Fonction logarithme népérien Corrigés d exercices / Version de décembre 2012

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1 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 Les eercices du livre corrigés das ce documet sot les suivats : Page 9 : N, 6 Page 9 : N Page 9 : N 7, 9 Page 98 : N 9,,, 6, 7, 9 Page 99 : N 4, 47, 49, Page 00 : N 7, 60, 67, 69, 7 Page 0 : N 76, 77, 79, 8 Page 0 : N 94, 9 Page 08 : N 08 Page 09 : N, 4 N page 9 a) L argumet de l epoetielle e pose aucu problème de défiitio O résout l équatio das e = = l = 0 = L équatio admet ue solutio : b) L argumet de l epoetielle e pose aucu problème de défiitio O résout l équatio das 4 La foctio epoetielle pred des valeurs strictemet positives : e e peut doc être égal à L équatio admet pas de solutio N 6 page 9 a) L argumet de l epoetielle e pose aucu problème de défiitio O résout l iéquatio das 0, e = 0, = l 0, = 0 = 0 = 0 L équatio admet ue solutio : 0 b) L argumet de l epoetielle e pose aucu problème de défiitio O résout l iéquatio das e = = l = l L équatio admet ue solutio : l Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

2 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N page 9 Malik se trompe! E effet, avat de résoudre l iéquatio l ( ) cherche les évetuelles solutios l eiste si, et seulemet si, > l, o doit chercher das quel esemble o > 0 c'est-à-dire si 0 l eiste si, et seulemet si, > 0 E défiitive, les deu membres de l iégalité eistet si, et seulemet si : > 0 O doit doc résoudre cette iéquatio das O a alors, pour tout réel strictemet positif : l > l > Cette derière iéquatio admet pour esemble de solutio das : ] ;0[ ] ; [ mais comme ous devos uiquemet reteir les solutios strictemet positives, o e déduit fialemet que l esemble des solutios de l iéquatio l l ; > est l itervalle : ] [ N 7 page 9 O a : 6 A = l 4 l = l l = l l = l l = 6l l = l A = l N 9 page 9 Soit t le tau de dimiutio auel moye sur cette période Nous le choisissos positif et itroduisos e coséquece u sige das l équatio ci-après De 979 à 007, 8 aées se sot écoulées et le tau cherché vérifie doc : 8 t 7, = 4, 00 Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

3 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 O a alors : 8 8 t t 4, 4 7 7, = 4, = = = , 7 t 7 t 7 8l = l l = l t 7 t 7 = ep l = ep l t = 00 ep l,9 8 La surface de la baquise du pôle ord a dimiué e moyee de 979 à de ep l % par a, soit eviro,9% par a 8 N 9 page 98 l 7,9 est le réel dot le l epoetielle vaut 7,9 Or, o ous doe e 7,9 O e déduit doc immédiatemet : l 7,9 A la calculatrice, o obtiet : l 7,9,0008 N page 98 a) L argumet de l epoetielle e pose aucu problème de défiitio O résout l équatio das O a : e = = l = l 0, L équatio admet ue solutio : l 0, b) L argumet de l epoetielle e pose aucu problème de défiitio O résout l équatio das O a : e = = l = l = l 0,69 L équatio admet ue solutio : l 0,69 Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

4 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N page 98 a) D après la figure fourie, l équatio f ( ) = semble admettre solutios (ombre de poits d itersectio de la courbe représetative de la foctio f et de la droite d équatio y = ) Les abscisses de ces deu poits semblet valoir et (cf les poits A et B ci-dessous) b) O a : 6 f = e = 6= 0 O obtiet ue équatio du secod degré dot le détermiat associé vaut : Δ = 4 ( 6) = 6 4 D où les deu racies : = = = = et = = = La cojecture est validée L équatio f ( ) = admet deu solutios : et Féelo Saite-Marie 4/ M Lichteberg

5 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N 6 page 98 a) D après le graphique, il semble que les solutios de l équatio f ( ) = 0 valet eviro 0,4 et,8 b) O a : f = 0 l l = 0 l = ou l = = e ou = e = 0,68 ou = e, 78 e L équatio f ( ) = 0 admet pour solutios e et e N 7 page 98 Notos d abord que le membre de gauche de l équatio est défii lorsque le logarithme épérie de l est, c'est-à-dire lorsque l o a > 0 O résout doc l équatio das Les deu ombres doés par Xcas sot e et e Ils sot bie strictemet positifs Pour = e, o a l l e = = et : l l 6 = 6 = 9 9 = 0 Pour = e, o a l l e = = et : l l 6 = 6 = 6 6 = 0 Les réels e et e sot bie solutios de l équatio l l 6 = 0 Le résultat ci-dessus est satisfaisat mais e u ses seulemet O peut e effet se demader si l équatio ( l ) l 6 = 0 admet pas d autres solutios Aisi, plutôt que vérifier que tel ou tel réel est bie solutio de cette équatio, ous allos la résoudre directemet Pour cela, o pose classiquemet : alors : X X 6= 0 X = l (chagemet de variable) L équatio se récrit Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

6 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 Sous cette forme, ous recoaissos ue équatio du secod degré et détermios sas peie ses deu solutios : et Attetio! Il coviet alors de reveir à la variable d origie : X = l = = e et X = l = = e O retrouve aisi les deu solutios e et e et elles-seules! N 9 page 98 a) Le réel l ( ) eiste si, et seulemet si, o a : > 0, c'est-à-dire > = 0, b) Avec Geogebra, ous obteos : La foctio f est bie défiie sur l itervalle ] 0, ; [ c) D après la représetatio graphique obteue, les poits A et B, poits itersectio de la courbe représetative de la foctio f avec les droites d équatio y = et y = respectivemet, semblet admettre pour abscisse 0, et,8 respectivemet Féelo Saite-Marie 6/ M Lichteberg

7 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 d) O a : e f = l = = e = e = 0,44 e f = l ( ) = = e =,87 Les équatios f ( ) = et f ( ) = admettet pour solutios e e 0,44 et,87 respectivemet N 4 page 99 f ' = l 0= l a) b) g' = l = l = ( l ) N 47 page 99 a) f ' b) g' ( ) l ( ) l l = = = l ( ) l l l l = = = ( ) ( ) N 49 page 99 Pour tout réel strictemet positif, o a : f ' = 0 = y= f ' f L équatio réduite de la tagete au poit d abscisse s écrit : y = f ' f = l = = 8 Soit : () () L équatio réduite de la tagete à la courbe représetative de la foctio f : l au poit d abscisse est bie : y = 8 Féelo Saite-Marie 7/ M Lichteberg

8 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N page 99 a) Le deuième résultat est clairemet le plus utile pour utiliser le sige de la dérivée de la foctio f puisqu il correspod à ue forme factorisée de la dérivée b) O a : f ' = ( l ) Comme o travaille sur, le sige de ' f est celui de l O a : l = 0 l= = e = e La foctio l état strictemet croissate, o e déduit immédiatemet : Pour 0; e f ' < 0, Pour ; e O e tire fialemet : c) Comme f ' > 0, La foctio f est strictemet décroissate sur l itervalle 0; e La foctio f est strictemet croissate sur l itervalle ; e e <, o a immédiatemet [ ] ; ; Aisi, la foctio f est e strictemet croissate sur l itervalle [ ; ] Elle est, par ailleurs, cotiue sur cet itervalle comme produit de deu foctios (la foctio carrée et la foctio logarithme épérie) cotiues sur et doc sur [ ; ] l 0 0 f = l = 4l,77 Efi, o a f = = = et Comme [ 0:4l], le théorème de la bijectio ous permet fialemet de coclure que l équatio f ( ) = admet ue uique solutio sur l itervalle [ ; ] L équatio f ( ) = admet ue uique solutio sur l itervalle [ ; ] A titre de complémet, otos qu avec le logiciel Xcas (commade «fsolve»), o obtiet, e otat α la solutio obteue : α,8 Par ailleurs, page suivate, o a fouri ue représetatio graphique de la foctio f et de la droite d équatio y = Féelo Saite-Marie 8/ M Lichteberg

9 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N 7 page 00 a) E utilisat la formule u ' = u u' avec, pour u, la foctio logarithme épérie, o obtiet, pour tout réel strictemet positif : l f ' = l 0= O a bie : l, f ' = b) D après le résultat précédet, le sige de f ' est idetique à celui de l (le déomiateur de la fractio état strictemet positif) O a doc : 0; f ' < 0 Si ] [, f ' = 0 Si >, f ' > 0 Féelo Saite-Marie 9/ M Lichteberg

10 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 O e déduit immédiatemet que la foctio f est : 0; strictemet décroissate sur l itervalle ] ] strictemet croissate sur l itervalle [ ; [ Aisi, la foctio f admet u miimum pour = et ce miimum vaut : f () = ( l) = La foctio f admet u miimum pour = et o a : f = A titre de complémet, ous fourissos ci-dessous la courbe représetative C de la ; foctio f e ayat fait apparaître le poit S de coordoées Féelo Saite-Marie 0/ M Lichteberg

11 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N 60 page 00 a) La foctio logarithme épérie est strictemet croissate sur et s aule e Il lui l s aule e 0, abscisse du poit d itersectio de la courbe de gauche avec l ae des abscisses correspod doc la courbe de droite O vérifie égalemet que la foctio b) O e peut calculer f ( ) que pour > 0 et o e peut calculer g l ( ) pour tel que > 0, soit simultaémet que pour das ] [ = que < E défiitive, o e peut calculer f ( ) et g ( ) 0; ; = 0; c) L iéquatio l > l ( ) équivaut à f g > D après la questio précédete, o résout doc cette iéquatio sur l itervalle 0; Pour tout réel das 0;, o a : l > l > > > Aisi, l iéquatio l > l ( ) admet pour esemble de solutio : ; Cet itervalle correspod au abscisses des poits de la courbe représetative C f de la foctio f situés au-dessus des poits correspodats de la courbe représetative C f de la foctio g Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

12 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N 67 page 00 a) l 6 = l ( ) = l l b) c) d) l = l = l l = l l l l l = 9 l = l = l l = l l 8 N 69 page 00 a) b) c) d) l4= l = l 0,7=,4 l 8 = l = l 0,7 =, l l 0,7 = 4 l = l = l = 4l 4 0,7 =,8 4 6 N 70 page 00 a) b) l l l 6 = l = l = l0 l 0 l 0 l 40 = l = l = l l 8 = l l = l l l0 l 0 l 0 l 40 = l0 l l0 l l0 l 4 l0 c) 8 d) e) = l l l 4 = l l l = l l l = l l l e l = l l e l = l e= l e l e= 8l e l e= 8 = l l l e e l e= e = = e f) l = l l e l = l l = l l ou Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

13 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N 7 page 00 a) Le membre de gauche de l équatio est défii que pour tel que > 0, soit > Le membre de droite est défii que pour tel que 6 > 0, soit < ; ;, c'est-à-dire E défiitive, o va résoudre l équatio das l esemble ] [ ] [ ] ; [ b) Pour tout das ] ; [, o a : 6, o coclut fialemet : 7 Comme ] ;[ ( ) ( ) ( ) l l = l 6 l = l 6 = 6 0= 6 7 = 6 = 6 7 L équatio l l ( ) l ( 6 ) = admet 6 7 pour uique solutio N 76 page 0 l eiste si, et seulemet si, o a : > 0 l ( ) eiste si, et seulemet si, o a : > 0, soit O résout doc l équatio sur l itervalle ; Pour tout réel strictemet supérieur à, o a : > l l = l l = l = 0 = Cette derière égalité état fausse, l équatio admet pas de solutio L équatio l l l ( ) = admet pas de solutio Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

14 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N 77 page 0 l, l, l l, l l, O a : l 7,7 l, Le plus petit etier aturel vérifiat, est doc 8 A titre de vérificatio : 7 8,, 9 et,,4 O a : 000 l l 000 l l l0 l l l0 l l l l 4l l l 4l l l l 4 l l O a : 4 0,97 l Le plus petit etier aturel vérifiat 000 est doc A titre de vérificatio : 0 = 04 et = 048 l,, 0, l, 0 l, l, 0 l, l, 0 l, O a : 0, 48 l,0 Le plus petit etier aturel vérifiat,0, est doc A titre de vérificatio : 0, 0, 486 et, 0,6 l, l, l l, l 00 l, l O a :, l, 4 Le plus petit etier aturel vérifiat est doc 00 A titre de vérificatio : 4,6 et 00, 00 Féelo Saite-Marie 4/ M Lichteberg

15 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N 79 page 0 La répose de Joséphie est pas correcte! La calculatrice formelle résout l iéquatio das Nous e savos pas (ecore) effectuer ue telle résolutio E revache, le ombre 8, est strictemet supérieur à 8 et le plus petit etier aturel solutio de l iéquatio 0,7 < 0, sera doc 9! A titre de vérificatio : 8 0, 7 0,00 et 9 0,7 0,07 08 N 8 page 0 Soit t (e %) le tau cherché Nous le cosidéros comme positif (o parlera doc d u «tau t de dimiutio») e utilisat le coefficiet multiplicateur chaque aée 00 La période cosidérée comportat aées, le coefficiet précédet est appliqué fois, ce qui t correspod à u coefficiet global égal à 00 Sur la période cosidérée, o souhaite ue baisse globale de % Cette baisse correspod à u coefficiet multiplicateur égal à : = 0,7 00 t E défiitive, o obtiet l équatio : = 0,7 00 E utilisat le logarithme épérie, o obtiet alors : t = 0,7 00 t t l = l 0,7 l = l 0, t l 0,7 t l 0,7 = ep = ep l 0,7 t = 00 ep,9 Ue dimiutio de % sur as équivaut à ue dimiutio auelle moyee l 0,7 de t = 00 ep % soit eviro,9% Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

16 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N 94 page 0 (et à fortiori sur l itervalle [ ;6 ]) comme Notos que la foctio f est dérivable sur somme d ue foctio polyôme ( 0 9) et d ue foctio proportioelle à la foctio logarithme épérie ( 8l ) toute deu dérivables sur Pour tout réel das l itervalle [ ;6 ], o a alors : f ' = 0 = = Le discrimiat Δ associé au triôme 4 Δ = 4 4 = 6 = 9 ( ) 9 8 D où les deu racies : = = = = et = = = 4 O a aisi la factorisatio : 4= ( )( 4) (Remarque : o pouvait l obteir plus directemet e otat que était racie évidete, la somme des coefficiets état ulle) D où, fialemet : vaut : ( )( 4) [ ;6 ], f ' = Notos d abord que pour tout réel de l itervalle [ ;6 ], o a fodametalemet, d étudier le sige du produit ( )( 4) Pour ] ;4[, o a : ( )( 4) < 0 et doc f '( ) > 0 Pour ] 4;6[, o a : ( )( 4) > 0 et doc f '( ) < 0 Efi, o a f ' () = f '4 = 0 Fialemet : La foctio f est strictemet croissate sur l itervalle [ ;4 ] et strictemet décroissate sur l itervalle [ 4;6 ] < 0 Il coviet doc, Il découle immédiatemet de l étude précédete que la foctio f admet u maimum pour 4 ;6 La valeur maimale correspodate vaut : = sur l itervalle [ ] f = = = l l 6l, Féelo Saite-Marie 6/ M Lichteberg

17 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 Il e ous reste plus qu à calculer f et ( 6) f O a alors le tableau : f : f = l= = 0 6 = l 6 = l 6 = 8l 6 0, f 0 4 Le maimum de f est obteu pour = 4, ce qui correspod à ue productio de f 4 = 6l,909 6, ce qui correspod à 400 pièces Le maimum de f vaut alors u bééfice de (valeur arrodie à l euro) Féelo Saite-Marie 7/ M Lichteberg

18 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N 9 page 0 a) La foctio g est dérivable sur comme somme de deu foctios dérivables sur cet itervalle : la foctio polyôme et la foctio l, proportioelle à la foctio logarithme épérie Pour tout réel strictemet positif, o a : g' = = Comme l iverse d u réel strictemet positif est u réel strictemet positif, o e déduit g' > 0 puis que la foctio g est strictemet croissate sur immédiatemet que l o a La foctio g est strictemet croissate sur b) O a immédiatemet g = 0 (remarque : idépedammet du fait que cette valeur est fourie das l éocé, il est légitime de peser à la valeur puisque cette valeur aule à la fois la foctio polyôme et la foctio logarithme épérie) La foctio g état strictemet croissate, elle e peut s auler pour ue deuième valeur L équatio g( ) = 0 admet comme uique solutio sur l itervalle ] 0; [ c) Pour <, soit ] 0;[, o a, g état strictemet croissate : g g g( ) < 0 Pour >, o a cette fois g > g, soit g( ) > 0 Efi g = 0 La foctio g : est strictemet égative sur l itervalle ] 0; [ est strictemet positive sur l itervalle ] ; [ s aule e l a) La foctio est dérivable sur dérivables sur cet itervalle Aisi, la foctio f est dérivable sur deu foctio dérivables sur cet itervalle <, soit comme rapport de deu foctios comme différece de Féelo Saite-Marie 8/ M Lichteberg

19 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 Pour tout réel strictemet positif o a alors : f ' l l = = 4 ( ) l l l = = = g = Pour tout réel strictemet positif, o a > 0 O e déduit immédiatemet : Les foctios f ' et g ot des siges idetiques b) D après la questio c), il viet alors immédiatemet : La foctio f est strictemet décroissate sur l itervalle ] 0; ] et strictemet croissate sur l itervalle [ ; [ A titre de complémet (et e aticipat u peu sur la questio suivate ), ous fourissos ci-dessous les courbes représetatives C et Γ des foctios f et logarithme épérie respectivemet Féelo Saite-Marie 9/ M Lichteberg

20 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 c) Pour étudier la positio relative des deu courbes, o peut étudier le sige de la différece l f l l O a immédiatemet : l f = l l = Comme le déomiateur est strictemet positif, le sige de cette fractio est celui de so umérateur, c'est-à-dire celui de la foctio logarithme épérie! O e déduit immédiatemet : Si ] 0;[, o a l < 0, d où l f < 0 et la courbe Γ est situé sous la courbe C Pour =, les courbes Γ et C se croiset Pour >, o a l > 0, d où l f > 0 et la courbe Γ est situé au-dessus de la courbe C N 08 page 08 a) O a les poits A( 0; ) et B( ;) Posos y = a b l équatio réduite de la droite la droite ( AB ) est pas verticale) AB (ue telle équatio eiste puisque Les coordoées de A vérifiet cette équatio : = a 0 b D où : b = Les coordoées de B vérifiet cette équatio : = a ( ) D où : a = E défiitive : L équatio réduite de la droite AB est y = b) A( 0; ) état u poit de C, courbe représetative de la foctio f, o a immédiatemet : f ( 0) = La droite ( AB ) de coefficiet directeur état tagete à C e f '0 = E; ( l) A 0;, il viet : état u poit de C, o a immédiatemet : f = l Efi, la droite Δ est tagete à C e E; ( l) et est horizotale (droite de coefficiet directeur ul) O e tire : f ' = 0 E défiitive : f ( 0) =, f '0 =, f = l et f ' = 0 c) Par lecture graphique, la droite d équatio y = coupe la courbe C e deu poits O e déduit : L équatio f ( ) = admet deu solutios Féelo Saite-Marie 0/ M Lichteberg

21 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 d) Là ecore par lecture graphique, o peut cojecturer : La foctio f est strictemet croissate sur l itervalle ] ;] et strictemet décroissate sur l itervalle [ ; [ b O admet : f = a l( ) O a : O a doc D où : b f ( 0) = a 0 l( 0 ) = b= b= = 0 b = et f = a l( ) f () = l a l ( ) = l a 4 l = l a = Fialemet : f = ] ; [, l E guise de vérificatio, o peut dériver f et calculer f '0 et ' O a : ( ) f ] ; [, f ' = D où : f '0 = = = 0 ( 0 ) f ' () = = = 0 ( ) Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

22 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N page 09 Notos A ( ;l ) a a L équatio réduite de la tagete à C e ce poit s écrit : y = ( a ) l a = l a a a O veut que cette droite passe par le poit de coordoées ( 0; ) O doit doc avoir : = 0 la = la a O a alors : = la la = a = e O a trouvé ue uique solutio Pour tout etier aturel, le poit A est défii de faço e ; uique, il s agit du poit de coordoées Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

23 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 N page 09 Raisoos sur la première aée La dette de l état augmete de %, c'est-à-dire, e valeur, de % 400 = 0 milliards d euros Or ce motat correspod eactemet à la capacité auelle de remboursemet de l état Aisi, à la fi de la première aée, la valeur de la dette publique de cet état sera toujours de 400 milliards d euros Avec u tel modèle, la dette publique de l état reste ichagée à 400 milliards d euros et e sera jamais remboursée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg