Mathématiques Financières

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1 Mahémaiques Financières ème parie - Marchés financiers en emps coninu & modélisaion des acions Universié de Picardie Jules Verne Amiens Jean-Paul FELIX Cours de février mars 2010 Universié d Amiens Cours de Mahémaiques Financières - Jean-Paul FELIX - 1 -

2 Plan de formaion 1. Pré-requis de Probabiliés 2. Modèle de Black & choles Cee parie sera dédiée à une présenaion du modèle de Black & choles, modèle le plus populaire en emps coninu

3 Pré-requis de Probabiliés (1/3) Lemme : (Lemme d Iô) oien les processus coninus X e Y qui saisfon : Alors : dy f dx b X, X d X, X Y f, X f 2 2 dw 2 f, X d, X dx 1, X 2 X X d x, 2 Exercice 1 : écrire le processus X W comme un processus d Iô en précisan son drif e son coefficien de diffusion Exercice 2 : de même pour le processus X exp W - 3 -

4 Pré-requis de Probabiliés (2/3) héorème : (héorème de Girsanov) oi W() un mouvemen brownien sous la probabilié P, e définissons L() comme sui, pour : i EP(L) = 1, le processus L() es une P-maringale i Q = L().P (i.e. si EQ(X) = EP(XL) pour oues variables X F-mesurable), alors : es un Q-mouvemen brownien. L exp W s dws W s ds 0 0 s ds - 4 -

5 Pré-requis de Probabiliés (3/3) Proposiion : (Noion de maringale) X es une F-maringale si e seulemen si, pour s : E X Fs Es X X s - 5 -

6 Descripion du modèle (1/2) Nous sommes en emps coninu e nous nous plaçons dans un univers à horizon fini Nous sommes en» ur le marché coexisen deux acifs liquides (acifs de base) : L acif sans risque «M» L acif risqué Les prix de ces deux acifs suiven sous la probabilié hisorique P, les diffusions suivanes : dm d M r d d dw Où, 0 es un mouvemen brownien, e où μ e σ son consans. W - 6 -

7 Descripion du modèle (2/2) Les prix de ces deux acifs suiven sous la probabilié hisorique P, les diffusions suivanes : M e r xexp exp W ² 2 En pariculier, nous avons E xe Le coefficien mesure le comporemen global de (on le nomme «drif»), alors que le coefficien, appelée volailié du prix, mesure l imporance du brui. Ainsi, plus es grand, e plus la parie brownienne aura d imporance

8 Evaluaion de l acif (1/6) Nous désirons évaluer, au emps, un acif payan h( ) en Définiion Un «porefeuille» es un couple (,), el que «()» es le nombre de pars obligaaires e «()» le nombre de pars de l acif risqué A la dae, le porefeuille a pour valeur : V M Définiion Un porefeuille es une «sraégie de rading» si sa valeur erminale es égale à h() M h - 8 -

9 Evaluaion de l acif (2/6) Définiion Un porefeuille es «auo finançan» si d V d M dm d Définiion Un marché financier d horizon fini es «comple», si oue variable aléaoire «Z», posiive «F -mesurable» e de carré inégrable, es la valeur, à la dae, d un porefeuille auo finançan (avec (F), la filraion naurelle du Brownien W )

10 Evaluaion de l acif (3/6) Nous avons, par calcul élémenaire, d V rv d d r d Par inégraions par paries, la valeur acualisée du porefeuille es alors d e rv r r r e dv re V d d e Ainsi, à la dae, la valeur du porefeuille auo finançan dépend uniquemen de sa valeur iniiale e du monan invesi en acif risqué Par inégraion simple de l équaion précédene, nous avons ~ V V e r V 0 s 0 ~ ds V 0 s 0 R s ds rsds ~ où e r es le prix de l acif risqué acualisé, e R s exp( rs)

11 Evaluaion de l acif (4/6) Proposiion Le prix acualisé de l acif risqué es une maringale, après un changemen de probabilié. En effe, le «héorème de Girsanov» précise qu il exise une probabilié risque neure Q, équivalene à P, elle que, sous Q, le processus * W, 0, * défini par W W es un mouvemen brownien, où r La probabilié Q es définie par sa densié de Radon-Nykodym dql dp sur (F ), la filraion naurelle du Brownien W avec L exp W 1 ²

12 Evaluaion de l acif (5/6) La dynamique de peu dès lors s écrire d rd dw * r W W, avec ~ Ou sous une forme équivalene, la dynamique du prix acualisé r e : ~ ~ * d dw Don la soluion es ~ Le prix acualisé, 0 es une maringale sous la probabilié risque neure Q e dès lors la valeur acualisée du porefeuille auo finançan es une * maringale, dès que ~ V e r V s s dws ~ * 0 Le erme de droie éan une inégrale sochasique de mouvemen brownien W *, c es donc une maringale * expw 2 ²

13 Evaluaion de l acif (6/6) Il s ensui que V E h e r e V r r e E 0 Q Q V e F EQ h e r F Proposiion A la dae, la valeur acualisée d un produi dérivé es l espérance condiionnelle de sa valeur erminale acualisée sous la probabilié risque neure, par rappor à l informaion à la dae

14 Le modèle de Black & choles Appliquons le modèle précéden pour obenir la formule de Black & choles qui donne le prix C d une opion d acha (Call) Le «payoff» du call éan h( ) avec, nous obenons alors : En posan, nous obenons : K x h x K Q r K r Q r Q E Ke e E K e E C ² exp * 0 W e r d Ke d C r,, r K d ² 2 1 ln 1 d d 1 2 Evaluaion des opions (1/2)

15 Le modèle de Black & choles Le prix du call à la dae es égal à avec La célèbre formule de Black & choles écrie sur un sous-jacen avec aux d inérê r e dividende q, de dynamique donne le prix à la dae d un call de prix d exercice K, de maurié, lorsque le sous-jacen veu x à la dae : r Q F K e E C, x d Ke x d x x C r,,, 2 1 dw q d r d r q r r q q Ke xe d Ke Ke xe d xe x Call 2 1, Evaluaion des opions (2/2)

16 Illusraions L expression précédene du prix du call peu êre implémenée sous la forme d un «pricer» de call où nous représenons le prix du call en foncion du cours du sous-jacen par rappor au srike

17 Volailié implicie e effe de smile (1/3) Dans le conexe de la héorie des modèles sochasiques, la volailié prend deux formes principales e bien disinces La volailié réelle qui mesure la dispersion effecive des renabiliés d un acif financier, soi sur une période anérieure (volailié hisorique), soi à l insan couran (volailié insananée) ou bien encore sur une période posérieure (volailié fuure) La volailié implicie (appelée aussi «volailié de marché»), quanié qui es enrée par les opéraeurs dans un modèle Nous pouvons calculer, à parir des prix de calls (opions d acha) de même maurié, e de prix d exercice différens, les valeurs de la volailié implicie

18 Volailié implicie e effe de smile (2/3) Nous obenons une courbe en forme de «U», semblable à un «sourire» («Implici volailiy smile») Nous présenons sur le graphique ciconre, l effe «smile» de la volailié implicie du &P 500 observé sur le CBOE («Chicago Board Opions Exchange») La volailié implicie es calculée à parir des cours inra journaliers de «calls» sur indice &P 500 arrivan à échéance le 30/09/02. Le cours de l indice &P 500 es de à la dae de calcul

19 Plus on s éloigne de la monnaie, plus la volailié es élevée Volailié implicie e effe de smile (3/3) Le smile n es pas symérique sur le marché des acions : les aceurs de marché son plus sensibles au risque de baisse qu au risque de hausse des acions A la monnaie, la volailié implicie es la plus basse

20 Porefeuille de couverure : les grecs (1/4) Le prix d une opion dépend de cinq variables : la valeur du sous-jacen le prix d exercice «K» le emps resan jusqu à maurié «-» le aux «r» la volailié Les paramères «grecs» son les dérivés parielles du prix de l opion par rappor à ces différens paramères

21 Porefeuille de couverure : les grecs (2/4) 1. Le «dela» es la dérivée du prix de l opion par rappor au sous-jacen. Lorsque le dela es nul, on di que la posiion es «dela neure». Pour un Call : C, x d 1 x 2. Le «gamma» es la dérivée seconde par rappor au sous-jacen. Pour un Call : 2 C, x, x x2 3. Le «hêa» es la dépendance par rappor au emps resan jusqu à maurié. Pour un Call : C, x, x

22 Porefeuille de couverure : les grecs (3/4) Le dela d une opion mesure la sensibilié de son prix à une variaion donnée du sous-jacen La gesion en dela neure consise à éliminer, à chaque insan, le risque lié au prix du sous-jacen Le gamma représene la convexié du prix d une opion en foncion du cours du sous-jacen Il indique si le prix de l opion a endance à évoluer + ou vie que le prix du sous-jacen Par analogie, on compare le dela à la viesse, e le gamma à l accéléraion Le hêa es le coû du emps (ou le gain) sur un porefeuille d opions Il évalue combien le passage du emps influe sur la valeur d une opion Les deux derniers grecs son le rho (variaion par rappor au aux d inérê) e le véga (variaion par rappor à la volailié)

23 Porefeuille de couverure : les grecs (4/4)

24 Les opions américaines : le call américain Une opion américaine présene les mêmes caracérisiques qu une opion européenne, mais le déeneur de l opion peu exercer son droi à ou insan avan maurié. Proposiion : Le call américain es au moins de même valeur que le call européen Proposiion : La valeur A d une opion d acha américaine de prix d exercice K vérifie les deux asserions : A 0 A r e K K

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2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre. 1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%

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