Estimation Fonctionnelle: Applications aux Tests d Adéquation et de Paramètre Constant

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1 Carlos Mauel Rebelo Tereiro da Cruz Thèse présetée à la Faculdade de Ciêcias e Tecologia da Uiversidade de Coimbra, pour obteir le grade de Doutor em Matemática Matemática Aplicada. Estimatio Foctioelle: Applicatios aux Tests d Adéquatio et de Paramètre Costat Souteue le 27 ovembre 995 devat le Jury composé de: Présidet: Rapporteurs: Membres: A. S. Alves, Uiversité de Coimbra C. Gouriéroux, Directeur de Thèse, Uiversité de Paris IX M. Ivette Gomes, Uiversité de Lisboe J. A. Ferades de Carvalho, Uiversité de Coimbra N. Medes Lopes, Uiversité de Coimbra E. Goçalves, Uiversité de Coimbra Departameto de Matemática Uiversidade de Coimbra 995

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3 A Laura A mes parets et frères

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5 Cette dissertatio a été réalisée sous la directio de Mosieur Christia Gouriéroux. Sas so aide précieuse et ses ombreux commetaires et suggestios ce travail aurait sas doute pu être meé à bie. Je ties à lui exprimer ma profode recoaissace. Je remercie Madame Esmeralda Goçalves, qui a toujours fait preuve d ue grade dispoibilité et dot les commetaires ot permis d améliorer la présetatio de cette thèse. Mes remerciemets vot aussi à Madame Nazaré Medes Lopes, sous la directio de qui j ai commecé em 987 l étude des estimateurs o paramétriques de la desité, et à Messieurs Deis Bosq, Michel Delecroix et Alai Mofort, pour leurs suggestios. Je remercie sicèremet Emmauel Guerre, avec qui j ai discuté de certaies idées qui sot développées das ce travail. So amitié m a été précieuse. Je remercie le Départemet de Mathématiques de l Uiversité de Coimbra et le Cetre de Recherche e Écoomie et Statistique de Paris pour toutes les facilités dot j ai pu profiter pedat la réalisatio de cette thèse. Ce travail a bééficié des souties de la J.N.I.C.T. Juta Nacioal de Ivestigação Cietífica e Tecológica, du Gouveremet Fraçais, du C.M.U.C. Cetro de Matemática da Uiversidade de Coimbra et de la Fodatio Calouste Gulbekia.

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7 Table des Matières Itroductio v Estimatio d ue foctio de momets coditioels sous des coditios locales. Défiitio de l estimateur φ x. Quelques otatios Hypothèses pricipales Idépedace asymptotique Momets coditioels croisés Le cas Markovie L estimateur à oyau g x Comportemet asymptotique de covg x, g y Covergece e moyee quadratique de g x Normalité asymptotique de g x j E[g x j ]; j =,..., T Normalité asymptotique de g x j mg, x j fx j ; j =,..., T Estimatio d ue foctio de momets Covergece e probabilité de φ x Normalité asymptotique de φ x j φx j ; j =,..., T Quelques commetaires Applicatios Estimatio de la desité Estimatio de la moyee coditioelle Estimatio de la variace coditioelle i

8 ii Table des matières.5.4 Estimatio des coefficiets d asymétrie coditioelle et de kurtosis coditioelle M-estimateurs à oyau: diagostic o paramétrique de modèles structurels 3 2. Exemple itroductif M-estimateur à oyau: défiitio et propriétés asymptotiques Défiitio Covergece presque sûre Normalité asymptotique Coditios de ormalité asymptotique das le cas covexe Diagostic o paramétrique de modèles structurels Régios poctuelles de cofiace asymptotique M-estimateur local à oyau Quelques exemples d applicatio Ue illustratio Théorèmes de limite cetrale pour des U-statistiques dégéérées Défiitios et otatios Processus β-mélageats. Quelques iégalités Théorème de limite cetrale pour des suites triagulaires Théorèmes de limite cetrale pour G, H et G + H Loi asymptotique de G Loi asymptotique de H Loi asymptotique de G + H Tests d ajustemet à ue desité fodés sur u estimateur o paramétrique à oyau Les écarts quadratiques I et I Développemets asymptotiques de l erreur quadratique moyee itégrée Quelques tests covergets Le test fodé sur T, Le test fodé sur T 2,

9 Table des matières iii Comparaiso des statistiques de test T, et T 2, Statistiques modifiées Puissace locale des tests Hypothèses sur la suite d alteratives locales AL Propriétés asymptotiques des écarts I et I2 pour ue suite d alteratives locales Quelques remarques et défiitios Calculs de puissace pour les tests C,k, k =, Calculs de puissace pour les tests C 2,k, k =, Sur le choix du oyau Applicatios des statistiques T 2,k, k =, 2, au cas d u test paramétrique Descriptio des hypothèses Test fodé sur ue statistique multivariée à oyau Calculs de puissace pour le test C Π p Choix optimal de Π p Bibliographie 3

10 iv Table des matières

11 Itroductio Cosidéros ue variable aléatoire réelle X admettat ue desité f, qu o suppose icoue, par rapport à la mesure de Lebesgue. La loi de X état caracterisée par f, u problème importat est l estimatio de f à partir de l observatio de copies X i, i =..., de X. Supposos maiteat que ous voulos expliquer les valeurs prises par ue ouvelle variable réelle Y à partir des valeurs prises par X. Ce problème est souvet modélisé par Y = rx+u, où E[U X] = 0 et r est ue applicatio mesurable réelle. La foctio de régressio r = E[Y X = ], apportat de l iformatio sur la relatio de dépedace icoue de Y et X, u autre problème importat est l estimatio de r à partir de l observatio de copies X i, Y i, i =..., de la variable X, Y. Pour chacu des problèmes précédets, ous pouvos cocevoir deux approches possibles: ue approche paramétrique, où la foctio à estimer desité das le premier cas et foctio de régressio das le deuxième appartiet à ue famille paramétrique de courbes fixée au départ, et ue approche o paramétrique, où ous e restreigos pas la forme foctioelle des applicatios que ous voulos estimer. Das la démarche paramétrique, la forme foctioelle des courbes f et r est coue et seulemet les paramètres sot icous; le problème d estimatio de f et r se réduit alors à u problème d estimatio des paramètres. Nous pouvos, par exemple imposer que la loi commue des X,..., X est ormale, de moyee m et de variace σ 2 icoues, c est-à-dire, fx = fx; m, σ 2 = exp x m2 2πσ 2 2σ 2, x IR, ou que les valeurs prises par Y sot ue foctio affie des valeurs prises par X, c est-à-dire, qu il existe des réels a et b tels que rx = rx; a, b = ax + b, x IR. v

12 vi Itroductio Les estimateurs des foctios desité et régressio sot, das ces cas, doés, pour x IR, par fx; m, σ 2 et rx; â, b, où m, σ 2, â et b sot, respectivemet, des estimateurs des paramètres m, σ 2, a et b. Das la démarche o paramétrique ous admettos pas l existece d u paramètre apparteat à u espace vectoriel de dimesio fiie à partir duquel ous puissios estimer f et r. Ces foctios sot alors estimées directemet. Les paramètres de chacu des problèmes d estimatio précédets sot aisi les foctios f et r elles mêmes, de sorte que ous disos das ce cas que la desité et la foctio de régressio sot des paramètres foctioels. Ue méthode d estimatio de la desité a été proposée et étudiée das les importats travaux de Roseblatt [83] et Parze [75] qui datet, respectivemet, de 956 et 962, et elle a été esuite appliquée à l estimatio de la foctio de régressio, idépedammet par Watso [09] et Nadaraya [70] e 964. Nous parlos de la méthode du oyau de covolutio. Dès ces travaux pioiers, ue vaste bibliographie sur l estimatio foctioelle, commuemet appelée estimatio o paramétrique, est apparue. Malgré l itroductio d autres méthodes d estimatio o paramétrique de la desité et de la régressio, comme l estimatio par l histogramme et régressogramme, la méthode des poits les plus proches ou la méthode des foctios orthogoalles, la plus grade partie de cette littérature porte sur les estimateurs à oyau. Les propriétés asymptotiques de tels estimateurs, au iveau poctuel ou au iveau global, suivat divers critères et modes de covergece stochastique, ot été obteues das ue première étape pour des observatios réelles, idépedates et idetiquemet distribuées, puis gééralisées au cadre de processus stochastiques multivariés fortemet statioaires satisfaisat des coditios de dépedace. Telles propriétés sot obteues sous des coditios assez géérales ce qui justifie l utilisatio de plus e plus fréquete de tels estimateurs e divers domaies de la statistique. Les estimateurs o paramétriques de la desité et de la régressio obteus par la méthode du oyau, aisi que des estimateurs d autres paramètres foctioels coditioels, dot les propriétés locales ous étudios das le premier chapitre de ce travail, ous permettet ue coaissace détaillée des lois de dimesio fiie du processus observé ou de certaies de ses caractéristiques. Par exemple, das le cas particulier de l estimatio o paramétrique de la

13 Itroductio vii desité o peut aisi détecter la ature o gaussiee évetuelle du processus observé, ou das le cas de l estimatio o paramétrique de la régressio certaies caractéristiques o liéaires. Repreos l exemple itroductif, et admettos que ous voulos juger l adéquatio du modèle de régressio cosidéré Y = ax +b+u, avec E[U X] = 0, à la situatio qu il se propose décrire. L importace de cette étape de diagostic est évidete. Das le cas où l adéquatio est cofirmée, ous cocluos que l estimateur de la foctio de régressio rx; â, b, qui prophite des boes propriétés des estimateurs paramétriques â et b, doit être préféré par rapport aux estimateurs o paramétriques, car il a, pour chaque x, ue vitesse de covergece vers E[Y X = x] supérieure à celle de tels estimateurs. E effet, d u poit de vue théorique, la vitesse de covergece d u estimateur foctioel est iférieure à la vitesse paramétrique. Ceci sigifie que, les estimateurs o paramétriques demadet, pour atteidre la même précisio que les estimateurs paramétriques, u ombre d observatios plus élevé. Das le cas où l adéquatio du modèle paramétrique est pas cofirmée, ous évitos les problèmes qui résultet de l utilisatio d estimateurs paramétriques e modèles mal spécifiés. Bie qu u diagostique sur la coveable spécificatio du modèle de régressio cosidéré ci-dessus puisse être élaboré d après la comparaiso poctuelle etre l estimateur à oyau de la régressio et l estimateur paramétrique rx; â, b, ous verros qu il est préférable d utiliser ue procédure de diagostique dévéloppée das le deuxième chapitre. Ue telle procédure est fodée sur ue classe d estimateurs foctioels appelés M-estimateurs à oyau, où M est relatif au fait que ces estimateurs sot obteus par miimisatio ou maximisatio d ue foctio objectif. L obtetio de régios poctuelles asymptotiques de cofiace pour la desité margiale du processus observé, à partir de la ormalité asymptotique poctuelle de l estimateur à oyau, ous permet de formuler u diagostic sur l hypothèse simple H 0 : f = f 0, d égalité de la desité des variables observées à ue desité de probabilité f 0 fixée au départ ou, plus gééralemet, sur ue hypothèse composite de la forme H 0 : f {f 0 ; θ : θ Θ IR k }, imposat à f d apparteir à u esemble de desités paramétré par θ et fixé au départ. Repreat l exemple iitial, ous pouvos ous demader si la forme foctioelle prise pour f, que ous avos à priori supposée ormale de moyee et variace icoues, est ou o adéquate. Cepedat, le caractère local des résultats e ous permet pas de formuler u test de iveau asymptotique α

14 viii Itroductio et asymptotiquemet coverget pour ue telle hypothèse. Afi de cotourer cette difficulté ous présetos das le derier chapitre de cette thèse, des tests d ajustemet fodés sur des mésures quadratiques de l écart etre la desité de la vraie loi sous l hypothèse ulle et u estimateur par oyau de cette foctio. Les tests d ajustemet de Kolmogorov-Smirov ou de Cramér-vo Mises fodés sur la distributio limite de la foctio de répartitio empirique sot usuellemet préférés aux tests fodés sur la distributio limite des estimateurs o paramétriques de la desité. Cepedat, ous pouvos citer quelques avatages de l utilisatio de tests d ajustemet de ce derier type. E effet, das u cadre de dépedace faible das les variables observées ou das u cadre multivarié, il existe pas de tests aalogues fodés sur la foctio de répartitio empirique. De plus, ous pouvos étedre otre approche au test de l hypothèse composite H 0 spécifiée ci-dessus e remplaçat, das les statistiques de test que ous allos cosidérer et qui ous coduiset à des tests uiformémet sas biais, le paramètre icou θ par u estimateur paramétrique covergeat ˆθ, puisque les théorèmes limites obteus sous l hypothèse simple, restet valables das ce cas cf. Bickel et Roseblatt [4]. Ceci est plus vrai pour les théorèmes limites associés aux statistiques de Kolmogorov-Smirov ou de Cramér-vo Mises. La brève descriptio que ous avos doée de otre travail motre que ous ous itéressos à des problèmes d estimatio, de test et de validatio de modèles structurels. Afi de préciser otre démarche d aalyse de ces divers problèmes, ous allos maiteat décrire e détail les sujets de cette thèse, chapitre par chapitre. Das le premier chapitre ous cosidéros u processus stochastique X i, i ZZ à valeurs das IR d, fortemet statioaire et α-mélageat cf. Roseblatt [84], et pour i ZZ, ous otos V i e W i les vecteures aléatoires X i+s,..., X i+ et X i s0, X i s..., X i sq, où les etiers positifs q, s, s 0,...,s q, fixés au départ, satisfot 0 s 0 < s < < s q et s > 0. O suppose que W 0 admet ue desité f par rapport à la mesure de Lebesgue sur IR d, avec d = dq +. Si g = g,...,g p et Φ sot des applicatios mesurables coues de IR d s das IR p et de IR p das IR p, respectivemet, ous ous itéressos aux estimateurs du paramètre foctioel φx = Φ mg, xfx, de la forme φ x = Φ g x, avec mg, x = E[gV 0 W 0 = x] et g x = h d i= x Wi g V i K,..., h h d p i= x Wi g p V i K p, h p

15 Itroductio ix où x IR d. Pour r =,...,p, h r est ue suite de réels strictemet positifs, tedat vers zéro lorsque ted vers l ifii, et K r est u oyau sur IR d, c est-à-dire, ue applicatio itégrable de IR d das IR telle que IR d K rxdx =. D abord proposé par Roseblatt [83] et étudié par Parze [75], das le cas de l estimatio o paramétrique de la desité das u cadre d échatilloage, l estimateur par oyau a esuite été appliqué à l estimatio de la foctio de régressio par Watso [09] et Nadaraya [7]. L étude de l estimateur de la desité, sous des coditios de dépedace etre variables observées, a été meée par Roussas [92] pour les processus de Markov satisfaisat la coditio D 0, puis gééralisée par Roseblatt [85] à la classe des processus de Markov ρ-mélageats sur la coditio D 0 voir aussi Doob [27] et sur les processus de Markov mélageats voir aussi Roseblatt [86]. L estimatio o paramétrique de la régressio pour les processus de Markov ρ-mélageats est abordée par Yakowitz []. Les coditios de Markov et de ρ- mélageace ot été affaiblies das le cas réel par Robiso [8]. Das u article plus récet Roussas [94] obtiet, das le cas multivarié, des résultats de covergece pour l estimateur de la desité margiale du processus. D autres mesures de dépedace sur le processus X i, i ZZ peuvet être trouvées das les travaux de Castellaa et Leadbetter [7] et das le chapitre VII de Roseblatt [90]. Les propriétés asymptotiques de l estimateur à oyau g que ous obteos das.3, ous permettet de dériver la covergece e probabilité ou e moyee quadratique de l estimateur φ x, pour x IR d Théorème.4., aisi que la covergece des lois de dimesio fiie du processus empirique φ x, x IR d Théorème.4.2. Ces résultats gééraliset au cas multivarié ceux de Robiso [8], sur l estimatio o paramétrique de la desité de la loi de W 0 g =, Φu = u, u IR, et de l espérace coditioelle E[hV 0 W 0 = x] g =, h, Φu, v = v u, u IR \ {0}, v IR, et ous permettet d obteir de faço simple des résultats de covergece pour d autres paramètres foctioels coditioels: rapports de momets coditioels, variace coditioelle, coefficiet d asymetrie coditioel, kurtosis coditioelle,... Suivat la lige de Robiso [8], et e utilisat ue techique de démostratio classique voir aussi Roseblatt [85] et Bosq et Lecoutre [9], ces résultats sot dérivés e imposat des hypothèses locales sur des versios des paramètres foctioels qu o veut estimer, aisi

16 x Itroductio que sur d autres paramètres liés, au lieu de coditios globales comme celles qu o trouve par exemple das les travaux déjà cités de Yakowitz [] et Roussas [94]. Pour cela, ous avos été coduits à utiliser das la costructio de l estimateur à oyau, des oyaux à support boré. De plus, l itroductio d hypothèses locales sur certais momets coditioels croisés où iterviet l applicatio g, ous permet d obteir les divers résultats avec des coditios sur la vitesse de covergece vers zéro des coefficiets de mélage plus faibles que celles cosidérées das Robiso [8], das le cas où g est pas borée. Ces hypothèses sot discutés e.2. Diverses applicatios sot proposées e.5. Nous cosidéros le problème classique de l estimatio de la desité de probabilité de W 0 qui cotiet comme cas particulier l estimatio de la desité margiale du processus X i, i ZZ, puis celui de l estimatio de la moyee coditioelle qui iclut l estimatio de la régressio. Das ce derier cas, e utilisat la forme de la précisio asymptotique de l estimateur, ous justifios la pratique courate cosistat à reteir das l estimateur de la régressio u seul oyau et ue seule suite. Nous termios e éoçat des résultats sur trois autres paramètres coditioels: la variace coditioelle, et les coefficiets d asymétrie et de kurtosis coditioels. Si l estimatio de la variace coditioelle peut permettre de détecter la présece évetuelle d u effet hétéroscédastique das la série des observatios, la costructio de régios poctuelles de cofiace asymptotiques pour les deux deriers paramètres, permet de tester ue coséquece de l hypothèse de ormalité de la loi coditioelle, e comparat respectivemet à 0 et à 3 les coefficiets estimés d asymétrie et de kurtosis coditioels. Ue telle démarche peut être utilisée pour efectuer des recherches sur l adéquatio de l hypothèse de ormalité coditioelle sur les erreurs ARCH d u processus autorégressif d ordre u cf. Gouriéroux [35] pg Le deuxième chapitre de cette dissertatio présete les résultats de Gouriéroux, Mofort et Tereiro [37]. Nous étudios ue classe d estimateurs o paramétriques, usuellemet désigés par M-estimateurs à oyau, et expliquos commet l utiliser pour le diagostic o paramétrique de modèles structurels. Ces estimateurs sot défiis comme solutio d u problème d optimisatio du type θ s = Arg mi θ h d i= s SYi, α K h ψy i, α ; s; θ, s IR d, où S et ψ sot des applicatios coues à valeurs das IR d et IR, défiissat la variable codi-

17 Itroductio xi tioate et la foctio critère, respectivemet, K est u oyau sur IR d, Y i, i =,...,, sot les variables observées, et la suite de variables aléatoires α coverge vers ue costate α, lorsque ted vers l ifii. Aucue coditio de covexité e θ est imposée au départ sur ψ. Les M-estimateurs à oyau ot été itroduits pour des formes particulières de la foctio critère ψ. Robiso [82] cosidère des M-estimateurs de paramètres coditioels de positio pour lesquels ψ = ρy i θ, où ρ est ue foctio covexe voir aussi Härdle [46]. Das le cas particulier où ψ = Y i θ 2, ous obteos l estimateur à oyau usuel de E[Y S = s]. Quad ψ = Y i θ 0 θ S i... θ p S p 2, i ous obteos les coefficiets de l estimateur de la régressio E[Y S = s] defii par θ 0, s + θ, ss θ p, ss p cf. Clevelad [8]. E preat ψ = g Y i θ g p Y i θ p 2, où g = g,..., g p est ue foctio coue, ous obteos l estimateur à oyau usuel de E[g Y S = s],...,e[g p Y S = s] que ous étudios e détail das le premier chapitre. La défiitio et l applicatio des M-estimateurs à oyau au diagostic o paramétrique de modèles structurels sot motivées par u exemple avec lequel ous commeços le deuxième chapitre. Nous établissos esuite les propriétés poctuelles de covergece presque sûre Théorème et de ormalité asymptotique de ces estimateurs Théorème qui peuvet être obteues e utilisat la démarche usuelle développée pour les M-estimateurs paramétriques cf. Wald [08], Jerich [58], Huber [53], Burguete, Gallat et Souza [4], White [0], Gouriéroux et Mofort [36], à partir des propriétés des estimateurs à oyau appliquées à la foctio objectif du problème d optimisatio défii ci-dessus, et à ses première et secode dérivées par rapport à θ. Ces résultats sot obteus pour ue classe de processus fortemet statioaires et géométriquemet α-mélageats. Cepedat, ous verros que cette classe peut être ettemet élargie das le cas particulier où la foctio critère ψ est covexe e θ. Das la derière partie du deuxième chapitre, ous itroduisos ue approximatio de l estimateur foctioel θ das u voisiage de l hypothèse H 0 = {lim θ s = 0, s}, et expliquos commet ous pouvos l utiliser das la formulatio de diagostics o paramétriques de modèles structurels. Ce sot par exemple des diagostics sur la forme paramétrique d u modèle de régressio, sur ue coséquece de l hypothèse d adéquatio de la desité coditioelle à ue famille paramétrique de courbes, sur l oubli d ue variable das ue régressio, ou sur la forme d ue hétéroscédasticité coditioelle. E particulier, o motrera que das la

18 xii Itroductio costructio de régios poctuelles de cofiace asymptotique pour le paramètre foctioel lim θ sous H 0, il est préférable de cosidérer l estimateur θ s = Arg mi θ h d i= s SYi, α K h ψy i, α ; SY i, α ; θ, s IR d. Cet estimateur satisfait lim θ s = lim θ s s, et il a la même précisio asymptotique que θ. Cepedat, le terme le plus sigificatif du biais asymptotique de θ, caracteristique des estimateurs à oyau, est ul sous l hypothèse ulle, ce qui permet d attedre u meilleur comportemet à distace fiie de cet estimateur. Ue expériece sur doés simulées est aussi proposée. Le troisième chapitre cotiet des résultats techiques, ottamet de théorèmes limites pour des formes quadratiques iterveat das les développemets des statistiques que ous itroduisos au Chapitre 4. Nous obteos aisi des théorèmes de limite cetrale pour des suites de variables aléatoires réelles du type H = j<i G = g X i, i= {h X i, X j Eh X i, X j } et G, H, Théorèmes 3.4.5, 3.4. et où X i, i ZZ IN est ue suite de processus stochastiques à valeurs das IR d, fortemet statioaires, géométriquemet absolumet réguliers de faço uiforme par rapport à cf. Volkoskiĭ et Rozaov [06]. Pour IN, g et h, sot des applicatios mesurables respectivemet de IR d et IR d IR d das IR, et ous admettos que E[g X 0 ] = 0, E[h X 0, y] = 0 et h x, y = h y, x, pour x, y IR d. G et H sot doc des U-statistiques dégéérées d ordres et 2, respectivemet. La théorie des U-statistiques, d abord développée par Hoeffdig [5], a fait, das les derières aées, l objet de ombreux travaux de recherche. Divers résultats établissat la ormalité asymptotique des U-statistiques dégéérées peuvet être trouvés das la littérature. Nous pouvos citer, par exemple, les travaux de Hall [42], Jammalamadaka et Jaso [57], de Jog [23] et O Neil [74] das u cadre d échatilloage, et de Khashimov [59] et Yoshihara [3] et [4] das le cas dépedat. Le théorème de limite cetrale que ous obteos pour la U-statistique

19 Itroductio xiii dégéérée de secod ordre H, dot la techique de démostratio est basée e Takahata et Yoshihara [99], gééralise au cas mélageat le Théorème de Hall [42]. L esemble de coditios suffisates que ous obteos pour la ormalité, est sûremet pas le plus gééral, mais comme le soulige Hall à propos de so Théorème, il établit u compromis etre la gééralité et la simplicité. Ce résultat, aisi que ceux obteus pour G et G, H, sot fodés sur ue iégalité de Yoshihara [3] pour les processus absolumet réguliers et sur u théorème de limite cetrale de Dvoretzky [29] pour des suites triagulaires. Nous commeços par rappeler ces résultats e 3.2 et 3.3. Bie qu utilisés das cette thèse uiquemet das la détermiatio de la loi asymptotique de formes quadratiques basées sur l estimateur à oyau de la desité Chapitre 4, les résultats du Chapitre 3 peuvet être aussi appliqués à la détermiatio de la loi asymptotique de formes quadratiques basées sur l estimateur à oyau de la foctio de régressio cf. Tereiro [02], [03]. Das le quatrième chapitre de ce travail, ous ous itéressos au problème de test de l hypothèse H 0 : f = f 0, au iveau asymptotique α, où f 0 est ue desité fixée au départ, et f désige la desité commue des variables aléatoires observées X,..., X. Ue méthode classique proposée par Karl Pearso e 900 pour tester l hypothèse qu u échatillo proviet d ue populatio à desité fixée, s appuie sur la comparaiso de l histogramme empirique basé sur ue partitio de IR avec l histogramme de f 0, e utilisat u test du qui-deux voir Cochra [9]. Plus tard, les tests fodés sur la comparaiso de la foctio de répartitio empirique avec la foctio de répartitio correspodate à f 0 sot apparus. Ce sot les cas des bie cous tests de Kolmogorov-Smirov et de Crámer-vo Mises voir Aderso [] et Milbrodt [66]. Plus récemmet, e profitat de l itroductio des estimateurs à oyau de la desité de probabilité, Bickel et Roseblatt [4] ot proposé des tests fodés sur la comparaiso etre f 0 et cet estimateur. Cette même idée a été suivie par Eubak et LaRiccia [30] qui ot utilisé u autre estimateur de la desité. Les résultats que ous présetos das le Chapitre 4 sot des gééralisatios, au cas multivarié et das u cadre d idépedace asymptotique, des résultats obteus par Bickel et

20 xiv Itroductio Roseblatt [4]. Les tests que ous proposos sot fodés sur l estimateur à oyau f de la desité margiale du processus des observatios X i, i ZZ, que ous supposos de dimesio d, fortemet statioaire, et de loi margiale absolumet cotiue par rapport à la mesure de Lebesgue sur IR d. U tel estimateur est défii par f x = h d x Xi K, x IR d, i= où h est ue suite de ombres réels strictemet positifs, covergeat vers zéro lorsque ted vers l ifii, et K est u oyau sur IR d. Das u premier temps, il est aturel de costruire des statistiques de test à partir de l écart etre l estimateur par oyau f et sa moyee sous l hypothèse ulle, l estimateur état asymptotiquemet sas biais, ou à partir le l écart etre f et la vraie desité f 0 sous l hypothèse ulle. De tels écarts peuvet être mesurés par IR d {f x E 0 f x} 2 πxdx ou par IR d {f x f 0 x} 2 πxdx, où π est ue foctio de poids et E 0 f x désige l espérace de f x sous H 0 des tests fodés sur le maximum de l écart ormalisé de f à f 0 ot été aussi cosidérés das [4]. Nous allos aisi étudier les propriétés de procédures de test fodés sur les écarts I = {f x E 0 f x} 2 πxdx et I 2 = {f x f 0 x} 2 πxdx. IR d IR d La loi limite de ces deux variables a été étudiée par divers auteurs. Das le cas réel d =, Bickel et Roseblatt [4] ot utilisé ue techique fodée sur l approximatio forte de Brilliger, plus tard améliorée par Komlós, Major et Tusády, pour la foctio de répartitio empirique pour les résultats et référeces voir Bickel et Roseblatt [4] et Roseblatt [89]. Ue autre démarche qui se sert d ue techique de Poissoisatio de la taille de l échatillo, a été utilisée das le cas bivarié par Roseblatt [88]. Ces procédures imposet cepedat des coditios restrictives sur la desité f, et sur la suite h. Hall [42] motre que le problème précédet peut être aussi abordé das le cadre des U-statistiques dégéérées. Il obtiet les lois limites des statistiques I et I2, avec π =, pour le cas multivarié, sas imposer de coditios restrictives i sur f, i sur h. Tous ces résultats ot été obteus das u cadre d échatilloage. La costructio de tests de iveau asymptotique α et asymptotiquemet covergets pour tester f = f 0 cotre f f 0, qu o présete e 4.3 Théorèmes et 4.3.0, est basée sur les h

21 Itroductio xv variables aléatoires h d/2 { I E 0 I } { et d I 2 E 0 I 2 }, où d est ue suite tedat vers l ifii, dépedat de la feêtre h, de l ordre du oyau et de l ordre de dérivabilité de f 0. La ormalité asymptotique de ces variables a été obteue par Takahata et Yoshihara [99] avec π = pour ue sous-classe des processus fortemet statioaires et absolumet réguliers. Nous présetos ue preuve de leur résultat e employat des techiques de U-statistiques décrites au Chapitre 3. O remarque que les coditios imposées sur la suite h sot u peu plus restrictives que das le cas d échatilloage. Das le cas des variables dépedates, comme les termes détermiistes E 0 I et E 0 I 2 e peuvet pas être évalués avec la seule coaissace de f 0, ous sommes coduits à itroduire u développemet asymptotique de l erreur quadratique moyee itégrée qui ous permettra de corriger les statistiques aturelles I et I 2 de leurs effets de biais asymptotique, et ous coduira à différets tests asymptotiques. O cosidère e particulier ceux fodés sur les statistiques T 2, T 2,2 { T, = h d/2 I } h d K 2 uf 0 xπx + uh dxdu, IR d IR d { T,2 = h d/2 I h d { = d I 2 h d IR d { = d I 2 h d } K 2 uπx i + uh du, i= IR d } K 2 uf 0 xπx+uh dxdu {E 0 f x f 0 x} 2 πxdx, et IR d IR d } K 2 uπx i + uh du {E 0 f x f 0 x} 2 πxdx. IR d IR d i= E suivat la démarche employée par Bickel et Roseblatt [4], la comparaiso des différetes procédures de test proposées, aisi que l évaluatio de leurs puissaces locales, est aalysée e 4.4, e étudiat le comportemet asymptotique de chacue des statistiques de test sous ue suite de processus stochastiques fortemet statioaires, dot la desité margiale g, est de la forme suite d alteratives locales pour f 0 g x = f 0 x + a γx + oa γ x, pour x IR d, où a est ue suite de réels positifs covergeat vers zéro, lorsque ted vers l ifii. Das u cadre paramétrique, o s itéresse au cas a =. Cepedat, les tests que ous étudios sot fodés sur des estimateurs o paramétriques pour lesquels la

22 xvi Itroductio vitesse paramétrique e peut pas être obteue. Par rapport à ue hypothèse alterative si vaste, ous trouvos, pour les tests asymptotiquemet covergets et strictemet sas biais cf. Bickel et Roseblatt [4] pg. 082 fodés sur les statistiques proposées, ue vitesse de séparatio maximale etre H : f = g et H 0 égale à usuelle obteue das les tests paramétriques. d/4 h La déscriptio du comportemet asymptotique des écarts I et I2, qui est iférieure à la vitesse sous ue telle suite d alteratives locales Théorèmes et 4.4.7, ous permettra de détecter distictes propriétés de puissace des tests fodés sur I et sur I2. De plus, o coclut que les correctios asymptotiquemet équivaletes sous l hypothèse ulle, itroduites pour les termes de biais E 0 I et E 0I 2, e le sot déjà plus sous la suite d alteratives locales cosidérée. Ceci justifie les différetes propriétés de puissace trouvées pour les tests fodés sur T, et T,2, et sur T 2, et T 2,2. Uiformémet sur les alteratives locales cosidérées, ous cocluos que les tests fodés sur T,, T 2, et T 2,2,2, atteiget la puissace locale du test fodé sur T que pour des choix particuliers de la suite h. Fialemet, e teat e compte que les tests fodés sur I 2 peuvet atteidre ue puissace asymptotique o triviale pour certaies alteratives locales avec a =, ous discutos e 4.6 et ous plaçat das u cadre d échatilloage, la costructio d u test asymptotiquemet coverget fodé sur ue statistique multivariée de tels écarts quadratiques évaluées pour des différetes podératios π, pour tester l hypothèse simple H 0 : f = g ; θ 0, où θ 0 est à l itérieur de Θ IR K, cotre ue hypothèse alterative paramétrique H c 0 : f { g ; θ θ Θ \ {θ 0 } }, e obteat la puissace paramétrique. Nous motreros ecore qu u choix adéquat des différetes foctios de poids permettra d obteir u test asymptotique strictemet sas biais pour tester H 0 cotre H c 0, dot la puissace asymptotique est idetique à celle du test du rapport de vraisemblace. Après avoir termié la rédactio de cette thèse, ous avos pris coaissace du travail de Y. Fa [32] publié pedat l aée 994, où l auteur étudie des tests d ajustemet d ue hypothèse composite, fodés sur les statistiques I et I2 avec π =, das u cadre d échatilloage. Malgré les aturels poits commus avec l étude que ous avos développée das le quatrième chapitre de cette thèse, ous e voulos pas termier la présete itroductio sas ue référece à quelques poits où les abordages développés das les deux travaux e coïcidet pas.

23 Itroductio xvii Le premier de ces poits cocere l hypothèse d idépedace etre les variables observées qui a été cosidérée par Fa [32]. Ue telle hypothèse permet à l auteur d utiliser, das l étude du comportemet asymptotique des statistiques de test, les théorèmes limites sur les U-statistiques dégéérées obteus par Hall [42]. E admettat que les variables aléatoires observées peuvet satisfaire à ue structure de dépedace, ous avos eu besoi, das ue première étape, d étedre tels théorèmes limites au cas de dépedace cosidéré. Deuxièmemet, otos que Fa [32] développe so étude das le cas gééral d ue hypothèse ulle composite, ayat pas cette démarche été suivie das cette thèse. E effet, ayat cosidéré comme pricipal objectif de l étude que ous avos développée, l obtetio de tests uiformémet strictemet sas biais, et sachat cf. Bickel et Roseblatt [4] que tels tests peuvet s obteir, das le cas d ue hypothèse ulle composite, à partir des tests correspodats pour ue hypothèse ulle simple, comme ous l avos déjà souligé, ous avos uiquemet cosidéré l étude de ce derier cas. Fialemet, otos que le fait d avoir cosidéré, das cette thèse, de tests fodés sur des écarts quadratiques podérés, si bie que, apparemmet, sas importace das le test d ue hypothèse simple cotre ue alterative o paramétrique, il se révèle itéressat das le test d ue hypothèse simple cotre ue hypothèse alterative paramétrique.

24 xviii Itroductio

25 Chapitre Estimatio d ue foctio de momets coditioels sous des coditios locales Das ce chapitre, ous établissos, sous des coditios locales, la covergece poctuelle et la ormalité asymptotique d ue classe d estimateurs par oyau fodés sur u processus strictemet statioaire et mélageat. Cette classe cotiet les estimateurs par oyau usuels de la desité et de l espérace coditioelle, aisi que ceux de toute foctio suffisammet régulière de telles quatités: variace coditioelle, coefficiet d asymétrie coditioel, kurtosis coditioelle,.... Défiitio de l estimateur φ x. Quelques otatios Soit X i, i ZZ u processus stochastique à valeurs das IR d, fortemet statioaire. Cosidéros pour i ZZ, V i = X i+s,...,x i+ et W i = X i s0, X i s..., X i sq,.. où q IN et s, s 0,...,s q IN sot fixés au départ, avec 0 s 0 < s < < s q et s > 0. O suppose que W 0 admet ue desité f par rapport à la mesure de Lebesgue sur IR d, avec d = dq +. Si g = g,...,g p et Φ sot des applicatios mesurables coues de IR d s

26 2 Estimatio d ue foctio de momets coditioels sous des coditios locales das IR p et de IR p das IR p, respectivemet, ous ous itéressos aux estimateurs du paramètre foctioel φx = Φ mg, xfx de la forme φ x = Φ g x, où mg, x désige l espérace coditioelle E[gV 0 W 0 = x], et x Wi g x = h d g V i K h i=,..., h d p i= x Wi g p V i K p,..2 h p où x IR d. Pour r =,...,p, h r est ue suite de réels strictemet positifs, tedat vers zéro lorsque ted vers l ifii, et K r est u oyau sur IR d, c est-à-dire, ue applicatio de IR d das IR itégrable telle que IR d K rxdx =. Les estimateurs à oyau précédets dot ous étudios les propriétés de covergece e probabilité ou e moyee quadratique et de covergece des lois de dimesio fiie du processus empirique associé, apparaisset de faço aturelle das l estimatio o paramétrique de la desité de probabilité de la loi de W 0 g =, Φu = u, u IR, das celle de l espérace coditioelle E[hV 0 W 0 = x] g =, h, Φu, v = v u, u IR\{0}, v IR, et aussi das celle de toute foctio suffisammet régulière de telles quatités comme, par exemple, la variace coditioelle, et les coefficiets d asymétrie et de kurtosis coditioels. Par la suite, ous désigos par: B x l esemble des applicatios borées das u voisiage de x; C x l esemble des applicatios cotiues e x; A x α α ]0, ] l esemble des applicatios α-lipschitziees das u voisiage de x; D x m m IN l esemble des applicatios dot les composates admettet des dérivées partielles d ordre m cotiues das u voisiage de x; B x M, δ l esemble des applicatios borées par M > 0 das u voisiage δ > 0 de x..2 Hypothèses pricipales E plus de la statioarité forte, ous imposos diverses hypothèses de régularité sur le processus X i, i ZZ. Celles-ci pourrot cocerer so comportemet asymptotique ou la régularité de ses momets coditioels..2. Idépedace asymptotique Soit F m,, m ZZ {, + } la tribu egedrée par les variables {X i, i m}. La dépedace etre le passé F 0 et le futur F + i [84] peut être mesurée par le ombre cf. Roseblatt

27 .2 Hypothèses pricipales 3 αi = sup PA B PAPB..2. A F 0 B F + i Défiitio.2.2 O dit que le processus X i,i ZZ est de type Alphaγ, avec γ ]0, ], s il existe r ]0, γ +γ [ tel que + α r i <. i= U processus de type Alphaγ pour u γ ]0, ], est évidemmet α-mélageat ou fortemet mélageat, c est-à-dire, αi 0, si i +. La coditio Alphaγ est impliquée par d autres coditios sur la vitesse à laquelle αi ted vers zéro. Elle l est, par exemple, si: αi = Oρ i avec 0 < ρ <, cas de certais processus ARMA multivariés ou biliéaires réels fodés sur des bruits blacs i.i.d. cf. Pham et Tra [76] et Mokkadem [67] et de certais processus autorégressifs d ordre, avec des erreurs qui admettet des répresetatios ARCH, TARCH ou β-arch cf. Diebolt et Guéga [26]; si αi = Oi r ρ i avec 0 < ρ < et r > 0, cas des processus autorégressifs d ordre, fodés sur u bruit blac i.i.d. de Cauchy cf. Gastwirth et Rubi [33]; si αi = O i avec ǫ > + ǫ γ, cas de certais processus gaussies dot la covariace satisfait covx 0, X i = O i a, avec a > 2 + γ cf. Doukha [28] pg. 59; ou si αi = 0 pour i > m, cas de processus qui admettet ue répresetatio moyee mobile d ordre m, ou plus gééralemet, de processus m-dépedats. Par cotre, si αi = C i ǫ, avec C > 0 et ǫ + γ, la coditio Alphaγ est pas satisfaite. La propositio suivate établit la vitesse de covergece vers zéro du reste d ordre de la série i= αt i, pour t > γ +γ, où αi est le coefficiet de mélage d ordre i d u processus de type Alphaγ. Propositio.2.3 Soit γ ]0, ], fixé. Les propositios suivates sot équivaletes: i X i, i ZZ est de type Alphaγ; t ii état doés s, t > 0 avec +s = γ +γ, il existe η > 0 tel que où αi est défii par s+η α t i 0, lorsque +, i=

28 4 Estimatio d ue foctio de momets coditioels sous des coditios locales Démostratio: Soit γ ]0, ], fixé. Soiet s, t > 0 tels que t +s = γ +γ, et r ]0, γ +γ [ tel que + i= αr i <. O a iα r i 0, i +, puisque αi est décroissate. Soit alors αi = ǫi, où ǫ i /r i 0, i +. Notos ξ i = sup j i ǫ t j, pour i IN. La coditio ii est alors satisfaite avec η = t r +γ γ > 0. E effet, + + s+η α t i = s+η ǫ t i i t/r i= i= ξ s+η + i= i t/r = Oξ = o. Iversemet, soit η > 0 tel que pour s = +γ γ, o a s+η + i= αi 0, +. Si m >, comme la suite αi est décroissate, o a + i= αi + i=m αi = m i= αi m αm. E faisat m = 2, o a, d après les expressios précédetes + 2 +s+η α2 22 s+η αi i= + i=2 αi + + = 2 +s+η s+η αi 22 s+η αi, et doc 2 +s+η α2 0, +. De faço aalogue, la même coclusio est valable pour m = 2 +, ce qui permet de coclure que +γ γ +η α 0, +. Le processus X i, i ZZ est aisi de type Alphaγ. i= i=2 D autres coditios de dépedace sur le processus peuvet être cosidérées. Les plus usuelles coceret la vitesse de covergece vers zéro, lorsque i ted vers l ifii, des coefficiets ρi = sup f L 2 F 0 g L 2 F + i covf,g V arf /2 V arg /2 ou φi = sup A F 0,PA>0 B F + i PB A PB cf. Bradley [2]. Das ce cas ous disos que X i, i ZZ est ρ ou φ-mélageat, respectivemet. Des rapports etre ces divers types de mélage sot déduits des iégalités 4αi ρi 2 φi, pour i IN. O rappelle ecore que das le cas d u processus gaussie, les coefficiets αi et ρi sot équivalets cf. Kolmogorov et Rozaov [60]. Nous discuteros e.4.3 ce que devieet les résultats des sectios suivates lorsque ces autres otios de dépedace sot utilisées.

29 .2 Hypothèses pricipales Momets coditioels croisés Etat doés x,...,x T, T poits de IR d, otos par N p x,...,x T, avec p IN, l esemble des applicatios g de IR d s das IR p, pour lesquelles il existe M > 0 et δ > 0 tels que E[ gv i gv 0 X i =, W 0 = ]f Xi,W 0, T a,b= B πx a,x b, si i s q, E[ gv i gv 0 W i =, W 0 = ]f Wi,W 0, T a,b= B x a,x b M, δ, si i > s q, où est ue orme quelcoque das IR d, πx = x 0, si x = x 0, x,...,x q IR d q+, et f Wi,W 0 i > s q et f Xi,W 0 i s q désiget respectivemet les desités de probabilité des vecteurs W i, W 0 et X i, W 0, dot o admet l existece. De plus, otos P p x, pour p IN et x IR d, l esemble des applicatios g = g,..., g p de IR d s das IR p, telles que g r N x, pour r =,...,p. Les deux esembles d idices i > s q et i s q cosidérés ci-dessus, correspodet respectivemet à la situatio où il y a pas de variables commues à W i et W 0, et celle où o e peut pas toujours admettre l existece de la desité du couple W i, W 0. Ce derier cas peut être illustré lorsqu o estime E[X X 0 =, X 2 = ] où X i, i ZZ est u processus réel. O a W i = X i, X i 2, et pour i = s q = 2 la desité du vecteur W i, W 0 existe pas. La coditio précédete sur les momets coditioels croisés apparaît comme ue extesio de la coditio, sur les desités joites, utilisée das Robiso [8] pg. 9, ou de celle cosidérée das Roseblatt [90] pg. 99. Lorsqu il existe R > 0 tel que P gv 0 < R =, ce qui est e particulier vrai si g est borée ou si f X0 est à support boré et g est cotiue, la coditio g N p x,..., x T se réduit e effet à N p x,..., x T, c est-à-dire, il existe M > 0 et δ > 0 tels que f Xi,W 0 T a,b= B πx a,x b, si i s q, f Wi,W 0 T a,b= B x a,x b M, δ, si i > s q. La restrictio la plus importate itroduite, soit par la coditio N p x,...,x T, soit par g N p x,..., x T, est pas le fait de demader que les applicatios qui y sot itroduites soiet borées das u voisiage des poits sigalés, mais surtout que cela soit uiforme e i. Das le cas des processus m-dépedats et teat compte de l idépedace etre les variables W i et W 0 pour i > s q + m, la coditio d uiformité itroduite par N p x,...,x T est

30 6 Estimatio d ue foctio de momets coditioels sous des coditios locales satisfaite si f W0 est borée das u voisiage des poits x,...,x T, tadis que celle itroduite par g N p x,..., x T est satisfaite si m g 2, et f W0 sot borées das u voisiage des poits x,...,x T, car pour i > s q + s + m et u, v IR d, o a E[ gv i gv 0 W i = v, W 0 = u]f Wi,W 0v, u E /2 [ gv i 2 W i = v, W 0 = u]e /2 [ gv 0 2 W i = v, W 0 = u]f Wi,W 0v, u = m g 2, vm g 2, u /2 fw0 vf W0 u. Lorsque que les desités de probabilité f Vi,W i,v 0,W 0 des vecteurs V i, W i, V 0, W 0 existet pour i > s + s q, ce qui se verifie par exemple, das le cas des processus gaussies, o remarque que cette coditio d uiformité porte sur les desités joites des vecteurs V i, W i et V 0, W 0 pour i assez grad, car pour u, v IR d, o a E[ gv i gv 0 W i = v, W 0 = u]f Wi,W 0v, u = gx gy f Vi,W i,v 0,W 0x, v, y, udxdy. IR d s IR d s.2.3 Le cas Markovie Si X i, i ZZ est u processus de Markov d ordre, et si ous ous itéressos à l estimatio de φx = Φ E[gX X 0 = x]fx, ous discutos maiteat les hypothèses N p x,..., x T et g N p x,...,x T, où x,..., x T sot des poits das IR d. La coditio N p x,..., x T, qui se réduit à: il existe M > 0 et δ > 0 tels que f Xi,X 0, T a,b= B x a,x b M, δ, si i, est satisfaite si f X0 et sup x IR d f X X 0=x sot borées das u voisiage des poits x,..., x T, où f X X 0=x désige la desité de la loi X coditioée par X 0 = x. E effet, ous avos pour i et u, v IR d, f Xi,X 0v, u = f X0 u f Xi X i =xvf Xi X 0=uxdx IR d f X0 u sup f X X 0=xv. x IR d La coditio g N p x,..., x T, qui se réduit à: il existe M > 0 et δ > 0 tels que E[ gx i+ gx X i =, X 0 = ]f Xi,X 0, T a,b= B x a,x b M, δ, si i, est satisfaite si les applicatios g, E[ gx X 0 = ], f X0 et sup x IR d f X X 0=x sot borées das u voisiage des poits x,...,x T. E effet, pour i = et u, v IR d, il suffit de remarquer que

31 .3 L estimateur à oyau g x 7 E[ gx i+ gx X i = v, X 0 = u] = gv E[ gx X 0 = v]. Pour i > et u, v IR d, ous avos E[ gx i+ gx X i = v, X 0 = u]f Xi,X 0v, u = gy gx f Xi+ X i=vyf Xi X =xvf X X 0=uxf X0 udxdy IR d IR d f X0 u sup f X X 0=xvE[ gx X 0 = u]e[ gx X 0 = v]. x IR d.3 L estimateur à oyau g x Das les paragraphes suivats ous présetos quelques propriétés asymptotiques de l estimateur à oyau g, que ous utilisos plus tard pour dériver des résultats de covergece pour l estimateur φ. Nous décrivos esuite le comportemet asymptotique de la covariace cov g x, g y, avec x et y poits de IR d. E coséquece de ce résultat ous dérivos la covergece e moyee quadratique de l estimateur g x. Puis ous établissos la ormalité asymptotique des lois de dimesio fiie du processus empirique g x, x IR d. Notos pour x IR d d après..2, o a et IN, g x = g, x,..., g p, x, où pour r =,...,p, et x Wi g r, x = g r V i K r,.3. h d r h r où les variables aléatoires V i et W i, pour i ZZ, sot défiies par... i=.3. Comportemet asymptotique de covg x, g y Pour x, y IR d, o a cov g x, g y = [ cov g r, x, g r,y ] r,r =,...,p, où pour r, r =,...,p, cov g r, x, g r,y [ = E h d r avec Z i = V i, W i, i ZZ, et g r,x Z i i= h d r j= ] g r,yz j, [ ] x Wi x Wi g r,x Z i = g r V i K r E g r V i K r. h r h r

32 8 Estimatio d ue foctio de momets coditioels sous des coditios locales Aisi, d après la statioarité forte du processus Z i, i ZZ, o peut écrire cov g r, x, g r,y.3.2 = h d h d r r E [g r,xz 0 g r,yz 0 ] +h d r i {E [gr,x Z i g r,yz 0 ] + E [g r,yz i g r,x Z 0 ] }. i= L étude du terme de covariace de l égalité précédete ous coduit à l itroductio de coditios sur la vitesse de covergece vers zéro du coefficiet de mélage et aussi à l impositio de coditios de régularité sur certais momets coditioels croisés. Nous le feros à l aide du lemme suivat: Lemme.3.3 Soiet x u poit de IR t, g i i IN ue famille d applicatios itégrables de IR t das IR, et ϕ ue applicatio de IR t das IR telle que: i sup ϕy <, ii IR ϕy dy <, t y IR t et iii lim y y + t ϕy = 0. Si sup g i y dy <, et si les applicatios g i, i IN sot, par i IN IR t rapport à i, uiformémet borées das u voisiage δ > 0 de x, alors x y sup i IN h t g i yϕ dy = O, lorsque h 0. IR h t Démostratio: Coséquece immédiate de l iégalité suivate, valable pour tout δ > 0, h > 0, et toute l applicatio g itégrable de IR t das IR cf. Parze [75] pg. 067, Cacoullos [5] pg. 8 x y h gyϕ dy gx ϕydy IR t h IR t sup y δ gx y gx IR t ϕy dy + δ t sup y > δ h + gx y t ϕy gy dy IR t y > δ h ϕy dy. Notos K d la classe des oyaux K sur IR d qui satisfot les coditios i, ii et iii du lemme précédet. E particulier, si o ote par K d c la classe des oyaux sur IR d borés à support boré, o a K d c Kd. Propositio.3.4 Soiet x, y IR d, et h ue suite de ombres réels strictemet positifs telle que h 0, +. O suppose:

33 .3 L estimateur à oyau g x 9 i E gv 0 2+δ <, pour u δ > 0; ii mg g, f C x C y ; iii m g 2+δ, f B x B y ; iv g N p x, y; v X i, i ZZ est de type Alpha δ 2+δ ; vi pour r =,...,p, h r = c r h, c r > 0; vii les oyaux K r, r =,...,p, appartieet à la classe K d c. Alors, pour r, r =,..., p, lim + hd cov g r, x, g r,y d u u =mg r g r, xfx K r K r du δ x y, c r c r IR d c r c r où δ x est la foctio idicatrice de l esemble {0} évaluée e x. Démostratio: Etat doés x, y IR d et r, r =,...,p, o a d après l iégalité.3.2, h d cov g r, x, g r,y d = h d E[g r,x Z 0 g r,yz 0 ].3.5 c r c r i {E[gr,x Z i g r,yz 0 ] + E[g r,yz i g r,x Z 0 ] }. +h d i= Le comportemet asymptotique du terme de variace de l égalité précédete s obtiet e utilisat la démarche classique d après les hypothèses i-iii cf. Bosq et Lecoutre [9] pg. 87. Aisi, ous avos u u lim + h d E[g r,x Z 0 g r,yz 0 ] = mg r g r, xfx K r K r du δ x y..3.6 IR d c r c r Les hypothèses iii-vii ous allos permettre de coclure que le terme de variace de l égalité.3.5 est plus sigificatif que celui de covariace. Etablissos doc la covergece vers zéro, lorsque ted vers l ifii, de ce derier terme. Pour cela, motros que lim + h d + i= E[gr,x Z i g r,yz 0 ] = Nous allos majorer le terme gééral de la série précédete, e utilisat soit l iégalité pour les covariaces etre foctios de composates écartées das le temps d u processus α-mélageat obteue par Davydov [2] ue démostratio de ce résultat est doée das

34 0 Estimatio d ue foctio de momets coditioels sous des coditios locales Hall [44] pg. 278, soit l hypothèse g N p x, y. Aisi, pour i > s+s q, d après le Lemme.3.3 et l hypothèse iii, o a E[gr,x Z i g r,yz 0 ] = O = O 8α δ 2+δ i s sq E 2+δ α δ 2+δ i s sq h d α δ 2+δ i s sq h d x g Wi rv i K r h r r hd r 2+δ, 2 2+δ. 2+δ E 2+δ g r V 0K r y W0 2+δ h r D autre part, o a pour i, E[gr,x Z i g r,yz 0 ] = E [ g r V i K r x Wi h r g r V 0 K r ] y W0 + O h r h 2d..3.8 Le Lemme.3.3 et les hypothèses iv, vi et vii, ous permettet d obteir les développemets suivats pour le premier terme de la partie droite de l égalité précédete das les cas où i > s q et i s q. Soiet x = x 0, x,...,x q et pour u IR d, ϕ r u = Nous avos [ sup x E Wi g r V i K r i>s q h r sup i>s q = O h 2d, ] y W0 g r V 0 K r h r sup x,...,x q IR d K r u, x,...,x q. E[ g r V i g r V 0 W i = u, W 0 = v]f Wi,W 0u, v IR d IR d x u y v K r K r dudv h r h r et pour i s q, [ ] x E Wi y W0 g r V i K r g r V 0 K r h r h r E[ g r V i g r V 0 X i = u, W 0 = v]f Xi,W 0u, v IR d IR d x0 u y v ϕ r K r dudv h r h r = O h d +d. D après les majoratios précédetes et e désigat par [x] la partie etière de x, o a pour 0 < ξ <, h d + i= E[gr,x Z i g r,yz 0 ]