Etude comparative de schémas numériques pour le modèle de Baer-Nunziato

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1 Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato Sophe Dallet () () () EDF R & D, MFEE, Chatou () IM Insttut de Mathématques de Marselle Ateler de vérfcaton de schémas pour les modèles dphasques Chatou, le 9 octobre 5 Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

2 Smulaton d écoulements eau-vapeur Applcatons lées au nucléare cvl, confguratons nomnales ou accdentelles Thèse CIFRE EDF R & D / IM encadrée par J-M Hérard et T. Gallouët Sujet : smulaton du modèle bflude de Baer-Nunzato Benchmark de schémas de convecton explctes : Rusanov VFROE-ncv [GHS] Schéma de relaxaton [CHSS] BN_SSIEE [D] Etude de convergence en mallage Comparason temps CPU à précson donnée [GHS] = Gallouët, Hérard, Segun, MAS, [CHSS] = Coquel, Hérard, Saleh, Segun, MAN, [D] = Dallet, Note nterne EDF H-I FR Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

3 Parte convectve du modèle : α + V I (α ) = () t t (α kρ k ) + dv(α k ρ k u k ) = (.k) t (α kρ k u k ) + dv(α k ρ k u k u k ) + (α k P k ) P I (α k ) = (.k) t (α α k kρ k E k ) + dv(α k ρ k E k u k + α k P k u k ) + P I = (.k) t k = ou E k = e k + u k Fermetures : α + α = (V I, P I ) = (u, P ) ou (u, P ) Lo d états P k = P k (ρ k, e k ) gaz parfat ou stffened gas Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

4 Proprétés du système Le système (-) ans défn est hyperbolque. Les valeurs propres sont : λ = V I λ 6 = u λ 7 = u λ = u + c λ = u c λ = u + c λ 5 = u c Inégalté d entrope : ( t (m k s k ) ) ( + x (m k u k s k ) ) k=, Relatons de saut défnes : uk ± c k : choc ou détente VI : contact "de mélange" uk : contact k=, Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

5 Dscrétsaton Termes correcteurs Schéma explcte sur mallage décalé pour la parte convectve A l ntatve de ce traval, développer un schéma Asymptotc-Preservng pour le modèle avec termes sources. Beson d mplcter : les termes sources rades les gradents de presson et les termes non-conservatfs des qdm Dans le cadre barotrope : proprété AP obtenue [AD] Dans le cadre modèle à 7 équatons : assez complexe stratége en énerge nterne Premer essa en énerge nterne : adaptaton d un schéma pour les équatons d Euler [HLN] pour la parte convectve du modèle de Baer-Nunzato [HLN] = Herbn, Latché, Nguyen, ESAIM : Proceedngs, [AD] = Abgrall, Dallet, Proceedngs FVCA 7, Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 5/ 5

6 Dscrétsaton Termes correcteurs Préserver d un pont de vue dscret α k ]; [, ρ k >, h k > va des condtons de type CFL Effectuer des décentrements smples pour le calcul des flux bas coût CPU Dscrétsaton centrée et mplcte des gradents de presson et termes non-conservatfs des qdm Rester consstant sur les ondes de choc Localsaton de α k, ρ k, e k et P k sur le mallage prmal Localsaton de u k sur le mallage dual Résoluton successve des équatons : équatons de conservaton de masse (prmal) équaton sur le taux de présence (prmal) équatons de conservaton des énerges nternes (prmal) équatons de conservaton de quantté de mouvement (dual) Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 6/ 5

7 Dscrétsaton Termes correcteurs malle prmale K (αkρk) m t (α kρ k ) + x (α kρ k u k ) = (.k) (Fk) (Fk) + malle duale K (uk) m malle duale K + (uk) m + ( (αk ρ k ) n+ (α k ρ k ) n h t ) + (F k ) n (F + k ) n = (F k ) n + = (u k ) n + { (αk ρ k ) n s (u k ) n > + (α k ρ k ) n + snon Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 7/ 5

8 Dscrétsaton Termes correcteurs malle prmale K (α) m α t + V I α x = () H (α) n H + malle duale K (VI) m malle duale K + (VI) m + ( (α ) n+ (α ) n h t ) + (V I ) n ( ) (α ) n H n + (V I ) n + ( ) H n (α + ) n = H n = + { (α ) n s (V I ) n > + (α ) n + snon Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 8/ 5

9 Dscrétsaton Termes correcteurs malle prmale K (αk) m, (ρk) m, (ek) m, (Pk) m t(m k e k ) + x(m k e k u k ) + α k P k x(u k ) +u k P I x(α k ) V I P I x(α k ) = (5.k) (Fek) (Fek) + malle duale K (uk) m malle duale K + (uk) m + (Fe k ) n + = (F k ) n + { (ek ) n s (F k ) n > + (e k ) n + snon ( (αk ρ k e k ) n+ (α k ρ k e k ) n h t +(α k ) n (P k) n ) + (Fe k ) n (Fe + k ) n ( ) [ ] n (uk ) n (u + k ) n + (u k V I )P I x (α k ) = (S k ) n Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 9/ 5

10 Dscrétsaton Termes correcteurs [ Dscrétsaton de (u k V I )P I x (α k ) ] n? Pluseurs approches consdérées, dont la suvante : Approche smlare à celle de la dscrétsaton du produt non conservatf de la premère équaton, à l ade des sous-malles : [ ] n [ ] n (u k V I )P I x (α k ) = (P I ) n (u k V I ) x (α k ) [ ] n (u k V I )P I x (α k ) = (P I ) n (u k V I ) n ( ) (α ) n H n + (P I ) n (u k V I ) n + ( ) H n (α + ) n Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

11 t (α k ρ k u k ) + x (α k ρ k uk ) + x (α α k k P k ) P I x = malle prmale K (αk) m, (ρk) m, (Pk) m (α k ρ k ) m + = h+ h + (α k ρ k ) m + h + h + (α k ρ k ) m + (Fk) (Fk) (Fk) + (Fk)+ h + (F k ) n = h+ (F k ) n h ) ( (α k ρ k ) n+ + (α k ρ k ) n + + h h (F k ) n + t + (F k ) n + (F k ) n = malle duale K + (uk) m + (G k ) n = (F k ) n { (uk ) n (u k ) n + s (F k ) n > snon h + ( (α k ρ k ) n+ + (u k ) n+ + (α k ρ k ) n (u + k ) n + t + [ (α k ) n+ + (P k) n+ + (α k) n+ (P k ) n+ ) ] (PI ) n+ + + (G k ) n + (G k ) n [ (αk ) n+ + (α k) n+ ] =

12 Nécessté de corrger les dscrétsatons des équatons en énerge nterne :,5,,5,,5,,5,6 FIGURE: rouge : sans correcton, densté Terme correcteur (S k ) n : (S k ) n = [ ( t (m k ) n h + (u k ) n + ( +(F k ) n (u k ) n + (u k ) n + ) (u k ) n ( ) +h (u k ) n ( (u k ) n + ( (u k ) n ) ] (u k ) n ) (u k ) n + (u k ) n + (Fk ) n s (F k ) n > ) snon ( (u k ) n + (u k ) n )

13 Dscrétsaton Termes correcteurs Constructon du terme correcteur : [ t (α kρ k u k ) + x (α kρ k u k ) + x (α kp k ) P I α k x = ] u k t (α kρ k ) + x (α kρ k u k ) = u t (m ) ( k u ) k k + x m k + u k x (α k P k ) u k P I x (α k ) = Et d un pont de vue dscret? [ dscrétsaton des équatons de conservaton du mouvement ] sur K + (uk ) n+ (mallage dual) + blan de masse dscret sur mallage dual blan d énerge cnétque dscret sur le mallage dual Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

14 Dscrétsaton Termes correcteurs Blan cnétque dscret : (sur le mallage dual) h + t ((m k ) n+ + ((u k ) n+ ) + (m k ) n + ((u k ) n + ) ) + (F k ) n ((u k ) n +) + (F k ) n ((u k ) n ) ( +(u k ) n+ + (αk ) n+ + (P k) n+ + (α ) k) n+ (P k ) n+ ( (u k ) n+ (P + k ) n+ + (αk ) n+ + (α ) k) n+ = (Rk ) n +,8,6,,,6,8,, Blan énerge totale = Blan énerge cnétque + Blan énerge nterne Idée : contrebalancer ce terme dans les dscrétsatons des équatons en énerge nterne répartr les quanttés (R k ) n + sur le mallage prmal Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

15 Dscrétsaton Termes correcteurs Résumé des prncpales proprétés : Préservaton de postvté sous condton de type CFL : (αk ) n+ ]; [ (ρk ) n+ > Pour des los d états de type gaz parfat ou stffened gas : (h k ) n+ = ( e k + P k ) n+ > ρ k "Consstance au sens onde de choc" Approxmaton exacte de certans types de contacts de mélange Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 5/ 5

16 Résultats du Benchmark Rusanov VFROE-ncv (α, u k, P k, s k ) Schéma de relaxaton BN_SSIEE Codes D. Smulatons sur un seul processeur Pas de temps mposés par la condton CFL t n Max,k ( u k + c k ) = N CFL h Mesure du temps CPU de la parte "tératon en temps" de chaque code Erreurs en normes L, normalsées : Merc à Khaled Saleh pour avor prêté son code!

17 Test : soluton régulère de type contact V I Test : une dscontnuté de contact de mélange solée Test : ondes de chocs et dscontnuté de contact de mélange Test : contact statonare (SG-GP) Test 5 : un test avec toutes les ondes (SG-GP) Test : soluton régulère de type contact de mélange 5,5,5,8,6,,,6,8,,,6,8,,,6,8,,,,6,8 (a) α (b) ρ (c) P (d) u,6 8 6,5,8,6,,,6,8,,,,6,8,,,,6,8 (e) ρ (f) P (g) u FIGURE: Soluton exacte Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 7/ 5

18 ,,,8 8,6 6,5,,,,,, (a) ρ (b) α (c) ρ 5 Soluton exacte BN_SSIEE Rusanov Relaxaton VFROE-ncv,55,5,995,99,,,, (d) P (f) P,85,86,8,8,8,795,8,79998,,,,,,5 (g) u () u FIGURE: Résultats sur 5 malles du test

19 -5 -,5 - -,5 - -,5 - -, , , ,5 - -,5 - -,5 - -,5-5 -,5 - -,5 - -,5 - (a) ρ (b) α (c) ρ ,5 -,6 -,7 -,8 -,9 - -, -,--,9-,8-,7-,6-,5 pente = BN_SSIEE -,5 Rusanov VFROE-ncv Relaxaton ,5 - -,5 - -, (d) P (f) P (g) u () u FIGURE: Test : log de l erreur en foncton de log (h)

20 (a) ρ (b) α (c) ρ ,5 -,6 -,7Rusanov -,8 -,9 - -, -, - -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -,5 BN_SSIEE VFROE-ncv Relaxaton (d) P (f) P (g) u () u FIGURE: Test : log du temps CPU en foncton du log de l erreur

21 Test : soluton régulère de type contact V I Test : une dscontnuté de contact de mélange solée Test : ondes de chocs et dscontnuté de contact de mélange Test : contact statonare (SG-GP) Test 5 : un test avec toutes les ondes (SG-GP) t Etat G Test : dscontnuté de contact de mélange solée TABLE: Paramètres de modèle et de smulaton pour le test Etat D x V I P I γ γ Domane X dsc T f CFL u P [; ].5..5 TABLE: Etat ntal du test α ρ ρ u u P P Gauche Drot Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

22 ,5,5,55,5,8,7,55,6,55,5,,5,,5,,75,5,5,55,,,5,6,7,8 (a) ρ (b) α (c) ρ,8,6,, Soluton exacte BN_SSIEE Rusanov Relaxaton VFROE-ncv,5,,5,995,5,5,55,6,65,,,6,8 (d) P (f) P,,8,,,9,8,7,6,,,,8,6,,,5,6,7,8,,,5,6,7 (g) u () u FIGURE: Résultats sur malles du test

23 -5 -,5 - -,5 - -,5 - -,5 -,5 -, ,5 -,5 -, ,5 - -,5 - -,5 - -5,5-5 -,5 - -,5 - -,5 - (a) ρ (b) α (c) ρ - -,5 - -,5 BN_SSIEE -,5 Rusanov VFROE-ncv -,5 -,6 -,7 -,8 -,9 - -, Relaxaton -,--,9-,8-,7-,6-,5 pente =.5 - -,5 - -, ,5 - -,5 - -, ,5 - -,5 - -,5 - (d) P (f) P - - -, ,5-5 -,5 - -,5 - -, ,5 - -,5 - -,5 - (g) u () u FIGURE: Test : log de l erreur en foncton de log (h)

24 -,5 - -,5 - -, ,5 - -,5 - -,5-5,5-5 -,5 - -,5 (a) ρ (b) α (c) ρ - - -,5 -,6 -,7Rusanov -,8 -,9 - -, -, - -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -,5 BN_SSIEE VFROE-ncv Relaxaton - - -,5 - -, ,5 - -,5 - (d) P (f) P ,5 - -,5 - (g) u () u FIGURE: Test : log du temps CPU en foncton du log de l erreur

25 Test : soluton régulère de type contact V I Test : une dscontnuté de contact de mélange solée Test : ondes de chocs et dscontnuté de contact de mélange Test : contact statonare (SG-GP) Test 5 : un test avec toutes les ondes (SG-GP) TABLE: Temps CPU mesurés sur le mallage de malles (secondes) Rusanov Relaxaton BN_SSIEE VFROE-ncv Temps CPU 69 s 5 s 7 s 6768 s Rato Rusanov : 95% du temps CPU utlsé pour le calcul du pas de temps! Coût CPU calcul racne Coût CPU opératons +, -, *, /, tests Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 5/ 5

26 Test : soluton régulère de type contact V I Test : une dscontnuté de contact de mélange solée Test : ondes de chocs et dscontnuté de contact de mélange Test : contact statonare (SG-GP) Test 5 : un test avec toutes les ondes (SG-GP) Test : (u c )-choc, (u c )-choc pus V I -dscontnuté de contact t Etat Etat Etat Etat x Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 6/ 5

27 ,,,6,8,,5,8,7,6,5,5,,5,,,,5,5,,,6,,,6,8 (a) ρ (b) α (c) ρ,8,6,,,8,6 Soluton exacte BN_SSIEE Rusanov Relaxaton VFROE-ncv,8,6,,,6,8,,,6,8 (d) P (f) P,8,5,7,6,,5,,,,,,,6,8,,,,6,8 (g) u () u FIGURE: Résultats sur malles du test

28 ,5 -, ,5 -, , ,5 - -,5 - -,5 - (a) ρ (b) α (c) ρ -,5 - -,5 - -,5-5 -,5 - -,5 - -,5 - BN_SSIEE -,5 Rusanov VFROE-ncv -,5 -,6 -,7 -,8 -,9 - -, Relaxaton -,--,9-,8-,7-,6-,5 pente = ,5 - -,5 - -,5 - (d) P (f) P -, , , ,5 - -,5 - -, ,5 - -,5 - -,5 - (g) u () u FIGURE: Test : log de l erreur en foncton de log (h)

29 - -,5 - -, ,5 - -,5 - -,5-5 -,5 - -,5 - -,5 (a) ρ (b) α (c) ρ - -,5 -,6 -,7Rusanov -,8 -,9 - -, -, - -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -,5 BN_SSIEE VFROE-ncv Relaxaton - - -,5 - -,5 - -,5 -,5 - -,5 - -,5 - (d) P (f) P ,5 - -,5 - -,5 (g) u () u FIGURE: Test : log du temps CPU en foncton du log de l erreur

30 Test : soluton régulère de type contact V I Test : une dscontnuté de contact de mélange solée Test : ondes de chocs et dscontnuté de contact de mélange Test : contact statonare (SG-GP) Test 5 : un test avec toutes les ondes (SG-GP) TABLE: Temps CPU mesurés sur le mallage de malles (secondes) : Rusanov Relaxaton BN_SSIEE VFROE-ncv Temps CPU 779 s 9 s 77 s 9776 s Rato 6... TABLE: Temps CPU estmé (secondes) à erreur donnée (normalsée) : Er(α )= Er(ρ )= Er(ρ )= Er(P )= Er(P )= Er(u )= Er(u )= Rusanov Relaxaton BN_SSIEE VFROE-ncv Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

31 Test : soluton régulère de type contact V I Test : une dscontnuté de contact de mélange solée Test : ondes de chocs et dscontnuté de contact de mélange Test : contact statonare (SG-GP) Test 5 : un test avec toutes les ondes (SG-GP) Test : contact de mélange solé, statonnare [TT] TABLE: Paramètres de modèle et de smulaton pour le test V I P I γ P, γ P, DomaneX dsc T f CFL u P. [; ] TABLE: Etat ntal du test α ρ ρ u u P P Gauche.6.. Drot. [TT] = Tokareva, Toro, JCP, Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

32 ,,,6,8,,6,,5,,,,,,,6,8,,,6,8,, (a) ρ (b) α Soluton exacte BN_SSIEE Rusanov Relaxaton VFROE-ncv,5 (c) ρ,,,6,8,,,6,8 (d) P (f) P, -, -, -, -,6,,,6,8,,,6,8 (g) u () u FIGURE: Résultats sur malles du test

33 Test : soluton régulère de type contact V I Test : une dscontnuté de contact de mélange solée Test : ondes de chocs et dscontnuté de contact de mélange Test : contact statonare (SG-GP) Test 5 : un test avec toutes les ondes (SG-GP) Test 5 : problème de Remann complet [TT] TABLE: Paramètres de modèle et de smulaton pour le test 5 V I P I γ P, γ P, DomaneX dsc T f CFL u P. [; ] TABLE: Etat ntal du test 5 α ρ ρ u u P P Gauche Drot [TT] = Tokareva, Toro, JCP, Sophe Dallet Etude comparatve de schémas numérques pour le modèle de Baer-Nunzato 9 octobre 5 / 5

34 ,,,6,8 6,7,6 5,6,,5,,,,,8,,,6,8,,,6,8 (a) ρ (b) α (c) ρ ,,,6,8 Soluton exacte BN_SSIEE Rusanov Relaxaton ,,,6,8 (d) P (f) P ,,,6,8 -,,,6,8 (g) u () u FIGURE: Résultats sur malles du test 5

35 des tests effectués : Schéma de Rusanov Comportement dffusf non compensé par le fable coût CPU Schéma de relaxaton Précs à mallage donné (y comprs sur mallage grosser) Robuste Temps CPU correct à précson donnée Bon canddat d un pont de vue ndustrel Schéma VFROE-ncv Précson à mallage donné et temps CPU du même ordre de grandeur que le schéma de relaxaton Beaucoup mons robuste que le schéma de relaxaton Schéma BN_SSIEE Précson correcte sur les dscontnutés Précson très mauvase sur les "ondes fantômes" Fable coût CPU compensant en général certans défauts de précson

36 des tests effectués : Schéma de Rusanov Comportement dffusf non compensé par le fable coût CPU Schéma de relaxaton Précs à mallage donné (y comprs sur mallage grosser) Robuste Temps CPU correct à précson donnée Bon canddat d un pont de vue ndustrel Schéma VFROE-ncv Précson à mallage donné et temps CPU du même ordre de grandeur que le schéma de relaxaton Beaucoup mons robuste que le schéma de relaxaton Schéma BN_SSIEE Précson correcte sur les dscontnutés Précson très mauvase sur les "ondes fantômes" Fable coût CPU compensant en général certans défauts de précson Attenton : rato temps CPU convecton / termes sources?

37 Merc pour votre attenton