Analyse de sensibilité dans un contexte. de prévision du prix des métaux

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1 UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL Analyse de sensblté dans un contexte de prévson du prx des métaux ABBASSI ABBASS MAHAMAT DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES ET GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL MÉMOIRE PRESENTÉ EN VUE DE L OBTENTION DU DIPLÔME DE MAITRISE (SCIENCES APPLIQUÉES) MARS 2011 ABBASSI ABBASS MAHAMAT, 2011.

2 UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Ce mémore nttulé: Analyse de sensblté comme outl de prévson et applcaton au marché des métaux Présenté par : ABBASS MAHAMAT, Abbass, pour un mémore En vue de l obtenton du dplôme de : Maîtrse en Scences Applquées A été dûment accepté par le jury d examen consttué de : M.LABIB Rchard, Ph.D., présdent M.CLEMENT Bernard, Ph.D., membre et drecteur de recherche M. ADJENGUE Luc, Ph.D., membre et codrecteur de recherche M. Maro Lefebvre, Ph.D., membre

3 DÉDICACE Je déde ce mémore à mes parents pour tous les sacrfces fats pour me permettre d avor l éducaton qu ls n ont jamas eue. Je salue leurs courages pour m avor perms de partr vers des contrées lontanes afn de pouvor élever mon esprt. Je déde également ce mémore aux autres membres de ma famlle qu dans leurs consels et souten j a toujours trouvé un puts pour me ressourcer, pour ces courts moments plens de souvenrs qu m ont perms d être l homme que je sus. A mes ams, camarades des nuts blanches passées à étuder, ls se reconnaîtront, merc pour le souten et d avor à votre manère contrbué en mantenant toujours la barre haute, au dépassement de mes lmtes; que cet esprt de compétton gude le reste de vos jours sur terre et fasse de vous les hommes que vous rêvez d être.

4 v REMERCIEMENTS Je remerce mes drecteurs de recherche, les professeurs Bernard Clément et Luc Adjengue, pour avor cru en mo et m avor donné l opportunté d expérmenter cette facette de l éducaton qu est la recherche. Je remerce également tous ceux qu de près ou de lon m ont orenté dans cette recherche : mes collègues de la compagne Bombarder pour avor perms au novce que j étas d expérmenter mes capactés. Enfn, je remerce de tout mon être l Éternel pour avor été à mes côtés dans tous les moments et m avor gudé et honoré en me rappelant par ces mots smples selon lesquels ceux qu croent en lu ne seront jamas seuls.

5 v RÉSUMÉ Ce mémore explore le concept d analyse de sensblté dans un contexte de prévson. On s ntéresse à un ndce du prx des métaux (codé sous le terme WPU10) publé par le bureau amércan de la statstque du traval ou «Bureau of Labor Statstcs» (BLS). Pour ce fare, on utlse la décomposton de l ndce WPU10 fourne par le BLS pour construre un ndce synthétque réplquant son comportement que, dans une seconde phase nous utlserons pour fare des prévsons à l ade du prncpe de processus de dffuson développé en fnance. On fat ntervenr des notons telles que ceux de processus stochastques, de factorsaton de Cholesky et des technques de smulatons comme celle de Monte Carlo. Enfn, nous comparons le modèle développé en termes de flexblté et de précson dans la prédcton à un modèle plus classque de prédcton de sére temporelle.

6 v ABSTRACT The man subject of ths thess s about the scentfc prncple of senstvty analyss, where we studed the volatlty of a metal prce ndex publshed by the Amercan Bureau of Labor Statstcs (BLS) coded under the term WPU10. Thus we have developed a forecast model of the ndex of nterest based on a Monte Carlo smulaton usng a multvarate random number matrx generated through a Cholesky factorzaton. In addton we have compared the effcency of our forecast model to another model based on the study of tme seres usng auto regresson.

7 v TABLE DES MATIÈRES DÉDICACE... III REMERCIEMENTS... IV RÉSUMÉ... V ABSTRACT... VI TABLE DES MATIÈRES...VII LISTE DES TABLEAUX... X LISTE DES FIGURES...XII LISTE DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS... XIII LISTE DES ANNEXES... XIV INTRODUCTION... 1 CHAPITRE 1 REVUE DE LITTÉRATURE Introducton Méthodes de crblage Méthode de crblage smple ou à très grande dmenson La méthode de Morrs Analyse de sensblté locale Analyse de sensblté globale... 7 CHAPITRE 2 MÉTHODES ET INDICES DE L ANALYSE DE SENSIBILITÉ Indces de sensblté Indces de sensblté dans le cas du modèle lnéare Indces de sensblté cas du modèle non lnéare et monotone Indces de sensblté cas du modèle non lnéare et non monotone Méthode d analyse de sensblté : forme ou foncton du modèle nconnue... 21

8 v Planfcaton d expérence Concluson CHAPITRE 3 MODÉLISATION DU MARCHÉ DES MÉTAUX Introducton L ndce et l nsttuton Présentaton du BLS Introducton à la noton du PPI Rappel de quelques notons utlsées dans la modélsaton Les contrats futurs Modèle de dffuson et processus stochastque Décomposton de Cholesky : les nombres aléatores mult varés Le processus de modélsaton Le modèle de prévson Structure du modèle de prévson CHAPITRE 4 ANALYSE DES DONNÉES ET PRÉSENTATION DES RÉSULTATS Décomposton de la varance du WPU Identfcaton des ndcateurs avancés des sous composants du WPU Un exemple d analyse : le cas du WPU ou Carbon steel scrap Tableau récaptulatf des analyses par sous composants du WPU Test de la robustesse de l ndce synthétque : test hstorque Un exemple détallé de prévson : Janver 2010 à Mars Intalsaton : pourvor notre modèle de données et nstructons ntales Génératon des nombres aléatores Statstques des nombres aléatores... 63

9 x Calcul des taux de crossance mensuels selon les dfférents scénaros Prévson des dfférentes commodtés Prévson du WPU Les résultats de la prévson longue Janver 2010 à Jun Prévson du WPU10 selon 5 scénaros Concluson CHAPITRE 5 MODÈLE D ANALYSE DE SÉRIES TEMPORELLES Rappel sur la théore Le modèle Importance de la statonnarté dans ce type de modélsaton Calbrage du modèle auto régressf au cas du WPU Analyse ntale Estmaton du modèle auto régressf Prévson du modèle Auto régressf Calbrage du modèle auto régressf d ordre Test hstorque du modèle Prévson sans changement de régme avec une parte hors échantllon CONCLUSION BIBLIOGRAPHIE ANNEXES... 87

10 x LISTE DES TABLEAUX Tableau 2-1 Composton de l'ndce S&P Tableau 2-2 Valeur hstorque du prx hebdomadare moyen Tableau 2-3 Exemple d'applcaton du SRC Tableau 2-4 Indces de sensblté avec la méthode de Sobol Tableau 2-5 Écart types d'estmaton de la méthode de Sobol Tableau 2-6 Varables de l'expérence Tableau 2-7 Matrce du Plan d expérence Tableau 2-8 Analyse de la varance Tableau 2-9 Sensblté totale applquée à la planfcaton d'expérence Tableau 3-1 Décomposton des PPI Tableau 3-2 Décomposton du WPU Tableau 3-3 Données du WPU03THRU15 selon le BLS Tableau 3-4 Données du WPU10 selon le BLS Tableau 3-5 Prx futurs d'un tonne de cuvre Tableau 3-6 Prx futurs du cuvre Tableau 3-7 Taux de crossance mensuel du prx du cuvre basé sur le prx futur Tableau 3-8 Exemple d'applcaton du processus de dffuson Tableau 4-1 Sous-composants du WPU10 les plus nfluents dans la contrbuton à sa varance.. 51 Tableau 4-2 Sous-composants du WPU10 les mons nfluents sur sa varance Tableau 4-3 Analyse du WPU Tableau 4-4 Analyse des sous-composants de WPU Tableau 4-5 Les sous-composants de WPU10 regroupés par ndcateur Tableau 4-6 Matrce de corrélaton des prx des matères premères... 60

11 x Tableau 4-7 Matrce de corrélaton après applcaton de la décomposton de Cholesky Tableau 4-8 Prx commodtés Tableau 4-9 Taux de crossance (μ) des prx des commodtés Tableau 4-10 Varance commodtés Tableau 4-11 Statstques nombres aléatores mult varés Tableau 4-12 Taux de crossance mensuels par commodté par scénaro Tableau 4-13 Prévson des commodtés Tableau 4-14 Multplcateur de crossance du WPU Tableau 4-15 Prévson de l'ndce WPU Tableau 4-16 Prévson du WPU Tableau 5-1 Régresson de la premère dfférence du log de WPU Tableau 5-2 Sous-composants nfluents du WPU10 et les matères premères qu les mpactent. 82 Tableau 5-3 Tableau comparatf des deux modèles de prévson... 84

12 x LISTE DES FIGURES Fgure 2-1 Représentaton du modèle selon les 3 varables Fgure 2-2 Exemple de processus pour la planfcaton d'expérence Fgure 2-3 Synthèse des méthodes d analyse de sensblté Fgure 2-4 Dagramme de décson pour le chox de la méthode d analyse de sensblté Fgure 3-1 Prx futur d une tonne de cuvre sur douze mos Fgure 3-2 Intervalle de confance du prx futur d'une tonne de cuvre sur 12 mos Fgure 3-3 Dagramme du processus de modélsaton Fgure 3-4 Schématsaton du processus de prévson Fgure 3-5 Schématsaton des résultats de la prévson sur un ntervalle de temps [t, t+n] Fgure 3-6 Schématsaton des résultats de la smulaton pour un actf Fgure 3-7 Recomposton du WPU10 selon le pods de chaque métal dans l ndce Fgure 4-1 Dstrbuton normale des résdus de la régresson du WPU sur le HRC Fgure 4-2 Répartton des résdus de la régresson du WPU sur le HRC Fgure 4-3 Comparason des valeurs réelles et prédtes du WPU Fgure 4-4 Test hstorque de la robustesse de l ndce synthétque Fgure 4-5 Prévson de l'ndce WPU Fgure 4-6 Prévson du WPU Fgure 5-1 Données hstorques du WPU Fgure 5-2 Oscllaton du WPU10 par rapport à sa tendance Fgure 5-3 Auto corrélatons des résdus de la régresson de WPU10 par rapport à sa tendance.. 75 Fgure 5-4 Résdus de la régresson de WPU10 Tendance et sasonnalté Fgure 5-5 Auto corrélatons des résdus de la régresson de WPU10 Tendance et sasonnalté.. 77 Fgure 5-6 Test hstorque du WPU10 selon un modèle auto régressf Fgure 5-7 Prévson du WPU10 selon un modèle auto régressf... 81

13 x X, Y Varables aléatores LISTE DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS X E(X) V(X) -ème composante de X Espérance de X Varance de X X Écart type de X COV(X, Y) Covarance de X et Y X,Y N(, ) Coeffcent de corrélaton entre X et Y Lo normale de moyenne μ et de varance Σ

14 xv LISTE DES ANNEXES ANNEXE 1 Feulle Excel d ntalsaton de la smulaton ANNEXE 2 Statstques des nombres aléatores multvarés ANNEXE 3 Volatlté et taux de crossance mensuel par scénaro ANNEXE 4 Prévson ANNEXE 5 Détal des prévsons ANNEXE 6 Code VBA

15 1 INTRODUCTION Les scentfques sont souvent confrontés à une dffculté qu est celle de pouvor reconstrure des phénomènes observés à l ade d outls mathématques. Dans cette quête de modélsaton afn de réplquer les phénomènes naturels, une des manères de fare est d explquer les phénomènes et notamment leurs comportements en fasant des lens et des analoges avec les comportements d autres phénomènes que l on connaît meux : c est cette pratque que l on nomme analyse de sensblté. D une manère générque, selon une dualté mathématque ntrants/extrant d un processus, l analyse de sensblté est l étude des relatons entre les varatons de l extrant d un modèle mathématque et les varatons provenant des ntrants. Ces varatons peuvent être le fat de varatons naturelles ntrnsèques au processus comme des processus stochastques, des erreurs de mesure, des absences d nformaton, une mauvase ou fable compréhenson des mécansmes prmordaux sous-jacents au processus que l on cherche à explquer. Auss dans le cadre du processus de modélsaton, l analyse de sensblté peut permettre entre autres :. de juger de la fdélté du modèle par rapport au phénomène observé dans la réalté. Ans, s l analyse exhbe une mportance forte d une varable d entrée qu en réalté est connue comme non nfluente, le modèle ne reflétera pas correctement le processus. Il sera alors nécessare de modfer le modèle.. d dentfer les varables nfluentes sur la varablté de la réponse du modèle et, le cas échéant, dmnuer cette volatlté en amélorant la qualté des ntrants ou en modfant la structure du modèle pour atténuer les effets dentfés. L dentfcaton des varables mons nfluentes nous permettra d alléger le modèle étudé et, le cas échéant de les supprmer du modèle.. d dentfer les varables nfluentes et leurs nteractons et de connaître le phénomène étudé et ses mécansmes sous-jacents. Ans, dans le domane fnancer par exemple, une bonne geston passe par la capacté à pouvor budgétser et réadapter les stratéges de génératon de revenus face aux changements. Cela est d autant plus vra que les paramètres mpactant les marchés sont auss dvers que les acteurs qu y ntervennent. Dans ce contexte, comprendre et budgétser, c est-à-dre prévor les revenus et les

16 2 dépenses, revent à les modélser et poser des hypothèses sur l évoluton des paramètres pouvant les mpacter et meux les contrôler. Dans ce cadre, les entreprses manufacturères sont confrontées à la dffculté d établr des prévsons robustes de leurs budgets. Ans, la volatlté des prx des matères premères qu consttuent une grande parte de leurs dépenses est de plus en plus dffcle à établr. Pour ce fare, dans le cadre de ce mémore on s est ntéressé à un ndce représentant le prx des métaux publé par le bureau amércan de la statstque du traval comme ndcateur de l évoluton du prx de ces commodtés. Ans, après avor fat un état de l art dans le domane de l analyse de sensblté dans le chaptre 1 et présenté les dfférentes méthodes et ndces de sensblté dans le chaptre 2, on présentera une applcaton de l analyse de sensblté dans un cadre de prévson dans le chaptre 3. Dans le chaptre 4, on verra comment la connassance de la propagaton de la varablté dans les prx des métaux nous permet d estmer un futur probable. Enfn, dans le chaptre 5, le modèle de dffuson est comparé au modèle autorégressf utlsé dans l analyse de sére temporelle dont fat parte le WPU10 dans un cadre de prévson pour pouvor tester son effcacté dans un contexte qu est celu du marché fnancer.

17 3 CHAPITRE 1 REVUE DE LITTÉRATURE 1.1 Introducton Dans ce chaptre nous présentons une revue de lttérature de l analyse de sensblté, nous passons en revue notamment les dfférents types d analyses de sensblté. Sot P un processus décrvant un phénomène que l on veut étuder à l ade d un modèle mathématque. Ce processus content deux catégores de varables selon leurs rôles. Un premer groupe de varables X que l on nommera ntrants du processus et un deuxème groupe de varables mesurées ou observées à la sorte du processus et consdérées comme réponse ou extrant du processus représenté par la varable Y. Le dagramme c-dessous donne une représentaton schématque d un tel processus : X P Y (1.1) où X est un ensemble de varables ntrants au modèle et Y une varable extrant ou réponse du modèle. Effectuer une analyse de sensblté de Y par rapport aux X revent à étuder dans quelle mesure les perturbatons sur X affectent les valeurs de Y. On cherche donc à établr un len entre les varabltés de X et Y. Cette analyse de sensblté se fat selon tros types de technques : les méthodes de crblage, l analyse de sensblté locale et l analyse de sensblté globale. Les méthodes de crblage sont entre autres présentées par Campolongo [2], elles abordent l analyse de sensblté en classfant les varables d entrée par ordre d mpact sur la varable réponse du modèle. Les analyses de sensblté locale et globale, présentées entre autres par Saltell et al. [11, 15, 17], sont des méthodes d analyses quanttatves, qu en plus d établr une hérarche au sen des varables d entrée, donnent un ordre de grandeur des écarts au sen de cette hérarche. Dans les prochans paragraphes nous présenterons chacune de ces méthodes ans que leurs avantages et nconvénents.

18 4 1.2 Méthodes de crblage Les méthodes de crblage servent d outls d exploraton du comportement des sortes d un processus en présence d un très grand nombre de varables d entrée. Elles font appel à la dscrétsaton des entrées en pluseurs valeurs nommées nveaux ou modaltés, ce qu en fat des méthodes dtes détermnstes car elles n utlsent pas de los de probablté sur les entrées. La partcularté de ces modèles est la faclté et la rapdté de leurs applcatons, car elles requèrent mons de temps en termes de modélsaton ou de calcul Méthode de crblage smple ou à très grande dmenson Les technques qu font parte de cette catégore nous sont pour la plupart fournes par la pratque des plans d expérences et sont parm les plus faclement applcables dans la mesure où elles posent peu d hypothèses contragnantes quand à la nature du modèle. Parm ces hypothèses on trouve notamment l ndépendance en probablté des varables d entrées du modèle, la monotone de la varaton de la sorte du modèle par rapport à chaque varable d entrée et la fablesse du nombre de varables d entrées nfluentes par rapport au nombre total de varables d entrées. Bertrand Iooss [5] nous présente ces méthodes :. Crblage avec plan supersaturé : à cet effet effectuons d abord un bref rappel sur une proprété des plans d expérences. En effet dans la pratque des plans d expérences, l est souvent commun d avor un nombre d observatons plus grand que le nombre de varables à étuder, ce qu nous permet notamment d avor des estmés en termes de probabltés des coeffcents représentant l nfluence (effet) des varables entrantes sur les varables de sortes; ces effets pouvant être regroupés en pluseurs catégores : effet prncpal, effet d nteracton (ou second ordre), etc. qu peuvent être analysés avec un plan factorel complet. Cependant, dans beaucoup de stuatons spécfques, avor des observatons suffsantes est dffcle vor même mpossble à cause d un manque de ressources. Dans ce contexte les plans supersaturés ont été ntroduts pour paller à cette dffculté. Dans le cas des plans supersaturés nous avons affare à la même stuaton que celle de la résoluton d un système d équatons à pluseurs nconnues sans avor un nombre suffsant d équatons. Pour résoudre un tel système, on fera donc appel

19 5 aux dverses méthodes de résoluton de système d équatons, que l on n abordera pas dans le cadre de ce mémore.. Crblage par groupe : Il est plus adapté aux expérmentatons numérques et consste en la dvson des varables d entrées en pluseurs groupes et à dentfer les plus nfluentes. Le but étant de multpler les compostons des groupes en élmnant les groupes mons nfluents jusqu à l obtenton des groupes tous nfluents. Les étapes de la démarche sont: 1) Les varables ndépendantes sont regroupées en groupes pas nécessarement égaux, sur la base de l ntuton du chercheur. Chaque groupe est alors étudé comme un facteur à deux nveaux : le facteur-groupe est au nveau (+) lorsque tous les facteurs du groupe sont au nveau (+). le facteur-groupe est au nveau (-) lorsque tous les facteurs du groupe sont au nveau (-). 2) Après l dentfcaton des groupes nfluents, les non nfluents sont élmnés pus dans une seconde phase, sot chaque varable dans les groupes nfluents est testée ndvduellement ou alors les groupes sont dvsés en de nouveaux groupes plus petts pour être testés à nouveau jusqu à l obtenton des varables les plus nfluentes. Cette technque nécesste cependant une connassance préalable du sens de varaton de la sorte en foncton du sens de varaton de chaque entrée, connassance qu n est pas toujours dsponble.. Crblage par bfurcatons séquentelles : C est une méthode de crblage par groupe avec deux groupes. Contrarement aux autres méthodes par groupes elle n utlse pas de plan d expérence de tamsage et des méthodes d analyse de régresson ou d analyse de varance. C est une approche smlare au prncpe de la recherche dchotomque : les expérences sont choses séquentellement en utlsant les résultats des expérences précédentes pour orenter la recherche des facteurs nfluents. Comme pour le crblage par groupe, son coût est foncton du

20 6 nombre de varables nfluentes et de la stratége de classement et la capacté à dentfer les entrées nfluentes afn de les rassembler au sen d un même groupe La méthode de Morrs Les méthodes de crblage présentées par Campolongo [2] ont été développées par Morrs en Elles reposent sur un prncpe smple à savor qu un modèle comportant un nombre élevé de facteurs est dffcle à explorer mas souvent quelques facteurs seulement sont nfluents. Par conséquent, on cherchera dans le cadre d un objectf qualtatf à dentfer rapdement ces facteurs. La méthode de Morrs, permet de classer les facteurs en tros groupes selon leurs effets : effets néglgeables effets lnéares et sans nteracton effets non lnéares avec nteractons Pour ce fare, Morrs ntrodut un premer ajustement à la méthode commune des dérvées en utlsant un pas de perturbatons des varables très grand par opposton aux dérvées dont le pas est nfnment pett. Il ntrodut dans ce sens le concept d effet élémentare qu est le changement dans la valeur de l extrant généré par la perturbaton. Par alleurs l ntrodut un second ajustement par rapport aux dérvées en calculant pluseurs fos cet effet élémentare pour la varable d entrée consdérée pus on calcule une moyenne de ces effets élémentares. Par opposton aux méthodes communes de dérvées, celle de Morrs fat le calcul de la dérvée à pluseurs endrots et en prend une moyenne plutôt que de se concentrer sur un seul pont pour trer une concluson. 1.3 Analyse de sensblté locale La technque d analyse de sensblté locale étude essentellement les varatons de notre varable de sorte Y pour des pettes varatons de nos varables d entrée X autour de valeurs locales x 0. Mathématquement, l analyse de sensblté locale correspond au calcul des dérvées de la varable Y par rapport aux varables X. L approche basée sur les dérvées à l avantage d être très effcente en temps de calcul sur ordnateur. Cependant, elle requert beaucoup plus d mplcatons de la part de l analyste qu dot préparer et coder l algorthme. Comme le fat remarquer Saltell [15], le problème fatal avec cette méthode c est qu elle est non effcente

21 7 lorsque les ntrants sont ncertans ou que la lnéarté du modèle est nconnue. Ans, s les dérvées sont effcentes localement, elles le sont mons dans le cas de l exploraton d un espace de soluton surtout s le modèle est non lnéare. Pour le cas des modèles lnéares on peut extrapoler la proprété d un pont élogné en foncton de la dérvée localement étudée. A cet égard, Julen Jacques [6] fat remarquer que la technque d analyse de sensblté locale est souvent un facteur à la fos et de ce fat, elle se lmte aux alentours de la valeur d un pont d ntérêt partculer noté 0 x calculant les dfférentes perturbatons représentées par l ndce : S y 0 0 ( x1,..., xk ) (1.2) x Ans Turyan et al. [18] regroupent les avantages et nconvénents de l analyse de sensblté locale en 3 groupes : analyse et calbrage de modèle : on peut avor recours à une analyse locale pour étuder les effets des varables explcatves sur la varable réponse d une part, et d autre part, pour calbrer le modèle en dentfant un nombre maxmum de varables pertnentes. analyse d ncerttude : on reconnaît que, dans le cas de l étude de la propagaton des erreurs, l analyse de sensblté locale est mons effcace comparatvement à l analyse de sensblté globale; cependant on pense que son applcaton est beaucoup plus asée dans ben des cas. estmaton des paramètres : on retrouve souvent dans les méthodes d estmaton de paramètres lors de régressons des estmatons de coeffcents de sensblté ce qu faclte d avance l analyse de sensblté locale. 1.4 Analyse de sensblté globale Afn de donner une défnton clare de l analyse de sensblté globale, on peut se référer à celle donnée par Julen Jacques [6] : «l analyse de sensblté globale s ntéresse quant à elle à la varablté de la sorte du modèle dans son domane de varaton. Elle étude comment la varablté des entrées se répercute sur celle de la sorte, en détermnant quelle part de varance de la sorte est due à telles entrées ou tel ensemble d entrées. Il est possble de dstnguer l analyse locale de l analyse globale de la sorte : l analyse locale s ntéresse à la valeur de la réponse,

22 8 tands que l analyse globale s ntéresse à sa varablté.». Tout comme dans le cas de l analyse de sensblté locale où on utlse la dérvée pour détermner une relaton entre les varables entrantes et sortantes du modèle, on peut également, dans le cadre de l analyse de sensblté globale utlser des ndces de sensblté selon la nature du modèle. Dans le cadre de ce mémore nous nous ntéressons partculèrement aux dfférentes méthodes (Sobol par exemple) et ndces relevant de ce type d analyse que nous développerons dans le prochan chaptre.

23 9 CHAPITRE 2 MÉTHODES ET INDICES DE L ANALYSE DE SENSIBILITÉ Ce chaptre vse à présenter une revue des dfférentes méthodes et ndces utlsés en analyse de sensblté. Dans le contexte d une analyse de sensblté on dspose généralement d une varable extrant Y et de pluseurs varables ntrants X 1, X 2,, par rapport à chacune des varables ntrants X p. L évaluaton de la sensblté de Y X, ( = 1,2,, p), se fat à l ade d ndces de sensblté. La méthode d évaluaton de ces ndces dépend de la nature du modèle lant Y à 2.1 Indces de sensblté Indces de sensblté dans le cas du modèle lnéare Les coeffcents de corrélaton sont des cas classques d ndces de sensblté condtonné par la lnéarté ou la monotone du modèle, cependant l exste également d autres types d ndces de sensblté. X. Sot le modèle lnéare Y p X (2.1) 0 1 Y représente c un ndce composte des varables X selon les coeffcents qu dans ben des cas peuvent être de coeffcents de pondératons (ndces boursers, portefeulle fnancer, etc.) mas auss peuvent être des coeffcents de régresson. Par alleurs, afn de faclter nos démonstratons, on supposera les X comme des varables aléatores ndépendantes. Ce qu nous permet d écrre l espérance E (Y) et la varance V (Y) selon les équatons (2.2) et (2.3) : P E( Y) E( X ) (2.2) 0 1 p 2 V ( Y) V ( ) ( 2.3) 1 X où E( X ) et V ( X ) désgnent respectvement la moyenne et la varance des X, = 1,, p.

24 10 Cette écrture nous permettant d dentfer la contrbuton de la varance de chaque X dans la 2 varance totale de Y par V ( X ). Défnton 2.1 : l ndce de sensblté global nommé SRC (Standardzed Regresson Coeffcent) représentant la part de varance de la réponse Y due à la varance de la varable est défn par X SRC 2 V ( X ) 2 (2.4) V ( Y) 2 X 2 Y Où 2 X et 2 Y représentent la varance de X et celle de Y. L ndce ans défn apporte, contrarement au coeffcent de corrélaton, l nformaton quand à l mpact de chaque varable ntrant Par alleurs, on note : X sur la réponse Y sans se préoccuper du sgne de l mpact. SRC 2 X 2 ( S X ) ( ) (2.5) Y où l ndce S X ans ntrodut est équvalent au coeffcent de corrélaton lnéare de Pearson X,Y entre la réponse du modèle et les varables d entrées X. En effet, on sat que : X, Y Cov( Y, X ) X Y Alors Montrons que Cov X X Y S car, X Y 2 ( X, Y) X Cov 2 ( X, Y) X (2.6) On sat que les varables X sont ndépendantes par conséquent étuder la covarance entre n mporte quel En effet on sat que : X et Y revent à étuder la covarance entre X et. X COV ( U V, W) COV ( U, W) COV ( V, W)

25 11 Pour toutes varables U, V et W. Donc Cov( X, Y) s écrt : Cov( X, Y) Cov( X, X1)... Cov( X, 1X 1 ) Cov( X, X )... Cov( X, p X Or comme les 1 P X sont ndépendants alors toutes les covarances de l équaton c-dessus sont nulles à l excepton de Cov X, X ). ( Ce qu nous permet d écrre que : Par alleurs, on sat que : Cov( ah,z) = acov(h,z) Cov( X, Y) Cov( X, X ) Cov (Z, Z) = Var(Z), pour toutes varables H et Z et toute constante a. ) Par conséquent, Cov 2 ( X, Y) X Afn de régler le problème d ntercorrélatons entre les varables explcatves X qu souvent explquent l exstence d une corrélaton entre une varable explcatve et la varable réponse par un effet de transton de corrélaton, l ndce de corrélaton partel de défn par PCC ( X X a été ntrodut, l est COV ( Y, X X ~ ) ) Y, X X~ (2.7) V ( Y X ~ ) V ( X X ~ ) où X~ est le vecteur X des varables explcatves prvé de sa -ème composante. Tout comme le SRC, le PCC sert également à détermner la part de la varable X dans la varance totale de Y. Cependant, contrarement au SRC, l peut être négatf c est pourquo on prendra la valeur absolue de celu-c. Les PCC permettent d élmner l nfluence des autres varables et sont donc adaptés au cas où les varables d entrée sont corrélées (Saltell et al. [14]).

26 12 Exemple Nous avons chos de présenter une applcaton des ndces c-dessus dans le cadre de l analyse d un ndce phare de l économe et spécfquement de l économe amércane à savor le S&P 500. Il est de notorété que cet ndce permet de prendre le pouls de l économe amércane dans la mesure où l est consttué essentellement des grandes entreprses de cette économe. Les 10 compagnes les plus mportantes composants l ndce S&P 500 Pays Compagne Valeur boursère (Mllon $) Pods dans l ndce S&P 500 Pods dans le secteur Secteur USA Exxon Mobl (ESSO) ,8 3,23% 26,81% Energe USA Apple Inc ,5 2,59% 13,88% Technologes de l nformaton USA Mcrosoft ,8 1,84% 9,86% Technologes de l nformaton USA General Electrc Co. (GE) ,8 1,70% 15,57% Industres USA Chevron Corp ,1 1,61% 13,35% Energe USA IBM ,9 1,60% 8,56% Technologes de l nformaton USA Procter & Gamble ,1 1,58% 14,82% Consommaton USA AT&T Inc ,8 1,52% 48,91% Télécommuncatons USA Johnson & Johnson ,8 1,49% 13,62% Santé USA JP Morgan Chase & Co ,5 1,45% 9,03% Fnance Tableau 2-1 Composton de l'ndce S&P 500 Dans le tableau c-dessus tré du «S&P 500, Index Fact Sheet» on peut vor les 10 plus grandes entreprses qu composent l ndce (et donc l économe amércane ndrectement) en On peut constater que pour certans comme AT&T et Exxon Mobl ce sont des joueurs majeurs de

27 13 leurs ndustres (pods respectfs dans leurs ndustres 48,91% et 26,81% vs pods respectfs dans l ndce de 1,52% et 3,23%). Le pods dans le S&P 500 dépend surtout de la valeur boursère de chaque entreprse. Auss le pods d Exxon (3,23% de l économe amércane) dans le S&P 500 dépasse de lon celu d AT&T parce que la valeur boursère d Exxon (deuxème plus grande de la planète, ,8 mllons) dépasse celle d AT&T ( ,8 mllons). Afn de procéder à une étude de la varablté du S&P500 et notamment la compréhenson de l mpact sur l économe de la varablté du prx de chaque entreprse nous avons étudé l mpact de la varaton du prx untare de chaque acton de tros entreprses sur la varaton du S&P500 sur une pérode allant du 1 er janver 2007 au 31 décembre Tableau 2-2 Valeur hstorque du prx hebdomadare moyen Date Moyenne hebdomadare de la valeur boursère S&P 500 (Valeur en ponts) General Electrc (Valeur en $ US) EXXON (Valeur en $ US) Apple (Valeur en $ US) 27-déc ,66 17,92 72, ,66 20-déc ,76 17,77 72, ,76 13-déc ,52 17,89 72, ,52 6-déc ,87 16,70 71, ,87 29-nov ,08 15,73 68, ,08 22-nov ,07 16,14 70, ,07 15-nov ,44 16,23 71, ,44 8-nov ,24 16,62 69, ,24 1-nov ,71 16,09 66, ,71 5-févr ,33 36,27 75, ,33 29-janv ,03 36,07 73, ,03 22-janv ,47 37,13 73, ,47 16-janv ,73 38,00 72, ,73 8-janv ,26 37,45 73, ,26 3-janv ,03 37,41 76, ,03 Après calcul du taux de crossance hebdomadare du prx de chaque acton de chaque entreprse tel que donné c-dessus, on peut calculer l écart type de ce taux de crossance et en applquant l équaton (2.4), on peut dentfer la part de la varance du S&P 500 lée au prx de l acton de chaque entreprse :

28 14 Tableau 2-3 Exemple d'applcaton du SRC : écart type de la crossance contnue hebdomadare S&P 500 General Electrc EXXON Apple 3,3007% 6,0575% 3,4387% 3,3007% Part de la varance du S&P 500 due à chaque entreprse sur une base hebdomadare GE EXXON Apple 0,0973% 0,1132% 0,0671% On peut donc conclure qu en moyenne ces 3 entreprses, qu représentent 7,53% de l économe amércane, ont contrbué pour une part de 0,27% à la varance hebdomadare du S&P Indces de sensblté cas du modèle non lnéare et monotone Les ndces SRC et PCC sont condtonnés par la lnéarté du modèle. Cependant, lorsque cette condton n est plus respectée, mas que le modèle est monotone c'est-à-dre que la varable réponse est monotone par rapport à chacune des varables explcatves lorsque les autres sont fxées, un estmateur non paramétrque du coeffcent de corrélaton peut être utlsé. En effet, comme on a établ que le SRC est le carré du coeffcent de corrélaton, dans le cas d un modèle non lnéare mas monotone on pourra utlser le coeffcent de corrélaton basé sur les rangs [5]. Dans ce cas c, on peut utlser la transformaton de rang pour avor un coeffcent de corrélaton estmé de façon non paramétrque en utlsant des technques de calcul de coeffcent de corrélaton de Spearman ou de Kendall par exemple. Par la sute, on calcule un nouvel ndce SRRC ou «Standardzed rank regresson coeffcent» pour remplacer l ndce SRC. De même, on ntrodut un ndce PRCC ou «Partal Rank Correlaton Coeffcent» pour remplacer l ndce PCC. Sot une smulaton de talle n du modèle étudé Y = f ( X 1, X 2,..., X p ), p enter, telle qu elle se présente sous la forme : Y 1... Y n = X X... 1,1 n,1 X 1,2.. X 1, X X 1, p... n, p

29 15 où les dfférents Y sont les extrants et les X de la même lgne sont les ntrants ayant serv à les calculer. À chaque smulaton de 1 à n, on assoce son rang selon une varable. Le rang 1 sera affecté à la smulaton qu a la plus pette valeur, et le rang n à celle qu a la plus grande valeur. Pour trouver le len entre deux varables Y, X ), (j =1,, p), on cherchera à comparer les classements selon ( j les rangs ssus de ces deux varables. Dans notre cas, nous créons le vecteur R Y des rangs selon la varable Y et les vecteurs RX RX, RX, RX,..., RX ) des rangs selon X j pour chaque varable d entrée avec j ( 1, j 2, j 3, j n, j j = (1,, p). On pourra ans avor une nouvelle matrce des rangs ssue de notre précédente matrce en remplaçant les valeurs de Y, ) avec = (1,, n) et j = (1,, p) par leurs rangs ( X, j dans chaque colonne de la matrce. Ce qu nous permettra de calculer un nouveau type de corrélaton selon les rangs : s Y, X ) ( R, R ) (2.8) S j ( j Y X j le coeffcent de régresson standard sur les rangs noté SRRC (, ) équvalent du SRC de l équaton (2.4) basé sur le couple R, ), s écrt : ( R Y X j SRRC j SRRC Y, X ) SRC ( R, R ) (2.9) ( j Y X j le coeffcent de corrélaton partel sur les rangs noté PRCC (, ), équvalent du PCC de l équaton (2.7) sur le couple R, ), s écrt : ( R Y X j PRCC j PRCC Y, X ) PCC ( R, R ) (2.10) ( j Y X j Indces de sensblté cas du modèle non lnéare et non monotone Sot un modèle générque du type : Y f ( X, X 2,..., X 1 p ) Les X ont une varablté lmtée et on souhate étuder l mpact de la varable X sur la varance de Y en fxant un X à une valeur * X telle que

30 16 * V ( Y X X ) est la varance condtonnelle de Y lorsque * X est fxé à une valeur X. On peut cependant * assumer qu ayant fxé une varable, la varance condtonnelle V ( Y X X ) serat nféreure à * la varance totale V(Y) de Y. Par alleurs V ( Y X X ) devent une mesure de l mportance relatve de X. Ans, plus la varance condtonnelle est pette plus la varable X est mportante et vce versa. Cependant cette approche est peu pratque car cela rend l analyse de sensblté dépendante du pont * X où l on fxe X. Une manère d y reméder est d utlser plutôt l espérance E V ( Y X )]. Nous ntrodusons pour cela le théorème suvant pour en montrer le len. [ Théorème 2.1 : Théorème de la varance totale Sot un couple (X, Y) de varables aléatores, où Y prend ses valeurs dans R et X dans un ensemble fn ou dénombrable, ou dans R. S la varance de Y est fne, alors : V(Y) = V(E [Y X]) + E [V (Y X)] (2.11) Démonstraton du théorème de la varance totale Par défnton : V(Y) E(Y 2 ) - E (Y) 2 et on sat que E[E (Y X)] = E [Y] On peut donc observer deux choses : d une part, V(Y X) = E ( sot donc, E [V(Y X)] = E[E ( 2 Y X) - 2 = E ( E (Y X) 2 Y X)] E [ 2 E (Y X) ] 2 Y ) E [ 2 E (Y X) ] d autre part, parce que E[E (Y X)] = E [Y] on peut écrre V[E(Y X)] = E [ E (Y X) 2 ] - E (Y) 2

31 17 Auss, en sommant les écrtures de E [V(Y X)] et V[E(Y X)] observées aux deux étapes on obtent la varance totale de Y, tel que : V(Y) = V(E [Y X]) + E [V (Y X)] * Ans, s l on consdère l espérance E( V ( Y X )) pour tous les X possbles pour chaque ntrant cela élmne le problème de la dépendance par rapport au X. Cette mesure E V ( Y X )) sera toujours nféreure ou égale à V(Y). On peut donc écrre : V(Y) = V(E [Y X ]) + E [V (Y X )] Dans l éventualté où on aura fxé * ( X dans les X, s l on observe une dmnuton de l espérance de la varance de Y ou une augmentaton de la varance de l espérance de Y, on pourra dre que le X fxé est nfluent. Par alleurs, selon l équaton (2.11), la varance V E( Y X )) V (Y) ( Défnton 1.2 : l ndce de sensblté de premer ordre de X par rapport à Y, est l ndce basé sur la varance condtonnelle V ( E ( Y X )) et appelé effet de premer ordre de X sur Y noté S, tel que : V ( E ( Y X )) S (2.12) V ( Y) S est toujours comprs entre 0 et 1 et mesure l mportance de la varable X sur Y. Lorsque le modèle est lnéare, alors S correspond au SRC (vor équaton (2.4)). En effet : V ( E[ Y X ]) V ( E[ p X X ]) V ( X 2 ) V ( X 0 1 ) (2.13) La sensblté de premer ordre a été ntrodute par Sobol [16] dans un cadre beaucoup plus exhaustf où la varance d une varable réponse devent une combnason de varance d effets prncpaux et de pluseurs effets nteractons. Le sujet a été traté par Antonads [1], Kaplan, Kaya et al. [8], Julen Jacques [6], Tarantola [17], et Saltell [15]. Ans s nous reprenons notre modèle précédent tel que l on a :

32 18 Y f X, X,..., X ), avec p N. (2.14) ( 1 2 P Sobol établt un théorème de la décomposton de la varance analogue à celu de l ANOVA. Théorème 2.2 : Décomposton de la varance de Sobol Lorsque les varables ntrants (2.14) s établt comme : X sont ndépendants, la décomposton de la varance du modèle P V ( Y) V Vj Vjp... V1,2,3,4,..., p 1 j j p (2.15) Avec V V[ E( Y X )] V V j jp V[ E( Y X, X V[ E( Y X, X j )] V V j, X p j )] V j V p V jp V V j V p Cela nous permet de reconnaître un ndce de sensblté précédemment dentfé en (2.12) comme ndce de sensblté de premer ordre, mas auss d ntrodure des ndces de sensblté d ordre supéreur qu reflètent les nteractons entre les varables ntrants dans la varance totale de la réponse Y. En effet en dvsant (2.15), par V(Y) on obtent l expresson : p S Sj Sjp... S1,2,3,4,..., p 1 j j p 1 (2.16) Avec nos effets de premer ordre de toutes les varables ntrants regroupés sous : V V[ E( Y X )] S V ( Y) V ( Y) Ans pour p = 4 par exemple, on aura : S 1 S2 S3 S4 S12 S13 S14 S23 S24 S34 S123 S124 S134 S234 S1234 = 1 Avec S 1, S2, S3, S4 comme ndces de premer ordre. L nterprétaton de ces ndces est facle. En effet on sat que tous les ndces sont postfs d une part et d autre part d après (2.16) leur somme est égale à 1. Ans, plus l ndce sera grand et proche de 1, plus la varable aura d mportance. Le nombre d ndces de sensblté ans

33 19 p construt, de l ordre 1 à l ordre p, est égal à 2 1. Lorsque le nombre de varables d entrée p est grand, le nombre d ndces de sensblté explose. L estmaton et l nterprétaton de tous ces ndces devennent alors dffcles. Pour paller en parte à cette dffculté, Saltell [15] a alors ntrodut des ndces de sensblté totaux, qu exprment la sensblté totale de la varance Y à une varable, en l occurrence en englobant dans une seule mesure la sensblté à la varable seule et la sensblté aux nteractons de cette varable avec d autres varables. Nous présentons c-dessous ses conclusons telles que montrées par Julen Jacques [6] : Défnton 1.2 : Indce de sensblté total L ndce de sensblté total S T est le regroupement de tous les ndces de sensbltés relatfs à la varable X dans une seule mesure, tel que : ST S p (2.17) p# Où # représente tous les ensembles d ndces contenant l ndce. Ans dans notre exemple précédent avec p = 4, on aura : S T S1 S 1 12 S13 S14 S123 S124 S134 S1234 S T S2 S 2 12 S23 S24 S123 S124 S234 S1234 S T S3 S 3 13 S23 S34 S123 S134 S234 S1234 S T S4 S 4 14 S24 S34 S124 S134 S234 S1234 Cette nouvelle réécrture des ndces de sensblté nous permet d avor une plus grande vson de l mpact d une varable d entrée X sur notre varable de sorte Y Méthodes d estmaton Dans le cas des fonctons non lnéares, lorsque la forme de la foncton n est pas complexe et que les denstés de probablté des varables d entrées de la foncton sont connues et relatvement smples, on peut calculer les ndces de sensblté globale. Cette stuaton est peu fréquente dans la réalté, c est pourquo l exste d autres méthodes d estmaton. On utlse des méthodes d échantllonnage stochastque au nveau des varables

34 20 d entrées pour pouvor calculer les dfférentes espérances condtonnelles de la foncton par rapport à ces varables d entrées. Pus par après on estme les dfférentes varances (2.15) et ndces de sensblté (2.16). Une des méthodes les plus couramment employées est une estmaton par Monte Carlo ou méthode de Sobol. Il exste auss cependant d autres méthodes telles que la méthode FAST (Fourer Ampltude Senstvty Test) qu utlse la transformée de Fourer multdmensonnelle de f pour obtenr une décomposton de la varance de Y ou encore la méthode de McKay qu se base sur un échantllonnage par hypercube latn réplqué (Julen Jaques [12]). Cependant, seule la méthode de Sobol permet le calcul des ndces de sensblté relevant des nteractons et est celle qu est la plus rapde à mplémenter. Exemple : Nous présentons un exemple d applcaton tré de Julen Jacques [6] pour la méthode de Sobol. Sot le modèle représenté par l équaton : 4 2 X 3 Y sn( X1) 7sn ( X 2) sn( X1) 10 où X ~ U [-π, π] avec = 1, 2, 3. Fgure 2-1 Représentaton du modèle selon les 3 varables Les calculs d ndces de sensblté ont été effectués par l auteur sous Matlab où l a calculé les ndces de sensblté 20 fos pour des échantllons de talle : 100, 1000 et On présente dans le tableau c-dessous la moyenne des ndces calculés.

35 21 Tableau 2-4 Indces de sensblté avec la méthode de Sobol N = 100 N = 1000 N = S1 S2 S3 S13 S1 S2 S3 S13 S1 S2 S3 S13 0,318 0, ,226 0,316 0, ,235 0,310 0, ,249 On constate que l augmentaton de la talle de l échantllon permet de meux calbrer le modèle et détermner l nfluence de l nteracton ( X, X 1 3) d une manère plus précse. De la même manère on constate que l écart type des estmatons d ndces (tableau c-dessous) dmnue avec l augmentaton de la talle des échantllons. Ans, s la méthode de Sobol est plus effcace parce qu elle permet de détermner les effets d nteractons, elle demande auss une talle d échantllon grande pour être plus précse. Tableau 2-5 Écart types d'estmaton de la méthode de Sobol N = 100 N = 1000 N = S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S2 S3 0,157 0,122 0,150 0,050 0,057 0,073 0,011 0,014 0, Méthode d analyse de sensblté : forme ou foncton du modèle nconnue Il exste des cas où la forme du modèle n est pas connue. Il n exste pas une foncton pouvant nous permettre de modélser le phénomène ou du mons on ne connaît pas cette foncton. Dans ces condtons, utlser les ndces ntroduts plus haut devent mpossble dans l étude de la varance des varables. Il exste cependant des méthodes nous permettant d analyser dans ce casc l nfluence des varables explcatves sur la varable réponse. Nous les aborderons dans les lgnes qu suvent Planfcaton d expérence La planfcaton d expérence est une technque d analyse de sensblté globale relatve à l étude de l nfluence des varables ntrants X d un processus sur la varable de sorte Y. Elle s applque à tout processus de collecte d nformaton où l y a présence de varablté sous le contrôle de

36 22 l expérmentateur. Elle est très souvent utlsée en contrôle de qualté pour étuder et optmser les processus de producton mas son champ d applcaton s étend auss ben au domane des scences socales et humanes. S l exste pluseurs outls statstques pour étuder les relatons ntrants/extrants lorsque leurs domanes de défnton sont contnus, la planfcaton d expérence est ben souvent utlsée lorsque les varables changent d une manère dscrète et souvent on fat l analyse pour des varables ayant un pett nombre de modaltés. La planfcaton d expérence se concentre sur un processus tel que décrt par la fgure c-dessous : Fgure 2-2 Exemple de processus pour la planfcaton d'expérence A cet égard dans la fgure 2.3, la foncton g de notre processus est nconnue et on fat appel à la planfcaton d expérence afn d en développer une approxmaton. Dans les étapes du processus d expérmentaton, la planfcaton d expérence regroupe un ensemble d étapes : 1. défnr le processus, la problématque et les objectfs. 2. chosr les varables réponses(y) à mesurer. 3. chosr les varables ntrants X et leurs espaces de varatons. 4. chosr et comparer les plans expérmentaux. 5. préparer l expérence (set up). 6. condure l expérence. 7. analyser statstquement les résultats. 8. agr avec les conclusons de l analyse.

37 23 La planfcaton d expérence permet d analyser tous les effets des varables ntrants du processus, que ce sot leurs effets prncpaux ou leurs nteractons les uns avec les autres, au même ttre que les effets de premer ordre et les effets d ordres supéreurs précédemment dscutés pour les ndces de sensblté. Il faut noter cependant que ce sont les étapes après la planfcaton et notamment l analyse statstque, qu nous permettront d dentfer les effets de chaque varable ntrant. Le plan d expérence en lu-même n est que le schéma drecteur nous permettant d avor théorquement l ensemble des tests à effectuer pour évaluer le len entre ntrants et extrants du processus. Il exste pluseurs types de plan d expérence pouvant nous permettre d une manère plus ou mons complète d analyser les effets des varables ntrants du processus. Ce sont entre autres plans, lorsque les varables du modèle comportent deux modaltés et que l on a k (enter) varables, les plans : complets, Plackett-Burman, Carré-latn, etc. On utlsera souvent les plans complets pour les expérences pusqu ls analysent tous les effets. Cependant la lmtaton par les coûts d expérmentaton ou la répétton d un effet déjà étudé peuvent nous amener entre autres rasons à dmnuer les effets. Exemple Tré de Box, G. E. P., Draper, N.R. (1987). Emprcal Model-Buldng and Response Surfaces, John Wley & Sons. p On cherche à dentfer l nfluence de sx varables à deux modaltés lors d un processus de coloraton sur une varable représentant la résstance de cette même coloraton. Le tableau cdessous nous donne la descrpton des sx varables ans que les valeurs de leurs dfférentes modaltés.

38 24 Tableau 2-6 Varables de l'expérence Varables Descrpton Modaltés X1 Indce de polysulfures [6,7] X2 Le taux de reflux lors du processus [150, 170] X3 La quantté de polysulfures en moles [1,8 ; 2,4.] X4 Le temps en mnutes [24, 36] X5 Le volume de solvant utlsé en centmètres cubes [30, 42] X6 La température lors de la coloraton en degrés. [120, 130] Ans, afn de pouvor effectuer l expérence d une manère optmale et de tester tous les effets pour ensute calculer les ndces de sensblté totaux tels qu ntrodus à l équaton (2.17), on a 6 établ un plan d expérence complet avec 64 essas ( 2 ). La matrce du tableau 2-7 c-dessous nous montre ce plan d expérence et le tableau 2-8 consttue le tableau d analyse de la varance après expérmentaton.

39 25 Tableau 2-7 Matrce du Plan d expérence X1polysul X2reflux X3moles X4tme X5solvent X6temp Y1_ST , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,8

40 26 Tableau 2-8 Analyse de la varance Numéro effet SS df MS 1 X1 48, ,83 2 X2 7,91 1 7,91 3 X3 0,17 1 0,17 4 X4 142, ,50 5 X5 2,76 1 2,76 6 X6 115, ,83 7 x1x2 12, ,69 8 x1x3 0,32 1 0,32 9 x1x4 0,35 1 0,35 10 x1x5 2,76 1 2,76 11 x1x6 10, ,81 12 x2x3 5,70 1 5,70 13 x2x4 11, ,82 14 x2x5 1,79 1 1,79 15 x2x6 0,51 1 0,51 16 x3x4 2,60 1 2,60 17 x3x5 0,10 1 0,10 18 x3x6 0,74 1 0,74 19 x4x5 1,59 1 1,59 20 x4x6 0,00 1 0,00 21 x5x6 1,13 1 1,13 22 x1x2x3 6,83 1 6,83 23 x1x2x4 10, ,64 24 x1x2x5 1,18 1 1,18 25 x1x2x6 1,03 1 1,03 26 x1x3x4 2,60 1 2,60 27 x1x3x5 0,07 1 0,07 28 x1x3x6 0,19 1 0,19 29 x1x4x5 1,72 1 1,72 30 x1x4x6 5,01 1 5,01 31 x1x5x6 0,17 1 0,17 32 x2x3x4 2,60 1 2,60 33 x2x3x5 0,24 1 0,24 34 x2x3x6 2,00 1 2,00 35 x2x4x5 1,79 1 1,79 36 x2x4x6 1,41 1 1,41 37 x2x5x6 5,23 1 5,23 38 x3x4x5 8,19 1 8,19 39 x3x4x6 0,47 1 0,47 40 x3x5x6 0,83 1 0,83 41 x4x5x6 6,31 1 6,31 42 x1x2x3x4 0,74 1 0,74 43 x1x2x3x5 6,70 1 6,70 44 x1x2x3x6 1,35 1 1,35 45 x1x2x4x5 21, ,51 46 x1x2x4x6 1,59 1 1,59 47 x1x2x5x6 0,01 1 0,01 48 x1x3x4x5 1,86 1 1,86 49 x1x3x4x6 9,38 1 9,38 50 x1x3x5x6 6,83 1 6,83 51 x1x4x5x6 3,56 1 3,56 52 x2x3x4x5 0,93 1 0,93 53 x2x3x4x6 2,68 1 2,68 54 x2x3x5x6 2,44 1 2,44 55 x2x4x5x6 0,02 1 0,02 56 x3x4x5x6 1,24 1 1,24 57 x1x2x3x4x5 7,77 1 7,77 58 x1x2x3x4x6 8,78 1 8,78 59 x1x2x3x5x6 4,05 1 4,05 60 x1x2x4x5x6 3,56 1 3,56 61 x1x3x4x5x6 8,05 1 8,05 62 x2x3x4x5x6 0,32 1 0,32 63 x1x2x3x4x5x6 1,86 1 1,86