Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques

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1 Séries etières Préparatio au Capes de Mathématiques I - Covergece des séries etières Notatios Pour tout élémet r de R +, o ote D r = fz 2 C / jzj < rg et D r = fz 2 C / jzj rg Déitio 1 O appelle série etière toute série de foctios dot le terme gééral est du type u (z) = a z, où (a ) est ue suite de ombres complexes, et où la variable z est complexe Propositio 1 Lemme d'abel S'il existe ue ombre réel r > 0 tel que la suite (a r ) soit borée, alors : 1 (8z 2 D r ) la série P a z est absolumet covergete 2 (8s 2 [0; r[) la série P a z coverge ormalemet sur D s Exercice 1 Démotrer cette propositio Propositio 2 Rayo de covergece 1 Il existe u uique élémet R de R + tel que : a pour tout ombre complexe z vériat jzj < R, la série P a z est absolumet covergete b pour tout ombre complexe z vériat jzj > R, la série P a z est grossièremet divergete 2 (8s 2 [0; R[) la série P a z coverge ormalemet sur le disque fermé D s Le ombre R aisi déi est appelé le rayo de covergece de la série etière P a z Exercice 2 Démotrer cette propositio selo le pla suivat : 1 Motrer que I = fr 2 R + / la suite (a r ) est borée g est u itervalle o vide de R + 2 O pose R = sup I si l'itervalle I est boré, et R = +1 sio Motrer que ce ombre R vérie les coditios requises 3 Motrer e que ce ombre R est le seul qui coviee Exercice 3 Premiers exemples A l'aide des résultats sur les suites umériques, détermier le rayo de covergece des séries etières suivates, et étudier leur comportemet e tout poit du cercle de cetre 0 et de rayo R : P P z 1 P 1 P 1 P z 2 z z z 1/7 Départemet de Mathématiques

2 Propositio 3 Formule de Cauchy Soit P p a z ue série etière, et soit L = lim sup ja j 8 < Alors cette série etière à pour rayo de covergece : R = : Exercice 4 L 1 si 0 < L < +1 0 si L = si L = 0 1 Démotrer cette formule à l'aide de la règle de Cauchy pour les séries umériques 2 Calculer le rayo de covergece de la série etière P 2 ( 1) z et étudier le comportemet de cette série e tout poit du cercle frotière 3 Soit (a ) ue suite de ombres complexes Motrer que les séries etières P a z et P a z 1 ot le même rayo de covergece Propositio 4 Formule de d'alembert Soit P a z a +1 ue série etière telle que L = lim 1 a existe das R + 8 < Alors cette série etière à pour rayo de covergece : R = : Exercice 5 L 1 si 0 < L < +1 0 si L = si L = 0 1 Démotrer cette formule à l'aide de la règle de d'alembert pour les séries umériques 2 Calculer le rayo de covergece de la série etière P ()2 (2)! z Propositio 4 Régularité de la somme Soit P a z ue série etière de rayo de covergece R > 0, et soit S sa somme déie sur le disque de covergece par : (8z 2 D R ) S (z) a z Alors S est cotiue et dérivable sur le disque D R, et (8z 2 D R ) S 0 (z) a z 1 Exercice 6 Démotrer cette propositio selo le pla suivat : soit z 0 u poit de D R 8 < a z a z0 si z 6= z 0 1 O pose (8 2 N) (8z 2 C) v (z) = z z 0 : a z0 1 si z = z 0 Motrer que (v ) 2N est ue suite de foctios cotiues sur C 2 Soit r u réel vériat jz 0 j < r < R Motrer que la série P v coverge ormalemet sur D r E déduire que sa somme s est ue foctio cotiue sur D r 3 Motrer e que la cotiuité de s au poit z 0 traduit la dérivabilité de S e z 0 et détermier S 0 (z 0 ) =1 2/7 Départemet de Mathématiques

3 Propositio 5 Théorème d'abel Soit P a z ue série etière dot le rayo de covergece R vérie 0 < R < +1, et soit S sa somme déie sur le disque de covergece D R par : (8z 2 D R ) S (z) Si la série etière coverge e u poit z 0 du cercle frotière, alors la somme de la série e ce poit est égale à la limite de S (tz 0 ) lorsque t ted vers 1 das l'itervalle [0; 1[ Exercice 7 a z Vérier qu'il s'agit d'ue variate du théorème d'abel étudié das le chapitre sur les séries de foctios Exercice 8 1 Vérier que la série etière P 1 z a pour rayo de covergece R = 1 2 D'après la propositio 4, sa somme S est dérivable sur D R Détermier sa dérivée S 0 3 Calculer alors la valeur de la somme S (x) 1 =1 x pour tout ombre réel x 2 ] 1; +1[ 4 E déduire la valeur exacte de la somme de la série harmoique alterée +1 P ( 1) Remarque Tous les résultats établis das ce paragraphe das le cas d'ue variable complexe peuvet bie sûr être adaptés au cas où la variable est réelle Il suft pour cela de remplacer das les divers éocés le disque de covergece D R par l'itervalle de covergece I R = fx 2 R / jxj < Rg =1 II - Développemet e série de Taylor Notatios Pour tout élémet r de R +, o ote I r = fx 2 R / jxj < rg et I r = fx 2 R / jxj rg Das tout ce paragraphe, f désige ue applicatio de l'itervalle I r das R Déitio 2 O dit que la foctio f est développable e série etière sur l'itervalle I r s'il existe ue suite (a ) de ombres réels vériat : (8x 2 I r ) f (x) a x Propositio 6 Uicité du développemet Si la foctio f est développable e série etière sur l'itervalle I r, alors f est de classe C 1 sur I r et les coefciets de la série etière vériet : (8 2 N) a = f () (0) Exercice 9 Démotrer cette propositio 3/7 Départemet de Mathématiques

4 Déitio 3 Si la foctio f est de classe C 1 sur I r, o appelle série de Taylor de f la série etière P f () (0) x Exercice 10 Soit f l'applicatio déie sur R déie par : (8x 2 R) f (x) = e 1=x 2 si x 6= 0 0 si x = 0 1 Motrer que f est de classe C 1 sur R, et qu'il existe ue suite (P ) de foctios polyômes vériat : ( P (x) (8 2 N) (8x 2 R) f () (x) = x 3 e 1=x2 si x 6= 0 0 si x = 0 2 Vérier que la série de Taylor de f coverge ormalemet sur R 3 Motrer que la foctio f 'est pas développable e série etière au voisiage de 0 Propositio 7 Existece du développemet Si f est de classe C 1 sur I r, et s'il existe ue foctio positive g déie et cotiue sur I r vériat : (8 2 N) (8x 2 I r ) f () (x) g (x), alors f est développable e série etière sur l'itervalle I r, et f est la somme de sa série de Taylor Démostratio Soit x u poit de I r D'après la formule de Mac Lauri avec reste de Lagrage, (8 2 N) (9 2 ]0; 1[) R (x) = f (x) P La foctio g état cotiue, doc borée, sur I x = [ f (k) (0) k! x k = x+1 ( + 1)! f (+1) ( x) jxj ; + jxj ] ; o peut poser M x = sup t2i x jg (t)j Alors : (8 2 N) (9 2 ]0; 1[) jr (x)j jxj+1 ( + 1)! g ( x) jxj+1 ( + 1)! M x jxj Or la suite coverge vers 0, doc la suite (R (x)) coverge vers 0, cqfd Exercice 10 Développemets usuels 1 A l'aide de la propositio 7, démotrer que, pour tout ombre réel x, e x x cos x cosh x ( 1) x 2 (2)! x 2 (2)! si x sih x ( 1) x 2+1 (2 + 1)! x 2+1 (2 + 1)! 2 A l'aide de la propositio 4, démotrer que, pour tout ombre réel x vériat 1 < x < +1, l (1 + x) =1 ( 1) +1 x arg tah x x arcta x ( 1) x /7 Départemet de Mathématiques

5 Exercice 11 Autre développemet usuel Soit f la foctio déie sur I = ] 1; +1[ par : (8x 2 I) f (x) = (1 + x) où 2 R r N 1 Motrer que la foctio f est de classe C 1 sur I, et calculer ses dérivées successives 2 Détermier la série de Taylor P a x de f, et calculer so rayo de covergece 3 Vérier que malheureusemet f e vérie pas l'hypothèse de la propositio 7 4 Soit x 2 ] 1; +1[ D'après la formule de Mac Lauri avec reste itégral, Z P x (8 2 N) R (x) = f (x) a k x k (x t) = f (+1) (t) dt a Vérier que pour tout réel t compris etre 0 et x, jx tj (1 + t) jxj b Motrer qu'il existe ue costate K ;x > 0 idépedate de vériat : (8 2 N) jr (x)j K ;x j( + 1) a +1 x j 0 c E déduire que la suite (R (x)) coverge vers 0 5 Coclure que (8x 2 ] 1; +1[) (1 + x) = P =1 ( 1) ( + 1) x III - Somme et produit de séries etières Propositio 8 Soiet P a z et P b z deux séries etières de rayos de covergece respectifs R 1 et R 2 1 La somme des deux séries est la série etière P (a + b ) z So rayo de covergece R vérie : R mi (R 1 ; R 2 ) Si de plus R 1 6= R 2, alors R = mi (R 1 ; R 2 ) 2 Le produit des deux séries est la série etière P c z P où (8 2 N) c = a k b k So rayo de covergece R 0 vérie : R 0 mi (R 1 ; R 2 ) Corollaire Si f et g sot deux foctios réelles développables e séries etières sur l'itervalle I r = ] r; +r[, il e va de même de leur somme f + g et de leur produit fg Exercice 12 Démotrer la propositio 8 et so corollaire Exercice 13 1 Calculer le rayo de covergece et la somme de la série etière P (2 2 ) z 2 Calculer de même le rayo de covergece et la somme de la série etière P (1 + 3 ) z 3 Calculer le rayo de covergece et la somme de la série produit des deux séries précédetes 4 Que peut-o observer? 5/7 Départemet de Mathématiques

6 Exercice 14 1 Motrer que : (8m 2 N) (8 2 N) P m + k m = m m E déduire par récurrece que : (8m 2 N) (8z 2 D 1 ) Déitio 4 1 (1 z) m+1 = +1P O appelle foctio expoetielle complexe l'applicatio de C das C déie par (8z 2 C) exp (z) z Propositio 9 1 La foctio exp est cotiue et dérivable sur C, et exp 0 = exp 2 (8z 1 2 C) (8z 2 2 C) exp (z 1 + z 2 ) = exp (z 1 ) exp (z 2 ) m + 3 La restrictio de la foctio exp à R 'est autre que la foctio expoetielle réelle 4 (8x 2 R) exp (ix) = cos x + i si x 5 (8z 2 C) exp (z + 2i) = exp (z) 6 (8z 2 C) exp (z) = 1 () z 2 2iZ m z Propositio 10 Les foctios à variable réelle cosh, sih, cos, si peuvet être prologées à C tout etier e posat : cosh z = exp (z) + exp ( z) 2 exp (iz) + exp ( cos z = iz) 2 z 2 (2)! ( 1) z 2 (2)! sih z = si z = exp (z) exp ( z) 2 exp (iz) exp ( iz) 2i Les foctios aisi déies sot cotiues et dérivables sur C, et de plus cosh 0 = sih sih 0 = cosh cos 0 = si si 0 = cos Elles vériet d'autre part les propriétés suivates : 1 (8z 2 C) cosh 2 z sih 2 z = 1 et cos 2 z + si 2 z = 1 z 2+1 (2 + 1)! ( 1) z 2+1 (2 + 1)! 2 (8z 2 C) cosh ( z) = cosh z sih ( z) = sih z cos ( z) = cos z si ( z) = si z 3 Formules d'additio : Pour tout a 2 C et pour tout b 2 C, cos (a + b) = cos a cos b si a si b si (a + b) = si a cos b + si b cos a cosh (a + b) = cosh a cosh b + sih a sih b sih (a + b) = sih a cosh b + sih b cosh a Exercice 15 1 Démotrer les propositios 9 et 10 2 Résoudre das C les équatios : si z = 5 4 jsi zj = jcos zj cosh z = i sih z 6/7 Départemet de Mathématiques

7 IV - Applicatios Les séries etières sot u outil itéressat pour rechercher les solutios d'ue équatio différetielle Exercice 16 Motrer que l'équatio différetielle y 00 y = 2e x possède ue solutio développable e série etière sur R vériat les coditios iitiales y (0) = 0 et y 0 (0) = 1 Exercice 17 O cosidère l'équatio différetielle : (E) xy y 0 + xy = 0 1 Détermier l'esemble des solutios de (E) développables e série etière au voisiage de 0 2 O ote y 1 la solutio de (E) développable e série etière qui vérie y 1 (0) = 1 Détermier la solutio géérale de (E) sur R + et sur R e posat y = zy 1 : 3 E déduire la solutio géérale de (E) sur R Exercice 18 O cosidère l'équatio différetielle : (E) xy (x 1) y 0 4y = 0 1 Détermier l'esemble D des solutios de (E) développables e série etière sur R 2 Vérier que D est u pla vectoriel dot o précisera ue base (y 1 ; y 2 ) 3 Motrer que l'esemble S des solutios de (E) sur R est u espace vectoriel de dimesio 3 E doer ue base 7/7 Départemet de Mathématiques

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