Concours PT2004 Maths I-B. partie A

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1 ocours PT2 Maths I-B Même si le suet e l a pas posé o utilisera : 8 2 M r (R) = I r partie a b x y ax + bz. Si = 2 S c d 2 et B = 2 S z t 2 o a B = cx + dz ay + bt cy + dt Les coe ciets de B sot sommes et produit de réels positifs, doc sot des réels positifs. de plus de même pour la secode lige. (ax + bz) + (ay + bt) = a (x + y) + b(z + t) = a + b car B 2 S 2 = car 2 S 2 e ax + bz = (ay + bt) (car ay + bt ). De même ay + bt, cx + dz, cy + dt ; S 2 est stable par le produit matriciel. 2. (a) 2 B = = I e regardat les termes o diagoaux puis les termes diagoaux. (b) Par récurrece : O pose a = ; b =,a 2 = 6 ; b 2 = 6 ce qui doe : = a + b I 2., 2 = a 2 + b 2 I 2. O suppose que, = a + b I 2, alors : ce qui doe : (c) O costate : + = : = a 2 + b = a I 2 + b = 6 a + b + 6 a I 2 8 ; = a + b I 2 ; a = b = ; a + = a 6 +b, b + = a 6 8 ; a + + b + = a + b Doc la suite est costate : 8 ; a + b = a + b = ; et doc : 8 ; a + = l (d) o cherche le poit xe l = 6 d où l = 6 o a alors 6 8 ; a + = a 6 + a 6 +, b + = b = a 6 + = 6 (a l) La suite (a l) est géométrique de raiso q = 6 iitialisée à a l = 8 ; a = et doc O peut véri er : b + = 8 : b = a = = 6 6 6! 6 + = a 6 6

2 (e) = a + ( a )I 2 = I 2 + a ( I 2 ) doe 2 = B (f) La limite des coe ciets e pose pas de problème : Les coe ciets sot sur [; ] et la somme par lige vaut bie : B = 2 S 2. (a). Le polyôme caractéristique vaut : P b ()) = det( I ) = = = (développemet par rapport à la derière coloe) ( ) 2 Les trois valeurs propres de B sot = 2 < 2 = < = (b) La matrice B a so polyôme caractéristique scidé à racies simples. B est diagoalisable et semblable à 2 D = B (c)o cherche les sous espaces propres qui sot obligatoiremet des droites. les calculs e poset pas de problèmes : E = (M) = Vect est évidet. E (M) = Vect E =2 (M) = Vect O a doc le calcul doe alors : puis : B = 6 B Remarque : véri er si = B = P DP avec P = P =

3 (d) O a doc que la suite(b ) coverge et que : : B = 6 qui est bie das S 2. (a) est triagulaire doc les valeurs propres sot ses élémets diagoaux :, de multiplicité 2, et simple. 2 (b) O costate que J = J 2 et doc que la suite est statioaire : 8 2; J = J 2 = (c) de faço évidete. = 2 (I + J) omme la matrice idetité I commute avec J, o peut appliquer la formule du biôme de Newto : 8 2; = X 2 J k I k = J k = X! k 2 I + J + J 2 k vrai aussi si =. k= = 2 I + J + X k= k X 2 k k=! J 2 J 2 J 2 = 2 I + J + 2 J 2 J 2 J 2 = (d) omme << 2 le passage à la limite e pose pas de problème : = k=2 qui est bie das S partie B. Soit = (a i ) 2 S r, B = [b i ] 2 S r. Posos = B = (c i ). 8(i; ) 2 f; : : : ; rg 2 ; c i = a ik b k est à coe ciets positifs, comme sommes et produits de réels positifs O e déduit alors 8i 2 [[; r]] ; c i = = =! a ik b k = k= 8 (i; ) 2 [[; r]] 2, c i; = k= k= B a ik b k k= = = X c i;k k6= a ik = k=

4 S + r S r est stable par produit est alors aussi stable car ue somme et u produit de réels strictemet positif est strictemet positif. remarque : o ferra attetio que aucu de ses deux esembles est u sous espace vectoriel. Il est stable i par additio i par produit par u scalaire. 2. (a) Ue récurrece simple,: 2 S r par hypothèse Si 2 S r alors + = : 2 S r d après la stabilité par produit de S r : 2 S r =) 8 2 N, 2 S r (b) il doit y avoir u vecteur propre évidet :O pose U = B (U) i = est valeur propre de, u vecteur propre associé état U (c) O suppose que existe::. a i = = U i = : 8, U = comme limite de quatités positives. 8i 2 f; : : : ; rg; 8(i; ) 2 f; : : : ; rg 2 ; a i = a i = = lim!+ = a i lim!+ = lim!+ a i = a i = lim () =!+ d après la liéarité de la limite et le fait que pour tout 2 S r et doc tous les coe ciets de sot plus petit que : O a bie sûr : 2 S r + = = et doc e passat à la limite das le produit : =.=.. Soit M = (m i ), ue matrice à diagoale strictemet domiate. Supposos qu il existe X = B x x 2.. x r 2 M r;(r); X 6=, tel que MX =. Il existe doc i 2 f; : : : ; rg, tel que x i = max r (x ).(tout esemble i de R admet u plus grad élémet) omme X 6=, écessairemet x i > et doc e preat la i ième composate de l égalité MX = : m ii x = soit m iix i = X m ii x 6=i = Si o utilise la valeur absolue : m ii x i X 6=i m i x

5 E divisat par x i >, o obtiet sachat 6= i =) x x i : m ii X 6=i m i x x i X 6=i m i Or m ii X m i cotredit l hypothèse que M est ue matrice à diagoale strictemet domiate. 6=i Doc, si M est ue matrice à diagoale strictemet domiate : MX = =) X = isi ker M = fg. e qui équivaut à dire que toute matrice à diagoale strictemet domiate est iversible.. (a) O cosidère = (a i ) 2 S r. O pose B = I r. La matrice carrée obteue e supprimat les derière lige et coloe de B est d ordre (r ). 8i 2 f; : : : ; (r )g; c ii = a ii = a ii car a ii Xr = a i > a i car a i;r > = = 6=i 6=i = Xr c i car a i; > = 6=i est à diagoale strictemet domiate. (b) O sait que est valeur propre de, u vecteur propre associé état U. O va motrer, das le cas où 2 S r, le sous-espace propre associé à est ue droite. Il su t doc de motrer que Ker( I r ) est de dimesio, doc que I r est de rag r : Soit ( i ) r i= les coloes de I Xr r. Si o a ue combiaiso liéaire k k =, o a r équatios à r k= icoues. Si o retire la derière lige o obtiet u système homogèe de matrice, doc u système de ramer ( est à diagoalz strictemet domiate doc est iversible) ayat ue uique solutio : la solutio ulle. Doc les ( i ) r i= formet u système libre et doc rg( I r ) r. Mais o sait que la matrice est pas iversible doc rg( I r ) = r. Si 2 S + r, E () = Vect(U) (c) Si est ue valeur propre de, O a doc : a i;i I r est pas iversible., doc est pas à diagoale strictemet domiate. a i; = = 6=ii a i; = a i;i car a i; = 6=ii suite par la géométrie : Le poit d a xe est doc à l itérieur du cercle de cetre le poit d a xe a i;i (situé sur l itervalle de l axe réel ]; &[ ) et de rayo a ii. e cercle est taget itérieuremet au poit d a xe au cercle de cetre O et de rayo :Doc est de module au plus, et si est de module o a = : suite par le calcul : O a = a ii + a ii ( a ii ) + a ii =. Si =, il existe tel que = cos () + i si() l iégalité précédete doe alors : (a ii cos ()) 2 + (si ()) 2 ( a ii ) 2 soit comme a i;i > et doc la seule solutio = [2] doc = cos () si 2 S r, est la seule valeur propre de module, les autres sot de module strictemet iférieur à.

6 . omme e.: a i;i a i;i d où = a ii + a ii ( a ii ) + a ii = si 2 S r, est seule valeur propre, les autres sot de module iférieur à. omme o est das les complexes, le polyôme caractéristique est scidé et le détermiat est le produit des valeurs propres. det() 6. Motros par récurrece sur r, que, pour toute matrice M = [m i ] 2 M r (R), telle que : o a det M <. (P) 8(i; ) 2 N 2 r; m i 2]; [ et 8i 2 N r ; a i Pour r =, la propriété est claire, le détermiat d ue matrice carrée d ordre état égal à so uique coe ciet. Faisos l hypothèse de récurrece : toute matrice d ordre r, dot tous les termes sot strictemet compris etre et dot la somme des termes de chaque lige est iférieure ou égale à a so détermiat e module strictemet iférieur à. Soit M = [m i ] 2 M r (R) véri at la propriété (P). Toutes les matrices extraites d ordre (r ) véri et aussi (P). Développos le détermiat de M par rapport à la première lige : det M = a ( = = ) + D Les D état des détermiats de sous-matrices carrées d ordre (r ) de véri et, d après l hypothèse de récurrece :8 2 N r ; D <. omme les a sot strictemet positifs : det M a D < = a =) det M < O a motré par récurrece sur r, que, pour toute matrice M = [m i ] 2 M r (R), telle que : = (P) 8(i; ) 2 N 2 r; m i 2]; [ et 8i 2 N r ; a i o a det M <. Pour ue matrice stochastique stricte la propriété (P) est véri ée (les coe ciets sot bie < car sur ue lige o a des coe ciets strictemet positifs de somme ) 2 S r =) det M <. Remarque : si la matrice est diagoalisable la décompositio M = P D P associée à l étude du module des valeurs propres doe vite le résultat. (a) Soit = (a i ) 2 S r. Les coe ciets ot u miimum >.(tout sous esemble i o vide de R admet u plus petit élémet).. O pose " = mi(; ): (b) omme + =, alors : (c) omme 8i 2 N r ; a ik =, o peut écrire : k= a (+) i = 8(i; ) 2 N 2 r; a (+) i = a ik " k= a k k= " a ik a k k= = a k ette somme de termes positifs est supérieure ou égale à chacu de ses termes, e particulier à celui qui doe le plus grad coe ciet de la coloe : a (+) i "( ) = " 6

7 De même : a (+) i = a ik k= (+) a k " k= (+) a k ette somme de termes positifs est supérieure ou égale à chacu de ses termes e particulier : a (+) i "( ) = " (d) Soit 2 N r. par dé itio o a (+) par le c) (+) 8i ; a (+) i o a u miorat idépedat de i doc (+) de même (+) (+) car a (+) i (+) " O a aussi 8i, a (+) i " doc a (+) i +" ecore u miorat idépedat de i : (+) +". o multiplie la secode iégalité par et o aoute des iégalités de même ses : et de même (+) " (+) (+) + 2" =) (+) + 2" D où : (+) ( 2") (e) Par ue récurrece évidete, : 8 ; = ( 2") ( ) ()!!+ comme " 2]; [ o a 2" 2]; [ et doc lim ( 2") = 2 >+ (f) Pour tous i; o a Les suites adacetes ( or pour tout i : a i; =!!+! et!+ (+) (+). ) et ( ) coverget vers la même limite., et doc par ecadremet etre deux suites covergetet de même limite, les suites a i; coverget. la suite ( ) coverge. (g).o remarque que pour xé l ecadremet e déped pas de i. Toutes les suites (a i ) coverget vers la même limite l. toutes les liges de sot idetiques. De plus d après la questio B-2-(c), la matrice est stochastique. Doc = l =.

8 8. Le polyôme caractéristique de est () = ( )( iférieur à, pour valeurs propres. )2. admet et La matrice est bie élémet de S. existe et elle est stochastique. Ses liges sot égales. ( double), de module strictemet De plus ici, t 2 S aussi, doc t existe, est stochastique, ses liges sot idetiques. Or, par liéarité de la traspositio : ( t ) = t ( ). Doc, les coloes de sot idetiques :Tous les coe ciets de sot égaux et elle est stochastique les coe ciets valet.isi : = 8

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