Chapitre 4 PLASTICITÉ, RÉSISTANCE AU CISAILLEMENT, STABILITÉ DES PENTES RAPPELS DE MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

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1 Chaptre 4 PLASTICITÉ, RÉSISTANCE AU CISAILLEMENT, STABILITÉ DES PENTES 4. - RAPPELS DE MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Etat de contrantes La contrante en un pont M stué à l ntéreur d un mleu contnu se défnt par rapport à une facette passant par ce pont. La contrante sur une facette donnée se décompose en : σ f Μ τ Fgure 5 - Contrantes relatves à une facette 45

2 L état de contrantes au pont M est défn par un tenseur appelé tenseur des contrantes. Il exste en tout pont tros plans prvlégés pour lesquels la contrante est unquement normale (τ = 0). Ils sont appelés plans prncpaux et sont orthogonaux ; les contrantes normales correspondantes sont les contrantes prncpales notées : σ, σ 2, σ. Mas dans ce qu sut, nous allons nous lmter aux problèmes courants auxquels l ngéneur essae de se ramener et pour lesquels σ 2 et σ sont égaux (problèmes axsymétrques) ou pour lesquels σ 2 = 0 (problèmes à deux dmensons) Dagramme de Mohr Pour étuder l état de contrantes en un pont on utlse généralement une représentaton graphque du vecteur, dans un système d axes (σ,τ). Les ponts représentant les contrantes prncpales (τ = 0) sont donc sur l axe Oσ. On démontre que lorsque le plan de la facette tourne autour d une drecton prncpale, l extrémté du vecteur contrante décrt dans le plan (σ, τ) un cercle, appelé cercle de Mohr (fgure 6). f O Fgure 6 - cercle de Mohr 46

3 On démontre auss que lorsque la facette tourne d un angle α, l extrémté du vecteur contrante tourne d un angle 2α sur le cercle de Mohr. Remarque : dans le cas partculer d un lqude, τ est toujours nul et σ = σ = σ (presson hydrostatque). Dans ce cas la représentaton de 2 Mohr est évdemment sans ntérêt Relatons contrantes déformatons Le tenseur des déformatons et le tenseur des contrantes sont lés par des relatons tradusant le comportement rhéologque du matérau. Le modèle rhéologque le plus smple est celu de l élastcté lnéare sotrope. S {ε x, y ε, z ε,} désgne le tenseur des déformatons et {σ x, σ y, σ z } le tenseur des contrantes, l élastcté lnéare sotrope s écrt : où E est le module d élastcté (ou module d Young) et ν est le coeffcent de Posson. Dans un essa de compresson smple suvant l axe zz, on aboutt aux relatons smples suvantes : z ε = σ z et E x ε = y ε = - v.ε z Ce modèle élastque lnéare sotrope peut être consdéré comme une assez bonne approxmaton du comportement des sols dans le domane des fables contrantes, et en compresson unquement. Lorsqu on sort de ce domane, le sol subt des déformatons rréversbles et entre dans le domane de la plastcté. Dans le plan (σ,τ) la lmte du domane élastque peut être représentée par une courbe appelée «courbe ntrnsèque». C est l enveloppe des cercles de Mohr correspondant à la rupture (fgure 7). ε x ε y ε x = E -v -v σ x σ y -v σ y σ x -v σ x 47

4 O Courbe ntrnsèque Cercle de Mohr Fgure 7 - lmte des domanes d élastcté et de plastcté (matérau quelconque) MODÈLES SIMPLIFIÉS DE COMPORTEMENT DES SOLS Noton de contrante effectve L approxmaton de Terzagh consste à consdérer que le sol est composé de deux mleux couplés, l ossature granulare et l eau ntersttelle. Dans un sol saturé, les contrantes totales notées σ se répartssent entre le squelette solde (contrantes effectves notées σ ) et l eau (presson ntersttelle sotrope notée u). D où la relaton très mportante de Terzagh : σ = σ + u et τ = τ. Dans un sol non saturé, la phase lqude n est plus contnue. Donc, s l on néglge les contrantes de capllarté, u est partout nul σ = σ, τ = τ ) Sols pulvérulents (sables et gravers) Ces sols étant perméables, l est habtuellement consdéré qu l ne s y développe pas de presson ntersttelle. Il est constaté par l expérence que la courbe ntrnsèque dans le plan de Mohr peut être correctement assmlée à une drote passant par l orgne. L angle ϕ qu elle forme 48

5 avec l axe des σ est baptsé angle de frottement nterne du sol (cf. fgure 8). Il y a début de glssement, et le domane de la plastcté est attent lorsque : τ = σ.tanϕ. τ = contrante tangentelle σ = contrante normale ϕ = angle de frottement nterne. O Fgure 8 - drote de Coulomb pour un sol pulvérulent Pour un sable donné, l a été constaté expérmentalement que tanϕ =K/e, où le coeffcent K 0,45 à 0,55 dépend de la forme des grans et de leur répartton granulométrque. Pour détermner l angle ϕ, on peut utlser en laboratore l essa de csallement, ou essa à la boîte de Casagrande. Il consste à applquer une contrante normale à un échantllon de sol mantenu en condtons dranées, pus à le soumettre à un csallement horzontal jusqu à la rupture (fgure 9). La courbe ntrnsèque s obtent drectement en reportant les couples (σ,τ ) où σ est la contrante normale applquée pendant une rupture et τ la contrante de csallement mesurée pour la rupture. Cet essa s nterprète en consdérant que la courbe ntrnsèque Il est frappant de savor que l on ne sat pas calculer cet angle de frottement nterne en foncton de l angle de frottement gran sur gran et de la forme des grans. 49

6 est une drote (drote de Coulomb), l angle qu elle fat avec l axe des σ étant l angle de frottement nterne. Cet essa smple est de mons en mons utlsé pour les sols fns, car peu précs, au bénéfce de l essa traxal abordé au Pston Sol plan de csallement dranage perres poreuses Au cours d un chargement, pour un sable dense, l y a dlatance. Un sable lâche, au contrare, se contracte lors du csallement. La densté crtque est la densté ntale telle que la déformaton volumque de l échantllon V/V reste nulle pendant tout le csallement (cf. fgure 20). V V Fgure 9 - schéma de la boîte de csallement dense O crtque lâche % Fgure 20 - changement de volume d un sable pendant un csallement (ε = déformaton longtudnale) 50

7 Sols fns Un sol fn normalement consoldé 2 se trouve généralement dans un état de densté nféreure à la densté crtque. D où une tendance pendant le csallement à la dmnuton de volume, ce qu entraîne l augmentaton des pressons ntersttelles. Pour détermner les paramètres de la courbe ntrnsèque d un sol fn, l essa de laboratore le plus courant est l essa traxal. Un échantllon cylndrque de sol est placé dans une cellule contenant de l eau, dont une membrane étanche le sépare. Par l ntermédare de l eau, une contrante radale unforme et constante σ 2 = σ est applquée. Un pston applque une contrante axale σ crossante (fgure 2). Une rupture permet de tracer un cercle de Mohr, généralement celu pour lequel l extrémté de damètre σ correspond au pc de contrante. C est la contrante prncpale majeure, σ étant la contrante prncpale mneure. pston applquant eau, à la presson sol perres poreuses mesure de u Fgure 2 - schéma de l apparel traxal 2 Dont la défnton précse sera donnée au

8 Tros ruptures sont en général réalsées, sous dfférentes valeurs de σ, avec tros échantllons réputés dentques. Elles permettent de tracer la drote tangente aux tros cercles de Mohr. Son ordonnée à l orgne (c) est par défnton la cohéson du sol. L angle ϕ formé avec l axe des contrantes normales est l angle de frottement nterne du sol. Les sols pulvérulents (cf ) sont donc dépourvus de cohéson. Dans le plan de Mohr, la courbe ntrnsèque (cf. 4..) est donc une drote, appelée drote de Coulomb. Coulomb avat le premer consdéré que les contrbutons des deux phénomènes mécanques, la cohéson et le frottement nterne pouvaent s ajouter ndépendamment l une de l autre. Tros types d essas traxaux sont couramment pratqués. F Dans l essa consoldé, drané (CD), les pressons ntersttelles se dsspent au fur et à mesure (essa lent qu correspond au comportement à long terme du sol). Donc à tout nstant u = 0. Cet essa s nterprète classquement en consdérant le crtère de Coulomb : la courbe ntrnsèque est une drote d équaton τ = c + σ. tanϕ où ϕ, angle de frottement effectf, et c, cohéson dranée, sont les caractérstques ntergranulares du sol. (Vor fgure 22 c-après, essa CD). F Dans l essa consoldé, non drané avec mesure de u (CU), l échantllon est tout d abord consoldé sous une contrante sotrope jusqu à dsspaton des pressons ntersttelles ; pus le dranage est fermé et la contrante vertcale est augmentée jusqu à la rupture tout en mesurant les varatons de la presson ntersttelle. Cet essa, plus rapde que l essa consoldé drané, permet malgré tout d accéder aux caractérstques ntergranulares du sol c et ϕ, à condton de l nterpréter en contrantes effectves (vor fgure 22, essa CU). F Dans l essa non consoldé non drané (UU), les pressons ntersttelles ne se dsspent pas. Cet essa rapde correspond au comportement à court terme. 52

9 Pendant l essa, le volume est constant. Cet essa est nterprété en contrantes totales et permet d estmer c u, cohéson non dranée. L angle de frottement nterne ϕ est généralement supposé nul (vor u fgure 22, essa CU). Essa CD c' ' ' ' c' c u ' ' ' Essa CU avec mesure de u ' Essa UU ou Fgure22 - nterprétaton des dfférents types d essas traxaux L essa traxal est le plus classque, mas l exste d autres essas : - compresson sotrope (traxal pour lequel σ = σ 2 = σ pendant l essa) ; - compresson à déformaton latérale nulle ou essa œdométrque (traté chaptre 5) : ε = 0 ; - csallement drect (déjà abordé en ) ; 5

10 - compresson smple (σ 2 = σ = 0). Ce derner essa est facle à nterpréter en contrantes totales. En effet, le cercle de Mohr passe par l orgne et a pour damètre σ, d où : c u = σ / STABILITÉ DES PENTES L étude de stablté d un talus est généralement menée en consdérant une secton plane et en se donnant une surface de rupture crculare (cf. fgure 2). Cette dernère hypothèse correspond d alleurs ben à ce que l on observe en réalté. Le terran entre la surface et le cercle est découpé en tranches vertcales mnces pour lesquelles on calcule les forces en présence en se plaçant à l nstant de la rupture (pods de la tranche, frottement contre le massf de sol qu reste en place...). Par défnton, le coeffcent F de sécurté au glssement est le rapport entre le moment cumulé des forces résstantes et celu des forces motrces. Le cercle qu condut au coeffcent mnmal est le cercle crtque. Il condut au coeffcent de sécurté du talus. Pour un rembla à construre, le calcul dot être mené d une part à court terme (caractérstques c u et ϕ u obtenues à partr de l essa traxal UU nterprété en contrantes totales) et d autre part à long terme (caractérstques c et ϕ obtenues à partr de l essa CD ou de l essa CU nterprété en contrantes effectves). Le bon chox des paramètres géotechnques de calcul est fondamental. Avec l approche de FELLENIUS qu suppose en partculer que les actons entre tranches se compensent, le coeffcent de sécurté au glssement à long terme vaut : F = Σ[c l +(W cosα - u l ) tanϕ ] ΣW snα W désgne le pods humde ou saturé de la tranche vertcale, l désgne la longueur du contact de cette tranche avec la surface de rupture consdérée et u désgne la presson ntersttelle qu règne dans la zone (notatons en fgure 2). 54

11 Le lecteur trouvera des recommandatons utles dans le manuel du Comté Franças des Grands Barrages cté en bblographe (page 96). A court terme, l hypothèse d un matérau non saturé est en général valde, tout au mons pour des remblas de hauteur modérée construts avec des matéraux à teneur en eau nféreure à celle de l optmum Proctor. A long terme pour un barrage en terre, la zone saturée et la zone non saturée dovent être dstnguées. Le calcul consste à consdérer dans la zone saturée les sous-pressons défnes par un réseau de lgnes de courant et d équpotentelles (cf..2 page 5) en se plaçant dans le cas le plus défavorable pour la ve du barrage. Pour le talus amont, c est toujours celu de la vdange rapde où l eau dans la retenue s abasse beaucoup plus vte que l eau nfltrée dans le rembla. Le même prncpe vaut pour l étude de stablté des paros d un canal en terre. h u =.h w N N = W.cos W Fgure 2 - Prncpe d un calcul de stablté au glssement 55