TD Modélisation Statistique

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1 Licece 3 Mathématiques TD Modélisatio Statistique Ex 1. Soit X ue variable aléatoire réelle de desité f cotiue et de foctio répartitio F. 1. Calculer la foctio de répartitio de Y = αx + β pour α, β R, et celle de Z = e X. E déduire leurs desités (pour α Retrouver les desités de Y et Z e utilisat la formule du chagemet de variable. Ex 2. Soiet Y 1 et Y 2 deux variables aléatoires réelles de desités respectives f 1 et f 2 cotiues, et X ue variable de Beroulli de paramètre p idépedate de Y 1 et Y 2. Détermier la desité de la variable aléatoire Y = Y 1 X + Y 2 (1 X. Ex 3. U vecteur Gaussia stadard (X, Y de R 2 est u vecteur aléatoire de desité f(x, y = 1 2π exp ( x2 + y 2, x, y R O cosidère les coordoées polaires e posat X = R cos(t et Y = R si(t avec R 0 et T [0, 2π[. Motrer que les variables aléatoires R et T sot idépedates et préciser leurs s. 2. Soit (U, V u couple de variables aléatoires idépedates uiformes sur [0, 1]. Déduire de la questio précédete que le couple ( (X, Y = 2 l(u cos(2πv, 2 l(u si(2πv, est u vecteur Gaussie stadard de R 2. Ex 4. Soit X N (0, 1, o rappelle que la foctio caractéristique de X est doée par ϕ X (t = exp( t 2 /2, t R. 1. Calculer la foctio caractéristique d'u vecteur Gaussie stadard X = (X 1,..., X k. 2. E déduire la foctio caractéristique d'u vecteur Gaussie quelcoque Y N (m, Σ. O pourra utiliser que Y = m + Σ 1/2 X. Ex 5. Motrer qu'il existe u vecteur Gaussie X = (X 1, X 2, X 3 qui vérie: 1. Quelle est la de X 1 X 2 + 2X 3? 1 i < j 3, E(X i = 0, E(X 2 i = 1, E(X i X j = 1/2. 2. Trouver a R tel que X 1 + ax 2 et X 1 X 2 soiet idépedates. 3. X admet-il ue desité? si oui laquelle? Ex 6. Soit X N (0, 1 et Y ue v.a. idépedate de X telle que P(Y = 1 = P(Y = 1 = 1/2. O pose Z = XY. 1. Quelle est la de Z? 2. Quelle est la de X + Z? E déduire que (X, Z 'est pas u vecteur Gaussie. 1

2 Ex 7. Soit X N (0, 1 et a > 0. o pose Y a := X1{ X < a} X1{ X a} 1. Motrer que Y a est ue variable aléatoire Gaussiee. 2. Motrer qu'il existe b > 0 tel que b 0 x2 e x2 /2 dx = 2π/4. 3. Calculer cov(x, Y b. Le vecteur (X, Y b est-il u vecteur Gaussie? Ex 8. Soit 1 < ρ < 1, o pose Σ = [ 1 ρ ρ 1 ]. 1. Motrer qu'il existe u vecteur Gaussie X = (X 1, X 2 cetré et de matrice de variace Σ. 2. O pose Y 1 = (X 1 + X 2 et Y 2 = (X 1 X 2. Doer la de Y = (Y 1, Y Les variables Y 1 et Y 2 sot-elles idépedates? 4. Justier que Y admet ue desité sur R 2 et la calculer. Ex 9. Soit X ue variable aléatoire réelle de desité f et de foctio répartitio F. 1. Motrer que 1{X x} ps = 1{F (X F (x}. 2. Déduire la de F (X lorsque F est cotiue. 3. Soit X 1,..., X u échatillo iid de même que X. Motrer que, si F est cotiue, la de 1 K := sup 1{X i x} F (x e déped pas de F. x R Ex 10. Soit U ue variable aléatoire de uiforme sur ]0, 1[. 1. Détermier la de Y = log(u et Z = ta ( π(u π/2. 2. Motrer das le cas gééral que, pour F ue foctio de répartitio, la variable aléatoire a pour foctio de répartitio F. X := F (U = if{x R : F (x U} Ex 11. Soit X 1,..., X u échatillo de variables aléatoires réelles iid de foctio de répartitio F. 1. Rappeler la déitio de la foctio de répartitio empirique F. 2. Soit x R, quelle est la de F (x? 3. Soiet x, y deux réels, calculer la covariace cov(f (x, F (y. 4. E utilisat le théorème cetral limite vectoriel, doer la asymptotique de ( F (x F (x. F (y F (y Ex 12. f. O observe réalisatios x 1,..., x d'u échatillo de variables aléatoires réelles iid de desité 1. Rappeler l'expressio de l'estimateur à oyaux f de f obteu avec le oyau Gaussie et la feêtre h > 0. K(s = 1 ( exp s2, s R, 2π 2 2

3 2. Calculer R xf (xdx. Que représete cette itégrale. 3. Soit Y ue variable aléatoire de uiforme sur {x 1,..., x } et ɛ ue variable aléatoire idépedate de Y de N (0, h 2. Calculer la desité de Z := Y + ɛ. Commeter. 4. Proposer ue méthode pour simuler ue variable aléatoire dot la desité est l'histogramme mobile g (x = 1 2h 1{x i ]x h, x + h]}. Ex 13. Soit X ue variable aléatoire de foctio de répartitio F quelcoque. 1. Rappeler la déitio d'u quatile d'ordre α ]0, 1[. 2. Motrer que F (α est bie u quatile d'ordre α. 3. Doer u exemple de foctio de répartitio pour laquelle la médiae q 0.5 'est pas uique. 4. Doer u exemple pour lequel le premier quartile q 0.25 vérie simultaémet les iégalités strictes P(X q 0.25 > 0.25 et P(X q 0.25 > Ex 14. Soit X 1,..., X u échatillo de variables aléatoires réelles iid de foctio de répartitio F et de desité f. O cosidère les variables ordoées X (1... X (. 1. Calculer la foctio de répartitio de X (, puis celle de X (1. 2. Motrer que si f est à support compact [a, b], alors X (1 et X ( coverget e probabilité vers a et b respectivemet quad. 3. Motrer que presque sûremet, X (1 <... < X (. 4. Soiet a 1,..., a des réels diérets, motrer que pour ɛ > 0 susammet petit ( P {a i < X (i a i + ɛ} = 0 si les a i e sot pas ordoées das l'ordre croissat. 5. Soit S l'esemble des permutatios de {1,..., }, motrer que si a 1 <... < a, alors pour ɛ suisammet petit, ( P {a i < X (i a i + ɛ} = ( P σ S {a i < X σ(i a i + ɛ}. 6. E déduire la desité f X(1,...,X ( du -uplet (X (1,..., X ( par la formule 1 f X(1,...,X ( (a 1,..., a = lim ɛ 0 + ɛ P( X (1 ]a 1, a 1 + ɛ],..., X ( ]a, a + ɛ]. Ex 15. Soit U 1,..., U u échatillo de variables aléatoires iid de uiforme sur ]0, 1[. O s'itéresse au comportemet asymptotique du quatile empirique d'ordre α ]0, 1[, U ( α. 1. Calculer la desité de la k-ième statistique d'ordre U (k. 2. Soit X 1,..., X +1 des variables aléatoires idépedates de expoetielle de paramètre 1, motrer que pour tout k = 1,..., + 1, S k = k X i suit ue Gamma Γ(k, 1 de desité γ k (x = 3. Motrer que S k /S +1 a même que U (k. xk 1 (k 1! e x, x > 0. 3

4 4. Détermier la limite e de ( S α α / α. 5. E remarquat que α ( α lim = α et lim α = 0, motrer d'après la questio précédete que ( S α α N (0, α et ( S+1 S α (1 α N (0, 1 α. 6. E déduire que puis que (α S +1 S α (1 α S α N ( 0, α(1 α, Y := ( α S +1 S ( α (1 α S N α 0, 1 α α. 7. E remarquat que U ( α = α/(1+y / (cf. questio 3, motrer qu'il existe ξ compris etre 0 et Y / tel que α Y U ( α = α (1 + ξ E coclure que Z := ( U ( α α N (0, α(1 α. 9. Soit F ue foctio de répartitio. Justier que F (U ( α a même que la statistique d'ordre X ( α d'u échatillo iid X 1,..., X ayat pour foctio de répartitio F. 10. O suppose maiteat que F admet u uique quatile d'ordre α, oté q α, et que F est strictemet croissate et cotiuemet diéretiable sur u voisiage de q α. Motrer que ( ( X( α q α N α(1 α 0, F (q α 2. Ex 16. Soiet X et Y deux variables aléatoires o costates de carré itégrable. 1. Rappeler la déitio de cov(x, Y et cor(x, Y. 2. Motrer que pour tout α, β R, cov(αx + β, Y = α cov(x, Y. 3. Calculer cor(αx + β, Y e foctio de cor(x, Y pour α 0. Ex 17. O cosidère deux échatillos de variables (X 1,..., X et (Y 1,..., Y. O ote (R 1,..., R (resp. (S 1,..., S les rags des variables X i (resp. Y i das chaque échatillo. O suppose que les X i et les Y i sot tous diérets, de telle sorte que les rags vot de 1 à. O rappelle que le coeciet de corrélatio de Spearma γ etre les échatillos (X 1,..., X et (Y 1,..., Y correspod à la corrélatio liéaire etre leurs rags. 1. Doer la formule déissat γ. 2. Motrer que la moyee empirique de l'échatillo (R 1,..., R vaut ( + 1/2 et que sa variace empirique vaut ( 2 1/ E déduire que γ = 12 ( 2 1 R i S i Soit D i = R i S i. Motrer que 12 R is i = ( + 1( D2 i. 5. E déduire que γ = 1 6 D2 i (

5 Ex 18. Soit (X, Y u couple de variables aléatoires de variaces ies. 1. Rappeler la déitio de la meilleure approximatio liéaire L(Y X = a X + b. 2. Motrer que E(aX + b = E(Y et cov(y (ax + b, X = 0 si et seulemet si (a, b = (a, b. Ex 19. Soit (X 1, Y 1,..., (X, Y des réalisatios idépedates d'u couple de variables aléatoires (X, Y o costates et de variaces ies. 1. Doer la déitio de la droite des moidres carrés y = a x + b et rappeler les valeurs de a et b. 2. Motrer que a et b coverget presque sûremet e précisat leurs limites. Ex 20. Soit (X i, Y i, i = 1,..., ( 2 des réalisatios idépedates d'u vecteur aléatoire (X, Y. O suppose que Y = a X + b + ɛ où ɛ est cetré et idépedat de X et o ote Y 1 X 1 1 Y =. R et W =.. R 2. Y X 1 1. Ecrire sous forme matricielle la relatio: i = 1,...,, Y i = a X i + b + ɛ i, e posat θ = (a, b. 2. O suppose maiteat que X a pour desité f X. Motrer que W W est presque sûremet iversible. 3. Doer ue expressio matricielle du miimiseur ˆθ de θ Y Wθ 2 = (Y Wθ (Y Wθ, θ R Exprimer les valeurs ˆθ 1 et ˆθ 2 e foctio de X, Y, ˆσ(X, Y etc... Ex 21. O déit la variace coditioelle par var(y X = E(Y 2 X E(Y X 2. Motrer l'égalité var(y = var ( E(Y X + E ( var(y X. Ex 22. Soit X et ɛ deux variables aléatoires idépedates de variaces ies. O déit Y = g(x + ɛ où g est ue foctio cotiue borée. 1. O suppose que E(ɛ = 0, motrer que E(Y X = g(x. 2. Que vaut E(Y X si E(ɛ = m 0? Ex 23. avec ρ ] 1, 1[. Soit (X, Y u couple de variables aléatoires de desité joite 1 ρ 2 ( f XY (x, y = exp 1 x 2π 2( 2 + y 2 + 2ρxy, x, y R, 1. Motrer que f XY est ue desité (poser (u, v = ( 1 ρ 2 x, y + ρx, puis passer e coordoées polaires. 2. Justier que E X k < pour tout k N. Calculer E(X et var(x. 3. Doer ue coditio écessaire et susate pour que X et Y soiet idépedates. 4. Calculer l'espérace coditioelle φ (x = E(Y X = x. Commeter. 5

6 Ex 24. Soit (X 1, Y 1,..., (X, Y des réalisatios idépedates d'u couple de variables aléatoires (X, Y de desité joite f XY cotiue et de desités margiales f X et f Y. O suppose que f X (x > 0 pour tout x R. 1. Soit ɛ > 0, exprimer P ( X x ɛ sous la forme d'ue itégrale, puis e foctio de F X, la foctio de répartitio de X. Justier que P ( X x ɛ > Proposer u estimateur de P ( X x ɛ. 3. Proposer u estimateur de E ( Y 1{ X x ɛ}. 4. Soit A u évéemet de probabilité strictemet positive. Rappeler la formule de E(Y A. 5. E déduire u estimateur de E(Y X x ɛ. Motrer qu'il correspod à u estimateur de Nadaraya-Watso particulier, e précisat les valeurs du oyau et de la feêtre. 6. Calculer lim ɛ 0 E(Y X x ɛ. Commeter. Ex 25. Pour calibrer u radar, o relève les erreurs de mesure sur 70 essais. La moyee des erreurs vaut 0, 27 et l'écart-type Proposer u moye de tester au iveau α = 0.05 asymptotiquemet si les erreurs de mesure sot cetrées. 2. Commet est calculée la p-value du test? Ex 26. O eectue 100 lacés de dé et o obtiet les résultats suivat Proposer u moye de tester au iveau α = 0.05 si le dé est pipé. 2. Commet est calculée la p-value du test? Ex 27. Soiet X, Y deux variables aléatoires idépedates de de Poisso de paramètre Calculer la de X sachat X + Y = pour Proposer ue méthode pour tester expérimetalemet ce résultat pour = 4. Ex 28. Soit X 1,..., X u échatillo. 1. Rappeler la déitio de la statistique de Spearma S utilisée pour le test H 0 : "les X i sot idépedats" cotre H 1 : "les X i sot stochastiquemet croissats". 2. Doer ue autre expressio de la statistique e utilisat l'exercice 17. Commeter. Ex 29. Soit (X, Y u couple de variables aléatoires cotiues de desité f XY sur R 2 et tel que X est stochastiquemet supérieure à Y. 1. Exprimer les foctios de répartitio F X et F Y e foctio de la desité joite f XY. Quelle iégalité ces foctios vériet-elles? 2. Motrer que si X et Y sot idépedates alors P(Y X Motrer (sas supposer l'idépedace que pour tout z R, E déduire que P(X Y F Y F X. P(Y z P(Y X 0 + P(X z. 6

7 Ex 30. Soit X 1,..., X des variables aléatoires iid. Motrer que les suites suivates sot stochastiquemet croissates: 1. S i = i j=1 X2 j, i = 1,..., 2. Y i = X i + log(i, i = 1,..., 3. Z i = ixi 2, i = 1,...,. Ex 31. Soit X 1,..., X des variables aléatoires iid de desité f. Le tau de Kedall est déi par τ = 1 4 ( 1 j=i+1 1{X i < X j } Motrer que les X i sot presque sûremet tous diérets et rappeler la déitio des rags R i de l'échatillo das ce cas. 2. Exprimer la statistique τ e foctio de R 1,..., R. 3. Doer la du vecteur R = (R 1,..., R. E déduire que la de τ e déped pas de f. 7