Chapitre 1 Notions fondamentales en électrostatique

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1 Chpite 1 Notions fondmentles en électosttique 1.1 Loi de Coulomb Toute l théoie électosttique est bsée su une loi expéimentle : l loi de Coulomb. Cette denièe défini l eltion ente chges électiques ponctuelles et l foce d'ttction (ou de épulsion execée l'une su l'ute : q 1 q e F 1 F qqe k 1 1 étnt l distnce ente les deux chges los que e est le vecteu unitie diigé de q 1 ves q. Nous vons k1 dns le système CG ou k( -1 dns le système MK (ppelé églement I π (F/m est l pemittivité du vide. Dns ce module on utilise le système MK plus commode en ingénieie. P défut les unités sont Coulomb (C pou les chges électiques, mète (m pou les distnces et Newton (N pou les foces. Les potentiels et chmp électosttiques ont comme unité olt ( et olt p mète (/m. 1. Chmp électosttique L foce execée su une chge q peut ête intepétée comme l'ction d'un chmp électosttique. Ce denie est défini p : E F q E eflète l pésence de chges électiques ux lentous de l chge q. Dns le cs où une seule chge ponctuelle q (en plus de q est pésente, selon l loi de Coulomb : d'où : F qq q E e e Cous et Execices : Junwu TAO Pge 1

2 i les positions espectives de q et de q sont ( xyz,, et ' ( x', y', z ' ' ', e ' q ' E( ' ' x x' + y y' + z z' ( ( ( étnt l nome du vecteu '., nous vons : L notion de chge ponctuelle n'est qu'une bstction de l élité ; c'est un modèle pfit simplifint l'nlyse physique et le clcul mthémtique. Dns l élité, le volume d'une chge n'est jmis nul, d'où une distibution volumique cctéisée p une densité volumique ρ : q ρ lim τ τ, q ρdτ L'ppliction du pincipe de supeposition à l loi de Coulomb conduit ux eltions suivntes : q ρ ( ' ( ' F ( dτ ' ' 1 ρ ( ' ( ' E( dτ ' ' Le modèle d'une distibution sufcique coespond ux cs où l'une des tois dimensions est négligeble devnt les deux utes. P exemple, les chges sont distibuées su l sufce d'un conducteu su une couche d'ode de quelques ngstöms (~1-1 m. On défini los une densité de chge sufcique ρ : q ρ lim, q ρd L foce électosttique et le chmp électosttique sont donnés p : q ρ ( ' ( ' F ( d ' ' 1 ρ ( ' ( ' E( d ' ' De l même mnièe on défini l densité de chge linéique p : q ρl lim l l, q ρldl l q ρ l ( ' ( ' F ( dl ' l ' 1 ρl ( ' ( ' E( dl ' l ' Cous et Execices : Junwu TAO Pge

3 Exemple 1.1 Conducteu ectiligne oit un conducteu ectiligne de longueu L su lequel est unifomément distibuée une chge q. Détemine le chmp électosttique u point P. olution On choisi de tville vec les coodonnées cylindiques (, ϕ, z dont l'xe z coïncide vec le conducteu et l'oigine se situe u milieu du conducteu. L stuctue étnt invinte selon ϕ, E ϕ. L chge est unifomément distibuée, nous vons l densité linéique : ρ L q/l. Considéons l contibution du segment dz' : 1 '( ' ( dz ρl de ' L pojection de de su les xes et z donne : 1 ρldz ' de ( de sin sin 1 ρldz' dez ( de cos cos vec, z' z cot sin z 1 z' l E z (, ϕ, z E E L'intégtion p ppot à z' coespond à l contibution totle du conducteu ; vie de 1 d dz' d cot sin 1 ρld sin 1 ρl sin de ( sin d sin à. Nous vons : ( ( ρ ρl cos dez ( d 4 1 ld sin 1 cos π ( sin d'où les deux composntes du chmp électosttique : 1 ρlsin ρ l ρl E d cos cos cos ρl cos ρ l ρl Ez ( d ( sin ( sin sin1 1 1 ( ( ( Le chmp électosttique u point P est donné p : E ee ee ( ( + ( z z 1 Cous et Execices : Junwu TAO Pge

4 L epésenttion du chmp électosttique s'effectue églement en tçnt dns l'espce des lignes dont l tngente à chque point suit l diection du chmp électosttique E. On les ppelle lignes de chmps. Pou détemine l'éqution de ces lignes, il nous suffit de fome le poduit vectoiel ente le vecteu tngente d'une ligne sptile et le chmp électique dont l nullité conduit à un système d'équtions difféentielles ; l ésolution de celui-ci donne l'éqution des lignes de chmps. 1. Théoème de Guss. Flux du chmp électosttique Il est connu que le chmp électosttique est un chmp de gdient déduit d'un chmp sclie (voi le cous d'anlyse vectoielle. L'une des popiétés d'un chmp de gdient concene l eltion ente le flux du chmp et l souce à l'oigine du chmp. u un élément de sufce d on défini le flux du chmp p : dφ End i Ed i Ed cos n E n étnt l nomle, l'ngle ente n et E. Dns le cs où E été céé p une chge ponctuelle q, le flux tvesnt l sphèe de yon englobnt l chge, vec comme oigine l position de l chge, est donné p : Φ End i q O E( e, n e q q4π q Φ d Le flux est égle à q divisée p l pemittivité du vide. Il peut ête démonté que cette eltion est génélisble à une sufce femée quelconque vec une distibution de chge quelconque : Φ End i Q int vec Q int l totlité de chges à l'intéieu de l sufce femée. Cette eltion été déduite de l loi de Coulomb p Guss et connue sous le nom du théoème de Guss. Elle fit ptie des 4 équtions de Mxwell. En plus de son intéêt théoique, le théoème de Guss est un outil tès ptique pou détemine le chmp électosttique dns les cs où les syméties sont exploitbles. Cous et Execices : Junwu TAO Pge 4

5 Exemple 1. Chmp céé p un conducteu ectiligne infini On cheche à détemine le chmp électosttique céé p un conducteu ectiligne de longueu infinie. olution z L symétie de l stuctue nous ppend que le chmp doit ête dil, ne dépendnt ni de z ni de ϕ. Pou détemine le chmp u point P situnt à, on fome une sufce de Guss vec un cylinde utou du conducteu, de huteu h, de yon, et deux disques de yon femnt les deux côtés du cylinde. elon le théoème de Guss, h E( Φ End i E d + Ed Ed ( ( z z cylinde disque1 disque E π h ρlh E z étnt nul ptout l pemièe et l toisième intégles s'nnulent. On en déduit le chmp u point : ρl E ( π, < < Fome locle du théoème de Guss Dns un cs génél, le théoème de Guss ne pemet ps de détemine loclement un chmp électosttique. Qund on s'intéesse à un point pticulie P, on fome une sufce de Guss infiniment petite mis contennt le point P. elon le théoème de Guss : ρ d Ed i puisque, nous vons et ρ d ρ Cous et Execices : Junwu TAO Pge 5 ( P elon l'nlyse vectoielle, l divegence du vecteu E u point P est définie p : Ed i dive ie lim D'où l fome locle (ou fome difféentielle du théoème de Guss : ρ ( P ie( P

6 En bsence de chge u point P, nous vons ie P ( ppels : en coodonnées ctésiennes, l divegence s'écit : E E x y Ez ie + + x y z en utilisnt l fome locle du théoème de Guss, nous vons : ρ d Ed i Ed i on etouve le théoème d'ostogdsy en nlyse vectoielle, ppelé pfois le théoème de Guss-Ostogdsy. yméties de distibution L symétie d'un poblème se tduit p une distibution pticulièe dont l'exploittion peut simplifie l'étude du poblème, comme les exemples 1.1 et 1.. Les cs de symétie les plus connues sont : symétie de ottion : l distibution de chge est ectiligne ; en fomnt une xe coïncidnt vec l distibution, le potentiel (p l suite le chmp électosttique ne dépend ps de l ottion du point d'obsevteu utou de cet xe ; symétie sphéique : l distibution sufcique (ou volumique est sphéique et ne dépend ps des ϕ, ; le potentiel électosttique d'un point d'obsevteu est églement indépendnt coodonnées ( de ces deux vibles ; symétie plne : pou une distibution sufcique unifome su un pln infinie, si ce pln contient deux xes d'un système cuviligne, ou pllèle à un tel pln, le potentiel ne vie que suivnt le toisième xe. P exemple si nous vons une distibution unifome su le pln y-o-z, le potentiel se uniquement fonction de l vible x. On peut considée cette symétie comme un cs pticulie de l symétie sphéique qund le yon tends ves l'infini. Cous et Execices : Junwu TAO Pge 6

7 1.4 Potentiel électosttique. Gdient du potentiel électosttique Potentiel électosttique On fit déplce une chge q du point A u point B en pésence du chmp électosttique E. Ce denie exeçnt une foce électosttique F qe, le tvil eçu p l chge q est donné p : B B B W Fdl i q Edl i q Edl cos A A A Qund le chmp électosttique été céé p une chge ponctuelle q, nous vons q E, dlcos d W B B qd qq qq q A A A B Le tvil étnt popotionnel à l chge q, le ppot ente les deux donne W q 1 1 ( A ( B q A B Nous vons ici une ute gndeu physique dépendnt des chges : le potentiel électosttique q ( + +d est une constnte d'intégle, dépendnt du choix d'un point de éféence uquel on ffecte le potentiel zéo. En génél, le point de éféence est choisi infiniment éloigné de ce qui impose. Ce choix n'est plus vlble si des chges existent à l'infini comme le cs d'un conducteu filie de longueu infinie. En pennt, nous pouvons évlue le potentiel électosttique selon le type de distibution de chges : ( q q q L ρl ρ ( ' ( ' ρ dl ', d ', ( ' distibution linéique distibution sufcique dτ ', distibution volumique Cous et Execices : Junwu TAO Pge 7

8 Exemple 1. Potentiel céé p un disque ciculie oit un disque ciculie de yon unifomément chgé ; ρ s epésente l densité de chge sufcique. Détemine le potentiel le long de l'xe z. olution z L contibution des chges su un nneu ente et +d est : d ρ s πd + z d en fisnt vie de à, nous vons : ρsd ρs ρs ( + ( + z z z z + z Note : dns cette exemple l éféence du potentiel est choisie à l'infini. B On note AB ( A ( B Edl i l difféence de potentiel électosttique. De A l'ute côté, on ppelle l cicultion d'un vecteu A le long d'une coube C : Adl i. C Le fit que AB ne dépend que des points A et B monte que l cicultion du chmp électosttique ne dépend ps du choix de chemin d'intégl ente A et B, et en pticulie Edl i C L cicultion du chmp électosttique est nul si l coube C est femée, montnt que ce chmp est issue d'un chmp sclie. b Gdient du potentiel électosttique On peut écie l difféence du potentiel selon deux mnièes. D'un côté, est fonction de vible (x, y, z, nous vons : Cous et Execices : Junwu TAO Pge 8

9 d dx+ dy+ dz x y z De l'ute côté, selon l définition de ce potentiel : d Edl i Edx+ Edy+ Edz ( x y z L'églité des deux eltions conduit à l'éqution suivnte : x, E E y, E z x y z On ppelle que le gdient d'une fonction sclie Φ(x, y, z est défini p : d'où : Φ Φ Φ gdφ Φ ex + ey + ez x y z E elon l significtion du gdient, E indique l diection de l plus pide décoissnce du potentiel électosttique. étnt un chmp sclie, E est donc un chmp de gdient. chnt, selon l'nlyse vectoielle, nous vons : E 1.5 Eqution de Poisson. Eqution de Lplce En emplçnt le chmp électosttique dns l fome locle du théoème de Guss p le gdient du potentiel électosttique, nous obtenons : ρ ie i( Le potentiel électosttique véifie donc l'éqution de Poisson : ρ ( ( Dns un milieu dépouvu de chges, véifié l'éqution de Lplce : ( L ésolution de l'éqution de Poisson ou l'éqution de Lplce ssociée ux conditions ux limites est un poblème clssique en électosttique. A l'exception de quelques cs pticulies, l plupt de situtions ptiques nécessitent l'utilistion des méthodes de ésolutions numéiques. Cous et Execices : Junwu TAO Pge 9