Séries de Fourier - Calculs fondamentaux

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1 Séries de Fourier - Clculs fodmetux I - Série de Fourier ssociée à ue foctio f L série de Fourier ssociée à ue foctio f, périodique de période T, s écrit : S(t) + + cos(ωt) + b si(ωt) où l pulstio ω est reliée à l période T pr l reltio ω T. Détermier l décompositio de l foctio f e série de Fourier reviet à détermier les coefficiets (vleur moyee de f), et pour, et b, doés pr : b T T T α+t α α+t α α+t α f(t) dt f(t) cos(ωt) dt f(t) si(ωt) dt pour u réel α quelcoque. ) er exemple complet Soit l foctio f périodique de période défiie pr si t < f(t) si t < Représettio grphique de l foctio f Clcul des coefficiets de l série de Fourier : L période de f est T, soit ue pulstio ω T. )Vleur moyee de f : coefficiet L vleur moyee de f est : T f(t) dt f(t) dt I Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - /

2 Comme l foctio est défiie pr morceux sur ;, o décompose ussi l itégrle I e morceux (reltio de Chsles pour les itégrles) : I t f(t) dt + dt + dt f(t) dt () dt dt t Aisi,. Remrque : L foctio f étt impire, o directemet, résultt que l o retrouve ici... b)coefficiets Pour les utres coefficiets : T O procède de l même fço pour clculer I : I f(t) cos(ωt) dt f(t) cos(t) dt I f(t) cos(t) dt f(t) cos(t) dt + cos(t) dt + cos(t) dt si(t) si() si() f(t) cos(t) dt () cos(t) dt cos(t) dt si(t) si() si() or, pour tout etier, si() si(), d où, I, et doc I Remrque : L foctio f étt impire, o ussi directemet, résultt que l o retrouve ussi ici... c)coefficiets b b T f(t) si(ωt) dt f(t) si(t) dt J Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - /

3 O procède de l même fço pour clculer J : J f(t) si(t) dt f(t) si(t) dt + si(t) dt + si(t) dt f(t) si(t) dt () si(t) dt si(t) dt cos(t) cos(t) cos() cos() + cos() cos() or, pour tout etier, cos() cos() d où, J ( ) cos() + ( ) cos() ( ) cos() et doc b J ( ) cos() d)série de Fourier de l foctio f L série de Fourier ssociée à l foctio f s écrit isi : S(t) cos(ωt) + b si(ωt) cos(t) + ( ) cos() si(t) ( ) cos() si(t) e)remrque sur l prité de l foctio et ses coséqueces e remrqut dès le début que f est impire, les clculs peuvet s effectuer plus rpidemet et simplemet e employt les formules dptées des coefficiets et (lors directemet égux à, ss clculs), et de b. (voir le cours et l expressio des coefficiets de Fourier pour ue foctio pire ou impire; ttetio, ces expressios e sot ps ds le formulire du BTS). o peut ller u peu plus loi e remrqut que pour tout etier, cos() (), et isi que les coefficiets b de rg pir, p +, sot uls et que ceux de rg impir vlet plus simplemet b p+ 4 4 p +. L série de Fourier s écrit lors : S(t) 4 + p si((p + )t) p + Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - 3/

4 II - Les clculs icotourbles Le clcul des coefficiets de Fourier d ue foctio quelcoque f se rmèe géérlemet (du mois pour le progrmme du BTS) ux clculs suivts (à des coefficiets multiplictifs près) : et I U cos(ωt) dt et, J t cos(ωt) dt et, V isi que (plus rremet, mis à svoir clculer émois) Y t cos(ωt) dt et, Z si(ωt) dt t si(ωt) dt t si(ωt) dt Bie évidemmet, ces clculs e sot ps à coître pr cœur, pr cotre il fut svoir les effectuer ss hésiter! ) Clculs de I et J I cos(ωt) dt et, J si(ωt) dt Ces clculs ot déjà été effectués lors des clculs des coefficiets de Fourier du er exemple. O coît ici directemet des primitives de cos(ωt) et si(ωt) : I I cos(ωt) dt si(ωt) dt b ω si(ωt) b si(ωt) si(ωb) si(ω) ω ω ω cos(ωt) b cos(ωt) cos(ωb) cos(ω) ω ω Exemple : Clculer, pour tout etier, I cos (3t) dt et J si (3t) dt. Correctio : Ue primitive de cos(3t) est si(3t), et doc 3 I 3 si(3t) si(3t) ( ( si 3 ) ) si() ( si ) cr si(). De même, ue primitive de si(3t) est cos(3t), et doc 3 J 3 cos(3t) cos(3t) ( ( cos 3 ) ) cos() ( ( cos 3 ) ) cr cos(). Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - 4/

5 ) Clculs de U et V U t cos(ωt) dt et, V t si(ωt) dt O peut ici (et doit...) utiliser ue itégrtio pr prties, dot o rppelle l formule géérle : u v L idée est de dériver le t ds les itégrles U et V fi de se retrouver vec des itégrles plus simples du type de I et J. b u v )Clcul de U O itègre doc pr prties U : U u(t) t vec v (t) cos(ωt) et isi, t cos(ωt) dt u (t) soit, v(t) ω si(ωt) U u v t cos(ωt) dt b u v t b ω si(ωt) b t si(ωt) ω ω si(ωt) dt ω si(ωt) dt et il y plus qu à clculer l derière itégrle qui est utre que J dot le clcul est détillé ds le prgrphe précédet. Exemple : Clculer, pour tout etier, U t cos(t) dt. u(t) t Correctio : O itègre U pr prtie, e post v (t) cos(t) U u v u v t si(t) ( ) si() si() si(t) dt si(t) dt u (t) soit, v(t) si(t) or, si() si(), et ue primitive de si(t) est cos(t), d où, U si(t) dt cos(t) ) (cos() cos() ( ) cos() Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - 5/

6 cr cos(). O pourrit ller u peu plus loi e remrqut que cos() si est pir, et cos() si est impir, et doc, e résumé, cos() (), d où U ) ((). b)clcul de V De même pour V, o itègre doc pr prties : V u(t) t vec v (t) si(ωt) u (t) soit, v(t) et isi, ω cos(ωt) U u v t si(ωt) dt b u v t b ω cos(ωt) b t cos(ωt) ω + ω t si(ωt) dt cos(ωt) dt ω cos(ωt) dt et il y plus qu à clculer l derière itégrle qui est utre que I dot le clcul est détillé ds le prgrphe précédet. Exemple : Clculer, pour tout etier, U t si(t) dt. u(t) t Correctio : O itègre U pr prtie, e post v (t) si(t) U u v u v t cos(t) ( cos() cos() cos(t) dt ) + cos(t) dt u (t) soit, v(t) cos(t) or, cos(), et ue primitive de cos(t) est si(t), d où, U ( ) cos() + si(t) ( cos() )+ ( ) si()si() ( ) cos() cr si() si(). 3) Clculs de Y et Z Pour le clcul de Y et Z, Y t cos(ωt) dt et, Z t si(ωt) dt Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - 6/

7 o utilise ue double itégrtio pr prties (c est-à-dire deux itégrtios pr prties successives, l ue près l utre) : u(t) t vec v (t) cos(ωt) et isi, Y t cos(ωt) dt u (t) t soit, v(t) ω si(ωt) Y u v t cos(ωt) dt b u v t b ω si(ωt) b t si(ωt) ω ω t si(ωt) dt ω t si(ωt) dt et il e reste plus qu à clculer l derière itégrle qui est utre que V, clculée ds le prgrphe précédet. III - ème exemple complet t + si t < Soit l foctio f, périodique de période, défiie pr f(t) si t < Représettio grphique de l foctio f )Clcul de l vleur moyee de f : coefficiet L vleur moyee de f est : T f(t) dt f(t) dt I Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - 7/

8 vec, I f(t) dt (t + ) dt + (t + ) 3 + t dt isi, I 7 4. b)clcul des coefficiets T f(t) cos(ωt) dt vec l période T et doc l pulstio ω T, f(t) cos(t) dt f(t) cos(t) dt O décompose l itégrle e utilist l défiitio pr morceux de f : f(t) cos(t) dt + (t + ) cos(t) dt + (t + ) cos(t) dt + f(t) cos(t) dt cos(t) dt cos(t) dt A + B L itégrle A se clcule e utilist ue itégrtio pr prties (cf. clcul de l itégrle U ), tdis que B s itègre directemet e utilist ue primitive de cos(t) (cf. clcul de l itégrle I ) : A (t + ) si(t) (t + ) si(t) si() si() si(t) dt si(t) dt cos(t) + cos() cos() Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - 8/

9 or, pour tout etier, cos(), d où A ( cos()). B cos(t) dt si(t) si() si() cr, pour tout etier, si() si(). Au fil, A + B ( cos()) c)clcul des coefficiets b De même que pour les coefficiets, b f(t) si(t) dt f(t) si(t) dt O décompose l itégrle e utilist l défiitio pr morceux de f : b f(t) si(t) dt + (t + ) si(t) dt + (t + ) si(t) dt + f(t) si(t) dt si(t) dt si(t) dt C + D L itégrle C se clcule e utilist ue itégrtio pr prties (cf. clcul de l itégrle V ), tdis que D s itègre directemet e utilist ue primitive de si(t) (cf. clcul de l itégrle J ) : C (t + ) cos(t) (t + ) cos(t) cos() cos() cos() cos(t) dt + cos(t) dt + si(t) + si() si() or, pour tout etier, si() si(), d où C ( cos() ) ( cos()). D. Au fil, si(t) dt cos(t) cos() cos() b C + D ( cos()) ( cos()) cos() Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - 9/

10 IV - Exercice t si t Soit l foctio f, -périodique, défiie pr f(t) si < t <. Doer l représettio grphique de f sur l itervlle ;.. Détermitio de l décompositio e série de Fourier de f :. Clculer l vleur moyee de f. b. Clculer les coefficiets,. c. Clculer les coefficiets b,. 3. Clculer l vleur efficce de f. Correctio :. O représete d bord f sur ; à l ide de l défiitio pr morceux de f, puis o complète pr périodicité sur ; et sur ; : Représettio grphique de l foctio f. L période de f est T, et s pulstio ω T.. vec T I Aisi, I, soit 3 8. b. Pour tout etier, f(t) dt f(t) dt t + t ( ) 8 + t dt + ( f(t) dt I dt ) 3 8 vec, J T f(t) cos(ωt) dt f(t) cos(t) dt t cos(t) dt + f(t) cos(t) dt J cos(t) dt Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - /

11 L première itégrle se clcule e utilist ue itégrtio pr prties : t cos(t) dt t si(t) 4 si ( or, pour tout etier, si(), et cos(), et isi, t cos(t) dt ( cos()) 4 Pr illeurs, cos(t) dt si(t) cr, pour tout etier, si() si(). ) si(t) dt cos(t) si () + 4 cos() cos() 4 si() si( Au fil, J 4 ( cos()), soit ( cos()). 4 c. De même que précédemmet, vec, b T f(t) si(ωt) dt f(t) si(t) dt f(t) si(t) dt t t si(t) dt + cos(t) 4 cos() + cr, si() si(), et cos(). Au fil, b 4, soit b 4. si(t) dt cos(t) dt + si(t) 4 4 cos() + ( cos()) L vleur efficce µ est doée pr : µ ( T (f(t)) dt t dt + T ( t 3 ) + t 3 4 ( Aisi, l vleur efficce de f est µ 4 6. ) 4 ( ) dt ) cos(t) pi cos() cos() Y. Morel - xymths.free.fr Séries de Fourier - Clculs fodmetux - /

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