Code_Aster. Critères multi-axiaux d amorçage en fatigue

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1 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 1/45 Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Résumé : Dans cette note nous proposons une formulaton des crtères de MATAKE, de DANG VAN et de FATEMI-SOCIE et des crtères en formule adaptée au cadre du cumul de dommage sous chargement multaxal pérodque et non pérodque. Ces crtères sont utlsables dans la commande CALC_FATIGUE. La premère parte de ce document est consacrée aux crtères de MATAKE et de DANG VAN adaptés aux chargements multaxaux pérodques. Dans cette parte après avor abordé les notons d endurance et de cumul de dommage et la forme générale des crtères de fatgue, nous décrvons les deux modèles de DANG VAN et de MATAKE (Plan crtque) prévus pour réalser des calculs de cumul de dommage sous chargement multaxal. On y détalle la défnton des dfférents plans de csallement assocés aux ponts de Gauss ou aux nœuds, ans que la défnton d une ampltude de chargement à travers le cercle crconscrt au trajet du chargement dans le plan de csallement. Enfn les crtères dsponbles dans Code_Aster sont présentés. Dans la seconde parte nous proposons une formulaton des crtères de MATAKE, DANG VAN et FATEMI- SOCIE dans le cadre du cumul de dommage sous chargement multaxal non pérodque. Pour défnr un cycle dans le cas ampltude varable, nous rédusons l hstorque du chargement à une foncton undmensonnelle du temps en projetant la ponte du vecteur csallement sur un axe, et nous utlsons une méthode de comptage de cycles. Ic nous chosssons la méthode RAINFLOW. Les crtères de MATAKE, DANG VAN et FATEMI-SOCIE adaptés au cumul de dommage sous chargement non pérodque sont mplantés dans Code_Aster. En plus des crtères ben établs, on dspose dans le Code_Aster des crtères en formule permettant l'utlsateur de construre de nouveaux crtères en fonctons des grandeurs prédéfns. Ce type de crtère est détallé dans trosème parte de ce document. Enfn, l opton VMIS_TRESCA permet de calculer la varaton maxmale, au cours du temps, d un tenseur de contrante selon les crtères de Von Mses et de Tresca.

2 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : /45 Table des Matères 1 Introducton... 4 Prélmnares Lmte d endurance et le cumul de dommage, cas unaxal...5. Crtère de fatgue, cas multaxal Défnton d une ampltude de chargement dans le cas multaxal Défnton du plan de csallement Crtères de MATAKE (plan crtque) et de DANG VAN Crtère de MATAKE Crtère de DANG VAN MATAKE et DANG VAN modfés pour le cumul de dommage Calcul du plan de csallement maxmal Expresson des contrantes de csallement dans le plan Exploraton des plans de csallement Calcul de la dem-ampltude de csallement Présentaton générale du calcul du cercle crconscrt Descrpton de la méthode du cercle passant par tros ponts Cas général Cas partculers Crtères avec plans crtques Nombre de cycles à la rupture et endommagement Crtères à ampltude varable Crtère de MATAKE modfé Crtère de DANG VAN modfé Crtère de FATEMI-SOCIE modfé Descrpton Identfcaton du coeffcent k Chox des axes de projecton Projecton sur un axe Constructon du second axe Projecton du csallement Cas où l axe 1 est l axe ntal Détermnaton du second axe Projecton d un pont quelconque sur l axe ntal Cas où l axe est l axe ntal Détermnaton du second axe Projecton d un pont quelconque sur l axe ntal Défnton du module et orentaton de l axe de projecton Crtères en formule...35

3 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 3/ Pour le chargement pérodque Pour le chargement non-pérodque Grandeur et composantes ntrodutes dans Code_Aster Calculé par CALC_FATIGUE Calculé par POST_FATIGUE Autres crtères Crtère VMIS_TRESCA Composantes de Code_Aster utlsées Concluson Bblographe Descrpton des versons du document...43

4 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 4/45 1 Introducton Les modèles d endurance en fatgue multaxale sous chargement pérodque sont des modèles du type suvant : VAR ampltude a VAR moyenne b, où b est le seul d endurance en csallement smple, et a une constante postve sans dmenson. VAR ampltude est une certane défnton de l ampltude (la moté de la varaton) du cycle de chargement et VAR moyenne est une varable en lason avec la contrante (ou parfos la déformaton) ou les contrantes (ou parfos les déformatons) moyennes. Les modèles se dstnguent par des défntons dfférentes de VAR ampltude et VAR moyenne. Pour passer de l endurance au cumul du dommage, on ntrodut une contrante équvalente défne par : σ eq =VAR ampltude a VAR moyenne. Cette contrante équvalente nous donne un dommage untare sur la courbe de fatgue. Comme le second membre de l néquaton b correspond au seul en csallement, l faut une courbe de fatgue en csallement. Mas les courbes de fatgue en csallement sont rares pusque dffcles à obtenr, on essae donc d utlser les courbes de fatgue en tracton compresson alternée. Pour cela l faut multpler la contrante équvalente par un coeffcent correctf de l ordre de 3. Les modèles macroscopques de MATAKE (plan crtque) et mcro macro de DANG-VAN sont décrts. On montre que sous certanes hypothèses le modèle de DANG-VAN est smlare au modèle macroscopque de MATAKE. La seule dfférence résde dans la varable VAR moyenne : DANG-VAN utlse la presson hydrostatque, tands que MATAKE emploe la contrante normale sur le plan d ampltude de csallement maxmale. Après avor défn le plan de csallement, nous exprmons la contrante de csallement dans ce plan. Les plans de csallement sont ensute explorés selon une méthode décrte dans la référence [bb4] qu consste à découper la surface d une sphère en morceaux de talles égales. Les vecteurs normaux étant connus nous détermnons alors pour chaque plan les ponts qu sont les plus élognés les uns des autres. Parm ceux-c nous trouvons les deux ponts qu sont le plus élognés l un de l autre. Cela étant fat nous utlsons, s nécessare, la méthode du cercle passant par tros ponts afn d obtenr le cercle crconscrt au trajet de chargement. Dans la premère parte de ce document nous présentons les modèles d endurance en fatgue multaxal sous chargement pérodques, ans que la noton de cumul de dommage. Le passage de l endurance au cumul de dommage est également abordé. Dans la seconde parte les crtères de MATAKE et de DANG-VAN sont ensute présentés sous les aspects lmte d endurance et cumul de dommage sous chargement pérodque. La trosème parte est consacrée à la défnton du plan de csallement, de l expresson des contrantes de csallement dans ce plan et enfn, à la manère d explorer les plans de csallement. La quatrème parte est dédée à la détermnaton du cercle crconscrt au trajet de csallement dans le plan du même nom. Enfn nous décrvons les crtères et les grandeurs qu sont ntroduts dans Code_Aster. Après avor étendu les modèles de MATAKE et DANG-VAN au cumul de dommage sous chargement pérodque, nous présentons l adaptaton de ces modèles au cumul de dommage sous chargement non pérodque. Ans, la cnquème parte est consacrée à la défnton de la contrante équvalente élémentare. Nous décrvons auss le crtère de FATEMI-SOCIE modfé. La sxème parte est dévolue à la manère de sélectonner l axe (ou les deux axes) sur lequel est projeté l hstorque de la csson. La septème parte est dédée à la projecton proprement dte de la ponte du vecteur csson sur cet axe ou ces deux axes. Enfn, concernant les crtères de MATAKE et DANG-VAN formulés en cumul de dommage sous chargement non pérodque, nous décrvons les grandeurs qu sont ntroduts dans Code_Aster.

5 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 5/45 Prélmnares Dans cette parte nous tratons les notons de lmte d endurance et de cumul de dommage. Nous présentons également la forme générale des crtères de fatgue..1 Lmte d endurance et le cumul de dommage, cas unaxal Dans le cas unaxal, la défnton rgoureuse du seul d endurance est la dem-ampltude (la moté de la varaton) de chargement défn en contrante en dessous de laquelle la durée de ve est nfne. Toutefos, comme en pratque la durée de ve ne peut jamas être nfne, on défnt des lmtes d endurance à 10 7, 10 8, etc. cycles de chargement. Il exste une autre façon de vor les choses : pusqu en pratque la durée de ve nfne n exste pas, on utlse la noton de cumul de dommage. L approche par le cumul de dommage consste à défnr une lmte en nombre de cycles au delà de laquelle le dommage cumulé est égal à un. Ans la lmte à 10 7 veut dre qu après 10 7 cycles le dommage cumulé est égal à 1.. Crtère de fatgue, cas multaxal Dans la lttérature un certan nombre de crtères ont été proposés pour défnr le seul d endurance sous chargement cyclque multaxal. La forme générale de ces crtères est : VAR ampltude a VAR moyenne b éq.-1 où b est le seul d endurance en csallement smple, a est une constante postve sans dmenson. VAR ampltude est une certane défnton de la dem-ampltude (la moté de la varaton) du cycle et VAR moyenne est une varable en lason avec la contrante (ou parfos la déformaton) ou les contrantes (ou parfos les déformatons) moyennes. Dfférents modèles se dstnguent par des défntons dfférentes de VAR ampltude et VAR moyenne. Pour passer de l endurance au cumul du dommage, on peut défnr une contrante (ou une déformaton) équvalente : σ eq =VAR ampltude a VAR moyenne éq.- Cette contrante équvalente nous donne un dommage untare sur la courbe de fatgue. Comme le second membre de l néquaton [éq.-1] correspond au seul en csallement, l faut une courbe de fatgue en csallement. Mas les courbes de fatgue en csallement sont rares pusque dffcles à obtenr, on essae donc d utlser les courbes de fatgue en tracton compresson alternée. Pour cela l faut être cohérent au mons au nveau du seul d endurance c est à dre multpler eq par une constante de l ordre de 3 pour pouvor utlser la courbe de fatgue en tracton. La valeur 3 est la valeur exacte pour un crtère du type Mses, expérmentalement ce coeffcent est plus pett que 3..3 Défnton d une ampltude de chargement dans le cas multaxal Dans Code_Aster, l exste deux défntons d ampltude de chargement dans le cas multaxal : A : rayon (dem damètre) de la sphère crconscrte au trajet du chargement ; B : la moté du maxmum de la dstance entre deux ponts quelconques du trajet. Il est clar que dans le cas d un chargement se défnssant sur une sphère, A et B donnent la même ampltude. En revanche, s on prend un trajet (b-dmensonnel) sous forme d un trangle équlatéral de coté l, la défnton A nous donne l / 3, tands que la défnton B nous donne l /. Pour travaller dans un cadre conservatf nous prenons comme défnton de l ampltude (dem-varaton) d un trajet de chargement le rayon de la sphère (ou cercle pour le cas D) crconscrte.

6 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 6/45.4 Défnton du plan de csallement En un pont M d un mleu contnu nous exprmons le tenseur des contrantes dans un repère orthonormé O, x, y, z. A la normale untare n de composantes n x, n y, n z dans le repère orthonormé, nous assocons le vecteur contrante F=.n de composantes F x, F y, F z. Ce vecteur F peut se décomposer en un vecteur normal à n et un scalare porté par n, sot : F= N n éq.4-1 où N représente la contrante normale et le vecteur la contrante de csallement. Dans le repère O, x, y, z, les composantes du vecteur sont notées : x, y, z. Le vecteur se dédut drectement de [éq.4-1] et de la contrante normale : N =F. n d'où =F F. n n. éq.4- y F n O x z Fgure.4-a : Représentaton des vecteurs de contrante F et de contrante de csallement

7 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 7/45 3 Crtères de MATAKE (plan crtque) et de DANG VAN Ic nous explctons les crtère de MATAKE et de DANG VAN à la fos du pont de vue lmte d endurance et du pont de vue du cumul de dommage. 3.1 Crtère de MATAKE Dans ce type de crtère le calcul des champs de contrante et de déformaton est fat sous l hypothèse d élastcté, confer référence [bb1]. Comme l a été dt dans le chaptre, dans le cas multaxal le crtère d endurance s écrt généralement sous la forme : VAR ampltude a VAR moyenne b éq Ampltude de chargement : Dans le cas du crtère de MATAKE à chaque pont de la structure (ou pont de Gauss pour un calcul aux éléments fns) pour calculer VAR ampltude on procède de la façon suvante : [1] pour chaque plan de normale n on calcule l ampltude de csallement en détermnant le cercle crconscrt au trajet de csallement dans ce plan ; [] on cherche la normale n pour laquelle l ampltude est maxmale. Cette ampltude est désgnée par n. Contrante moyenne : Pour le calcul de VAR moyenne on procède de la façon suvante : [1] sur le plan de normale n on calcule sur un cycle la contrante normale maxmale désgnée par N max n. Le crtère d endurance s écrt : n a N max n b, où a et b sont deux constantes postves et b représente la lmte d endurance en csallement smple. Identfcaton des constantes : pour détermner les constantes a et b l faut utlser deux essas smples. Deux possbltés exstent : Un essa de csallement pur plus un essa de tracton compresson alterné. Dans ce cas les constantes sont données par : b= 0 a= d 0 0 / d 0, où 0 représente la lmte d endurance en csallement pur alterné et d 0 la lmte d endurance en tracton-compresson pure alternée. Deux essas de tracton compresson, un alterné et l autre non. Les constantes sont données par : 1 a=, 1 m m b= 1 1 m où 1 est l ampltude de chargement pour le cas alterné et pour le cas où la contrante moyenne est non nulle. 3. Crtère de DANG VAN

8 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 8/45 On suppose que le matérau reste globalement élastque tands qu l se plastfe localement. L hypothèse physque ntéressante du modèle est que le matérau s adapte localement (l devent élastque après être passé par la plastcté) en-dessous de la lmte d endurance, ce qu correspond à la non ntaton de fssure. Au-dessus de la lmte d endurance l y a localement accommodaton plastque donc ntaton de fssure. Les hypothèses de base de l nteracton mcro-macro, Ln-Taylor, permettent d écrre : j Loc t = j t j t j t = j p t On désgne la contrante locale par j Loc t, la contrante globale par j t, la contrante résduelle locale par j t et par j p t la déformaton plastque locale. Dès qu l y a adaptaton la déformaton plastque locale devent constante et donc la contrante résduelle locale également. Crtère de plastcté : En un pont du mleu contnu (où l y a une répartton des drectons crstallographques aléatore des grans), on suppose qu l y a un seul gran qu est plastfé et ce, suvant un seul système de glssement. Ce système de glssement sera celu qu sera le plus favorablement orenté, c est à dre, le gran dans lequel se produra la plus grande scsson (la projecton du vecteur csallement sur une drecton donnée). Le glssement se fat dans les plans de normale n= n 1,n,n 3 et la drecton de glssement est défne par le vecteur m= m 1, m, m 3. Les deux vecteurs n et m sont orthogonaux. La lo de Schmd dt que pour qu l n y at pas de glssement rréversble (déformaton plastque) l faut que la scsson, ne dépasse pas un certan seul, sot : m n Loc n,m,t y Loc t 0 éq 3.-1 où Loc loc t =a j j et a j = 1 m n j n m j Le dessn de la [Fgure 3.-a] montre que la valeur maxmale de Loc Loc, désgnée par max, s obtent par la projecton orthogonale de F Loc = Loc j n j sur le plan de normale n. La relaton [éq 3.-1] dot notamment être vérfée dans le cas où l on remplace Loc alors : Loc par son majorant max, celle-c s écrt n Loc max n,t Loc y t 0 éq 3.- où y Loc t est le seul de la scsson mcroscopque ou local. d écroussage. y Loc t dépend des varables

9 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 9/45 n F Loc Loc m Fgure 3.-a : Projecton de F Loc Loc max sur le plan de normale n On chost un écroussage mcroscopque du type sotrope lnéare. Cela permet de montrer l exstence d un domane d adaptaton [bb], [bb3]. A l état adapté par analoge avec la formule : Loc * j t = j t j on a, s l on se place dans le plan n, m de telle manère que la scsson est maxmale, la formule suvante : Loc max n,t = n,t * n où n,t est le vecteur csallement macroscopque défn dans la [Fgure 3.-b] et où * n est le vecteur csallement résduel mcroscopque (ndépendant du temps pusque nous sommes à l état adapté). Crtère de fatgue Introducton de la presson maxmale : DANG VAN utlse à la place de la contrante normale sur un plan, comme cela est fat dans le modèle MATAKE, la presson hydrostatque maxmale sur un cycle. Le crtère s écrt donc : MAX n,t Loc Loc max n,t a P max b Comme les pressons hydrostatques locale et globale sont dentques le crtère devent : MAX n,t Loc max n,t a P max b Pour une presson maxmale postve nous avons : MAX n,t Loc max n,t a P max b

10 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 10/45 Pour une presson toujours négatve on peut prendre P max =0 pour rester conservatf. Hypothèse sur * n Dans le cas radal où la drecton du csallement maxmal est défne à l avance on peut calculer de façon exacte * n. Dans le cas général DANG VAN propose la méthode suvante pour fare un calcul smplfé de * n. On donne pour un plan n le trajet macroscopque du vecteur csallement défn précédemment. Le vecteur csallement résduel compte tenu de l hypothèse précédente est défn par MO, où M est le centre du cercle crconscrt au trajet de l extrémté du vecteur csallement dans le plan de csallement. Trajet macroscopque (n) Loc (n) max M Loc (n,t) max P Loc (n) max (n,t) Plan de csallement 0 Trajet mcroscopque Fgure 3.-b : Trajets mcro/macro dans le plan de csallement Formulaton Fnale : prenant en compte les deux formules : Loc n,t = n,t * n et MAX Loc n, t a P max b max on se retrouve avec MAX n,t n,t max MP a P max b où P est un pont courant du trajet de csallement dans le plan de normale n. Identfcaton des constantes : pour détermner les constantes a et b l faut utlser deux essas smples. Deux possbltés exstent : Un essa de csallement pur plus un essa de tracton compresson alternée. Dans ce cas les constantes sont données par : b= 0 a= 0 d 0 / / d 0 /3. Deux essas de tracton compresson, un alterné et l autre non. Les constantes sont données par : a= 3 1 b= 1. 1 m 1 m avec 1 l ampltude de chargement pour le cas alterné et pour le cas où la contrante moyenne est non nulle. m

11 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 11/ MATAKE et DANG VAN modfés pour le cumul de dommage Les modèles de MATAKE et DANG VAN ont été proposés ntalement pour l étude de la lmte d endurance. Comme la durée de ve nfne n exste pas on utlse des lmtes d endurance à, 10 6, 10 7, 10 n cycles de chargement. Ans les crtères ntaux de MATAKE et DANG VAN sont présentés comme des crtères de dépassement d un seul et ne donnent pas un cumul de dommage. L utlsaton, notamment du crtère de DANG VAN, dans les ndustres automobles est approprée pusque l objectf cherché est le non dépassement d un seul d endurance contrarement aux problématques d EDF où on souhate suvre l endommagement. Ans nous utlsons pour le cumul de dommage une contrante équvalente de MATAKE ou de DANG VAN défne par : MATAKE DANG VAN eq = n * a N max n *. eq =MAX n, t MP ap max La prse en compte du tratement de surface est résumé à la prse en compte de l effet néfaste du pré-écroussage sur la durée de ve en déformaton contrôlée [bb5]. Dans les modèles de MATAKE et DANG VAN l effet du pré-écroussage est prs en compte en multplant la dem-ampltude de contrante de csallement par un coeffcent correctf supéreur à l unté, noté c p : MATAKE DANG VAN eq =c p n* a N max n*, eq =c p MAX n, t MP ap max Ces contrantes équvalentes sont à utlser sur une courbe de fatgue en csallement. Pour l utlsaton sur une courbe de fatgue en tracton compresson l faut multpler ces contrantes équvalentes par un coeffcent correctf, noté c : MATAKE DANG VAN eq = c p n* a N max n*, eq = c p MAX n,t MP ap max

12 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 1/45 4 Calcul du plan de csallement maxmal Nous utlsons c la défnton du plan de csallement ntrodute au paragraphe [.4]. Pratquement, pour nous le pont M du mleu contnu sera un pont de Gauss. 4.1 Expresson des contrantes de csallement dans le plan Pour des rasons de symétre nous fasons varer la normale untare n selon une dem-sphère à l ade des angles et, cf. [Fgure 4.1-a]. Dans le repère O, x, y, z, le vecteur normal untare n est défn par : n x =sn cos n y =sn sn n z =cos. éq Nous ntrodusons un nouveau repère O,u,v,n où n est perpendculare au plan de csallement et où u et v sont dans ce plan, cf. [Fgure 4.1-a]. Dans le repère O, x, y, z les vecteurs untares u et v sont respectvement défns par : u x = sn u y =cos u z =0, éq 4.1- v x = cos cos v y = cos sn v z =sn. éq Fgure 4.1-a : Repérage de la normale n à un plan par les angles et

13 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 13/45 Dans le plan, les composantes u et v du vecteur représentant la contrante de csallement sont obtenues par les relatons : u =u =u x x u y y u z z, éq v =v =v x x v y y v z z. éq Sur la [Fgure 4.1-b], nous avons représenté les contrantes de csallement dans le plan ans que le repère O, u,v,n. y F v O n u x z Fgure 4.1-b : Représentaton du vecteur contrantes de csallement dans le plan A présent notre problématque est de détermner pour chaque pont de Gauss ou chaque nœud d un mallage le plan de normale n tel que sot maxmal. Pour ce fare nous fasons varer la normale untare n. 4. Exploraton des plans de csallement La méthode que nous présentons c est ssue de la référence [bb4]. Son prncpe est le suvant. Comme ndqué dans le paragraphe [ 4.1], pour des rasons de symétre nous fasons varer la normale untare n selon une dem-sphère à l ade des angles et, cf. [Fgure 4.1-a]. La queston qu vent mmédatement est quel dot être le pas de varaton des angles et. En effet, l faut trouver un optmum entre la fnesse d exploraton et un temps de calcul rasonnable dans la mesure où l est nécessare de fare cette opératon à chaque pont de Gauss du mallage. L auteur de la référence [bb4] propose de dvser la surface de la dem sphère en facettes d égales surfaces au centre desquelles la normale untare n est postonnée, cf. [Fgure 4.-a]. En pratque les surfaces ne sont pas strctement égales mas du même ordre de grandeur. La valeur du pas de varaton de, vaut 10 degrés. L angle vare selon un pas qu est foncton de l angle. Plus est fable ou proche de 180 degrés et plus dot être grand pour conserver une are de facette à peu près constante. C est au vosnage de =90 que est le plus pett. Le [Tableau 4.-1] résume le découpage qu a été retenu.

14 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 14/45 Avec cette méthode le nombre de facette donc le nombre de vecteurs normaux à explorer est égal à 09 pour une dem sphère. x Fgure 4.-a : Dvson de la surface de la dem sphère en facettes ,857 11, 5 Nombre de facettes , , , 5 1, 857 Nombre de facettes Nombre de facettes Tableau 4.-1 : Nombre de facette en foncton de et de

15 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 15/45 Afn de détermner le vecteur normal n qu donnera le plan de csallement maxmal avec une bonne précson, l auteur préconse de recourr à quatre affnages successfs supplémentares. Le premer consste à explorer hut nouvelles facettes autour du vecteur normal ntal, comme l llustre la [Fgure 4.-b]. max Facette Fm = max = Fgure 4.-b : Représentaton des hut facettes supplémentares autour de n Dans ce cas est égal à deux degrés et pour ]0, 180 [, Δϕ= Δγ/sn γ. Pour les tros derners affnages, est égal à 1, 0.5 et 0.5 degrés, respectvement. Cas partculer. Dans le cas où la facette F m est perpendculare à y, on consdère les sx facettes tout autour d elle stuées à =5 et défnes respectvement par =0, =60, =10, =180, =40 et =300, cf. [Fgure 4.-c]. Fgure 4.-c : Localsaton des facettes explorées lorsque F m est normale à y

16 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 16/45 Pour chaque pont de Gauss ou chaque nœud nous explorons les 09 vecteurs normaux n. A chaque vecteur normal est assocé une hstore du csallement concrétsée par un certan nombre de ponts stués dans le plan de csallement d axes u et v. A présent l s agt de trouver le cercle crconscrt aux ponts appartenant au plan de csallement de manère à en dédure la dem ampltude de csallement. 5 Calcul de la dem-ampltude de csallement La problématque est donc de trouver le cercle crconscrt à un certan nombre de ponts stués dans un plan. La dem-ampltude de csallement sera égale au rayon du cercle crconscrt. 5.1 Présentaton générale du calcul du cercle crconscrt La méthode que nous utlsons est une méthode exacte qu se décompose en quatre étapes. Étape 1 Nous encadrons les ponts et nous détermnons les coordonnées des quatre cons du cadre dans le repère 0, u, v, et les coordonnées du centre du cadre O cf. [Fgure 5.1-a] et [Fgure 5.1-c]. Dans le cas partculer où le cadre se résume à une lgne horzontale ou vertcale la dem longueur de la lgne est égale à la dem-ampltude de csallement. Étape L objectf de la deuxème étape est de sélectonner les deux ponts les plus élognés. Afn de ne pas examner la dstance entre toutes les pares de ponts possbles, nous construsons quatre secteurs, cf. [Fgure 5.1-a] et [Fgure 5.1-c]. Ces secteurs se stuent aux quatre cons du cadre et sont délmtés d une part, par le contour du cadre et d autre part, par un arc de cercle dont centre est le con opposé et le rayon le grand côté du cadre qu en fat mnore la dstance entre les deux ponts les plus élognés. Fnalement, nous évaluons les dstances entre les ponts des quatre secteurs deux à deux : dstances entre les ponts du secteur 1 et les ponts du secteur ; dstances entre les ponts du secteur 1 et les ponts du secteur 3 ; dstances entre les ponts du secteur 1 et les ponts du secteur 4 ; dstances entre les ponts du secteur et les ponts du secteur 3 ; dstances entre les ponts du secteur et les ponts du secteur 4 ; dstances entre les ponts du secteur 3 et les ponts du secteur 4. Dans le cas partculer où le rapport du pett côté du cadre sur le grand côté est strctement nféreur à 3/ 4 nous n évaluons pas les dstances entre les ponts appartenant aux secteurs 1 et n les dstances entre les ponts des secteurs 3 et 4, cas de l exemple de la [Fgure 5.1-a]. Étape 3 Dans la trosème étape nous construsons les domanes 1 et dans lesquels nous chercherons les ponts qu se trouvent en dehors du cercle crconscrt ntal, cf. Étape 4. La consttuton des domanes 1 et a pour but de rédure le nombre de ponts à explorer lors de l étape 4. Les prncpes de constructons de ces deux domanes sont les suvants. A partr des ponts mleux des deux grands côtés du cadre ( Om 1 et Om, cf. [Fgure 5.1-b] et [Fgure 5.1-d]) nous traçons un arc de cercle dont le rayon correspond au mnorant de la valeur de la dem ampltude de csallement et est égal à la dem longueur du grand côté du cadre. Du centre du cadre O nous traçons quatre arcs de cercle dont le rayon est également le mnorant de la valeur de la dem ampltude de csallement. S O le centre du cercle crconscrt ntal a une composante selon l axe u qu le place entre Om 1 et O, alors s l exste un pont dont la dstance à O est supéreur à R le rayon du cercle crconscrt ntal, l ne peut être que dans le domane 1, cf. [Fgure 5.1-b].

17 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 17/45 (Umn, Vmax) Secteur 1 13 Secteur 1 16 v (Umax, Vmax) (Umn, Vmax) DOMAINE DOMAINE v (Umax, Vmax) OMI1 O OMI u OMI1 O OMI u DOMAINE DOMAINE 1 (Umn, Vmn) Secteur 4 Secteur (Umax, Vmn) (Umn, Vmn) 7 8 (Umax, Vmn) Fgure 5.1-a : Exemple1, localsaton des secteurs v Fgure 5.1-b : Exemple1, localsaton des domanes v (Umn, Vmax) 9 OMI 8 (Umax, Vmax) (Umn, Vmax) 9 OMI 8 (Umax, Vmax) Secteur 1 7 Secteur DOMAINE O 6 u 1 O 6 u 5 DOMAINE 5 Secteur 4 Secteur 3 (Umn, Vmn) 3 OMI1 4 (Umax, Vmn) (Umn, Vmn) 3 OMI1 4 (Umax, Vmn) Fgure 5.1-c : Exemple, localsaton des secteurs Fgure 5.1-d : Exemple, localsaton des domanes

18 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 18/45 Étape 4 Le but de la quatrème étape est de trouver le cercle crconscrt par la méthode du cercle passant par tros ponts, cf. [ 5.]. Pour ce fare, nous calculons le pont mleu O 1 assocé aux deux ponts les plus élognés que nous notons P 1 et P, nous en dédusons la valeur d un premer rayon noté R 1. En foncton de la poston de O 1 par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons sot dans le domane 1, sot dans le domane, s l y a un pont stué à une dstance supéreure à la dem dstance mesurée entre les deux ponts les plus élognés P 1 et P. Notons P 3 un tel pont. S l n y a pas de pont tel que P 3 alors la dem ampltude de csallement est égale à R 1, cf. [Fgure 5.1-c]. En revanche, s P 3 exste nous cherchons les coordonnées du pont stué à égale dstance de P 1, P et P 3 ; nous notons ce pont O. Nous obtenons ans un nouveau rayon, R donc une nouvelle dem ampltude de csallement. De nouveau, en foncton de la poston de O par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons sot dans le domane 1, sot dans le domane, s l y a un pont stué à une dstance supéreure à R de O. Notons P 4 un tel pont. S l n y a pas de pont tel que P 4 alors la dem ampltude de csallement est égale à R. En revanche, s P 4 exste nous cherchons le plus pett cercle crconscrt aux quatre ponts : P 1, P, P 3 et P 4 en utlsant successvement la méthode du cercle passant par tros ponts, cf. [ 5.]. Cela nous fournt un nouveau centre O 3 et un nouveau rayon R 3. Comme précédemment, en foncton de la poston de O 3 par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons sot dans le domane 1, sot dans le domane, s l y a un pont stué à une dstance supéreure à R 3 de O 3. Notons P 5 un tel pont. S l n y a pas de pont tel que P 5 alors la dem ampltude de csallement est égale à R 3. En revanche s un pont tel que P 5 exste nous avons cnq ponts, s nous voulons utlser la méthode précédente, où l n y a que quatre ponts en jeu, l est nécessare d élmner un des cnq ponts. Cela ne peut pas être le derner : P 5, donc nous conservons de l tératon précédente les tros ponts qu ont perms de détermner O 3 et R 3, c est-à-dre le plus pett cercle crconscrt. Supposons que P 1 sot ans élmné. Nous cherchons donc le plus pett cercle crconscrt aux quatre ponts : P, P 3, P 4 et P 5 en utlsant successvement la méthode du cercle passant par tros ponts, cf. [ 5.]. Cela nous fournt un nouveau centre O 4 et un nouveau rayon R 4. En foncton de la poston de O 4 par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons sot dans le domane 1, sot dans le domane, s l y a un pont stué à une dstance supéreure à R 4 de O 4. S ce n est pas le cas la dem ampltude de csallement est égale à R 4 et le cercle crconscrt a pour centre O 4, cf. [Fgure 5.1-f]. A l nverse, s un tel pont exste nous refasons une tératon dentque à la précédente.

19 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 19/45 Fgure 5.1-f : Exemple, recherche du cercle crconscrt Fgure 5.1-e : Exemple1, recherche du cercle crconscrt

20 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 0/45 5. Descrpton de la méthode du cercle passant par tros ponts Dans ce paragraphe nous traterons le cas général, pus les cas partculers Cas général Pour détermner le cercle crconscrt à tros ponts P 0, P 1 et P, cf. [Fgure 5..1-a], nous procédons en tros étapes. Fgure 5..1-a : Détermnaton du cercle passant par tros ponts Étape 1 Nous calculons les coordonnées des tros ponts mleux : M 0, M 1 et M, cf. [Fgure 5..1-a]. Étape Nous détermnons les normales passant par les tros ponts mleux : M 0, M 1 et M, cf. [Fgure 5..1-a]. Ces normales sont des drotes du type v=a u b où a et b sont des constantes qu l est possble de calculer avec les coordonnées des ponts P 0, P 1, P, M 0, M 1 et M. Décrvons, à présent, la manère de détermner ces normales. 1) Normale au segment P 0 P 1 passant par M 1 Nous détermnons les coordonnées d un pont M 1 ' par rotaton de 90 du segment P 0 M 1 : U M 1 '=U M1 V M1 V P0 V M 1 '=V M1 U P0 U M1 éq où U k et V k avec k= M 1 ' ', M1, P0 représentent les composantes u et v des ponts M 1, M 1 et P 0. Nous en dédusons les constantes a 0 et b 0 de la drote représentant la normale au segment P 0 P 1 passant par M 1 :

21 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 1/45 a 0 = V M 1 ' V M1 / U M 1 ' U M1 b 0 = U ' M 1 V M1 U M1 V ' M 1 / U M 1 ' U M1 éq Dans le cas partculer où U M1' U M1 =0, nous forçons a 0 et b 0 à zéro et nous obtenons les coordonnées du centre O du cercle crconscrt aux ponts P 0, P 1 et P par une méthode spécfque décrte dans le paragraphe [ 5..]. ) Normale au segment P 0 P passant par M 0 Nous détermnons les coordonnées d un pont M0 ' par rotaton de 90 du segment P 0 M 0 : U M0' =U M0 V M0 V P0 V M0 ' =V M0 U P0 U M0 éq où U k et V k avec k= M0', M0, P0 représentent les composantes u et v des ponts M0 ', M 0 et P 0. Nous en dédusons les constantes a 1 et b 1 de la drote représentant la normale au segment P 0 P passant par M 0 : a 1 = V M0 ' V M0 / U M0 ' U M0 b 1 = U M0 ' V M0 U M0 V M0 ' / U M0 ' U M0 éq Dans le cas partculer où U M0' U M0 =0, nous forçons a 1 et b 1 à zéro et nous obtenons les coordonnées du centre O du cercle crconscrt aux ponts P 0, P 1 et P par une méthode spécfque décrte dans le paragraphe [ 5..]. 3) Normale au segment P 1 P passant par M Nous détermnons les coordonnées d un pont M ' par rotaton de 90 du segment P 1 M : U M' =U M V M V P1 V M '=V M U P1 U M éq ' où U k et V k avec k= M', M, P1 représentent les composantes u et v des ponts M, M et P 1. Nous en dédusons les constantes a et b de la drote représentant la normale au segment P 1 P passant par M : b = U M ' a = V M ' V M / U M ' U M V M U M V ' M / U M ' U M éq Dans le cas partculer où U M ' U M =0, nous forçons a et b à zéro et nous obtenons les coordonnées du centre O du cercle crconscrt aux ponts P 0, P 1 et P par une méthode spécfque décrte dans le paragraphe [ 5..].

22 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : /45 Étape 3 Dans le cas général, nous dédusons des constantes a 0, b 0, a 1, b 1, a et b les coordonnées du centre O du cercle crconscrt aux ponts P 0, P 1 et P de tros manère dfférentes. Notons O 0, O 1 et O le même centre O, obtenu de tros façons dfférentes, et U k et V k, où k=o 0, O 1, O, représentent les composantes u et v des ponts O 0, O 1 et O : U O0 = b 1 b 0 / a 0 a 1 V O 0 = a 0 b 1 a 1 b 0 / a 0 a 1 U O1 = b b 0 / a 0 a V O 1 = a 0 b a b 0 / a 0 a U O = b b 1 / a 1 a V O = a 1 b a b 1 / a 1 a éq éq éq Après avor vérfé que les égaltés : U O0 U O 1 U O et V O 0 V O 1 V O sont satsfates nous détermnons le rayon du cercle crconscrt en calculant la dstance entre O et un des tros ponts P 0, P 1 ou P. 5.. Cas partculers Dans ce paragraphe nous tratons les tros cas partculers de l étape du paragraphe [ 5..1]. Cas partculer où U M 1 ' U M1 =0 Dans ce cas nous obtenons mmédatement les composantes u et v du centre O par : U O =U M1 V O = a 1 b a b 1 / a 1 a éq Cas partculer où U M 0 ' U M0 =0 Ic les composantes u et v du centre O sont données par : U 0 =U M0 V O = a 0 b a b 0 / a 0 a éq 5..- Cas partculer où U M ' U M =0 Dans ce derner cas, les u et v du centre O sont données par : U 0 =U M V O = a 0 b 1 a 1 b 0 / a 0 a 1 éq La valeur du rayon du cercle crconscrt est obtenue de la même manère que dans le cas général ; c est-à-dre, en calculant la dstance entre O et un des tros ponts P 0, P 1 ou P.

23 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 3/ Crtères avec plans crtques Dans ce paragraphe nous donnons la lste des crtères avec plans crtques, cf. [bb3], qu sont programmés ans qu un descrptf succnct. Notaton : n : normale au plan dans lequel l ampltude de csallement est maxmale ; n : ampltude de csallement dans un plan de normale n ; N max n : contrante normale maxmale sur le plan de normale n au cours du cycle ; 0 : lmte d endurance en csallement pur alterné ; d 0 : lmte d endurance en tracton-compresson pure alternée ; N m n : contrante normale moyenne sur le plan de normale n au cours du cycle ; max n : déformaton normale maxmale sur le plan de normale n au cours du cycle ; m n : déformaton normale moyenne sur le plan de normale n au cours du cycle ; P : presson hydrostatque ; c p : effet néfaste du pré-écroussage en déformaton contrôlée, c p 1. Crtère de MATAKE n a N max n b éq où a et b sont deux constantes données par l utlsateur, elles dépendent des caractérstques matéraux et valent : a= d 0 0 / d 0 b= 0. En outre, nous défnssons une contrante équvalente au sens de MATAKE, notée eq n : eq n = c p n a N max n f t, où f /t représente le rapport des lmtes d endurance en flexon et torson alternées. Crtère de DANG VAN n a P b éq 5.3- où a et b sont deux constantes données par l utlsateur, elles dépendent des caractérstques matéraux et valent : a= m b= m 1 m 1. De plus, nous défnssons une contrante équvalente au sens de DANG VAN, notée eq n : eq n = c n p a P c, t où c/t représente le rapport des lmtes d endurance en csallement et tracton alternés. 5.4 Nombre de cycles à la rupture et endommagement

24 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 4/45 A partr de eq n et d une courbe de Wöhler nous dédusons le nombre de cycles à la rupture : N n, pus l endommagement correspondant à un cycle : D n =1/ N n. 6 Crtères à ampltude varable Les crtères à ampltude varable sont ms en œuvre lorsque le chargement n est pas pérodque. Quand le chargement n est pas pérodque l est nécessare de décomposer le trajet de chargement sub par la structure en sous-cycles élémentares à l ade d une méthode de comptage de cycles. Dans le cas où le chargement est non radal l n y a pas de méthode de comptage multaxale éprouvée. En conséquence nous chosssons, comme dans la lttérature, d utlser la méthode de comptage RAINFLOW [bb7] qu a beson en entrée d un scalare. C est pourquo nous rédusons à une dmenson la scsson, qu est la projecton orthogonale du vecteur contrante sur un plan, en projetant la ponte du vecteur scsson sur un ou deux axes. Une autre dfférence mportante avec les crtères à plan crtque est que ce n est pas l ampltude de csallement qu permet de sélectonner le plan crtque mas le cumul de dommage qu résulte des sous-cycles élémentares. La méthode de projecton que nous utlsons est explctée dans les chaptres 7 et 8. Dans la sute nous décrvons la façon dont nous avons fat évoluer les crtères de MATAKE et de DANG VAN pour les adapter aux cas où le chargement est non pérodque. 6.1 Crtère de MATAKE modfé Dans le contexte du cumul de dommage et d un chargement pérodque, le crtère de MATAKE [bb6], s écrt de la façon suvante : n * eq =c p a N max n * éq où eq représente la contrante équvalente au sens du crtère de MATAKE et avec : n * normale au plan pour lequel l ampltude de csallement est maxmale ; n * / dem-ampltude de csallement maxmale ; a constante qu peut-être défne par un essa en csallement pur alterné et en tracton-compresson alternée ou par un essa en tracton-compresson alternée et en tracton-compresson non alternée ; N max n * contrante normale maxmale sur le plan de normale n * au cours du cycle ; c p effet néfaste du pré-écroussage en déformaton contrôlée c p 1. Pour calculer le dommage cumulé dans le cas où le chargement est non pérodque la premère étape consste à détermner la scsson (vecteur csallement) dans un plan de normale n à tous les nstants du chargement. La technque qu est utlsée pour ce fare est décrte dans la référence [bb6]. Dans la seconde étape nous commençons par rédure l hstorque de la scsson à une foncton undmensonnelle du temps en projetant la ponte du vecteur scsson sur un ou deux axes défns dans le plan de normale n consdéré, cf. chaptre 7 et 8. Ans l évoluton de la scsson projetée se résume à la relaton : p = f t ce qu permet d utlser la méthode de comptage RAINFLOW. Sur la fgure [Fgure 6.1-a] nous montrons les valeurs attentes par l extrémté du vecteur csallement dans un plan de normale n avant projecton sur un axe ou deux axes et sur la fgure [Fgure 6.1-b] ces mêmes valeurs après projecton sur un axe. À ce stade l nous faut ntrodure la noton de contrante équvalente élémentare eq. Pratquement cette noton a la même sgnfcaton que la noton de contrante équvalente défne par la relaton [éq 6.1-1], mas elle s applque aux sous-cycles élémentares ssus de la méthode de comptage RAINFLOW. Donc à partr de la scsson projetée p nous calculons des contrantes équvalentes élémentares eq.

25 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 5/45 Csson dans un plan de normale n (MPa) v u Fgure 6.1-a : Pontes du vecteur csson avant projecton Csson projetée sur l'axe 1 (MPa) p Numéro d'ordre Fgure 6.1-b : Pontes du vecteur csson après projecton sur un axe La méthode RAINFLOW décompose p = f t en sous-cycles élémentares pérodques et brse l hstorque du chargement, comme nous le montrons sur la fgure [Fgure 6.1-c]. Ans, pour une normale n donnée la méthode RAINFLOW fournt pour chaque sous-cycle élémentare deux valeurs, ponts haut et bas, de la ponte du vecteur csson p1 n et p n assocées à deux valeurs de contrante normale maxmale N 1 n et N n.

26 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 6/45 Sous cycles élémentares (MPa) p Numéros d'ordre ou numéros des nstants Numéros des sous cycles Numéros des ponts Fgure 6.1-c : Les qunze sous-cycles élémentares après tratement par la méthode RAINFLOW Pour le crtère de MATAKE nous défnssons la contrante équvalente élémentare de la manère suvante : eq n =c p Max p1 n, p n Mn p1 n,τ p n a Max N 1 n,n n,0 éq 6.1- Pour le cumul de dommage, cette contrante équvalente élémentare est à utlser avec une courbe de fatgue en csallement. S on utlse une courbe de fatgue en tracton compresson l faut multpler [éq 6.1-] par un coeffcent correctf qu correspond au rapport des lmtes d endurance en flexon et en torson alternée et que nous notons : eq n = c p Max p1 n, p n Mn τ p1 n, p n a Max N 1 n, N n,0 éq 6.1-3

27 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 7/45 A partr de eq n et d une courbe de Wöhler nous dédusons le nombre de cycles à la rupture N n et le dommage élémentare D n =1/ N n correspondant à un sous-cycle élémentare. Nous utlsons un cumul de dommage lnéare. Sot k le nombre de sous-cycles élémentares, pour une normale n fxée, le dommage cumulé est égal à : k D n = D n éq =1 Pour détermner le vecteur normal n correspondant au dommage cumulé maxmal l sufft de fare varer n et de calculer [éq 6.1-4]. Le vecteur normal n correspondant au dommage cumulé maxmal est alors donné par : 6. Crtère de DANG VAN modfé D n * = Max D n n Dans le cadre de l endommagement et d un chargement pérodque, le crtère de DANG VAN s écrt : eq n * n * =c p a P où eq représente la contrante équvalente au sens du crtère de DANG VAN et avec : n * normale au plan pour lequel l ampltude de csallement est maxmale ; n * / dem-ampltude de csallement maxmale ; a constante qu peut-être défne par un essa en csallement pur alterné et en tracton-compresson alternée ou par un essa en tracton-compresson alternée et en tracton-compresson non alternée ; P presson hydrostatque maxmale au cours du cycle ; c p effet néfaste du pré-écroussage en déformaton contrôlée c p 1. Lorsque le chargement est non pérodque, nous calculons l endommagement par le même procédé que celu utlsé pour le crtère de MATAKE. La seule dfférence résde dans la défnton de la contrante équvalente élémentare : n, p n Mn p1 n, p n eq n = Max p1 où P 1 et P représentent les deux valeurs de la presson hydrostatque attachées à chaque sous-cycle élémentare. Cette contrante équvalente élémentare est à utlser avec une courbe de fatgue en csallement. S l on dot employer une courbe de fatgue en tracton compresson l est nécessare de multpler [éq 6.-1] par le coeffcent correctf : eq n = c p Max p1 n, p n Mn p1 a Max P 1 n, P n,0 éq 6.-1 n, p n a Max P 1 n, P n,0 Après avor défn les crtères de MATAKE et de DANG-VAN dans le cadre du cumul de dommage et d un chargement non pérodque, l nous reste à précser la technque de projecton que nous proposons. 6.3 Crtère de FATEMI-SOCIE modfé Descrpton

28 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 8/45 Le crtère de FATEMI et SOCIE est un crtère de type plan crtque [9], [10]. Intalement formulé pour des chargements pérodques, nous en proposons une verson adaptée aux chargements non pérodques. Dans ce crtère le paramètre a est défn comme sut : a=k/ y où y est la lmte d élastcté et k un coeffcent qu dépend du matérau. Nous revendrons sur la façon de calculer k. Ce crtère mêle le csallement en déformaton et la contrante normale maxmale. Nous proposons de défnr une déformaton équvalente «élémentare» de la manère suvante : eq n = c p Max p1 n, p n Mn p1 n, p n [ 1 a Max N 1 n, N n, 0 ] où p1 et p représentent les déformatons de csallement extrêmes du sous-cycle numéro. Horms une défnton dfférente du crtère, la démarche utlsée pour calculer le dommage est dentque aux deux crtères précédents. Enfn, c est également le dommage maxmum qu permet de sélectonner le plan crtque. On notera que les déformatons de csallement utlsées dans le crtère de FATEMI et de SOCIE sont des dstorsons j ( j ). S on utlse les déformatons de csallement du type tensorel ϵ j ( j ), l faut les multpler par un facteur car j =ϵ j Identfcaton du coeffcent k L auteur propose d dentfer le coeffcent k à partr d essas en tracton-compresson pure et en torson alternée pure sur un tube mnce [9], [10]. Afn de ne pas ntrodure de bas, les deux sortes d essas dovent être réalsées sur le même type d éprouvette. Avant de présenter la formule qu défnt k nous ntrodusons les notatons suvantes : ν : coeffcent de Posson, (vaut généralement 0,3 pour nos matéraux) ; ν p : coeffcent de d ncompressblté des déformatons plastques (vaut 0,5 dans [9] et [10]) ; E : Module d élastcté de Young ; G : Module de csallement élastque ; N f : Nombre de cycles à la rupture. Contrarement aux deux crtères précédents celu-c peut trater les cas où l subsste des zones élastoplastques dans la structure. Le coeffcent k est défn par la relaton suvante : ' f G k=[ N f b o ' f N f c o ' 0,00 n' ' f N f b, 1 ' f E N f b ' 1 p f N f c 1] k ' où les termes : f d essas. ', b o, f ', c o, f ', b, f, c, k ' et n ' sont défns par le truchement Essas en tracton-compresson pure

29 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 9/45 Les essas en tracton-compresson pure permettent d dentfer les coeffcents : ' ' f, b, f, c, k ' et n'. e p f e = f E (N ) b f f p c f (N f ) b c a = = ' f k E N f b ' f N f c n N f = k n p y = n k ( 0,00) N f Les courbes c-contre utlsent des échelles Log-Log. 1 p Essas en torson alternée pure

30 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 30/45 Les essas en torson alternée pure permettent d dentfer les coeffcents : ' f, b o, f ', c o. e p f = f G (N ) bo f e bo N f a = f = G (N ) f bo + f (N f ) co a = ' = f G n f b 0 ' f N f c 0

31 Ttre : Crtères mult-axaux d amorçage en fatgue Date : 1/10/013 Page : 31/45 7 Chox des axes de projecton En ce qu concerne la projecton de l extrémté du vecteur csson nous proposons deux optons : une projecton sur un axe, une projecton sur deux axes. L axe de l opton 1 est détermné de la même façon que le premer axe de l opton. Le second axe de l opton est orthogonal au premer axe de cette opton. 7.1 Projecton sur un axe Nous nous plaçons dans un plan de normale n donnée où chaque pont représente la poston de la ponte du vecteur csallement à un nstant, pour plus de détals vor la référence [bb6]. Dans ce plan nous construsons le plus pett cadre qu content tous les ponts représentant l extrémté du vecteur csson à chaque nstant. Les deux dagonales du cadre nous permettent de défnr deux axes : l axe 1 correspond au segment AC, et l axe correspond au segment DB, cf. [Fgure 7.1]. A Secteur 1 axe P1 v O Secteur B P4 P3 axe1 P D C Secteur Secteur 4 Fgure 7.1-a 3 u P5 Secteur 1 A axe O axe1 Secteur B D C Secteur Secteur 4 Fgure 37.1-b Fgure 7.1 : Défnton des axes de projecton Nous chosssons a pror l axe de projecton parm les axes 1 et parce que la dagonale du cadre est plus grande que le grand côté du cadre ce qu a pour vertu de dlater un peu les ponts projetés. D autre part les chargements qu nous ntéressent sont d orgne thermque ce qu fat que les ponts représentant l évoluton de la ponte du vecteur csson, dans les plans de normale n, sont le plus souvent algnées sur un axe, comme nous le montrons sur la fgure [Fgure 6.1-a]. Les secteurs 1,, 3 et 4 sont construts de la même manère que dans la référence [bb6]. Seuls les ponts qu se trouvent dans ces secteurs sont projetés orthogonalement sur les axes 1 et. Nous défnssons l axe de projecton comme étant l axe sur lequel la dstance entre deux ponts projetés est la plus grande. Par exemple, sur la [Fgure 7.1-a] l axe de projecton est l axe 1 pusque la longueur du segment P 3 P 4 est supéreure à la longueur du segment P 1 P. Cette défnton de l axe de projecton permet de s assurer que l axe de projecton retenu permettra de rendre compte de l ampltude de csallement projetée la plus grande. En foncton de la présence ou de l absence de ponts dans les secteurs 1,, 3 et 4 la détermnaton de l axe de projecton peut être mmédate, l n est alors pas nécessare de mettre en œuvre la procédure de sélecton décrte c-dessus. Pour plus de détals le lecteur pourra se reporter à l annexe 1. Un second axe est nécessare pour dstnguer le cas où les ponts représentant la ponte du vecteur csson sont algnés sur un axe du cas où ces ponts décrvent un cercle.