Enoncés. Soit n un entier naturel non nul et E un ensemble à n éléments. En utilisant des raisonnements combinatoires:

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Claude Pierre
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1 Le raisoemet combiatoire Eocés Exercice. Das cet exercice, o evisage des codages biaires (successios de et de ). Pour tout N *, o ote U le ombre de codages biaires à chiffres se termiat par et e comportat jamais deux cosécutifs.. Détermier U et U Exprimer pour tout N * U +2 e foctio de U + et U. Exercice 2. Soit u etier supérieur ou égal à 2. Ue cour fermée est limitée par murs discerables. O repeit chacu des murs avec ue couleur tirée au hasard parmi u stock de p couleurs différetes (p 2). Les choix des couleurs sot supposés mutuellemet idépedats. O ote N,p le ombre de faços de repeidre les murs de la cour de sorte qu'il 'y ait jamais deux murs cosécutifs de la même couleur. Prouver que : N +2,p (p-2) N +,p + (p-) N,p. Exercice 3. Soit u etier aturel o ul et E u esemble à élémets. E utilisat des raisoemets combiatoires: ) Déombrer les couples de parties (A,B) de E telles que A B E 2) Déombrer les triplets de parties (A,B,C) de E telles que A B C E Motrer par récurrece que pour tout etier p supérieur ou égal à 2 et pour tout etier aturel P o ul, le ombre de p-listes ( ) #i#p de parties d'u esemble F à élémets telles que F est (2 p -). i Page Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 2//27

2 Le raisoemet combiatoire Correctio Exercice.. Le seul codage à chiffre se termiat par est :. Comme il e comporte pas la séquece, o a : U De même, et covieet d'où : U Soiet N*, A +2 l'esemble des codages biaires de +2 chiffres se termiat par et e comportat jamais deux cosécutifs, B +2 les codages de A +2 dot l'avat derier chiffre est et C +2 l'esemble des codages de A +2 dot l'avat derier chiffre est. O a : A +2 B +2 C +2 Cette uio état disjoite (l'avat-derier chiffre d'u codage e peut à la fois être et ), o a : Card A +2 Card B +2 + Card C +2 De plus : - Card A +2 U +2 (par défiitio) - Card B +2 U + (il y a autat de codages de + chiffres fiissat par et e comportat jamais deux cosécutifs que de codages de +2 chiffres fiissat par deux et e comportat jamais deux cosécutifs). - Card C +2 U (comme u codage de C +2 e comporte jamais la séquece, il fiit écessairemet par. Il y a doc e ème positio). Aisi : N*, U +2 U + + U Page 2 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 2//27

3 Le raisoemet combiatoire Exercice 2. Notos : - A +2,p l'esemble des faços de repeidre les +2 murs d'ue cour de telle sorte qu'il 'y ait jamais deux murs cosécutifs de la même couleur, - B +2,p l'esemble des faços de repeidre les +2 murs d'ue cour de telle sorte qu'il 'y ait jamais deux murs cosécutifs de la même couleur et telles que le premier et le (+) ème mur soiet de la même couleur, - C +2,p l'esemble des faços de repeidre les +2 murs de la cour de telle sorte qu'il 'y ait jamais deux murs cosécutifs de la même couleur et telles que le premier et le (+) ème mur soiet de couleurs différetes. O a : A +2,p B +2,p C +2,p et cette uio état disjoite : Card(A +2,p ) Card(B +2,p ) + Card(C +2,p ). De plus : - Card A +2,p N +2,p. (par défiitio de N +2,p) - Card B +2,p (p-)n,p (il faut et il suffit de peidre les premiers murs de sorte que le premier et le ème mur soiet de couleurs différetes -N,p faços-, de peidre le (+) ème mur de la même couleur que le premier - possibilité- puis de peidre le derier mur d'ue couleur différete de la couleur commue du premier et du (+) ème - p- possibilités -), - Card C +2,p (p-2)n +,p (il faut et il suffit de peidre les + premiers murs de sorte que le premier et le (+) ème mur soiet de couleurs différetes -N +,p faços - puis de peidre le derier mur d'ue couleur différete du premier et du (+) ème mur - p-2 possibilités -), O peut maiteat coclure : N +2,p (p-2)n +,p + (p-)n,p Exercice 3.. Soiet R l'esemble des couples (A, B) de parties de E telles que A B E et pour tout k ", #, R k l'esemble des couples de parties (A, B) de E tels que A B E et Card(A) k. O a : R k R k L'uio état disjoite (ue partie A doée e peut avoir à la fois comme cardial k et k' avec k k'), o peut alors écrire : Card(R) k Card (R ) k Page 3 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 2//27

4 Le raisoemet combiatoire Pour tout k ", #, si A est ue partie de cardial k de E, pour avoir A B E, il faut et il suffit de choisir B de telle sorte que B soit la réuio de Ā et d'ue partie C de A. Aisi pour tout k ", #, pour choisir ue partie A cardial k de E et ue partie B de E telles que A B E, il faut et il suffit de : - choisir ue partie A de cardial k de E (C k possibilités), - choisir Ā ( possibilité), et : - choisir ue partie C de A (2 k possibilités, A état de cardial k). O e déduit alors : k ", #, Card(R k ) C k 2k, et doc, d'après ce qui précède : Card(R) k C k 2k soit d'après la formule du biôme de Newto : (+2) et doc : 3 d'où la coclusio : Il y a 3 couples (A, B) de parties de E telles que A B E NB : O aurait égalemet pu motrer qu'il y a autat de couples (A, B) coveables que d'applicatios de E das {,, 2} qui à tout élémet de A B associe, de B Aassocie et de A B associe Soiet S l'esemble des triplets (A, B, C) de parties de E telles que A B C E et pour tout k ", #, S k l'esemble des triplets de parties (A, B, C) de E tels que : A B C E et Card(A B) k. O a : S Sk. k L'uio état disjoite (pour tout couple (A, B) de parties de E, A B e peut avoir à la fois comme cardial k et k' avec k k'), o peut alors écrire : Card(S) k Card(S k ). Pour tout k ", #, si A B est ue partie de cardial k de E, pour avoir : A B C E, il faut et il suffit que C soit la réuio de A B et d'ue partie D quelcoque de A B. Aisi Pour tout k ", #, pour choisir ue partie A B de cardial k de E et ue partie C de E telles que A B C E, il faut et il suffit de : - choisir la sous-partie E k de E de cardial k telle que A B E k (C k possibilités), - choisir A et B tels que A B E k (3 k possibilités d'après le résultat de la questio précédete), - choisir A B ( possibilité), et : Page 4 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 2//27

5 Le raisoemet combiatoire - choisir ue partie D de A B (2 k possibilités, A B état de cardial k). O e déduit alors : k ", #, Card(S k ) C k 3k 2 k C k 6k,et doc, d'après ce qui précède : Card(S) k C k 6k soit d'après la formule du biôme de Newto : (+6) et doc : 7 d'où la coclusio : Il y a 7 triplets (A, B, C) de parties de E telles que A B C E 3. Motros par récurrece que pour tout etier p supérieur ou égal à 2, le ombre de p-listes ( ) i p de parties de E telles que p E est (2 p - ) : Au rag p 2. Soiet N* et F u esemble à élémets. D'après le résultat de la questio, il y a 3 (2 2 -) couples (A, B) de parties de F telles que A B F. La propriété est doc bie vérifiée au rag p 2. Soit p " 2, + ", supposos que, pour tout N*, il existe (2 p -) p-listes ( ) i p de parties d'u esemble F à élémets telles que p F. Soiet alors q N* et G u esemble à q élémets. Notos T l'esemble des (p+)-listes ( ) i p+ de parties de G telles que p + i G et, pour tout k ", q#, T k l'esemble des (p+)-listes ( ) i p+ de parties d'u esemble G à élémets telles que telles que Card T q k T k. i p k. O a : p+ Ai G et i L'uio état disjoite (pour toute (p+)-listes ( ) i p+ de parties de G, l'esemble p e peut avoir à la fois comme cardial k et k' avec k k'), o peut alors écrire : Card (T) Card( T k ). q k Or, pour tout k ", q#, si p est ue partie de cardial k de G, pour avoir p + i G, il faut et il suffit de choisir A p+ de telle sorte que A p+ soit la réuio de p et d'ue partie Page 5 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 2//27

6 Le raisoemet combiatoire de p telles que Card. Aisi, pour tout k, q i p k et " #, pour choisir ue famille { Ai, i, p+ } p+ i A i G, il faut et il suffit de : - choisir ue sous-partie G k de G de cardial k telle que p - choisir les sous parties { A i,,p } " # telles que p l'hypothèse de récurrece avec F G k et k), " # de parties de G G k (C k q possibilités), G k ((2 p - ) k possibilités d'après - choisir p ( possibilité), et : - choisir ue partie H de G k (2 k possibilités, G état de cardial k). O e déduit alors : k ", p#, Card(T k ) C k q (2p - ) k 2 k C k q (2p+ - 2) k et doc, d'après ce qui précède : q Card(T) k C k q (2p+ - 2) k soit d'après la formule du biôme de Newto : (2 p+ - ) q. Aisi pour tout q N* et pour tout esemble G de cardial q, il existe (2 p+ - ) q (p + )-listes ( ) i p+ de parties de G, telles que p + i G ce qui ous permet d'écrire que, si la propriété est vérifiée au rag p, elle l'est égalemet au rag p+. O peut fialemet coclure : Pour tout p " 2, + ", et pour tout N*, il existe (2 p -) p-listes ( ) i p de parties d'u esemble E de cardial telles que p E. Page 6 Matthias FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 2//27

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