Les nombres. complexes. Pour reprendre contact. 1 Avec les angles orientés. a. p 2. c. p 3. b. p 4. d. p 6. 2 Avec le trigonométrie.

Transcription

1 Les ombres 9 comlexes Pour reredre cotact vec les agles oretés a b c d 6 vec le trgoométre u ru,m uur u ru,m uur u ru,m uur u ruuur a La demdrote ]), avec ; b La drote (), rvée du ot, avec Ê vec les agles assocés a Faux : cosa cos a b Vra c Faux : cosa cosa d Vra ˆ ; vec les éuatos trgoométrues a S 0 b S c S vec u esemble de ots a La drote d éuato rédute y x b L uo des drotes d éuato y x et y x c Le cercle de cetre et de rayo d Le cercle de cetre Ω ; et de rayo 6 vec les cercles du la a x y b x + y x + y 6 = 0 ; d S ; eut factorser : x y (E) est be ue éuato de cercle (F) s écrt auss : x y (F) est as ue éuato de cercle,m 6 Chatre 9 Les ombres comlexes

2 ctvtés Vers des ombres magares a 6 b et Le bôme vaut 0 7 et l aotome vaut 0 7 La race vaut À la calculatrce : vérfe ue est be soluto exacte de l éuato x x car c De même 6 et 6 Le bôme vaut et l aotome vaut La race vaut À la calculatrce : cotrôle grahuemet ce résultat : a cojecture ue est soluto de (E) Vérfcato : ^ = 6 et + = 6 b L éuato s écrt x x et ; ( ) + = + = e eut as redre la race carrée de C ; E oursuvat les calculs de ombell, et e adotat ses abus d écrture, o obtet le bôme + et l aotome doc la race calcule ( + ) = + D où la race + ( + ) =, race be réelle et race exacte de l éuato (E) ctvtés Rerésetato grahue des ombres comlexes E v r u r C D H MŒ x Im 0 ; MŒ y Re 0 ctvtés Module, argumet et forme trgoométrue M et u ru,m uur b Pour costrure S, o costrut S, us la demdrote [S ) S est le ot de cette demdrote tel ue S : l a ue abscsse et ue ordoée doubles de celles de S (théorème de Thalès) c S d où, d arès, S S

3 D Ê ; Ê ˆ Ê ˆ ; C ; ˆ Ê ˆ ; E et Ê ˆ F a r a b b T cos s c T r T a b cos s d a rcos ; b rs N ; ª6, TP Prorétés algébrues u a Par exemle our la multlcato, e osat = a + b et = a + b (a, b, a, b Œ), o obtet = (aa bb ) + (ab + a b) u est be de la forme +, avec, Œ b Le uotet d u ombre comlexe ar u ombre comlexe o ul est égal au rodut de et de l verse de a motré à la uesto a ue état stable ar rodut et assage à l verse, l l est doc auss our la dvso (ar u ombre ŒE o ul) a E et E sot stables our l addto et la multlcato, tout comme (mêmes calculs e remlaçat ar ) b E et E e sot stables our le assage à l verse our la dvso E effet, our E, s l o chost, et œ Pour E, dvser ar 0 a as de ses, ce u exlue le résultat Par cotre, E 0 est stable our le assage à l verse et our la dvso Passage à l verse : soet a et b deux ombres réels o tous les deux uls S ab 0, alors a b et 0 a b b b a b a b So, a b ab ab a b a b Das les deux cas, o obtet be la forme reuse Dvso : même méthode TP D où veet les règles de carda? utlse le déveloemet de u v uv u v S u et v vérfet le système, alors x x u v uvx x d arès Pus e remlaçat u v ar 6 et uv ar 8, o obtet be 6 das le membre de drote u v 6 U V 6 V 6 8 Ì Ì V 6 6 Ì Óuv 8 uv 8 Ó UV 8 U V Ì Ó 6 8 U Ì Ó U U ÓU 6U 8 0 trouve les races du trôme U 6U 8 e dédut les coules UV, : 86, et 6, 8 us les coules uv, :, et,, et ef ue soluto de (E ) : x Pour aller lus lo : our résoudre x x E, o ose x u v Pour ue x sot soluto de (E), la codto suffsate u v V U Ô Ô sur uv, est cette fos Ì Cette codto éuvaut à Ì, e ayat osé U uv U U ÓÔ Ó Ô 0 u et V v au réalable E trouvat les races du trôme U U et e reveat aux varables uv, us à x, o retrouve le résultat aocé TP U esemble de Jula a est u ombre aléatore chos comrs das l tervalle 0; a La varable coteat les est Le remer terme de est a b sort de la boucle «Tat ue FTatue» lorsue le module de est strctemet suéreur à ou be ue attet la valeur 00 c Das le cas réset, o cosdère ue la sute est as borée lorsue le module d u de ses termes déasse Chatre 9 Les ombres comlexes

4 TRITEMENT ET SRTIES : Pour k varat de à Fare Chosr aléatoremet deux ombres baléa et baléa etre 0 et ffecter baléa + (baléa ) à a ffecter 0 à et a à Tat ue ÔÔ et <00 Fare Icrémeter de ffecter à FTatue S =00 alors Tracer le ot d affxe a FS FPour TP Ue rorété des olygoes régulers Voc ce ue l o sast sur GeoGebra : our le tragle : 0 ;, ;, C ; our le etagoe : 0 ;, ;, C ;, D 6 ;, E 8 ; etc Le rodut cosdéré valat evro our le tragle, our le carré, our le rectagle, o cojecture ue our u olygoe réguler à côtés scrts das le cercle trgoométrue, ce rodut vaut La dagoale du carré scrt valat, o a be : ; ; C Ê Ê C ˆ Ê ˆ ˆ a ; ; C ; D ; E ; F b E, C E et D Le rodut vaut doc : E D 6 6 a e, C e, D e et E e 8 Ê b cos ˆ Ê ˆ cos c Das, Ê ˆ cos e utlsat b De même, C Ê ˆ u fal, C D E C 6 Pour aller lus lo : w doc w w w w w 0 L égalté roosée se motre e déveloat les w Ê ˆ deux membres et e reat w, o dédut ue 0 Ê ˆ e e e e E utlsat la formule d Euler, o dédut : cos cos 0 ft ar dédure la valeur de cos e trouvat les races du trôme TP U leu géométrue utle e hysue Pour t Œ, h t t 00 0 M(0) a our affxe h 0 ; M(0, ) a our affxe h0, ; 0 0

5 8 M(0, ) a our affxe h0, ; M(0, ) a our affxe h0, ; M() a our affxe h ; M() a our affxe h ; M() a our affxe h Vor fcher jot sur le ste Math x L esemble décrt ar M(t) lorsue t décrt 0; semble être le demcercle de cetre le ot I d affxe et de rayo t t Pour t 0, h t t t t t t t t IM t t t t Ê t ˆ doc IM t t t t t t t M(t) lorsue t décrt 0; aartet doc au cercle de cetre I et de rayo a x(t) désge la arte réelle de h(t) Sot Pa; bot du demcercle (0a; a b ; b 0 Exstetl u réel t 0 tel ue x t a? t t x t 0 t t 0 x(t) 0 Il exste doc u réel t 0 Œ0; tel ue x t a,0 a t0 b Il reste à vérfer ue b t r, b a et b 0 doc b a ; 0 b x t t0 t 0 t 0 0 t 00 t L esemble est doc le demcercle de cetre le ot I d affxe et de rayo TP6 Leu des sommets d u carré a Vor fcher jot sur le ste Math x b Le ot S semble fxe, le ot R évoluat uat à lu sur le segmet [EF], G ;, F ; c S ; La drote () ayat our éuato y x, le ot M a our ordoée x L affxe de P est doc x, l affxe de Q est ( x), x Œ0 ; a E ; Chatre 9 Les ombres comlexes

6 b P Q E E x x x x doc EP EQ ur u uru d où EP = EQ et EQ, EP arg EQP est doc u tragle rectagle socèle e E (drect) doc S = E c I a our affxe x x I est le mleu de [SR] doc R I S x x R aartet doc à la drote d éuato y x Pusue x Œ0 ;, R aartet au segmet [FG] récédemmet décrt TP7 Ue verso Vor fcher jot sur le ste Math x Les ots, M et M arasset algés a Le leu E décrt ar M semble être le cercle de cetre H d affxe et de rayo b Créer u ot sur le cercle G us taer M = das la barre de sase our lacer M e Le leu F décrt ar M semble être la drote D u r Le vecteur M uuu 0 0 a our affxe k avec k 0 0 Œ uuuur uuur doc M k M Ces deux vecteurs état coléares,, M et M sot algés a 0 Ê 0ˆ b ose x y Sot H le ot d affxe 0 x y 0 x y x y 00 00x x y 00 00x doc x y x y x y s, s x =, doc HM = Le leu E décrt ar M est le cercle de cetre H d affxe et de rayo Le ot M est le ot d tersecto de la drote (M) et du cercle G 0 c S M aartet à G, x 0x y 0 doc x y x rur uu Évaluos u,km arg, K état le ot d affxe 0 0 0y doc arg π π doc le leu F décrt ar M est la drote D Pour aller lus lo Le Produt M M semble valor 0 0 M M 0 doc M M 0 car 6

7 0 0 0 L esemble des ots M varats est l esemble des ots M tels ue M ; l s agt du cercle de cetre et de rayo TP8 E autoome : cercle de cetre J d affxe et de rayo : demdrote d orge J coteat les ots d affxes réelles x, x C : arabole de sommet le ot d affxe a : doc et MŒ G JM Le ot M aartet doc au cercle de cetre J et de rayo Cojecture : sot y Œ MŒ d y y y 8 y y s Œ et L esemble cherché est la demdrote d orge J coteat les ots d affxes réelles x, x Cojecture C : sot x Œ MŒ d x x x x x x x x x x E osat x y o a : x x et y x x x x 8 s M aartet à la arabole d éuato y x x de sommet le ot d affxe 8 Chatre 9 Les ombres comlexes 7

8 Exercces SNS CRYN, SNS CLCULTRICE,, C et D ur u I et arg e 6 ; arg ; et arg 0 e 7 a d e e e 6 8 e et e e b e c 9 Re et Im 0 9 a 7 b c 8 d a S ; b S ; c S ; ENTRÎNEMENT lm C v r D a Re et Im b Re et Im c Re C et Im C d Re D et Im D u r Re a Re et Im b Re 0 et Im c Re et Im d Re et Im ; ; C ; D ; E ; F ; G ; H 6 a a et b b a et b 7 Vor corrgé e f de mauel 8 a b 9 a b c 8 d 0 a b c d e f 9 8 a 7 b 8 c 0 d 0 0 Vor fcher sur le ste Math x u u a ourrat ualfer u de sute géométrue de raso b u u0 8 u 8 6 a S 9 9 b S 7 a S ; b S ; 6 6 Il est as évdet d e trouver Le coule x 0 et y 0 foctoe ar exemle a tests écessares das le re des cas b ReP ax y bx c et Im P axy by c et a Vor fcher sur le ste Math x b lm v r D C u r Re 7 C D ur u ur u C ur u ur uu C C 8

9 8 0, C D, ur u ur u C 0, D0, Les affxes état égales, les vecteurs sot égaux et CD est u arallélogramme 9 Vor corrgé e f de mauel 0 C,, semblet algés ur u 0 et ur uu 7 C 7 0 Les ots, C, e sot as algés D a C b c 6 Vor corrgé e f de mauel a b 7 6 a S 6 8 c S 6 6 d 6 9 c d 7 b S 7 7 d S 7 Vor fchers sur le ste Math x a a b a b a b( a b) a b a b a b a b aa bb b a b a b ab ab a b a b 7 8 a b c d e f 6 C 9 0 a b D a S 0 b S a, a Œ c S 6 d S ; e S f S S ; re rorété : ab a b a a b b e rorété : ar récurrece Italsato ( 0) : est vrae Hérédté : s est vra, alors ar hyothèse de récurrece et comatblté de la cojugaso avec le rodut P P e utlsat la comatblté de la cojugaso avec les oératos usuelles (léarté et assage à la ussace) b utlse : Ô 0 P Ì doc P 0 ÓÔ P P Pour aller lus lo :     P a a ak akp k k k k k k k0 k0 k0 k0 a utlsé la comatblté de la cojugaso avec les oératos usuelles et ak ak, obteu car a k est réel Pus o refat le rasoemet de b a et b D lm() E C E v r r u D C Re() C Ê ˆ 8 D E a x x y y y xy x b M Œ x y 0 x( y ) 0 x 0 ou y L esemble coceré est la réuo de l axe des ordoées et de la drote D d éuato y c Par exemle, o vérfe ue our les ots et E déjà tracés, et E sot be das l esemble de b 6 Vor corrgé e f de mauel 7 E osat a b, x, y réels, Z ab ab Z réel ImZ 0 a a Z magare ur ur u 6 u uu r Les ots sot doc algés Ê ˆ ReZ 0 b a a où a est réel b L esemble cherché est la drote d éuato rédute y x 8 Re 6ab a et Im a b b a magare ur b 6a L esemble cherché est ue hyerbole b réel a b b 0 Ê ˆ 9 a b 6 Chatre 9 Les ombres comlexes 9

10 x yx y 9 a Z d où x yx y x y x 7y X et Y x y x y b Z réel Y 0 y 0 L esemble E est doc l axe des abscsses rvé du ot d abscsse a Z Z X Y X Y Y 0 Z réel b Pour Z Z, 6 6 réel c et arg c 0 d et arg d e et arg e f et arg f g et arg g 6 D lm() 0 est réel, et C sot magares urs Vor corrgé e f de mauel v r Vor corrgé e f de mauel a M semble décrre ue arabole de sommet b M semble décrre ue demdrote cluse das l axe des ordoées E osat a b (a, b réels), aab( a b b) S est réel, b 0 et aa et Im Re L esemble obteu est la courbe de la focto x Æ x S est magare ur, a 0 et b b E étudat la focto b Æb b, o observe ue M décrt la demdrote cluse das l axe ; v r dot les ots ot des ordoées féreures ou égales à a M semble décrre ue arabole b M semble décrre ue demdrote cluse das l axe des abscsses E osat a b (a, b réels), a b b ab a S est réel, a a L esemble obteu est y la arabole d éuato x S est magare ur, a 0 et b b E étudat la focto b Æb b, o observe ue M décrt l esemble des ots de l axe ; v r d ordoées féreures ou égales à a b D lm() v r et arg a et arg b E F u r G C Re() C u r Re() 7 a Cercle de cetre et de rayo b Cercle de cetre et de rayo c Dsue de cetre et de rayo d Couroe comrse etre les dsues de cetre et de rayos et (la frotère avec le dsue le lus ett est exclue, l autre est cluse) 8 a Demdrote ouverte ]I avec I d affxe b Demdrote ouverte ]I avec I d affxe c Demdrote ouverte ]J avec J d affxe d Drote J rvée du ot 9 a Demdrote ouverte ] avec d affxe b Demdrote ouverte ] avec d affxe c Drote ( rvée du ot avec d affxe d Drote ( rvée du ot avec d affxe Ê ˆ 60 a cos s 6 6 Ê ˆ b cos s Ê ˆ c cos s d Ê Ê ˆ Ê ˆˆ cos s 6 a et arg b et arg 6 c 7 et arg 0

11 6 a et arg 6 6 b et arg c 6 et arg 6 a b 6 a 7 b c arg arcta 0, ª rad ª, 0 60 arg arcta ª, rad ª6, 60 arg arcta Ê ˆ,, ª rad ª 60 Ê ˆ 66 : et arg Ê ˆ : et arg 6 lm() v r S ab a our module r et argumet alors a b a our module r et argumet ; ab a our module r et argumet ; ab a our module r et argumet ; b a a our module r et argumet ; b a a our module r et argumet ; b a a our module r et argumet ; b a a our module r et argumet L égalté des modules mlue ue les hut ots aarteet au cercle de cetre et de rayo a b 69 a cosj sj doc a cosj sj j cosj Ê ˆ Ê cos jˆ doc cos cosj et j j sj s cos jê j jˆ Doc a cos cos s cos j 0 doc le module de a est cos j et u argumet de a est j a (a) ( + a) u r Re() ur uu ur uu rur uu rur uu et, u, u,, doc le 6 tragle est socèle rectagle e Ê 67 a cos s ˆ b Ê Ê ˆ cos s Ê ˆˆ Ê ˆ c cos a sa d cos a s a Ê ˆ 68 b La demdrote [) est la bssectrce de l agle u r ; uuur 70 Posos ab et a b a a ( b b ) doc a a b b a a b b doc a a b b a a b b et doc a b a b a doc : P ( + ) M ( ) M () Chatre 9 Les ombres comlexes

12 ur uu u r a P et MM uuu ot our affxe b P MM M M et 7 a et arg doc et arg b et arg doc et arg c et arg ; et arg doc Ê et arg ˆ 7 a ; doc b doc c 6 ; doc 7 a ; doc b 6 ; doc 6 c 6 ; 6 doc 7 0 doc 0 ou L esemble cherché est doc la réuo du cercle de cetre et de rayo et du ot 7 a arg arg arg doc Ê ˆ cos s Ê ˆ b arg arg arg doc Ê ˆ cos s 76 a arg arg L esemble cherché est la demdrote ]) b arg arg 8 L esemble cherché est la demdrote ]) Ê c arg arg ˆ L esemble cherché est la demdrote ]C) d arg arg 7 L esemble cherché est la demdrote ]D) 77 arg a réel k k Œ k Les eters aturels cherchés sot multles de b magareur k

13 k k Œ ucu eter aturel e eut être soluto 78 et arg arg arg arg a Œ * arg 0 arg L esemble cherché est la demdrote ( ; u) r b Œ * arg 0 arg 0 L esemble cherché est l axe ( ; u) r c Œ arg arg L esemble cherché est l axe ( ; v r ) a M L esemble cherché est le la comlexe rvé du dsue de cetre et de rayo Ô b MŒ Ì Ô Ó arg Ô Ì Ôarg Ó L esemble cherché est la demdrote d orge d affxe rerésetée cdessous 8 e ; e 6 ; e e e 8 e et e e ; 8 Vor corrgé e f de mauel 8 e e Ê ˆ e e (e ) M (e ) e ( ) ( ) e e ( e ) C ( e ) e e 7 e 87 Vor corrgé e f de mauel Ê 79 e ˆ Ê e ˆ Ê C e ˆ Ê ; 6 ; ; D e Ê ˆ E e F e ; ˆ ; 80 e ; e ; e0 ; 8 8e ; e ; e 8 (e ) C ( e 6 ) D (e ) ( e ) 88 a Vra b Faux Ê 89 j e j Ê ˆ e e j j ˆ j j 0 j j j j j 0 j 0 j 0 j j s j j j j j I j I j I est éulatéral c Vra d Vra Chatre 9 Les ombres comlexes

14 90 a Lorsue M décrt le cercle de damètre [], M semble aarter au segmet [] b Lorsue M décrt la médatrce de [], M semble aarter à lumême à la médatrce de [] N N M M 6 6 Par detfcato, o obtet : ʈ 6 ʈ 6 6 cos ;s 9 e a cos a s a e a cos a s a doc ea cosasacosa s a ea e a doc cosa cosa sa et sa sacos a a MŒ G M Il exste doc u réel tel ue e b e e cos cos est doc e réel aarteat à ; doc M est u ot du segmet [] Ê ˆ Ê ˆ y y, y Œ * y y y 0 f : y a y y 9 e t cos t s t ; et cost stcost stcost s t Doc cost cost stcost et st stcost s t À l ade de l égalté cos t s t, o a : cost cos t cost et st s t st 96 Vor corrgé e f de mauel 97 M aartet doc à la médatrce de [] 9 Sot soluto de l éuato (E) : ; o a doc d où a 0 e Ê ˆ b e e doc 0 est soluto de (E) Les uatre solutos de (E) sot doc 0, 0, 0 et 0 e e 6 9 ; 6 doc e 6 6 Par detfcato, o obtet : Ê ˆ 6 Ê ˆ 6 cos ; s ; Ê ˆ 6 Ê ˆ 6 cos ; s 9 e ; 6 e e doc 98 a 0 99 a Deux solutos : et b Quatre solutos : ; ; et c Deux solutos : ; ; ; 00 = est soluto de (E) : 0 Tros solutos :, et 0 Dsa (strctemet égatf) ; deux solutos comlexes cojuguées : e a et e a 0 Ds Solutos : e et e et C sot les ots mages des solutos our D et E sot les ots mages des solutos our Le cercle de cetre et de rayo C 0, 0, D = = E

15 0 a et b doc et arg C et arg, ur u uu r C Le tragle C est u tragle rectagle drect e, tel ue C 0 = = et doc est u tragle éulatéral ur u ur u Les vecteurs et DC ot la D même affxe doc C CD est u arallélogramme Pusue C = D =, CD est u rectagle 0 Vor corrgé e f de mauel 06 D arès les calculs effectués ar le logcel, le cercle a our cetre le ot K d affxe L structo abs C K due le module du comlexe C K doc KC Pusue le rayo du cercle est égal à K, o eut affrmer ue C aartet au cercle de damètre [] Sot I le ot d affxe et le ot d affxe MI MI Les ots M aarteet doc à la médatrce du segmet [I] c estàdre à la drote d éuato y Les ots M cherchés aarteet doc à la drote d éuato y b L esemble cherché est la médatrce du segmet [I] c Posos x y x y 0 L esemble cherché est la drote d éuato y 6x d L esemble cherché est la médatrce du segmet [D] où D est le ot d affxe 0 a Demdrote [), rvée de d affxe est le ot ayat our affxe 07 ur u uur DC doc CD est u arallélogramme b Demdrote [CD), rvée de C d affxe + Ê ˆ D est le ot ayat our affxe, u rur,cd uu D est doc u magare ur, doc CD est u C losage usue les dagoales [C] et [D] sot eredculares C D 08 a Cercle de cetre le ot d affxe, de rayo b Cercle de cetre le ot d affxe +, de rayo c Médatrce du segmet [CD] où C est le ot d affxe et D le ot d affxe d Médatrce du segmet [E] où est le ot d affxe 0 et E le ot d affxe + 09 a Sot M le ot d affxe M et M sot symétrues ar raort à l axe des réels c Demcercle de damètre [JJ ], rvé de J et J et coteat le ot E d affxe J et J sot les ots d affxes et E J J Chatre 9 Les ombres comlexes

16 d Drote (FJ) rvée du segmet [FJ], F ot d affxe + J F L esemble cherché est la drote () rvée de [] a e ; e 6 ; C e 6 b et c, et C aarteet doc au cercle G de cetre et de rayo C e doc = C C Ê arg ˆ ur u uur doc C, C C est doc u tragle éulatéral C doc ur u ur u C = et, C C est u tragle rectagle socèle e ur u ur u ur u CD carré D C D I est le cetre du carré CD a I doc,, C et D aarteet à G b MI G est le cercle de cetre I et de rayo Sot et les ots d affxes et a Œ arg ur uu uuur M, M doc ur uu ur uu Œ M, M L esemble cherché est le cercle de damètre [] rvé de ur uu uuur b Œ * arg M, M ur uu ur uu M, M L esemble cherché est le segmet [] rvé de et Sot et les ots d affxes et a M M L esemble cherché est la médatrce de [] b Œ * arg 0 ur uu uuur ur uu ur uu M, M 0 M, M 0 P 6 9 P 0 ou ou ur u ur u et DC ot our affxe doc CD est u arallélogramme C ur u ur u doc C et, C doc CD est u carré 6 7 a x y xy x y 6 x x y x y yy xx ( ) x y x y et y x y x y b MŒ E Œ y 0 x y x y 0 x y 8 L esemble E est doc le cercle de cetre I d affxe et de rayo rvé du ot d affxe 6

17 Œ magare ur Sot le ot d affxe et le ot d affxe magare ur arg Ê ˆ M ur uu M ur uu, L esemble E est doc le cercle de damètre [], rvé de, doc de cetre I d affxe et de rayo 8 Sot et les ots d affxes et a Vra (drote () rvée de ) b Faux (médatrce de []) c Faux (cercle) d Faux (drote () rvée de ) e Vra (drote () rvée de ) 9 Codto écessare et suffsate 0 Codto écessare soluto de l éuato 0 ou s, Re Codto suffsate uuemet E effet, s est réel, est u réel (évdet) S Re, est u réel ur u a a our affxe (égalté correcte) b (dstace et module) c 0 ur u uur Ê C ˆ d, C arg arg (agle et argumet) PPRFNDISSEMENT Das l exercce, o ote x y (x, y réels) a Vra : arès calcul, Im Re y x b Vra : arès calcul, Im Im y x c Vra : x y x y y x d Faux : x y x y y x e Vra : x y x y y x S ; ; a lm() r v I u r Re() b doc Le tragle état socèle e, la médae I est auss la bssectrce de (et la médatrce de c Das le tragle, $ arg Par la somme des agles d u tragle, $ $ $ 8 d cos I 8 r Ê ˆ I doc I I u fal, cos 8 7 a Vor fcher sur le ste Math x b Il semble ue, M et S soet algés Sot e ( Œ0; ) lors e e e e cos Œ ur uu S s, Œ : les vecteurs M uuur ur u et S sot doc uuur M coléares, la cojecture est démotrée 8 Vor fcher sur le ste Math x : l semble ue MP ^ NQ et ue MP NQ a b m est le ombre comlexe de module a m M ur uu ur uu et d argumet M, M : c est doc le M ombre e dédut ue m b a c b b De même, o dédut ue d c, et a d c E smlfat ar, m d cba d b a c c ba d c ad b Chatre 9 Les ombres comlexes 7

18 Doc m MP NQ et Ê mˆ ur uu ur uu arg, QN MP Les cojectures sot démotrées 9 x y x y et y x sot les affxes resectves de M de M M,, M sot algés M uuuur uuuuu r et M sot coléares x y x x yy 0 x y x y 0 Ê Ê ˆ M Ê ˆ ˆ x y x y x y 7 L esemble E est le cercle de cetre et de rayo 60 0 ; arg 0 a P 0 M 0 M 0 uuuur b M 0 a our affxe 0 M 0 a our affxe 0 uuuur M0 M 0 Les ots, M 0 et M 0 sot doc algés Ê ˆ, M, M algés arg M 0 M réel M M réel réel x xy y x y réel x y y y 0 yx y 0 x y usue y 0 6 Vra Faux (drote ()) Vra Vra Faux (MM M 6 Vra 6 u, u, u 0, u et u rocède ar dsjocto de cas : our k Œ, u k, u k, u k et u k a utlse la formule doat la somme des remers termes d ue sute géométrue (réelle) S remerterme rasoombre de termes raso Ê ˆ sot S b E utlsat le cojugué du déomateur, o trouve S rocède à ouveau ar dsjocto de cas : our k Œ, S k 0, S k, S k et S k 6 et 0 9 a b a a Ref ab ab a b b et Imf ab ab b c Vor fcher sur le ste Math x a 0, 0, ; 0, 779 0, ; 0, , et 0, 0, b 0 c eut cojecturer ue our tout Œ a eut d abord vérfer l exstece de u our tout Œ e motrat, ar récurrece, ue est jamas ul Pus, our Œ, u u u est doc ue sute arthmétue de raso b Par aaloge avec les sutes réelles, o écrt : u u0 sot et our tout Œ uuur uuuu r 6 M M 0 xx yy 0 Re 0 car Re xx yy Ê ˆ, M, M algés arg 0 réel réel Im 0 Re 0 Re( ) 0 Re x xy x xx y L esemble recherché est la réuo de l axe des magares et du cercle de cetre et de rayo 8

19 Ê ˆ a d où l égalté b, M, P algés Im ÊÊ ˆ ˆ 0, M, P algés Im Ê ˆ 0, M, P algés Im 0, M, P algés 0 ou Im xxy y 0, M, P algés 0 ou xy 0, M, P algés ou ou x 0 ou y 0 L esemble cherché est doc la réuo de l axe des réels et de l axe des magares rvé de 6 réel y 0 y 0 y 0 E est doc l axe des abscsses rvé de magare ur x 0 x y x 0 x y G est le cercle de cetre I d affxe et de rayo, rvé de M M M M I est doc la médatrce de [] Ê ˆ ur uu uuur arg arg, M M ur uu uuur réel o ul arg 0 M, M 0 F est doc la drote (), c estàdre l axe des abscsses, rvé de et E est doc l axe des abscsses rvé de magare ur o ul ur uu uuur arg M, M H est le cercle de damètre [], rvé de et G est le cercle de damètre [], rvé de ẕ C réel réel Ê ˆ réel E est doc l axe des abscsses rvé de M Œ G magare ur Ê ˆ Re Re x y x 0 et G est le cercle de cetre I d affxe et de rayo, rvé de 66 Sot a réel E utlsat les formules de dulcato, a a a a e a s s cos s sacos a e a a x état dfféret de k, a est dfféret de C S a x Âe  k0 k0 est la somme des termes cosécutfs de la sute géométrue de raso a et de remer terme a Par coséuet, C S a b E utlsat l égalté de la uesto our le umérateur et le déomateur, x x x s e s x C S e x x x s e s x s Êxˆ doc C ReC S cos x s x s Êxˆ et S ImC S s x s c S x Êxˆ Êxˆ, cos cos 0, s s Ê ˆ Ê ˆ et, de lus, s s cos cos Doc C 0 et S s E rereat les exressos tales de C et S, o retrouve les deux égaltés voulues 67 e cos s ; e cos s Par addto, cos e e doc cos e e Par soustracto, s e e doc s e e cos e e e e e e 8 doc cos e e e e 8 s, cos cos cos Chatre 9 Les ombres comlexes 9

20 De même, s e e e e e e 8 doc s 8 e e e e s, s s s cos e e e 6e e 6 e e e doc cos e e 6 e e 6 s, cos cos cos 8 68 C est le ombre comlexe de module C C ur u ur u et d argumet C, C : c est doc le C ombre De l égalté C, o tre la relato C voulue Pour 0, le rogramme aelle le segmet Pour, le rogramme aelle la rocédure drago our les ots et C d ue art, et C d autre art Chacu des aels ermet le tracé des segmets C et C (usue est décrémeté à 0) Pour, de même, le rogramme trace les segmets D, DC, CE et E s k : x y ; s k : x y ; s k : x y ; s k : x y 6 Vor fcher sur le ste Math x Ê ˆ 70 a arg arg Ê ˆ Ê ˆ arg arg Ê ˆ Ê ˆ arg arg arg arg 0 Ê ˆ doc arg arg Ê ˆ doc arg arg arg Ê b arg ˆ arg arg d arès la uesto récédete Ê ˆ ruuuuur arg u MM u MM ruuuuur,, uuuuur r r uuuuur uuuuur uuuuur MM, u u, MM MM, MM c a b a doc c a b a sot C Ê c aˆ arg b a arg doc ur u uur, C C est doc u tragle rectagle socèle drect e Sot E le ot d affxe + arg, ME ur uu M uuur L esemble cherché est doc le demcercle de damètre [E], rvé de et E reréseté cdessous PRLÈMES 69 0 e ; e ; e ; e a our tout de b arg arg doc, comme arg est ue sute arthmétue de raso, arg our tout de c Ê ˆ e our tout de Ê ˆ doc : 7 I Posos x y x y x y x 0 x 0 y magare ur 0

21 xy x y y 0 y 0 x réel x yx y x y x y x y Pusue x y, o a be : II 0 ; 0 ; C 0 doc est le cetre du cercle crcoscrt au tragle C H a our affxe III est le cetre du cercle crcoscrt au tragle C s et seulemet s C C a b c a b c aa bb cc a w bc bc bc bc bc bc bc bc doc w w w est u magare ur b b cb c bbbc cb cc bc bc car bb cc doc w b cb c b c b c b c b c b c b c w bcb c b c b c c b c état u réel strctemet ostf et w u magare ur, b c est u magare ur b c ur u uuur abc a C, H arg arg b c b c b c doc la drote (H) est ue hauteur du tragle C, tout comme la drote (H) H est doc l orthocetre du tragle C 7 Cette éuato du secod degré, à coeffcets réels, a our dscrmat D6cos 6s 0 et ce, uelle ue sot la valeur de das 0; Les solutos sot de la forme cos s Par exemle, e et e Par coséuet, les deux ots M et M, symétrues ar raort à l axe des réels, décrvet le cercle de cetre et de rayo 7 S =, Re doc est u réel ur u uuur 77 se lace das le reère comlexe ; H, ur u ur u uur uru uur ur u lors ab g, E, E, CE argur u arg uru arg ur u E E CE E utlsat les rorétés de l argumet, ab g arg s, ab g arg0 E rocédat de même, o obtet cette fos : ab g arg8 arg66 78 Posos e avec Œ0; e À artr de Z, o factorse au umérateur et au e : déomateur ar e e e e cos Z e e e s cos u fal, Z est doc u ombre magare s ur 79 E osat x y et x y (x, y réels o tous uls et x, y réels o tous uls), la codto s écrt auss : x x y y x x y y sot xx yy xx yy, ce u revet falemet xx yy 0 retrouve be l exresso aalytue d u rodut scalare ul et doc l orthogoalté des drotes M et M L affrmato est vrae 80 U remer cas où les tros ots sot algés est celu où deux au mos des ots sot cofodus : = = 0 ou = = ( ) = 0 = 0 ou = ou = = ( ) = 0 ( )( + ) = 0 = 0 ou = ou ou Suosos mateat ue les tros ots sot deux à deux dstcts doc ue est dfféret des valeurs trouvées cdessus lors les ots sot algés s et seulemet s est réel r car 0 et Œ 0 ou Re() = Chatre 9 Les ombres comlexes

22 E rassemblat les dfférets cas : Les ombres comlexes tels ue les ots d affxe, et sot algés sot les réels et les ombres comlexes de arte réelle 8 Notos Z Remaruos déjà ue Z exste ue s 0 et S 0 ou, les tros ots sot cofodus (doc algés) uuuuur So, M, M et M sot algés MM et uuuuuu r MM sot coléares Z k Œ ImZ 0 r Z et e factorsat ar ( est race évdete), et Z s, e osat a b (a, bréels), Im Z 0 Im 0 bab 0 ba 0 Les ots sot doc algés lorsue Œ ou lorsue est de la forme b (b Œ) cos s 8 Posos Z cos s lors e Z e remarue ue Z est be déf lorsue 0 E rereat le calcul fat à l exercce 78, o trouve cos Z s s, Z est réel l est est ar 8 E fasat ue combaso léare des deux lges, le système est éuvalet à l éuato suvate : sx s y cosx cos y sa cosa e x e y e a Cas où a : le membre de drote est ul et x y Cas où a : l éuato éuvaut à x y x y x y a a a e e e e e e x y a x y e a cos e cos E reat le module de cette relato, o trouve x y a cos cos d où x y a E reat u argumet de cette relato, o trouve x y a x (car arg cos y 0 ou ) d où x y a er souscas : xya alors xa et y 0 e souscas : xya alors x 0 et y a ccomagemet ersoalsé Chosr la boe forme e ; 6 e ; Ê ˆ e ; e ; 6 e 7 ; 6 e ; e ; 8 e Pour calculer 8,,, o utlse la forme algébrue Pour calculer 6, 7, 9 7,, o utlse la forme exoetelle Étuder ue cofgurato Étae a lm() D r v u r C b D semble avor ue affxe de Étae a ur u et ur CD uu D b De ur u uuur, o dédut CD D Étae a 0 De même, C 0 et C 0 b De C 0 et C C, o dédut ue C est rectagle socèle e ur u ur u a ; et C; ur u uur b C 0 et 0 C a est le ombre comlexe de module C C ur u uur et d argumet C, b E detfat module et C argumet, o trouve C et ur u uur C, Gérer u QCM sur les ombres comlexes Questo Les uatre réoses roosées ot même arte réelle et même arte magare, au sge rès Re()

23 Par coséuet, elles ot même module 0 8 et (réose d) Questo La réose est : y x (réose b) Questo réel Im 0 arg 0 La derère codto semble la lus arorée Ê ˆ a e e arg doc b dot résoudre l éuato k La soluto est k (réose c) Questo E osat et, arg, M ur uu ur uu M a L égalté roosée fat eser à u cercle élme doc les réoses a et c La boe réose est d Questo Pour réodre à la uesto, o eut essayer de tester chaue réose (tro log) ou be trasformer l éuato roosée, u devet ue éuato du secod degré La boe réose est b Chatre 9 Les ombres comlexes