Analyse du risque et et couverture des tranches de CDO synthétiques

Transcription

1 Analyse du rsque et et couverture des tranches de CDO synthétques Aresk COUSIN ISFA Mémore d Actuare Pars, Insttut des Actuares, 13 Févrer 29 Traval encadré par Jean-Paul LAURENT

2 Introducton La crse a profondément transformé le marché des tranches de CDO sur ndce Le modèle standard (basé sur la copule gaussenne) a montré ses lmtes Marché acton, taux d ntérêt : l évaluaton de produts dérvés repose sur des argument de réplcaton Sur le marché du crédt, ce n est pas le cas: Grande dmenson du portefeulle, nteracton entre rsque de spread et rsque de défaut, ncerttude sur les taux de recouvrement En pratque: couverture locale du rsque de spread Nécessté de reler l évaluaton à la couverture

3 Introducton Qu est-ce qu un CDS (Credt Default Swap)? Contrat blatéral entre un acheteur de protecton et un vendeur de protecton Acheteur de Protecton Prme versée régulèrement Paement contngent au défaut de l entté de référence Vendeur de Protecton Oblgaton rsquée Dfférences structurelles mportantes avec des contrats d assurance classques Contrat échangeable sur un marché, prme contractuel fxée jusqu à maturté, acheteur de protecton ne détent pas nécessarement le rsque sous-jacent Indce de CDS : Itraxx Europe, CDX North Amerca

4 Introducton Qu est-ce qu une tranche de CDO? Perte agrégée 1% L t Portefeulle de crédt Ex : Itraxx 125 CDS sur oblgatons IG Super Senor Tranche [a,b] Mezzanne Junor Mezzanne Equty La détermnaton de la valeur d une tranche repose sur des calculs de prme «stop-loss» : E ( L a ) + t b a 9% 6% 3% % b a [ a, b ] + + t = t t L L a L b [ a, b] L t

5 Introducton Rsque de défaut Impacte drectement les cash-flows des tranches de CDO et de l ndce Rsque de spread Evoluton défavorable du prx de marché de la tranche Modfcaton de la qualté de la dette Interacton entre rsque de spread et rsque de défaut Augmentaton du spread d une oblgaton tradut un rsque de défaut plus élevé Arrvée d un défaut entraîne une augmentaton de la probablté de défaut des noms survvants, augmentaton des spreads des oblgatons sous-jacentes Les défauts sont nformatfs = effet de contagon

6 Introducton But : étude de la couverture des tranches de CDO dans un cadre précs: Rsque de spread gouverné par le rsque de défaut Marché des tranches de CDO est complet Tranches de CDO peuvent être parfatement duplquées en négocant dynamquement les CDS du portefeulle sous-jacent Plan de la présentaton : Couverture du rsque de défaut dans un arbre Résultats et commentares Stratéges de couverture obtenues grâce à un arbre calbré sur des données de marché Comparason avec la méthode standard utlsée sur le marché pour couvrr des tranches de CDO

7 Couverture du rsque de de défaut dans un arbre Notatons : τ 1, τ 2 temps de défaut des références 1 et 2, H t, fltraton des temps de défaut (hstorque des défauts jusqu en t), Q, probablté rsque neutre α, α 1 2 : ntenstés des temps de défaut: Hypothèse d ndépendance «locale» entre les événements de défaut : Probablté pour que les noms 1 et 2 soent en défaut au même moment : [ [ Q τ t, t + Ht = α, = 1,2 [ [ [ [ 2 Q τ1 t, t +, τ 2 t, t + Ht = α1 α2 en Indépendance locale : défauts smultanés peuvent être exclus

8 Couverture du rsque de de défaut dans un arbre Constructon de l arbre : 4 états possbles : (D,D), (D,ND), (ND,D), (ND,ND) S l on exclut la possblté de défauts smultanés : p (D,D) = Le nombre d états est rédut à 3 : (D,ND), (ND,D), (ND,ND) Arbre des probabltés de défaut : α 1 α 2 ( α1 α2 ) 1 + p = p = p + p = p = α1 D, D D, ND D, D D, ND D,. p(, ) = p D D = p + p = p(., D) = α2 p(, ) = 1 p ND ND ( D,. ) p(., D)

9 Cas dynamque: α 1 α 2 ( α1 α2 ) 1 + λ 2 ntensté du nom 2 après le défaut du nom 1 λ 1 ntensté du nom 1 après le défaut du nom 2 π 1 ntensté du nom 1 s aucun défaut sur la pérode 1 ntensté du nom 2 s aucun défaut sur la pérode 1 π 2 Couverture Tree approach du rsque to to de de hedgng défaut dans defaults un arbre Evoluton des ntenstés de défaut due au phénomène de contagon π < α < λ et π < α < λ Par exemple, on peut s attendre à λ 2 1 λ2 λ 1 1 λ1 π 1 π 2 ( π1 π 2 )

10 Couverture II II - Tree du approach rsque de de to to défaut hedgng dans defaults un arbre CDS sur le nom 1, maturté = 2 α Q 1 α Q 2 ( α1 α2 ) 1 + Q Q 1 p1 p1 p1 λ Q 2 1 λ Q ( π1 π 2 ) κ Q 1 1 κ Q 1 π Q 1 π Q 2 Q Q 1 p1 p1 1 p1 p1 p1 Prme du CDS sur le nom 1, maturté = 2, temps =, p vérfe : Q Q Q Q ( p1 ) α1 p1 ( p1 ) κ1 p1 ( κ1 ) α2 Q Q Q Q Q Q + ( p1 + ( 1 p1 ) π1 p1π 2 p1 ( 1 π1 π 2 ))( 1 α1 α2 ) =

11 Couverture Tree approach du rsque to to de de hedgng défaut dans defaults un arbre Exemple: Couverture de tranches de CDO sur un portefeulle de 2 CDS Lt = Nt 2 Taux de recouvrement =, maturté = 2 N t = 1 Perte agrégée à maturté peut être égale à,1,2 t Tranche equty : protecton lorsque Tranche senor : protecton lorsque Tranche senor : α λ + α λ Valeur de la jambe de défaut α1 α 2 ( α1 α2 ) 1 + N = 2 λ 2 1 λ2 λ 1 1 λ1 π 1 π 2 ( π1 π 2 ) senor equty N t = N = 1 t N t = payoff tranche senor

12 Couverture Tree approach du rsque to to de de hedgng défaut dans defaults un arbre Tranche equty Arbre des cash-flows : 1 α1 α1 + α2 + ( 1 ( α ) ) α α2 π1 + π 2 Valeur de la jambe de défaut 1 + ( α1 α2 ) λ 2 1 λ2 λ 1 1 λ1 π 1 π ( π1 π 2 ) 1 + Possblté de prendre en compte les effets d actualsaton L échéancer des paements de prme Calcul des stratéges de réplcaton par rapport aux CDS sur les noms 1, payoff tranche equty

13 Couverture Tree approach du rsque to to de de hedgng défaut dans defaults un arbre En théore, cette méthode s étend asément à des produts plus réalstes (tranches de CDO sur ndce) En pratque, problème numérque: portefeulle de grande dmenson, arbre non recombnant Nécessté d hypothèses supplémentares : Homogénété des ntenstés de défaut : Dynamque markovenne des défauts Intensté commune dépend seulement du nombre de défauts courant : α = α ( t, N( t)) Intenstés au temps t= s aucun défaut : Intenstés au temps t=1 s un défaut : Intenstés au temps t=1 s aucun default : α1 = = αn = α = = = = α1 α2 α, λ1 λ2 α 1,1 π1 = π 2 = α 1,

14 Couverture Tree approach du rsque to to de de hedgng défaut dans defaults un arbre Arbre markoven homogène : α (,) α (,) 1 2α, 1 2α 1, S N (1) = 1 (un défaut au temps t=1), la probablté pour que N (2) = 2 (deux défauts au temps t=2) est α ( 1,1) et ne dépend pas de l dentté du nom en défaut en t=1. N( t) est un processus de Markov. La dynamque du nombre de défauts peut s exprmer à l ade d un arbre bnomal. α ( 1,1) 1 α 1,1 α ( 1,1) 1 α ( 1,1) α ( 1, ) α ( 1, )

15 Couverture Tree approach du rsque to to de de hedgng défaut dans defaults un arbre Réécrture de l arbre correspondant aux défauts ndvduels N () = N (1) = 1 2α, 1 2α ( 1, ) 1 2α 1, α (,) α (,) 1 1 2α, N (2) = 1 α 1,1 α ( 1, ) α ( 1, ) En un arbre assocé au processus du nombre de défauts : 1 2α ( 1, ) N (2) = 2 α ( 1,1) arbre N (1) = 1 1 α ( 1,1) N (2) = 1 du nombre 2α (,) de défauts α ( 1,1) α ( 1,1) α 1 1,1

16 Extenson mmédate au cas d un portefeulle composé de n noms Intensté ndvduelle au temps t pour N( t) défauts : α t, N( t) Intensté du nombre de défaut = somme des ntenstés des noms survvants : λ Couverture Tree approach du rsque to to de de hedgng défaut dans defaults un arbre ( t, N( t) ) ( n N( t) ) α ( t, N( t) ) = N (1) = 1 nα (,) nα ( 1, ) 1 nα ( 1, ) N () = N (1) = 1 nα, 1 ( n 1) α 1,1 1 ( n 1) α 1,1 N (2) = 2 N (2) = 1 N (2) = 1 nα 2, N (3) = α,, α 1,, α 1,1, α 2,, α 2,1, peuvent être calbrées asément à partr des los margnales de N( t) par une procédure forward. nα ( 2,) ( n 1) α 2,1 1 ( n 1) α 2,1 ( n 2) α 2, 2 1 ( n 1) α 2, 2 N (3) = 3 N (3) = 2 N (3) = 1

17 Calcul des valeurs actuelles des tranches et de l ndce dans les nœuds de l arbre Procédure backward CDO(3,3) CDO(,) Index(,) Couverture du rsque de de défaut dans un arbre λ(,) 1 λ(,) CDO(1,1) Index(1,1) CDO(1,) Index(1,) λ(1,1) 1 λ(1,1) λ(1,) 1 λ(1,) CDO(2,2) Index(2,2) CDO(2,1) Index(2,1) CDO(2,) Index(2,) λ(2,2) 1 λ(2,2) λ(2,1) 1 λ(2,1) λ(2,) 1 λ(2,) Index(3,3) CDO(3,2) Index(3,2) CDO(3,1) Index(3,1) CDO(3,) Index(3,) Stratége de réplcaton (credt delta) au temps t lorsque N ( t) = k : δ ( t, N ( t) ) = ( + 1, + 1) ( + 1, ) ( + 1, + 1) ( + 1, ) CDO t k CDO t k Index t k Index t k

18 Résultats et et commentares Calbraton des ntenstés de la perte sur des données de marché Nombre de noms : 125 Taux d ntérêt sans rsque : 4% 5Y Credt spreads : 2bps Taux de recouvrement : 4% Intenstés de la perte en foncton du nombre de défauts Intenstés homogènes en temps Crossance des ntenstés : effet de contagon

19 Résultats et et commentares Dynamque des spreads de l ndce dans l arbre En pont de base par an (bps) Nb Defaults Weeks Au premer défaut, le spread de l ndce augmente de 19 bps à 31 bps Au second défaut, le spread de l ndce augmente de 31 bps à 95 bps Les cotatons de marché reflètent un fort nveau de contagon

20 Résultats et et commentares Dynamque des stratéges de couverture (credt delta) pour la tranche equty [,3%] : Nb Defaults OutStandng Weeks Nomnal % % % % % % % % Deltas comprs entre et 1 Deltas décrossants avec le nombre de défaut correspond au fat que le payoff d une tranche equty est concave Lorsque le nombre de défaut > 6, la tranche est complètement consommée, deltas = Deltas crossants en temps Cohérent avec la dmnuton de la valeur temps de la tranche

21 Résultats et et commentares Comparason avec la méthode standard Delta marché? «Bump» unforme des spreads d ndce Delta de marché = rato entre changement de valeur de la tranche et changement de valeur de l ndce Modèle d évaluaton basé sur la copule gaussenne Important : Paramètre de corrélaton reste nchangé [-3%] [3-6%] [6-9%] [9-12%] [12-22%] Market deltas Tree deltas Delta calculé dans l arbre plus fable pour la tranche equty Pourquo?

22 Résultats et et commentares Delta de la tranche equty plus fable dans l arbre (cont.) Un défaut est assocé à une augmentaton de la dépendance : Effet de contagon Or augmenter le paramètre de corrélaton tend à dmnuer la valeur de la tranche equty Et donc à rédure le credt delta

23 Sous certanes hypothèses : Pas de défauts smultanés Concluson Rsque de spreads gouverné par le rsque de défaut Marché complet : en théore, réplcaton parfate d une tranche de CDO par les CDS composants l ndce sous-jacent Sous des hypothèses un peu plus restrctves : Dynamque markovenne des défauts Homogénété du portefeulle de crédt Couverture d une tranche de CDO avec l ndce Détermnaton des stratéges de couverture explcte dans un arbre bnomal smple à mettre en œuvre