Comment aborder l étude du régime transitoire d un circuit?

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1 0-03 xecces Électocnétque PTSI omment abode l étude du égme tanstoe d un ccut? 3 Méthode De manèe généale : Le l énoncé Ouve-t-on ou feme-t-on l nteupteu à t = 0? Établ la les) condtons) ntales) ègles de contnuté) à t = 0 Il est souvent souhatable de fae d abod une étude qualtatve en détemnant les égmes établs à t = 0 et t +, les schémas smplfés assocés s obtenant faclement en égme contnu pusqu l sufft alos de emplace les condensateus pa des nteupteus ouvets et les bobnes pa des fls Quand cela est possble, smplfe le ccut à l ade de tansfomatons Thévenn/Noton et d assocatons de généateus, de ésstances, d nductances ou de capactés Toute smplfcaton qu feat dspaaîte l nteupteu ou une vaable dont on demande l expesson est à posce! Défn su le schéma toutes les vaables électques à utlse : tensons, couants, chages, en les dfféencant claement pa des ndces adaptés n patcule : pécse le sens de chaque couant et l amatue qu pote la chage q évte d ntodue des vaables qu ne sont pas stctement nécessaes, telles que les tensons aux bones de chaque dpôle, les chages s aucune queston ne s y appote, ou cetans couants qu peuvent s éce en foncton d autes pa une lo des nœuds mplcte egoupe sous fome d un système toutes les équatons nécessaes : los consttutves de chaque dpôle passf autant que de dpôles) los des noeuds autant que de noeuds ndépendants) los des malles autant que de malles ndépendantes) e fasant : - s effoce de fae appaaîte au maxmum la gandeu étudée - fae attenton à la conventonécepteu ou généateu) mposée à chaque dpôle pa les oentatons des malles Établl équatondfféentelleàpatdusystèmed équatonspécédentpou cela, substtue les vaables en commençant pa celles qu appaassent dans les équatons les plus couteselatons tenson/couant spécfque aux dves dpôles, lo des nœuds), et édue ans le nombe d équatons jusqu à en obten une seule Identfe le type d équaton dfféentelle ode, d membe) pus : détemne la soluton patculèe de l équaton dfféentelle avec d membe éce la soluton généale de l équaton dfféentelle sans second membe expesson à connaîte pa cœu) lales) constantes) d ntégaton se détemnent) à l ade de la des) condtons) ntales), lesquelles dovent ête applquées à la soluton totale sol patculèe + sol généale) x-3 ésstance d un voltmète Un condensateu chmque de capacté = 47 µf est chagé sous une tenson = 4,5 V On le banche aux bones d un voltmète À l nstant t = 0, on mesue nomalement u t = 0) = = 4,5 V À l nstant t = t = 00 s, on lt su le voltmète : u t ) = u = 3 V Q : Quelle est la ésstance du voltmète? t ép : = ) = u0 ln u t) t ) = 0,5 MΩ ln u jpqad@gmalcom 9

2 PTSI xecces Électocnétque 0-03 x-3 égmes pemanents avec des condensateus Dans les montages c-conte, détemne la ou les) tensons) aux bones du ou des) condensateus) losque le égme pemanent est établ x-33 égmes pemanents avec des bobnes Dans les montages cconte, détemne l ntensté du couant cculant dans chaque bobne losque le égme pemanent est établ x-34 cut d ode ) xpme t) et L t), pus tace les coubes epésentatves On posea = L ép : Lt) = I exp t )) et t) = Iexp t ) x-35 cut L paallèle ) Détemne l équaton dfféentelle véfée pa en foncton de : ω 0 = L et Q 0 = ω 0 ) On pose λ = Détemne t) sachant que t = 0) = 0 0 Q 0 et ut = 0) = 0 On dstnguea tos cas : a) λ =, b) λ > et c) λ < I I 0 L L I I 0 0 t ép : ) d dt + ω0 d Q dt +ω 0 = 0 avec ω 0 = et Q = ω 0 = ; L Lω 0 0 a) λ > : t) = e t + e t ) avec / = λω 0 ω 0 λ ; b) λ = 0 : t) = 0 + λω 0t)e λω0t ; c) λ < : t) = snωt 0cosωt+ ω )exp t ) avec = et ω = ω 0 λ λω jpqad@gmalcom

3 0-03 xecces Électocnétque PTSI x-36 cut d ode ) Dans le ccut epésenté c-conte on feme l nteupteu à la date t = 0, le condensateu étant ntalement q déchagé I) ) Établ l expesson de qt) où q est la chage du II) condensateu, en dédue, et en foncton du temps ) alcule à la date t l énege stockée dans le condensateu B 3) Éce sous la fome d une somme d ntégales un blan d énege ente les dates 0 et t ép : ) n posant = : qt) = exp t )) ; t) = + + exp t ) ; t) = exp t )) ; t) = exp t )) x-37 cut d ode 3) Détemne l ntensté du couant t) dans le condensateu, ans que la tenson ut) à ses bones sachant que l on feme l nteupteu à la date t = 0 et que le condensateu n est pas chagé ntalement epésente gaphquement t) et ut) ép : t) = 0 4+ exp t ) avec = + ) ; 4 ut) = 5 exp t )) 3 4 x-38 égme tanstoe apéodque *) Àt = 0,lescondensateussontdéchagésOnfemealos l nteupteu ) Établ l équaton dfféentelle en ) Détemne les condtons ntales 0 + ) et d dt 0+ ) 3) xpme t) B ép : ) véfel équatoncanonqued odeavecω 0 = etq = 3 ;) 0+ ) = 3) t) = [ ) 5 ch t )] 5 sh 5 t exp 3t ) x-39 Bobne et condensateu éels en sée *) Le montage c-conte modélse une bobne éelle L, ) en sée avec un condensateu éel, ) ntalement déchagé On feme l nteupteu à la date t = 0 On mpose la elaton suvante : = L = Intalement : 0 ) = 0 et u0 ) = 0 L et d dt 0+ ) = ; ) Détemne du dt 0+ ) ) Établ l équaton dfféentelle égssant ut) tenson aux bones du condensateu losque le ccut est banché, à t = 0, su un généateu de tenson sous la fome : d u dt + du dt + u = 3) Détemne ut) pou t 0 4) Détemne t), ntensté cculant dans la bobne epésentaton gaphque de t) 5) Peut-on pévo le égme pemanent sans calcul? S ou, détemne U, tenson aux bones du condensateu, et I, couant dans la bobne, en égme pemanent jpqad@gmalcom u

4 PTSI xecces Électocnétque ) Détemne le facteu de qualté Q de ce ccut véfe que sa valeu est en accod avec la natue du égme tanstoe ép : ) xpme u = u, u = u et la lo des nœuds en foncton de, u et du onclue; 3) ut) = cos t +sn t ) exp t ) ; 4) t) = [ + cos t +sn t ) exp t dt )] ; 5) Fae un schéma équvalent du montage losque le égme pemanent contnu est attent : I = et U = ; 6) Q = >, donc égme tanstoe pseudo-péodque x-30 Tos ésstances et une bobne Le ccut étudé compote tos ésstances, et 3, une bobne pafate d nductance L, un généateu de fém 3 et un nteupteu L ) Intalement, la bobne n est pacouue pa aucun couant À l nstant t = 0, on feme l nteupteu Établ la lo d évoluton de t) et détemne le couant I en égme pemanent dans la L + 3 ) bobne On posea = ) Le couant d ntensté I est établ, on ouve à t = 0 éntalsaton du temps!) Détemne la nouvelle lo donnant t) et l énege dsspée pa effet Joule dans les ésstances On posea L = ép : ) t) = I exp t )) avec I = ; ) t) = Iexp t ) et J = LI x-3 Tansfet de chage ente deux condensateus : Un condensateu de capacté est chagé sous une ddp, pus, à t = 0, est elé, pa femetue de l nteupteu, à un ccut, ) sée le condensateu de capacté est ntalement non chagé) ) Détemne les vaatons du couant t) de déchage du condensateu ) alcule la vaaton d énege du système consttué pa la ésstance et les deux condensateus et 3) Démonte que est auss l énege dsspée pa effet Joule J dans la ésstance 4) L expesson de étant ndépendante de, que se passe-t-l losque tend ves 0? ép : ) t) = exp t ) avec = + ) 3) «J»= J = 0 dj = 0 PJdt = dt = = 0 ; ) = ; + x-3 Étude d un ccut avec deux souces À t < 0, le ccut c-conte a attent son égme pemanent À l nstant t = 0, on feme l nteupteu ) Sans ésoude d équaton dfféentelle, détemne les compotements asymptotques suvants : a) 0 ), 0 ), 0 ) et u 0 ) à l nstant t = 0 b) 0 + ), 0 + ), 0 + ) et u 0 + ) à l nstant t = 0 + c) ), ), ) et u ) à l nstant t = ) Établ l équaton dfféentelle véfée pa u t) n dédue u t) On posea = 3) Sans calcul supplémentae, donne les expessons de t), t) et t) q u jpqad@gmalcom

5 0-03 xecces Électocnétque PTSI x-33 Deux ccuts «paallèle» en sée *) On étude le ccut suvant À t = 0, on feme, les deux condensateus étant ntalement déchagés Détemne l expesson de q t), la chage du condensateu de capacté On posea = + = et I 0 = Soluton x-3 + ), n égme contnu, la tenson aux bones d un condensateu est constante et l ntensté qu le tavese est nulle pusque les condensateus se compotent comme des nteupteus ouvets a) Tout le couant passant dans passe dans, comme s le condensateu n état pas pésent et donc comme s les ésstances étaent en sée D apès le dvseu de tenson : u = b) Le couant dans est nul La tenson u se etouve entèement aux bones de On a donc : u = c) ucun couant ne tavese ou La tenson aux bones de ces ésstances en paallèle est donc nulle et on a lo des malles) : u = d) Les couants à taves et sont nuls, toute l ntensté qu tavese tavese également comme s elles étaent en sée D apès le dvseu de tenson : u = et u = e) omme le condensateu se compote comme un nteupteu ouvet en égme contnu, l ntensté qu le tavese est nulle, et donc la tenson aux bones de également La tenson u se etouve aux bones de la ésstance omme l ntensté tavesant est auss nulle, la lo des nœuds condut à un couant nul à taves On en dédut : u = 0 et u = f) Les couants à taves les capactés étant nuls, la tenson u s dentfe à la tenson u et la lo des nœuds condut à une ntenstés nulle à taves On en dédut u = u = jpqad@gmalcom 3

6 PTSI xecces Électocnétque 0-03 Soluton x-33 n égme contnu, le couant est constant, la tenson aux bones d une bobne est donc nulle pusqu une bobne se compote comme un fl a) est coutccutée, la tenson à ses bones est donc nulle et tout le couant passe dans la bobne Tout se passe comme s on avat un ccut d une malle avec en sée avec : = b) omme la tenson aux bones de L est nulle, les ésstances et sont en paallèle La lo de Poullet dans la malle pacouue pa consttuée de et de en sée avec 3 : = Le dvseu de couant condut à : = + 3 = c) Les deux bobnes se compotent comme des fls On a donc : = = La lo d Ohm donne : = d) Les deux bobnes de compotant comme des fls, on a : = 0 et lo des malles) : = Soluton x-3 a) L nteupteu ouvet mpose 0 ) = 0 La lo des nœuds condut à 0 ) = 0 ) Le égme contnu étant établ depus suffsamment longtemps pou t < 0, le condensateu se compote comme un nteupteu ouvet D où : 0 ) = 0 ) = 0 Lecondensateuayantétéchagésouslatensoncontnue,onendédutque u 0 ) = Une smple lo des malles donne le même ésultat) b) omme la chage aux bones d un condensateu est une foncton contnue du temps, on a u 0 + ) = u 0 ) = La lo des malles dans la pemèe banche 0 + ) u 0 + ) = 0) condut à : 0 + ) = 0 La lo des malles dans la seconde banche 0 + ) u 0 + ) = 0) condut à : 0 + ) = 4 jpqad@gmalcom

7 0-03 xecces Électocnétque PTSI La lo des nœuds condut à : 0 + ) = 0 + )+ 0 + ) = c) Losque t, le condensateu est à nouveau en égme pemanent contnu : l se compote comme un nteupteu ouvet, d où ) = 0 On obtent le schéma équvalent c-conte pou déce le compotement asymptotque du ccut La lo de Poullet donne mmédatement : ) = ) = ) ) u ) M )= 0 t la lo des nœuds en temes de potentels au pont donne : V M V + + V M V + +0 = 0 Sot : u ) = V V M = + ) On smplfe le ccut pa une sée de tansfomatons généateu de Thévenn / généateu de Noton : q u x x q u M M x x xx x q u = u + q x x = x M + M La lo des malles dans le ccut équvalent fnal donne : u = 0 du dt + u = du dt + u = ) en posant = + et = La soluton de ) est de la fome u t) = u G t)+u P, somme de la soluton généale de l équatondfféentellehomogèneu G t))etd unesolutonpatculèedel équatondfféentelle avec second membe u P ) e second étant constant, on cheche une soluton u P constante : u P = ns : u t) = exp t ) + = exp t ) +u ) La constante d ntégaton se touve gâce aux condtons ntales : u 0 + ) = = + = ) = u 0 + ) u ) D où : u t) = ) exp t ) + + jpqad@gmalcom 5

8 PTSI xecces Électocnétque ) Gâce à et : u t) = u 0 + ) u ))exp t ) +u ) eten ce ésultat généal O, toutes les gandeus électques de ce ccut d ode évoluent de la même manèe, c està-de suvant la lo tempoelle : xt) = x0 + ) x ))exp t ) +x ) Gâce à la queston ), on touve : t) = e t t) = + t e t) = t e Soluton x-33 Lo des nœuds : = + = u + dq dt u =u = q q = + dq dt De même, comme u = u = q = q + dq dt Lo des malles : u u = 0 q = q 3 = 3 = q dq dt u q q ) q + d ) q dt 4 dq dt + + ) q = + n posant + ) = + et en emaquant qu alos + ) = ) on obtent : dq dt + q =, 4 + ) +, dq sot, avec = et I 0 = : dt + q = I 0 5 La soluton de cette équaton dfféentelle est de la fome : qt) = q G t)+q P - où q G t) = exp t ) est la soluton généale de l équaton homogène - et où q P = I 0 est une soluton patculèe de l équaton de second membe constant u ns : q = e t + I 0 Pou détemne la constante d ntégaton, on a beson d une condton ntale O, comme la tenson aux bones d un condensateu est une foncton contnue du temps, on a + I 0 = q 0 + ) = q 0 ) = 0, sot = I 0 et q t) = I 0 e t 6 jpqad@gmalcom