DÉRIVÉES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 DÉRIVÉES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I- Foctio dérivable e u poit : Nombre dérivé d ue foctio e u poit : a Défiitio : O dit qu ue foctio f est dérivable au poit d abscisse ou admet u ombre dérivé au poit de so esemble de défiitio si f et seulemet, si : lim = A ; A IR. A est oté f et est appelé le ombre dérivé de la foctio f au poit. b Eemples : Etudier la dérivabilité de f e das les cas suivats : - f = et = ; - f = et = ; Dérivabilité sur u itervalle: Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I. O dit que f est dérivable sur l itervalle I, si le ombre dérivé de f eiste e tout poit de I. 3 Propriétés P Toute foctio polyôme est dérivable sur R. P Toute foctio ratioelle est dérivable e tout poit de so esemble de défiitio. II Iterprétatio géométrique du ombre dérivé : Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I et dérivable au poit d abscisse de I, de représetatio graphique ci-dessous : C f f M f M Dérivées de Foctios Page sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

2 Soit M ; f u poit fie de C f. Cosidéros le poit M ; f f mobile sur C f. Le rapport : r = est le cœfficiet directeur de la droite M M. Lorsque M ted vers M la droite M M toure autour du poit M et ted vers ue positio limite qui est celle de. est appelé la tagete à la courbe C f au poit d abscisse de coefficiet directeur ou de pete f. - Équatio de la tagete à la courbe e u poit : L équatio de la tagete T à la courbe C f de f au poit d abscisse est. T : y = f f. 3- Remarque : Si le coefficiet directeur f =, la tagete est horizotale ou parallèle à l ae des abscisses e. f C f f C f III Foctios dérivées d ue foctio f : Défiitio : Soit f ue foctio umérique défiie et dérivable sur u itervalle I. La foctio f qui à tout de I fait correspodre le ombre dérivé de f e oté f est appelé foctio dérivée première de f. Dérivées de Foctios Page sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

3 Techiques de dérivatio : a Formules de dérivatio : Soiet f ; u et v des foctios dérivables e u poit de l itervalle I. Foctio f défiie par Foctio dérivée f défiie par = c f = = f = = a f = a = f = = a f = a = f = f = u = f u = f = f f f = u v f = u v = u v f = u v f = u v = u v v u u f = u u v v u v f = = v v = u u f = u = u a b f = a u a b b Dérivées de foctios circulaires : Primitive Si Dérivée N.B : Cette ouvelle techique que je mets à votre dispositio vous permettra de reteir le plus simplemet possible la dérivée et la primitive des foctios Sius et Cosius cos cos O Si Dérivées de Foctios Page 3 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

4 = si f = cos = cos f = si = si a b f = acos a b = cos a b f = asi a b = tg f = = tg cos = cot g f = = cot g si IV Ses de variatio d ue foctio : Soit f ue foctio dérivable sur u itervalle I. Théorème : Si f sur I alors f est croissate sur I ; Si f sur I alors f est décroissate sur I ; Si f = sur I alors f est costate sur I ; Eemple : Soit la foctio f défiie par = 3 9 Etudier le ses de variatio de f puis dresser so tableau de variatio f est dérivable sur R et f = f = = et = 3. 3 f 3 f 6 V Etesio du ombre dérivé : Nombre dérivé à droite Nombre dérivé à gauche Soit f : f =. f est-elle dérivable e =? f lim = lim = = f g ; f lim = lim = = fd ; f = est le ombre dérivé de f à gauche au poit. g d = f g f est le ombre dérivé de f à droite au poit. Puisque f d alors o dit que f est pas dérivable au poit. 6 Dérivées de Foctios Page 4 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

5 Remarque : Si ue foctio umérique f admet au poit u même ombre dérivé à gauche et à droite f. O dit que la foctio f est dérivable e. Dérivée de la composée de deu foctios et de la bijectio réciproque :. g f = f [ g f ] 3 Dérivabilité et cotiuité : o.. f a =. f [ f a ] a Théorème 6 : admis Si ue foctio umérique f est dérivable e u poit, alors elle est cotiue e ce poit. Par cotre, toute foctio cotiue e u poit est pas écessairemet dérivable e ce poit. b Eemple : f : f = est cotiue e =, mais pas dérivable e =. 4 Dérivées successives : Soit f la foctio défiie par = f = 3 ; f = 4 ; f = 4 ; 3 f 4 =... = f =. Les foctios f ; f " ;...; f sot les foctios dérivées successives de f. Dérivées de Foctios Page 5 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Techique