CHAPITRE VI. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE. pour tout borélien B U. En particulier, on a λ (A) = µ ( φ 1 (A)) pour tout borélien A V, soit V U

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1 CHAPITE I. THÉOÈME D CHANGEMENT DE AIABLE.. Itégrato par chagemet de varable... Itroducto. Soet, deux ouverts de et φ : u homéomorphsme de sur. Notos x (resp. y ) la varable de (resp. de ) et λ = dy la mesure de Lebesgue sur. Le chagemet de varable y = φ(x) trasforme la mesure λ sur e ue mesure borélee µ = ( φ ) ( λ) sur, appelée mage de λ par φ, et qu est défe par µ (B) = λ( φ(b)) pour tout boréle B. E partculer, o a λ (A) = µ ( φ (A)) pour tout boréle A, sot ( y)dy = ( φ (x))d µ (x). A De cette relato, o dédut faclemet que, pour toute focto λ mesurable f : [ 0, + ], la focto f φ : [ 0, + ] est µ mesurable et vérfe : ( ) A f ( φ (x))d µ (x). f ( y)dy = Cette derère formule a de réel térêt que s l o coaît la mesure µ = ( φ ) ( λ). Nous ous proposos c d detfer cette mesure lorsque φ : est u dfféomorphsme de classe C de sur. Plus précsémet, s D( φ ) désge le détermat jacobe de φ : D( φ)(x) = det φ φ x x φ x (x) (x), φ (x) x (x) o motre c-dessous que d µ (x) = D φ(x) dx. La relato ( ) fourt alors la formule de chagemet de varable : f ( y)dy = ( ) f ( φ (x)) D( φ)(x) dx. Cette formule mplque que, s B est églgeable pour la mesure de Lebesgue, alors φ(b) est églgeable pour la mesure

2 CHAPITE I. THÉOÈME D CHANGEMENT DE AIABLE de Lebesgue. Cette proprété est pas vrae pour tout homéomorphsme, et c est pourquo ous supposeros c que φ est u dfféomorphsme de classe C (cette hypothèse est u peu forte ; l suffrat de supposer que φ est u homéomorphsme de classe C )... Le théorème du chagemet de varable. Le résultat prcpal cocere l tégrato des foctos Lebesgue-mesurables postves par chagemet de varable : THÉOÈME. Soet, deux ouverts de et φ : u dfféomorphsme de classe C de sur. Pour toute focto Lebesgue-mesurable postve f : 0, +, la focto ( f φ) D( φ) est Lebesgue-mesurable sur et o a : [ ] f ( y)dy = f ( φ (x)) D( φ)(x) dx, où D( φ )(x) est le détermat de la matrce jacobee au pot x. Ce théorème sera démotré au paragraphe suvat. Il mplque : THÉOÈME. Soet, deux ouverts de et φ : u dfféomorphsme de classe C de sur. e focto f : C est tégrable sur pour la mesure de Lebesgue s et seulemet s la focto ( f φ) D( φ) est tégrable sur pour la mesure de Lebesgue, et o a : f ( y)dy = f ( φ (x)) D( φ)(x) dx, où D( φ )(x) est le détermat de la matrce jacobee au pot x. Démostrato. Le dfféomorphsme φ : échage les boréles de et de et le théorème prouve qu l échage auss les esembles églgeables. Il s esut que φ : échage les esembles Lebesgue-mesurables, de sorte que f : C est Lebesgue-mesurable s et seulemet s f φ : C est Lebesguemesurable. Comme l applcato x D( φ)(x) est cotue et versble, l applcato f : C est Lebesgue-mesurable s et seulemet s la focto ( f φ) D( φ) : C est Lebesguemesurable. Pour ue focto postve, le théorème résulte alors du théorème. O e dédut, e cosdérat le module de f, que f est Lebesgue-tégrable s et seulemet s la focto ( f φ) D( φ) est Lebesgue-tégrable. E décomposat ue focto f : e partes postve et égatve, o motre alors la formule du chagemet de varable pour les foctos à valeurs réelles. Le cas des foctos à valeurs complexes s obtet ef e décomposat f : C e partes réelle et magare. Du théorème, o dédut :

3 T. FACK. THÉOIE ÉLÉMENTAIE DE L INTÉGATION. 3 THÉOÈME 3. e applcato f : C est tégrable pour la mesure de Lebesgue sur s et seulemet s l applcato ( ρθ, ) f ( ρcos θ, ρs θ) est tégrable sur 0, + 0, π pour la mesure ρdρdθ, et alors : [ [ [ ] f (x, y)dxdy = f ( ρ cos θ, ρ s θ ) ρ d ρ d θ. [ 0, + [ [ 0, π] Démostrato. L applcato ( ρθ, ) (x, y) défe par x = ρcosθ, y = ρsθ est u dfféomorphsme de classe C de l ouvert ] 0, + [ ] 0, π[ sur prvé du dem axe des réels postfs ou uls D = {(x, y) 0 x, y = 0 }. Comme le Jacobe de cette applcato est égal à ρ, le théorème mplque le résultat s l o remplace par D et [ 0, + [ [ 0, π] par ] 0, + [ ] 0, π[. Comme D est églgeable pour la mesure de Lebesgue et que [ 0, + [ [ 0, π] ] 0, + [ [ 0, π[ est églgeable pour la mesure ρdρdθ, le théorème 3 s esut. EXEMPLE. Sot à détermer, e focto du réel, la valeur de l tégrale : I = dxdy (x + y ). x + y Soluto. Par passage e coordoées polares, la focto (x, y) (x + y ) est tégrable sur D = {(x, y) 0 x + y } s et seulemet s la focto ( ρθ, ) ρ = ρ est tégrable sur ρ [ 0, ] [ 0, π], c est à dre s et seulemet s <. Das ce cas, o a : I dxdy π (x + y ) ( ) = = π ρ dρ = x + y 0 ( ). Das les autres cas, o a I = +. x π APPLICATION. Sot à motrer que e dx. Soluto. Posos de Fub : 0 + = + x I e dx 0 =. O a, e vertu du théorème + + ( 0 )( 0 ), x y (x y ) I e dx e dy e + = = dxdy D où D = {(x, y) x 0, y 0}. E utlsat les coordoées polares, o obtet alors :

4 4 CHAPITE I. THÉOÈME D CHANGEMENT DE AIABLE d où l o dédut que I π + (x + y ) ρ I = e dxdy = e d d D π ρ π u du π = e ρdρ e, = = π =. ρ ρ θ. Démostrato du théorème. Établssos tout d abord que la démostrato du théorème se rédut à prouver que l o a, pour tout cube compact : λ( φ()) D( φ)(x) dx LEMME. Supposos que l o at, pour tout dfféomorphsme φ : de classe C etre deux ouverts, de et tout cube compact : λ( φ()) D( φ)(x) dx Alors, pour tout dfféomorphsme φ : de classe C et toute focto Lebesguemesurable postve f : [ 0, + ], la focto ( f φ) D( φ) est Lebesgue-mesurable sur et o a : f ( y)dy = f ( φ (x)) D( φ)(x) dx. Démostrato. PEMIÈE ÉTAPE. Motros, sous les hypothèses du lemme, que l o a pour tout ouvert Ω : ( ) λ( φ( Ω)) D( φ)(x) dx A cet effet, otos que tout ouvert Ω est réuo d ue sute crossate de partes A qu sot chacue réuo d u ombre f de cubes compacts,k dot les téreurs sot deux à deux dsjots. De la relato o dédut alors : λ( φ( )) D( φ)(x) dx,k Ω,k λ( φ(a )) = λ( φ( )) λ( φ( )) D( φ)(x) dx et doc : k,k k,k k,k = A D( φ)(x) dx,

5 T. FACK. THÉOIE ÉLÉMENTAIE DE L INTÉGATION. 5 λ( φ( Ω)) = λ( φ(a )) = lm λ( φ(a )) lm D( φ)(x) dx = Ω D( φ)(x) dx. SECONDE ÉTAPE. Motros esute que l o a, pour tout boréle B : ( ) λ( φ(b)) D( φ)(x) dx B S D( φ )(x) dx = +, l y a re à démotrer. So, e vertu de la régularté de la mesure borélee D( φ )(x) dx, l exste B pour tout ε > 0 u ouvert Ω vérfat B Ω et : B A D( φ)(x) dx ( + ε) D( φ)(x) dx. Ω O e dédut, compte teu de l égalté ( ) :, λ( φ(b)) λ( φ( Ω)) D( φ)(x) dx ( + ε) D( φ)(x) dx d où l égalté ( ) e fasat tedre ε vers 0. Ω TOISIÈME ÉTAPE. Motros que l mage φ (E) de tout esemble Lebesgue-mesurable E est Lebesgue-mesurable et vérfe : ( 3 ) λ( φ(e)) D( φ)(x) dx Pusque tout esemble Lebesgue-mesurable E est réuo d u boréle B et d u esemble églgeable N, l sufft de motrer que l mage par φ d u esemble églgeable est églgeable. Mas tout esemble églgeable est clus das u boréle églgeable, de sorte qu l sufft de motrer que l mage par φ d u boréle églgeable est églgeable, ce qu résulte mmédatemet de ( ). ATIÈME ÉTAPE. Motros que, pour toute focto Lebesguemesurable postve f : [ 0, + ], la focto ( f φ) D( φ) est Lebesgue-mesurable sur et vérfe : ( 4 ) E f ( y)dy f ( φ (x)) D( φ)(x) dx. + sot Lebesgue-mesurable. Pour = est alors Lebesgue- = e vertu de la trosème étape applquée à φ. La focto f φ est doc Lebesgue-mesurable et, pusque D( φ ) est cotue, ( f φ) D( φ) Supposos que f : [ 0, ] tout réel, l esemble E { y f ( y) } mesurable, as doc que φ (E ) { x f ( φ(x)) } B

6 6 CHAPITE I. THÉOÈME D CHANGEMENT DE AIABLE est Lebesgue mesurable sur. De l égalté ( 3 ), o dédut alors que : f ( y)dy f ( φ(x)) D( φ)(x) dx pour toute focto Lebesgue-mesurable postve étagée f : [ 0, + ]. L égalté ( 4 ) pour toute focto f : [ 0, + ] Lebesgue-mesurable postve résulte alors du théorème de covergece mootoe pour les tégrales supéreures, pusque f est lmte d ue sute crossate de foctos Lebesguemesurables postves étagées. FIN DE LA DÉMONSTATION D LEMME. Pour termer, l sufft de motrer l égalté : f ( y)dy f ( φ (x)) D( φ)(x) dx. Or, compte teu de la relato D( φ)( φ ( y)) D( φ )( y) =, cette derère égalté résulte de la quatrème étape applquée à φ : et à la focto Lebesgue-mesurable postve x f ( φ(x)) D( φ)(x). As, pour démotrer le théorème, l sufft de prouver que l o a, pour tout cube compact : λ( φ()) D( φ)(x) dx Lorsque φ est u dfféomorphsme léare, c est ue coséquece mmédate de la théore des détermats : LEMME. Sot φ : ue applcato léare versble. Pour tout cube compact, o a : λ( φ()) = det( φ) λ(). Démostrato. Comme la mesure de Lebesgue est varate par traslato, l sufft d établr cette formule pour le cube = [ 0,h]. Das ce cas, o a λ () = h. Comme φ () est egedré par les vecteurs φ(he ),..., φ (he ), o a : ( ()) = det( (he ),..., (he )) = h det( (e ),..., (e )) = φ = φ = φ λ λ φ φ φ φ φ h det( )det(e,...,e ) h det( ) det( ) (), d où le lemme. FIN DE LA DÉMONSTATION D THÉOÈME. D après le lemme, l sufft de démotrer que l o a, pour tout cube compact : λ( φ()) D( φ)(x) dx

7 T. FACK. THÉOIE ÉLÉMENTAIE DE L INTÉGATION. 7 A cet effet, mussos de la orme x = sup x et otos T = sup Tx x la orme assocée sur l espace des applcatos léares T de das lu-même. La boule fermée de cetre a et de rayo r > 0 est doc u cube de côté r dot la mesure de Lebesgue est égale à ( r). Sot u cube compact fxé et otos dφ la dfféretelle de φ. Comme φ est u dfféomorphsme, d φ (x) est ue applcato léare versble pour tout x. E outre, pusque φ est u dfféomorphsme de classe C, les applcatos x d φ(x) et x d φ(x) sot cotues sur. Motros qu l exste, pour tout ε > 0, u réel δ > 0 tel que l o at pour x,x' : ( ) x x' δ d φ(x') d φ(x) + ε. Posos T(x) = d φ(x). Comme l applcato x T(x) est cotue sur le compact, elle est uformémet cotue. Par alleurs, pusque l applcato x T(x) est cotue sur le compact, l exste ue costate C > 0 telle que l o at T(x) C quel que sot x. Pour x,x', o a : T(x') T(x) = T(x') (T(x) T(x')) + Id T(x'). T(x) T(x') + + C T(x) T(x'), et l uforme cotuté de x T(x) sur mplque l exstece d u réel δ > 0 tel que l o at quels que soet x,x' : x x' δ T(x') T(x) + ε, d où ( ). Subdvsos e u ombre f de petts cubes d téreurs mutuellemet dsjots et de côté c féreur à δ. La relato ( ) etraîe : ( ) x,x' d φ(x') d φ(x) + ε. Pusque x D( φ)(x) est cotue sur le cube, elle possède u mmum m et u maxmum M et o a : m λ( ) D( φ)(x) dx m λ( ). D après le théorème des valeurs termédares, l exste u pot a tel que l o at : ( 3 ) D( φ )(x) dx = D( φ )(a ) λ ( ).

8 8 CHAPITE I. THÉOÈME D CHANGEMENT DE AIABLE Motros que l o a pour tout : ( 4 ) λ φ + ε φ. ( ( )) ( ) D( )(x) dx A cet effet, écrvos φ = d φ(a ) ψ, où ψ = d φ(a ) φ. Pour tout x, o a e vertu de ( ) : d ψ (x) = d φ(a ) d φ(x) + ε, et le théorème de la moyee mplque alors : x,x' ψ (x) ψ (x') ( + ε) x x'. Il s esut que ψ ( ) est clus das le cube C de côté ( + ε)c dot le cetre est l mage par ψ du cetre de. De la relato : φ( ) = d φ(a )( ψ ( )) d φ(a )(C ), o dédut grâce au lemme, sachat que λ = + ε λ : (C ) ( ) ( ) λ( φ( )) λ(d φ(a )(C )) = det d φ(a ) λ(c ) = D( φ)(a )( + ε) λ( ), et l égalté ( 4 ) résulte alors de ( 3 ). E sommat sur les petts cubes, o obtet : λ( φ()) λ( φ( )) ( + ε) D( φ)(x) dx = ( + ε) D( φ)(x) dx. E fasat tedre ε vers 0, o obtet falemet l égalté :, λ( φ()) D( φ)(x) dx qu achève la démostrato du théorème. 3. Exercces. Exercce. Sot D le dsque ouvert du pla déf par x + y <. Détermer pour que la focto f (x, y) = ( x y ) sot Lebesgue-tégrable sur D, et calculer alors l tégrale double f (x, y)dxdy. D Exercce. Détermer pour que la focto

9 T. FACK. THÉOIE ÉLÉMENTAIE DE L INTÉGATION. 9 f (x, y) = (x y ) + + sot Lebesgue-tégrable sur la parte D = [ 0, + [ [ 0, + [ de calculer alors l tégrale double et f (x, y)dxdy. D Exercce 3. Soet a > 0, b > 0 deux ombres postfs et, β tels que 0 < β. O se propose de calculer l tégrale b x a y I = dxdy, D x où D est l ouvert de déf par les égaltés : x y y x > 0, y > 0, < + <, < < β. 4 a b x a) Détermer u dfféomorphsme φ de D sur l téreur d u rectagle de de côtés parallèles aux axes de coordoées. b) E dédure la valeur de I. Exercce 4. Motrer qu ue applcato f : 3 C est tégrable pour la mesure de Lebesgue dxdydz s et seulemet s la focto (r, θ, φ) g(r, θ, φ) = f (r sθ cos φ,r sθ s φ,r cos θ)r sθ 3 de coordo- est Lebesgue-tégrable sur l ouvert de l espace ées r, θ, φ déf par les égaltés : Motrer que l o a alors : 3 0 < r < +, 0 < θ < π, π < φ < π. f (x, y, z)dxdydz = f (r sθ cos φ,r sθ s φ,r cos θ)r sθdrdθd φ. Exercce 5. Motrer que le volume de la boule uté de d équato x + y + z est égal à 4π. 3 3 Exercce 6. Sot B ue boule de de rayo > 0. Détermer u pla qu coupe B e deux domaes dot l u a u volume double de l autre. Exercce 7. Sot le compact de a) Calculer l tégrale x 0, y 0, z 0, x + y + z. dxdydz ( + x + y + z) déf par les égaltés :

10 0 CHAPITE I. THÉOÈME D CHANGEMENT DE AIABLE b) Soet, β, γδ, des réels strctemet postfs. Calculer l tégrale. β γ δ I = x y z ( x y z) dxdydz (Idcato : o pourra poser u = x + y + z, uv = y + z, uvw = z ). Exercce 8. Sot B ue forme bléare symétrque postve o dégéérée sur et otos so dscrmat das la base caoque de. Motrer que l o a : exp( B(x,x))dx π =. (Idcato : o pourra dagoalser B das ue base orthoormale). Exercce 9. Pour x, o ote x = x =. Sot f : { 0} [ 0, + [ ue focto postvemet homogèe de degré,.e. qu vérfe f ( λx,..., λx ) = λ f (x,...,x ) pour tout λ > 0. a) Motrer qu l exste deux ombres a,b > 0 tels que : a x f (x) b x quel que sot x. b) Sot u vosage de 0 Lebesgue-mesurable et boré. Étuder, e focto du ombre réel, la covergece des tégrales : f (x) dx et f (x) dx.