Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C :

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1 Corrigé baccalauréat S Polyésie 200 (raiateabac.blogspot.com) EXERCICE (5 poits) Pré-requis : z a + bi et _ z a bi Partie A : a ) E posat z a + bi et z a + b i o obtiet : z x z (a + bi) ( a + b i) aa bb + i (ab + ba ) _ d où z z' aa bb - i (ab + ba ) et, par ailleurs : z x z ' (a bi ) (a b i) aa bb i( ab + a b) _ Coclusio : Pour tous complexes z et z, o a bie z z' z x z ' b) E posat z z o obtiet du a) : Je e fais que l hérédité : Hypothèse de récurrece: z ( z ) d où z ² ( z )² et le reste se fait par récurrece sur l etier. + z z z z x z ( z ) x z ( z ) + Partie B : Equatio (E) : z 4-4 ) Si z est solutio de (E) alors: (-z) 4 z 4-4 et doc z est aussi solutio de (E) _ et ( z ) 4 _ z doc z est aussi solutio de (E) 2 ) a) z 0 + i 2 ( + i) 2 ( i) 2 i e 2 4 π 4 i b) O a doc z 0 ( 2 e 4 π ) 4 ( 2 ) 4 e iπ 4 x(-) - 4 et z 0 est bie solutio de (E) 3 ) D après les questios précédetes o a : z i ; z i et doc - 0 z - + i qui sot égalemet solutios de (E) Remarques : a) L équatio (E) est du 4 e degré et admet doc e fial quatre solutios complexes. b) Comme bie souvet, la partie C démarre avec les quatre solutios que l o viet de citer. 0 Partie C : O doe: z A + i ; z B - + i ; z C - i et z D i. i ) O a z z C (z z C ) e 3 π doc z - i + (z + + i) ( - i ) [ i - i 3 + z( - i 3 )] 2 2 ) a) E est l image de B par r doc z E 2 [ i - i 3 + (- + i)(- i 3 )] 2 [ ] b) F est l image de D par r doc z F 2 [ i - i 3 + ( - i)( - i 3 )] - i ( + 3 ) c) O a z A z z z A E F + i+ + i+ i( i + i(2+ (2 3+ i)( i (2+ (+ i(2+ )( i(2+ 2 2i(2+ 3+ i 3(2+ + ( i soit z A z z z A E F (2 (2+ (2 2-3 IR+ Coclusio : z A z z z A E F est doc bie u ombre réel (strictemet positif d ailleurs).

2 d) O e déduit que : ( FA, EA ) arg( z A z z z de 2-3 est 0 comme pour tout ombre réel > 0 Coclusio : Les poits A, E et F sot aligés, das cet ordre. A E F ) +2kπ arg(2-3 ) + 2kπ 2kπ car u argumet (Figure o demadée ) EXERCICE 2 (3 poits) Déplacemet de robots. Partie A : ) O a p(s) + p(i) +p(x) avec p(s) p(x) 2p(I) o obtiet alors p(s)+ p(s)+ 2p(S) soit 5p(S) et doc p(s) 5 Remarque : o a alors p(s) 5 2 et p(x) 5 2 et le déplacemet d u robot sur ue étape peut alors être représeté par l arbre suivat :

3 2 ) E est l évéemet «au cours des trois étapes, le robot passe successivemet par les 3 sommets S,I et X das cet ordre». Les différetes étapes état, d après l éocé, idépedates les ues des autres, o peut, pour les 3 étapes successives, réaliser l arbre suivat : et o obtiet p(e) p( S I X) 2 2 x x ) F est l évéemet «au cours des trois étapes, le robot passe exactemet par les 3 sommets S, I et X das u ordre quelcoque». E observat l arbre ci-dessus, o remarque pour chacue des 3 braches iitiales S, I et X, il y a esuite 2 «sous braches» favorables. Aisi, si l o cosidère la brache iitiale S, o a esuite I X et X I puis, si l o cosidère la brache I, o a S X et X S et efi si l o cosidère la brache X, o a S I et I S d où p( F) p( S I X) + p( S X I) + p( I S X) + p( I X S) + p( X S I)+ p( X I S) x x x Coclusio: p( F) 24 25

4 Partie B : Les robots se déplacet idépedammet les us des autres. Le ombre X de robots «passat par les sommets S, I et X das cet ordre» suit alors ue loi biomiale B(, p) B(, 4 ) et l o cherche ici pour que p( X > 0) 0,99 25 Or p( X > 0) p( X 0) ( 2 ) 25 et o obtiet alors l iéquatio classique: ( 2 ) 0,99 25 <> 0,0 ( 2 ) 25 <> l(0,0) l( 2 ) par croissace de la foctio l 25 <> l(0,0) l( ) 25 2 car l( 2 ) < 0 puisque 2 < l(0,0) La calculatrice doe l( ) , 6 Coclusio : Le ombre miimal de robots est EXERCICE 3 spécialité (5 poits) Les parties A et B sot idépedates Partie A O cosidère l équatio (E) : 7x 6y où x et y sot des etiers aturels. Solutio particulière de l équatio (E) : o a biesûr le couple ( ; ) solutio de (E) 2. Esemble des couples d etiers aturels solutios de l équatio (E) : O a 7x 6y 7() 6() > 7(x -) 6 (y -) et doc 6 7(x -) Comme 7 6 o a, d après le théorème de Gauss, 6 (x-) doc k Z tel que x - 6k soit x 6k+ E reportat das 7(x -) 6 (y -) o obtiet y 7k soit y 7k + Coclusio : les solutios de (E) sot les couples de la forme (6k + ; 7k + ) avec k etier aturel puisque x et y doivet être des etiers aturels Partie B Das cette partie, o se propose de détermier les couples (,m) d etiers aturels o uls vérifiat la relatio : 7 3 x 2 m (F).. O suppose m 4. Motrer qu il y a exactemet deux couples solutios. Examios les différets cas : er cas : m (o démarre à car m est o ul, aisi que ) 0 a alors : 7 3 x 2 soit 7x7-6 x et le couple (7 -, ) est alors solutio de (E) D après le A.2 ) il doit doc exister u etier aturel k tel que 7-6k+ et 7k + La deuxième coditio impose k 0 et la première doe alors 7 - d où Le couple ( ; ) est alors le seul couple d etiers aturels o uls qui vérifie doc la coditio (F) si m. 2 ème cas : m 2 O a alors : 7 3 x 2 x 2 soit 7x7-6 x 2 et le couple (7 -, 2) est alors solutio de (E) Il doit doc exister u etier aturel k tel que 7-6k+ et 2 7k + Or cette derière coditio est jamais satisfaite. Doc si m 2 il y a pas de couple d etiers aturels o uls (, m) vérifiat (F)

5 3 ème cas : m 3 O a alors : 7 3 x 2 x 4 soit 7x7-6 x 4 et le couple (7 -, 4) est alors solutio de (E) Il doit doc exister u etier aturel k tel que 7-6k+ et 4 7k + Or cette derière coditio est jamais satisfaite. Doc si m 3 il y a pas de couple d etiers aturels o uls (, m) vérifiat (F) 4 ème cas : m 4 o a a alors : 7 3 x 2 x 8 soit 7x7-6 x 8 et le couple (7 -, 8) est alors solutio de (E) Il doit doc exister u etier aturel k tel que 7-6k+ et 8 7k + Or cette derière coditio impose k et doc - soit 2 Le couple ( 2 ; m 4) est alors le seul d etiers aturels o uls qui vérifie la relatio (F)si m4. Coclusio : si m 4., il y a bie uiquemet deux couples d etiers aturels o uls solutios : (, m ) et ( 2, m 4) 2. O suppose maiteat que m 5. a) Motrer que si le couple (, m) vérifie la relatio (F) alors 7 (modulo 32) Si m 5 il existe u etier m 0 tel que m 5 + m et la relatio (F) deviet : 7 3 x 2 m 7 3 x 2 5+ m 7 3 x 2 5 x 2 m d où x 3 x 2 m mod(32) b) O a 7 0 mod(32) mod(32) mod(32) mod(32) mod(32) d où u cycle de logueur 4 O raisoe alors modulo 4 pour : si est de la forme 4k (avec k etier aturel) alors 7 7 4k (7 4 ) k k mod(32) si est de la forme 4k+ alors 7 7 4k+ (7 4 ) k x 7 x 7 7 mod(32) si est de la forme 4k+2 alors 7 7 4k+2 (7 4 ) k x 7 2 x 49 7 mod(32) si est de la forme 4k+3 alors 7 7 4k+3 (7 4 ) k x 7 3 x mod(32) Coclusio : Le seul cas où 7 mod(32) est celui où est de la forme 4k, c est-à-dire lorsque 4 c) Si u couple (, m) vérifie (F) o a doc de la forme 4k avec k etier aturel O a alors 7 7 4k (7 4 ) k 240 k k mod(5) car x 480 mod(5) d) Si u couple (, m) vérifie (F) o a écessairemet 7 mod(5) Or u tel couple doit vérifier la relatio 3 x 2 m 7 et o doit doc avoir 3 x 2 m 0 mod(5) Examios les restes de la divisio euclidiee de 3 x 2 m par 5 : o a 2 0 mod(5) doc 3 x mod(5) mod(5) doc 3 x 2 6 mod(5) mod(5) mod(5) doc 3 x mod(5) 2 mod(5) mod(5) doc 3 x mod(5) 4 mod(5) mod(5) doc 3 x mod(5) d où u cycle de logueur 4 O raisoe alors modulo 4 pour m : si m 4k (avec k etier aturel) alors 2 m 2 4k (2 4 ) m 6 m m mod(5) doc 3 x 2 m 3 mod(5) si m 4k+ alors 2 m 2 4k+ (2 4 ) m x 2 6 m x 2 2 mod(5) doc 3 x 2 m 6 mod(5) mod(5) si m 4k+2 alors 2 m 2 4k+2 (2 4 ) m x m x 4 4 mod(5) doc 3 x 2 m 2 mod(5) 2 mod(5) si m 4k+3 alors 2 m 2 4k+3 (2 4 ) m x m x 8 3 mod(5) doc 3 x 2 m 9 mod(5) 4 mod(5) Aisi, das aucu cas ous avos 3 x 2 m 0 mod(5) Coclusio : si m 5, il existe pas de couple (, m) d etiers o uls vérifiat (F)

6 3 ) O a vu que si m 4., il y a exactemet deux couples d etiers aturels o uls solutios : (, m ) et ( 2, m 4) de (F) si m 5, il existe pas de couple (, m) d etiers o uls vérifiat (F) Coclusio : les seuls couples d etiers aturels o uls vérifiat (F) sot ( ; ) et (2 ; 4) EXERCICE 3 Obligatoire (5 poits) Das l espace mui d u repère orthoormal (O, les poits A( ; ; ) et B( 3 ; 2 ; 0) ; le pla (P) passat par le poit B et admettat le vecteur le pla (Q) d équatio : x y + 2z ; la sphère (S) de cetre A et de rayo AB. i, j, k ), o cosidère : AB pour vecteur ormal ;. Le pla (P) admet le vecteur AB ( 2 ; ; -) pour vecteur ormal, il a doc ue équatio de la forme : (P) : 2x + y z + d 0 Avec le poit B( 3 ; 2 ; 0) qui (P), o obtiet d -8 D où : (P) : 2x + y z ) Equatio de la sphère (S ) : (x ) ² + (y )² + (z )² AB² avec AB² 2² + ² + (-)² 6 d où (S ) : (x ) ² + (y )² + (z )² 6 3.a) La distace du poit A( ; ;) au pla (Q) d équatio : x y + 2z est ² + ( )² + 2² La sphère de cetre A a pour rayo AB 6 et la distace du poit A au pla (Q) est aussi égale à 6 doc le pla (Q) est taget à la sphère (S ) b) La distace du poit A( ; ;) au pla (P) d équatio : 2x + y z 8 0 est doc le pla (P) est égalemet taget à la sphère (S ) ² + ² + ( )² > 4 ) a) U vecteur ormal au pla (P) est AB ( 2 ; ; -) et u vecteur ormal au pla (Q) est ' ( ; - ; 2) Ces 2 vecteurs e sot clairemet pas coliéaires doc les plas (P) et (Q) e sot pas parallèles. Ils ot doc sécats (selo ue droite écessairemet) b) O a (D) (P) (Q) avec (P) : 2x + y z 8 0 et (Q) : x y + 2z E posat x t, o obtiet pour (P) : y z 8-2t soit y z 8 2t et pour (Q) : y + 2z t soit y + 2z - 4 t Aisi o a : y z 8 2t y + 2z - 4 t d où e ajoutat : 0 + z 4 3t soit z 4 3t et efi y z + 8 4t 4 3t + 8 2t 2 5t Coclusio : Ue représetatio paramétrique de (D) est doc : x t y 2 5t avec t réel z 4 3t

7 c) Si le poit A( ; ;) appartiet à ( D), alors il existe u réel t tel que x t doc t y 2 5t d où t 5 Coclusio : U tel réel t existe pas et le poit A appartiet pas à la droite (D) z 4 3t doc t d) ( R ) est le pla défii par la droite (D) et le poit A. E effet, le poit A état extérieur à (D), la doée de (D) et du poit A permet de défiir u uique pla. La otio d équidistace des poits B et C fait peser au pla médiateur du segmet [BC] Notos (T) le pla médiateur du segmet [BC]. Le vecteur équatio de la forme : 3x + z + d 0 Par ailleurs, (T) passe par le milieu I ( 2 3 ; 2 ; - 2 ) du segmet [BC] CB ( 3 ; 0 ; ) est ormal à (T) doc (T) a ue O obtiet doc d - 4 puis ue équatio cartésiee de (T) : 3x + z 4 0 O remarque esuite que A( ; ;) appartiet à (T) puisque et que tout poit de la droite (D) appartiet aussi à (T) car 3(t) + (4 3t) 4 0 quelque soit le réel t. Coclusio : O a (T) (R ) et la propositio est vraie : «Tout poit du pla (R ) est équidistat des poits B et C» EXERCICE 4 (7 poits) Partie A. O cosidère la foctio g défiie sur [ ; + [ par g(x) l(2x) + x l2 + l x + x a) Equatio g(x) 0 sur [ ; + [ O a g() l 2 > 0 Cherchos sa limite e + : O a lim l(2x) + et lim ( x) - ce qui doe ue forme idétermiée. Pour lever cette idétermiatio, factorisos par x : O obtiet g(x) x ( l 2 + l x + - ) x x x O sait que lim l x 0 e + et par ailleurs lim l x x 2 lim 0 x O e déduit doc lim ( l 2 x + l x + - ) puis, par produit, lim g(x) - e + x x Par ailleurs, la foctio g défiie sur [ ; + [ par g(x) l(2x) + x l2 + l x + x est cotiue et dérivable comme composée de foctios dérivables et o a g (x) - x x x < 0 sur [ ; + [ O e déduit le tableau de variatios de g sur [ ; + [ x + g (x) - g l2 -

8 La foctio g, cotiue et strictemet décroissate sur [ ; + [ réalise doc ue bijectio de [ ; + [ vers ] - ; l 2 ] qui cotiet 0 car l2 > 0 doc 0 admet u uique atécédet α das [ ; + [ Coclusio: L équatio g(x) 0 admet bie sur [ ; + [ ue uique solutio, otée α. Remarque : la calculatrice doe α 2,68 b) O a doc g(α) 0 c est-à-dire l(2α) + α 0 ou ecore : l( 2α) + α. 2. Soit la suite (u ) défiie par u 0 et pour tout etier aturel, par u + l(2u )+. a) Voir l aexe sur laquelle o a aussi tracé la droite ( ) : y x permettat de «rabattre» les termes u sur l axe des abscisses. b) Démotros par récurrece sur que pour tout etier aturel, u u + 3. Iitialisatio: o a u 0 et u l(2u o )+ l2 + 3 doc u o u 3. Hérédité: O suppose que pour u certai etier aturel, o a u u + 3 O a alors successivemet : 2 2 u 2 u + 6 (multiplicatio par 2 qui est > 0) l2 l(2 u ) l(2 u + ) l 6 (par croissace de la foctio l) l2+ l(2 u ) + l(2 u + ) + l 6+ (o ajoute à chaque membre) u + u +2 l 6+ avec l 6+ 2,79 doc l 6+ 3 soit u + u +2 3 et la propriété est bie héréditaire. Coclusio: La propriété : u u + 3 est iitialisée à 0 et héréditaire, elle est doc vraie pour tout etier aturel. c) Covergece de (u ) La propriété u u + 3 pour tout etier, motre que (u ) est croissate et majorée par 3. Elle est doc covergete. Notos L sa limite et h la foctio défiie par h(x) l(2x)+ sur [ ; + [ h est ue foctio dérivable comme composée de foctios dérivables. Elle est doc cotiue. O a u + h( u ) et L vérifie doc L h(l) puisque h est cotiue. Par ailleurs L h(l) <> l( 2 L) + L <> g(l) 0 O a vu das la partie A. ) que l équatio g(x) 0 admet ue seule solutio, α, apparteat à [ ; + [ Coclusio: O a L α et par coséquet la suite ( u ) coverge vers α. f défiie sur [ ; + [ par f(x) (x ) e x Partie B. Pour tout ombre réel x supérieur ou égal à, o pose : F(x) x a) Démotros que F est croissate sur [ ; + [. f(t)dt x (t ) e t dt f est ue foctio dérivable comme composée de foctios dérivables. Elle est doc cotiue. Doc F est dérivable et l o a F (x) f(x) Par ailleurs f(x) (x ) e x 0 sur [ ; + [ car e x > 0 et x - 0 sur [ ; + [. O a doc F (x) f(x) 0 et F est bie croissate sur [ ; + [.

9 b) Itégratio par parties : F(x) x f(t)dt x Posos u(t) t et v (t) e t o a alors u (t) et v(t) - e t d où F(x) [ u(t)v(t) ] x - x (t ) e t dt u (t)v(t)dt (x - ) e t x x (- e t )dt soit F(x) ( - x) e x + x e t dt ( - x) e x + [ - e t ] x ( - x) e x - [ e t ] x et doc F(x) ( - x) e x - (e x - ) e x - xe x - e x + - xe x + Coclusio: o a bie F(x) - xe x + pour tout x de [ ; + [. c) Sur [ ; + [, o a F(x) <> - xe x + <> xe x <> e x x <> l(e x ) l ( <> l( 2 x) + x 2. O a D a a d après la questio précédete. 2 ) <> - x l l(2x) - l(2x) x (t ) e t dt F(a) doc D a 2 <> F(a) 2 <> l( 2 a) + a Or cette derière relatio est équivalete à g(a) 0 D après la partie A, o a doc écessairemet a α 2,68 Aexe à redre avec la copie

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