Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

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1 Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des lettres, soit cas. A chaque fois il e est de même pour la deuxième lettre, et aisi de suite. Le ombre des mots est. ) Combie existe-t-il de mots de logueur e coteat qu ue seule lettre? Combie s ils ot que deux lettres différetes? Si les mots sot tous formés avec la même lettre répétée, il y a mots, autat qu il y a de lettres possibles. Si les mots de logueur cotieet seulemet deux lettres différetes, ce qui impose, o commece par choisir ces deux lettres, soit C cas. Ue fois les deux lettres choisies, il s agit de former tous les mots e coteat qu elles. Il existe mots à base de deux lettres, mais parmi eux il faut elever ceux qui e cotieet qu ue seule des deux lettres, soit deux mots. Fialemet le ombre de mots cherchés est C ( ). 3) O suppose das cette questio que =. Combie existe-t-il de mots coteat toutes les lettres? Combie e existe-t-il coteat exactemet K des lettres? Les mots de logueur coteat les lettres e sot autres que les permutatios de élémets, leur ombre est!. Supposos maiteat qu ils cotieet K lettres, avec K etre et. Commeços par choisir K lettres parmi, soit C K cas. uis plaços-ous das u de ces cas. our coaître le ombre des mots ayat K lettres doées, plaços-ous das le cotexte de la formule du crible, e cosidérat K propriétés, la propriété i, avec i etre et K, sigifiat que la lettre i est pas présete das le mot. Le ombre des mots cherchés est : S 0 S + S + (-) K S K (ous utilisos les otatios du livre Combie -Combiatoire, chapitre sur la formule du crible). Ici S 0 = K, S = C K (K ), S = C K (K ),, S K- = C K K- (K (K-)) p, S K = 0. D où le ombre de mots : C K ( K C K (K ) + C K (K ) + ( ) K- C K K- (K (K )) p ) ar exemple pour = 4, le ombre des mots est 4 4 = 56, et ils se diviset e quatre catégories: ceux coteat ue seule des 4 lettres, soit 4 mots

2 ceux coteat exactemet deux lettres, soit C 4 ( 4 ) = 84 ceux coteat exactemet trois lettres, soit C 4 3 ( ) = 44 ceux coteat les quatre lettres, soit C 4 4 ( ) = 4 Le ombre moye de lettres présetes das ces mots est,7. Remarquos au passage la formule : j= 0 j j ( ) C ( j) =! 4) O suppose doréavat que les mots sot fabriqués au hasard. Cela reviet à predre ue ure coteat boules umérotées de à, et à effectuer tirages successifs avec remise de la boule à chaque fois, ces tirages état équiprobables. E otat les uméros des boules successivemet tirées, o retrouve les mots de logueur à base de lettres. O appelle Y() la variable aléatoire correspodat au ombre de lettres (uméros) présetes das ces mots de logueur. a) Calculer les probabilités p(y() = ) et p(y() = ). Chaque mot a autat de chaces d être obteu qu u autre. Das ce cotexte d équiprobabilité, la probabilité est le ombre de cas favorables sur le ombre de cas possibles. E utilisat les résultats du et du, o trouve : p(y() = ) = = C( ) p(y() = ) = b) Calculer p(y()) = ) lorsque est iférieur ou égal à. Les cas favorables sot costitués par les mots de logueur ayat lettres différetes. Cela reviet à predre les arragemets de lettres prises parmi, soit A. D où la probabilité : A p(y()) = ) = c) Etablir ue relatio de récurrece etre le ombre de mots M( +, ) de logueur + et ayat exactemet lettres présetes, et les ombres M(, ) et M(, ) de mots de logueur et ayat respectivemet et lettres présetes. Les M( +, ) mots de diviset e deux catégories, selo leur derière lettre, la + ème.. Si la derière lettre est déjà présete das le reste du mot qui est de logueur (avec lettres présetes), il y a derières lettres possibles. O trouve aisi M(, ) mots. Si la derière lettre est pas déjà présete das le reste du mot de logueur et qui cotiet lettres différetes, il reste à choisir pour la derière lettre ue lettre autre que les, soit + cas. D où le ombre de mots M(, ) ( + ). O trouve fialemet la relatio :

3 3 M( +, ) = M(, ) + ( + )M(, ) d) E déduire ue relatio de récurrece etre probabilités O a, grâce à la relatio précédete : M ( +, ) M (, ) + ( + ) M (, ) p( Y ( + ) = ) = = = p( Y ( ) = ) + p( Y ( ) = ) 5) O pred la foctio géératrice G () associée à la loi de probabilité de Y, soit G ( ) = p( Y( ) = ) + = des 0, il suffit de predre le polyôme e : G ( ) = p( Y( ) = ) =, mais comme cette somme ifiie se termie par (quelques-us des termes de plus haut degré peuvet aussi être uls lorsque < ). E utilisat la relatio de récurrece précédete, détermier G + () e foctio de G () et de sa dérivée G (). Costatos d abord que du 4-d : G ( ) = p( Y ( + ) = ) + = = = G ' ( ) = p( Y ( ) = ) = ( ) = p( Y ( ) = ) + p( Y ( ) = ) ' ' +. E appliquat la formule = p( Y ( ) = ) + p( Y ( ) = ') = ' = 0 Das le premier Σ, o voit apparaître la dérivée, et das le deuxième Σ o a procédé à u chagemet de variable ' ' + = G ' ( ) + p( Y ( ) = ') =. ' = Das le Σ, o a elevé le terme avec = 0, puisqu il est ul, et l o a rajouté le terme avec =, qui est ul lui aussi. Si l o fait cela, c est das le but de voir apparaître les foctios géératrices, comme cela va se préciser maiteat, e cassat le Σ e deux. ' = ' = ' ' = G ' ( ) + p( Y ( ) = ') ' p( Y ( ) = ') = G ' ( ) + G ( ) G ' ( ) G+ ( ) = G ' ( ) + G ( )

4 4 6) Appelos E(Y()) la valeur moyee (ou espérace) de la variable aléatoire Y(). Utiliser la formule précédete pour trouver ue relatio de récurrece etre E(Y(+)) et E(Y()). uis doer la formule explicite de E(Y()). O sait que E(Y()) = G (). Comme o a aussi besoi de E(Y(+)) = G + (), o est ameé à dériver la formule précédete. G ' + ( ) = G '' ( ) + G ' ( ) + G ' ( ) + G ( ) Faisos maiteat =. La dérivée secode a le bo goût de disparaître, et o sait aussi que G () =. Il reste : E( Y ( + )) = E( Y ( )) + E( Y ( )) + = E ( Y ( )) + O recoaît la relatio de récurrece d ue suite arithmético-géométrique, de la forme u + = q u +, avec q =. So poit fixe est égal à. Itroduisos la suite (v ) telle que v = u. ar soustractio, o trouve : u + = q u + = q + v + = q v La suite (v ) est géométrique, sa forme explicite est v = q v avec v = u. Aisi u = q (u ) ou u = q (u ) +. Avec ici u = E(Y()) =, l espérace est égale à : ( ) E( Y ( )) = ( ) + = = 7) O pred ici =. Faire le programme qui permet d avoir E(Y()). our cela o réalise u grad ombre NBE d expérieces. Chaque expériece cosiste à faire tirages répétés avec remise das ue ure qui cotiet boules umérotées de à. A chaque fois, o compte le ombre de uméros différets obteus. E cumulat ces résultats de chaque expériece, et e divisat ce cumul par le ombre NBE d expérieces, o trouve la moyee demadée E(Y()). Costater expérimetalemet que le rapport E(Y()) / décroît lorsque augmete, e ayat tedace à se stabiliser sur ue valeur limite que l o précisera. Au cours de chaque expériece de tirages, o utilise u tableau fait[] mis iitialemet à 0. Lorsqu u uméro i est tiré, o met la case fait[i] à. Lorsque les tirages sot effectués, la somme des de ce tableau doe le ombre de uméros différets. O trouvera ci-dessous la partie stratégique du programme. O se doe le ombre d expérieces NBE, aisi que la valeur de. Comme les uméros vot de à, le tableau fait[] doit être déclaré it fait[+], la case 0 état ioccupée. cumul=0; for(experiece=0;experiece<nbe;experiece++) { for(i=;i<=;i++) fait[i]=0;

5 5 for(tirage=; tirage<=; tirage++) { umero=+radom(); fait[umero]=; } compteur=0; for(i=;i<=;i++) if (fait[i]==) compteur++; cumul+=(float)compteur; } moyee=cumul/(float)nbe; pritf("\n= %3.d valeur moyee/=: %3.4f ",,moyee/(float)); Le rapport E(Y()) / passe de 0,65 pour = 0, à 0,634 pour = 00, et 0,634 pour = 500. Il se stabilise sur ue valeur de cet ordre. 8) Calculer la valeur limite de E(Y()) / e utilisat le résultat du 6. O sait que E(Y()) = Or l( ) = e ( ) ou E( Y ( )) = ( ) et l o sait que pour grad : ted vers e. Le rapport E( Y ( ) ted vers, soit 0,63. e. l( ). Aisi Remarque fiale : O savait que l utilisatio de foctios géératrices était particulièremet efficace das les problèmes de temps d attete. O a là u exemple différet, où à défaut d être coue explicitemet, la foctio géératrice permet de calculer l espérace.

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