si, pour tout i Ω, i < 10, a i est pas cogru à 1 modulo 11, alors la foctio h permet le déchiffremet avec certitude de tous messages i b Motrer que s il existe i Ω, i < 10, tel que a 1[11], alors la foctio h e permet pas de déchiffrer u message avec certitude c O suppose que i est le plus petit etier aturel tel que 1 i 10 vérifiat a 1[11] E utilisat la divisio euclidiee de 10 par i, prouver que i est u diviseur de 10 d Quelle coditio doit vérifier le ombre a pour permettre le chiffrage et le déchiffrage sas ambiguïté de tous messages à l aide de la foctio h? Faire la liste de ces ombres 4 Exercices Baccalauréat 4 47 Puissaces de 7, Polyésie 010 Les parties A et B sot idépedates Partie A O cosidère l équatio (E): 7x 6y= 1 où x et y sot des etiers aturels 1 Doer ue solutio particulière de l équatio (E) Détermier l esemble des couples d etiers aturels solutios de l équatio (E) Partie B Das cette partie, o se propose de détermier les couples (, m) d etiers aturels o uls vérifiat la relatio m 7 3 = 1 (F) 1 O suppose m 4 Motrer qu il y a exactemet deux couples solutios O suppose maiteat que m 5 a Motrer que si le couple (, m) vérifie la relatio (F) alors 7 1( modulo3) b E étudiat les restes de la divisio par 3 des puissaces de 7, motrer que si le couple (, m) vérifie la relatio (F) alors est divisible par 4 c E déduire que si le couple (, m) vérifie la relatio (F) alors 7 1( modulo5) d Pour m 5, existe-t-il des couples (, m) d etiers aturels vérifiat la relatio (F)? 3 Coclure, c est-à-dire détermier l esemble des couples d etiers aturels o uls vérifiat la relatio (F) 4 48 QCM, Liba 010 Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse, et doer ue justificatio de la répose choisie Ue répose o justifiée e rapporte aucu poit Toutefois, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio 1 O cosidère, das le pla complexe rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v) i, le poit A d affixe i et B l image de A par la rotatio de cetre O et d agle π O ote I le milieu du segmet [AB] Propositio 1 : «La similitude directe de cetre A qui trasforme I e O a pour écriture complexe ( ) z' = 1+ i z 1 i» O appelle S l esemble des couples (x ; y) d etiers relatifs solutios de l équatio 3x 5y = Propositio : «L esemble S est l esemble des couples 3 O cosidère l équatio (E): x y 0( mod 3) (5k 1 ; 3k 1) où k est u etier relatif» +, où (x ; y) est u couple d etiers relatifs Termiale S 1 F Laroche

13 Propositio 3 : «Il existe des couples (x ; y) d etiers relatifs solutios de (E) qui e sot pas des couples de multiples de 3» 4 Soit u etier aturel supérieur ou égal à 3 Propositio 4 :«Pour tout etier aturel k ( k ), le ombre! + k est pas u ombre premier» 5 O cosidère l équatio (E ) : x 5x+ 480= 0, où x est u etier aturel Propositio 5 : «Il existe deux etiers aturels o uls dot le PGCD et le PPCM sot solutios de l équatio (E )» 4 49 Bézout+spirale, Amérique du Nord 010 Partie A O cherche l'esemble des couples d'etiers relatifs (x; y) solutios de l'équatio (E): 16x 3y= 4 1 Vérifier que le couple (1 ; 4) est ue solutio particulière de (E) Détermier l'esemble des couples d'etiers relatifs solutios de l'équatio (E) Partie B Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v) O cosidère la trasformatio f du pla, qui à tout poit M d'affixe z, associe le poit M d affixe z défiie par = e 8 z O défiit ue suite de poits (M ) de la maière suivate : le poit M 0 a pour affixe z 0 = i et pour tout etier aturel, M+ 1 = f ( M ) O ote z l'affixe du poit M Les poits M 0, M 1, M et M 3 sot placés sur la figure ci-dessous 3iπ 1 Détermier la ature et les élémets caractéristiques de la trasformatio f O ote g la trasformatio fff f a Détermier la ature et les élémets caractéristiques de la trasformatio g Termiale S 13 F Laroche

14 b E déduire que pour tout etier aturel OM 4 4OM u etier relatif c Compléter la figure e costruisat les poits M 4, M 5 et M 6 3 Démotrer que pour tout etier aturel, z ( ) + = et que ( OM OM 4 ) π 3π i + 8 = e 4 Soiet deux etiers aturels et p tels que p OM, OM a Exprimer e foctio de et p ue mesure de ( p ) π, + = + k π où k est b Démotrer que les poits O, M p et M sot aligés si et seulemet si p est u multiple de 8 5 Détermier l'esemble des etiers aturels tels que le poit M appartiee à la demi-droite [Ox) O pourra utiliser la partie A 4 50 Carrés et cubes+espace, Podicherry, 010 Les parties A et B peuvet, das leur quasi-totalité, être traitées de faço idépedate Partie A Das cette partie, o se propose d étudier des couples (a, b) d etiers strictemet positifs, tels que : a = b 3 Soit (a, b) u tel couple et d = PGCD(a, b)o ote u et v les etiers tels que a = du et b = dv 1 Motrer que u = dv 3 E déduire que v divise u, puis que v = 1 3 Soit (a, b) u couple d etiers strictemet positifs Démotrer que l o a a = b 3 si et seulemet si a et b sot respectivemet le cube et le carré d u même etier 4 Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse sera prise e compte das l évaluatio Motrer que si est le carré d u ombre etier aturel et le cube d u autre etier, alors 0[ 7] ou 1[ 7] Partie B Das l espace mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ), o cosidère la surface S d équatio 3 x y = z Pour tout réel λ, o ote C λ la sectio de S par le pla d équatio z = λ 1 Les graphiques suivats doet l allure de C λ tracée das le pla d équatio z = λ, selo le sige de λ Attribuer à chaque graphique l u des trois cas suivats : λ < 0, λ = 0, λ > 0 et justifier l allure de chaque courbe a Détermier le ombre de poits de C 5 dot les coordoées sot des ombres etiers strictemet positifs b Pour cette questio, o pourra évetuellemet s aider de la questio 3 de la partie A Détermier le ombre de poits de C 010 dot les coordoées sot des ombres etiers strictemet positifs Termiale S 14 F Laroche

15 C λ C λ (pas de courbe visible) graphique 1 graphique graphique Surface+équatio, Atilles Guyae 009 L espace est mui d u repère orthoormé ( O; i, j, k ) O cosidère la surface S 1 d équatio z = x + y, et la surface S d équatio z = xy + x Partie A O ote P le pla d équatio x =, E 1 l itersectio de la surface S 1 et du pla P et E l itersectio de la surface S et du pla P 1 a Détermier la ature de l esemble E 1 b Détermier la ature de l esemble E a Représeter les esembles E 1 et E das u repère ( A; j, k) du pla P où A est le poit de coordoées ( ; 0 ; 0) b Das le repère ( O; i, j, k ) doer les coordoées des poits d itersectio B et C des esembles E 1 et E Partie B L objectif de cette partie est de détermier les poits d itersectio M(x ; y ; z) des surfaces S 1 et S où y et z sot des etiers relatifs et x u ombre premier O cosidère u tel poit M(x ; y ; z) 1 a Motrer que y(y x) = x(z x) b E déduire que le ombre premier x divise y O pose y = kx avec k Z a Motrer que x divise, puis que x = b E déduire les valeurs possibles de k 3 Détermier les coordoées possibles de M et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, questio b 4 5 Equatio diophatiee, Nelle Calédoie, 009 Les questios 1 et sot idépedates Soit u etier aturel o ul 1 O cosidère l équatio otée (E) : 3x + 7y = 10 où x et y sot des etiers relatifs a Détermier u couple (u ; v) d etiers relatifs tels que 3u +7v = 1 E déduire ue solutio particulière (x 0 ; y 0 ) de l équatio (E) b Détermier l esemble des couples d etiers relatifs (x ; y) solutios de (E) O cosidère l équatio otée (G) 3x + 7y = 10 où x et y sot des etiers relatifs a Motrer que 100 (modulo 7) Démotrer que si (x ; y) est solutio de (G) alors 3x (modulo 7) b Reproduire et compléter le tableau suivat : Reste de la divisio euclidiee de x par Termiale S 15 F Laroche

16 Reste de la divisio euclidiee de 3x par 7 c Démotrer que est cogru à 1, ou 4 modulo 7 E déduire que l équatio (G) admet pas de solutio 4 53 Puissace de, Frace & La Réuio, a Détermier le reste das la divisio euclidiee de 009 par 11 b Détermier le reste das la divisio euclidiee de 10 par 11 c Détermier le reste das la divisio euclidiee de par 11 O désige par p u ombre etier aturel O cosidère pour tout etier aturel o ul le ombre A = + p O ote d le PGCD de A et A +1 a Motrer que d divise b Détermier la parité de A e foctio de celle de p Justifier c Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Détermier la parité de d e foctio de celle de p E déduire le PGCD de et Puissaces de 3, Liba 009 Le but de l exercice est de motrer qu il existe u etier aturel dot l écriture décimale du cube se 3 termie par 009, c est-à-dire tel que 009[ 10000] Partie A 1 Détermier le reste de la divisio euclidiee de 8001 E déduire que [ 16] Partie B O cosidère la suite (u ) défiie sur N par : ( u ) 5 u+ 1 = a Démotrer que u 0 est divisible par par 16 u 0 = et, pour tout etier aturel, b Démotrer, e utilisat la formule du biome de Newto, que pour tout etier aturel, ( 4 ( 3 )) u+ 1 = u u + 5 u + u + u + 1 c Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, u est divisible par a Vérifier que 50 u = puis e déduire que 009 1[ 65] b Démotrer alors que [ 65] Partie C E utilisat le théorème de Gauss et les résultats établis das les questios précédetes, motrer que est divisible par Coclure, c est-à-dire détermier u etier aturel dot l écriture décimale du cube se termie par Divisibilité + espace, La Réuio 009 L espace est mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ) 1 1 Soiet F le poit de coordoées 0;0; 4 et (P) le pla d équatio 1 z= 4 Termiale S 16 F Laroche

17 O ote d(m, P) la distace d u poit M au pla (P) Motrer que l esemble (S) des poits M de coordoées (x; y ; z) qui vérifiet d(m, P) = MF a pour équatio x + y = z a Quelle est la ature de l itersectio de l esemble (S) avec le pla d équatio z =? b Quelle est la ature de l itersectio de l esemble (S) avec le pla d équatio x = 0? Représeter cette itersectio das le repère ( O; j, k ) 3 Das cette questio, x et y désiget des ombres etiers aturels a Quels sot les restes possibles de la divisio euclidiee de b Démotrer que 7 divise Termiale S 17 F Laroche x par 7? x + y si et seulemet si 7 divise x et 7 divise y 4 Das cette questio, toute trace de recherche même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Existe-t-il des poits qui appartieet à l itersectio de l esemble (S) et du pla d équatio z = 98 et dot toutes les coordoées sot des etiers aturels? Si oui les détermier 4 56 Divisibilité par 7, Frace 009 Les trois questios de cet exercice sot idépedates 1 a Détermier l esemble des couples (x, y) de ombres etiers relatifs, solutio de l équatio (E) : 8x 5y = 3 b Soit m u ombre etier relatif tel qu il existe u couple (p, q) de ombres etiers vérifiat m = 8p +1 et m = 5q +4 Motrer que le couple (p, q) est solutio de l équatio (E) et e déduire que m 9 (modulo 40) c Détermier le plus petit de ces ombres etiers m supérieurs à 000 Soit u ombre etier aturel a Démotrer que pour tout ombre etier aturel k o a : 3k 1(modulo 7) Quel est le reste das la divisio euclidiee de 009 par 7? 3 Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Soiet a et b deux ombres etiers aturels iférieurs ou égaux à 9 avec a 0 O cosidère le ombre N = a00b 3 N = a 10 + b O rappelle qu e base 10 ce ombre s écrit sous la forme O se propose de détermier parmi ces ombres etiers aturels N ceux qui sot divisibles par 7 a Vérifier que (modulo 7) b E déduire tous les ombres etiers N cherchés 4 57 Bézout+espace, Cetres étragers O ote (E) l'équatio 3x + y = 9 où x et y sot deux ombres etiers relatifs a Détermier u couple d'etiers solutio de l'équatio (E) b Détermier tous les couples d'etiers relatifs solutios de l'équatio (E) c Préciser les solutios de l'équatio (E) pour lesquelles o a à la fois x > 0 et y > 0 Itersectios d'u pla avec les plas de coordoées L'espace est mui du repère orthoormal ( O; i, j, k ) et o désige par (P) le pla d'équatio 3x + y = 9 a Démotrer que (P) est parallèle à l'axe (Oz) de vecteur directeur k b Détermier les coordoées des poits d'itersectio du pla (P) avec les axes (Ox) et (Oy) de vecteurs directeurs i et j c Faire ue figure et tracer les droites d'itersectio du pla (P) avec les trois plas de coordoées d Sur la figure précédete, placer sur la droite d'itersectio des plas (P) et (xoy), les poits dot les coordoées sot à la fois etières et positives

18 3 Étude d'ue surface (S) est la surface d'équatio 4z = xy das le repère ( O; i, j, k ) Les figures suivates représetet les itersectios de y avec certais plas de l'espace Termiale S 18 F Laroche figure 1 figure figure 3 figure 4 a S 1 désige la sectio de la surface (S) par le pla (xoy) Ue des figures doées représete S 1, laquelle? b S désige la sectio de la surface (S) par le pla (R) d équatio z= 1 Ue des figures doées représete S, laquelle? c S 3 désige la sectio de la surface (S) par le pla d équatio y= 8 Ue des figures doées représete S 3, laquelle? d S 4 désige la sectio de la surface (S) par le pla (P) d'équatio 3x + y = 9 de la questio Détermier les coordoées des poits commus à S 4 et (P) dot l'abscisse x et l'ordoée y sot des etiers aturels vérifiat l'équatio 3x + y = Restes chiois, Asie 009 N O se propose, das cette questio, de détermier tous les etiers relatifs N tels que N 1 17 a Vérifier que 39 est solutio de ce système [ ] [ ] b Soit N u etier relatif solutio de ce système Démotrer que N peut s écrire sous la forme N = 1+ 17x= 5+ 13y où x et y sot deux etiers relatifs vérifiat la relatio 17x 13y = 4 c Résoudre l équatio 17x 13y = 4 où x et y sot des etiers relatifs d E déduire qu il existe u etier relatif k tel que N = k e Démotrer l équivalece etre N 18[ 1] et [ ] [ ] N 5 13 N 1 17 Das cette questio, toute trace de recherche,même icomplète, ou d iitiative,même ifruxtueuse, sera prise e compte das l évaluatio a Existe-t-il u etier aturel k tel que 10 k 1[ 17]? b Existe-t-il u etier aturel l tel que 10 l 18[ 1]? 4 59 QCM, Atilles 009 Das chacu des cas suivats, idiquer si l affirmatio proposée est vraie ou fausse et justifier la répose 1 Le pla complexe est mui d u repère orthoormal ( O; u, v) O cosidère l applicatio f du pla das lui-même qui, à tout poit M d affixe z, associe le poit M d affixe z telle que ( ) ote A le poit d affixe i Affirmatio : f est la similitude directe, de cetre A, d agle 3 π et de rapport 009 Affirmatio : 1991 [ 7] z' = 1+ i 3 z+ 3 O 3 a et b sot deux etiers relatifs quelcoques, et p sot deux etiers aturels premiers etre eux

19 Affirmatio : a b[ p] Termiale S 19 F Laroche si et seulemet si a b[ p] 4 L espace est mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ) les coordoées (x; y; z) vérifiet l équatio : y = 3 E est l esemble des poits M de l espace dot z= x + y O ote S la sectio de E par le pla d équatio Affirmatio : S est u cercle 5 L espace est mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ) P est la surface d équatio x + y = 3z Affirmatio : O(0 ; 0 ; 0) est le seul poit d itersectio de P avec le pla (yoz) dot les coordoées sot des ombres etiers 4 60 Th de Wilso, Am du Nord 009 Soit A l esemble des etiers aturels de l itervalle [1 ; 46] 1 O cosidère l équatio (E) : 3x + 47y = 1 où x et y sot des etiers relatifs a Doer ue solutio particulière (x 0, y 0 ) de (E) b Détermier l esemble des couples (x, y) solutios de (E) c E déduire qu il existe u uique etier x apparteat à A tel que 3x 1[ 47] Soiet a et b deux etiers relatifs a Motrer que si ab 0[ 47] alors a 0[ 47] ou 0[ 47] b b E déduire que si a 1[ 47], alors a 1[ 47] ou 1[ 47] a 3 a Motrer que pour tout etier p de A, il existe u etier relatif q tel que pq 1[ 47] Pour la suite, o admet que pour tout etier p de A, il existe u uique etier, oté iv(p), apparteat à A piv p 1 47 tel que ( ) [ ] Par exemple : iv(1)= 1 car 11 1[ 47], iv()= 4 car 4 1[ 47], iv(3)= 16 car 316 1[ 47] b Quels sot les etiers p de A qui vérifiet p =iv(p)? c Motrer que 46! 1[ 47] 4 61 ROC+Base 1, N Calédoie, mars 008 (c) 5 poits Partie A : Questio de cours Quelles sot les propriétés de compatibilité de la relatio de cogruece avec l additio, la multiplicatio et les puissaces? Démotrer la propriété de compatibilité avec la multiplicatio Partie B O ote 0, 1,,, 9, α, β, les chiffres de l écriture d u ombre e base 1 Par exemple : 1 βα7 = β 1 + α 1+ 7= = 1711 e base 10 1 a Soit N 1 le ombre s écrivat e base 1 : b Soit N le ombre s écrivat e base 10 : Détermier l écriture de N e base N = β α Détermier l écriture de N 1 e base 10 3 N = 1131= Das toute la suite u etier aturel N s écrira de maière géérale e base 1 : a Démotrer que N a 0[ 3 ] N = a a aa E déduire u critère de divisibilité par 3 d u ombre écrit e base 1 b À l aide de so écriture e base 1, détermier si N est divisible par 3 Cofirmer avec so écriture e base 10

20 3 a Démotrer que N a a a a [ 11] écrit e base E déduire u critère de divisibilité par 11 d u ombre b À l aide de so écriture e base 1, détermier si N 1 est divisible par 11 Cofirmer avec so écriture e base 10 4 U ombre N s écrit Correctio Partie A : Questio de cours 1 N = x4y Détermier les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33 Les propriétés de compatibilité de la relatio de cogruece avec l additio, la multiplicatio et les puissaces sot a a' [ p] et b b' [ p] alors a+ b a' + b' [ p], ab a' b' [ p] et a a' [ p] Propriété de compatibilité avec la multiplicatio : o pose que Partie B 1 a a= pk+ a', b ph b' 1 N1 = β1α = = 1606 = + d où ab p kh a' ph b' pk a' b' a' b' p( ) = = + b Il faut diviser par 1 plusieurs fois : , = 1 7+ α, doc 1 N = 7α3 = α 1+ 3= = 1131 a N 1 1 a 1 a a a [ 1] a [ 3] = Si le derier chiffre est 0 modulo 3, soit u multiple de 3 le ombre sera divisible par b N se termie par 3 e base 1, il est divisible par 3 E base 10 la somme des chiffres est 6, il est doc divisible par 3 3 a Chaque puissace de 1 est cogrue à 1 modulo 11 doc N a a a a [ 11] des chiffres est u multiple de 11, ce ombre sera divisible par Si la somme b La somme des chiffres de N 1 e base 1 est β + 1+ α = = doc N 1 est divisible par 11 E base 10 o fait la somme des termes de rag pair mois la somme des termes de rag impair : 1 1=11 qui est divisible par N = x4y N est divisible par 33 si N est divisible par 3 : y= 3k, et par 11 : x+ 4+ y= 11 k' y= 3k y= 3k O résoud : ; les valeurs possibles de k sot 0, 1,, 3 : x+ 4+ 3k= 11 k' x= 11 k' 3k 4 k y x k N N (b 10) k 4 k =1 soit x= k 7 k =1 soit x= k 10 k =1 soit x= k 13 k = soit x= QCM, Polyésie, jui 008 Pour chacue des propositios suivates idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue justificatio de la répose choisie Ue répose o justifiée e rapporte aucu poit Toutefois, toute trace de recherche, même icomplète, ou d'iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l'évaluatio 1 Propositio 1 :«Pour tout etier aturel o ul, et + 1 sot premiers etre eux» Termiale S 0 F Laroche

21 Soit x u etier relatif Propositio :«x + x+ 3= 0( modulo5) si et-seulemet si 1( modulo5) 3 Soit N u etier aturel dot l écriture e base 10 est aba 7 x» Propositio 3 :«Si N est divisible par 7 alors a+ b est divisible par 7» 4 Le pla complexe est mui d'u repère orthoormal direct ( O; u, v) π Propositio 4 : «La similitude directe de rapport, d'agle et de cetre le poit d'afïixe 1 i a 6 pour écriture complexe ( ) z' = 3+ i z+ 3 i 3» 5 Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v) O cosidère u poit A O désige par a so affixe O ote s la réflexio d'axe ( O; u ) et s A la symétrie cetrale de cetre A Propositio 5 :«L'esemble des ombres complexes a tels que ssa = sa s est l'esemble des ombres réels» 4 63 QCM, Liba, jui 008 Pour chacue des six propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit Das le pla complexe rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v), o cosidère la similitude directe 3 z 1 i z+ 4 i f d'écriture complexe ( ) Propositio 1 :«f = r h où h est l homothétie de rapport i et où r est la rotatio de cetre Ω et d'agle Pour tout etier aturel o ul : Propositio :«5 + est divisible par 5» Propositio 3 :«5 + est divisible par 7» π» 4 3 Das le pla mui d'u repère, (D) est la droite d'équatio 11x 5y= 14 3 et de cetre le poit Ω d'affixe Propositio 4 :«les poits de (D) à coordoées etières sot les poits de coordoées ( 5k+ 14;11k+ 8) où k Z 4 L'espace est rapporté à u repère orthoormal ( O; i, j, k ) La surface Σ ci-dessous a pour équatio z= x + y Propositio 5 :«la sectio de la surface Σ et du pla d'équatio x= λ, où λ est u réel, est ue hyperbole» 9 Propositio 6 : «le pla d'équatio z= partage le solide délimité par Σ et le pla d'équatio z = 9 e deux solides de même volume» Termiale S 1 F Laroche

22 k O j i Rappel : Soit V le volume du solide délimité par Σ et les plas d'équatios z = a et z=b où 0 a b 9 V est doé par la formule V ( ) [, ] k a b 4 64 Réseau, Asie, jui 008 b = S k dk où S(k) est l'aire de la sectio du solide par le pla d'équatio z=k où a Soit a et b deux etiers aturels o uls ; o appelle «réseau» associé aux etiers a et b l esemble des poits du pla, mui d u repère orthooal, dot les coordoées (x; y) sot des etiers vérifiat les coditios : 0 x a et 0 y b O ote R a, b ce réseau Le but de l exercice est de relier certaies propriétés arithmétiques des etiers x et y à des propriétés géométriques des poits correspodats du réseau A Représetatio graphique de quelques esembles Das cette questio, les réposes sot attedues sas explicatio, sous la forme d u graphique qui sera dûmet complété sur la feuille aexe à redre avec la copie Représeter graphiquemet les poits M(x ; y) du réseau R 8,8 vérifiat : 1 x ( mod3) et 1( mod3) x y 1( mod3) y, sur le graphique 1 ; +, sur le graphique ; 3 x y( mod3), sur le graphique 3 B Résolutio d ue équatio O cosidère l équatio (E): 7x 4y= 1, où les icoues x et y sot des etiers relatifs 1 Détermier u couple d etiers relatifs ( ; ) x y solutio de l équatio (E) 0 0 Détermier l esemble des couples d etiers relatifs solutios de l équatio (E) 3 Démotrer que l équatio (E) admet ue uique solutio (x; y) pour laquelle le poit M(x ; y) correspodat appartiet au réseau R 4, 7 Termiale S F Laroche

23 C Ue propriété des poits situés sur la diagoale du réseau Si a et b sot deux etiers aturels o uls, o cosidère la diagoale [OA] du réseau R a, b, avec O(0 ; 0) et A(a ; b) 1 Démotrer que les poits du segmet [OA] sot caractérisés par les coditios : 0 x a, 0 y b, ay= bx Démoter que si a et b sot premiers etre eux, alors les poits O et A sot les seuls poits du segmet [OA] apparteat au réseau R a, b 3 Démotrer que si a et b e sot pas premiers etre eux, alors le segmet [OA] cotiet au mois u autre poit du réseau (O pourra cosidérer le pgcd d des ombres a et b et poser a = da et b = db ) y y y O x O x O x Graphique 1 Graphique Graphique Codage affie, Atilles, jui 008 Partie A O cosidère l équatio (E) : 11x 6y = 1, où x et y désiget deux ombres etiers relatifs 1 Vérifier que le couple ( 7 ; 3 ) est solutio de (E) Résoudre alors l équatio (E) 3 E déduire le couple d etiers relatifs (u; v) solutio de (E) tel que 0 u 5 Partie B O assimile chaque lettre de l alphabet à u ombre etier comme l idique le tableau ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z O «code» tout ombre etier x compris etre 0 et 5 de la faço suivate : o calcule 11x + 8, o calcule le reste de la divisio euclidiee de 11x + 8 par 6, que l o appelle y x est alors «codé» par y Aisi, par exemple, la lettre L est assimilée au ombre 11 ; = 19 5( mod6) ; 5 est le reste de la divisio euclidiee de 19 par 6 Au ombre 5 correspod la lettre Z La lettre L est doc codée par la lettre Z 1 Coder la lettre W Le but de cette questio est de détermier la foctio de décodage a Motrer que pour tous ombres etiers relatifs x et j, o a : ( ) équivaut à x 19j( mod6) 11x j mod 6 Termiale S 3 F Laroche

24 b E déduire u procédé de décodage c Décoder la lettre W 4 66 Surface+Eq dioph, Am Nord, jui 008 (c) L espace est rapporté au repère orthoormal ( O; i, j, k ) O omme (S) la surface d équatio x + y z = 1 1 Motrer que la surface (S) est symétrique par rapport au pla (xoy) O omme A et B les poits de coordoées respectives (3 ; 1 ; 3) et ( 1 ; 1 ; 1) a Détermier ue représetatio paramétrique de la droite (D) passat par les poits A et B b Démotrer que la droite (D) est icluse das la surface (S) 3 Determier la ature de la sectio de la surface (S) par u pla parallèle au pla (xoy) 4 a O cosidère la courbe (C), itersectio de la surface (S) et du pla d équatio z = 68 Préciser les élémets caractéristiques de cette courbe b M état u poit de (C), o désige par a so abscisse et par b so ordoée O se propose de motrer qu il existe u seul poit M de (C) tel que a et b soiet des etiers aturels vérifiat a < b et ppcm(a ; b)= 440, c est-à-dire tel que (a, b) soit solutio du système a< b (1): a + b = 465 ppcm ( a; b) = 440 Motrer que si (a, b) est solutio de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5 Coclure Das cette questio toute trace de recherche même icomplete ou d iitiative, même o fructueuse sera prise e compte das l évaluatio Correctio x + y z = x + y z = 1, c est- 1 Si M( x ; y ; z ) appartiet à ( S ), alors o a x + y z = 1, soit ( ) à-dire que le poit M de coordoées ( x ; y ; z) appartiet égalemet à ( ) Par coséquet, le pla d équatio 0 ( S ) a ( ) z=, c est-à-dire le pla ( ) x 3= 4k x= 4k+ 3 M D AM= kab y 1= 0k y= 1, k R z 3 4k + = z= 4k 3 b O remplace x, y et z das l équatio de ( S ) : ( ) ( ) S et réciproquemet xoy, est u pla de symétrie de la surface x + y z = 4k k 3 = 16k 4k k + 4k 9= 1, ce qui est toujours vrai O e déduit que tout poit de ( D ) appartiet à ( S ), la droite est icluse das la surface ( S ) 3 Soit ( P ) u pla parallèle au pla ( xoy ) ( P ) a alors ue équatio de la forme z= c où c est u réel, soit x + y = c + 1 qui est l équatio d u cercle de cetre Ω ( 0 ; 0 ; c) et de rayo ( P ) La sectio de la surface ( S ) par u pla parallèle au pla ( ) xoy est u cercle 4 a Soit ( C ) la courbe d itersectio de la surface ( S ) et du pla d équatio z= c, tracé das D après la questio précédete ( C ) est le cercle de cetre ( 0 ; 0 ; 68) tracé das le pla d équatio z= 68 Ω et de rayo = 5 185, Termiale S 4 F Laroche

25 b Soit ( a; b ) ue solutio de ( 1 ) Alors : d le PGCD de a et b divise a (et aussi a< b a + b = 465 ppcm ( a; b) = 440 a ) et divise b (et aussi b ), d où d divise a + b ; d divise 465 De plus, d divise le PPCM de a et b Doc d divise 440, d est u diviseur commu de 440 et de 465 Or les diviseurs de 465 sot : 1 ; 5 ; 5 ; 37 ; 15 ; 185 ; 95 et 465 Les diviseurs de 440 sot : 1 ; ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 0 ; ; 40 ; 44 ; 55 ; 88 ; 110 ; 0 et 440 d e peut être égal qu à 1 ou à 5 d=, ab pgcd ( a; b) ppcm ( a; b) * 1 =, c est-à-dire ab= 1 440= 440 a et b sot doc des diviseurs de 440 dot la somme des carrés est égale à 465 et le produit à 440 a+ b = a + b + ab= = 5505 ; ce qui est impossible car a+ b est u etier aturel (e Or ( ) tat que somme de deux etiers aturels) Il y a das ce cas aucu couple solutio de ce système * Supposos que 5 d= ; alors ab pgcd ( a; b) ppcm ( a; b) =, c est-à-dire ab= 5 440= 00 a et b sot doc des diviseurs de 440 dot la somme des carrés est égale à 465 et le produit à 00 a+ b = a + b + ab= = 905, soit a+ b= 95 Or ( ) Seul le couple ( 40 ; 55 ) est solutio de ce système das ce cas Il existe u seul poit M de ( C ) tel que a et b soiet des etiers aturels vérifiat a< b et ppcm( a ; b ) = Bézout+Fermat, Natioal, sept O cosidère l esemble = { } A 7 1;;3;4;5;6 a Pour tout élémet a de A 7 écrire das le tableau ci-dessous l uique élémet y de 7 (soit modulo 7) a y b Pour x etier relatif, démotrer que l équatio 3x 5[ 7] équivaut à 4[ 7] c Si a est u élémet de 7 les multiples de 7 x A tel que ay 1[ 7] A, motrer que les seuls etiers relatifs x solutios de l équatio 0[ 7] Das toute cette questio p est u ombre premier supérieur ou égal à 3 O cosidère l esemble A { 1; ;; p 1} Soit a u élémet de A p a Vérifier que p ax sot = des etiers aturels o uls et strictemet iférieurs à p p a est ue solutio de l équatio ax 1[ p] p b O ote r le reste das la divisio euclidiee de a par p Démotrer que r est l uique solutio das ax 1 p A de l équatio [ ] p c Soiet x et y deux etiers relatifs Démotrer que xy 0[ p] y est u multiple de p d Applicatio : p = 31 Résoudre das 31 A les équatios x 1[ 31] et 3 1[ 31] x si et seulemet si x est u multiple de p ou Termiale S 5 F Laroche

26 A l aide des résultats précédets résoudre das Z l équatio 6x 5x 1 0[ 31] 4 68 Bézout, N Calédoie, mars a Quel est le reste de la divisio euclidiee de 6 10 par 11? Justifier b Quel est le reste de la divisio euclidiee de 6 4 par 5? Justifier c E déduire que 6 1[ 11] et que 6 1[ 5] d Démotrer que est divisible par 55 Das cette questio x et y désiget des etiers relatifs a Motrer que l équatio (E) 65x 40y = 1 a pas de solutio + b Motrer que l équatio (E ) 17x 40y = 1 admet aumois ue solutio c Détermier à l aide de l algorithme d Euclide u couple d etiers relatifs solutio de l équatio (E ) d Résoudre l équatio (E ) E déduire qu il existe u uique aturel x 0 iférieur à 40 tel que 17 1[ 40] x 3 Pour tout etier aturel a, démotrer que si a b[ 55] et si a 1[ 55], alors b a[ 55] 4 69 Codage affie, N Calédoie, mars Pour coder u message, o procède de la maière suivate : à chacue des 6 lettres de l alphabet, o commece par associer u etier de l esemble Ω = {0 ; 1 ; ; ; 4 ; 5} selo le tableau ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z a et b état deux etiers aturels doés, o associe à tout etier de Ω le reste de la divisio euclidiee de (a + b) par 6 ; ce reste est alors associé à la lettre correspodate Exemple : pour coder la lettre P avec a = et b = 3, o procède de la maière suivate : Termiale S 6 F Laroche étape 1 : o lui associe l etier = 15 ; étape : le reste de la divisio de = 33 par 6 est 7 ; étape 3 : o associe 7 à H Doc P est codé par la lettre H 1 Que dire alors du codage obteu lorsque l o pred a = 0? Motrer que les lettres A et C sot codées par la même lettre lorsque l o choisit a = 13 3 Das toute la suite de l exercice, o pred a = 5 et b = a O cosidère deux lettres de l alphabet associées respectivemet aux etiers et p Motrer, que si 5 + et 5p + ot le même reste das la divisio par 6 alors p est u multiple de 6 E déduire que = p b Coder le mot AMI 4 O se propose de décoder la lettre E a Motrer que décoder la lettre E reviet à détermier l élémet de Ω tel que 5 6y =, où y est u etier b O cosidère l équatio 5x 6y =, avec x et y etiers relatifs i Doer ue solutio particulière de l équatio 5x 6y = ii Résoudre alors l équatio 5x 6y = iii E déduire qu il existe u uique couple (x ; y) solutio de l équatio précédete, avec 0 x 5 c Décoder alors la lettre E

27 4 70 Surface+éq dioph, Polyésie jui 007 Partie A Das l espace mui d u repère orthoormal ( O; i, j, k ) et le côe (Γ) d axe ( O; k ), de sommet O et coteat le poit A 1 Motrer qu ue équatio de (Γ) est 5 x + y = z Soit (P) le pla parallèle au pla (xoy) et coteat le poit B a Détermier ue équatio de (P) b Préciser la ature de l itersectio (C 1 ) de (P) et de (Γ) o cosidère les poits A ( 1;3;), B( 4;6; 4) 3 Soit (Q) le pla d équatio y= 3 O ote (C ) l itersectio de (Q) et de (Γ) Sas justificatio recoaître la ature de (C ) parmi les propositios suivates : Partie B * deux droites parallèles ; * deux droites sécates ; * ue parabole ; * ue hyperbole ; * u cercle Soiet x, y et z trois etiers relatifs et M le poit de coordoées ( x; y; z ) Les esembles (C 1 ) et (C ) sot les sectios défiies das la partie A 1 O cosidère l équatio (E) : a Résoudre l équatio (E) x + y = 40 où x et y sot des etiers relatifs b E déduire l esemble des poits de (C 1 ) dot les coordoées sot des etiers relatifs a Démotrer que si le poit M de coordoées ( x; y; z ), où x, y et z sot des etiers relatifs, est u poit de (Γ) alors z est divisible par et x + y est divisible par 10 b Motrer que si M est u poit de (C ) alors x 1modulo10 c Résoudre das l esemble des etiers relatifs l équatio x 1modulo10 d Détermier u poit de (C ), distict de A, dot les coordoées sot des etiers relatifs 4 71 QCM, Liba jui 007 Pour chacue des 5 propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisieue répose o démotrée e rapporte aucu poit 1 Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v) O cosidère la trasformatio du pla qui à tout poit d affixe z associe le poit d affixe z défiie par : z' = iz+ 1 Propositio 1 : «Cette trasformatio est la similitude directe de cetre A d affixe i, d agle π et de rapport» Das l espace mui du repère orthoormal ( O; i, j, k ), o ote S la surface d équatio z= x + x+ y + 1 Propositio : «La sectio de S avec le pla d équatio z = 5 est u cercle de cetre A de coordoées ( 1 ; 0 ; 5) et de rayo 5» 3 Propositio 3 : « est u multiple de 7» 4 Propositio 4 : «Si u etier aturel est cogru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3 +4 et de 4 +3 est égal à 7» Termiale S 7 F Laroche

28 5 Soiet a et b deux etiers aturels Propositio 5 : «S il existe deux etiers relatifs u et v tels que au+bv = alors le PGCD de a et b est égal à» 4 7 Bézout, Natioal septembre O cosidère l équatio (E) : 17x 4y = 9 où (x, y) est u couple d etiers relatifs a Vérifier que le couple (9 ; 6) est solutio de l équatio (E) b Résoudre l équatio (E) Das ue fête foraie, Jea s istalle das u u maège circulaire représeté par le schéma Il peut s istaller sur l u des huit poits idiqués sur le cercle Le maège comporte u jeu qui cosiste à attraper u pompo qui se déplace sur u câble format u carré das lequel est iscrit le cercle Le maège toure das le ses des aiguilles d ue motre, à vitesse costate Il fait u tour e 4 secodes Le pompo se déplace das le même ses à vitesse costate Il fait u tour e 17 secodes Pour gager, Jea doit attraper le pompo, et il e peut le faire qu aux poits de cotact qui sot otés A, B, C et D sur le dessi À l istat t = 0, Jea part du poit H e même temps que le pompo part du poit A a O suppose qu à u certai istat t Jea attrape le pompo e A Jea a déjà pu passer u certai ombre de fois e A sas y trouver le pompo À l istat t, o ote y le ombre de tours effectués depuis so premier passage e A et x le ombre de tours effectués par le pompo Motrer que (x, y) est solutio de l équatio (E) de la questio 1 b Jea a payé pour miutes ; aura-t-il le temps d attraper le pompo? c Motrer, qu e fait, il est possible d attraper le pompo qu au poit A d Jea part maiteat du poit E Aura-t-il le temps d attraper le pompo e A avat les deux miutes? 4 73 ROC+Cogrueces, Am du Sud ov 006 (c) Rappel : Pour deux etiers relatifs a et b, o dit que a est cogru à b modulo 7, et o écrit lorsqu il existe u etier relatif k tel que a = b +7k 1 Cette questio costitue ue restitutio orgaisée de coaissaces a Soiet a, b, c et d des etiers relatifs Démotrer que : si a bmod7 et c dmod 7 alors ac bdmod 7 a bmod7 b E déduire que : pour a et b etiers relatifs o uls si a bmod7 alors pour tout etier aturel, a b mod7 Pour a = puis pour a = 3, détermier u etier aturel o ul tel que a 1mod7 3 Soit a u etier aturel o divisible par 7 a Motrer que : 6 a 1mod7 b O appelle ordre de a mod 7, et o désige par k, le plus petit etier aturel o ul tel que k a 1mod7 Motrer que le reste r de la divisio euclidiee de 6 par k vérifie Quelles sot les valeurs possibles de k? r a 1mod7 E déduire que k divise 6 Termiale S 8 F Laroche

29 c Doer l ordre modulo 7 de tous les etiers a compris etre et 6 4 A tout etier aturel, o associe le ombre A = Motrer que A006 6 mod 7 Correctio 1 a O écrit que a= b+ 7k, c= d+ 7 k' d où ( 7 )( 7 ') 7 ( ' 7 ') [ 7] ac= b+ k d+ k = bd+ bk+ dk+ kk ac bd b Par récurrece : vrai pour = 1 Supposos a b mod , alors a a b b[ 7] a b [ 7] Pour a = puis pour a = 3, détermier u etier aturel o ul tel que a 1mod7 O cherche les restes de et 3 modulo 7 : ou 1 4 ou 3 5 ou 1 Doc pour la première valeur de est 3, pour 3 c est 6 p 1 3 a Théorème de Fermat : si p premier e divise pas a, alors a 1[ p] kq r kq r k q r 6 + b O a doc 6 ( ) r [ ] d où avec p = 7 : = kq+ r a = a = a a = a a ; comme 1mod7 k 6 a 1mod7 k k q q a, ( ) 1 [ 7] 1[ 7] a doc a 1 7 Comme k est le plus petit etier tel que a 1mod7, r= 0 doc k divise 6, soit k=1,, 3 ou 6 c a a mod 7 3 a mod 7 6 a mod 7 1 (k=1) (k=3) (k=6) (k=3) (k=6) (k=) A 006 = , et 006= 1003= = ; o a doc = ( ) [ ], 3 = ( 3 ) 3 9[ 7] [ 7], 4 ( 4 ) 4 16[ 7] [ 7] = ( ) [ ] [ ] et 6 = ( 6 ) 1[ 7] Termiale S 9 F Laroche =, d où efi [ ] [ ] [ ] A 006 = QCM, Polyésie, jui 006 (c) Pour chacue des ciq propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit Propositio 1 : «Pour tout etier aturel, 3 divise le ombre 1» Propositio : «Si u etier relatif x est solutio de l équatio x x 0( modulo6) x 0( modulo3)» + alors Propositio 3 : «L esemble des couples d etiers relatifs (x ; y) solutios de l équatio 1x 5y = 3 est l esemble des couples (4+10k ; 9+4k) où k Z» Propositio 4 : «Il existe u seul couple (a ; b) de ombres etiers aturels, tel que a < b et PPCM(a, b) PGCD(a, b) = 1»

30 Deux etiers aturels M et N sot tels que M a pour écriture abc e base dix et N a pour écriture bca e base dix Propositio 5 : «Si l etier M est divisible par 7 alors l etier M N est aussi divisible par 7» Correctio Propositio 1 : Vrai O fait l essai Ca semble marcher Vérifios : ( ) 4 1[ 3] 1 0[ 3] Propositio : Faux Termiale S 30 F Laroche ( 1) reste = = x + x= x x+ est u multiple de doc pour que ce soit u multiple de 6, il faut qu u des deux termes x ou x + 1 soit u multiple de 3 ; o pourrait alors avoir x 1 0[ 3] x [ 3] = 30 qui est bie u multiple de 3 Propositio 3 : Faux 1x 5y = 3 a comme solutio particulière x = 4 et y = 9 ; o a alors + Par exemple 5 doe 1x 5y= 3 x 4= 5k x= 4+ 5k 1( x 4) 5( y 9) = 0 1( x 4) = 5( y 9) = 3 y 9= 1k y= 9+ 1k Propositio 4 : Vrai a= ak 1 Posos où k est PGCD(a, b) ; o a alors abk b = 1 1 k= 1 k= 1 sio k diviserait 1 Notre équatio bk 1 a= 1 deviet alors : PPCM(a, b) PGCD(a, b) = 1 deviet doc ab 1= 1 ab= b = Deux etiers aturels M et N sot tels que M a pour écriture abc e base dix et N a pour écriture bca e base dix Propositio 5 : Vrai M= abc= 100a+ 10b+ c, N = bca= 100b+ 10c+ a doc ( ) M N = 100a+ 10b+ c 100b 10c a= 9 11a 10b c est divisible par 7 si 11a 10b c est divisible par 3 Sachat qu o a M= 100a+ 10b+ c= 7k 10b+ c= 7k 100a, o remplace : or 111 est u multiple de 3 Ok 4 75 Restes chiois, Natioal, jui 006 (c) Partie A : Questio de cours 11a 10b c= 11a 7k+ 100a= 111a 7k ; 1 Éocer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss Démotrer le théorème de Gauss e utilisat le théorème de Bézout Partie B ( ) ( ) Il s agit de résoudre das Z le système ( S) Démotrer qu il existe u couple (u; v) d etiers relatifs tel que : 19u + 1v = 1 (O e demade pas das cette questio de doer u exemple d u tel couple)

31 Vérifier que, pour u tel couple, le ombre N = 13 1v+ 6 19u est ue solutio de (S) a Soit 0 ue solutio de (S), vérifier que le système (S) équivaut à b Démotrer que le système Termiale S 31 F Laroche 0 0 ( 19) équivaut à ( ) ( 1) ( 19) ( 1) 3 a Trouver u couple (u ; v) solutio de l équatio 19u + 1v = 1 et calculer la valeur de N correspodate b Détermier l esemble des solutios de (S) (o pourra utiliser la questio b) 4 U etier aturel est tel que lorsqu o le divise par 1 le reste est 6 et lorsqu o le divise par 19 le reste est 13 O divise par 8 = 1 19 Quel est le reste r de cette divisio? Correctio Partie A : Questio de cours, voir démostratios arithmétique Partie B : ( S) ( ) ( ) k k 1 Théorème de Bézout : 19 et 1 sot premiers etre eux doc il existe u couple (u ; v) d etiers relatifs tel que : 19u + 1v = 1 N = 13 1v+ 6 19u est ue solutio de (S) : il faut mettre N sous la forme N k Or 1v 1 19u N = u u= u ; ok = doc ( ) ( ) N = 13 1v+ 6 19u= 13 1v v = v ; ok De même ( ) 0 = k0 a Si 0 est ue solutio de (S), o a d où e soustrayat lige à lige : 0 = 6+ 1k0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = 19 k k = 1 k k0 0 1 b E fait 19 divise 0 de même que 1 ; comme ils sot premiers etre eux, 19 1 divise 0, ce qui 0 équivaut à ( 1 19) 3 a Avec l algorithme d Euclide o a 19( 5) + 1( 8) 1 N = ( 7u), ce qui doe N = 678 ; de même o pred v = 8 et N 6 1 ( 7v) bie N = 678 p C, C = p C p C = 0,8 = 0,64 b ( ) ( ) ( ) Fermat, Cetres étragers, jui 006 = ; o peut doc predre u = 5 das = +, ce qui redoe Le but de l exercice est d étudier certaies propriétés de divisibilité de l etier 4 1, lorsque est u etier aturel O rappelle la propriété coue sous le om de petit théorème de Fermat : «si p est u ombre etier et a p 1 u etier aturel premier avec p, alors a 1 0modp» Partie A : quelques exemples 1 Démotrer que, pour tout etier aturel, 4 est cogru à 1 modulo 3 Prouver à l aide du petit théorème de Fermat, que est divisible par 9 3 Pour 1 4, détermier le reste de la divisio de 4 par 17 E déduire que, pour tout etier k, le ombre 4 4k 1 est divisible par 17

32 4 Pour quels etiers aturels le ombre 4 1 est-il divisible par 5? 5 À l aide des questios précédetes détermier quatre diviseurs premiers de Partie B : divisibilité par u ombre premier Soit p u ombre premier différet de 1 Démotrer qu il existe u etier 1 tel que 4 1modp Termiale S 3 F Laroche Soit 1 u etier aturel tel que 4 1modpOote b le plus petit etier strictemet positif tel que b 4 1modp et r le reste de la divisio euclidiee de par b r a Démotrer que 4 1modp E déduire que r = 0 b Prouver l équivalece : 4 1 est divisible par p si et seulemet si est multiple de b c E déduire que b divise p Eq diophatiee, Asie, jui 006 État doé u etier aturel, o se propose d étudier l existece de trois etiers aturels x, y et z tels que x + y + z 1modulo Partie A Étude de deux cas particuliers 1 Das cette questio o suppose = Motrer que 1, 3 et 5 satisfot à la coditio précédete Das cette questio, o suppose = 3 a Soit m u etier aturel Reproduire et compléter le tableau ci-dessous doat le reste r de la divisio euclidiee de m par 8 et le reste R de la divisio euclidiee de m par 8 r R b Peut-o trouver trois etiers aturels x, y et z tels que Partie B : Étude du cas gééral où 3 Supposos qu il existe trois etiers aturels x, y et z tels que x + y + z 7modulo8? x + y + z 1modulo 1 Justifier le fait que les trois etiers aturels x, y et z sot tous impairs ou que deux d etre eux sot pairs O suppose que x et y sot pairs et que z est impair O pose alors x = q, y = r, z = s +1 où q, r, s sot des etiers aturels a Motrer que x + y + z 1modulo4 b E déduire ue cotradictio 3 O suppose que x, y, z sot impairs a Prouver que, pour tout etier aturel k o ul, k + k est divisible par b E déduire que c Coclure x + y + z 3modulo Similitude & suite, Am du Sud, sept 005 Le pla complexe P est rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v) O predra pour uité graphique 4 cm O cosidère les poits A, B, C et D d affixes respectives a, b, c et d telles que : π e a = i, b = 1 + i, c= 4 et d = 3 + i O cosidère la similitude directe s qui trasforme A e B et C e D Soit M u poit d affixe z et M, d affixe z, so image par s 1 Exprimer z e foctio de z Détermier les élémets caractéristiques de s Soit (U) la suite umérique défiie par : i U0 = 0 pour tout N U+ 1 = U + 1

33 Motrer que, pour tout etier aturel, U +1 etu sot premiers etre eux 3 Iterpréter géométriquemet, e utilisat la similitude s, les termes dela suite (U ) 4 Motrer que pour tout etier aturel, U = 1 5 Motrer que, pour tous etiers aturels et p o uls tels que p, U = U ( U + 1) + U p p p La otatio pgcd(a ; b) est utilisée, das la suite, pour désiger le plus grad diviseur commu à deux etiers aturels a et b Motrer pour p l égalité pgcd( U, Up) = pgcd( Up, U p) 6 Soit et p deux etiers aturels o uls, motrer que : pgcd( U, Up) = Upgcd(, p) Détermier le ombre : pgcd(u 005, U 15 ) 4 79 QCM, Natioal, sept 005 Pour chaque questio, ue seule des quatre réposes proposées est exacte Le cadidatidiquera sur la copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à la répose choisie Chaque répose exacte rapporte 1 poit Chaque répose fausse elève 0,5 poit Ue absece de répose est comptée 0 poit Si le total est égatif, la ote est rameée à zéro Aucue justificatio est demadée 1 O cosidère das l esemble des etiers relatifs l équatio : A : toutes les solutios sot des etiers pairs B : il y a aucue solutio C : les solutios vérifiet x (6) D : les solutios vérifiet x (6) ou x 5(6) x x+ 4 0(modulo6) O se propose de résoudre l équatio (E) : 4x + 34y =, où x et y sot des etiers relatifs A : Les solutios de (E) sot toutes de la forme : (x ; y) = (34k 7 ; 5 4k), k Z B : L équatio (E) a aucue solutio C : Les solutios de (E) sot toutes de la forme : (x ; y) = (17k 7 ; 5 1k), k Z D : Les solutios de (E) sot toutes de la forme : (x ; y) = ( 7k ; 5k), k Z 3 O cosidère les deux ombres = et p = O a alors : A : 4(17) et p 0(17) C : p 4(17) B : p est u ombre premier D : p 1(17) 4 O cosidère, das le pla complexe rapporté à u repère orthoormal, les poits A et B d affixes respectives a et b Le triagle MAB est rectagle isocèle direct d hypotéuse [AB] si et seulemet si le poit M d affixe z est tel que : A : b ia z= 1 i π C: a z = i(b z) i B : 4 π z a= e ( b a) D : b z= ( a z) 5 O cosidère das le pla orieté deux poits disticts A et B ; o ote I le milieu du segmet [AB] Soit f la similitude directe de cetre A, de rapport et d agle π ; soit g la similitude directe de cetre A, de 3 rapport 1 et d agle π ; soit h la symétrie cetrale de cetre I 3 A : hg f trasforme A e B et c est ue rotatio B : hg f est la réflexio ayat pour axe la médiatrice du segmet [AB] C : hg f est pas ue similitude Termiale S 33 F Laroche

34 D : hg f est la traslatio de vecteur AB Correctio 1 Testos la répose D : si (6) Termiale S 34 F Laroche ( ) ( ) ( ) x x Ok x alors x x 4 4 4( 6) 6( 6) 0( 6) + + ; si x 5(6) alors Simplifios par : 1x + 17y = 1 a toujours des solutios car 1 et 17 sot premiers etre eux ; la B est fausse Si o cherche ue solutio particulière la C doe l idée que 7 et 5 est pas mal : = 1 Après o termie de maière classique pour obteir la solutio C O a = 1789 =4 (17); par ailleurs 4 = 16 1( 17) doc 4 ( 1) 100 4( 17) 4( 17) Répose C 4 80 Restes de puissaces, Atilles, jui a Détermier suivat les valeurs de l etier aturel o ul le reste das la divisio euclidiee par 9 de 7 b Démotrer alors que 005 (005) 7(9) a Démotrer que pour tout etier aturel o ul : (10) 1(9) b O désige par N u etier aturel écrit e base dix, o appelle S la somme de ses chiffres Démotrer la relatio suivate : N S(9) c E déduire que N est divisible par 9 si et seulemet si S est divisible par 9 3 O suppose que B la somme des chiffres de A ; C la somme des chiffres de B ; D la somme des chiffres de C 005 A= (005) ; o désige par : a Démotrer la relatio suivate : A D(9) b Sachat que 005 < 10000, démotrer que A s écrit e umératio décimale avec au plus 800 chiffres E déduire que B 7180 c Démotrer que C 45 d E étudiat la liste des etiers iférieurs à 45, détermier u majorat de D plus petit que 15 e Démotrer que D = Eq dioph, Cetres étragers, jui 005 (c) Partie A Soit N u etier aturel, impair o premier O suppose que aturels 1 Motrer que a et b ot pas la même parité Motrer que N peut s écrire comme produit de deux etiers aturels p et q 3 Quelle est la parité de p et de q? Partie B N = a b où a et b sot deux etiers O admet que est pas premier O se propose de chercher des couples d etiers aturels (a ; b) vérifiat la relatio (E) : 1 Soit X u etier aturel a = b a Doer das u tableau, les restes possibles de X modulo 9 ; puis ceux de b Sachat que restes possibles modulo 9 de X modulo 9 a = b, détermier les restes possibles modulo 9 de a ; e déduire les a c Motrer que les restes possibles modulo 9 de a sot 1 et 8

35 Justifier que si le couple (a; b) vérifie la relatio (E), alors a 501 Motrer qu il existe pas de solutio du type (501 ; b) 3 O suppose que le couple (a ; b) vérifie la relatio (E) a Démotrer que a est cogru à 503 ou à 505 modulo 9 b Détermier le plus petit etier aturel k tel que le couple (505+9k ; b) soit solutio de (E), puis doer le couple solutio correspodat Partie C 1 Déduire des parties précédetes ue écriture de e u produit deux facteurs Les deux facteurs sot-ils premiers etre eux? 3 Cette écriture est-elle uique? Correctio Partie A 1 N = a b = ( a b)( a+ b) : s ils sot tous les deux pairs, leur somme et leur différece sot paires, le produit est pair ; s ils sot tous les deux impairs, leur somme et leur différece sot paires, le produit est pair ; comme N est impair, a et b ot pas la même parité Evidet : N = a b = ( a b)( a+ b) = pq 3 Comme il a été dit, pour que le produit soit impair, il faut qu ils aiet pas la même parité Partie B 1 a X X = 7 = X 1 1 = = = b O a = , doc les restes possibles modulo 9 de a sot ceux de X 1 c Comme a = b, les restes doivet être égaux modulo 9, o a a b + 1(9) ; *si o pred b 0(9) alors *si o pred b 1(9) alors *si o pred b (9) alors Termiale S 35 F Laroche O a a = b d où a a 1(9) a 1(9) oua 8(9), a (9), ce qui est impossible, a 5(9), ce qui est impossible, etc = b = (500,) 501 doc a 501 Si o avait ue solutio du type (501; b), o aurait = b b = 494 or 494 est pas u carré parfait 3 a a est cogru à 1 ou 8 modulo 9 et doit être supérieur à 501, lequel est cogru à 6 mod 9 ; o peut doc predre 503 8(9) ou 505 1(9) b Le plus simple est de faire quelques essais : a a a , , , , , ,945777

36 Termiale S 36 F Laroche , ,093 O a doc la première solutio pour k = 1, ce qui doe la solutio (514, 117) Partie C 1 O a = a b = ( a b)( a+ b) = ( )( ) = Appliquos l algorithme d Euclide : u v quotiet reste Le PGCD est 1, les deux ombres sot premiers etre eux 3 Cette écriture e sera pas uique (mis à part p = 1, q = 50507, par exemple) si 397 est pas u ombre premier Or 397 est premier, la décompositio est bie uique 4 8 Bézout+Fermat, Liba, jui O cosidère l équatio (E) : 109x 6y = 1 où x et y sot des etiers relatifs a Détermier le pgcd de 109 et 6 Que peut-o e coclure pour l équatio (E)? b Motrer que l esemble de solutios de (E) est l esemble des couples de la forme (141+6k, k), où k appartiet à Z E déduire qu il existe u uique etier aturel o ul d iférieur ou égal à 6 et u uique etier aturel o ul e tels que 109d = 1+6e (O précisera les valeurs des etiers d et e) Démotrer que 7 est u ombre premier 3 O ote A l esemble des 7 etiers aturels a tels que a 6 O cosidère les deux foctios f et g de A das A défiies de la maière suivate : à tout etier de A, f associe le reste de la divisio euclidiee de à tout etier de A, g associe le reste de la divisio euclidiee de a Vérifier que g[f(0)] = 0 O rappelle le résultat suivat appelé petit théorème de Fermat : 109 a par 7 ; 141 a par 7 Si p est u ombre premier et a u etier o divisible par p alors 6 b Motrer que, quel que soit l etier o ul a de A, 1[ modulo7] a c E utilisat 1 b, e déduire que, quel que soit l etier o ul a de A, g[f(a)]= a Que peut-o dire de f[(g (a)]= a? 4 83 Suite de restes, Polyésie, jui 005 (c) p 1 a 1modulo p O cosidère la suite (u ) d etiers aturels défiie par u 0 = 14, u +1 = 5u 6 pour tout etier aturel 1 Calculer u 1, u, u 3 et u 4 Quelle cojecture peut-o émettre cocerat les deux deriers chiffres de u? Motrer que, pour tout etier aturel, u u (modulo 4) E déduire que pour tout etier aturel k, +

37 Termiale S 37 F Laroche uk (modulo 4) et u k + 1 0(modulo4) 3 a Motrer par récurrece que, pour tout etier aturel, u = b E déduire que, pour tout etier aturel, u 8(modulo 100) 4 Détermier les deux deriers chiffres de l écriture décimale de u suivat les valeurs de 5 Motrer que le PGCD de deux termes cosécutifs de la suite (u ) est costat Préciser sa valeur Correctio 1 O calcule u 1 = 64, u = 314, u 3 = 1 564, u 4 = O peut cojecturer que u k = 14 et u k+1 = 64 u = 5u 6 = 5( 5u 6) 6 = 5u + 36 Or 4u [ 4] + + 1, doc ( )[ ] ( )[ ] [ ] u+ u + 4u u u 4 O e déduit par récurrece que u u [ ] or u [ ] doc, pour tout aturel k, [ ] k De même uk+ 1 u1[ 4 ] or u [ ] 1 = doc, pour tout aturel k, k 1 0[ 4] 3 a Au rag 0 : u 0 = 8 = : vrai + Supposos que pour l etier, o ait = alors u ( ) ( ) u uk 4 u+ 1 = 5u 6 = 5 u 1 = = = La relatio est doc vraie au rag +1 b O a + + u = + or 5 1[ 4] 5 5[ 100] 5 3 ( )[ ] [ ] u La relatio précédete doe u k, k e multipliat tout par 5 ; fialemet = + Z ; mais comme uk [ 4] et que 14 [ 4] k et doc lorsque k est pair u 14[ 100], lorsque k est impair 14 50[ 100] 64[ 100] 50 0[ 4] k u + k, il faut 5 O voit que le PGCD de 14 et 64 est ; il faut doc motrer que c est le cas Comme o a 5u u + 1 = 6, la relatio de Bézout motre que PGCD(u +1 ; u ) est u diviseur de 6 Or 3 divise 3 mais pas 5 doc 3 e + divise pas = Coclusio : PGCD(u +1 ; u ) = u 4 84 PGCD das suite, La Réuio, jui 005 Das cet exercice, o pourra utiliser le résultat suivat : «État doés deux etiers aturels a et b o uls, si PGCD(a ; b) = 1 alors PGCD(a ; b ) = 1» Ue suite (S ) est défiie pour >0 par S p= 1 ul, le plus grad commu diviseur de S et S +1 1 Démotrer que, pour tout > 0, o a : S 3 = p O se propose de calculer, pour tout etier aturel o ( + 1) = Étude du cas où est pair Soit k l etier aturel o ul tel que = k a Démotrer que PGCD( Sk ; Sk+ 1) = (k+ 1) PGCD( k ;( k+ 1) ) b Calculer PGCD (k ; k +1) c Calculer PGCD(S k ; S k+1 ) 3 Étude du cas où est impair Soit k l etier aturel o ul tel que = k +1 a Démotrer que les etiers k +1 et k +3 sot premiers etre eux b Calculer PGCD(S k+1 ; S k+ ) 4 Déduire des questios précédetes qu il existe ue uique valeur de, que l o détermiera, pour laquelle S et S +1 sot premiers etre eux

38 4 85 Fiboacci, Nelle-Calédoie, ov 004 (c) Das cet exercice a et b désiget des etiers strictemet positifs 1 a Démotrer que s il existe deux etiers relatifs u et v tels que au+ bv= 1 alors les ombres a et b sot premiers etre eux b E déduire que si ( ) a + ab b = 1 alors a et b sot premiers etre eux O se propose de détermier tous les couples d etiers strictemet positifs (a ; b) tels que ( a ab b ) + = 1 U tel couple sera appelé solutio a Détermier a lorsque a = b b Vérifier que (1 ; 1), ( ; 3) et (5 ; 8) sot trois solutios particulières c Motrer que si (a; b) est solutio et si a< b, alors a b < 0 3 a Motrer que si (x; y) est ue solutio différete de (1; 1) alors ( y x; x) et ( y; y+ x) sot aussi des solutios b Déduire de b trois ouvelles solutios 4 O cosidère la suite de ombres etiers strictemet positifs ( a) N défiie par a0 = a1 = 1 et pour tout etier, 0, a+ = a+ 1+ a Démotrer que pour tout etier aturel 0, ( a ; a + 1) est solutio E déduire que les ombres a et a + sot premiers etre eux 1 Correctio 1 a Démostratio de cours b ( a ab b ) ( ) + = a + ab b = 1 a a b b b 1 + = 1 Das les deux cas o peut écrire a + ab b = 1 b( b a) a a= 1 au+ bv= 1 : das le premier u= a+ v, v= b, das le secod u= b a, v= a 4 a + ab b = 1 a = 1 a= 1 (a > 0) a a = b : ( ) b (1; 1) est déjà fait, ( ; 3) : ( ) = 1 et (5 ; 8) : ( ) c a + ab b = 1: si o a a b > 0, alors a ab b valoir 1 das ce cas puisqu il serait positif Das tous les cas o a 3 a ( y x; x) est ue solutio ssi (x; y) est ue solutio : = ( ) = 1 + e peut pas valoir 1 ; de même ( y x y x x x ) ( y xy x xy x x ) ( y xy x ) a b < 0 ( ) + ( ) = + + = + = 1 ; Même calcul pour ( y; y+ x) a + ab b e peut b (; 3) est solutio doc (3 ;) = (1;) et (3;3+ ) = (3;5) e sot ; (5 ; 8) est solutio doc (8 5;5) = (3;5) et (8;5+ 8) = (8;13) e sot ; o a les ouvelles solutios : (1;), (3;5) et (8;13) 4 a0 = a1 = 1, a+ = a+ 1+ a Démostratio par récurrece : supposos que ( a ; a + 1) est solutio, alors ( y; y+ x) = ( a ; a + a ) = ( a ; a ) est solutio d après le 3 a Comme c est vrai au rag 0 : (1 ; 1) est solutio, c est toujours vrai La questio 1 b justifie alors que les ombres a et a + 1 sot premiers etre eux Remarque : ce est pas la faço la plus rapide de motrer que deux termes cosécutifs de la suite de Fiboacci sot premiers etre eux : soiet u +1 et u deux termes cosécutifs de la suite de Fiboacci Alors u +1 = u + u 1 ; soit d u diviseur commu positif de u +1 et u ; alors d divise u 1, doc d est u diviseur commu de u et u 1 Termiale S 38 F Laroche

39 E itérat (et e descedat), il viet : d est u diviseur commu de u 1 = 1 et u o = 1 doc d = 1 et u +1 et u sot premiers etre eux 4 86 QCM, Atilles, sept 004 (c) Pour chacue des six affirmatios, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, e justifiat le choix effectué 1 Le PGCD de 004 et 4 00 est 6 Si p et q sot deux etiers aturels o uls, pq 1 est divisible par p 1 et par q 1 3 Pour tout de N*, 1 est jamais divisible par 9 4 L esemble des couples d etiers solutios de l équatio : 4x + 35y = 9 est l esemble des couples : ( k ; 99 4k) où k Z 5 Soiet A et B deux poits disticts du pla ; si o ote f l homothétie de cetre A et de rapport 3 et g l homothétie de cetre B et de rapport 1 3 alors g f est la traslatio de vecteur AB Termiale S 39 F Laroche 6 Soit s la similitude d écriture complexe z = iz +(1 i), l esemble des poits ivariats de s est ue droite Correctio 1 Vrai : 4 00 = ; 004 = ; = Le derier reste o ul est bie 6 pq p Vrai : 1 ( ) q p q m m 1 m = 1= ( ) 1 ; or a 1 ( a 1 )( a a 1) 3 Faux : cotre-exemple : 6 1 = 63 est divisible par 9 = Faux : les méthodes habituelles doet les solutios (35k 144 ; 99 4k), k Z 5 Faux : soit M u poit du pla ; so image M 1 par f vérifie AM1 = 3AM Puis l image M de M1 par g vérifie BM1 = MA+ AB+ ( BA+ AM1 ) = MA+ AB+ BA+ 3AM= AB Vrai : les poits ivariats vérifiet z iz ( 1 i) x y 1 i( y x 1) 0 x y = + = qui est bie l équatio d ue droite 4 87 Cogrueces, Asie, jui 004 = +, soit avec z = x + iy, x+ iy= ix y+ 1 i, soit O appelle (E) l esemble des etiers aturels qui peuvet s écrire sous la forme 9+a où a est u etier aturel o ul ; par exemple 10 = 9+1 ; 13= 9+ etc O se propose das cet exercice d étudier l existece d élémets de (E) qui sot des puissaces de, 3 ou 5 1 Étude de l équatio d icoue a : a +9 = où a N, N, 4 a Motrer que si a existe, a est impair b E raisoat modulo 4, motrer que l équatio proposée a pas de solutio Étude de l équatio d icoue a : a +9 = 3 où a N, N, 3 a Motrer que si 3, 3 est cogru à 1 ou à 3 modulo 4 b Motrer que si a existe, il est pair et e déduire que écessairemet est pair c O pose = p où p est u etier aturel, p Déduire d ue factorisatio de 3 a, que l équatio proposée a pas de solutio 3 Étude de l équatio d icoue a : a +9 = 5 où a N, N, a E raisoat modulo 3, motrer que l équatio a pas de solutio si est impair b O pose = p, e s ispirat de c démotrer qu il existe u uique etier aturel a tel que a + 9 soit ue puissace etière de Repuit, Cetres étragers, jui 004 O se propose das cet exercice d étudier le problème suivat :

40 «Les ombres dot l écriture décimale utilise que le seul chiffre 1 peuvet-ils être premiers?» Pour tout etier aturel p, o pose N p = 11 où 1 apparaît p fois O rappelle dès lors que N p p 1 p 0 = Les ombres N = 11, N 3 = 111, N 4 = 1111 sot-ils premiers? Prouver que Termiale S 40 F Laroche N p p 10 1 = Peut-o être certai que 10 p 1 est divisible par 9? 9 3 O se propose de démotrer que si p est pas premier, alors N p est pas premier O rappelle que pour tout ombre réel x et tout etier aturel o ul, p 1 p x 1 = ( x 1)( x + x + + x+ 1) a O suppose que p est pair et o pose p = q, où q est u etier aturel plus grad que 1 Motrer que N p est divisible par N = 11 b O suppose que p est multiple de 3 et o pose p = 3q, où q est u etier aturel plus grad que 1 Motrer que N p est divisible par N 3 = 111 c O suppose p o premier et o pose p = kq où k et q sot des etiers aturels plus grads que 1 E déduire que N p est divisible par N k 4 Éocer ue coditio écessaire pour que N p soit premier Cette coditio est-elle suffisate? 4 89 Fermat et Bézout, Natioal, jui 004 (c) 1 Motrer que pour tout etier aturel o ul k et pour tout etier aturel x : k 1 ( x 1)(1 + x+ x + + x ) = x 1 Das toute la suite de l exercice, o cosidère u ombre etier a supérieur ou égal à d a Soit u etier aturel o ul et d u diviseur positif de : = dk Motrer que a 1 est u diviseur de a 1 b Déduire de la questio précédete que 3 Soiet m et deux etiers aturels o uls et d leur PGCD est divisible par 7, par 63 puis par 9 a O défiit m et par m = dm et = d E appliquat le théorème de Bézout à m et, motrer qu il existe des etiers relatifs u et v tels que mu v= d b O suppose u et v strictemet positifs Motrer que ( a 1) ( a 1) a = a 1 Motrer esuite que d a 1 est le PGCD de a 1 et de a 1 mu c Calculer, e utilisat le résultat précédet, le PGCD de Correctio v k mu v d d 63 1 et de O redémotre le théorème sur la somme des termes d ue suite géométrique : o développe k 1 k k 1 k ( x 1)(1 + x+ x + + x ) = ( x+ x + + x ) (1 + x+ x + + x ) = x 1 a = dk Remplaços x par d d a das la relatio précédete : d d d d( k 1) dk ( a 1)(1 + a + a + + a ) = a 1= a 1 a 1 est e facteur das a 1, c e est bie u diviseur b O effectue la décompositio e facteurs premiers de 004 : par = 3, 1= 7, 1= 15, 1= 63, 1= 4095, comme 9 divise 63 il divise égalemet = 3167doc est divisible est doc divisible par 7 et 63 ; 3 a Bézout dit : m et sot premiers etre eux si et seulemet si il existe u et v tels que um' + v' = 1 (ou um' v' = 1) O multiplie tout par d : udm' + vd' = d, soit um+ v= d(ou um v= d) b Développos : mu v+ d d d mu v+ d mu v+ d a 1 a + a = a 1 a a = 0 a = a mu= v+ d mu v= d

41 mu v d d Divisos la relatio ( a 1) ( a 1) a = a 1 par D= a 1 : qu il existe deux etiers tels que 1 A a B= D où etre eux et D est le PGCD de A et B c Le PGCD de 63 1 et de = 3 d où e preat a = : 4 90 Fermat, La Réuio, jui 004 d d mu a A= a d 1 et 1 mu v a 1 a 1 d a 1 d = d a 1 a 1 ; ceci motre v a B= a d 1 A et B sot doc premiers 1 est obteu e passat par le PGCD de 63 et 60 qui est d = 3 O a alors 63 A= 1, 60 B= 1 et 3 D= 1= 7 O rappelle la propriété, coue sous le om de petit théorème de Fermat : «Soit p u ombre premier et a u etier aturel premier avec p ; alors 1 Soit p u ombre premier impair a Motrer qu il existe u etier aturel k, o ul, tel que 1( p) k k p 1 a 1 est divisible par p» b Soit k u etier aturel o ul tel que 1( p) et soit u etier aturelmotrer que, si k divise, alors 1( p) b c Soit b tel que 1( p), b état le plus petit etier o ul vérifiat cette propriété Motrer, e utilisat la divisio euclidiee de par b, que si 1( p), alors b divise q Soit q u ombre premier impair et le ombre A= 1 O pred pour p u facteur premier de A a Justifier que : 1( p) b Motrer que p est impair b q c Soit b tel que 1( p), b état le plus petit etier o ul vérifiat cette propriété Motrer, e utilisat 1 que b divise q E déduire que b = q d Motrer que q divise p 1, puis motrer que p 1( q) 17 3 Soit A 1 = 1 Voici la liste des ombres premiers iférieurs à 400 et qui sot de la forme 34m+1, avec m etier o ul : 103, 137, 39, 307 E déduire que A 1 est premier 4 91 Restes chiois + pla, N Calédoie, sept a Soit p u etier aturel Motrer que l u des trois ombres p, p +10 et p +0, et l u seulemet est divisible par 3 b Les etiers aturels a, b et c sot das cet ordre les trois premiers termes d ue suite arithmétique de raiso 10 Détermier ces trois ombres sachat qu ils sot premiers Soit E l esemble des triplets d etiers relatifs (u, v, w) tels que 3u +13v +3w = 0 a Motrer que pour u tel triplet v w(mod3) b O pose v = 3k +r et w = 3k +r où k, k et r sot des etiers relatifs et 0 r Motrer que les élémets de E sot de la forme :( 13k 3k 1r, 3k + r, 3k + r) c L espace est rapporté à u repère orthoormal d origie O et soit P le pla d équatio 3x +13y +3z = 0 Détermier l esemble des poits M à coordoées (x, y, z) etières relatives apparteat au pla P et situés à l itérieur du cube de cetre O, de côté 5 et dot les arêtes sot parallèles aux axes 4 9 Eq dioph, Atilles, sept Soit l équatio (1) d icoue ratioelle x : 78x + ux + vx 14= 0où u et v sot des etiers relatifs 1 O suppose das cette questio que est solutio de l equatio (1) a Prouver que les etiers relatifs u et v sot liés par la relatio 14u + 39v = 1 19 Termiale S 41 F Laroche

42 b Utiliser l algorithme d Euclide, e détaillat les diverses étapes du calcul, pour trouver u couple (x ; y) d etiers relatifs vérifiat l équatio 14x + 39y = 1 Vérifier que le couple ( 5 ; 9) est solutio de cette équatio c E déduire u couple (u 0 ; v 0 ) solutio particulière de l équatio 14u + 39v = 1 19 Doer la solutio géérale de cette équatio c est-à-dire l esemble des couples (u ; v) d etiers relatifs qui la vérifiet d Détermier, parmi les couples (u ; v) précédets, celui pour lequel le ombre u est l etier aturel le plus petit possible a Décomposer 78 et 14 e facteurs premiers E déduire, das N, l esemble des diviseurs de 78 et l esemble des diviseurs de 14 b Soit p q ue solutio ratioelle de l équatio (1) d icoue x : 3 78x + ux + vx 14= 0 où u et v sot des etiers relatifs Motrer que si p et q sot des etiers relatifs premiers etre eux, alors p divise 14 et q divise 78 c E déduire le ombre de ratioels, o etiers, pouvat être solutios de l équatio (1) et écrire, parmi ces ratioels, l esemble de ceux qui sot positifs 4 93 Bézout, Frace, sept 003 O rappelle que 003 est u ombre premier 1 a Détermier deux etiers relatifs u et v tels que : 13u + 003v = 1 b E déduire u etier relatif k 0 tel que : 13 1[ 003] Termiale S 4 F Laroche k 0 c Motrer que, pour tout etier relatif x, 13x 456[ 003] si et seulemet si x 456k [ 003] d Détermier l esemble des etiers relatifs x tels que : 13x 456[ 003] e Motrer qu il existe u uique etier tel que : 1 00 Soit a u etier tel que : 1 a 00 et [ 003] a Détermier PGCD(a ; 003) E déduire qu il existe u etier m tel que : am 1[ 003] b Motrer que, pour tout etier b, il existe u uique etier x tel que : 1 x Cogrueces, Polyésie, sept 003 O désige par p u ombre etier premier supérieur ou égal à 7 et ax b[ 003] 0 Le but de l exercice est de démotrer que l etier aturel = p 1 est divisible par 40, puis d appliquer ce résultat 1 Motrer que p est cogru à 1 ou à 1 modulo 3 E déduire que est divisible par 3 E remarquat que p est impair, prouver qu il existe u etier aturel k tel que que est divisible par 16 4 p 1= 4 k( k+ 1), puis 3 E cosidérat tous les restes possibles de la divisio euclidiee de p par 5, démotrer que 5 divise 4 a Soiet a, b et c trois etiers aturels Démotrer que si a divise c et b divise c, avec a et b premiers etre eux, alors ab divise c b Déduire de ce qui précède que 40 divise 5 Existe-t-il quize ombres premiers p 1, p,, p 15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l etier soit u ombre premier? 4 95 Suite, Atilles, jui 003 (c) 1 a Calculer : ( 1+ 6 ), ( 1+ 6 ) 4, ( 1 6 ) p15 A= p + p b Appliquer l algorithme d Euclide à 847 et 34 Que peut-o e déduire?

43 Soit u etier aturel o ul O ote a et b les etiers aturels tels que : ( ) Termiale S 43 F Laroche 1+ 6 = a + b 6 a Que valet a 1 et b 1? D après les calculs de la questio 1 a, doer d autres valeurs de a et b b Calculer a +1 et b +1 e foctio de a et b c Démotrer que, si 5 e divise pas a + b, alors 5 e divise pas o plus a+ 1+ b+ 1 E déduire que, quel que soit etier aturel o ul, 5 e divise pas a + b d Démotrer que, si a et b sot premiers etre eux, alors a +1 et b +1 sot premiers etre eux E déduire que, quel que soit etier aturel o ul, a et b sot premiers etre eux Correctio 4 1 a ( 1+ 6 ) = = 7+ 6, ( ) ( ) 6 ( ) ( )( ) 1+ 6 = = = 7+ 6 = , b 847= ;34= ;163= ;16= doc 847 et 34 sot premiers etre eux 1+ 6 = a + b 6 ( ) a 1 1 a = 1, b = 1 ; a = 7, b = ; a3 = 73, b3 = 8, etc a+ 1 = a + 6b = = doc b+ 1 = a + b b a b ( a b )( ) a b ( a b ) + + a+ 1+ b+ 1 = a + 7b = a + b + 5b ; comme 5b est divisible par 5, si 5 e divise pas a + b, alors 5 e divise pas o plus a+ 1+ b+ 1 Par ailleurs 5 e divise pas a1 + b1 = doc par récurrece 5 e divise pas a + b c ( ) a+ 1 = a + 6b a+ 1 b+ 1 = 5b d b+ 1 = a + b 6b+ 1 a+ 1 = 5a Comme il est clair que a et b sot etiers, a+ 1 b+ 1 et 6b + 1 a + 1 sot divisibles par 5 Si a +1 et b +1 e sot pas premiers etre eux, il existe k tel que a+ 1 = kα, b+ 1 = kβ (k e peut être u multiple de 5 sio il se mettrait e facteur das a + b qui serait alors divisible par 5) Remplaços : ( α β ) ( β α ) a+ 1 b+ 1 = 5b 5b = k 6b+ 1 a+ 1 = 5a 5a = k 6 d où a et b ot u facteur commu ce qui est cotradictoire Par ailleurs a et b sot premiers etre eux doc par récurrece a et b sot premiers etre eux 4 96 PGCD, Asie, jui a Motrer que, pour tout etier aturel, est divisible par + 3 b Motrer que, pour tout etier aturel, est u etier aturel o ul Motrer que, pour tous les etiers aturels o uls a, b et c, l égalité suivate est vraie : 3 PGCD(a ; b) = PGCD(bc a ; b) 3 Motrer que, pour tout etier aturel, supérieur ou égal à, l égalité suivate est vraie : PGCD( ; + 3) = PGCD(48 ; + 3) 4 a Détermier l esemble des diviseurs etiers aturels de 48 b E déduire l esemble des etiers aturels tels que 4 97 Cogrueces, Liba, mai 003 Les suites d etiers aturels (x ) et (y ) sot défiies sur N par : soit u etier aturel + 3

44 x0 = 3, x+ 1 = x 1 y0 = 1, y+ 1 = y+ 3 1 Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, x + 1 = + 1 a Calculer le PGCD de x 8 et x 9, puis celui de x 00 et x 003 Que peut-o e déduire pour x 8 et x 9 d ue part, pour x 00 et x 003 d autre part? b x et x + 1 sot-ils premiers etre eux pour tout etier aturel? 3 a Démotrer que pour tout etier aturel, x y = 5 b Exprimer y e foctio de c E utilisat les cogrueces modulo 5, étudier suivat les valeurs de l etier aturel p le reste de la divisio euclidiee de p par 5 d O ote d le PGCD de x et y pour tout etier aturel Démotrer que l o a d = 1 ou d = 5 ; e déduire l esemble des etiers aturels tels que x et y soiet premiers etre eux 4 98 Repuit, Am du Sud, décembre 00 O cosidère la suite d etiers défiie par a = (l écriture décimale de a est composée de chiffres 1) O se propose de motrer que l u, au mois, des termes de la suite est divisible par E écrivat a sous la forme d ue somme de puissaces de 10, motrer que pour tout etier aturel o ul, a 10 1 = 9 O cosidère la divisio euclidiee par 001 : expliquer pourquoi parmi les 00 premiers termes de la suite, il e existe deux, au mois, ayat le même reste Soit a et a p deux termes de la suite admettat le même reste ( < p) Quel est le reste de la divisio euclidiee de a p a par 001? 3 Soit k et m deux etiers strictemet positifs vérifiat k < m Démotrer l égalité : a 10 k m ak = am k 4 Calculer le PGCD de 001 et de 10 Motrer que si 001 divise am ak, alors 001 divise am k 5 Démotrer alors que l u, au mois, des termes de la suite est divisible par Eq dioph, N Calédoie, ov 00 O cosidère deux etiers aturels, o uls, x et y premiers etre eux O pose S = x + y et P = xy 1 a Démotrer que x et S sot premiers etre eux, de même que y et S b E déduire que S = x + y et P = xy sot premiers etre eux c Démotrer que les ombres S et P sot de parités différetes (l u pair, l autre impair) Détermier les diviseurs positifs de 84 et les rager par ordre croissat 3 Trouver les ombres premiers etre eux x et y tels que : SP = 84 4 Détermier les deux etiers aturels a et b vérifiat les coditios suivates : a+ b= 84 avec d = PGCD(a ; b) 3 ab= d (o pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers etre eux) Bézout+rotatio, Frace, sept 00 O cosidère u rectagle direct ABCD vérifiat : AB = 10 cm et AD = 5 cm Termiale S 44 F Laroche

45 1 Faire ue figure : costruire ABCD, puis les images respectives M, N et P de B, C et D par la rotatio r de cetre A et d agle π a Costruire le cetre Ω de la rotatio r qui vérifie r (A) = N et r (B) = P Détermier l agle de r b Motrer que l image de ABCD par r est AMNP 1 c Détermier la ature et les élémets caractéristiques de la trasformatio r r' 3 O cosidère les images successives des rectagles ABCD et AMNP par la traslatio de vecteur DM Sur la demi-droite [DA), o défiit aisi la suite de poits (A k ), k > 1, vérifiat, e cm, DA = 5+ 15k Sur la même demi-droite, o cosidère la suite de poits (E ), > 1, vérifiat, e cm, DE = 6,55 a Détermier l etier k tel que E 10 appartiee à [A k, A k+1 ] Que vaut la logueur A k E 10 e cm? b O cherche das cette questio pour quelle valeur miimale 0 le poit poit A k Motrer que si u poit E est cofodu avec u poit A k alors k = 100 Vérifier que les ombres = et k = formet ue solutio de cette équatio Détermier la valeur miimale 0 recherchée Bézout & suites, Asie, jui x+ 1 = x+ y+ 1 O cosidère les suites (x ) et (y ) défiies par x 0 = 1, y 0 = 8 et 3 3, N 0 8 y+ 1 = x+ y k E 0 est cofodu avec u 1 Motrer, par récurrece, que les poits M de coordoées (x ; y ) sot sur la droite ( ) dot ue équatio est 5x y + 3 = 0 E déduire que x+ 1 = 4x + Motrer, par récurrece, que tous les x sot des etiers aturels E déduire que tous les y sot aussi des etiers aturels 3 Motrer que : a x est divisible par 3 si et seulemet si y est divisible par 3 b Si x et y e sot pas divisibles par 3, alors ils sot premiers etre eux 1 4 a Motrer, par récurrece, que ( 4 5 ) x = 3 b E déduire que 4 5 est u multiple de 3, pour tout etier aturel 4 10 Triplets pythag, C étragers, jui 00 Soit p u ombre premier doé O se propose d étudier l existece de couples (x ; y) d etiers aturels strictemet positifs vérifiat l équatio : Termiale S 45 F Laroche

46 (E) : x + y = p 1 O pose p = Motrer que l équatio (E) est sas solutio O suppose désormais que p est différet de et que le couple (x ; y) est solutio de l équatio (E) Le but de cette questio est de prouver que x et y sot premiers etre eux a Motrer que x et y sot de parités différetes b Motrer que x et y e sot pas divisibles par p c E d éduire que x et y sot premiers etre eux 3 O suppose maiteat que p est ue somme de deux carrés o uls, c est-à-dire : et v sot deux etiers aturels strictemet positifs a Vérifier qu alors le couple ( u v ; uv) est solutio de l equatio (E) b Doer ue solutio de l équatio (E), lorsque p = 5 puis lorsque p = 13 p= u + v où u 4 O se propose efi de vérifier sur deux exemples, que l équatio (E) est impossible lorsque p est pas somme de deux carrés a p = 3 et p = 7 sot-ils somme de deux carrés? b Démotrer que les équatios strictemet positifs Bézout, Frace, jui 00 x + y = 9 et x + y = 49 admettet pas de solutio e etiers aturels 1 O cosidère l équatio (E) : 6x + 7y = 57 où x et y sot des etiers relatifs a Détermier u couple d etiers relatifs (u ; v) tel que 6u + 7v = 1 ; e déduire ue solutio particulière (x 0 ; y 0 ) de l équatio (E) b Détermier les couples d etiers relatifs solutios de l équatio (E) Soit u repère orthoormal ( O; i, j, k ) de l espace O cosidère le pla (P) d équatio : 6x + 7y + 8z = 57 O cosidère les poits du pla (P) qui appartieet aussi au pla ( O; i, j) Motrer qu u seul de ces poits a pour coordoées des etiers aturels ; détermier les coordoées de ce poit 3 O cosidère u poit M du pla (P) dot les coordoées x, y et z sot des etiers aturels a Motrer que l etier y est impair b O pose y = p + 1 où p est u etier aturel Motrer que le reste das la divisio euclidiee de p + z par 3 est égal à 1 c O pose p + z = 3q + 1 où q est u etier aturel Motrer que les etiers aturels x, p et q vérifiet la relatio : x + p + 4q = 7 E déduire que q pred les valeurs 0 ou 1 d E déduire les coordoées de tous les poits de (P) dot les coordoées sot des etiers aturels PGCD, Polyésie, jui 00 est u etier aturel supérieur ou égal à 1 Motrer que et + 1 sot premiers etre eux O pose α = + 3 et β = + 1 et o ote δ le PGCD de α et β a Calculer α β et e déduire les valeurs possibles de δ b Démotrer que α et β sot multiples de 5 si et seulemet si ( ) est multiple de 5 3 O cosidère les ombres a et b défiis par : 3 a= + 3 b = 1 Termiale S 46 F Laroche

47 Motrer, après factorisatio, que a et b sot des etiers aturels divisibles par ( 1) 4 a O ote d le PGCD de ( + 3) et de ( + 1) Motrer que δ divise d, puis que δ = d b E déduire le PGCD,, de a et b e foctio de c Applicatio : Détermier pour = 001 ; détermier pour = Caledrier, Am du Nord, mai 00 Soit (E) l esemble des etiers aturels écrits, e base 10, sous la forme abba où a est u chiffre supérieur ou égal à et b est u chiffre quelcoque Exemples d élémets de (E) : 00 ; 3773 ; 9119 Les parties A et B peuvet être traitées séparémet Partie A : Nombre d élémets de (E) ayat 11 comme plus petit facteur premier 1 a Motrer que si u ombre etier a pas de diviseur premier iférieur à alors il e a pas de supérieur à 1 b Décomposer 1001 e produit de facteurs premiers c Motrer que tout élémet de (E) est divisible par 11 a Quel est le ombre d élémets de (E)? b Quel est le ombre d élémets de (E) qui e sot i divisibles par i par 5? 3 Soit u élémet de (E) s écrivat sous la forme abba a Motrer que : «est divisible par 3» équivaut à «a + b est divisible par 3» b Motrer que : «est divisible par 7» équivaut à «b est divisible par 7» 4 Déduire des questios précédetes le ombre d élémets de (E) qui admettet 11 comme plus petit facteur premier Partie B : Etude des élémets de (E) correspodat à ue aée bissextile Soit (F) l esemble des élémets de (E) qui correspodet à ue aée bissextile O admet que pour tout élémet de (F), il existe des etiers aturels p et q tels que : = p et = q 1 O cosidère l équatio (e) : 4p 11q = où p et q sot des etiers relatifs Vérifier que le couple (6 ; ) est solutio de l équatio (e) puis résoudre l équatio (e) E déduire que tout etier de (F) peut s écrire sous la forme k où k est u etier relatif 3 A l aide de la calculatrice détermier les six plus petits élémets de (F) NB : Liste des ombres premiers iférieurs à 40 : ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 3 ; 9 ; 31 ; Divisibilité, N Calédoie, déc 001 Partie I Soit x u ombre réel 4 x + 4= x + 4x 1 Motrer que ( ) E déduire que x 4 +4 peut s écrire comme produit de deux triômes à coefficiets réels Partie II Soit u etier aturel supérieur ou égal à O cosidère les etiers A = + et B = + + et d leur PGCD 1 Motrer que 4 +4 est pas premier Motrer que, tout diviseur de A qui divise, divise 3 Motrer que, tout diviseur commu de A et B, divise 4 4 Das cette questio o suppose que est impair a Motrer que A et B sot impairs E déduire que d est impair b Motrer que d divise Termiale S 47 F Laroche

48 c E déduire que d divise, puis que A et B sot premiers etre eux 5 O suppose maiteat que est pair a Motrer que 4 e divise pas + b Motrer que d est de la forme d = p, où p est impair c Motrer que p divise E déduire que d = (O pourra s ispirer de la démostratio utilisée à la questio 4) PGCD & PPCM, Atilles, sept Soiet a et b des etiers aturels o uls tels que PGCD(a + b ; ab) = p, où p est u ombre premier a Démotrer que p divise a (O remarquera que a = a(a +b) ab) b E déduire que p divise a O costate doc, demême, que p divise b c Démotrer que PGCD(a ; b) = p O désige par a et b des etiers aturels tels que a b a Résoudre le système Termiale S 48 F Laroche PGCD( a; b) = 5 PPCM( a; b) = 170 PGCD( a+ b; ab) = 5 b E déduire les solutios du système : PPCM( a; b) = PGCD, Am du Sud, sept poits Soit u etier aturel o ul O cosidère les ombres a et b tels que : 1 Motrer que +1 divise a et b a = et b = + U élève affirme que le PGCD de a et b est +1 So affirmatio est-elle vraie ou fausse? (La répose sera justifiée) Similitude & Bézout, Frace, jui poits Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal ( O; u, v) [uité graphique : 6 cm] O cosidère la trasformatio f du pla qui, à tout poit M d affixe z associe le poit M 0 d affixe z 0 défiie par 0 5π i 6 z = e et o défiit ue suite de poits (M ) de la maière suivate : M 0 a pour afflxe z = e et, pour tout etier aturel, M +1 = f (M ) O appelle z l affixe de M 0 i π 1 Détermier la ature et les élémets caractéristiques de f Placer les poits M 0, M 1, M Motrer que pour tout etier aturel, o a l égalité par récurrece) π 5π i + 6 z = e (o pourra utiliser u raisoemet 3 Soiet deux etiers et p tels que soit supérieur ou égal à p Motrer que deux poits M et M p sot cofodus si, et seulemet si, ( p) est multiple de 1 4 a O cosidère l équatio (E) : 1x 5y = 3 où x et y sot des etiers relatifs Après avoir vérifié que le couple (4 ; 9) est solutio, résoudre l équatio (E) b E déduire l esemble des etiers aturels tels que M appartiee à la demi-droite [Ox) Caledrier, C étragers, jui poits

49 U astroome a observé au jour J 0 le corps céleste A, qui apparaît périodiquemet tous les 105 jours Six jours plus tard (J 0 + 6), il observe le corps B, dot la période d apparitio est de 81 jours O appelle J 1 le jour de la prochaie apparitio simultaée des deux objets aux yeux de l astroome Le but de cet exercice est de détermier la date de ce jour J 1 1 Soiet u et v le ombre de périodes effectuées respectivemet par A et B etre J 0 et J 1 Motrer que le couple (u ; v) est solutio de l équatio (E 1 ) : 35x 7y = a Détermier u couple d etiers relatifs (x 0 ; y 0 ) solutio particulière de l équatio (E) : 35x 7y = 1 b E déduire ue solutio particulière (u 0 ; v 0 ) de (E 1 ) c Détermier toutes les solutios de l équatio (E 1 ) d Détermier la solutio (u ; v) permettat de détermier J 1 3 a Combie de jours s écoulerot etre J 0 et J 1? b Le jour J 0 était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J 1? (L aée 000 était bissextile) c Si l astroome maque ce futur redez-vous, combie de jours devra-t-il attedre jusqu à la prochaie cojoctio des deux astres? Bézout, Atilles, jui poits 1 Soit B ue boîte e forme de pavé droit de hauteur L, à base carrée de côté l, où l et L sot des etiers aturels o uls tels que l < L O veut remplir la boîte B avec des cubes tous idetiques dot l arête a est u etier aturel o ul (les cubes devat remplir complètemet la boîte B sas laisser d espace vide) a Das cette questio, l = 88 et L = 945 Quelle est la plus grade valeur possible pour a? Quelles sot les valeurs possibles pour a? b Das cette questio, le volume de la boîte B est v = O sait que, pour remplir la boîte B, la plus grade valeur possible de a est 1 Motrer qu il y a exactemet deux boîtes B possibles, dot o doera les dimesios O veut remplir ue caisse cubique C, dot l arête c est u etier aturel o ul, avec des boîtes B toutes idetiques telles que décrites das la questio 1 (Les boîtes B, empilées verticalemet, doivet remplir complètemet la caisse C sas laisser d espace vide) a Das cette questio, l = 88 et L = 945 Quelle est la plus petite arête c pour la caisse C? Quel est l esemble de toutes les valeurs possibles pour l arête c? b Das cette questio, le volume de la boîte B est O sait que la plus petite arête possible pour la caisse C est 105 Quelles sot les dimesios l et L de la boîte B? 4 11 Bézout, Am du Nord, jui poits 1 Motrer que, pour tout etier relatif, les etiers et sot premiers etre eux Termiale S 49 F Laroche

50 O cosidère l équatio (E) : 87x + 31y = où x et y sot des etiers relatifs a Vérifier, e utilisat par exemple la questio 1, que 87 et 31 sot premiers etre eux E déduire u couple (u ; v) d etiers relatifs tel que 87u + 31v = 1 puis ue solutio (x 0 ; y 0 ) de (E) b Détermier l esemble des solutios de (E) das Z c Applicatio : Détermier les poits de la droite d équatio 87x 31y = 0 dot les coordoées sot des etiers aturels et dot l abscisse est comprise etre 0 et 100 Idicatio :O remarquera que le poit M de coordoées (x ; y) appartiet à la droite (D) si, et seulemet si, le couple (x ; y) vérifie l équatio (E) Repuit, Podicherry, jui 001 (c) 4 poits 1 O cosidère l équatio (1) d icoue (, m) élémet de Z : 11 4m = 1 a Justifier, à l aide de l éocé d u théorème, que cette équatio admet au mois ue solutio b E utilisat l algorithme d Euclide, détermier ue solutio particulière de l équatio (1) c Détermier l esemble des solutios de l équatio (1) Recherche du PGCD de et a Justifier que 9 divise et b (, m) désigat u couple quelcoque d etiers aturels solutios de (1), motrer que l o peut écrire ( ) 10(10 4m 1) = 9 c Motrer que divise (o rappelle l égalité a 1 = (a 1)(a 1 +a + +a 0 ), valable pour tout etier aturel o ul) Déduire de la questio précédete l existece de deux etiers N et M tels que : ( )N (10 4 1)M = 9 d Motrer que tout diviseur commu à et divise 9 e Déduire des questios précédetes le PGCD de et Correctio 1 a 11 4m = 1 : grâce à Bézout, o sait que l équatio a des solutios car 11 et 4 sot premiers etre eux b 4=11+, 11=5+1 doc 1=11 5(4 11)= Ue solutio particulière de l équatio est (11, 5) 11 4m= 1 11= 4k 11 11= 4 m 5, k Z car 11 et 4 sot premiers etre eux = 1 m 5= 11k c ( ) ( ) a = = = C est pareil pour m 11 4m m = = ; or si (, m) est solutio de (1), b ( ) ( ) 11 4m m+ 1 o a 11= 4m = = 0 c E utilisat a 1 = (a 1)(a 1 +a + +a 0 ) avec a = 10 11, o a ( ) 11( 1) ( ) = 10 1 doc divise De même divise 10 4m 1, et il existe N et M tels que : 11 4m m 4 4 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = = 9 d Soit d u diviseur commu de et : d divise ( ) N ( ) N M M et doc divise 9 e Les diviseurs de 9 sot 1, 3 et 9 sot les seuls diviseurs commus de et Comme 9 divise et , c est leur PGCD Termiale S 50 F Laroche

51 4 114 PGCD & PPCM, N Calédoie, jui poits Das tout l exercice x et y désiget des etiers aturels o uls vérifiat x < y S est l esemble des couples (x, y) tels que PGCD(x, y) = y x 1 a Calculer le PGCD(363, 484) b Le couple (363, 484) appartiet-il à S? Soit u etier aturel o ul ; le couple (, +1) appartiet-il à S? Justifier votre répose 3 a Motrer que (x, y) appartiet à S si et seulemet si il existe u etier aturel k o ul tel que Termiale S 51 F Laroche x = k(y x) et y = (k +1)(y x) b E déduire que pour tout couple (x, y) de S o a : PPCM(x, y) = k(k +1)(y x) 4 a Détermier l esemble des etiers aturels diviseurs de 8 b E déduire l esemble des couples (x, y) de S tels que PPCM(x, y) = Bézout, Polyésie, jui 001 (c) 4 poits 1 O cosidère x et y des etiers relatifs et l équatio (E) 91x +10y = 1 a Éocer u théorème permettat de justifier l existece d ue solutio à l équatio (E) b Détermier ue solutio particulière de (E) et e déduire ue solutio particulière de l équatio (E ) : 91x +10y = 41 c Résoudre (E ) Motrer que les ombres etiers A = 3 1, où est u etier aturel o ul, sot divisibles par 8 3 O cosidère l équatio (E ) A 3 x + A y = 396 a Détermier les couples d etiers relatifs (x, y) solutios de l équatio (E ) b Motrer que (E ) admet pour solutio u couple uique d etiers aturels Le détermier Correctio 1 a 91 et 10 sot premiers etre eux, l équatio (E) a des solutios d après Bézout b x=1, y= 9 est ue solutio de (E) doc 41 et 3708 sot des solutios de (E ) 91x+ 10y= 41 x 41= 10k x= 41 10k = = 41 y+ 3708= 91k y= k c ( x ) ( y ) 3 ( 3 ) 9 1 [ 8] 1[ 8] 3 1 0[ 8] = = 3 a A 3 = 78, A = 80, o divise par 8 : 78x+ 80y= x+ 10y= 41 Les solutios sot celles du 1c x= 41 10k 0 k 41, b Il faut que les solutios soiet positives : k= 41 et doc y= k 0 k 3708/91= 40,7 l uique solutio est (; 3) Bézout & rotatio, Atilles, jui poits Les poits A 0 = O ; A 1 ; ; A 0 sot les sommets d u polygoe régulier de cetre A, à 1 côtés, de ses direct Les poits B 0 = O ; B 1 ; ; B 14 sot les sommets d u polygoe régulier de cetre B, à 15 côtés, de ses direct Soit r A la rotatio de cetre A et d agle π et rb la rotatio de cetre B et d agle π 1 15 O défiit la suite (M ) de poits par : - M 0 est l u des poits A 0, A 1, A,, A 0 ;

52 - pour tout etier aturel, M r ( M ) O défiit la suite (P ) de poits par : Termiale S 5 F Laroche 1 A + = - P 0 est l u des poits B 0, B 1, B,, B 14 - pour tout etier aturel, P r ( P ) + 1 = B Le but de l exercice est de détermier, pour deux cas particuliers, l esemble S des etiers aturels vérifiat : 1 Das cette questio, M 0 = P 0 = O M = P = O a Idiquer la positio du poit M 000 et celle du poit P 000 b Détermier le plus petit etier aturel o ul tel que M = P = O E déduire l esemble S Das cette questio, M 0 = A 19 et P 0 = B 10 O cosidère l équatio (E) : 7x 5y =1 avec x Z et y Z a Détermier ue solutio particulière (a ; b) de (E) b Détermier l esemble des solutios de (E) c E déduire l esemble S des etiers aturels vérifiat M = P =O PGCD, La Réuio, jui poits Pour tout etier aturel supérieur ou égal à 5, o cosidère les ombres b= Motrer, après factorisatio, que a et b sot des etiers aturels divisibles par 4 O pose α = + 1 et β = + 3 O ote d le PGCD de α et β a Établir ue relatio etre α et β idépedate de b Démotrer que d est u diviseur de 5 3 a= 1 et c Démotrer que les ombres α et β sot multiples de 5 si et seulemet si est multiple de 5 3 Motrer que +1 et sot premiers etre eux 4 a Détermier, suivat les valeurs de et e foctio de, le PGCDde a et b b Vérifier les résultats obteus das les cas particuliers = 11 et = Bézout, Polyésie, jui poits 1 O cherche deux etiers relatifs x et y solutios de l équatio (1) ax + by = 60 (a et b etiers aturels doés tels que ab 0) O otera d le plus grad commu diviseur de a et b a O suppose que l équatio (1) a au mois ue solutio (x 0 ; y 0 ) Motrer que d divise 60 b O suppose que d divise 60 Prouver qu il existe alors au mois ue solutio (x 0 ; y 0 ) à l équatio (1) O cosidère l équatio () : 4x + 36y = 60 (x et y etiers relatifs) a Doer le PGCD de 4 et 36 e justifiat brièvemet Simplifier l équatio () b Trouver ue solutio évidete pour l équatio () et résoudre cette équatio O appellera S l esemble des couples (x ; y) solutios c Éumérer tous les couples (x; y) solutios de () et tels que : 10 x 10 Doer parmi eux, ceux pour lesquels x et y sot multiples de 5 d Das le pla rapporté à u repère orthoormal (uité graphique : 1 cm), représeter l esemble E des x= 1+ 3 t poits M de coordoées (x; y) telles que :, t R y = 1 t e Motrer que les poits ayat pour coordoées les solutios (x ; y) de l équatio () appartieet à E Commet peut-o caractériser S?

53 4 119 Bézout et plas, Asie jui poits 1 Détermier PGCD(688 ; 304) Das cette questio, x et y sot deux etiers relatifs a Motrer que les équatios (1) et () sot équivaletes Termiale S 53 F Laroche (1) 688x + 304y = 3360 ; () 8x + 9y = 10 b Vérifier que (1 ; ) est ue solutio particulière de l équatio () c Déduire de ce qui précède les solutios de () 3 Soit u repère orthoormal ( O; i, j, k ) de l espace O cosidère les plas (P) et (Q) d équatios respectives x + y z = et 3x y + 5z = 0 a Motrer que (P) et (Q) se coupet suivat ue droite (D) b Motrer que les coordoées des poits de (D) vérifiet l équatio () c E déduire l esemble E des poits de (D) dot les coordoées sot des etiers relatifs 4 10 Homothétie & multiples, Liba, mai 000 (c) 5 poits 1 Le pla (P) est rapporté à u repère orthoormal direct ( O; u, v) Soit A et B das ce pla d affixes respectives a = 1 + i ; b = 4 i Soit f la trasformatio du pla (P) qui à tout poit M d affixe z associe le poit M d affixe z tel que OM' = AM+ BM a Exprimer z e foctio de z b Motrer que f admet u seul poit ivariat Ω dot o doera l affixe E déduire que f est ue homothétie dot o précisera le cetre et le rapport O se place das le cas où les coordoées x et y de M sot des etiers aturels avec 1 x 8 et 1 y 8 Les coordoées (x ; y ) de M sot alors : x = 3x + et y = 3y 1 a O appelle G et H les esembles des valeurs prises respectivemet par x et y Écrire la liste des élémets de G et H b Motrer que x y est u multiple de 3 c Motrer que la somme et la différece de deux etiers quelcoques ot même parité O se propose de détermier tous les couples (x ; y ) de G H tels que m= x' y' soit u multiple o ul de 60 d Motrer que das ces coditios, le ombre x y est u multiple de 6 Le ombre x y peut-il être u multiple de 30? e E déduire que, si x y est u multiple o ul de 60, x + y est multiple de 10 et utiliser cette coditio pour trouver tous les couples (x ; y ) qui covieet E déduire les couples (x ; y) correspodat aux couples (x ; y ) trouvés Correctio z' = z a + z b = 3z a b= 3z 6 i 1 a ( ) ( ) b 1 z= 3z+ i z= + i z= 1+ i O a Ω M' = 3ΩM doc f est ue homothétie de cetre Ω et de rapport 3 x = 3x + et y = 3y 1, et 1 y 8 a 1 x 8 doc 3 1+ x' x' 6 et 1 y 8 doc y' y' 3

54 b x' y' 3x 3y 1 3x 3y 3 3( x y 1) = + + = + = + c Si o pred deux etiers pairs ou impairs, la somme est paire, la différece égalemet ; si o pred deux etiers de parité différete, la somme est impaire, la différece égalemet d m= x' y' = 60 k ( x' y' )( x' + y' ) = 60k ; x y x y x y ( x y) ' + ' = = = Si x et y sot de parité différete, x' y' et x' + y' sot impairs et leur produit égalemet ; ce e peut être u multiple de 60 Doc x et y sot de parité idetique ; comme x' y' est u multiple de 3 et pair, c est u multiple de 6 Si le ombre x y est u multiple de 30, x y+ 1 est u multiple de 10, or x et y sot plus petits que 8, c est impossible e Comme x' y' est u multiple de 6 et pas de 30, x' y' est pas divisible par 5 ; pour que x' y' soit u multiple o ul de 60, il faut doc que x + y soit divisible par 5 ; comme il est pair, c est u multiple de 10 x' y' = 6p x' = 6p+ 10 q x' = 5q+ 3p O a alors avec p = 1 ou et q = 1,, 3 ou 4, ce qui x' + y' = 10q y' = 10q 6 p y' = 5q 3p doe : p q x y x y x y /3 8/ /3 13/ /3 5/ /3 10/ et doc les solutios e x et y : ( ;1 ),( 7;6 ),( 8;5 ) O pouvait le faire rapidemet avec Excel x x y y Cogrueces, Podicherry, mai 000 (c) 5 poits 1 a Pour 1 6, calculer les restes de la divisio euclidiee de 3 par 7 Termiale S 54 F Laroche

55 6 b Démotrer que, pour tout, est divisible par 7 E déduire que das la divisio par 7 c A l aide des résultats précédets, calculer le reste de la divisio euclidiee de et 3 ot même reste par 7 d De maière géérale, commet peut-o calculer le reste de la divisio euclidiee de 3 par 7, pour quelcoque? e E déduire que, pour tout etier aturel, 3 est premier avec 7 Soit u 1 1 = = 3, etier supérieur ou égal à 1 a Motrer que ( 3 1 ) u = i= 0 b Détermier les valeurs de telles que u soit divisible par 7 c Détermier tous les diviseurs de u 6 Correctio 1 a i = 1 1[7],3 = 3 3[7],3 = 9 [7],3 3 [7] 6[7],3 4[7],3 5[7],3 1[7] Tous les 6 termes o retoure au poit de départ 6 6 b ( 3 1) + = or 6 3 1[7] doc c Divisos 1000 par 6 : [7] est divisible par = + doc ( ) = 3 3 ; comme 6 3 1[7] et 4 3 4[7],o a d E divisat par 6 o a ue partie qui sera cogrue à 1 et l autre tombera das les restes calculés au 1a e E aucu cas o e peut trouver u reste ul doc pour tout etier aturel, 3 est premier avec 7 1 a O a la somme des termes d ue suite géométrique de raiso 3, de premier terme 1 : ( 3 1 ) b u est divisible par 7 lorsque 3 1[7], soit lorsque est u multiple de 6 6 c u6 ( )( ) = = + = ; tous les diviseurs sot doc 1, 13, 7, 91,, 6, 14, 18, 4, 5, 8, PGCD & parité, N Calédoie, déc poits Soit u etier aturel o ul, o cosidère les etiers suivats : N = et M = O suppose que est u etier pairopose = p, avec p etier aturel o ul a Motrer que M et N sot des etiers impairs b E remarquat que N = M +, détermier le PGCD de M et N O suppose que est u etier impair O pose = p + 1, avec p etier aturel a Motrer que M et N sot des etiers pairs b E remarquat que N = M +, détermier le PGCD de M et N 3 Pour tout etier aturel o ul, o cosidère l etier 81 1 a Exprimer l etier 81 1 e foctio des etiers M et N b Démotrer que si est pair alors 81 1 est impair c Démotrer que 81 1 est divisible par 4 si et seulemet si est impair u = Termiale S 55 F Laroche

56 4 13 Bases, Am du Sud, ov poits O cosidère l équatio (1) : 0b 9c = où les icoues b et c appartieet à l esemble Z des ombres etiers relatifs 1 a Motrer que si le couple (b 0 ; c 0 ) d etiers relatifs est ue solutio de l équatio (1), alors c 0 est u multiple de b O désige par d le pgcd de b 0 et c 0 Quelles sot les valeurs possibles de d? Détermier ue solutio particulière de l équatio (1), puis détermier l esemble des solutios de cette équatio 3 Détermier l esemble des solutios (b ; c) de (1) telles que pgcd(b ; c) = 4 Soit r u ombre etier aturel supérieur ou égal à Le ombre etier aturel P, détermié par où P= α r + α r + + α r+ α α, α,, α, α sot des ombres etiers aturels vérifiat 0< α< r, 0 α 1< r,, 0 α1< r, ( r) 0 α0 < r est oté αα 1 α1α0 ; cette écriture est dite «écriture de P e base r» Soit P u ombre etier aturel s écrivat (6) ca 5 et (4) bbaa (e base six et e base quatre respectivemet) Motrer que a+5 est u multiple de 4 et e déduire les valeurs de a, puis de b et de c Doer l écriture de P das le système décimal 4 14 Bézout, Liba, jui 1999 (c) 5 poits (éocé modifié par rapport à l origial) Le ombre est u etier aturel o ul ; o pose a = et b = 5 + et o ote d le PGCD de a et b 1 Complétez le tableau ci-dessous Quelle cojecture pouvez vous faire sur d? a b d Calculer 5a 4b et e déduire les valeurs possibles de d 3 O cosidère l équatio (E) : 7k 4 = 3, où et k sot deux etiers aturels o uls a Détermier ue solutio particulière de (E), puis tous les couples solutios de (E) b E déduire tous les couples d etiers aturels ( ; k) solutios tels que = 7k 4 Détermier, à l aide des cogrueces, les etiers aturels tels que 5 + soit divisible par 7 5 Soit r le reste de la divisio euclidiee de par 7 Déduire des questios précédetes la valeur de r pour laquelle d vaut 7 Pour quelles valeurs de r, d est-il égal à 1? Termiale S 56 F Laroche

57 Correctio 1 a b d Il semble que lorsque 1[ 7], d = 7 sio d = 1 5a 4b= = 7 d divise 7 doc d = 1 ou d = 7 3 a (E) : 7k 4 = 3 : la solutio k = 1, = 1 est évidete E appliquat la méthode habituelle o a : 7k 4= = = = 3 ( k ) ( ) ( k ) ( ) comme 4 e divise pas 7 il divise k 1, de même comme 7 e divise pas 4 il divise 1 et fialemet k 1= 4p k= 1+ 4p, p Z, p Z 1= 7p = 1+ 7p k= 1+ 4p 0 p 1/4 b (; k) etiers aturels : p 0 = 1+ 7p 0 p 1/7 4 a Avec u petit tableau : mod Doc 5 + est divisible par 7 lorsque 1[ 7] 5 D après la questio 3 o a 4 3 7k + = lorsque 1[ 7] ;, de même pour 5 7k et b sot divisibles par 7 qui est alors la valeur de d ; il faut doc r = 1 Pour toutes les autres valeurs de r, i a i b e sot divisibles par 7 et d = Bézout & pla, C étragers, jui poits + = Lorsque 1[ 7] Le but de cet exercice est d utiliser les solutios d ue équatio à deux icoues etières pour résoudre u problème das l espace 1 a Détermier u couple (x 0 ; y 0 ) d etiers relatifs solutios de l équatio : 48x + 35y = 1 (O pourra utiliser l algorithme d Euclide pour la recherche du PGCD de deux ombres) b Déduire de 1 a tous les couples d etiers relatifs (x ; y) solutios de cette équatio L espace état rapporté à u repère orthoormal, o doe le vecteur u de coordoées (48 ; 35 ; 4) et le poit A de coordoées ( 11 ; 35 ; 13), a Termiale S 57 F Laroche

58 a Préciser la ature et doer ue équatio cartésiee de l esemble (P) des poits M de l espace, de coordoées (x; y ; z) tels que uam= 0 b Soit (D) la droite itersectio de (P) avec le pla d équatio z = 16 Détermier tous les poits de (D) dot les coordoées sot etières et appartieet à l itervalle [ 100 ; 100] E déduire les coordoées du poit de (D), coordoées etières, situé le plus près de l origie 4 16 Bézout, Asie, jui poits 1 O cosidère l équatio (E) : 8x+ 5y = 1, où (x ; y) est u couple de ombres etiers relatifs a Doer ue solutio particulière de l équatio (E) b Résoudre l équatio (E) N = 8a+ 1 Soit N u ombre aturel tel qu il existe u couple (a ; b) de ombres etiers vérifiat : N = 5b+ a Motrer que le couple (a ; b) est solutio de (E) b Quel est le reste, das la divisio de N par 40? 3 a Résoudre l équatio 8x + 5y = 100, où (x ; y) est u couple de ombres etiers relatifs b Au VIII ème siècle, u groupe composé d hommes et de femmes a dépesé 100 pièces de moaie das ue auberge Les hommes ot dépesé 8 pièces chacu et les femmes 5 pièces chacue Combie pouvait-il y avoir d hommes et de femmes das le groupe? 4 17 Bézout, Atilles - Guyae, jui poits Das le pla mui d u repère orthoormal ( O; i, j), o doe le poit A(1 ; 18) O désige par B u poit de l axe ( O; i) et par C u poit de l axe ( ; ) O appelle x l abscisse de B et y l ordoée de C Termiale S 58 F Laroche O j tels que ( AB, AC) π = 1 Démotrer que le couple (x ; y) est solutio de l équatio (E) : x +3y = 78 O se propose de trouver tous les couples (B, C) de poits ayat pour coordoées des ombres etiers relatifs a Motrer que l o est rameé à l équatio (E), avec x et y apparteat à l esemble Z des ombres etiers relatifs b À partir de la défiitio de B et C, trouver ue solutio particulière (x 0 ; y 0 ) de (E) avec x 0 et y 0 apparteat à Z c Démotrer qu u couple (x ; y) d etiers relatifs est solutio de l équatio (E) si, et seulemet si, il est de la forme (1 + 3k ; 18 k), où k appartiet à Z d Combie y a-t-il de couples de poits (B, C) ayat pour coordoées des ombres etiers relatifs, tels que : 6 x 1 et 5 y 14? 4 18 Th de Wilso, Am du Nord, jui poits Les trois parties I, II, III peuvet être traitées idépedammet les ues des autres Partie I Soit E = {1 ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10} Détermier les paires {a ; b} d etiers disticts de E tels que le reste de la divisio euclidiee de ab par 11 soit 1 Partie II 1 Soit u etier aturel supérieur ou égal à 3 L etier ( 1)! + 1 est-il pair?

59 3 L etier ( 1)! + 1 est-il divisible par u etier aturel pair? 4 Prouver que l etier (15 1)! + 1 est pas divisible par 15 5 L etier (11 1)!+1 est-il divisible par 11? Partie III Soit p u etier aturel o premier ( p ) 1 Prouver que p admet u diviseur q (1< q < p) qui divise (p 1) L etier q divise-t-il l etier (p 1)! + 1? 3 L etier p divise-t-il l etier (p 1)! + 1? 4 19 Premiers, Frace, jui 1999 Pour tout etier aturel, o ul, o cosidère les ombres 1 a Calculer a 1, b 1, c 1, a, b, c, a 3, b 3 et c 3 a = , b = 10 1 et c = b Combie les écritures décimales des ombres a et c ot-elles de chiffres? Motrer que a et c sot divisibles par 3 c Motrer, e utilisat la liste des ombres premiers iférieurs à 100 doée ci-dessous que b 3 est premier d Motrer que pour tout etier aturel o ul, b c = a e Motrer que PGCD( b, c ) = PGCD( c,) E déduire que b et c sot premiers etre eux O cosidère l équatio (1): b3x+ c3y= 1 d icoues les etiers relatifs x et y a Justifier le fait que (1) a au mois ue solutio b Appliquer l algorithme d Euclide aux ombres c 3 et b 3 ; e déduire ue solutio particulière de (1) c Résoudre l équatio (1) Liste des ombres premiers iférieurs à 100 : ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 3 ; 9 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; Cogrueces, Polyésie, jui poits 1 Démotrer que, pour tout etier aturel : raisoemet par récurrece) E déduire que Termiale S 59 F Laroche est u multiple de 7 et que Détermier les restes de la divisio par 7 des puissaces de 3 1 est u multiple de 7 (o pourra utiliser u est u multiple de 7 3 Le ombre p état u etier aturel, o cosidère le ombre etier a Si p = 3, quel est le reste de la divisio de A p, par 7? b Démotrer que si p = alors A p est divisible par 7 c Étudier le cas où p = 3 + p p 3p A = O cosidère les ombres etiers a et b écrits das le système biaire (e base ) : a = , b = Vérifier que ces deux ombres sot des ombres de la forme A p Sot-ils divisibles par 7? Eq dioph, Podicherry, mai 1999 (c) 4 poits Partie A O admet que 1999 est u ombre premier Détermier l esemble des couples (a ; b) d etiers aturels admettat pour somme et pour PGCD 1999 Partie B p

60 O cosidère l équatio (E) d icoue apparteat à N : où S est u etier aturel (E) : S =0 O s itéresse à des valeurs de S telles que (E) admette deux solutios das N 1 Peut-o détermier u etier S tel que 3 soit solutio de (E)? Si oui, préciser la deuxième solutio Peut-o détermier u etier S tel que 5 soit solutio de (E)? 3 Motrer que tout etier solutio de (E) est u diviseur de E déduire toutes les valeurs possibles de S telles que (E) admette deux solutios etières Partie C Commet motrerait-o que 1999 est u ombre premier? Préciser le raisoemet employé La liste de tous les etiers premiers iférieurs à 100 est précisée ci-dessous : Correctio Partie A O admet que 1999 est u ombre premier Détermier l esemble des couples (a ; b) d etiers aturels admettat pour somme et pour PGCD 1999 O pose a= kd b = kd' où d est le PGCD de a et b : a+ b= dk+ dk' = d( k+ k') = 1999( k+ k') = k+ k' = 6 Les valeurs possibles de k et k et celles de a et b sot doc : Partie B k k' a b O cosidère l équatio (E) d icoue apparteat à N : où S est u etier aturel (E) : S =0 1 3 est solutio de (E) ssi 9 3S = 0 S= 4001 ; la deuxième solutio est alors = est solutio de (E) ssi 5 5S = 0 5S= 1019, S est pas etier, ça e colle pas 3 (E) peut s écrire égalemet = S = S ( ) doc divise Comme 11994= = , peut predre les valeurs 1,, 3, 6, 1999, 3998, 5997 et d où S peut predre les valeurs 005, 4001, 5999 et S S Termiale S 60 F Laroche

61 Partie C Evidet iutile de dépasser , Diviseurs+pgcd, Bac C, Lyo, 1981 désige u etier aturel Motrer que le pgcd de 1 et + 3 est le même que celui de + 3 et 4 Quelles valeurs peut predre le pgcd de 1 et + 3? Détermier l esemble des etiers aturels tels que 1 divise Motrer que pour tout, les etiers 1 et + sot premiers etre eux 4 Détermier l esemble des etiers tels que ( 1)( + 1) divise ( + 3)( + ) Bézout + ppcm, Bac C, Japo O cosidère das Z l équatio (E) :18a + 3b = 001 a Motrer que pour tout couple (a, b) solutio de (E) a est u multiple de 3 et b u multiple de 3 b Détermier ue solutio de (E) c Résoudre (E) Détermier les couples (p, q) d etiers tels que 18d + 3m = 001, où d désige le pgcd de p et q, et m leur ppcm Base et diviseurs, Bac C, Ide, 1979 Soit B u etier strictemet supérieur à 3 Das tout ce qui suit, les écritures surligées représetet des ombres écrits e base B 1 Motrer que 13 est divisible par B + 1 et B + Pour quelles valeurs de B 13 est il divisible par 6? 3 Motrer que A =130 est divisible par Bases+cogrueces, Bac C, Aix, Détermier suivat les valeurs de l etier aturel le reste de la divisio euclidiee de 4 par 7 Détermier suivat les valeurs de l etier aturel le reste de la divisio euclidiee de 3 A= par 7 (o pourra remarquer que 851 4[ mod7] 3 O cosidère le ombre B qui s écrit divisio euclidiee de B par 4 ) Nombres de Farey et approximatio d u ratioel par u ratioel Défiitio Détermier das le système décimal le reste de la O dira que deux fractios irréductibles m et m' m m' sot cosécutives si < et s il existe pas de ' ' fractio a ' comprise das l itervalle ouvert m ; m b ' telle que b soit iférieur au plus petit des deux déomiateurs et Termiale S 61 F Laroche

62 Théorème Deux fractios irréductibles m et m' sot cosécutives si et seulemet si ' m' m' = 1 (*) Démostratio Démotrer d abord que si la relatio (*) est vérifiée, alors les deux fractios sot effectivemet cosécutives (comparer a m m' m et, das le cas où b est iférieur à mi(, )) b ' Iversemet, soit m et m' ' d abord : ' deux fractios irréductibles e vérifiat pas la coditio(*) O suppose Démotrer que l équatio x my = 1 a des solutios e ombres etiers, puis doer tous les couples d etiers solutios à partir d ue solutio (x 0, y 0 ) Démotrer qu u des couples (m, ) solutio est tel que 1 '' < Coclure d après la démostratio du ses direct que les fractios m et m' e sot pas cosécutives ' Procéder de faço similaire das le cas <, e cosidérat l équatio : xm y = 1 Défiitio Soit N u etier aturel o ul O appelle suite de Farey d ordre N la suite fiie des fractios irréductibles iférieures ou égales à 1, dot le déomiateur vaut au plus N, classées das l ordre croissat Exemple : la suite de Farey d ordre 7 est : ,,,,,,,,,,,,,,,,,, Il est alors immédiat que deux termes successifs d ue suite de Farey : m et m', sot cosécutifs au ses ' ci-dessus Doc, d après le Théorème : m m = 1 (propositio 1) Examios maiteat commet ue ouvelle fractio s isère das la précédete suite de Farey Supposos que m et m'' soiet cosécutifs das ue suite de Farey, et que das ue suite de Farey '' postérieure o ait comme termes cosécutifs : m, m' ', m'' (m, ) est ue solutio de x my = 1 ; '' (m, ) est la solutio suivate, doc m = m + m, = + (propositio ) Telle est la formule qui doe l isertio d ue ouvelle fractio Il faut doc rechercher les déomiateurs de fractios cosécutives dot la somme est égale au ouvel ordre de Farey Par exemple, avat la suite de Farey d ordre 7 ci-dessus, ous avios celle d ordre 5 : ,,,,,,,,,,,, Les fractios cosécutives dot la somme des déomiateurs fait 7 sot s itercaler 7, 5 et 1 qui vot doer aissace à 3 7, etc O peut aussi motrer, plus gééralemet : 1 4 et 1, etre lesquels va 3 Termiale S 6 F Laroche

63 Si m, m' ', m'' '' sot trois termes successifs d ue suite de Farey, alors m' m+ m'' = ' + '' Farey était u géologue britaique Il itroduisit e 1816 les suites qui portet so om, e e éoçat les propriétés que ous veos de voir Cauchy compléta ses preuves O peut aussi parler de l approximatio ratioelle d u réel, par exemple sous l aspect graphique, pour commecer Les meilleures fractios approximates sot les réduites de la fractio cotiuée Le Résultat ci-dessus permet d affirmer que deux réduites cosécutives m et m' vérifiet l équatio : m m = 1 ' ou 1 Termiale S 63 F Laroche