Licence M.A.S.S. parcours e conomie - 1e re anne e MATH Statistique descriptive et probabilite s

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1 Licece MASS parcours e coomie - 1e re ae e MATH Statistique descriptive et probabilite s

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3 i De tout cela il faut maiteat coclure, o poit certes qu o e doive étudier que l arithmétique et la géométrie, mais seulemet que ceux qui cherchet le droit chemi de la vérité e doivet s occuper d aucu objet à propos duquel ils e puisset obteir ue certitude égale aux démostratios de l arithmétique et de la géométrie R Descartes, Règles pour la directio de l esprit, Règle II

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5 CHAPITRE 1 Notios de base O défiit les otios de populatio et de variable Ue variable est quatitative quad elle pred des valeurs umériques ; sio elle est qualitative Ue variable permet de regrouper les idividus e classes L esemble des effectifs des différetes classes est repris das u tableau Il permet de calculer les pourcetages de chaque classe U tableau de cotigece est u tableau idiquat la répartitio d ue populatio suivat deux variables Il coduit au calcul des distributios margiales Des graphiques permettet de représeter la répartitio d ue populatio e classes ou suivat deux caractères 1 Variables Ue populatio est u esemble que l o observe : par exemple l esemble des foyers de la régio Rhôe-Alpes, l esemble des étudiats de l Uiversité de Savoie, l esemble des appartemets de la ville d Aecy U idividu est u élémet d ue populatio : par exemple u foyer de la régio Rhôe-Alpes, u étudiat de l Uiversité de Savoie, u appartemet de la ville d Aecy U échatillo est u sous-esemble d ue populatio : par exemple u groupe de 20 professeurs des écoles de la Haute-Savoie L effectif total est le ombre d idividus de la populatio ou de l échatillo Ue variable est ue correspodace qui attribue à chaque idividu ue valeur : par exemple la catégorie socio-professioelle (CSP) du chef de famille, l itérêt pour ue émissio de télévisio, le ombre de membres, les reveus auels d u foyer de la régio Rhôe-Alpes ; le sexe, le iveau d études, le ombre de frères ou sœurs, la taille d u étudiat de l Uiversité de Savoie ; le mode de chauffage, le cofort, le ombre de pièces, la superficie d u appartemet de la ville d Aecy Ue variable est quatitative quad elle pred des valeurs umériques Sio, elle est qualitative Ue variable quatitative est discrète quad l esemble des valeurs est fii ou déombrable Sio, elle est cotiue Ue variable qualitative est ordiale si ses valeurs peuvet être ordoées Sio, elle est omiale : 1

6 2 1 NOTIONS DE BASE Table 1 Variables sur l esemble des foyers de la régio Rhôe-Alpes Variable CSP du chef de famille itérêt pour le Joural télévisé ombre de membres reveus auels Nature qualitative, omiale qualitative, ordiale quatitative, discrète quatitative, cotiue Table 2 Variables sur l esemble des étudiats de l Uiversité de Savoie Variable sexe iveau d études ombre de frères ou sœurs taille Nature qualitative, omiale qualitative, ordiale quatitative, discrète quatitative, cotiue Table 3 Variables sur l esemble des appartemets de la ville d Aecy Variable mode de chauffage cofort ombre de pièces superficie Nature qualitative, omiale qualitative, ordiale quatitative, discrète quatitative, cotiue omiale qualitative ordiale variable quatitative discrète cotiue Les exemples idiqués se répartisset selo les tableaux 1, 2 et 3 Défiitio 11 État doée ue variable sur ue populatio, ue classe est u sous-esemble de la populatio dot tous les idividus ot la même valeur ou sot das le même itervalle ou groupe de valeurs Le ombre d idividus das chaque classe est appelé l effectif de la classe O défiit de la même maière des classes sur u échatillo Remarque 11 Les classes sot deux à deux disjoites et leur réuio est la populatio etière, ou l échatillo etier Doc la somme des effectifs des classes est égale à l effectif total de la populatio ou de l échatillo Exemple 11 O cosidère l esemble des foyers de la régio Rhôe-Alpes et la CSP du chef de famille O répartit les foyers das les classes : Agriculteurs exploitats ; Artisas, commerçats et chefs d etreprise ; Cadres et professios itellectuelles supérieures ; Professios itermédiaires ; Employés ; Ouvriers ; Retraités ; Autres et sas activité professioelle

7 2 TABLEAUX 3 Table 4 Répartitio des étudiats de 1ère aée de sociologie (Uiversité de Nice, 1995) Baccalauréat Effectif A ou L (littéraire) 46 B ou ES (écoomique et social) 52 C, D, E ou S (scietifique) 8 Techologique 75 Équivalece 23 Total 204 Table 5 Répartitio des accords des étudiats avec la propositio : La culture, c est ue ouverture sur les autres Niveau d accord Effectif Tout à fait d accord 527 Plutôt d accord 218 Plutôt pas d accord 35 Pas du tout d accord 6 No-répose 24 Total 810 O cosidère l esemble des étudiats de l Uiversité de Savoie et le ombre de frères ou sœurs O répartit les étudiats das les classes : 0; 1; 2; 3; 4; 5 et plus O cosidère l esemble des appartemets de la ville d Aecy et leur superficie O répartit les appartemets das les classes : < 10, [10, 20[, [20, 30[, [30, 40[, [40, 50[, [50, 60[, [60, 70[, [70, 80[, [80, 90[, [90, 100[, [100, 110[, [110, 120[, [120, 130[, [130, 140[, [140, 150[, Tableaux La répartitio par classes est résumée das u tableau, où sot idiqués les effectifs de chaque classe S il y a qu ue seule variable, o parle de série statistique simple Pour deux variables, o parle de série statistique double 21 Distributios à ue seule variable Le tableau 4 idique la répartitio par baccalauréat de 204 étudiats de 1ère aée de sociologie à l Uiversité de Nice e 1995 [23] Le tableau 5 idique la répartitio des étudiats des uiversités greobloises par iveau d accord avec la propositio suivate sur la culture La culture, c est ue ouverture sur les autres [3] Le tableau 6 idique la répartitio par ombres d efats (de 0 à 24 as) des familles e Frace au recesemet de 1990 [27] Le tableau 7 idique la répartitio par trache de reveus auels des cotribuables soumis à l impôt sur le reveu, e Frace e 1965 [14] Défiitio 12 O appelle fréquece d ue classe le quotiet de so effectif sur l effectif de la populatio totale Le pourcetage est le produit de la fréquece par 100

8 4 1 NOTIONS DE BASE Table 6 Répartitio des familles e Frace e 1990 Nombre d efats Effectif (e millios) 0 6, 5 1 3, 7 2 3, 3 3 1, 4 4 ou plus 0, 5 Total 15, 4 Table 7 Répartitio des cotribuables soumis à l impôt sur le reveu, e Frace e 1965 Classe de reveus (e fracs) Effectif (e milliers) iférieur à , à , à , à , à , à , à , et plus 81, 6 Total 8 230, 8 Table 8 Répartitio des étudiats de 1ère aée de sociologie (Uiversité de Nice, 1995) Baccalauréat Effectif Fréquece Pourcetage A ou L (littéraire) 46 0, , 5 B ou ES (écoomique et social) 52 0, , 5 C, D, E ou S (scietifique) 8 0, 039 3, 9 Techologique 75 0, , 7 Équivalece 23 0, , 3 Total 204 1, , 0 Remarque 12 La somme des fréqueces de toutes les classes est égale à 1 La somme des pourcetages de toutes les classes est égale à 100 Exemple 12 O repred les doées du tableau 4, que l o complète par le calcul des fréqueces et des pourcetages : o obtiet le tableau 8 O repred les doées du tableau 5, que l o complète par le calcul des fréqueces et des pourcetages : o obtiet le tableau 9 O repred les doées du tableau 6, que l o complète par le calcul des fréqueces et des pourcetages : o obtiet le tableau 10 O repred les doées du tableau 7, que l o complète par le calcul des fréqueces et des pourcetages : o obtiet le tableau 11 Pour ue variable quatitative ou qualitative ordiale, il peut être itéressat de calculer des effectifs cumulés : les classes sot ordoées et o fait correspodre

9 2 TABLEAUX 5 Table 9 Répartitio des accords des étudiats avec la propositio : La culture, c est ue ouverture sur les autres Niveau d accord Effectif Fréquece Pourcetage Tout à fait d accord 527 0, , 1 Plutôt d accord 218 0, , 9 Plutôt pas d accord 35 0, 043 4, 3 Pas du tout d accord 6 0, 007 0, 7 No-répose 24 0, 030 3, 0 Total 810 1, , 0 Table 10 Répartitio des familles e Frace e 1990 Nombre d efats Effectif (e millios) Fréquece Pourcetage 0 6, 5 0, , 2 1 3, 7 0, , 0 2 3, 3 0, , 4 3 1, 4 0, 091 9, 1 4 ou plus 0, 5 0, 032 3, 2 Total 15, 4 1, , 0 Table 11 Répartitio des cotribuables soumis à l impôt sur le reveu, e Frace e 1965 Classes de reveus (e fracs) Effectif (e milliers) Fréquece Pourcetage iférieur à , 3 0, 067 6, à , 4 0, , à , 0 0, , à , 7 0, , à , 0 0, , à , 0 0, 026 2, à , 8 0, 011 1, et plus 81, 6 0, 010 1, 0 Total 8 230, 8 1, , 0 à chaque classe la somme des effectifs des classes qui la précèdet (ou qui lui succèdet) O peut de même calculer des fréqueces cumulées ou des pourcetages cumulés La derière fréquece cumulée est égale à 1 Le derier pourcetage cumulé est égal à 100 Exemple 13 Le tableau 12 idique la répartitio e foctio de l âge des idividus propriétaires de leur résidece pricipale e Frace e 1992 [27] O a idiqué les fréqueces et les pourcetages des classes O e déduit le tableau 13 des effectifs cumulés, le tableau 14 des fréqueces cumulées, le tableau 15 des pourcetages cumulés Défiitio 13 État doée ue variable quatitative sur ue populatio et ue répartitio e classes associée, o appelle

10 6 1 NOTIONS DE BASE Table 12 Répartitio des idividus propriétaires de leur résidece pricipale (Frace, 1992) Classe d âge Effectif (e milliers) Fréquece Pourcetage [15, 30[ 350 0, 029 2, 9 [30, 40[ , , 6 [40, 50[ , , 8 [50, 60[ , , 0 [60, 75[ , , 3 [75, 110[ , , 4 Total , , 0 Table 13 Répartitio des idividus propriétaires de leur résidece pricipale (Frace, 1992) Classe d âge Effectif (e milliers) Effectif cumulé [15, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50, 60[ [60, 75[ [75, 110[ Table 14 Répartitio des idividus propriétaires de leur résidece pricipale (Frace, 1992) Classe d âge Fréquece Fréquece cumulée [15, 30[ 0, 029 0, 029 [30, 40[ 0, 166 0, 195 [40, 50[ 0, 228 0, 423 [50, 60[ 0, 180 0, 603 [60, 75[ 0, 283 0, 886 [75, 110[ 0, 114 1, 000 Table 15 Répartitio des idividus propriétaires de leur résidece pricipale (Frace, 1992) Classe d âge Pourcetage Pourcetage cumulé [15, 30[ 2, 9 2, 9 [30, 40[ 16, 6 19, 5 [40, 50[ 22, 8 42, 3 [50, 60[ 18, 0 60, 3 [60, 75[ 28, 3 88, 6 [75, 110[ 11, 4 100, 0 amplitude d ue classe la différece etre la valeur maximale et la valeur miimale prises par la variable das cette classe ;

11 2 TABLEAUX 7 Table 16 Répartitio des idividus propriétaires de leur résidece pricipale (Frace, 1992) Classe d âge Amplitude Valeur cetrale [15, 30[ 15 22, 5 [30, 40[ 10 35, 0 [40, 50[ 10 45, 0 [50, 60[ 10 55, 0 [60, 75[ 15 67, 5 [75, 110[ 35 92, 5 Table 17 Filière uiversitaire des étudiats, suivat la CSP d origie Filière Droit Éco Lettres Scieces Saté IUT CSP Élevée Moyee Modeste valeur cetrale la demi-somme de la valeur maximale et de la valeur miimale prises par la variable das cette classe Exemple 14 O repred les doées du tableau 12 qui doe la répartitio e foctio de l âge des idividus propriétaires de leur résidece pricipale e Frace e 1992 O idique das le tableau 16 l amplitude et la valeur cetrale de chaque classe Notatios O désige souvet ue variable par ue lettre majuscule : X, Y, O peut uméroter les idividus : i = 1, 2,, I : alors x i est la valeur prise par la variable X sur l idividu i O peut égalemet uméroter les classes : i = 1, 2,, I Si les classes correspodet à des valeurs de la variable, o ote x i la valeur que pred la variable X das la classe i Si les classes correspodet à des itervalles de valeurs, o ote [x[ i l itervalle des valeurs prises par la variable X das la classe i et x i la valeur cetrale de la classe i O ote i l effectif de la classe i, f i sa fréquece et q i so pourcetage Si o ote l effectif total, o a et i =, f i := i, f i = 1, 22 Distributios à deux variables q i := 100 f i q i = 100 Exemple 15 Le tableau 17 décrit la populatio étudiate e Frace, e , selo la filière uiversitaire suivie et la catégorie socio-professioelle d origie (après regroupemet) [4] Le tableau 18, qui résume ue equête meée auprès des étudiats de licece e [6], idique la variatio de la coaissace de la musique (ombre d œuvres musicales etedues au cocert) selo l origie sociale (CSP du père)

12 8 1 NOTIONS DE BASE Table 18 Variatio de la coaissace de la musique selo l origie sociale CSP du père Ruraux Employés Artisas, Cadres et et cadres commerçats et supérieurs ouvriers subalteres cadres moyes Nombre d œuvres De 1 à De 4 à Table 19 Mobilité professioelle du chef de méage croisée avec la mobilité résidetielle du méage Mobilité professioelle Mobilité résidetielle Das le tableau 19 o a idiqué la répartitio d u échatillo de 650 méages suivat la mobilité professioelle du chef de méage (ombre de périodes d activité professioelle, d emplois successifs ou de chagemets de statuts ou grades) et la mobilité résidetielle du méage (ombre de logemets successifs) [4] Défiitio 14 O appelle tableau de cotigece u tableau qui décrit ue populatio e cosidérat simultaémet deux variables Les cases du tableau cotieet les effectifs des classes pour les différetes valeurs ou itervalles de valeurs des deux variables O peut calculer la fréquece de chaque classe e divisat l effectif de la classe par l effectif total O peut égalemet calculer le pourcetage de chaque classe e multipliat la fréquece de la classe par 100 Les sommes des effectifs par liges ou par coloes sot appelées effectifs margiaux Le quotiet d u effectif margial sur l effectif total est ue fréquece margiale C est la somme des fréqueces de toutes les cases de la lige, ou de la coloe Le pourcetage margial est le produit de la fréquece margiale par 100 C est la somme des pourcetages de toutes les cases de la lige, ou de la coloe L esemble des fréqueces margiales (par liges ou par coloes) est ue distributio margiale Exemple 16 O repred les doées du tableau 17, que l o complète par le calcul des totaux margiaux : o obtiet le tableau 20 O repred les doées du tableau 18, que l o complète par le calcul des totaux margiaux : o obtiet le tableau 21 O repred les doées du tableau 19, que l o complète par le calcul des totaux margiaux : o obtiet le tableau 22 Notatios O cosidère deux variables X et Y

13 2 TABLEAUX 9 Table 20 Filière uiversitaire des étudiats, suivat la CSP d origie Filière Droit Éco Lettres Scieces Saté IUT Total CSP Élevée Moyee Modeste Total Table 21 Variatio de la coaissace de la musique selo l origie sociale CSP du père Ruraux Employés Artisas, Cadres Total et et cadres commerçats et supérieurs ouvriers subalteres cadres moyes Nombre d œuvres De 1 à De 4 à Total Table 22 Mobilité professioelle du chef de méage croisée avec la mobilité résidetielle du méage Mobilité professioelle Total Mobilité résidetielle Total O peut uméroter les idividus : k = 1, 2,, K : alors x k est la valeur prise par la variable X et y k est la valeur prise par la variable Y sur l idividu k O peut aussi uméroter les classes Si les classes correspodet à des valeurs de la variable et si la variable X pred les valeurs x 1,, x I et la variable Y pred les valeurs y 1,, y J, alors (i, j) est le uméro de la classe qui correspod à la valeur x i de la variable X et y j de la variable Y Si les classes correspodet à des itervalles de valeurs et si la variable X pred des valeurs das les itervalles [x[ 1,, [x[ I et la variable Y pred des valeurs das les itervalles [y[ 1,, [y[ J, alors (i, j) est le uméro de la classe qui correspod à l itervalle de valeurs [x[ i de la variable X et à l itervalle de valeurs [y[ j de la variable Y O ote i,j l effectif, f i,j la fréquece et q i,j le pourcetage de la classe (i, j) Si est l effectif total, o a f i,j := i,j, q i,j := 100 f i,j

14 10 1 NOTIONS DE BASE Table 23 Tableau croisé suivat la variable X (liges) et la variable Y (coloes) Y y 1 y 2 y J Total X x 1 1,1 1,2 1,J 1, x 2 2,1 2,2 2,J 2, x I I,1 I,2 I,J I, Total,1,2,J et O ote i,j =, i, :=,j := i,j, f i, := i,j, f,j := f i,j = 1, f i,j, q i, := f i,j, q,j := q i,j = 100 q i,j, q i,j Ce sot les effectifs margiaux, les fréqueces margiales et les pourcetages margiaux Alors i, est l effectif de la classe qui correspod à la valeur x i ou à l itervalle de valeurs [x[ i de la variable X, f i, est sa fréquece et q i, so pourcetage De même,,j est l effectif de la classe qui correspod à la valeur y j ou à l itervalle de valeurs [y[ j de la variable Y, f,j est sa fréquece et q,j est so pourcetage O a f i, = i,, q i, = 100 f i,, f,j =,j, q,j = 100 f,j et ( ) ( ) i, = i,j =,,j = i,j =, f i, = q i, = ( ) f i,j = 1, ( ) q i,j = 100, f,j = q,j = ( ) f i,j = 1, ( ) q i,j = 100 Les otatios sot reprises das le tableau 23 (pour des classes qui correspodet à des valeurs des variables) Si l o veut comparer la distributio d ue variable Y suivat les valeurs d ue variable X, les effectifs des différetes classes de la variable X doivet être rameés à ue base commue : par exemple 100 par calculs de pourcetages Exemple 17 O a iterrogé des étudiats des uiversités greobloises e leur demadat leur iveau d accord avec l assertio La culture, c est ue ouverture sur

15 2 TABLEAUX 11 Table 24 Degré d accord avec l opiio sur la culture, croisé avec le iveau d études (e effectifs) Niveau d étude Bac+1 Bac+2 Bac+3 Bac+4 Total Degré d accord Tout à fait d accord Plutôt d accord Pas d accord Total Table 25 Degré d accord avec l opiio sur la culture, selo le iveau d études (e pourcetages) Niveau d étude Bac+1 Bac+2 Bac+3 Bac+4 Esemble Degré d accord Tout à fait d accord 58,30 62,12 69,31 82,93 67,05 Plutôt d accord 34,89 32,83 25,93 13,41 27,74 Pas d accord 6,81 5,05 4,76 3,66 5,22 Total 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 Table 26 Répartitio des iveaux d études e foctio de l accord avec l opiio sur la culture (e pourcetages) Niveau d étude Bac+1 Bac+2 Bac+3 Bac+4 Total Degré d accord Tout à fait d accord 26,00 23,34 24,86 25,81 100,00 Plutôt d accord 37,61 29,82 22,48 10,09 100,00 Pas d accord 39,02 24,39 21,95 14,63 100,00 Esemble 29,90 25,19 24,05 20,87 100,00 les autres Le tableau 24 idique la répartitio des 786 étudiats ayat répodu, selo le degré d accord et le iveau d études [3] O fait l aalyse du tableau 24 e s itéressat à la distributio des types de répose pour chaque iveau d études O remplace chaque coloe par la coloe des pourcetages obteus e divisat les effectifs das chaque case par l effectif total de la coloe et e multipliat le résultat par 100 O obtiet le tableau 25 : o explique l opiio sur la culture par le iveau d études La coloe Esemble cotiet les pourcetages margiaux O peut égalemet faire l aalyse du tableau 24 e s itéressat à la distributio des iveaux d études pour chaque type de répose O remplace chaque lige par la lige des pourcetages obteus e divisat les effectifs das chaque case par l effectif total de la lige et e multipliat le résultat par 100 O obtiet le tableau 26 : o compare les liges etre elles, et à la lige Esemble Cette lige cotiet les pourcetages margiaux Calculer les fréqueces ou les pourcetages par rapport à l effectif total du tableau peut avoir de l itérêt das certais cas : pour comparer plusieurs tableaux représetat les mêmes variables pour des populatios différetes ou pour aalyser des tables de mobilité, ou décrivat des relatios La somme des pourcetages das

16 12 1 NOTIONS DE BASE Table 27 CSP du fils selo la CSP du père e 1993 (e milliers) CSP du Agri- Artisa, Cadre, Professio Employé Ouvrier fils culteur commer- professio iterçat, itel- médiaire chef d lectuelle etreprise supérieure CSP du père Agri culteur Artisa, commerçat, chef d etreprise Cadre, professio itellectuelle supérieure Professio itermédiaire Employé Ouvrier les cases de la diagoale (pour lesquelles les deux variables preet la même valeur) mesure le pourcetage de reproductio sociale (pour les tables de mobilité) ou de réciprocité (pour les relatios) Exemple 18 Le tableau 27 croise, pour ue populatio de hommes âgés de 40 à 59 as e 1993 ayat (ou ayat eu) u emploi, la CSP qui est la leur au momet de l equête (coloes du tableau) et la CSP de leur père (e lige) : o doe les effectifs e milliers 1 Les pourcetages par rapport à l effectif total sot idiqués das le tableau 28 La somme des pourcetages das les cases de la diagoale mesure le pourcetage de cotiuité sociale : das l exemple, il est égal à 34, 91% Exemple 19 Le tableau 29 doe la répartitio e pourcetages des couples suivat la CSP des pères des cojoits e Frace, e 1964 [7] La somme des pourcetages das les cases de la diagoale mesure le pourcetage de réciprocité : das l exemple idiqué, le pourcetage d homogamie est de 45, 1% O ote X la CSP du père de l homme, Y la CSP du père de la femme et o admet que les variables X et Y sot ordiales Alors la somme des pourcetages das les cases au-dessus de la diagoale (pour lesquelles X < Y ) est le pourcetage 1 Tableau issu de l equête sur la Formatio et la Qualificatio Professioelle 1993 de l INSEE doé das le recueil Doées sociales 1996

17 3 GRAPHIQUES 13 Table 28 CSP du fils selo la CSP du père e 1993 (e pourcetages) CSP du Agri- Artisa, Cadre, Professio Employé Ouvrier fils culteur commer- professio iterçat, itel- médiaire chef d lectuelle etreprise supérieure CSP du père Agri- 4, 28 1, 35 1, 79 2, 54 1, 39 6, 06 culteur Artisa, 0, 23 4, 09 2, 99 2, 79 0, 93 2, 77 commerçat, chef d etreprise Cadre, 0, 05 0, 90 4, 42 1, 73 0, 70 0, 56 professio itellectuelle supérieure Professio 0, 08 0, 93 3, 74 3, 16 1, 01 1, 61 itermédiaire Employé 0, 02 0, 81 2, 46 3, 57 1, 23 2, 99 Ouvrier 0, 32 3, 39 3, 79 9, 43 4, 17 17, 73 d hypergamie masculie : ici 29, 4% La somme des pourcetages das les cases audessous de la diagoale (pour lesquelles X > Y ) est le pourcetage d hypogamie masculie : ici 25, 5% (o a évidemmet 45, , , 5 = 100, 0) Les hommes fot plus souvet de beaux mariages que les femmes 3 Graphiques Si X est ue variable quatitative pour laquelle les classes correspodet à des itervalles de valeurs (c est toujours le cas pour des variables cotiues), o appelle desité d ue classe le quotiet de so effectif par so amplitude L histogramme de X est u dessi qui décrit la répartitio de la populatio e classes Les limites de classe sot portées sur l axe des abscisses et les desités sot portées sur l axe des ordoées Chaque classe est représetée par u rectagle dot la base est proportioelle à l amplitude de classe et dot la hauteur est proportioelle à la desité de classe La surface du rectagle est doc proportioelle à l effectif (et aussi à la fréquece ou au pourcetage) de la classe Quad les amplitudes des classes sot égales, la hauteur de chaque rectagle est égalemet proportioelle à l effectif (et aussi à la fréquece ou au pourcetage) de la classe Exemple 110 (repris de [10]) Le tableau 30 doe la répartitio par tailles d u groupe d efats O obtiet l histogramme de la figure 1

18 14 1 NOTIONS DE BASE Table 29 Origie sociale des cojoits (e pourcetages) selo la CSP de leur père CSP du Ouvrier Culti- Ouvrier Artisa, Employé Cadre Cadre père de agricole vateur commer- moye supéla femme çat rieur, professio libérale CSP du père de l homme Ouvrier 1, 6 1, 6 1, 1 0, 2 0, 6 0, 0 0, 1 agricole Culti- 1, 2 19, 2 4, 7 3, 3 2, 0 0, 4 0, 7 vateur Ouvrier 1, 1 4, 3 13, 3 3, 3 4, 2 0, 7 0, 8 Artisa, 0, 4 2, 5 3, 4 5, 1 1, 9 0, 6 1, 2 commerçat Employé 0, 3 1, 5 3, 2 1, 6 3, 2 0, 7 1, 0 Cadre 0, 0 0, 3 0, 5 0, 7 0, 4 0, 3 0, 3 moye Cadre 0, 0 0, 8 0, 8 1, 2 0, 8 0, 5 2, 4 supérieur professio libérale Table 30 Taille (e cm) d u groupe d efats Taille Effectif de 80 à mois de 90 3 de 90 à mois de de 95 à mois de de 100 à mois de de 105 à mois de de 110 à mois de Total 75 Exemple 111 Das le tableau 31 o a relevé l âge au baccalauréat de 76 étudiates de 2ème aée de sociologie à l Uiversité de Nice e 1991 [23] O obtiet l histogramme de la figure 2 Exemple 112 O repred les doées du tableau 12 qui idique la répartitio e foctio de l âge des idividus propriétaires de leur résidece pricipale e Frace e 1992 : o obtiet l histogramme de la figure 3 Soit X ue variable quatitative cotiue : le polygoe des effectifs cumulés de X est u dessi qui décrit la croissace des effectifs cumulés des classes Les limites

19 3 GRAPHIQUES Figure 1 Histogramme des tailles d u groupe d efats Table 31 Âge au baccalauréat des étudiates de 2ème aée de sociologie (Uiversité de Nice, 1991) Trache d âge Effectif [16; 16, 5[ 2 [16, 5; 17[ 1 [17; 17, 5[ 1 [17, 5; 18[ 8 [18; 18, 5[ 20 [18, 5; 19[ 10 [19; 19, 5[ 9 [19, 5; 20[ 14 [20; 20, 5[ 4 [20, 5; 21[ 4 [21; 21, 5[ 2 [21, 5; 22[ 1 Total 76 de classe sot portées sur l axe des abscisses et les effectifs cumulés sot portés sur l axe des ordoées Le premier sommet a pour abscisse la valeur miimale de la variable das la première classe et pour ordoée 0 Pour 1 < i I, le i-ième sommet a pour abscisse la valeur miimale de la variable das la classe i et pour ordoée l effectif cumulé de la classe i 1 Le derier (I + 1) sommet a pour abscisse la valeur maximale de la variable das la derière classe et pour ordoée l effectif cumulé de la derière classe (l effectif total) Les sommets sot

20 16 1 NOTIONS DE BASE Figure 2 Histogramme des âges au baccalauréat des étudiates de 2ème aée de sociologie (e effectif) Figure 3 Histogramme des âges des idividus propriétaires de leur résidece pricipale (e effectif/aée) joits par des liges O peut de même tracer u polygoe des fréqueces cumulées, u polygoe des pourcetages cumulés Exemple 113 O repred les doées du tableau 30 idiquat la répartitio par tailles d u groupe d efats O le complète par le calcul des effectifs cumulés :

21 3 GRAPHIQUES 17 Table 32 Taille (e cm) d u groupe d efats Taille Effectif Effectif cumulé de 80 à mois de de 90 à mois de de 95 à mois de de 100 à mois de de 105 à mois de de 110 à mois de Figure 4 Polygoe des effectifs cumulés des tailles d u groupe d efats o obtiet le tableau 32 Le polygoe des effectifs cumulés est représeté par la figure 4 Exemple 114 O repred les doées du tableau 31 idiquat l âge au baccalauréat de 76 étudiates de 2ème aée de sociologie à l Uiversité de Nice e 1991 O le complète par le calcul des effectifs cumulés : o obtiet le tableau 33 Le polygoe des effectifs cumulés est représeté par la figure 5 Exemple 115 O repred les doées du tableau 15 qui idique les pourcetages cumulés associés à la répartitio e foctio de l âge des idividus propriétaires de leur résidece pricipale e Frace e 1992 Le polygoe des pourcetages cumulés est représeté par la figure 6 Si X, Y sot deux variables quatitatives sur ue populatio de K idividus, o peut associer à chaque idividu k u poit das le repère des valeurs des deux variables : so abscisse est la valeur x k, so ordoée la valeur y k La populatio est représetée par u esemble, ou uage, de poits

22 18 1 NOTIONS DE BASE Figure 5 Polygoe des effectifs cumulés des âges au baccalauréat des étudiates de 2ème aée de sociologie Figure 6 Polygoe des pourcetages cumulés des âges des idividus propriétaires de leur résidece pricipale

23 3 GRAPHIQUES 19 Table 33 Âge au baccalauréat des étudiates de 2ème aée de sociologie (Uiversité de Nice, 1991) Trache d âge Effectif Effectif cumulé [16; 16, 5[ 2 2 [16, 5; 17[ 1 3 [17; 17, 5[ 1 4 [17, 5; 18[ 8 12 [18; 18, 5[ [18, 5; 19[ [19; 19, 5[ 9 51 [19, 5; 20[ [20; 20, 5[ 4 69 [20, 5; 21[ 4 73 [21; 21, 5[ 2 75 [21, 5; 22[ 1 76 Table 34 Populatios et dépeses de défese des grads pays europées e 1914 Pays Populatio Dépeses de défese (millios d habitats) (millios de dollars) Allemage Autriche-Hogrie Frace Grade-Bretage Italie Russie y x Figure 7 Populatios (X e millios d habitats) et dépeses de défese (Y e millios de dollars) des grads pays europées e 1914 Exemple 116 O reporte das le tableau 34 les populatios (métropolitaies) et les dépeses de défese des grads pays europées e Ces doées sot représetées par la figure 7 2 AW DePorte, Europe betwee the Super-powers, Yale Uiversity Press, New Have, 1979

24

25 CHAPITRE 2 Distributios à ue variable Il s agit d associer à ue variable quelques caractéristiques essetielles, qui résumerot le tableau de ses valeurs Ces idicatios peuvet fourir les valeurs cetrales ou domiates de la variable : il s agit de caractéristiques de positio (classe modale, mode, médiae, quatiles, moyee) D autres peuvet fourir des iformatios sur la répartitio des valeurs de la variable par rapport aux caractéristiques de positio : il s agit de caractéristiques de dispersio (étedue, itervalle iterquatile, écart moye, variace, écart-type) 1 Caractéristiques de positio Défiitio 21 État doée ue variable sur ue populatio, o appelle classe modale toute classe dot l effectif est le plus grad C est aussi ue classe dot la fréquece est la plus grade, ou dot le pourcetage est le plus grad O appelle mode la valeur de la variable das ue classe modale, si cette classe correspod à ue valeur de la variable, ou la valeur cetrale d ue classe modale, si cette classe correspod à u itervalle de valeurs de la variable, Exemple 21 Le tableau 1 idique la répartitio par baccalauréat de 204 étudiats de 1ère aée de sociologie à l Uiversité de Nice e 1995 [23] La classe modale est formée des bacheliers techologiques et le mode est le baccalauréat techologique Le tableau 2 idique la répartitio des étudiats des uiversités greobloises par iveau d accord avec la propositio suivate sur la culture La culture, c est ue ouverture sur les autres [3] La classe modale est formée des étudiats tout à fait d accord et le mode est le iveau d accord maximal Le tableau 3 idique la répartitio par ombres d efats (de 0 à 24 as) des familles e Frace au recesemet de 1990 [27] La classe modale est formée des couples sas efat et le mode est égal à 0 Table 1 Répartitio des étudiats de 1ère aée de sociologie (Uiversité de Nice, 1995) Baccalauréat Effectif A ou L (littéraire) 46 B ou ES (écoomique et social) 52 C, D, E ou S (scietifique) 8 Techologique 75 Équivalece 23 Total

26 22 2 DISTRIBUTIONS À UNE VARIABLE Table 2 Répartitio des accords des étudiats avec la propositio : La culture, c est ue ouverture sur les autres Niveau d accord Effectif Tout à fait d accord 527 Plutôt d accord 218 Plutôt pas d accord 35 Pas du tout d accord 6 No-répose 24 Total 810 Table 3 Répartitio des familles e Frace e 1990 Nombre d efats Effectif (e millios) 0 6, 5 1 3, 7 2 3, 3 3 1, 4 4 ou plus 0, 5 Total 15, 4 Table 4 Répartitio des cotribuables soumis à l impôt sur le reveu, e Frace e 1965 Classe de reveus (e fracs) Effectif (e milliers) iférieur à , à , à , à , à , à , à , et plus 81, 6 Total 8 230, 8 Le tableau 4 idique la répartitio par trache de reveus auels des cotribuables soumis à l impôt sur le reveu, e Frace e 1965 [14] La classe modale est formée des cotribuables dot les reveus sot compris etre F et F et le mode est égal à F Remarque 21 Ue classe modale ou u mode est pas écessairemet uique Défiitio 22 La médiae d ue variable quatitative est u ombre tel qu il y ait autat d idividus pour lesquels la valeur de la variable soit iférieure à ce ombre que d idividus pour lesquels la valeur de la variable soit supérieure à ce ombre O la détermie de la maière suivate La médiae d ue variable quatitative discrète pour laquelle les classes correspodet à des valeurs, est la valeur de la variable das la première classe dot l effectif cumulé est supérieur ou égal à la moitié de l effectif total Cette

27 1 CARACTÉRISTIQUES DE POSITION 23 Table 5 Répartitio des familles e Frace e 1990 Nombre Effectif Effectif Fréquece Pourcetage d efats (e millios) cumulé cumulée cumulé 0 6, 5 6, 5 0, , 2 1 3, 7 10, 2 0, , 2 2 3, 3 13, 5 0, , 7 3 1, 4 14, 9 0, , 8 4 ou plus 0, 5 15, 4 1, , 0 classe est aussi celle dot la fréquece cumulée est supérieure ou égale à 0, 5 C est ecore celle dot le pourcetage cumulé est supérieur ou égal à 50 La médiae d ue variable quatitative - discrète (pour laquelle les classes correspodet à des itervalles de valeurs) ou - cotiue est la valeur de la variable qui correspod à u effectif cumulé égal à la moitié de l effectif total, quad o iterpole liéairemet la variable das la première classe dot l effectif cumulé est supérieur ou égal à la moitié de l effectif total C est aussi la valeur de la variable qui correspod à ue fréquece cumulée égale à 0, 5, quad o iterpole iéairemet la variable das la première classe dot la fréquece cumulée est supérieure ou égale à 0, 5 C est ecore la valeur de la variable qui correspod à u pourcetage cumulé égal à 50, quad o iterpole liéairemet la variable das la première classe dot le pourcetage cumulé est supérieur ou égal à 50 Remarque 22 La médiae d ue variable est ue valeur comprise etre les valeurs extrêmes prises par la variable das la populatio Exemple 22 O repred les doées du tableau 3 doat la répartitio par ombres d efats (de 0 à 24 as) des familles e Frace au recesemet de 1990 O le complète par les effectifs, fréqueces et pourcetages cumulés : o obtiet le tableau 5 La moitié de l effectif total est 7, 7 La médiae est égale à 1 efat O repred les doées du tableau 4 fourissat la répartitio par trache de reveu auel des cotribuables soumis à l impôt sur le reveu, e Frace e 1965 O le complète par les effectifs, fréqueces et pourcetages cumulés : o obtiet le tableau 6 La moitié de l effectif total est 4 115, 4 La classe que l o cosidère est celle des reveus compris etre F et F O cherche α (compris etre 0 et 1) tel que 3 636, 7 (1 α) , 7 α = 4 115, 4 ou 0, 442 (1 α) + 0, 713 α = 0, 5 ou 44, 2 (1 α) + 71, 3 α = 50 O a doc α = 4 115, , 7 0, 5 0, , 2 = = = 0, , , 7 0, 713 0, , 3 44, 2

28 24 2 DISTRIBUTIONS À UNE VARIABLE Table 6 Répartitio des cotribuables soumis à l impôt sur le reveu, e Frace e 1965 Classes de reveus Effectif Effectif Fréquece Pourcetage (e fracs) (e milliers) cumulé cumulée cumulé iférieur à , 3 549, 3 0, 067 6, à , , 7 0, , à , , 7 0, , à , , 4 0, , à , , 4 0, , à , , 4 0, , à , , 2 0, , et plus 81, , 8 1, , 0 et 5 865, , 4 1 α = 5 865, , 7 La médiae est égale à 0, 713 0, 5 71, 3 50 = = = 0, 785 0, 713 0, , 3 44, (1 α) α = α = F Défiitio 23 O appelle quatiles d ordre d ue variable quatitative cotiue les valeurs croissates de la variable qui partaget la populatio e esembles de même effectif La médiae est u quatile d ordre 2 U quartile est u quatile d ordre 4, u décile est u quatile d ordre 10, u cetile est u quatile d ordre 100 O appelle premier (resp deuxième ou troisième) quartile d ue variable quatitative cotiue la valeur de la variable qui correspod à u effectif cumulé égal à u quart (resp la moitié ou les trois quarts) de l effectif total, quad o iterpole liéairemet la variable das la première classe dot l effectif cumulé est supérieur ou égal à u quart (resp la moitié ou les trois quarts) de l effectif total C est aussi la valeur de la variable qui correspod à ue fréquece cumulée égale à 0, 25 (resp 0, 5 ou 0, 75), quad o iterpole liéairemet la variable das la première classe dot la fréquece cumulée est supérieure ou égale à 0, 25 (resp 0, 5 ou 0, 75) C est ecore la valeur de la variable qui correspod à u pourcetage cumulé égal à 25 (resp 50 ou 75), quad o iterpole liéairemet la variable das la première classe dot le pourcetage cumulé est supérieur ou égal à 25 (resp 50 ou 75) Remarque 23 Les quatiles d ue variable sot des valeurs comprises etre les valeurs extrêmes prises par la variable das la populatio Les valeurs des quatiles sot ordoées comme leurs uméros Exemple 23 O repred les doées du tableau 6, fourissat la répartitio par trache de reveu auel des cotribuables soumis à l impôt sur le reveu, e Frace e 1965 Le quart de l effectif total est 2 057, 7 La classe que l o cosidère est celle des reveus compris etre F et F O cherche α 1 (compris etre 0 et 1) tel que 549, 3 (1 α 1 ) , 7 α 1 = 2 057, 7 ou 0, 067 (1 α 1 ) + 0, 442 α 1 = 0, 25

29 1 CARACTÉRISTIQUES DE POSITION 25 ou O a doc α 1 = 6, 7 (1 α 1 ) + 44, 2 α 1 = , 7 549, 3 0, 25 0, , 7 = = = 0, , 7 549, 3 0, 442 0, , 2 6, 7 et 3 636, , 7 1 α 1 = 3 636, 7 549, 3 Le premier quartile est égal à 0, 442 0, 25 44, 2 25 = = = 0, 511 0, 442 0, , 2 6, (1 α 1 ) α 1 = α 1 = F Le deuxième quartile est égal à la médiae : Les trois quarts de l effectif total valet 6 173, 1 La classe que l o cosidère est celle des reveus compris etre F et F O cherche α 3 (compris etre 0 et 1) tel que ou ou O a doc α 3 = 5 865, 7 (1 α 3 ) , 4 α 3 = 6 173, 1 0, 713 (1 α 3 ) + 0, 841 α 3 = 0, 75 71, 3 (1 α 3 ) + 84, 1 α 3 = , , 7 0, 75 0, , 3 = = = 0, , , 7 0, 841 0, , 1 71, 3 et 6 922, , 1 1 α 3 = 6 922, , 7 Le troisième quartile est égal à 0, 841 0, 75 84, 1 75 = = = 0, 709 0, 841 0, , 1 71, (1 α 3 ) α 3 = α 3 = F U quart de la populatio avait u reveu auel iférieur à F, u quart avait u reveu auel compris etre F et F, u quart avait u reveu auel compris etre F et F et u quart avait u reveu auel supérieur à F Défiitio 24 Soit X ue variable quatitative discrète S il y a I idividus, si x i est la valeur que pred la variable X sur l idividu i, o appelle moyee ou moyee arithmétique de X le ombre (21) x := 1 x i I Si la populatio est répartie e I classes, si x i est la valeur que pred la variable X das la classe i, si i est l effectif de la classe i, f i sa fréquece et q i so pourcetage, alors la moyee de X est (22) x = 1 ( i x i ) = (f i x i ) = 1 (q i x i ), 100

30 26 2 DISTRIBUTIONS À UNE VARIABLE Table 7 Dépeses de défese e pourcetage du PIB e 2000 Pays Pourcetage Allemage 1, 1 Daemark 1, 5 Espage 1, 3 États-Uis 2, 9 Frace 1, 9 Italie 1, 4 Norvège 1, 9 Pays-Bas 1, 6 Royaume-Ui 2, 5 Suède 2, 1 où = est l effectif total Soit X ue variable quatitative discrète ou cotiue qui répartit la populatio e I classes, qui correspodet à des itervalles de valeurs Soit x i la valeur cetrale de la classe i, soit i l effectif de la classe i, f i sa fréquece et q i so pourcetage ; soit l effectif total O approche la moyee de X par (23) x := 1 ( i x i ) = i (f i x i ) = 1 (q i x i ) 100 La véritable défiitio de la moyee qui utilise des cocepts mathématiques plus évolués sera doée ultérieuremet Remarque 24 La moyee d ue variable est ue valeur comprise etre les valeurs extrêmes prises par la variable das la populatio Exemple 24 Le tableau 7 idique l effort de défese (dépeses de défese e pourcetage du PIB) d u échatillo de 10 pays occidetaux e La moyee de l effort de défese est x = 1 (1, 1 + 1, 5 + 1, 3 + 2, 9 + 1, 9 + 1, 4 + 1, 9 + 1, 6 + 2, 5 + 2, 1) = 1, 82 % 10 Exemple 25 Le tableau 8 idique la répartitio suivat le ombre d efats des familles au Caada e 1986 O calcule les fréqueces et les pourcetages : o obtiet le tableau 9 La moyee du ombre d efats (c est-à-dire le ombre d efats moye) par famille 1 Défese Natioale, 58ème aée, Jui 2002

31 1 CARACTÉRISTIQUES DE POSITION 27 Table 8 Familles et ombre d efats au Caada e 1986 Nombre d efats Nombre de familles Total Table 9 Familles et ombre d efats au Caada e 1986 Nombre d efats Nombre de familles Fréquece Pourcetage (e milliers) , , , , , , , , , 030 3, , 007 0, 7 Total , , 0 au Caada e 1986 est égale à x = 1 ( ) = 0, , , , , , = 1 (32, , , , , , 7 5) 100 = 1, 27 efats Exemple 26 Le tableau 10 doe la répartitio e foctio de l âge des idividus propriétaires de leur résidece pricipale e Frace e 1992 [27] La moyee de l âge (c est-à-dire l âge moye) des idividus propriétaires de leur résidece pricipale e Frace e 1992 est égal à x = 1 (350 22, , , , , , 5) = 0, , 5 + 0, , 0 + 0, , 0 + 0, , 0 + 0, , 5 + 0, , 5 = 1 (2, 9 22, , 6 35, , 8 45, , 0 55, , 3 67, , 4 92, 5) = 56, 3 as

32 28 2 DISTRIBUTIONS À UNE VARIABLE Table 10 Répartitio des idividus propriétaires de leur résidece pricipale e Frace e 1992 Classe d âge Effectif Fréquece Pourcetage Cetre de classe (e milliers) [15, 30[ 350 0, 029 2, 9 22, 5 [30, 40[ , , 6 35, 0 [40, 50[ , , 8 45, 0 [50, 60[ , , 0 55, 0 [60, 75[ , , 3 67, 5 [75, 110[ , , 4 92, 5 Total , , 0 Remarque 25 Pour le calcul de la moyee, o peut séparer ue classe e deux : les deux classes créées correspodet à la même valeur (ou itervalle de valeurs) de la variable, la somme de leurs effectifs est l effectif de la classe iitiale Propositio 21 Si X, Y sot deux variables quatitatives et si c est ue costate, o a O e déduit x + c = x + c, x + y = x + y, cx = cx x x = 0 Démostratio O fait la démostratio das le cas le plus gééral, lorsque les classes correspodet à des valeurs des variables : il y a I classes, x i est la valeur de la variable X das la classe i, y i est la valeur de la variable Y das la classe i et f i est la fréquece de la classe i Alors X + c est ue variable qui répartit la populatio e I classes, x i + c est la valeur de la variable X + c das la classe i et f i sa fréquece ; de même X + Y est ue variable qui répartit la populatio e I classes, x i + y i est la valeur de la variable X + Y das la classe i et f i sa fréquece ; efi cx est ue variable qui répartit la populatio e I classes, cx i est la valeur de la variable cx das la classe i et f i sa fréquece O a Et x + c = x + y = cx = x = (f i x i ), y = ( fi (x i + c) ) = ( fi (x i + y i ) ) = (f i cx i ) = c (f i y i ) (f i x i ) + c (f i x i ) + (f i x i ) = cx f i = x + c, (f i y i ) = x + y,

33 2 CARACTÉRISTIQUES DE DISPERSION 29 D où le résultat La variable X permet de défiir ue variable X c := X x, appelée variable cetrée associée à X : sa moyee est ulle 2 Caractéristiques de dispersio Défiitio 25 O appelle étedue ou écart maximal d ue variable quatitative la différece etre la valeur maximale et la valeur miimale prises par la variable das la populatio O appelle écart maximal relatif d ue variable quatitative le quotiet de so écart maximal sur sa moyee Exemple 27 O repred les doées du tableau 7 qui idique l effort de défese d u échatillo de 10 pays occidetaux e 2000 L étedue est égale à 2, 9 1, 1 = 1, 8 % La moyee état égale à 1, 82 %, l écart maximal relatif vaut 1, 8 = 1, 00 1, 82 Exemple 28 O repred les doées du tableau 9 qui idique la répartitio suivat le ombre d efats des familles au Caada e 1986 L étedue est égale à 5 0 = 5 efats La moyee état égale à 1, 27 efats, l écart maximal relatif vaut 5 = 3, 94 1, 27 Exemple 29 O repred les doées du tableau 10, doat la répartitio e foctio de l âge des idividus propriétaires de leur résidece pricipale e Frace e 1992 L étedue est égale à = 95 as La moyee état égale à 56, 3 as, l écart maximal relatif vaut 95 = 1, 69 56, 3 Défiitio 26 État doée ue variable quatitative cotiue, o appelle itervalle iter-quatile d ordre l itervalle qui a pour origie le premier quatile et pour extrémité le 1-ième quatile : l itervalle iter-quartile est l itervalle qui a pour origie le premier quartile et pour extrémité le 3-ième quartile ; l itervalle iter-décile est l itervalle qui a pour origie le premier décile et pour extrémité le 9-ième décile Le même om désige aussi la logueur de l itervalle L itervalle iter-quatile relatif est le quotiet de (la logueur de) l itervalle iter-quatile sur la médiae Remarque 26 L itervalle iter-quatile est plus petit que l étedue Exemple 210 O repred les doées du tableau 6, fourissat la répartitio par trache de reveu auel des cotribuables soumis à l impôt sur le reveu, e Frace e 1965 L itervalle iter-quartile est l itervalle [7 445; ] de logueur F Comme la médiae est égale à F, l itervalle iter-quatile relatif a pour valeur = 0,

34 30 2 DISTRIBUTIONS À UNE VARIABLE Défiitio 27 Soit X ue variable quatitative discrète S il y a I idividus, o ote x i la valeur que pred la variable X sur l idividu i et x la moyee de X L écart-moye de X est défii par e x := 1 I x i x Si la populatio est répartie e I classes, de telle maière que x i désige la valeur que pred la variable X das la classe i, soit i l effectif de la classe i, f i sa fréquece et q i so pourcetage, soit x la moyee de X et l effectif total L écart-moye de X est défii par e x := 1 ( i x i x ) = (f i x i x ) = (q i x i x ) Soit X ue variable quatitative discrète ou cotiue qui répartit la populatio e I classes qui correspodet à des itervalles de valeurs Soit x i la valeur cetrale de la classe i, soit i l effectif de la classe i, f i sa fréquece et q i so pourcetage O ote x la moyee de X et l effectif total L écart-moye de X est défii par e x := 1 ( i x i x ) = (f i x i x ) = (q i x i x ) La véritable défiitio de l écart-moye qui utilise des cocepts mathématiques plus évolués sera doée ultérieuremet O appelle écart-moye relatif le quotiet de l écart-moye sur la moyee Remarque 27 La variable quatitative X permet de défiir ue autre variable quatitative, à valeurs positives X c := X x L écart-moye de la variable X est la moyee de la variable X c L écart-moye d ue variable est ue quatité positive Exemple 211 O repred les doées du tableau 7 qui idique les dépeses de défese e pourcetage du PIB d u échatillo de 10 pays occidetaux e 2000 L écart-moye de l effort de défese est e x = 1 ( 1, 1 1, , 5 1, , 3 1, , 9 1, , 9 1, , 4 1, , 9 1, , 6 1, , 5 1, , 1 1, 82 ) = 0, 44 % L écart-moye relatif est égal à 0, 44 = 0, 242 1, 82

35 2 CARACTÉRISTIQUES DE DISPERSION 31 O repred les doées du tableau 9 qui idique la répartitio suivat le ombre d efats des familles au Caada e 1986 L écart-moye du ombre d efats par famille au Caada e 1986 est égal à e x = 1 ( , , , , , , 27 ) = 0, , , , , , , , , , , , 27 = 1 (32, 6 0 1, , 7 1 1, , 7 2 1, , 4 3 1, , 0 4 1, , 7 5 1, 27 ) = 0, 969 efat L écart-moye relatif est égal à 0, 969 1, 27 = 0, 763 O repred les doées du tableau 10, doat la répartitio e foctio de l âge des idividus propriétaires de leur résidece pricipale e Frace e 1992 L écart-moye de l âge des idividus propriétaires de leur résidece pricipale e Frace e 1992 est égal à e x = 1 (350 22, 5 56, , 0 56, , 0 56, , 0 56, , 5 56, , 5 56, 3 ) = 0, , 5 56, 3 + 0, , 0 56, 3 + 0, , 0 56, 3 + 0, , 0 56, 3 + 0, , 5 56, 3 + 0, , 5 56, 3 = 1 (2, 9 22, 5 56, , 6 35, 0 56, , 8 45, 0 56, , 0 55, 0 56, , 3 67, 5 56, , 4 92, 5 56, 3 ) = 14, 6 as L écart-moye relatif est égal à 14, 6 = 0, , 3 Défiitio 28 Soit X ue variable quatitative discrète S il y a I idividus, o ote x i la valeur que pred la variable X sur l idividu i et x la moyee de X O appelle variace de X le ombre v x := 1 I (x i x) 2 Si la populatio est répartie e I classes, de telle maière que x i désige la valeur que pred la variable X das la classe i, soit i l effectif de la classe i, f i sa fréquece et q i so pourcetage, soit x la moyee de X et l effectif total O

36 32 2 DISTRIBUTIONS À UNE VARIABLE appelle variace de X le ombre v x := 1 ( i (x i x) 2) = ( fi (x i x) 2) = ( qi (x i x) 2) Soit X ue variable quatitative discrète ou cotiue qui répartit la populatio e I classes qui correspodet à des itervalles de valeurs Soit x i la valeur cetrale de la classe i, soit i l effectif de la classe i, f i sa fréquece et q i so pourcetage O ote x la moyee de X et l effectif total O approche la variace de X par v x := 1 ( i ( x i x) 2) = ( fi ( x i x) 2) = ( qi ( x i x) 2) La véritable défiitio de la variace qui utilise des cocepts mathématiques plus évolués sera doée ultérieuremet L écart-type de X est défii par σ x := v x O appelle coefficiet de variatio le quotiet de l écart-type sur la moyee et itervalle moye l itervalle [x σ x, x + σ x ] Remarque 28 La variable quatitative X permet de défiir ue autre variable quatitative X 2 c := (X x) 2 La variace de la variable X est la moyee de la variable X 2 c La variace et l écart-type d ue variable sot des quatités positives O a v x = ( σ x ) 2 Propositio 22 Si X est ue variable quatitative, o a v x = x 2 (x) 2 Démostratio O fait la démostratio das le cas le plus gééral : la populatio est répartie e I classes, x i est la valeur de la variable das la classe i et f i est la fréquece de cette classe O ote x la moyee de X O a v x = = ( fi (x i x) 2) = (f i x 2 i ) 2x ( fi (x 2 i 2xx i + (x) 2 ) ) (f i x i ) + (x) 2 f i = d où le résultat aocé f i x 2 i 2(x) 2 + (x) 2 = x 2 (x) 2, O déduit de la propositio 22 des expressios plus commodes de la variace