Contexte : nous étudions le cas de deux variables X et Y observés simultanément sur une même population de taille n > 1.
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- Andrée Barrette
- il y a 7 ans
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1 Exposé 8 : série statistique à deux variables umériques. Nuage de poits associé. Ajustemet affie par la méthode des moidres carrés. Droite de régressio. Applicatios. Prérequis : Niveau : Termiale ES -Série statistique à ue variable umérique et ses élémets caractéristiques (variace, écart type, etc.) -Equatio de droite das le pla affie euclidie -Triôme du secod degré : forme caoique, miimum Motivatio : o evisage ici le cas où deux caractères à la fois sot observés (taille et âge d u groupe d efats, superficie et redemet d u esemble de champs...). Il s agit alors de séries statistiques doubles. Le problème qui se pose est alors de savoir s il existe globalemet ue relatio etre les variables statistiques aisi défiies. Si c est le cas, le statisticie parle alors de corrélatio etre les variables. Cotexte : ous étudios le cas de deux variables X et Y observés simultaémet sur ue même populatio de taille >. Série statistique à deux variables. Présetatio du problème Exemple : o sélectioe 0 persoes iscrites à u stage de formatio. Avat le début de la formatio, ces stagiaires subisset ue épreuve A otée de 0 à 0. A l issue du stage, ue épreuve B idetique à la première est otée aussi de 0 à 0. Les résultats sot rassemblés das le tableau suivat. Quatifier, si elle existe, ue corrélatio etre les deux caractères.. Défiitio Epreuve A Epreuve B Défiitio : soitω={w,..., w } ue populatio de taille. O dit que deux variables X et Y défiisset surωue série statistique double (x i, y i ) i, avec X(ω)= x i et Y(ω)=y i, lorsque :. x x... x (ou y y... y, mais pas forcémet les deux e même temps). X(Ω) et Y(Ω) e sot pas des sigletos 3. les couples (x i, y i ) i sot deux à deux disticts Coséquece : moyee de (x i ) i : x= x i, variace de (x i ) i : V(X)= écart type de (x i ) i :σ x := V(X)= (x i x) Das l exemple : x=8.4, y=3,σ x = 3.686,σ y = 3.68 (calculatrice) Sources : Sabie, Bladie. Tapé par Gwedal Haudebourg, réalisé avec L A TEX. Mis à jour le 03/07/007. (x i x)
2 .3 Représetatio graphique : uage de poits Défiitio : das u repère othogoal (O, i, j ), o appelle uage de poits de la série statistique (x i, y i ) i l esemble des poits M i de coordoées (x i, y i ). Le poit G de coordoées (x, y) est appelé poit moye du uage. remarque : G est l isobarycetre du système de poits{m i } i, car G=bar{(M ; ),..., (M ; )}, doc G( x i ; y i )=(x, y) Das l exemple : afficher le uage de poits associé à la calculatrice. D X(Y) D Y(X) 8 M 0 6 M 5 M 8 4 M 4 G M 7 M 9 M M M M O Paramètres d ue série statistique double Défiitio : o appelle covariace du couple (X, Y) le réel oté C XY ouσ XY, ou ecore cov(x, Y) : C XY = (x i x)(y i y) Propriétés :. C XY = ( x i y i ) x.y. (a, b, c, d) R 4, cov(ax+ b, cy+ d)=a.cov(x, Y) 3. C XY σ X.σ Y, avec égalité sisi les poits M i (x i, y i ) sot aligés preuve : (3) par défiitio de la variace, λ R, V(λX+ Y) 0. Or V(λX+ Y)= (λx i + y i λx y) = [λ(x i x)+(y i y)] =λ V(X)+λC XY +V(Y).
3 Comme X(Ω) est pas u sigleto par hypothèse, V(X) est jamais ul. Il s agit doc d u triôme du secod degré, positif ou ul pour tout réelλ, doc so discrimiat est égatif ou ul (car e chage pas de sige), ie : (C XY ) V(X)V(Y) 0, d où C XY σ X σ Y. De plus, (C XY ) = V(X)V(Y) =0 λ 0 R tq. V(λ 0 X+ Y)=0 λ 0 tq. [λ 0 (x i x)+(y i y)] = 0...,λ 0 (x i x)+(y i y)=0, ce qui sigifie que les poits M i (x i, y i ) appartieet à la droite d équatioλ 0 (x x)+(y y)=0 Réciproquemet, s il existe ue droite d équatio y=ax+b telle que..., y i = ax i + b (ie les poits sot aligés), alors y=ax+b, et le calcul doe : (C XY ) =a [V(X)] = V(X)V(Y) Cela ous icite à itroduire le coefficiet de corrélatio r XY.5 Coefficiet de corrélatio liéaire Selo otre hypothèse,σ X etσ Y e sot pas ul. O peut doc poser : r XY = C XY σ X σ Y. Ce coefficiet r XY est appelé le coefficiet de corrélatio liéaire des variables X et Y. Propositio : (i) r XY (ii) Il y a égalité (ie r XY = ou -) sisi les poits sot aligés. (iii) le coefficiet de corrélatio r XY est ivariat par trasformatio affie sur les variables, ie : r ax+b,cy+d = r X,Y Ajustemet par la méthode des moidre carrés Etat doé ue série statistique à deux variables, existe t-il ue relatio etre les deux variables observées? La répose peut-être égative (o parlera alors de variables idépedates). La répose peutêtre assez imprécise à priori : les deux variables augmetet e même temps, ou X augmete quad Y dimiue. Nous allos voir e preat appui sur l aalyse du uage de poits, commet établir ue relatio foctioelle etre les variables. Nous étudieros plus particulièremet le cas ou le uage paraît se distribuer au voisiage d ue droite. Pricipe de la méthode : le pla état rapporté à u repère orthogoal (O, i, j ), soit (M i ) i le uage de poits de coordoées (x i, y i ) i. O cherche (si elle existe) ue droite D : y=ax+b qui ajuste l esemble des couples (x i, y i ) i, e miimisat la somme des carrés des distaces M i H i, où H i = pro j (Oy),D (M i ) (doc M i Hi = (y i ax i b) ). Autremet dit, o cherche des réels a, b pour lequel ϕ(a, b) := (y i ax i b) soit miimale. Nous allos motrer qu il existe ue uique droite redat miimale ϕ(a, b). Remarquos que le miimum deϕ(a, b) sera d autat plus petit que l aligemet des poits M i sera meilleur. A la limite, si les poits M i sot aligés, il existe ue droite uique aulatϕ(a, b). 3
4 D M H M 3 H 3 H 4 H M M 4 O Théorème : Il existe ue uique foctio affie x ax + b ajustat par la méthode des moidres carrés ue série statistique double (x i, y i ) i. Ses coefficiets sot doés par les relatios : a= C XY V(X), b = y a.x. De plus, cette droite passe par G(x, y). preuve :ϕ(a, b)= (y i ax i b) =b b docϕ(a, b)=b b(y ax)+ (y i ax i )+ (y i ax i ). Or (y i ax i ) Ecrivos ce triôme du secod degré sous sa forme caoique : ϕ(a, b)=[(b (y ax)) + (y i ax i ) (y ax) ] ϕ(a, b)=[(b (y ax)) + ( y i y )+a ( x i x ) a( (y i ax i )=(y ax), x i y i x.y)] ϕ(a, b)=[(b (y ax)) + a σ X a.c XY+σ Y ]=[(b (y ax)) + (aσ X C XY ) +σ σ Y C XY ] X ϕ(a, b)=[(b (y ax)) + (aσ X C XY ) + σ X σ Y C XY σ X σ ] X Il est clair queϕ(a, b) est miimal lorsque les deux premiers carrés sot uls (le troisième terme e dépedat pas de a et b), ce qui doe a= C XY σ et b=y ax. Le miimum deϕ(a, b) vaut doc X σ X σ X σ Y C XY σ X Défiitio : cette droite d équatio y=ax+b ajustat le uage de poits par la méthode des moidres carrés, est appelée droite de régressio (ou droite des moidres carrés) de Y par X, otée D Y(X). Remarques :. D Y(X) passe par G car : a.x+b=a.x+y ax=y. O peut aussi chercher la droite de régressio de X e Y (rôles iversés de X et Y), otée D X(Y) d équatio x=a.y+b qui ajuste le uage de poits (y i, x i ) i. E permutat X et Y, il viet : a = C XY V(Y) et b = x a y o a besoi das cette preuve de x i x = (x i x), cf. complémets 4
5 3. La droite D X(Y) passe aussi par le poit moye du uage G 4. Si C XY = 0 alors a=a = 0. Les deux droites de régressios D Y(X) et D X(Y) sot respectivemet paralèles à (Ox) et (Oy) 5. Les deux droites sot cofodues sisi a= a (les deux droites passat par G, de coeff. directeur a et a ), ie lorsque les poits sot aligés (les variables X et Y état liés par ue relatio affie). 6. Le coefficiet de corrélatio liéaire permet d estimer la corrélatio etre les deux variables X et Y. Plus les poits sot étroitemet aligés, plus la valeur absolue du coeff. e corrélatio sera proche de. O admet que l ajustemet affie est pertiet si r XY 0.75 Das l exemple : C XY = 9, xy=8, r XY Tracer D Y(X) et D X(Y) à la calculatrice. 3 Applicatios Das certais cas, le uage statistique laisse préssetir ue relatio foctioelle globale etre les caractères X et Y, mais il apparaît clairemet que cette relatio est pas affie. 3. Ajustemet par ue foctio expoetielle Si les poits M i (x i, y i ) sot proches de la courbe défiie par y=λa x, alors les poits P i (x i, l y) sot proches de la droite y = l λ + x. l a (et réciproquemet). La méthode cosiste doc à costruire le uage de poits P i (x i, l y i ) et à chercher la droite de régressio etre X et Y. Pour ce faire, o costruit le uage sur du papier gradué de faço arithmétique e abscisse et logarithmique e ordoée (cela ous doe la droite cherchée). Exemple : le tableau ci-dessous doe la productio auelle d ue usie de pâte à papier (e toes) e foctio de l aée : Aée Productio O trace le uage de poits correspodat au tableau. Pour l aée i, o ote p i la productio de pâte à papier et l i = l(p i ). O trace le ouveau uage de poits (i, l i ). E utilisat la calculatrice, o e déduit la droite d ajustemet des moidres carrés de l i e i. O e déduit la foctio d ajustemet de la productio e foctio de l aée. O peut aisi prévoir la productio des aées suivates : x=999.5, y=6.89, V(x)=5.5, C xy = 0.749, a=0.48, b= 79, 365 pour aée/l(productio) ; a=4.70, b=.53 pour aée/prod, où y=a b x (avec r=0.968, doc très boe corrélatio). 3. Ajustemet par ue foctio puissace Si les poits M i (x i, y i ) sot proches de la courbe y=λx a, alors les poits P i (l x i, l y i ) sot proches de la droite y = l λ + ax et réciproquemet. Pour ce faire, o costruit le uage sur du papier gradué de faço logarithmique e abscisse et e ordoée (cela ous doe la droite cherchée). 4 Complémets 4. Remarques. Les preuves importates de l exposé sot l iégalité de C-S, et théorême existece-uicité de la droite de régressio.. Si o présete la preuve (de C-S) comme ds cette exposé, e pas mettre C-S das les prérequis. Sio faire la preuve e utilisat ce théorème (gage du temps). 3. O a pas forcémet y y... y (cf. exemple). 5
6 4. Il existe d autres méthodes d ajustemet affie d ue série statistique double. O peut par exemple distiguer deux sous-esembles de la série statistique, et cosidérer la droite joigat les poits moye de chaque sous-uage (méthode de Meyer). Das ce cas, la droite obteue déped du découpage du uage e deux sous uages (la calculatrice propose u ajustemet e trois parties, avec la foctio med med : o obtiet trois poits M, M et M 3 qui sot les médiaes des valeurs de x et y, puis o trace la droite passat par le poit moye de ses trois poits, parallèlemet à M M 3 ). 5. Le théorême de Cauchy-Schwartz ous sert à motrer que r XY [, ]. 6. Si r XY 0 : croissat (cf. exemple) ; si r XY 0 : décroissat (ex : vitesse de la voiture, distace de freiage). 7. Le coefficiet de corrélatio est plus au programme e T-ES (et ce car viet du théorême de Cauchy-Schwartz). 8. Historiquemet, o omme la droite cherchée droite de régressio car Galto étudie e 877 la taille des efats de sujets de grade taille par rapports à la taille des parets ; cet écart à tedace à régresser (dimiuer) au court du temps vers la gradeur moyee de la populatio. La droite décrivat cette relatio fût aisi dite de régressio. 9. Stats : corrélatio etre deux caractères statistiques. Proba : variables aléatoires sot-elles idépedates? (o va des stats vers les proba.) C XY = E(XY) E(X)E(Y), et X, Y idépedates sisi C XY = 0, ie E(XY)=E(X)E(Y). 4. preuves preuve (CONSÉQUENCE) : o étudie ici des séries statistiques, la moyee est otée x et la fréquece f xi (ce qui correspod e terme probalistique à respectivemet l espérace E(X) et à la probabilitée P(X=x i )). O cosidère que les élémets (x i, y i ) ot tous le même poids, ie ue fréquece de, ie sous forme probalistique que P(X=x i )= = f x i, doc (avec des guillemets das les otatios) E(X)= x i P(X=x i )= x i f xi = x i =x. De plus E(X )= x i f x i = x i De même V(X)=E[(X E(X)) ]= (x i x). Or V(X)=E(X ) E(X), doc V(X)= x i -( x i ) = x i x preuve (PROPRIÉTÉSCOVARIANCE) : () simple calcul : C XY = (x i x)(y i y)= (x i y i + xy xy i x i y) = x i y i + xy - y x i - x y i = x i y i +xy-yx-xy= x i y i -xy () simple calcul : cov(ax+ b, cy+ d)= ((ax i + b)(cy i + d) (ax+b)(cy+d))=... preuve (COEFF.DECORRÉLATION) : (i) C XY σ X σ Y doc C XY σ X σ Y (ii) C XY =σ X σ Y les poits sot aligés (d après propriétés covariace). (iii) r ax+b,cy+d = C ax+b,cy+d = acc XY = C XY =r XY σ ax+b σ cx+d aσ X σ Y σ X σ Y 6
7 4.3 Autre méthode pour le miimum deϕ ϕ(a, b)= (y i ax i b) =ϕ(a, b)=b b(y ax)+ (y i ax i ), doc :ϕ(a, b)= (y i ax i b) C est u polyôme du secod degré e b, docϕadmet u miimum. O a : δϕ (a, b)=.b+ (y ax) δb Doc δϕ (a, b)=0 b=y ax. δb Doc ϕ(a, b) = (y i ax i b) = (y i ax i y+ax) = ( a(x i x)+(y i y)) =a. (x i x) + (y i y) -a. (x i x)(y i y). Doc δϕ δa (a, b)=0 a.. (x i x) +..C XY a= C XY V(X) 4.4 Lie de causalité Il est possible d avoir des séries statistiques x et y où les poits du uage sot presque aligés, sas qu il y ait u lie etre x et y (ex : x : ombre de hamburguers magés à Moscou au cours de l aée 986 ; y : ombre de joueurs de pétaques qui s iscrivet au grad touroi de Motélimard e 950). Il est très simple de costruire deux séries aisi : il suffit de predre des séries qui dépedet du temps, du type : X tq. X=α.t+β, Y tq. Y=α.t+β, doc t= X β, doc Y=α α α X+.β (β α ), doc Y= A.X+B α (pour u certai couple (A, B) R ). Doc les deux séries statistiques sot bie liés par ue relatio de type affie (sas qu il y ait forcémet ue relatio de cause à effet etre X et Y). 4.5 Itroductio de la droite des moidres carrés Il est de bo to d itroduire e T-ES la droite des moidres carrés via u tableur, pour bie faire setir au élève ce qu elle représete (et que ça marche bie ) : das ue coloe, o fait varier a, das ue autre o fait varier b, das ue troisième o étudie le réelϕ(a, b). 4.6 Chagemet de repère affie Que se passe t-il si o fait u chagemet de repère? Le droite des moidres carrés est t-elle chagée? Répose : la pete a e chage pas, b varie, la droite passe toujours par G(x, y) (qui lui varie) Preuve : soit X=x+C, Y= y+c a= C XY. Or V(X+ C)=V(X) (reveir à la défiitio de V(X)), V(X) et C X+C,Y+C = C XY. b=y a.x, or y et x variet, doc b varie. Pour tracer la ouvelle droite : trouver G(x, y), puis avec a cou, détermier b. 4.7 Méthode de Meyer O distigue deux sous-esembles de la série statistique, et o cosidére la droite joigat les poits moyes de chaque sous-uage. Das ce cas, la droite obteue déped du découpage du uage e deux sous uages. Il est itéressat de oter que parfois, cette méthode est plus judicieuse que la méthode d ajustemet des moidres carrés (par ue droite ou ue foctio). Ex : prod. liéaire des papier das ue usie, avec u trou au milieu du uage, causée par ue grève ou ue pae de machie. Au cotraire, la méthode de Meyer peut parfois être très mauvaise. Ex : uage e forme de haricot. 7
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