I. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE

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1 P-P DYNQUE DE LDE PNCPE FNDENTL DE L DYNQUE Prncpe = théore vérfée par l epérence onc valable ans un omane étue précs PBLETQUE Cnématque : étue u mouvement un ou pluseurs soles sans se poser la queston : qu est-ce qu crée mofe ou entretent ce mouvement? es actons mécanques ans les lasons moteurs ou résstants Dnamque : étermner les relatons entre les paramètres cnématques u mouvement et les efforts etéreurs applqués au sstème étué Hpothèse : n étue un ou pluseurs soles néformables on parle e sstème e soles à masse conservatve Eemple : égulateur centrfuge e la recton assstée une Xanta Consérons le régulateur centrfuge utlsé ans la recton assstée «D» e Ctroën Ce sstème ont la fréquence e rotaton est lée à la vtesse u véhcule agt sur un crcut hraulque et permet e fare varer l assstance en foncton e la vtesse L ae est entraîné en rotaton à une vtesse proportonnelle à celle u véhcule les masselottes et montées sur cet ae s écartent e leur ae sous l effet e l accélératon centrpète En s écartant elles translatent la coulsseau 3 et nclnent le lever 3 par l nterméare u ressort vor annee L nclnason u lever 3 entraîne la translaton e l ae 5 et onc l ouverture plus ou mons grane e l orfce e haute presson e l hule crculant ans la recton assstée Ce régulateur permet alors aapter l assstance au volant en foncton e la vtesse u véhcule Nous chercherons à étermner l nclnason es masselottes en foncton es masses et es efforts etéreurs TEU DYNQUE Torseur namque = quanttés accélératons e tous les ponts u sstème e soles ot un sstème e soles en mouvement par rapport à un repère galléen ot un pont quelconque e l espace Fg En : m : quantté accélératon élémentare N:homogène à une force!! m : moment namque élémentare en Nm :homogène au moment une force!! l sufft e sommer sur le sstème pour avor le torseur namque e en par rapport au repère : m m D ésultante namque : 4

2 P-P DYNQUE DE LDE La quantté est la résultante namque u sstème ans son mouvement par rapport au repère Untés : N La résultante namque épen unquement es paramètres e poston es soles e ans l espace et e leurs érvées premères et secones Cette forme n est pas utlsée pour le calcul n verra ans le paragraphe comment calculer cette résultante oment namque : La quantté est appelée moment namque en u sstème ans son mouvement par rapport au repère Untés : Nm De même le moment namque ne épen que es paramètres e poston es soles l s agt un moment un torseur onc l est calculable en tout pont e l espace à l ae e la formule classque un champ e moments un torseur : Changement e pont : B m B 3 PNCPE FNDENTL DE L DYNQUE : PFD Enoncé : l este au mons un repère galléen tel que pour tout sstème matérel le torseur namque ans ce repère en un pont e l espace est égal à chaque nstant à la somme es torseurs en es efforts etéreurs applqués à D T repère galléen= pour nos étues tout repère lé à la terre sera conséré comme alléen Théorème e la résultante namque TD Pour le sstème en mouvement ans galléen la résultante namque est égale à la résultante es efforts etéreures applquées sur : La projecton e cette équaton vectorelle ans une BND nous onne 3 équatons scalares 3 équatons fférentelles u mouvement lant les efforts etéreurs au paramètres cnématques l aura ans ces équatons unquement es forces! pas e couple moteur moment e frenage etc Théorème u moment namque TD Pour le sstème en mouvement ans galléen le moment namque en est égal à la somme es moments en es efforts etéreures applquées sur : La projecton e cette équaton vectorelle ans une BND nous onne 3 équatons scalares 3 équatons fférentelles u mouvement lant les efforts etéreurs au paramètres cnématques l aura ans ces équatons les moments es forces présentes ans le TD plus les couples moteurs couples résstants etc 4 PPLCTN DU PNCPE FNDENTL arement ans les problèmes proposés nous aurons à écrre les 6 équatons u PFD pour résoure le problème posé Parfos quelques équatons équatons suffsent l faut étermner quel théorème applquer et sur quel ae e projecton Eemple : Transformaton e mouvement Centrale 98 4

3 P-P DYNQUE DE LDE Le maneton 6 est lé au bât par une lason pvot ae B et est entraîné par un couple moteurc m La cro e alte 5 est lée au bât par une lason pvot ae C Un couple résstant s eerce sur 5 autour e l ae C : C r La lason entre 6 et 5 au nveau u galet peut être assmlée à une lason ponctuelle e normale v : v 6 5 B C F 5 6 Fg F 56 v Les actons e pesanteur sont néglgées et la cro e alte 5 tourne lbrement autour e son ae n souhate eprmer C en foncton e C lorsque le mouvement est connu m r Quels sstèmes à soler quel théorème utlser et sur quel ae e projecton? nconnues onc équatons!! n sole 6 pour fare apparaître Cm l faut une équaton e moment namque en B en projecton sur elle fera apparaître le moment en B e F 56 : B5 Cm B v n sole 5 pour connaître sans fare ntervenr les actons e la pvot en C l faut écrre l équaton e moment namque en C sur : C6 Cr C v Eemple : uspenson e moto La lason entre le châsss 5 et le bât est une lason glssère ae La lason entre la traverse 9 et la roue 6 est une lason ponctuelle les actons e 9 sur 6 peuvent être moélsées par fable nclnason e la traverse F F F en néglgeant la 34

4 P-P DYNQUE DE LDE g g Fg 3 Le champ e pesanteur est éfn par Le repère lé à est conséré comme galléen Connassant le mouvement à l ae un enregstrement on souhate connaître F Quels sstèmes à soler quel théorème utlser et sur quel ae e projecton? nconnue onc équaton scalare sufft c est une force on utlse le théorème e la résultante namque à l ensemble en mouvement en projecton sur l ae : g F l faut ésormas être capable e calculer la résultante namque e et son moment namque en tout pont C est l objet u paragraphe 44

5 P-P CNETQUE DYNQUE DE LDE CCTETQUE D NETE DE LDE asse ot un sole e volume un pont e volume e ce sole La masse u sole est : vec masse volumque u matérau consttuant en 3 kg m m Fg 4 Eemples : = 78 3 kg m pour l acer ; = 7 3 kg m pour l alumnum ; = 89 3 kg m pour le brone Cas partculer u sole homogène : =cste m Centre nerte a Défnton Le centre e gravté un sole est le pont unque tel que : n a b Poston m où m m m et fnalement : m m Cette relaton permet obtenr les cooronnées u centre e gravté ans le repère n projette sur les aes u repère et on obtent : c métres m m m m m m un sole ou un sstème e soles possèent un plan ou un ae e smétre matérel alors le centre e gravté appartent à ce plan ou cet ae stèmes e soles ot un sstème e soles = à n e centre e gravté et e masse m Le centre e gravté u sstème e masse est tel que : n m et n m Eemple : Détermner la poston u centre e gravté un em clnre e raon et e hauteur h 54

6 P-P DYNQUE DE LDE Deu plans e smétre onc h 3 atrce nerte et rsn r r r r Fg 5 4 sn 3 ; 4 3 La matrce nerte un sole caractérse la répartton géométrque e la matère autour un pont u sole La matrce nerte s eprme en un pont et ans une BND quelconque a Défnton u m Fg 7 ot un sole et un pont matérel e masse m et e l espace est l opérateur qu a tout vecteur u fat corresponre le vecteur : u u u m un repère assocé La matrce nerte e au pont b Calcul Calculons les termes e la matrce nerte : on pose a u b ans c u u a b c c b a a b c a c b b c a b a c c a b En utlsant la notaton matrcelle on remarque que ce terme peut s écrre comme le prout e eu matrces : a u b En ntégrant sur on obtent fnalement en smplfant par u : c 64

7 P-P m m m DYNQUE DE LDE m m m m m F E m F B D E D C B B C sont appelés respectvement moments nerte par rapport au aes D E F sont appelés respectvement prouts nerte par rapport au plans c Proprétés epère prncpal nerte : La matrce nerte est fférente en chaque pont e et est eprmée ans une BND C est une matrce réelle 33 smétrque elle est onc agonalsable l este une BND e vecteurs ' ' ' ans laquelle la matrce nerte en un pont est agonale : ' ' ' ' est appelé repère prncpal nerte ; B C B et C sont appelés les moments prncpau nerte e en stèmes e soles : Pour un sstème e soles on applque le théorème e superposton : Toutes les matrces ovent être eprmées au même pont et ans la même base ' métres le sole amet le plan suvante : Fg 8 ' comme plan e smétre matérelle alors la matrce nerte est e la forme F F B C s 74

8 P-P DYNQUE DE LDE En effet : em pour E D m m m or sur sur onc m m D Proprétés : est la normale un plan e smétre matérelle e alors D m et E m sont nuls Pour une normale suvant : E=F= Pour une normale suvant : D=F= Cela mplque que s eu es tros plans e références sont es plans e smétre matérelle alors tous les prouts nerte sont nuls la matrce nerte e est alors agonale : l ae nerte est e la forme suvante : B est un ae e révoluton matérelle pour alors les prouts nerte sont tous nuls et la matrce C s Pour ae e révoluton ; Pour ae e révoluton ; C s B B B s s avant e se lancer ans les calculs l faut mpératvement smplfer la matrce en observant les smétres u sole e Théorème e Hugens généralsé : l est parfos nécessare e calculer la matrce nerte e en un pont quelconque u sole Le théorème e Hugens onne une relaton entre et avec centre e gravté e!! Par éfnton : u u Fnalement : u m u m u m u m u m u m u u m u m u u m u 84

9 P-P DYNQUE DE LDE 94 vec le calcul u 3b on obtent : Théorème e Hugens généralsé : ot un sole e masse m e centre e gravté ot un pont e ce sole n note ans le repère : Bs m CNETQUE Ce paragraphe a pour objet le calcul e la résultante namque et u moment namque un sole en mouvement par rapport au repère galléen Torseur cnétque a Défnton Le torseur cnétque e au pont ans son mouvement par rapport au repère galléen est : m p C p est la résultante cnétque appelée couramment quantté e mouvement ; est le moment cnétque en e ans son mouvement par rapport à b Calcul m m m p m m m pus m Le moment cnétque en un sole ans son mouvement par rapport au repère galléen est : m u centre e gravté se : En un pont fe :

10 P-P DYNQUE DE LDE Pour calculer le moment cnétque en un pont B quelconque on applque la relaton u changement e pont u moment un torseur classque : B m B Pour un ensemble e soles le moment cnétque en est la somme es moments cnétques en e chaque sole : u même pont!!! 3 Torseur namque a ésultante namque Par éfnton la résultante namque un sole ans son mouvement par rapport au repère galléen est : m m La résultante namque un sole en mouvement est : m m m Pour un ensemble e soles la résultante namque est la somme es résultantes namques e chaque sole : b oment namque m ttenton en!!! Par éfnton le moment namque en un sole ans son mouvement par rapport au repère galléen est : ' m r le moment cnétque en vaut applquant la conservaton e la masse on obtent : r [ [ ] m ] m [ m [ ] m ] m [ En érvant par rapport au temps et en [ ] m ] m m Fnalement le moment namque en un sole ans son mouvement par rapport au repère galléen est : ' [ ] m u centre e gravté se : En pont fe : ' ' [ ] [ ] 4

11 P-P DYNQUE DE LDE Pour calculer le moment namque en un pont B quelconque on applque la relaton u changement e pont u moment un torseur : B m B Pour un ensemble e soles le moment namque en est la somme es moments namques en e chaque sole : u même pont!!! 3 4 ' 5 Eemple traté : égulateur centrfuge Fgures angulares planes : Données : = = 4

12 P-P DYNQUE DE LDE B D D C l ; L Hpothèses : =cste ; =cste l ; solons la masselotte Nous cherchons à calculer le torseur namque en e par rapport au repère galléen Torseur cnématque e en : ; ; L L L B Torseur cnétque e en : Par éfnton : C m L l L l l cos Calcul u moment cnétque : B D sn Bsn Dcos D C cos Dsn Ccos B B C m L l cos m l B s D c D s C c B Torseur namque en : m D m Par éfnton : 4

13 P-P DYNQUE DE LDE Cherchons la composante u moment namque sur l ae : stuce : l sn B s D c cos C c D s sn B C sn Dcos cos sn Fnalement : stuce : l reste à calculer l l sn L l cos sn Fnalement : B C sn Dcos L lcos sn pplcaton u Prncpe Fonamental e la Dnamque : solons la masselotte fasons le BE : X T Y ; T pes ; T 6 Z N m g Z 6 L6 Ecrvons le théorème u moment namque en en projecton sur : et pes m g l m g m g l cos L équaton e mouvement obtenue est : B C sn Dcos L L lcos sn m g lcos 6 Cette équaton permet obtenr l nclnason e la masselotte en foncton e et e l effort u ressort 34

14 P-P 3 DYNQUE DE LDE NNEXE EULTEU CENTFUE 4 ' 5 Fgures angulares planes : Données : l = = B D L l Hpothèses : =cste ; =cste D C 44