EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER. Table des matières. 1. L exponentielle comme solution d une équation différentielle

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1 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP Table des matières 1. L epoetielle comme solutio d ue éuatio différetielle 1 2. Caractérisatio de l epoetielle par ue éuatio foctioelle 4 3. Le logarithme épérie comme foctio réciproue de l epoetielle 5 4. Diverses caractérisatios des foctios logarithme 6 5. Costructio directe des foctios logarithme 9 6. La méthode d Euler L epoetielle comme solutio d ue éuatio différetielle Ue des faços de défiir l epoetielle est de la costruire comme solutio d ue éuatio différetielle. Théorème 1. Il eiste ue uiue foctio dérivable f : R R vérifiat f0) = 1 et f = f. O otera cette foctio «ep». O l appelle la foctio epoetielle. Démostratio. Nous allos tout d abord costruire ue foctio f ui coviet. O veut défiir f) comme la limite de la suite 1 + ) défiie pour > ). Le plus rapide même si ce est pas très aturel) est de motrer ue les deu suites u ) = 1 + ) et v ) = défiies pour > ) sot adjacetes. 1 ) = 1 u ) Lemme 1. Pour tout etier aturel et tout réel > 1, o a 1 + ) 1 +. Démostratio. O démotre le lemme par récurece sur. Pour = 0, il y a rie à motrer. Si 1 + ) 1 +, o a, puisue 1 + est positif, 1 + ) )1 + ) = ) 1

2 2 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP ce ui motre le lemme. Motros ue la suite u )) est croissate. O a pour > u +1 ) = 1 + ) = 1 + ) +1 1 ) 1 + ) +1 1 = u ) + 1) ) par le lemme 1 O e déduit ue la suite v )) est décroissate puisue v ) = 1 u ). De plus u ) ) v ) = d où, e utilisat le lemme 1, toujours pour >, 1 2 u ) v ) 1 ce ui motre ue les deu suites u )) et v )) sot adjacetes. O ote f) leur limite commue. O a bie f0) = 1. Pour étudier la dérivée de la foctio f, o étudie le tau d accroissemet f+h) f). O a, pour h < 1 et > + 1, h u + h) = h ) = 1 + ) h 1 + ) ) 1 + h 1 + ) par le lemme 1 soit, e passat à la limite, f + h) 1 + h)f). E remplaçat h par h, o obtiet f h) 1 h)f) puis, e remplaçat par + h, o obtiet f) 1 h)f + h), d où, pour h > 0, et pour h < 0, f) f) 1 h f + h) f) h f + h) f) h f) 1 h f)

3 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 3 O obtiet e faisat tedre h vers 0 ue f est dérivable e, de dérivée f). La foctio f ue ous avos costruit vérifie doc les propriétés demadées. Pour motrer ue c est la seule, o pred ue foctio uelcoue g vérifiat les propriétés demadées. La foctio h : g)f ) est dérivable et h ) = g )f ) g)f ) = g)f ) g)f ) = 0 La foctio h est doc costate égale à h0) = 1. O peut aussi appliuer ce raisoemet à la foctio f)f ). O a doc motré g)f ) = f)f ) = 1 pour tout. E particulier, f ) est pas ul, et o obtiet e simplifiat f) = g) pour tout. Cela motre ue la foctio f est la seule foctio vérifiat les propriétés demadées. Ceci termie la démostratio du théorème. Remarue 1. La valeur u ) est celle obteue e appliuat la méthode d Euler pour résoudre l éuatio différetielle y = y sur l itervalle d etrémités 0 et e le subdivisat e parties égales voir 6). Propositio 1. Pour tous réels et y, o a 1) ep + y) = ep) epy) Démostratio. Fios et y. La dérivée de la foctio est g : z ep + y z) epz) g ) = ep + y z) epz) + ep + y z) ep z) = ep + y z) epz) + ep + y z) epz) = 0 La foctio g est doc costate, égale à g0) = ep + y). O a doc ep + y z) epz) = ep + y) pour tous réels, y et z. E faisat z = y, o obtiet la propositio. La relatio 1) etraîe ep) ep ) = ep0) = 1, de sorte ue l epoetielle e s aule pas. De plus, ep) = ep/2) ) 2 > 0 pour tout réel : l epoetielle e pred ue des valeurs strictemet positives. Propositio 2. Soit a u réel et soit g : R R ue foctio dérivable vérifiat g = ag. O a alors g) = g0) epa) pour tout réel.

4 4 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP Démostratio. Posos h) = g) ep a). O a h ) = g ) ep a) ag) ep a) = ag) ep a) ag) ep a) = 0 La foctio h est doc costate, égale à h0) = g0). Notatio epoetielle. Pour tout réel a > 0 et tout ratioel p/, l epressio a p/ est déjà défiie comme la racie ième 1 de a p. O déduit facilemet de 1) ue, pour tout etier et tout réel, o a ep) = ep), puis, pour tout ratioel p/, ep) p = epp) = ep p ) p )) = ep Puisue ep p ) est positif, c est la racie ième de ep)p, c est-à-dire p ) ep = ep) p/ E particulier, si o pose e = ep1), o a ep p ) = ep/. O peut doc poser sas coflit e = ep) pour tout réel c est ue otatio). Remaruos ue l o a pas défii ici a pour tout réel a > 0 et tout réel. 2. Caractérisatio de l epoetielle par ue éuatio foctioelle O caractérise la foctio epoetielle par l éuatio foctioelle 1). Théorème 2. Soit f : R R ue foctio o idetiuemet ulle, cotiue e 0 et vérifiat f + y) = f)fy) pour tous réels et y. Il eiste u réel a tel ue pour tout réel. f) = e a La cotiuité de f e u poit est essetielle e fait, l itégrabilité de f suffit, comme le motre la démostratio ci-dessous). Cepedat, la costructio de foctios autres ue les epoetielles vérifiat 1) est délicate elle fait appel à l aiome du choi). Démostratio. Le premier pas est de motrer ue f est dérivable. Remaruos tout d abord ue la cotiuité de f e 0 et la relatio 1) etraîet la cotiuité de f sur tout R. D autre part, si f s aule e u poit 0, o a f) = f 0 )f 0 ) = 0 pour tout, ce ui cotredit l hypothèse. Doc f e s aule pas, et comme f) = f/2) 2, elle e pred ue des valeurs strictemet positives. O a e particulier 1 0 fy) dy > 0. Comme f0) = f0)2, o a aussi f0) = 1. 1 O rappelle ue la racie ième d u réel positif est défiie comme l uiue réel positif dot la puissace ième est ; so eistece découle du théorème des valeurs itermédiaires.

5 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 5 Itégros etre 0 et 1 la relatio 1), où les deu membres sot cosidérés comme des foctios de y. O obtiet 1 0 f + y) dy = f) 1 E faisat u chagemet de variables, o obtiet f) = fz) dz = fy) dy +1 0 fy) dy fz) dz fz) dz 0 0 fy) dy Comme l itégrale d ue foctio cotiue est ue foctio dérivable de ses bores, f est dérivable. E dérivat 1) par rapport à y, puis e faisat y = 0, o obtiet 1 0 f ) = f)f 0) La propositio 2 etraîe f) = f0)e f 0) = e f 0). 3. Le logarithme épérie comme foctio réciproue de l epoetielle La foctio ep est dérivable à dérivée strictemet positive, doc strictemet croissate, de limites 0 e et + e +. Elle admet ue foctio réciproue ]0, + [, ue l o appelle le logarithme épérie et ue l o ote «log», ou «l». Elle vérifie log1) = 0, loge) = 1, logy) = log) + logy), e log) = pour tous réels, y strictemet positifs. E dérivat e log) =, o obtiet log )e log) = 1 c est-à-dire log ) = 1. La costructio du logarithme présetée ci-dessus est idirecte : o a d abord costruit l epoetielle comme solutio d ue éuatio différetielle, puis o a défii le logarithme comme sa foctio réciproue. O peut aussi défiir directemet la foctio logarithme e posat log) = pour tout > 0, mais o a besoi pour cela de la théorie de l itégratio. Ispiré par la costructio de l epoetielle, le lecteur pourrait teter ue costructio directe du logarithme basée sur la méthode d Euler. Après tout, il vérifie aussi ue éuatio 1 dy y

6 6 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP différetielle, à savoir log ) = 1/. Si o subdivise l itervalle d etrémités 1 et 1 + e parties égales, o obtiet des valeurs a j e 1 + j ui vérifiet a 0 = 0, a j+1 = a j + 1 ) 1 + j c est-à-dire a j+1 = a j +, soit pour valeur e 1 + +j u ) = ) C est aussi ue somme de Riema.) Il s agit alors de motrer : a) ue pour tout > 1, la suite u )) >0 coverge vers ue limite ue l o ote f1 + ) ; b) ue la foctio f aisi défiie sur R + est dérivable, de dérivée 1/. Pas si simple! O verra das le 5 ue costructio directe u peu techiue) ui e fait pas o plus appel à la théorie de l itégratio, basée sur la propriété logy) = log) + logy). Nous récapitulos à la fi du uméro suivat les diverses faços possibles d itroduire les foctios logarithmes. 4. Diverses caractérisatios des foctios logarithme O s itéresse au foctios f : ]0, + [ R vérifiat la propriété suivate : 2) fy) = f) + fy) pour tous et y strictemet positifs. Théorème 3. Soit f : ]0, + [ R ue foctio o idetiuemet ulle. Les propriétés suivates sot éuivaletes : i) f est dérivable sur ]0, + [, f1) = 0 et il eiste u réel λ 0 tel ue f ) = λ ; ii) f est dérivable sur ]0, + [ et vérifie 2) ; ii ) f est dérivable e = 1 et vérifie 2) ; iii) f est cotiue sur ]0, + [ et vérifie 2) ; iii ) f est cotiue e = 1 et vérifie 2) ; iv) f est strictemet mootoe sur ]0, + [ et vérifie 2). Démostratio. Remaruos tout d abord ue si f vérifie 2) alors f1) = 0. iii) iii ) Si f vérifie 2) o a, pour > 0 et h assez petit, f + h) f) = f1 + h ) = f1 + h ) f1) Si la foctio f est cotiue e 1, elle est doc cotiue e tout poit > 0 et la rćiproue est triviale.

7 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 7 ii) ii ) Si f vérifie 2) o a pour > 0 et h assez petit f + h) f) = 1 f1 + h ) f1) ). h h Si la foctio f est dérivable e 1, elle est doc dérivable e tout poit > 0 et la réciproue est triviale. i) ii) Si f vérifie ii), o obtiet, e faisat tedre h vers 0 das la relatio motrée ci-dessus, ue pour tout > 0 o a f ) = f 1) ce ui motre bie, puisue f1) = 0, ue f vérifie i) avec λ = f 1). Réciprouemet si f vérifie i), cosidéros la foctio ϕ : fy) f) fy) pour y > 0. La foctio ϕ est dérivable et o a ϕ ) = y λ y λ 0 = 0 Par coséuet ϕ est ue costate ui déped a priori de y). Comme elle s aule e 0, o e déduit ue ϕ est idetiuemet ulle, c est-à-dire ue f vérifie la propriété 2). ii) iii) Il s agit de motrer ue si f est cotiue et vérifie 2), elle est dérivable. Pour cela, o itègre la relatio 2) etre y = 1 et y = 2 ; cette itégratio est bie défiie puisue les foctios y f) + fy) et y fy) sot cotiues. O obtiet aisi pour tout > fy) dy = f) fy) dy E utilisat le chagemet de variable u = y, o peut écrire le premier membre de cette égalité sous la forme 1 2 fu) du et o obtiet f) = 1 2 ) 2 fu) du fu) du fy) dy 0 Comme l itégrale d ue foctio cotiue est ue foctio dérivable de ses bores, la foctio f est dérivable 2. iv) = iii) Supposos par eemple f strictemet croissate sur [0, + [. Comme f1) = 0, o a fa) > 0 pour tout a > 1. Choisissos u tel a. Nous allos utiliser les deu propriétés suivates : 0 2 O pourra remaruer ue l o a largemet utilisé les résultats de la théorie de l itégrale de Riema das cette démostratio. 1

8 8 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP la suite a 1/ ) ted vers 1 3 ; fa 1 ) = 1 fa), ui est coséuece de 2). Motros ue f est cotiue e u poit 0 > 0. Pour cela, o remarue si > 0 est tel ue 3) a 1 a 1 0 la croissace de f impliue Or les iégalités 3) sot éuivaletes à Soit ε > 0, et soit N tel ue Défiissos η par O déduit des iégalités ci-dessus 1 fa) f) f 0) 1 fa) 0 a 1 1) 0 0 a 1 1) 0 < 1 fa) < ε ) η = mi 0 a 1 1), 0 1 a 1 ) 0 < η = f) f 0 ) < ε ce ui prouve la cotiuité de f e 0. Das le cas où f est strictemet décroissate, il suffit de choisir a > 1 tel ue fa) < 0 et de reverser les iégalités où iterviet la foctio f pour obteir le résultat. Pour coclure la démostratio du théorème, o remarue ue si ue foctio f vérifie i), sa dérivée a u sige costat et par coséuet elle est strictemet mootoe. Comme ous avos d autre part motré ue das ce cas f vérifie la relatio foctioelle 2), ous e cocluos ue iv) est bie éuivalet au autres assertios. Pour défiir le logarithme épérie, plusieurs optios sot possibles : Chercher ue foctio vérifiat i) avec λ = 1. C est ce ui est fait e termiale. L eistece d ue telle foctio se déduit de l eistece d ue primitive pour ue foctio cotiue. 3 Pour le démotrer sas utiliser les foctios epoetielle ou logarithme il suffit d utiliser le lemme 1 et d écrire a = 1 + a 1 1)) 1 + a 1 1).

9 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 9 Chercher ue foctio vérifiat ii), puis motrer ii) = i). Cela demade aussi d admettre l eistece d ue primitive mais c est plus satisfaisat d u poit de vue historiue de partir de l éuatio foctioelle. O peut alors caractériser le logarithme épérie par λ = 1 et parler aturellemet des autres logarithmes e particulier de celui de base 10. C est toutefois u peu restrictif de supposer a priori ue la foctio est dérivable. Chercher ue foctio vérifiat iii), puis motrer iii) = ii) et se rameer au cas précédet. Cela ous semble le plus itéressat pour ue leço de CAPES, bie u il faille cosidérer comme cous les résultats de la théorie de l itégratio. Le plus satisfaisat serait d être le mois restrictif possible sur les propriétés de la foctio et doc de chercher directemet ue foctio vérifiat iv) puis de motrer so eistece sas utiliser la théorie de l itégratio. C est ce ui est fait au uméro suivat, mais la démostratio est sas doute trop difficile pour ue leço de CAPES. 5. Costructio directe des foctios logarithme O peut défiir directemet la foctio «log» de faço tout-à-fait élémetaire, sas faire appel à la théorie de l itégratio. O recherche simplemet les foctios f : ]0, + [ R ui vérifiet la propriété iv) du théorème 3. Propositio 3. Pour tout réel a > 1, il eiste ue uiue foctio strictemet croissate f : ]0, + [ R telle ue a) fy) = f) + fy) pour tous réels strictemet positifs et y ; b) fa) = 1. La foctio f aisi défiie est appelée «logarithme de base a», oté log a. Démostratio. Supposos u ue telle foctio eiste. O aura alors doc f1) = 0, et f1) = f1 1) = f1) + f1) f ) = f 1 ) = f 1 ) + f) = f) par récurrece sur ). E particulier, fa ) = fa) = Pour costruire ue foctio f comme das l éocé de la propositio, o commece doc par comparer les ombres réels positifs au puissaces de a. Lemme 2. Pour tout réel > 0, il eiste u etier relatif m tel ue a m < a m+1.

10 10 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP Démostratio. Comme a > 1, o a lim + a = + et lim a = 0. Il eiste doc u plus petit etier relatif m tel ue < a m+1. O a alors a m, d où le lemme. Fios u réel > 0 et cosidéros la partie A de R défiie par { p } A = Q > 0 et ap il faut remaruer ue a p éuivaut à a kp k pour tout etier k de sorte ue cette propriété déped de la fractio p seulemet, et pas du choi de p et ). La partie A est ue partie o vide et majorée de R : l etier m doé par le lemme est das A et m + 1 majore A. E effet, si p A, o a p m + 1 puisue a p a m+1). Doc A a ue bore supérieure das R. Supposos u il eiste ue foctio f vérifiat les coditios de la propositio. Si p A, o a a p, doc p = fa p ) f ) = f) puisue f est croissate. O e déduit f) sup A. De plus, puisue Q est dese das R, pour tout ε > 0, il eiste u ratioel p tel ue sup A + ε p > sup A. O a alors p / A, de sorte ue a p >, et p = fa p ) > f ) = f) puisue f est strictemet croissate. O a doc f) < p sup A + ε, ceci pour tout ε. Ceci impliue ue écessairemet, o a f) = sup A pour tout > 0. Cela motre déjà l uicité de la foctio f. O défiit maiteat ue foctio f aisi, et il faut vérifier u elle satisfait bie au coditios de la propositio. Tout d abord, puisue a > 1, des etiers p et vérifiet a p a si et seulemet si p. Esuite, o a { p } { p } A a = Q ap a = Q p de sorte ue fa) = sup A a = 1. Remaruos ue, si a p a p+r, alors p A, de sorte ue f) p. Esuite, pour tout p de sorte ue p p + r) et p das A, o a a p, et a p = ) a p+r ) = a p+r) p+r. O a doc p f) p+r. Motros maiteat ue cette foctio vérifie «l éuatio foctioelle» 2). Doos-ous des réels et y. Pour tout etier 1, il eiste par le lemme des etiers p et p tels ue a p a p+1, a p y < a p +1

11 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 11 de sorte ue Mais alors, o a par ce ui précède p f) p + 1, a p+p y) a p+p +2 p fy) p + 1 E ajoutat les deu premières iégalités, o obtiet de sorte ue p + p, p + p f) + fy) p + p + 2 fy) f) fy) 2 ceci pour tout etier 1. Doc fy) = f) + fy). fy) p + p + 2 Motros à préset ue f est strictemet croissate. Comme elle trasforme multiplicatio e additio, il est aturel de cosidérer, si 0 < < y, le rapport z = y > 1. Comme lim + z 1 A z et doc fz) 1 = +, il eiste u etier 1 tel ue a < z. Alors > 0. Efi fy) = fz) = fz) + f) > f) O a aisi fii la démostratio de la propositio. Si a ]0, 1[, la foctio log 1/a vérifie l éuatio foctioelle a) de la propositio 3 et pred la valeur 1 e a, ce ui justifie de la oter aussi log a. Elle est, bie sûr, strictemet décroissate. Pour tout a strictemet positif différet de 1, la foctio log a est strictemet mootoe et s aule e 1. O a doc log a b 0 pour tout b strictemet positif différet de 1. Propositio 4. Si a et b sot strictemet positifs et différets de 1, o a log a = log a b)log b ) pour tout > 0. Démostratio. La foctio log a est bie défiie puisue b 1, doc log a b log a b 0. Elle vérifie l éuatio foctioelle 2), elle est strictemet mootoe, et vaut 1 e b. C est doc la foctio log b. Propositio 5. La foctio log a est cotiue sur ]0, + [.

12 12 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP Démostratio. Il suffit de traiter le cas a > 1. Soit 0 u poit de ]0, + [. Fios u etier > 0. Le réel a vérifie log a a) = 1 et a > 1, puisue a > 1. Soit u réel strictemet positif tel ue 0 1 a 1) 0 0 a 1) ; o a alors 1 a 0 a d où, comme la foctio log a est croissate, 1 log a/ 0 ) 1, soit ecore log a ) log a 0 ) 1. Ceci achève la démostratio de la propositio. La foctio log a est cotiue et strictemet mootoe, de sorte u elle possède ue foctio réciproue cotiue appelée «epoetielle de base a» et otée ep a, défiie sur tout R et preat toutes les valeurs strictemet positives. La boucle est aisi bouclée : o retrouve les foctios epoetielles comme foctios réciproues des foctios logarithmes. Cepedat, l epoetielle de base e) e joue pas de rôle particulier das cette approche, car o a pas étudié la dérivée de ces foctios. 6. La méthode d Euler Il s agit d ue méthode géérale pour costruire ue solutio approchée d ue éuatio différetielle. O se doe doc u itervalle I de R et u poit t 0 de I, aisi u ue foctio f : I R R, pour l istat simplemet supposée cotiue. O cherche à résoudre l éuatio 4) y = ft, y) avec coditio iitiale yt 0 ) = y 0. Cela iclut par eemple la recherche d ue primitive d ue foctio cotiue cas où f e déped pas de la deuième variable). Pour approcher la valeur de y e t 0 + T avec par eemple T > 0), o subdivise l itervalle [t 0, t 0 +T ] coteu das I) e parties égales pour simplifier). O pose doc t j = t 0 + j T et o costruit ue foctio y cotiue affie par morceau telle ue, sur l itervalle ]t j, t j+1 [, o ait y t) = ft j, y t j )), e posat y t) = y t j ) + t t j )ft j, y t j )) pour t [t j, t j+1 ] de sorte ue si l o pose y,j = y t j ), o a y,j+1 = y,j + T ft j, y,j )

13 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 13 Pour motrer ue la suite de foctios y ) coverge vers ue solutio de l éuatio 4), ous allos faire l hypothèse forte) 4 ue f est K-lipschitziee e chacue des variables, c est-à-dire ue l o a 5) fu, ) fu, ) K u u + ) pour u, u [t 0, t 0 + T ] et, R. C est le cas si chacue des dérivées partielles de f eiste et est borée sur [t 0, t 0 + T ] R. Elle est par eemple réalisée pour l éuatio y = y étudiée das le théorème 1 et pour l éuatio y = 1/t ui peut servir à défiir le logarithme. Majoratio de ft, y t)). L iégalité 5) etraîe y,j+1 y,j = T ft j, y,j ) T ftj, y,j ) ft j, y 0 ) + ft j, y 0 ) ) T K y,j y 0 + M ) où M est u majorat de f sur [t 0, t 0 + T ] {y 0 }. O e déduit y,j+1 y KT ) y,j y 0 + MT O a doc pour tout j {0,..., } l iégalité y,j+1 y 0 a y,j y 0 + b, avec a = 1 + KT MT et b =. O e déduit, par récurrece sur j, ) 1 + KT y,j y 0 b aj 1 a 1 MT KT O a aisi boré uiformémet les valeurs de la foctio y e les poits t j. Cette foctio état affie etre ces poits, o se covaic facilemet ue cette majoratio est valable sur tout l itervalle [t 0, t 0 +T ]. Il apparaît das cette majoratio le terme ) 1 + KT. O sait depuis 1 u il est lui-même majoré 5 par e KT. O obtiet doc, pour tout t [t 0, t 0 + T ], y t) y 0 M K ekt et aussi, e utilisat à ouveau 5), la majoratio uiforme 6) ft, y t)) ft, y 0 ) + K y t) y 0 Me KT + 1) 4 Il faut de toute faço faire ue hypothèse de ce gere si o veut être assuré u il eiste ue solutio défiie sur l itervalle [t 0, t 0 +T ] tout etier, car ce est pas le cas e gééral. Par eemple, la solutio de l éuatio différetielle y = y 2 preat e 0 la valeur 1 est la foctio yt) = 1 1 t. Elle est défiie ue sur l itervalle [0, 1[. 5 Attetio de e pas tourer e rod das les raisoemets! Noter ue importe uelle majoratio suffit ici.

14 14 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP La foctio y est ue solutio «approchée». O a, pour t ]t j, t j+1 [, y t) ft, y t) = ft j, y,j ) ft, y t) Kt t j ) + K y,j y t) par 5), = Kt t j ) + Kt t j ) ft j, y,j ) car y est affie, K T + K T MeKT + 1) par 6). y t) ft, y t) = ft j, y,j ) ft, y t) Kt t j ) + K y,j y t) = Kt t j ) + Kt t j ) ft j, y,j ) K T + K T MeKT + 1) par 6). E itégrat, o obtiet, pour t [t 0, t 0 + T ], t y t) y 0 fu, y u)) du t 0 t y u) fu, y u)) du t 0 KT 1 + MeKT + 1))t t 0 ) O e déduit ue si la suite de foctios y ) ou ue sous-suite) coverge uiformémet sur l itervalle [t 0, t 0 + T ] vers ue foctio y, celle-ci vérifie yt) = y 0 + t t 0 fu, yu)) du c est-à-dire yt 0 ) = y 0 cherchée. et, e dérivat, y t) = ft, yt)). C est bie la solutio La suite de foctios y 2 m) coverge uiformémet vers ue solutio. Nous choisissos cette sous-suite parce les subdivisios successives cosistet simplemet à diviser chaue itervalle e 2. Cela simplifie les otatios, et suffit à motrer l eistece d ue solutio. U etier état doé, ous allos comparer les foctios y

15 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 15 et y 2. Posos ε j = y t j ) y 2 t j ), avec t j = t 0 + j 2 T. O a ε 0 = 0 et ε 2j+1 = y t 2j+1 ) y 2 t 2j+1 ) y t 2j ) + T 2 ft 2j, y t 2j )) y 2 t 2j ) T 2 ft 2j, y 2 t 2j )) ε 2j + T 2 ft 2j, y t 2j )) ft 2j, y 2 t 2j )) ε 2j + T 2 K y t 2j )) y 2 t 2j ) = 1 + KT ) ε 2j 2 y y 2 t 2 t 2+1 t 2+2 De la même faço, ε 2j+2 = y t 2j+2 ) y 2 t 2j+2 ) y t 2j+1 ) + T 2 ft 2j, y t 2j )) y 2 t 2j+1 ) T 2 ft 2j+1, y 2 t 2j+1 )) ε 2j+1 + T 2 ft 2j, y t 2j )) ft 2j+1, y 2 t 2j+1 )) ε 2j+1 + T K t2j+1 t 2j + K y t 2j ) y 2 t 2j+1 ) ) 2 ε 2j+1 + KT T y t 2j ) y t 2j+1 ) + y t 2j+1 ) y 2 t 2j+1 ) ) = ε 2j+1 + KT T T ) 2 ft 2j, y t 2j ) + ε 2j KT ) ε 2j+1 + KT 2 Me KT + 1) + 1) par 6)

16 16 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP O a doc pour tout j {0,..., 2} l iégalité ε j+1 aε j + b, avec a = 1 + KT 2 b = KT 2 Me KT +1)+1). O e déduit comme plus haut 4 2 ε j b aj 1 a 1 KT 2 Me KT + 1) + 1) KT 2 O a aisi majoré uiformémet les différeces des valeurs des foctios y et y 2 e les poits t j. Ces foctios état affies etre ces poits, cette majoratio est valable sur tout l itervalle [t 0, t 0 + T ]. O obtiet doc, pour tout t [t 0, t 0 + T ], y t) y 2 t) T MeKT + 1) + 1) e KT 2 Le critère de Cauchy etraîe ue la suite de foctios y 2 m) coverge uiformémet sur l itervalle [t 0, t 0 + T ]. O a vu plus haut ue sa limite est bie solutio de l éuatio différetielle 4), avec coditio iitiale yt 0 ) = y 0. Olivier DEBARRE et Nicole BOPP Istitut de Recherche Mathématiue Avacée UMR 7501 UFR de Mathématiues et Iformatiue 7 rue Reé Descartes Uiversité Louis Pasteur Strasbourg Cede Frace debarre@math.u-strasbg.fr KT 2 ) 2 et