LE Chapitre I : Rappels généraux. Chapitre 8 Les treillis

Transcription

1 E Chaptre I : appels généraux. Chaptre 8 es trells

2 88 Calculer une structure : de la théore à l'exemple Illustraton au recto : Projet de passerelle mxte bos/acer sur l'ourthe à a oche en Ardennes, Belgque. Maître d'œuvre Francy Smon, a oche en Ardenne, Belgque,.

3 Chaptre 8. es trells 89. U'EST-CE U'U TEIIS? Un trells se défnt à la fos par ses caractérstques géométrques et par son type de chargement : les fbres moyennes des s concourent en un même pont, matéralsé par un nœud; chaque nœud est une rotule parfate : on parle de nœud artculé ou rotulé, par opposton au nœud rgde; les efforts sont applqués aux nœuds et jamas sur les s elles-mêmes (dans la mesure où le pods propre des s est néglgé). ous verrons au que la deuxème proprété est à nuancer en foncton de certanes consdératons pratques. Il exste tros grandes catégores de trells plans : le trells smple, le trells composé et le trells formé de s qu se chevauchent. e trells smple est formé unquement de malles trangulares S le nombre de réactons d'appu ne dépasse pas tros, ce type de trells est le plus souvent sostatque. Il exste toutefos des exceptons comme le montre la fgure c-contre : l s'agt d'un trells smple qu se referme sur lu-même et dont le degré d'hyperstatcté nterne est égal à. e trells composé résulte de l'assemblage de trells smples Un tel trells peut être sostatque (c'est le cas du trells c-contre) ou hyperstatque.

4 9 Calculer une structure : de la théore à l'exemple e trells formé de s qu se chevauchent sans être relées physquement Un tel trells peut être sostatque ou hyperstatque : dans le cas c-dessus l est hyperstatque de degré. e trells c-dessous, par contre, est sostatque. Il est toutefos qualfé de complexe car l ne peut être analysé n par la méthode de Cremona n par la méthode des sectons (décrtes toutes deux au ). Seule une méthode matrcelle lu est applcable.. EFFOTS ET DÉFOMATIOS DAS ES TEIIS Une caractérstque essentelle des trells est l'absence de moments fléchssants et a fortor d'efforts tranchants dans les s. Pour le démontrer, consdérons une AB au sen d'un trells : A B A A B V B B V A Équatons d'équlbre de la : V A VB A V B B V A A V B B

5 Chaptre 8. es trells 9 'effet des s vosnes sur la AB peut être modélsé par composantes A, B (selon l'axe de la ) et V A, V B (perpendculares à la ). S on écrt les équatons d'équlbre de cette, l apparaît que l'effort tranchant est nul (V A V B ) et que l'effort normal dans la est constant. a résultante des efforts exercés par les autres s sur chacune des extrémtés A et B est donc algnée avec la et aucun moment fléchssant ne peut y régner : A B Dans une structure quelconque soumse à tous les types d'efforts, on sat que les déformatons de flexon ( Mm EI dl ) sont nettement plus mportantes que celles de tracton/compresson ( n EAdl ) et d'effort tranchant ( Vv GAv dl ) (vor chaptre : 9 et exemple du ). es trells étant essentellement soums à des efforts normaux, la proprété précédente dot cependant être nuancée : l'expresson du déplacement d'un pont d'un trells résultant du théorème de la force unté (chap., 9) ne comporte au contrare plus que le terme provenant de l'effort normal. 'ntégrale est en outre remplacée par une somme pusque cet effort normal est nvarable au sen d'une même : δ Mm n Vv bre de s dl dl dl devent δ EI EA GAv n E A. PEUT-O SE PASSE DES ATICUATIOS ODAES? Il est légtme de penser que les artculatons des trells dovent poser certans problèmes de concepton et de constructon. C'est en effet pour cette rason que la plupart d'entre eux sont construts avec des nœuds rgdes, par exemple soudés ou boulonnés. S les nœuds sont rgdes, des contrantes de flexon apparassent, du fat même que les s ne peuvent pas tourner lbrement autour de leurs extrémtés respectves et qu'elles dovent donc fléchr pour suvre le déplacement des nœuds. e trells se comporte alors comme un cadre rgde (trells à nœuds rgdes). a fgure c-dessous llustre cet effet : elle compare les déformées (à une échelle amplfée) d'un même

6 9 Calculer une structure : de la théore à l'exemple trells, dans deux stuatons où les nœuds sont artculés d'une part (au-dessus) et rgdes d'autre part (en dessous) : œuds artculés œuds rgdes Ces contrantes parastares de flexon sont souvent lmtées à quelques pour-cent de la "contrante admssble" du matérau utlsé et sont nfluencées par dfférents facteurs comme la charge totale, la lmte d'élastcté, la portée du trells et le type des sectons. emarquons toutefos que s l'on combne ces facteurs de manère défavorable, l se peut que l'une des s au mons d'un trells à nœuds rgdes sot le sège de contrantes parastares de flexon dépassant largement les quelques pour-cent annoncés. 'exemple numérque détallé c-après llustre ce phénomène. otons cependant dès à présent que la présence ou non de rotules aux nœuds ne modfe quasment pas la valeur des efforts normaux et des déplacements des nœuds. es fgures c-dessous concernent un trells de [m] de portée et [m] de hauteur, soums à une charge de [k] sur chaque nœud de la membrure nféreure. es s en compresson (effort noté en rouge) sont tubulares de damètre [mm] et d'épasseur [mm], tands que les s en tracton (effort noté en en bleu) sont crculares plenes de damètre [mm]. Pour davantage d'nformaton à ce sujet, consulter : "The determnaton of stresses due to bendng n trusses composed of fxed nodes loaded on ther nodes : study of the nfluence of bucklng". Actes du congrès nternatonal de l'iass de septembre 999 à Madrd. P. atteur et P. Samyn.

7 Chaptre 8. es trells 9 a premère fgure représente la déformée (avec affchage des efforts normaux) calculée par le logcel ISSD lorsque tous les nœuds sont artculés. a deuxème fgure représente la déformée (avec affchage des efforts normaux) de ce même trells lorsque tous les nœuds sont rgdes. On vot que la valeur des efforts normaux est quasment nchangée. a dernère fgure montre les contrantes parastares de flexon qu règnent dans ce trells lorsque les nœuds sont rgdes. Dans ce cas précs, les contrantes parastares de flexon valent [MPa] dans la -, sot % de la contrante de compresson qu y règne (9 [MPa]), ce qu est mportant. En résumé, s les nœuds sont rgdes plutôt qu'artculés, les efforts normaux sont quas dentques; l'allure de la déformée est dfférente, mas les déplacements des nœuds sont quas dentques; des contrantes parastares de flexon se produsent et peuvent être mportantes dans certans cas.

8 9 Calculer une structure : de la théore à l'exemple. CACU DU DEGÉ D'HYPESTATICITÉ D'U TEIIS a procédure décrte dans le chaptre est applcable aux trells. Il est cependant possble de la smplfer pour l'adapter à ceux-c. Sot b le nombre total de s, r le nombre de réactons d'appu et n le nombre total de nœuds. Par nœud rotulé, on peut établr équatons (équlbre vertcal et équlbre horzontal), ce qu procure un total de n équatons. Par alleurs, les nconnues sont les b efforts normaux relatfs à chaque ans que les r réactons d'appu. e degré d'hyperstatcté vaut donc : I s trells, ( b r) (n). ÉSOUTIO DES TEIIS ISOSTATIUES Il exste pluseurs méthodes de résoluton des trells sostatques, parm lesquelles : la méthode des sectons (ou méthode de tter (Allemagne, )), dont le prncpe consste à soler des morceaux de structure judceusement choss et à écrre leurs équatons d'équlbre; la méthode graphque de Cremona; la méthode générale exprmant l'équlbre de tous les nœuds selon une formulaton analytque; la méthode des déplacements, unquement utlsable par ordnateur, et qu est décrte dans le chaptre. a méthode des sectons éacton connue efforts nconnus, équatons dsponbles

9 Chaptre 8. es trells 9 a méthode des sectons consste à effectuer une découpe magnare qu sépare la structure en deux partes dstnctes, de telle façon que l'une des deux partes au mons sot caractérsée par un maxmum de tros efforts nconnus. En d'autres termes, la secton ne peut pas couper plus de tros s. Il sufft alors d'écrre les équatons d'équlbre de l'une des deux partes pour détermner les efforts nconnus. S la parte de structure dont on effectue l'équlbre content des appus, l faudra au préalable avor calculé les réactons correspondantes. On peut ensute répéter cette démarche autant de fos que nécessare en effectuant d'autres sectons. a méthode graphque de Cremona Il s'agt c de tracer le polygone des forces pour chaque nœud, l'un après l'autre. Cette méthode n'est pas applcable en un nœud s plus de deux efforts y sont nconnus. Pour plus d'nformatons sur la méthode de Cremona, on se reportera à l'exemple de ce chaptre ( 9) ans qu'au chaptre ( 8.). a méthode générale exprmant l'équlbre de tous les nœuds Cette méthode n'est pas vrament ntéressante lors d'un calcul manuel car elle nécesste la résoluton d'un système dont le nombre d'équatons devent vte mportant ( équatons par nœud). De plus, lors d'un calcul par ordnateur, on lu préférera la méthode des déplacements (vor chaptre ), nettement plus systématque et applcable également aux trells hyperstatques. Cette méthode est donc d'un ntérêt lmté. Sot un nœud d'ndce relant pluseurs s : : effort ( x, y ) y x œud : effort ( x, y ) : effort ( x, y ) Pour que ce nœud sot à l'équlbre, l faut que : la somme des composantes horzontales x des efforts exercés sur ce nœud sot nulle; la somme des composantes vertcales y des efforts exercés sur ce nœud sot nulle.

10 9 Calculer une structure : de la théore à l'exemple S α est l'angle que fat une concourante au nœud avec l'horzontale, les deux condtons précédentes s'exprment sous la forme suvante : Barre : effort œud (x,y ) y œud (x,y ) α x s concourantes au noeud s concourantes au noeud cosα snα S on exprme chaque angle α en foncton des coordonnées (x,y ) du nœud et (x,y ) de l'autre nœud de la correspondante et que l'on rajoute les composantes connues ( x, y ) d'un effort extéreur éventuel exercé au nœud, les équatons c-dessus devennent : Effort extéreur ( x, y ) Barre : effort œud (x,y ) y x œud (x,y ) x, y, s concourantes au noeud s concourantes au noeud α x y Barre x y S on écrt ces équatons pour chaque nœud, on obtent un système dont la dmenson est égale au double du nombre total de nœuds du trells. emar-

11 Chaptre 8. es trells 97 quons que s le nœud correspond à un appu, les équatons c-dessus dovent être complétées par les composantes ( x, y ) de la réacton correspondante : x, y, x, y, s concourantes au noeud s concourantes au noeud x y x y. BAES À EFFOT U Avant toute résoluton d'un trells, l est utle de vérfer s certanes s correspondent à un effort nul : s deux s concourent en un nœud non chargé, l'effort normal est nul dans ces s : En effet, consdérons par exemple la de drote et rasonnons par l'absurde en supposant qu'elle est le sège d'un effort normal. S c'est le cas, cet effort possède une composante perpendculare à la de gauche (selon la lgne en pontllés). Or, comme le nœud n'est pas chargé, cette composante n'est équlbrée par aucune force. 'effort correspondant est donc forcément nul. l'effort relatf à une jognant, en un nœud non chargé, deux autres s algnées, est le sège d'un effort nul. De plus a b : Cette proprété s'explque de la même façon que dans le cas précédent. b a

12 98 Calculer une structure : de la théore à l'exemple 7. ÉSOUTIO DES TEIIS HYPESTATIUES a résoluton d'un trells hyperstatque se fera sans dffculté partculère par la méthode des forces décrte au chaptre. es coupures s'effectueront sur certanes s par extérorsaton de l'effort normal qu y règne, prs comme nconnue hyperstatque (on coupera un nombre de s égal au degré d'hyperstatcté). Par alleurs, le calcul des déplacements δ j,δ, F selon le théorème de la force unté (chap., 9) sera smplfé comme ndqué au (vor auss exemples et du 9). otons que les trells hyperstatques peuvent auss être résolus par la méthode des déplacements décrte au chaptre. Passerelle composée de deux trells métallques trdmensonnels à malles pyramdales, relant les quarters de auzelle et de l'hocalle à ouvan-la-euve, Belgque (concepton : arch. e Page). es membrures supéreures sont relées par des éléments secondares qu supportent le tabler d'une part (la photo a été prse avant la pose de celu-c) et qu lmtent les rsques d'nstablté d'ensemble d'autre part. (Photo de l'auteur)

13 Chaptre 8. es trells E FAMBEMET DES TEIIS es trells, composés d'éléments tendus et comprmés, peuvent fare l'objet de pluseurs types d'nstablté : un flambement local des s comprmées, se produsant selon une longueur de flambement qu est en général égale à la longueur de la (parfos mons s les nœuds sont rgdes, selon le type d'assemblage et selon que la appartenne à une membrure, un montant ou une dagonale : on peut aller jusqu'à un facteur,9 ou même,8 - consulter les normes en vgueur pour plus d'nformaton à ce sujet). un flambement global dans le plan du trells, à la manère d'une colonne comprmée : Ce type d'nstablté peut se trater par certans logcels va une approche numérque (vor chaptre, ). Cette approche fournra d'une part la forme de flambement global assocée à la charge extéreure applquée et d'autre part le cœffcent crtque qu exprme la valeur par laquelle l faut multpler cette charge pour que ce mode d'nstablté se produse (ce cœffcent est donc égal à crt /, et dot en prncpe être supéreur à ). un flambement global transversal, ou déversement, provoqué par une nstablté transversale d'une membrure comprmée mplquant pluseurs s et entraînant avec elle le reste du trells. Ce phénomène peut se produre quand la membrure comprmée n'est pas contreventée latéralement. Chaque élément de celle-c possède alors une longueur de flambement transversale plus grande ou plus pette que sa longueur ndvduelle. Une approche numérque est rendue possble par certans logcels qu fournssent la forme de flambement assocée à un cœffcent crtque c crt (vor chap., ). Ce cœffcent crtque représente la valeur par laquelle l faut multpler les charges applquées pour que le flambement se produse. Ans, s max est l effort dans l élément de membrure le plus sollcté, l effort crtque de flambement vaut : c crt max et on peut retrouver sa longueur de flambement réelle à partr de la lo d Euler (vor chap., ) : crt crt crt π EI f z f π c crt EI z max

14 Calculer une structure : de la théore à l'exemple Il est mportant de fare remarquer que cette longueur de flambement ne correspond pas nécessarement à la longueur entre deux ponts d nflexon que l on obtendrat à partr d une nspecton vsuelle de la forme de flambement. En effet, l assmlaton de la longueur de flambement à la longueur entre ponts d nflexon de la déformée n est valable que pour une sans appus ntermédares, alors que dans le cas présent la membrure est assmlable à une poutre sur appus élastques. otons que, dans de nombreux cas, le flambement global peut être empêché par des dspostfs de constructon. C'est le cas lorsque la présence d'une toture ou d'un tabler stablse le trells, ou que des éléments secondares relent les nœuds de trells vosns (vor photo en page 98). es fgures suvantes llustrent le premer mode de flambement global d'une passerelle composée de deux trells relés au nveau de la membrure nféreure mas dont les membrures supéreures ne sont pas contreventées. Ce mode de flambement est transversal. Ces trells à nœuds rgdes, d'une portée de [m] et d'une hauteur de [m], comportent malles et sont soums en chaque nœud de la membrure nféreure à des efforts de [k]. es sectons sont toutes carrées creuses (côté [mm], épasseur [mm]) : f π π EI z c crt max. 7., mm,77 m Dstance entre ponts d nflexon ± [m] Cœffcent crtque :, Effort max. dans la membrure supéreure : 9 k Vue en plan Premer mode de flambement d'une passerelle composée de deux trells parallèles dont les membrures supéreures ne sont pas contreventées. A vue d'œl, la dstance entre deux ponts d'nflecton successfs de la membrure supéreure vaut [m], alors que la longueur de flambement réelle vaut,77 m. C est sur cette valeur de,77 m et sur base d un effort de compresson de 9 k que la membrure devra être vérfée. es autres modes de flambement sont en toute rgueur auss à examner avec son. (Smulaton sur le logcel OBOT Mllennum).

15 Chaptre 8. es trells 9. EXEMPES Exemple Pour le trells sostatque c-dessous, on propose : de calculer les réactons d'appu; de détermner les efforts dans chacune des s par les tros méthodes (méthode de Cremona, méthode des sectons, méthode générale). de calculer l'expresson de la flèche vertcale au pont d'applcaton de ; [k] Module E et secton A dentques pour toutes les s Calcul des réactons d'appu HA HB ( VA ) A VB B C D [k] E Sot à les efforts normaux relatfs aux s à. emarquons que la réacton VA est forcément nulle pusqu'elle ne peut être équlbrée par aucun autre effort vertcal. En effet, HA et agssent unquement selon un axe horzontal. équlbre des efforts vertcaux : VB équlbre des efforts horzontaux : HA HB équlbre des moments par rapport au pont A : HB On obtent : VB, HB, HA, ( VA ).

16 Calculer une structure : de la théore à l'exemple Calcul des efforts dans les s par la méthode de Cremona nœud E : (tracton) (compresson) nœud D ( connu) : (compresson) (tracton) nœud C ( et connus) : (tracton) (compresson)

17 Chaptre 8. es trells Calcul des efforts dans les s par la méthode des sectons Secton : HA HB VB A B C C D Secton [k] E Secton [k] E D Secton équlbre des efforts vertcaux : cos équlbre des efforts horzontaux : cos équlbre des couples autour du pont C : Sachant que cos /, on obtent : Secton : équlbre des efforts vertcaux : cos équlbre des efforts horzontaux : cos (tracton) (compresson) (compresson) [k] E Secton On obtent : (tracton) (compresson) e calcul de est mmédat s on effectue une secton dans les s, et : on obtent drectement charge extéreure (tracton).

18 Calculer une structure : de la théore à l'exemple Calcul des efforts dans les s par la méthode générale Il faut consdérer chaque nœud et écrre les équatons d'équlbre qu lu sont relatves : x x x, x, s concourantes au noeud y y y, y, s concourantes au noeud xa xb ya yb A y B x C D [k] E œud A : coordonnées du nœud A : (,) concourante en A : Barre : nœud opposé (,), longueur effort extéreur applqué : aucun présence d'un appu ( xa, ya ) xa ya xa ya œud B : coordonnées du nœud B : (,) s concourantes en B : Barre : nœud opposé (,), longueur Barre : nœud opposé (,), longueur effort extéreur applqué : aucun présence d'un appu ( xb, yb )

19 Chaptre 8. es trells yb xb yb xb œud C : coordonnées du nœud C : (,) s concourantes en C : Barre : nœud opposé (,), longueur Barre : nœud opposé (,), longueur Barre : nœud opposé (,), longueur Barre : nœud opposé (,), longueur effort extéreur applqué : aucun pas d'appu œud D : coordonnées du nœud D : (,) s concourantes en D : Barre : nœud opposé (,), longueur Barre : nœud opposé (,), longueur Barre : nœud opposé (,), longueur effort extéreur applqué : aucun pas d'appu

20 Calculer une structure : de la théore à l'exemple œud E : coordonnées du nœud E : (,) s concourantes en E : Barre : nœud opposé (,), longueur Barre : nœud opposé (,), longueur effort extéreur applqué : ( x, y ) (, ) pas d'appu Fnalement, on obtent un système de dx équatons dans lequel les dx nconnues sont à et xa, ya, xb, yb : yb xb ya xa Ces dx équatons peuvent être exprmées sous forme matrcelle : yb xb ya xa / / / / / / / / a résoluton de ce système fournt les solutons suvantes :

21 Chaptre 8. es trells 7 et yb xb ya xa Calcul de la flèche en E Pusqu'on recherche précsément le déplacement au pont d'applcaton E de la charge, le théorème de la force unté (chap., 9) peut s'utlser en consdérant la structure soumse à un effort de [k] à la place de l'effort et on a : s de bre s de bre E A E A E n δ On obtent : EA EA E 7, δ es fgures c-dessous montrent les résultats obtenus à l'ade du logcel ISSD pour les données suvantes : [m], [k], sectons tubulares dentques (damètre [mm], épasseur [mm] : are 7,8 [mm ]), E. [MPa] : Déformée (et déplacement en E) avec nœuds rgdes : Horz,88 mm, Vert,9 mm, Ang,8 rad

22 8 Calculer une structure : de la théore à l'exemple Déformée (et déplacement en E) avec nœuds artculés : Horz,88 mm, Vert, mm, Ang, rad Déformée et valeur des efforts normaux avec nœuds artculés :

23 Chaptre 8. es trells 9 Exemple Pour le trells hyperstatque suvant, on propose : de détermner le degré d'hyperstatcté; de détermner les efforts dans toutes les s; de calculer l'expresson de la flèche vertcale en F. A C E 8 7 B D 9 F [k] G Module E et secton A dentques pour toutes les s Détermnaton du degré d'hyperstatcté I s ( b r) ( ) n evée d'hyperstatcté e degré d'hyperstatcté valant, on peut chosr la structure sostatque de référence en extérorsant deux efforts, et donc en coupant deux s. On vellera à ne pas créer une structure sostatque de type mécansme, comme c'est le cas s on effectue une coupure dans les s et : [k] e chox des s et 7 semble plus judceux. et 7 étant les efforts correspondants, le trells hyperstatque de base peut se décomposer en une superposton des tros structures sostatques suvantes :

24 Calculer une structure : de la théore à l'exemple S F A δ, F C δ F E, [k] G 8 7 B D 9 F S A C E k k δ δ 8 7 G B D 9 F 7 S A C E k δ k δ 8 7 G B D ésoluton des structures sostatques 9 F e calcul pourra se fare par une méthode quelconque, par exemple par la méthode des sectons. e tableau c-dessous reprend la valeur des efforts normaux dans les s pour chacune des structures sostatques. de la ongueur de la Effort normal F Effort normal n Effort normal n / - / / / / / /

25 Chaptre 8. es trells Calcul des déplacements ( ) F, n, δ, F EA F, n, δ, F EA ( n ), δ ( / ) EA EA EA ( ) EA ésoluton du système d'nconnues δ δ δ δ ( n ) n,, n EA ( ), EA EA EA δ δ δ δ 7 δ, δ, F F 7,98,78 Calcul des efforts dans les s de la structure hyperstatque et 7 étant connus, l sufft d'addtonner les efforts relatfs à chacune des structures sostatques en tenant compte des sgnes (conventon > en tracton) et en ntrodusant la pondératon par et 7 : de la Effort normal F Effort normal n Effort normal n Effort normal total F n 7 n /,,98 /,99,77 / /, /,7 7,78 8, 9 /, /,7,

26 Calculer une structure : de la théore à l'exemple Calcul de la flèche vertcale au nœud F e théorème de Pasternak (chap., ) permet d'applquer le théorème de la force unté (chap., 9) en consdérant n'mporte quelle structure sostatque soumse à effort untare. Ans, le chox c-dessous est partculèrement ntéressant car l ne nécesste le calcul que de efforts pusque est nul à pror (vor ) et que 9 : 9 7 F [k] a résoluton de ce trells ne soulève pas de problème partculer. On obtent : n [k]; n [k]; n [k]; n, [k]; n [k]; n [k]; n 7, [k]; n 8 [k]; n 9 [k]; n n n ; de la ongueur de la Effort normal dans la structure hyperstatque de base () F Effort normal dans la structure soumse à effort untare n () F n,,,98,99,99,77,,,,7 7,78,, 8, 9,,,7, a somme des termes de la dernère colonne vaut, et la flèche en F vaut donc : δ F, EA

27 Chaptre 8. es trells a fgure c-dessous ndque la déformée, la valeur des efforts normaux, ans que la flèche vertcale en F, obtenus à partr du logcel ISSD, avec les données suvantes : [m], [k], sectons tubulares (damètre [mm], épasseur [mm] : are 7,8 [mm ]), E. [MPa]. Passerelle composée de deux trells métallques parallèles sur le hône en France : les nœuds sont rgdes et très ramassés. (Photo de l'auteur)

28 Calculer une structure : de la théore à l'exemple