MATHÉMATIQUES. Aux futurs étudiants de SUP du lycée naval.

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1 LYCÉE NAVAL 5-6 SUP MPSI / PCSI MATHÉMATIQUES Au futurs étudiats de SUP du lycée aval Vous veez d être admis au lycée aval e classe de SUP, PCSI ou MPSI, et ous vous e félicitos Pour bie préparer votre retrée, il est idispesable de faire des mathématiques pedat l été, surtout au mois d août Vous trouverez ci-joit u formulaire cocerat des otios vues au lycée Pour chacu des thèmes abordés il faut revoir les cours correspodats, puis mémoriser tous les résultats D autre part, e guise de devoirs de vacaces, ous proposos deu eercices cocerat les foctios (eercice ), et les ombres complees (eercice ) U test aura lieu à la retrée pour évaluer votre iveau après ces révisios, il comportera e particulier des questios sur le formulaire Vous trouverez ci-joit l éocé du test de la retrée 5 Votre préparatio au cocours commece cet été! Les eseigats de mathématiques

2 LYCÉE NAVAL 5-6 SUP MPSI / PCSI MATHÉMATIQUES Devoirs de vacaces EXERCICE Soit f la foctio réelle telle que, pour R : f ( ) = + O appelle F la primitive de f qui s aule e L eistece de F est admise O ote Γ la courbe représetative de la foctio F ) Détermier le ses de variatio de F ) Motrer que F est impaire O pourra dériver la foctio G : F ( ) dt + t 3) Pour R, justifier l égalité : F ( ) = 4) a) Motrer que, pour t R + : b) E déduire que, pour + c) Détermier la limite de F e + + t + t R : F ( ) l ( ) + 5) Soit H la foctio réelle telle que, pour R : H ( ) = F ( ) a) Étudier les variatios et le sige de H sur R b) E déduire la positio de la courbe Γ par rapport à sa tagete au poit d abscisse, que l o ote 6) Soit Φ la foctio réelle telle que, pour R : ( ) l ( ) a) Justifier que Φ est dérivable sur R b) Calculer Φ '( ) pour R c) Établir que les foctios F et Φ sot égales 7) a) Motrer que, pour * + Φ = + + l l R : F ( ) = ( ) y = l + l? b) Que peut-o e déduire quat à Γ et à la courbe ( C ) d équatio ( ) ( ) 8) Représeter sur u même schéma les courbes Γ et ( C ), aisi que la droite 9) Si l itégratio par partie a été vue e termiale : calculer l aire de la partie du pla limitée par Γ et les droites d équatios respectives =, = et y =

3 LYCÉE NAVAL 5-6 SUP MPSI / PCSI MATHÉMATIQUES Devoirs de vacaces EXERCICE Soit r u réel strictemet positif et θ u réel avec θ { kπ, k } O défiit la suite de ombres complees ( ) Z v e posat : v N = et, pour N : iθ re v v = + π ) Das le cas où r = et θ =, doer les valeurs de v et v sous leur forme 4 trigoométrique, puis sous leur forme algébrique ) Das le cas gééral, détermier l epressio de v e foctio de r, θ et Le pla état mui d u repère orthoormal direct, o défiit la suite de poits ( M ) faço suivate : M est le poit d affie et, pour N : M + est le poit tel que le vecteur M M + a pour affie v 3) Das le cas où N de la π r = et θ =, placer sur u schéma clair les poits M M et M 3 4 4) Das le cas gééral, pour N, o ote z l affie du poit a) Doer la relatio liat z, z + et v M b) Établir que, pour v + v + + v = z * N : c) E déduire l epressio de z e foctio de r, θ et p+ p α O rappelle que, pour α C avec α et p N : + α + α + + α = α 5) O pose : a =, et o ote A le poit d affie a i re θ a) Eprimer e e foctio de r, θ et l affie du vecteur AM, que l o ote w b) Motrer que : si r <, alors : lim w = i c) Motrer que, pour N : w re θ w = + d) Doer ue iterprétatio graphique des deu résultats précédets π Vérifier sa validité das le cas où r = et θ = e plaçat sur le schéma de la 4 questio 3 le poit A (o calculera a das ce cas particulier), puis les poits M 4 et M 5

4 LYCÉE NAVAL SUP PCSI / MPSI FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES Factorielle Coefficiets biomiau Soit et k deu etiers tels que k Pour, la factorielle de est l etier! = O pose! = O pose d autre part O a = = ( ) ( ) k +! = = k k! ( k )! k!, + = et + = k k k k + k + Le tableau ci-cotre doe les valeurs des 3 4 k etiers k Valeur absolue et racie carrée Valeur absolue Soit u réel O pose ma {, } Pour y Pour = O a et y deu réels, o a si = si ( est u réel positif ) = y et y + y + y (iégalités dites triagulaires) et A deu réels avec A positif, o a les équivaleces ( et ) et A ( A ou A) A A A A A Racie carrée Soit a u réel positif La racie carrée de a, otée a, est l uique réel positif dot le carré est a O a doc, pour tout réel = a = a = = = De plus et ( ) a a ou a =

5 LYCÉE NAVAL SUP PCSI / MPSI 3 Trigoométrie Cosius et sius d u réel Le pla, orieté das le ses usuel, est mui d u repère orthoormal direct R d origie O,, A est le poit de coordoées ( ) ( C ) le cercle de cetre O et de rayo Pour u réel, o ote M ( ) le poit de ( C ) tel que la logueur algébrique de l arc AM est Alors le cosius et le sius ( ) de, otés cos ( ) et si ( ), sot les coordoées de M ( ) das le repère R Pour tout réel cos ( ) + si ( ) = ; cos ( ) cos ( ) et si ( ) si ( ) ( ) l AM = = = E eploitat les propriétés des symétries par rapport au aes ou au «diagoales» du repère R, o motre que π π cos( π ) = cos ( ), cos( π + ) = cos ( ), cos = si ( ), cos + = si ( ), π π si ( π ) = si ( ), si ( π + ) = si, si = cos ( ), si + = cos ( ) Tagete d u réel Soit u réel tel que π est pas u multiple etier de π si ( ) La tagete de est le réel ta ( ) = O a ( ) cos( ) ta + = cos ( ) Valeurs particulières si cos ta π π 4 π 3 3 π 3

6 LYCÉE NAVAL SUP PCSI / MPSI 4 Nombres complees L esemble C des complees est l esemble des ombres de la forme z = + iy, où et y sot des réels et i u ombre ajouté à l esemble R des réels Il est mui des opératios + et telles que, pour z = + i y et z ' = ' + i y ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) z + z ' = + iy + ' + i y ' = + ' + i y + y ', zz ' = + iy ' + i y ' = ' y y ' + i y ' + ' y E particulier i = Si z = + iy où et y sot des réels, ceu-ci sot uiques O dit que ce sot respectivemet la partie réelle et la partie imagiaire de z O ote Re ( z) et y Im( z) Le cojugué du complee z iy O a doc Re ( z) = ( z + z ) et Im ( z) = ( z z ) = = = + est le complee z iy Re( z) i Im ( z) i = = Le module du complee z iy = + est le réel positif z y Re( z) Im( z) = + = + O a z = z z 5 Égalités algébriques Formule «du biôme» Soit a et b deu complees (les réels sot des complees) et u etier avec k k a b a b a b a b a b a b k O a ( + ) = O écrit ( ) k k a + b = a b k = k E particulier ( ) ( ) a + b = a + ab + b et a + b = a + 3a b + 3 ab + b Somme des premiers etiers, somme des premières puissaces d u complee Soit u etier avec O a ( + ) = O écrit k = k = ( + ) k = k = 3

7 LYCÉE NAVAL SUP PCSI / MPSI Soit q u complee avec q O a q + q + q + + q = q + O écrit + k q q = q k = 6 Forme caoique d u polyôme de degré Soit a, b, c trois complees avec P z = az + bz + c a Pour tout complee z o pose ( ) O écrit P sous sa «forme caoique» de la faço suivate : ( ) b b c b où 4 P z = a z + + = a z + = b ac a 4a a a 4a 7 Foctios logarithme et epoetielle La foctio logarithme épérie, otée l, est défiie sur ],+ [ C est la primitive de la foctio iverse sur cet itervalle qui pred la valeur e das, l est appelé logarithme épérie de Pour ] + [, le réel ( ) La foctio l : l ( ) est strictemet croissate sur ] [,+ O ote e l uique réel dot le logarithme épérie est O a ( ) ( e) Pour a et b das ], + [ l ( ab) l ( a) l ( b) = + Si est u etier positif l ( a ) l ( a) = l = et l = Si a = b b l l ( a) l ( b) = E particulier l l ( ) La foctio epoetielle, otée ep, est défiie sur R Pour das R, le réel ep ( ) est l uique réel strictemet positif dot le logarithme épérie est, il est appelé epoetielle de ep : ep est strictemet croissate sur R La foctio ( ) E particulier ep ( ) = et ep( ) = e a b R ( a b) ( a) ( b) ( a b) Pour et das E particulier ep ( ) ( a) ( b) ep ep + = ep ep, ep = ep = ep ( ) 4

8 LYCÉE NAVAL SUP PCSI / MPSI Limites à coaitre + ( ) ( ) lim l = et lim l = +, + ( ) ( ) lim ep = et lim ep = +, + ( ) l lim = ( ) ep lim =, 8 Dérivatio Dérivatio des foctios usuelles Itervalle I coteat Foctio f Nombre dérivé de f e R c où c est fié R R où ], [ ou ],+ [ ], [ ou ],+ [ ], + [ ],+ [ l ( ) où + R ep( ) ep ( ) R cos( ) si ( ) R si ( ) cos ( ) Opératios et dérivatio Soit f et g deu foctios défiies sur u itervalle I de R Pour u réel tel que les égalités ci-dessous aiet u ses, o a : ( f + g )'( ) = f '( ) + g '( ), ( f g )'( ) f '( ) g ( ) f ( ) g '( ) = +, '( ) ( ) ' f ( ) = f f, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) f ' f ' g f g ' = g 5

9 LYCÉE NAVAL 4/5 SUP-CPES Devoir de retrée MATHÉMATIQUES Soit u réel Compléter l égalité EXERCICE Toutes les réposes au questios serot doées das les cadres prévus Soit et k deu etiers tels que k ( ) a Défiir l etier k b Doer et démotrer la relatio etre ( ) ( ), et k k + ( ) + k + 3 Soit A u réel positif et u réel Compléter à l aide d ue coditio 4 a Compléter les égalités b Compléter les valeurs particulières de cos, si et ta 5 Eprimer la partie imagiaire d u ombre complee z e foctio de z et de so cojugué 6 O suppose que a et b sot deu réels tels que a > et b > Doer ue relatio liat trois des quatre ombres réels suivats : l(a), l(b), l(a + b), l(ab) 7 Résoudre l équatio d icoue réelle : 8 Compléter les limites ep() = 9 Soit u etier aturel tel que O ote f la foctio défiie par O suppose que f est dérivable e a Doer la valeur de f (a) Soit u etier aturel tel que Soit a et b deu ombres complees Eprimer (a + b) à l aide du sige somme Σ Soit f, g et h trois foctios défiies et dérivables sur u itervalle I Soit a u élémet de I, avec h(a) Préciser les résultats suivats : Soit u etier aturel o ul, et δ u ombre complee tel que δ a Eprimer la somme des premiers etiers e foctio de b Eprimer la somme + δ + δ + + δ e foctio de δ et Lycée Naval 4/5

10 LYCÉE NAVAL 4/5 SUP-CPES EXERCICE Toutes les réposes au questios serot doées das les cadres prévus Pour tout etier aturel, o cosidère la foctio f défiie sur R par : f () = e + e O ote C la courbe représetative de f das u repère orthoormé direct (O, i, j ) du pla P Das cette partie, o étudie la foctio f Pour u réel, écrire l epressio de f () Partie A a Détermier les limites lim f () et lim f () + b Préciser les équatios des asymptotes à la courbe C 3 a Pour réel, calculer f () où f est la dérivée de f b Dresser la tableau de variatios de f c Détermier ue équatio de la tagete T I à la courbe C au poit I d abscisse 4 Tracer la courbe C, ses asymptotes et la tagete T I Partie B O cosidère la suite (u ) N dot le terme gééral est doé par : u = f ()d a Justifier que u + u = e doat le détail du calcul b Calculer u (O doera le détail du calcul) a Soit u etier o ul Calculer l itégrale (O doera le détail du calcul) I = b Justifier que pour tout etier aturel o ul, o a : e d u + + u = e 3 a Soit u etier o ul et u réel de [,] Quel est le sige de f + () f ()? Justifier la répose b E déduire que la suite (u ) N est décroissate 4 Justifier que pour tout etier aturel o a : 5 Justifier que la suite (u ) N admet ue limite fiie 6 O ote l la limite de la suite (u ) N e a Calculer lim Justifier le résultat + b E déduire l Justifier le résultat u Lycée Naval 4/5

11 LYCÉE NAVAL 4/5 SUP-CPES EXERCICE 3 Toutes les réposes au questios serot doées das les cadres prévus ( Das l espace rapporté au repère orthoormé direct O, i, j, ) k, o cosidère les poits E et F de coordoées : E(,,) et F (,,4) et la droite défiie par le système d équatios paramétriques : : = t + 3 y = t z = 4, t R a Doer les coordoées d u vecteur directeur u de la droite b Justifier que le poit E appartiet pas à c Justifier que le poit F appartiet à d E déduire la positio relative des droites (EF ) et O cosidère le pla P coteat les deu droites (EF ) et Soit le vecteur de coordoées (,,) a Doer les produits scalaires EF et u b Que peut-o edéduire pour le vecteur? c Détermier ue équatio cartésiee du pla P Justifier la répose 3 O ote H le projeté orthogoal du poit E sur la droite a Doer la valeur du produit scalaire E H u b Vérifier que les coordoées ( H, y H, z H ) de H vérifiet : H y H = c Doer les coordoées de H 4 O ote G le poit de l espace vérifiat : FG = a Doer les coordoées de G b Écrire u système d équatios paramétriques de la droite parallèle à et passat par G c Que dire précisémet de la positio relative des deu droites et (E H)? 3 Lycée Naval 4/5

12 LYCÉE NAVAL 4/5 SUP-CPES NOM et préom RÉPONSES À L EXERCICE = a ( ) = k b 3 A 4a cos(π + ) = si(π ) = cos( π ) = si( π + ) = cos( π 3 ) = cos( π 4 ) = 4b si( π 6 ) = si( π ) = ta() = ta( π 6 ) = 5 Im(z) = 6 7 ep() = l() si() 8 lim = lim = + Lycée Naval 4/5

13 LYCÉE NAVAL 4/5 SUP-CPES 9 f (a) = (a + b) = (f g ) (a) = ( ) (a) = h a = b + δ + δ + + δ = RÉPONSES À L EXERCICE Partie A a lim f () = + lim f () = b Equatios des asymptotes à C : 3a f () = Lycée Naval 4/5

14 LYCÉE NAVAL 4/5 SUP-CPES 3b 3c Equatio de T I : 4 Partie B a u + u = car b Calcul de u : 3 Lycée Naval 4/5

15 LYCÉE NAVAL 4/5 SUP-CPES a Calcul de I : b u + + u = e car 3a 3b Lycée Naval 4/5

16 LYCÉE NAVAL 4/5 SUP-CPES 6a e lim = car + 6b l = car RÉPONSES À L EXERCICE 3 a u (,, ) b E appartiet pas à car c F car d 5 Lycée Naval 4/5

17 LYCÉE NAVAL 4/5 SUP-CPES a b c Équatio de P : car 3a 3b H y H = car 3c 4a 6 Lycée Naval 4/5

18 LYCÉE NAVAL 4/5 SUP-CPES 4b 4c 7 Lycée Naval 4/5

19 Devoir de vacaces etrée e sup : Parties du programme de Termiale S à revoir : Odes, Mécaique, Trasfert thermique d'éergie, trasfert quatique d'éergie, dualité ode/ corpuscule ; Ciétique chimique, acides/bases, dosages - Refaire ses devoirs surveillés de Termiale portat sur les parties précédemmet citées (voir aussi les sujets et corrigés de bac métropole et autres dispoibles sur le site e particulier le sujet de spécialité gééralemet sous forme de résolutio de problème pour ceu qui ot suivi la spécialité physique/chimie) -Livre d'eercices «passerelle pour la prépa» de Pierre Grécias et Jea Claude Marti «Maths Physique Chimie» chez Lavoisier, tec et doc ISBN qui doe la toalité de la prépa et sort du bachotage 3-Livre cocours fesic puissace( maths phys chimie svt) collectio «j'itègre les écoles d'igéieurs» chez Duod ISBN Livre «l'itégrale cocours geipi polytech( maths phys chimie) au éditios au-cocourscom isb E ce qui cocere les livres 3 et 4, aales corrigées gratuites sur le site wwwchimicom Le DS «de retrée» sera du type cocours fesic/geipi

20 LYCÉE NAVAL de Brest Mai 5 Classes préparatoires scietifiques (MP, PSI, MPSI, PCSI) L importace de l épreuve de fraçais philosophie au cocours militaires que vous allez affroter e se démet pas Ue préparatio ambitieuse s impose qui doit commecer dès les vacaces d été Il est absurde de dimiuer vos chaces e e profitat pas des mois d été pour lire et predre de l avace Voici le programme officiel aisi que votre pla de travail pour vos vacaces Programme de fraçais philosophie pour l aée scolaire 5-6 I Thème : Le mode des passios II Tetes : - Racie, Adromaque (Éditio avec dossier, GF 555) - Hume, Dissertatio sur les passios, «Des Passios» (Éditio avec dossier, GF 557) - Balzac, La Cousie Bette (Éditio avec dossier, GF 556) III Travail à faire : Vous devez impérativemet avoir lu les 3 œuvres au programme et eploité les dossiers GF qui les accompaget avat la retrée Ne pas predre d avace quad o est étudiat e prépa, c est déjà accumuler du retard Il eiste aussi de ombreuses publicatios destiées au étudiats préparat ce programme Équipez-vous d ouvrages qui vous permettrot d amorcer votre réfleio : - u recueil de tetes choisis et présetés par Mériam Korichi, Les passios (GF Corpus) ; - u volume d étude des œuvres et du thème, L épreuve littéraire, prépas scietifiques Le mode des passios, (Bréal) ; - u volume pour la dissertatio, Les passios e 3 dissertatios corrigées (Sedes) IV Cotrôle des coaissaces : Notez qu u cotrôle de vos coaissaces est programmé dès la retrée Il aura pour objectif d évaluer la qualité de votre lecture des tetes au programme Sas travail, poit de salut

21 Au futurs étudiats de SUP PCSI et MPSI Vous allez commecer u cycle de quatre semestres qui vous mèera à des cocours difficiles où l aglais aura ue place prépodérate Afi que ous puissios commecer l etraîemet au eercices auquels vous serez cofrotés le plus efficacemet possible dès la retrée, ous souhaitos que vous commeciez à vous y préparer Il serait judicieu que vous alliez cosulter les aales des cocours CCP et Cetrale pour vous faire ue idée du type d eercice qui vous atted Vous verrez alors combie il est importat de lire régulièremet: The Ecoomist, The Times, The Guardia, The Daily Telegraph, The Iteratioal Herald Tribue, Time ou Newsweek etc Commecez dès cet été, vous oterez que tous ces jourau ou magazies sot accessibles sur iteret et que tous offret des vidéos que vous écouterez avec profit Le site de la BBC offre égalemet ue rubrique «Learig Eglish» qui vous sera très utile Outre cet etraîemet qui, pour être efficace, devra être régulier, ous vous demados de vous procurer la grammaire aglaise au lycée de SBerlad- Delépie chez Ophrys et de travailler les premiers chapitres : révisios des règles fodametales (semaies à ) des eercices corrigés vous y sot proposés Vous devez tous être capables de les refaire à la retrée D autre part, ous vous demados égalemet de vous procurer Les fiches de civilisatio américaie et britaique de FMichau, AHiggie, CLoubigac, LMartz chez Ellipse aisi que Jouralease (vocabulaire) de JAdreyev chez Bréal E outre, vous aurez besoi d u MP3 afi que vous puissiez récupérer les documets de préparatio à l oral Préparez-vous efficacemet e saisissat toutes les occasios de lire, écouter de l aglais mais aussi de parler Boes vacaces à tous, Mme Sommier et Mr Piras