C.C.P Maths 2 TSI 2008

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1 C.C.P Maths TSI 8 Execice I(a, b) = + x a + x b dx avec (a, b) IR. xa -) La foctio ϕ : x + x b est cotiue su ], + [. L'itégale est doublemet impope e + et e +. Comme cette foctio est positive, les citèes de covegeces adaptés à l'étude de cette itégale sot: la compaaiso avec les itégales de éféece, la ègle des équivalets, la ègle de Riema (qui pemet de se amee au pemie poit). -) Si b > alos ϕ(x) ~ o x a et ϕ(x) ~ + x b a +. La covegece de I(a, b) exige a < b a + > Si b = alos I(a, ) = + dx x a divege (éféece). Si b < alos ϕ(x) ~ o x b a + et ϕ(x) ~ + x a. La covegece de I(a, b) exige b a + < a > soit < a < b. soit b < a <. Pa suite: I(a, b) covege si et seulemet si < a < b ou b < a <. 3-) O obtiet le domaie hachué (fotièes exclues). b b = a O a Mathématiques C.C.P. TSI 8 Page

2 Poblème I-) f : x IR x.cos(x) si(x) I-.) D f = IR et x IR, f( x) = x.cos( x) si( x) = x.cos(x) + si(x) = f(x). Doc f est impaie et o peut esteide so étude à IR+. I-.) La coube (C) est symétique pa appot à l'oigie du epèe. I-) I-3.) x IR, f '(x) = cos(x) x.si(x) cos(x) = x.si(x) doc, su I, f '(x) a le sige de si(x) ca x I = [π, ( + )π] avec IN doc x. Si est pai alos f '(x) doc f est décoissate su I. Si est impai alos f '(x) > doc f est coissate su I. f '(x) = x = ou si(x) = x = kπ, k Z. La déivée de f s'aule doc au poit d'abscisse kπ, k Z. E u tel poit, f(kπ) = kπ.cos(kπ) si(kπ) = ( ) k.kπ. Si k est pai, o obtiet le poit de coodoées (kπ, kπ) situé su la doite d'équatio y = x. Si k est impai, o obtiet le poit de coodoées (kπ, kπ) situé su la doite y = x. Doc les poits de (C) à tagete hoizotale sot situés su les bissectices du epèe. I-3.) I-4.) IN, f est cotiue su I = [π, ( + )π]. De plus: IN, f (π) = π.cos(π) si(π) = ( ).π. Pa suite: f (π) f [( + )π] = ( ) +..( + ).π =.( + ).π. D'apès le théoème des valeus itemédiaies, f admet au mois ue acie das I. O a vu que f ' est de sige costat su I et e s'aule qu'aux boes de I. Pa suite, f est stictemet mootoe su I. O e déduit que la estictio de f à I est doc ijective. E coclusio, l'équatio f(x) = admet ue solutio uique x das chacu des itevalles I. Mathématiques C.C.P. TSI 8 Page

3 I-4.) O ote que: ( + ) π = π + π I. Pa ailleus, f ( + ) π = ( + ) π cos ( + ) π si ( + ) π = ( ) = ( ) + doc f (π) f ( + ) π = ( ).π ( ) + = π. Pa suite: pou tout atuel, la acie x est coteue das l'itevalle π, ( + ) π. L'itevalle est ouvet à doite ca f ( + ) π = ( )+. I-4.3) O viet de mote que: IN, π x < π + π O e déduit que: IN *, x π < +. Comme lim + =, pa ecademet + lim + x π =. Doc x ~ + π. I-4.4) I-4.5) Pa défiitio de x : IN, x.cos(x ) = si(x ) et x π, π + π doc cos(x ). Pa suite: IN, x = ta(x ) et o sait que: x IR, ta[acta(x)] = x. La elatio pécédete s'écit doc: IN, ta[acta(x )] = ta(x ). O e déduit: IN, k Z, Acta(x ) = x + kπ. Comme x π, π + π et Acta(x ) π, π, k = π [Acta(x ) x ] +, +. Le seul etie de cet itevalle est doc k = et IN Acta(x ) = x π. O a moté que: IN, x = π + Acta(x ). IN *, x > doc Acta(x ) = π Acta x. IN, x π doc lim + x = + d'où Pa suite, Acta x ~ ~ + x + Fialemet: x = π + π π + o lim =. + x π doc Acta x = + π ce qui s'écit: x = ( + ) π π + ε avec π + o lim ε =. + + π. Mathématiques C.C.P. TSI 8 Page 3

4 a II-) Si alos h (t) = a + b a + b cos(ωt) + a + b si(ωt). Le poit de coodoées a a + b, b a est su le cecle de cete O et de ayo. + b Si o ote ϕ so agle polaie das ] π, π] alos cos(ϕ ) = et h (t) =.[cos(ϕ ).cos(ωt) + si(ϕ ).si(ωt)] Doc si alos h (t) =.cos(ωt ϕ ). II-.) Si g est T-péiodique avec g(t) = su [, T/[ et g(t) = su [T/, T[ b a b a et si(ϕ) = + b alos g est aussi T-péiodique avec g(t) = su [, T/[ et g(t) = su [T/, T[. a + b La estictio de g à IR \ Z est doc ue foctio impaie. II-.) Si o ote A et B les coefficiets de Fouie de la foctio g alos IN, A =. O e déduit que: T T IN *, g(t) dt = a = d'où a =. T T II-.3) IN *, b = T T/ si(ωt).dt = T cos(ωt) ω g(t) cos(ωt)dt = a = d'où IN *, a =. doc p IN *, b p = et p IN, b p + = T/ (p + )π. = cos(π) π O e déduit le développemet e séie de Fouie de g: S(g)(t) = + π si[(p + )ωt]. p + II-.4) La foctio est T-péiodique et C pa moceaux su IR doc sa séie de Fouie covege e tout poit ves sa foctio égulaisée. (Théoème de Diichlet). Si t T Z alos + π si[(p + )ωt] p + = g(t) sio + π si[(p + )ωt] = p + Plus pécisémet, pou tout etie elatif k, Si t ]kt, (k + ).T/[ alos Si t ](k + ).T/, (k + ).T[ alos Si t = k.t/ alos + π + π si[(p + )ωt] = p + + π si[(p + )ωt] p + si[(p + )ωt] = p + = Mathématiques C.C.P. TSI 8 Page 4

5 II-.5) Si est u ombe pai o ul alos h (t) =. si[(p + )ωt] Si = p + avec p IN alos h (p + ) (t) = = p + p + cos (p + )ωt π. d'où p IN, p + = p + et ϕ p + = π. ( )p II-3.) Si u p = p + alos u p est ue séie alteée dot le teme gééal ted ves e décoissat e valeu absolue. Pa applicatio du citèe spécial des séies alteées, ( )p p + covege. II-3.) O utilise la covegece de la séie de Fouie de g pou t = T 4. Il viet: + π si[(p + ).π/] = soit p + π ( ) p p + = d'où ( ) p p + = π 4. II-4.) Si la foctio g est T-péiodique et cotiue pa moceaux su IR, la fomule de Paseval dit que: la séie a + a k k ( + b k ) covege et a pou somme T T g(t).dt. Comme g est à valeus éelles, cette fomule s'écit: a + ( a + b ) = T T g(t).dt. = II-4.) Comme T T g(t).dt = T dt = T/ Appliquée à la foctio g, la fomule de Paseval doe: π (p + ) = d'où (p + ) = π 8. II-4.3) La covegeces séies O emaque que: IN *, () et est claie et + k = k = k = (k) + Pa passage à la limite das cette égalité, il viet, d'où = π et = π 6. k = () = 4 (k + ) =. ( + ) + () Mathématiques C.C.P. TSI 8 Page 5

6 III-) Si = x + y + z alos x = x x + y + z = x f Dès los, comme f(x, y, z) = u(), = u'() x x = u'() x et f x = u"() x x x + u'() doc f x = u"() x + u'() x 3. O mote de même que: f y = u"() y + u'() y 3 et f z = u"() z + u'() z 3. Pa suite: f = u"() x + y + z + u'() 3 x y z 3. E teat compte de la elatio = x + y + z, il viet >, f = u"() + u'(). III-) L'éocé me semble ambigu. Il auait peut-ête fallu écie "Soit u ue solutio de (U). O défiit la foctio v pa..." Soit u ue solutio de l'équatio (U): u"() + u'() + ω.u() =, si v() =.u() alos v'() = u() +.u'() et v"() =.u'() +.u"(). Pa suite: >, v"() + ω.v() = u"() + u'() + ω.u() =. Doc v véifie l'équatio difféetielle (V): v" + ω.v =. III-3) (V) est ue équatio difféetielle liéaie homogèe du secod ode à coefficiets costats. Elle a pou solutio gééale v() = λ.cos(ω.) + µ.si(ω.), (λ, µ) IR. Si u est ue solutio de (U) alos (λ, µ) IR,.u() = λ.cos(ω.) + µ.si(ω.) doc (λ, µ) IR λ.cos(ω.) + µ.si(ω.), >, u() =. Récipoquemet, si u = λ.cos(ω.) + µ.si(ω.) avec (λ, µ) IR alos u' = [ λω.si(ω.) + µω.cos(ω.)] u et u" = ω.[λ.cos(ω.) + µ.si(ω.)] [ λω.si(ω.) + µω.cos(ω.)] u' + u doc u' = [ λω.si(ω.) + µω.cos(ω.)] u u" = ω.u() [ λω.si(ω.) + µω.cos(ω.)] + u Pa suite u" + u' = ω u doc u est bie solutio de (U). * λ.cos(ω.) + µ.si(ω.) Les solutios éelles de (U) sot les foctios u : IR+, (λ, µ) IR. Mathématiques C.C.P. TSI 8 Page 6

7 III-4) λ.cos(ω) + µ.si(ω) = λ + µ. + o () doc u() = λ + µ + o (). Pou que u admette ue limite fiie e, il faut et il suffit que λ soit ul. Les solutios o ulles de (U) admettat ue limite fiie quad ted ves * µ.si(ω.) sot les foctios IR+, µ IR *. III-5) Si u() = µ.si(ω.) (ω.).cos(ω.) si(ω.) avec µ alos u'() = µ.. La coditio u'() = se taduit pa ω.cos(ω) si(ω) = (Ω). III-6) Su J = π + π, π + ( + )π, (Ω) ω = ta(ω) et la pemièe bissectice e coupe la coube de la estictio à J de la foctio tagete qu'e u poit uique. Doc IN, (Ω) admet ue solutio uique su J. III-7) I = u ().u p ()..d = k si(ω ).si(ω p ).d = k si(ω ).si(ω p ).d I = k {cos[(ω ω p )] cos[(ω + ω p )].d = k si[(ω ω p )] si[(ω + ω p )] ω ω p ω + ω p I = k si(ω ω p ) si(ω + ω p ) ω k = ω p ω + ω p (ω ω p ) K avec K = (ω + ω p )[si(ω ).cos(ω p ) si(ω p ).cos(ω )] (ω ω p )[si(ω ).cos(ω p ) + si(ω p ).cos(ω )]. E teat compte de si(ω ) = ω.cos(ω ) et de si(ω p ) = ω p.cos(ω p ) il viet K = (ω + ω p )(ω ω p ).cos(ω ).cos(ω p ) (ω ω p )(ω + ω p ).cos(ω ).cos(ω p ) =. Pa suite, u ().u p ()..d =. Mathématiques C.C.P. TSI 8 Page 7