Espaces Probabilisés

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1 Uiversité de Picardie Jules Vere UFR des Scieces Licece metio Mathématiques - Semestre 4 Probabilités 1 Espaces Probabilisés Le but de ce chapitre est de proposer u modèle mathématique permettat de décrire ue expériece aléatoire. 1 - La otio d évéemet ; algèbre des évéemets La otio d évéemet. Pour costruire u modèle probabiliste d u phéomèe aléatoire, il coviet d abord de se doer u esemble des évetualités adapté au problème. O adopte la défiitio suivate. Défiitio. SoitEue expériece aléatoire, i.e. ue expériece susceptible d être répétée das les mêmes coditios mais dot le résultat est pas prévisible (du au hasard ). O appelle esemble fodametal ou uivers associé àel esemble oté de tous les résultats possibles (a priori) ou évetualités dee. O désigera par toute évetualité, c est-à-dire tout élémet de. Remarque. La otio de résultat est pas clairemet défiie ; e fait, c est l expérimetateur qui fixe lui-même ce qui mérite le om de résultat e foctio de ses préoccupatios. C est pourquoi il y a pas uicité das le choix de. Exemple 1.E: lacer d u dé cubique (faces umérotées de 1 à 6). O peut predre 1, 2, 3, 4, 5, 6 si l o s itéresse au uméro obteu, ou 0, 1 si l o s itéresse seulemet à la parité du uméro obteu. Exemple 2.E: lacer deux dés cubiques discerables (faces umérotées de 1 à 6). 1,2,3,4,5,6 2 arragemets avec répétitio d ordre 2 de 1,2,3,4,5,6 si l o s itéresse aux uméros obteus, ou 2,3,,12 si l o s itéresse à la somme des deux uméros obteus. Exemple 3.E: tirer ue mai de 8 cartes das u jeu de 32 cartes. combiaisos de 8 cartes prises parmi 32. Remarque. L esemble est pas écessairemet u esemble fii. Exemple 4.E: o lace ue pièce jusqu à obteir 1 fois Pile. Si l o appelle résultat le ombre de lacers écessaires, alors. Exemple 5.E: o tire ue balle sur ue cible de diamètre 1m. Si l o appelle résultat : - le poit d impact de la balle sur le pla de la cible : x,y 2 / x 2 y la distace du poit d impact au cetre de la cible : 0, 1 ; 2 - le gai évetuel, la cible état divisée e 5 zoes : 0,5,10,20,30. Défiitio. SoitEue expériece aléatoire et u uivers associé. O appelle évéemet lié àetoute assertio ou propositio logique dot o peut dire qu elle est vraie ou o ue fois l expérieceeréalisée (i.e. pour toute évetualité ). O dit qu u évéemet est réalisé si l assertio qui le défiit est vraie. O coviet alors d idetifier u tel évéemet au sous-esemble des pour lesquels il est réalisé : u évéemet lié àeest alors ue partie de. si, lorsque est le résultat d ue expériece aléatoireeet A est u évéemet, o a A est réalisé A Stéphae Ducay 1 ;

2 Repreos l exemple 2. E : lacer de deux dés. 1,2,3,4,5,6 2 x,y / x,y 1,2,3,4,5,6. Cosidéros l évéemet A : la somme des poits obteus est supérieure ou égale à 10. L évéemet A est idetifié au sous-esemble de suivat, oté ecore A : A 4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6. De même, les évéemets B : la somme des poits obteus est égale à 3 et C : le produit des poits obteus est égal à 2 sot B 1,2,2,1 et C 1,2,2,1. O remarque que ces évéemets B et C, apparamet différets, correspodet à la même partie de. O cofodra doc B et C, et o écrira B C. Défiitios. Soit u uivers associé à ue expériece aléatoiree. Alors, pour tout, est u évéemet appelé évéemet élémetaire. De plus,est appelé évéemet certai et est appelé évéemet impossible Algèbre des évéemets. D après ce qui précède, tout évéemet est ue partie de. Réciproquemet, toute partie de est-elle u évéemet? Pour aborder cette questio, supposos que l esemble des évéemets est u esembleade parties de (i.e.a P), dot ous allos défiir les propriétés e ous référat à des besois usuels. Si A et B sot deux évéemets liés à ue expériece aléatoiree, il est aturel de cosidérer la o-réalisatio de A (ou évéemet cotraire de A), la réalisatio simultaée de A et B, ou ecore la réalisatio de l u au mois des évéemets A ou B. La défiitio d évéemet comme partie de coduit à : - l évéemet cotraire de A est l évéemet A C A ; - la réalisatio simultaée de A et B est l évéemet A B ; - la réalisatio de l u au mois des évéemets A ou B est l évéemet A B. Repreos l exemple 1. E : lacer de u dé. 1,2,3,4,5,6. Les évéemets A : o obtiet u ombre pair et B : o obtiet u multiple de 3 sot A 2,4,6 et B 3,6. Les évéemets A B : o obtiet u multiple pair de 3 et A B : o obtiet u ombre pair ou u multiple de 3 sot alors A B 6 et A B 2,3,4,6. Plus gééralemet, si A est ue suite ifiie d évéemets, o peut égalemet être ameé à cosidérer les évéemets A (tous les évéemets A sot réalisés) et A (l u au mois des évéemets A est réalisé). Exemple 6. E : lacer ue pièce de moaie ue ifiité de fois. Cosidéros l évéemet A : obteir pile à chaque lacer. U choix aturel d uiversassocié àeest celui de l esemble des suites ifiies formées de P et de F. O a doc P,F u / u P,F. Cosidérat la suite ifiie d évéemets A : obteir pile au -ième lacer, o a A P,P,,P, A. Ces cosidératios ous amèet à la défiitio suivate. Défiitio. Soit u esemble quelcoque. O appelle tribu (ou-algèbre) sur toute partieadep telle que : i A ii A A, A A (stabilité par passage au complémetaire) iii pour toute suite A d élémets dea, A est ecore u élémet dea (stabilité par réuio déombrable). Stéphae Ducay 2

3 Propriétés. SoitAue tribu sur. Alors : i A ii Pour toute suite A d élémets dea, A est ecore u élémet dea (stabilité par itersectio déombrable) A et A iii Si A 1,,A sot élémets dea( 2), alors iv A,B A A, A B A v A, B A A, AB A (stabilité par différece symétrique) Corollaire. Soit u esemble. Alors : i, est ue tribu sur, appelée tribu grossière sur. iip est ue tribu sur. iii pour toute partie propre A de,,a,a, est ue tribu sur. Si est u uivers associé à ue expériece aléatoiree, les coditios imposées aux évéemets liés àe fot que ces deriers costituet ue tribuasur. Il faut oter que la tribuades évéemets liés àecotiet tous les sigletos de (évéemets élémetaires). Propositio SoitEue expériece aléatoire dot l uiverscosidéré est fii ou ifii déombrable. Alors o predraa P pour tribu des évéemets liés àe. Remarque. Si est ifii o-déombrable, alors o e choisira pas pour tribup (cette questio est pas étudiée ici) mais la plus petite tribuacoteat ue certaie classe de parties de. Par exemple, si, o predra la tribu borélieeb (strictemet icluse dasp) qui cotiet tous les itervalles de Espaces probabilisables. Défiitios. U espace probabilisable est u couple,a oùest u esemble quelcoque etaue tribu sur. Si est u uivers associé à ue expériece aléatoiree, l espace probabilisable,a est alors dit lié à l expériece aléatoiree. Défiitios. Soit,A u espace probabilisable lié à ue expériece aléatoiree.. i Les élémets deasot appelés évéemets. ii Soiet A,B A. O dit que l évéemet A etraie (ou implique) l évéemet B si A B. iii Soiet A,B A. O dit que A et B sot icompatibles (ou disjoits) si A B. iv O appelle système complet d évéemets toute partitio fiie ou déombrable de formée d élémets dea, i.e. toute famille A i ii d élémets deadeux à deux icompatibles (A i A j pour i j) et dot la réuio est ( ii A i ). Exemples. a) Repreos l exemple 2. Cosidéros les évéemets suivats : A : la somme des deux dés est supérieure ou égale à 10, B : l u des deux dés est supérieur ou égal à 4, C : l u des deux dés est iférieur à 2. Alors A B et A C. b) Soit A A.A,A est u système complet fii d évéemets. c) Soit,., est u système complet déombrable d évéemets. Pour coclure, voici u tableau comparatif des vocabulaires esembliste et probabiliste. Stéphae Ducay 3

4 otatios Vocabulaire esembliste Vocabulaire probabiliste esemble vide évéemet impossible esemble plei évéemet certai sigleto de évéemet élémetaire A sous-esemble de évéemet A appartiet à le résultat est ue réalisatio possible de A A complémetaire de A das évéemet cotraire de A A B réuio de A et B A ou B A B itersectio de A et B A et B A B A et B sot disjoits A et B sot icompatibles A B A est iclus das B A implique B 2 - La otio de probabilité Itroductio - Approche par les fréqueces. O recotre costammet das la vie courate la otio de probabilité d u évéemet. Elle est parfois puremet subjective, mais elle apparaît souvet sous ue forme mathématique relativemet précise. Das le jeu du pile ou face, il est aturel de dire que l apparitio de pile a la probabilité 1/2. Cela proviet d abord d ue ituitio d égalité de chace d apparitio des deux faces. Plus quatitativemet, si l o répète u grad ombre de fois l expériece qui cosiste à jeter la pièce, o s atted à trouver à peu près autat de pile que de face, ce qui doe à la fréquece d apparitio de "pile" (fractio ombre de pile sur ombre d expérieces) ue valeur voisie de 1/2. O e peut démotrer ce résultat expérimetal mais le but de la théorie des probabilités est de costruire des modèles mathématiques qui traduiset ce gere de phéomèes sous ue forme logique de telle sorte que, si ue expériece est e accord avec les hypothèses mathématiques, ses résultats puisset être prévus par la théorie. Gééralisos l exemple précédet. O effectue expérieces aléatoires idetiques et idépedates. O ote A le ombre de réalisatios d u évéemet A doé au cours de ces expérieces. O cosidère u autre évéemet B. Soit f A A la fréquece statistique de l évéemet A, f B celle de B. O a : i f A 0,1 et f B 0,1. ii si A est l évéemet certai, alors A, et doc f A 1. iii si A et B sot icompatibles, alors AB A B, et doc f AB AB A B f A f B. Lorsque ted vers l ifii, o s atted aussi à voir f A A se stabiliser autour d ue valeur limite, qui sera la probabilité de A.. Cette approche de probabilité comme limite de fréquece coduit aturellemet à la défiitio suivate. Défiitio. Soit,A u espace probabilisable fii. O appelle probabilité sur,a toute applicatio P dea das0,1 telle que : i P 1 ii Si A et B sot deux évéemets icompatibles, alors PA B PA PB (additivité de P). Le triplet,a,p est appelé espace probabilisé. Pour des raisos déjà recotrées (répétitio ifiie d expérieces aléatoires), o doit étedre la propriété ii à ue famille déombrable d évéemets deux à deux icompatibles. Cette propriété de -additivité fait qu ue probabilité est ue mesure à valeurs das0,1. Stéphae Ducay 4

5 2.2. Défiitio et propriétés d ue probabilité. Défiitios. Soit,A u espace probabilisable. O appelle probabilité sur,a toute applicatio P deadas 0,1 telle que : i P 1 ii Pour toute suite A d évéemets deux à deux icompatibles, o a P A PA (-additivité de P) Le triplet,a,p est appelé espace probabilisé. Si,A u espace probabilisable lié à ue expériece aléatoiree, et si P est ue probabilité sur,a, alors,a,p est appelé espace probabilisé associé à l expériece aléatoiree. Remarques. a) Ue probabilité P sur u espace probabilisable est pas uique. b) De faço géérale, toute étude probabiliste d ue expériece aléatoire devrait commecer par la recherche d u espace probabilisé lié à cette expériece. Comme plusieurs espaces probabilisés peuvet parfois la décrire, o peut obteir des résultats umériques différets. c) Il est parfois possible de résoudre certais problèmes sas coaître l uivers. Il sera quad même écessaire de coaître P, au mois pour u certais ombres d évéemets. Propriétés. Soit P ue probabilité sur u espace probabilisable,a. i P 0. ii Si A 1,,A sot ( 2) évéemets 2 à 2 icompatibles, alors P A PA i. E particulier, si A et B sot deux évéemets icompatibles, alors PA B PA PB. iii A A, PA 1PA. iv A,B A, PB A PB PA B. v A,B A, A B PB A PB PA et PA PB. vi A,B A, PA B PA PB PA B. Cas d u espace probabilisable,a fii ou ifii déombrable. Posos i, i I, avec I et p i P i. O aa P. Pour tout évéemet A j, j J j avec J I, o a A jj PA P jj j De plus, 1 P P ii ii Ue probabilité P sur i, i I jj i O parle aussi de distributio de probabilité. P j p j, les j état 2 à 2 icompatibles. jj P i p i. ii est doc défiie par la doée des ombres p i P i, avec p i 0 et ii p i 1. Exemple fodametal de l équiprobabilité. Soit,A u espace probabilisable fii, i.e. 1, 2,, eta P. Soit P ue probabilité sur,a. Tout évéemet A peut s écrire A, et o a PA A A P. De plus, p i 1. Si l o suppose qu aucu évéemet élémetaire i a plus de chace de se réaliser que les autres, o dit qu il y a équiprobabilité (les p i sot égaux) et o a : i 1,,, p i P i 1. O a doc PA 1 carda 1. A La probabilité P est alors défiie de faço uique, comme l idique le résultat suivat : Stéphae Ducay 5

6 Théorème. Soit,P u espace probabilisable fii. L hypothèse d équiprobabilité défiit sur cet espace ue uique probabilité P doée par : A P, PA carda card ombre de résultats favorables à A ombre de résultats possibles Les calculs avec ue telle probabilité se ramèet alors à des problèmes de déombremet. Remarque. Il est pas possible de défiir l équiprobabilité si est ifii déombrable. Mais o peut choisir d autres distributios de probabilité. Par exemple pour, la distributio de Poisso :, p e! D autres propriétés d ue probabilité. Formule de Poicaré (ou formule du crible). Soit P ue probabilité sur u espace probabilisable,a. i Pour tous A 1,A 2,A 3 A, PA 1 A 2 A 3 PA 1 PA 2 PA 3 PA 1 A 2 PA 1 A 3 PA 2 A 3 PA 1 A 2 A 3 ii Pour tous A 1,,A A, avec 2, P 1 1 S, avec S P 1 I où I est ue partie quelcoque de cardial de 1,2,...,. A i, ii Preuve. i O a A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3, doc e appliquat la propriété vi précédete, o a PA 1 A 2 A 3 PA 1 PA 2 A 3 PA 1 A 2 A 3. De plus, PA 2 A 3 PA 2 PA 3 PA 2 A 3. et PA 1 A 2 A 3 PA 1 A 2 A 1 A 3 PA 1 A 2 PA 1 A 3 PA 1 A 2 A 3. D où le résultat. ii La démostratio se fait par récurrece sur. La propriété est vraie au rag 2 (et 3 aui). Supposos qu elle soit vraie à u rag 2 fixé. Alors : 1 P P A 1 P PA 1 P A 1 Par hypothèse, P et P 1 1 P 1 I A i ii A 1 P A P P I I 1 O e déduit que P si, P 1 P 1 I A i A PA 1...A 1 ii ii PA i 1 1 P 2 A i A PA 1...A 1. PA i S, avec S I 1 P I A i A 1 ii P A i, 1 I 1 ii 1 où I 1 est ue partie quelcoque de cardial de 1,2,...,1. Théorème. Soit P ue probabilité sur u espace probabilisable,a. A i ii A i 1 PA 1...A 1. ii 1 i Si A est ue suite croissate d évéemets (, A A 1 ), alors P ii Si A est ue suite décroissate d évéemets (, A 1 A ), alors P A A lim PA. lim PA. Stéphae Ducay 6

7 Preuve. i Supposos que, A A 1. O a alors :, PA PA 1 1. La suite PA est aisi croissate et majorée (par 1) doc covergete ; ce qui prouve l existece de lim PA. Posos B 0 A 0, et pour, B A A 1. si,b est ue suite d évéemets deux à deux icompatibles telle que A Bi et A B. Par coséquet, PA PB i et P i0 A P B PB lim PB i lim PA, d où le résultat. 0 0 i0 ii Supposos que A soit ue suite décroissate d évéemets. AlorsA est ue suite PB. O a alors croissate d évéemets doc d aprèsi, P Or P doc P A P A 1P A A A lim PA. 1 lim PA lim 1PA lim PA. Repreos l exemple 6 du paragraphe 1.2. Posos A : obteir pile à chaque lacer et A : obteir pile aux premiers lacers. Remarquos d abord que A est ue suite décroissate d évéemets et que A A. D autre part, PA 2 1. O e déduit que PA P A lim PA lim L évéemet A a doc ue probabilité ulle, alors que A. (Rappelos que P 0). De faço aalogue, o pourrait avoir PA 1 avec A. Ceci coduit à adopter les défiitios suivates. Défiitios. i O dit qu u évéemet A est quasi impossible si PA 0. ii O dit qu u évéemet A est quasi certai si PA 1. iii O appelle système quasi complet d évéemets toute famille déombrable d évéemets deux à deux icompatibles et dot la réuio est u évéemet quasi-certai. Pour termier ce paragraphe, ous éoços d autres propriétés dot la démostratio est laissée au soi du lecteur. Propositio. Soit P ue probabilité sur u espace probabilisable,a. i Pour tous A,B, A, PA B PA PB. ii Pour tous A 1,,A A, avec 2, P iii Pour toute suite A d élémets dea, P A Propositio. (Iégalité de Boferroi) Soit P ue probabilité sur u espace probabilisable,a. i Pour tous A,B, A, PA B PA PB 1. ii Pour tous A 1,,A A, avec 2, P PA i. PA. PA i Les schémas d ure. De ombreuses situatios aléatoires peuvet s iterpréter par u schéma d ure, i.e. par des tirages das ue ure coteat des boules de différetes couleurs e proportio coues. Par exemple, les boules représetet les idividus d ue populatio et les couleurs des caractéristiques des idividus. Stéphae Ducay 7 i0

8 3.1. Ure à 2 catégories. Cosidéros ue ure coteat boules idiscerables au toucher, dot 1 sot blaches et 2 sot oires ; il y a doc ue proportio p 1 1 de boules blaches et p 2 2 1p 1 de boules oires. O cosidère l expériece aléatoiree: extraire boules de l ure. O cherche à calculer la probabilité d obteir exactemet boules blaches. Pour se faire, il faut distiguer les différets modes de tirage possibles Tirages successifs avec remise. Pour ce mode de tirage, peut predre importe quelle valeur etière positive. Si l o suppose que les boules d ue même couleur sot umérotées, o peut associer à l expériece aléatoireel uivers : arragemets avec répétitio d ordre de l esemble des boules. Comme card est fii, la tribu des évéemets esta P. O cosidère aturellemet sur,a l équiprobabilité P. Soit l évéemet A : obteir exactemet boules blaches, 0. Il y a C choix possibles pour les positios des boules blaches ; les positios des boules oires état aisi détermiées. Il y a alors 1 choix des boules blaches et 2 choix des boules oires. O a doc carda C 1 2 et PA C 1 2. O e déduit que C 1 2 C p 1 1p 1, 0. Cette loi de probabilité est appelée loi Biomiale de paramètres,p Tirages successifs sas remise. Pour ce mode de tirage, o doit avoir 0. O choisit alors : - arragemets (sas répétitio) d ordre de l esemble des boules ; -A P, car card A est fii ; - P l équiprobabilité sur,a. Le ombre de boules blaches obteues est compris etre max0, 2 et mi, 1. Il y a C choix possibles pour les positios des boules blaches ; les positios des boules oires état aisi détermiées. Il y a alors A 1 choix des boules blaches et A 2 A 1 choix des boules oires. A 1 O a doc PA C A 1, max0, A 2 mi, Tirages simultaés (ou par poigées). Pour ce mode de tirage, o doit avoir 0. O choisit alors : - combiaisos (sas répétitio) d ordre de l esemble des boules ; -A P, car card C est fii ; - P l équiprobabilité sur,a. Le ombre de boules blaches obteues est compris etre max0, 2 et mi, 1. Il y a C 1 choix des boules blaches et C 2 C 1 choix des boules oires. C 1 O a doc PA C 1, max0, C 2 mi, 1. Remarque. Pour tout tel que 0, o a : C A 1 A 1! A!! A 1 A 1 A A 1! A 1! A! C 1 C 1 C. Il y a doc équivalece etre tirages successifs sas remise et tirages simultaés. Cette loi de probabilité est appelée loi Hypergéométrique de paramètres,,p 1 1. Stéphae Ducay 8

9 3.2. Ure à l catégories, l 2. Cosidéros ue ure coteat boules idiscerables au toucher, dot 1 sot de couleur 1, 2 de couleur 2,..., l de couleur l (o a doc 1 2 l ). Pour tout i 1,...,l, la proportio de boules de couleur i est p i i. O cosidère l expériece aléatoiree: extraire boules de l ure. O cherche à calculer la probabilité d obteir exactemet et e même temps i boules de couleur i, 1 i l, l avec i Tirages successifs avec remise. O cosidère le même espace probabilisé qu au 1.1. Soit l évéemet A 1,..., l1 ; obteir exactemet i boules de couleur i, 1 i l. Choisir les positios pour les i boules de couleur i, 1 i l, reviet à choisir ue permutatio avec répétitio de la combiaiso avec répétitioc 1,...C 1,C 2,...,C 2,...,C l,...,c l, où chaque couleur C i est répètée i fois ; cette combiaiso ayat élémets. Le ombre de choix des positios est doc le ombre de ces permutatios avec répétitio, i.e.! 1! 2!... l!. Les positios état détermiées, il y a i i choix des boules de couleur i, 1 i l. O a doc 1,..., l1 PA 1,..., l1! 1! 2!... l! l l! 1! 2!... l! p 1 1 p p l l. Cette loi de probabilité est appelée loi Multiomiale de paramètres,p 1,p 2,...,p l Tirages successifs sas remise. O cosidère le même espace probabilisé qu au 1.2. Pour simplifier, o suppose que i i pour tout i 1,...,l. Il y a toujours! choix des positios. 1! 2!... l! i choix des boules de couleur i, 1 i l. Il y a alors A i O a doc 1,..., l1 PA 1,..., l1! 1! 2!... l! A 1 1 A A l l. A Tirages simultaés (ou par poigées). O cosidère le même espace probabilisé qu au 1.3. Pour simplifier, o suppose que i i pour tout i 1,...,l. Il y a C i i choix des boules de couleur i, 1 i l. O a doc 1,..., l1 PA 1,..., l1 C 1 1 C C l l, 0. C Remarque. A 1 1 1! A 2 2 l O a 1,..., l1 C 1 1 C C l l A C 1,..., l1.! Il y a ecore équivalece etre tirages successifs sas remise et tirages simultaés. Cette loi de 2!... A l l! probabilité est appelée loi Multi-hypergéométrique de paramètres,,p 1 1,...,p l1 l1. Stéphae Ducay 9

10 4 - Exercices. Exercice 1. O tire trois boules avec remise das ue ure coteat ciq boules umérotées de 1 à 5. Soiet les évéemets A i : la i-ème boule tirée porte le uméro 1, pour i 1,2,3. Exprimer e foctio des A i les évéemets suivats : a) o obtiet trois fois la boule uméro 1, b) o obtiet au mois ue fois la boule uméro 1, c) o obtiet ue seule fois la boule uméro 1, d) la boule uméro 1 est obteue pour la première fois au 2ème tirage, e) la boule uméro 1 est obteue pour la première fois au 3ème tirage, f) la boule uméro 1 est obteue au 1er tirage ou alors est pas obteue. g) o obtiet deux fois ou plus la boule uméro 1, h) o obtiet deux fois exactemet la boule uméro 1, i) o obtiet jamais la boule uméro 1. Exercice 2. O effectue ue suite ifiie de lacers d u dé dot les six faces sot umérotées de 1 à 6. Pour tout i I, o cosidère l évéemet A i : obtetio de l as au i ème lacer. 1) Défiir par ue phrase e comportat aucu vocabulaire mathématique les évéemets suivats : B i5 4, C, D A i. i5 i4 2) Ecrire à l aide des A i l évéemet E : o obtiet au mois ue fois l as au-delà du ème lacer. 3) Motrer que la suite E A i i aucu vocabulaire mathématique l évéemet E 1 est décroissate. Caractériser par ue phrase e comportat 4) Ecrire à l aide des A i les évéemets F : o obtiet plus que des as à partir du ème lacer, et F : o obtiet plus que des as à partir d u certai lacer. Exercice 3. O jette quatre dés discerables équilibrés dot les 6 faces sot umérotées de 1 à 6. O appelle résultat la suite ordoée des quatre faces obteues. Proposer u espace probabilisé,a,p adapté à cette expériece et calculer la probabilité des évéemets suivats : a) A : o obtiet pas d as au cours des quatre lacers, b) B : o obtiet exactemet deux as, c) C : o obtiet au mois u as, d) D : o obtiet u as aux deuxième et troisième lacers, e) E : o obtiet au mois ue fois u uméro pair. f) F : o obtiet u carré" (quatre faces idetiques), g) G : o obtiet u brela" (trois faces idetiques et ue autre différete), h) H : o obtiet ue double paire" (deux couples différets de faces idetiques), i) I : o obtiet ue simple paire" (deux faces idetiques et deux autres différetes), j) J : o obtiet u résultat baal" (quatre faces différetes). Exercice 4. O rappelle qu u jeu de 52 cartes est costitué de 13 cartes de valeur 1, 2,..., 9, 10, Valet, Dame, Roi das chacue des 4 couleurs Pique, Carreau, Coeur et Trèfle. O titre simultaémet 6 cartes d u jeu de 52 cartes. Calculer la probabilité d obteir : a) six cartes de valeurs différetes ; b) deux brelas (brela3cartes de même valeur) ; c) ue paire et u carré (paire 2 cartes de même valeur, carré 4 cartes de même valeur) ; d) trois paires (différetes) ; e) u brela, ue paire, u sigleto E. Stéphae Ducay 10

11 Exercice 5. Das ue loterie de 100 billets, deux billets sot gagats. 1) Quelle est la probabilité de gager au mois u lot si l o pred 12 billets? 2) Combie faut-il predre de billets pour que la probabilité de gager au mois u lot soit supérieure à 4/5? Exercice 6. Das ue assemblée de persoes, quelle est la probabilité que deux d etre elles au mois aiet le même jour d aiversaire? Exercice 7. O lace six fois de suite u dé équilibré à 6 faces umérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité que le résultat du lacer et le uméro du lacer coïcidet au mois ue fois? Exercice 8. O place au hasard sur ue étagère les tomes d u ecyclopédie, umérotés de 1 à. Pour i 1,...,, o désige par A i l évéemet "le tome i retrouve sa place". Calculer la probabilité des évéemets suivats : a) le tome i retrouve sa place, b) les tomes i et j retrouvet leur place, c) les tomes i 1,i 2,...,i retrouvet leur place, avec 1, d) chacu des tomes retrouve sa place, e) aucu des tomes e retrouve sa place. E déduire le ombre de déragemets de E i 1,i 2,...,i, c est-à-dire de permutatios de E telle qu aucu élémet i e retrouve sa positio. Exercice 9. O lace u dé à 6 faces umérotées de 1 à 6, et truqué de telle sorte que les faces paires sot équiprobables, les faces impaires sot équiprobables, et la probabilité d obteir ue face paire est égale au double de celle d obteir ue face impaire. 1) a) Proposer u espace probabilisé,a,p adapté à cette expériece. O pourra cosidérer les probabilités p i d obteir la face i, i 1,...6. b) Calculer la probabilité d obteir ue face iférieure ou égale à 3. 2) Comparer au cas d u dé équilibré. Exercice 10. Soiet,u réel et p la suite défiie par p soit ue distributio de probabilité sur. 1. Détermier pour que p Exercice 11 Ue ure cotiet 10 boules dot 6 blaches et 4 oires. O effectue successivemet 5 tirages d ue boule de l ure. 1) Les tirages sot effectués avec remise. Calculer la probabilité d obteir : a) aucue boule blache ; b) au mois ue boule blache ; c) ue boule blache (exactemet) ; d) deux boules blaches (exactemet) ; e) deux boules blaches suivies de trois boules oires. 2) Repredre les questios du 1) avec des tirages effectués sas remise. Stéphae Ducay 11