Calcul matriciel et applications

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1 Clcul mtriciel et lictios I Défiitio d ue mtrice, somme de mtrices et roduit r u réel 1 Défiitio d ue mtrice Ue mtrice A de dimesios coloes Pour 1 i m et 1 j lige et de l j-ième coloe m, vec m et deux etiers turels, est u tbleu vec m liges et, o ote ij le coefficiet de l mtrice A située à l itersectio de l i-ème 11 1 L mtrice A ser doée sous l forme A i 1 m1 O oter l dimesio de A : dim A 1 i m 1 j j ij mj 1 i m Mtrices rticulières Ue mtrice lige est ue mtrice qui e comorte qu ue seule lige Exemle : A 1 Ue mtrice coloe est ue mtrice qui e comorte qu ue seule coloe Exemle : A 0 Ue mtrice crrée est ue mtrice qui comorte utt de liges que de coloes Exemle : A est ue mtrice crrée d ordre L mtrice ulle est ue mtrice dot tous les coefficiets sot uls O oter A 0 Ue mtrice digole est ue mtrice dot tous les coefficiets utres que ceux d ue des deux digoles sot uls

2 Somme de deux mtrices Défiitio L somme de deux mtrices de dimesios est ue mtrice de dimesios coefficiets sot obteus e joutt les coefficiets e même ositio Exemle : m m dot les Proriétés : Soit A, B et C trois mtrices de même dimesios A + B B + A o dit que l oértio est commuttive (A + B) + C A + (B + C) o dit que l oértio est ssocitive A + 0 A 4 Multilictio d ue mtrice r u réel Défiitio Soit A ue mtrice et k u ombre réel L mtrice k A est obteu e multilit tous les coefficiets de A r k Proriétés Soit A et B deux mtrices de mêmes dimesios Soit k et k deux réels O : k A A k O dit que l oértio est commuttive k (A + B) k A + k B O dit que l oértio est distributive r rort à l dditio des mtrices (k + k') A k A + k A O dit que l oértio est distributive r rort à l dditio des réels (k k') A k (k A) O dit que l oértio est ssocitive 0 A 0 5 Différece de deux mtrices Défiitio L mtrice oosée de A est otée A C est l mtrice ( 1) A L différece de deux mtrices A et B de mêmes dimesios est otée A B C est l mtrice A + ( 1) B Proriétés A + ( A) 0 A + 0 A

3 II Produit de mtrices 1 Produit d ue mtrice lige r ue mtrice coloe Soit A ue mtrice de dimesios L mtrice roduit A Exemle : 1 1 B est le réel égl à et B ue mtrice de dimesios i1 b i i 1 1 ( 1) ( ) 9 1 Produit de deux mtrices Défiitio m 1 1 b1 b b Soit A ue mtrice de dimesio et B ue mtrice de dimesio q vec q etier turel o ul Le roduit de l mtrice A r l mtrice B, oté A B ou AB, est l mtrice C de dimesios telle que our tout le coefficiet 1 i m et 1 m j q i de l mtrice A r l mtrice de l coloe j de l mtrice B Exemle : m q c ij est égl u roduit de de l mtrice de l lige 1 Soit A 1 0 et B, détermios A B 1 0 O dim A et dim B doc A B existe et dim A B C vec r exemle c b b ( 1)() (0)() 1 1 Proriétés de l multilictio des mtrices Soit A, B et C trois mtrices de même dimesios telles que toutes les sommes existet et tous les roduits existet E géérl AB BA Le roduit de deux mtrices, e géérl, est s commuttif (AB)C A(BC) Le roduit des mtrices est ssocitif A(B + C) AB + AC et (A + B)c AC + BC Le roduit des mtrices est distributif r rort à l somme des mtrices

4 Défiitio de l mtrice idetité et roriété L mtrice crrée d ordre otée I est l mtrice ds lquelle tous les coefficiets sot uls suf ceux de l digole ricile qui vlet 1 est elée mtrice idetité d ordre Exemle : I et I Pour toute mtrice crrée d ordre, o A I I A A III Résolutio de systèmes vec les mtrices 1 Ecriture mtricielle d u système liéire Soit u système de équtios à icoues x 1, x,, x doé sous l forme : 11x1 1x 1 x c1 1x1 x x c 1x1 x x c O ose : A , X x1 x x et C c1 c c Exemle : x y 1 x 5y 8 eut s écrire sous l forme x 1 5 y 8 Mtrice iversible Soit A ue mtrice crrée d ordre S il existe ue mtrice A crrée d ordre telle que AA A A I et que A est l mtrice iverse de A L mtrice iverse de A, qud elle existe, est otée A 1 lors o dit que A est iversible O A A 1 A 1 A I Détermitio de l mtrice iverse Soit A c b d ue mtrice crrée d ordre O dit que A est iversible si et seulemet si d bc 0

5 d bc est elé détermit de l mtrice A O le ote det A O A 1 1 d b d bc c Pour les mtrices crrées d ordre suérieur ou égl à il ser lus fcile d utiliser l clcultrice 4 Résolutio d u système liéire O AX C Exemle A 1 AX A 1 C X A 1 C Résolutio du système : x y 5 x y 1 O ose A 1 x, X y et C 5 1 O AX C X A 1 C det A ()(1) ()( ) 7 Comme det A 0 lors A est iversible et A D où x y L solutio du système est S 7 1 ; 7 IV Puissces d ue mtrice crrée 1 Puissces d ue mtrice A Soit A ue mtrice crrée d ordre et u etier turel o ul L uissce -ième de A est l mtrice d ordre défiie r : A A A A ( fois) Pr covetio A 0 I Exemle : Soit A 1 1 0

6 O A et A Cs rticulier Soit A ue mtrice crrée d ordre O dit que A est digolisble s il existe ue mtrice crrée P d ordre iversible et ue mtrice digole D crrée d ordre telles que A PD P Proriétés des uissces de mtrices crrées Soit A et B deux mtrices crrées d ordre 1 O A m A m A m et (A m ) A m Formule du biôme de Newto Soit A et B deux mtrices crrées d ordre telles que A B soit commuttif Pour tout etier turel o ul, o : i i i ( A B) i0 A B i V Alictio des mtrices ux rocessus létoires 1 Défiitio Soit u etier turel o ul Soit i et j deux etiers turels tels que 1 i et 1 j, le terme ij est l robbilité our qu u élémet doé d u rocessus sse à l étt j scht qu il étit à l étt i à l istt récédet Les termes ij sot les coefficiets d ue mtrice crrée d ordre Exemle : Cosidéros deux restteurs de service Actuel et Bido ommés A et B 70 % des boés restet chez A d ue ée sur l utre ; 80 % des boés restet chez B d ue ée sur l utre O eut reréseter l situtio à l ide d u grhe orieté :

7 L mtrice ssociée u ssge d ue ée à l utre est T défiie r : T 0,7 0, 0, 0,8 Remrque : 0,7 + 0, 0, + 0,8 1 Pssge d u rocessus à l étt vec etier turel Si l rértitio des élémets à l étt est otée u vec etier turel et b u vec b 1 b lors u1 u T et u u 0 T