Analyse Numérique - Projet A rendre au plus tard le jour de l examen final, en Janvier 2010.

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1 Master 1ère année de Mathématques Analyse Numérque - Projet A rendre au plus tard le jour de l examen fnal, en Janver CMI, Unversté de Provence Année Ce qu vous est demandé : Rédger les réponses aux questons théorques de l énoncé en les llustrant, le cas échéant, par les résultats numérques obtenus par des programmes Sclab. Fournr également vos programmes Sclab (scrpts et fonctons). On fera un programme dfférent pour chacune des deux partes de l énoncé. Consels mportants : Lre tout le sujet avant de commencer. Avant de vous lancer dans la programmaton, écrre sur paper : Un canevas rapde de ce que vous devez mettre dans votre programme prncpal et dans quel ordre (ntalsaton, calcul proprement dt, sorte numérque ou graphque des résultats, etc...). La lste des varables prncpales que vous allez utlser, en précsant la talle des vecteurs et des matrces pour évter les (très fréquentes) erreurs dans les ndces... Les fonctons annexes que vous devrez éventuellement programmer. Ne pas héster à utlser les lgnes de commentares dans Sclab pour ben sgnaler les dfférentes partes du programme, la sgnfcaton des varables, etc... Les deux partes du projet sont totalement ndépendantes! I Un modèle de propagaton d une épdéme On consdère c le système d équatons dfférentelles ordnares suvant S (t) = βi(t)s(t) γr(t), R (t) = νi(t) γr(t), I (t) = νi(t) βi(t)s(t), (1) avec les condtons ntales S(0) = S 0, R(0) = R 0, (2) I(0) = I 0. Dans ce système β, γ et ν sont tros paramètres strctement postfs. Ce système décrt l évoluton selon le temps (l unté de temps étant le jour) d une populaton soumse à une malade contageuse. Les hypothèses et les notatons sont les suvantes : La populaton totale est constante au cours du temps : on ne tent pas compte dans ce modèle des effets de la natalté et de la mortalté, dont on suppose qu ls se compensent exactement. I(t) [0, 1] représente la proporton au temps t des ndvdus qu sont Infectés par la malade. Ces ndvdus sont par alleurs contageux et sont le vecteur de la propagaton de la malade. R(t) [0, 1] représente la proporton au temps t des ndvdus qu sont Résstants, c est-à-dre qu ont contracté la malade, en ont guér et en sont mantenant mmunsés. S(t) [0, 1] représente la proporton au temps t des ndvdus qu sont Susceptbles de contracter la malade. Il s agt donc de tous les ndvdus qu ne sont pas malades et qu ne sont pas mmunsés. La sgnfcaton des coeffcents est la suvante : 1/ν est le temps moyen de guérson d un patent nfecté. β est le facteur de contamnaton, c est-à-dre la probablté que, s un ndvdu Infecté est en contact avec un ndvdu Susceptble pendant 1 unté de temps, alors ce derner va contracter la malade. 1/γ est le temps moyen durant lequel un ndvdu ayant contracté la malade va en être mmunsé.

2 I.1 Etude théorque du modèle 1. Comment nterprétez-vous les dfférents termes dans les équatons (1)? Essayez de donner une justfcaton heurstque à la sgnfcaton donnée c-dessus pour les dfférents paramètres (ν, β et γ). 2. Justfez en quelques mots que l on peut applquer le théorème de Cauchy-Lpschtz au système (1)-(2). Quelles nformatons obtent-on sur les solutons de celu-c? Sot donc (S, I, R) la soluton maxmale de ce problème, dont on note J l ntervalle de défnton (qu content 0). Le but des questons qu suvent est de montrer, sous de bonnes hypothèses, que [0, [ J. 3. Montrer tout d abord que l on a t J, S(t) I(t) R(t) = S 0 I 0 R 0. A quelle hypothèse de modélsaton cette proprété correspond-t elle? 4. Etude de I : (a) Montrer que le système dfférentel { S (t) = γ R(t), R (t) = γ R(t), admet une unque soluton assocée à toute donnée de Cauchy. (b) En dédure que s l exste t 0 J tel que I(t 0 ) = 0, alors I est dentquement nulle, donner explctement dans ce cas l expresson de la soluton du problème (1)-(2). On suppose dorénavant que I est tout le temps strctement postve, c est-à-dre que I 0 > Etude de R : (a) Montrer que s R 0 = 0, on a R (0) > 0 en dédure que R > 0 sur un certan ntervalle ]0, ε]. (b) On souhate montrer que s R 0 0, alors on a R(t) > 0 pour tout temps t > 0 où la soluton est ben défne. Pour cela on rasonne par l absurde et on suppose qu l exste un temps t > 0 tel que R(t) = 0. On pose alors t = nf{t J, t > 0, tq R(t) = 0}.. Montrer que t > 0 et que R(t ) = 0.. Montrer que R (t ) > 0 et conclure. On suppose dorénavant que R 0 0 et ans R(t) ne s annulle jamas pour t > Etude de S : (a) Montrer que s S 0 = 0 et R 0 > 0, alors S (0) > 0. En dédure que S > 0 sur un certan ntervalle ]0, ε]. (b) Montrer que s S 0 = 0 et R 0 = 0, alors S (0) = 0 et S (0) > 0. En dédure que S > 0 sur un certan ntervalle ]0, ε]. (c) On veut mantenant montrer que s S 0 0, alors pour tout temps t on a S(t) > 0. Pour cela, on rasonne par l absurde et on suppose qu l exste un temps t > 0 tels que S(t) = 0. On pose alors t = nf{t J, t > 0, tq S(t) = 0}.. Montrer que t > 0 et que S(t ) = 0.. Montrer que S (t ) > 0 et conclure. 7. Concluson : En utlsant tout ce qu précède, montrer que pour toutes données ntales S 0 [0, 1], R 0 [0, 1] et I 0 ]0, 1] vérfant S 0 R 0 I 0 = 1, la soluton du problème (1)-(2) est ben défne sur tout l ntervalle [0, [ et que par alleurs, on a t > 0, 0 < S(t) < 1, 0 < R(t) < 1, et 0 < I(t) < 1.

3 I.2 Etude numérque des épdémes On consdère désormas des condtons ntales de la forme S 0 = 1 ε, I 0 = ε, R 0 = 0, (3) où ε est un paramètre. Ans, à l état ntal aucun ndvdu n est mmunsé. S ε > 0 est pett, cette stuaton correspond à une malade qu se déclare ntalement sur un pett nombre d ndvdus alors que les autres n ont jamas été en contact avec celle-c, par exemple dans le cas où la malade est amenée depus un autre contnent par un ndvdu malade. Le type de questons qu nous ntéresse est le suvant : est-ce qu une épdéme va se déclencher? comment va-t elle évoluer? Quelle proporton de la populaton sera touchée? Peut-on évaluer le moment où le pc de l épdéme va se produre? On peut auss envsager d utlser de tels modèles pour mettre au pont des stratéges effcaces de vaccnaton, mas cela dépasse le cadre de ce projet Ecrre en Sclab un programme qu mette en oeuvre la méthode d Euler explcte sur le problème (1) avec les données ntales (3). On consdèrera un temps fnal de calcul T > 0 et un pas de temps t = T/(M 1). 2. Utlser ce programme pour tracer les courbes donnant S, R et I en foncton du temps pour dverses valeurs des paramètres : Cas 1 : Extncton d une épdéme : On suppose la moté de la populaton nfectée à l nstant ntal de smulaton, c est-à-dre ε = 0.5. La malade étudé est peu vrulente : la durée moyenne d nfecton est de 2 jours, sot ν = 1/2, la probablté de contagon est de β = 1/30 et l mmunté dsparaît au bout d une dzane de jours, sot γ = 1/10. Cas 2 : Déclenchement d une épdéme de grppe à New-York dans les années 60 : 10 ndvdus nfectés ntalement sur une populaton totale de 8 mllons d habtants, ce qu donne ε = Durée moyenne de l nfecton : 3 jours, ce qu donne ν = 1/3. Probablté de contagon β = 1/2. L mmunté est supposée permanente : γ = 0. Montrer que l hypothèse γ = 0 mplque que la quantté N = ν I(t) dt est fne. Explquer 0 pourquo ce nombre N peut-être l être nterprété comme la proporton de la populaton totale qu aura été, à un moment ou à un autre, nfectée par la malade. Calculer à l ade de Sclab, une évalutaton de N pour les valeurs des paramètres données c-dessus. Comment peut-on lre drectement cette valeur sur les courbes que vous avez tracées? Cas 3 : Evoluton à long terme d une épdéme d un vrus susceptble de muter : On consdère une malade ayant pour proprété que l mmunté acquse sute à une nfecton dsparaît en moyenne au bout de 10 ans (par exemple à cause d un phénomène de mutaton du vrus). Supposons que la durée d nfecton est de 14 jours et la probablté de contamnaton est évaluée à 0.3. On regardera dans ce cas l évoluton du système sur pluseurs années. Dans chacun des cas, on chosra convenablement le temps fnal T de telle sorte que l essentel du phénomène ntéressant pusse être observé. On prendra également son de ben chosr le pas de temps pour que l on pusse avor confance dans les résultats numérques présentés. On commentera les comportements observés et on en proposera quelques éléments d nterprétaton. II Schémas numérques pour le transport à vtesse varable On consdère l équaton de transport à vtesse varable { t u c(x) x u = 0, t > 0, x R, u(t = 0, x) = u 0 (x), x R, (4) où c et u 0 sont deux fonctons régulères données, que l on supposera bornées ans que leurs dérvées. On supposera également que la foncton u 0 est à support compact. On se propose d étuder le schéma numérque suvant : u n c u n un 1 c t u 0 = u 0 (x ), Z, u n1 u n 1 un = 0, n 0, Z, (5)

4 où on a posé c = c(x ). Par alleurs, on a noté a = ( a a)/2 et a = ( a a)/2 les partes postves et négatves de n mporte quel réel a. On pourra vérfer et utlser les formules suvantes II.1 a R, a 0, a 0, a a = a, a a = a, a a = 0. Etude mathématque du schéma 1. Quel nom pouvez-vous donner à ce schéma? 2. Défnr l erreur de consstance assocée à ce schéma et en donner une estmaton en foncton de t et pour une soluton régulère u du problème (4). 3. Montrer que le schéma est monotone sous la condton Montrer que sous ces condtons le schéma est L -stable. c t sup 1. (6) Z 4. Enoncer et démontrer une estmaton d erreur en norme L pour le schéma (5). Quel est l ordre du schéma? 5. On veut démontrer que sous la même condton (6), le schéma proposé est L 2 -stable. (a) Peut-on utlser l analyse de stablté de Von Neumann sur ce schéma? (b) En multplant (4) par u, pus en ntégrant par rapport à x sur R et enfn en ntégrant par partes, démontrer que la soluton exacte u du problème (4) vérfe l négalté sup u(t, ) 2 L 2 (R) e xc T u 0 2 L 2 (R). (7) 0 t T Pour établr la stablté L 2 du schéma numérque, on va essayer d établr une estmaton L 2 sur la soluton du schéma nsprée de (7) (c) Pour tout U R Z on note U 2 = ( Z u 2) 1 2. Montrer que toute soluton de (5) vérfe U n1 2 2 Un 2 2 Un1 U n 2 2 ( c t un u n 1 2 c t ) un 1 u n 2 Z (d) Montrer que, sous la condton (6), on a Z t ( c c 1 ) u n 2 c c 1 u n 2 = 0. U n1 U n 2 2 ( c t un u n 1 2 c t ) un 1 u n 2. Z (e) Montrer que pour tout Z, on a c c 1 xc et c c 1 xc. (f) Dédure de tout ce qu précèdre que, sous la condton (6), on a ) U n1 2 2 (1 2 x c t U n 2 2, n 0. (g) Conclure à la stablté L 2 du schéma en montrant l estmaton suvante, que l on comparera à (7) : sup U n 2 2 e2 xc T U (8) n T t

5 II.2 Illustratons numérques Prélmnare : Vérfer que s u 0 et c sont des fonctons 1-pérodques, alors la soluton u de (4) est également 1-pérodque en espace : t R, x R, u(t, x 1) = u(t, x). Programmer en Sclab le schéma numérque (5) sur l ntervalle [0, 1] avec des condtons aux lmtes de pérodcté. On prendra les données suvantes : u 0 (x) = sn 4 (πx), c(x) = cos 2 (πx). 1. Défnr les courbes caractérstques assocées à ce problème. Donner une formule explcte, dans ce cas partculer, pour ces caractérstques. En dédure une formule analytque donnant la soluton exacte du problème (4) pour ces données. 2. Tracer sur un même graphque, à l nstant T = 1, la soluton exacte et la soluton approchée obtenue par le schéma proposé. On pourra présenter pluseurs graphques correspondant à pluseurs jeux de paramètres t et et ans llustrer les proprétés démontrées dans la parte précédente de stablté (ou non) du schéma et son ordre de convergence en norme L par exemple.

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