LES INDICES D AUTO CORRELATION SPATIALE

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1 LES NDCES D AUTO CORRELATON SPATALE L autocorrélatio spatiale est l absece d idépedace etre observatios géographiques. Aisi, o costate très souvet que les variables spatialisées sot soumises à des dépedaces spatiales (ou iteractios spatiales), qui sot d autat plus fortes que les localisatios sot plus proches : "everythig is related to everythig else, but ear thigs are more related tha distat thigs" (Tobler, 970). Les mesures d'autocorrélatio spatiale permettet d'estimer la dépedace spatiale etre les valeurs d'ue même variable e différets edroits de l'espace. Pour la mettre e évidece, les idices preet e compte deux critères : la proximité spatiale et la ressemblace ou la dissemblace des valeurs de cette variable das les uités spatiales de la zoe d étude. O fait la distictio etre la mesure de l autocorrélatio spatiale globale d ue variable das u territoire doé et celle de l autocorrélatio locale das chaque uité spatiale. Cette derière correspod à l itesité et la sigificativité de la dépedace locale etre la valeur d ue variable das ue uité spatiale et les valeurs de cette même variable das les uités spatiales eviroates (plus ou mois proches).. terprétatio des idices Das OASS, ous proposos le calcul des idices d autocorrélatio spatiale pour les doées e valeurs absolues, mais aussi e valeurs relatives. Les idices les plus utilisés sot l idice de et l idice de Geary. Das la littérature, le coefficiet de est souvet préféré à celui de Geary e raiso d'ue stabilité géérale plus grade (Upto et Figleto, 985). Avat de calculer ces idices, il est écessaire de défiir les iteractios spatiales prises e compte. a) La matrice d iteractios spatiales Comme so om l idique, la matrice d iteractios spatiales est ue matrice carrée qui permet de mesurer les iteractios etre les uités spatiales, idépedammet de la variable étudiée. Le ombre de liges et de coloes est égal au ombre d uités spatiales das la zoe d étude. Sur la diagoale la matrice a des valeurs ulles. Chaque élémet de la matrice mesure l iteractio etre

2 les uités spatiales correspodate e lige et e coloe. Sa valeur est d autat plus élevée que la «proximité» spatiale etre les uités est forte. Pour utiliser ue matrice d iteractios spatiales, il est écessaire de doer a priori ue forme foctioelle spécifique aux iteractios spatiales. C est pour cette raiso que ous proposos das OASS les trois formes les plus utilisées das la littérature : La matrice de cotiguïté : gééralemet, les élémets de la matrice de cotigüité d ordre k sot défiis comme le ombre miimal de frotières qu il faut frachir pour aller d ue uité spatiale à l autre. La matrice de cotiguïté la plus utilisé est d ordre : les élémets de la matrice sot égaux à si deux uités sot voisies et sot uls das le cas cotraire. C est la forme la plus simple d iteractios spatiales, souvet suffisate pour détermier les iveaux autocorrélatio spatiales d ue variable. La matrice des distaces est ue mesure d itesité spatiale qui peut être utilisée quad les doées sot spatialisées sous forme de poits. Lorsqu o étudie des uités spatiales, la distace prise e compte est gééralemet la distace etre leurs cetroïdes. Cette distace peut être itégrée sous différetes formes : liéaire, quadratique ou logarithmique. Das OASS, la matrice d iteractios spatiales basée sur la distace utilise les distaces liéaires. Ue autre maière plus détaillée de décrire les iteractios spatiales cosiste à predre e compte o seulemet le voisiage (des valeurs 0 ou ), mais de teir compte aussi de l itesité de cette proximité spatiale, qui déped de l importace de la frotière commue. Les élémets de la matrice sot aisi des coefficiets proportioels à logueur de la frotière commue. b) L idice de L idice de ( 950) permet de mesurer le iveau d autocorrélatio spatiale d ue variable et de tester sa sigificativité. l est égal au ratio de la covariace etre observatios cotigües (défiies par la matrice d iteractios spatiales) à la variace totale de l échatillo (Jayet, 00). L idice a des valeurs comprises etre (idiquat ue dispersio parfaite) à (corrélatio parfaite). Ue valeur ulle sigifie que la distributio spatiale de la variable étudiée est parfaitemet aléatoire das le territoire. Les valeurs égatives (positives) de l'idice idiquet ue autocorrélatio spatiale égative (positive). Pour le test d'hypothèse statistique, l'idice de peut être trasformé e Z scores, pour lesquels les valeurs plus grades que le seuil de sigificativité positive ou plus petites que le seuil de

3 sigificativité égative idiquet ue autocorrélatio spatiale sigificative, avec u taux d'erreur correspodat au seuil (hypothèse de loi ormale). Ue iterprétatio facile de l idice de peut être faite avec l aide du diagramme de, qui représete, sous la forme d u uage de poits, les couples de valeurs correspodat à la valeur de la variable das chaque uité spatiale (e abscisse) et la moyee des valeurs des zoes cotiguës (e ordoée) défiies par la matrice d iteractios spatiale (cette moyee est appellée spatial lag ou décalage spatial). Das OASS, les uités spatiales où l autocorrélatio spatiale est pas sigificative sot représetées sous la forme de cercles, tadis que les uités avec ue autocorrélatio locale statistiquemet sigificative sot e forme de losage, avec e libellé le om de l uité spatiale. Le graphique est complété avec la droite de pete égale à l idice de. Ue pete égative sigifie ue autocorrélatio spatiale égative tadis qu ue pete positive sigifie ue autocorrélatio spatiale positive. c) L idice de Geary Ue autre alterative pour mesurer l autocorrélatio spatiale est l idice de Geary qui est, à u facteur ½ près, égal au ratio de la variace des écarts etre observatios cotigües à la variace totale (Jayet, 00). Si l idice de est ue mesure de l'autocorrélatio spatiale globale, l'idice de Geary est plus sesible à l'autocorrélatio spatiale locale. L idice de Geary varie de 0 à l ifii et vaut s il y a idépedace spatiale. Pour toute valeur iférieur à l uité, il y a ue autocorrélatio spatiale positive, et iversemet pour des valeurs supérieures à l uité. L idice de Geary varie e ses iverse de l idice de. Comme pour l idice de, l idice de Geary peut être testé statistiquemet, par ue trasformatio e Z scores et e détermiat so seuil de sigificativité. d) L autocorrélatio spatiale locale (LSA) L aalyse de l autocorrélatio spatiale locale a été itroduite par Aseli (995). L idice local permet de mesurer le degré de corrélatio spatiale au iveau local pour chaque uité spatiale. Comme das le cas de l idice de, o peut calculer les Z scores et tester la sigificativité du degré d autocorrélatio spatiale locale. Les eregistremets sigificatifs peuvet être représetés sous formes de cartes.

4 . Calcul des idices d autocorrélatio spatiale L idice de : ( )( ) ij i j i j wij ( xi x) i j i où i,j uité spatiale ; ombre d uités spatiales ; w x x x x x i est la valeur de la variable das l uité i ; x est la moyee de x ; et w ij sot les élémets de la matrice d iteractios spatiales, défiie sous la forme de la cotigüité, les distaces ou les frotières commues. Pour le test d'hypothèse statistique ulle (pas d autocorrélatio spatial), l'idice de peut être trasformé e Z scores (les valeurs critiques) et p value (la sigificativité).l'espérace mathématique de l'idice de (hypothèse de o autocorrélatio spatiale) est: Et la variace est égale à : Aisi, la valeur critique z score est égale à : ( ) E ( ) ( ) ( ( )) V E E z E( ) ( ) V La valeur de p value est l approximatio umérique de la superficie au dessous de la courbe de la distributio de moyee et variaces coues. L idice de Geary

5 C Geary ( ) wij ( xi xj ) i j ij i j i ( i ) w x x où i,j uité spatiale ; ombre d uités spatiales ; x, x sot les valeurs de la variable das i j l uité i respectivemet j ; x est la moyee de x ; et w ij sot les élémets de la matrice d iteractios spatiales, défiie sous la forme de la cotigüité, les distaces ou les frotières commues. Comme pour l idice de, o peut tester l idice de Geary par trasformatio e z scores. L idice de local i ( )( xi x) wij( xj x) j j ( xj x) Pour tester statistiquemet l idice local, l espérace et la variace de l idice a été proposé par Aseli (995). Bibliographie ANSELN, L. (995) : Local idicators of spatial associatio, Geographical Aalysis, 7, 93 5 ANSELN, L. (996) The scatterplot as a ESDA tool to assess local istability i spatial associatio. pp. 5 i M. M. Fischer, H. J. Scholte ad D. Uwi (eds) Spatial aalytical perspectives o GS, Lodo, Taylor ad Fracis; GEARY R. C. (954): The cotiguity ratio ad statistical mappig, The corporated Statisticia, 5, pp JAYET H. (00): Ecoométrie et doées spatiales, Cahiers d écoomie et sociologie rurales, MORAN P. A. P. (950): A test for serial depedece of residuals, Biometrika, 37, pp TOBLER W.R. (970): A computer movie simulatig urba growth i the Detroit regio, Ecoomic geography, Supplemet 46,,

6 UPTON G. ad FNGLETON B. (985): Spatial data aalysis by example, New York, Wiley