Méthodes stochastiques de calcul de stabilité des pentes

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1 Républque Algéree Démocratque et Populare Mstère de l Esegemet Supéreur et de la Recherche Scetfque UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI - TIZI OUZOU - Faculté du Gée de la costructo Départemet de Gée Cvl MÉMOIRE DE MAGISTÈRE Spécalté : gée cvl Opto : géotechque et evroemet Préseté par : Nama RAHMANI THÈME Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Devat la commsso d eame : Présdet : Mr Naceur Edde HANNACHI Professeur - UMMTO Rapporteur : Mr Al BOUHERAOUA Maître de coféreces - UMMTO Eamateur : Mr Ramdae BAHAR Eamateur : Mr Bachr MELBOUCI Eamateur : Mr Ahcèe AIT AIDER Professeur - UMMTO Professeur - UMMTO Maître de Coféreces - UMMTO Souteu le : 9 /03 / 0

2 REMERCIEMENTS Que tout ceu qu m ot apporté leur ade, pour la réalsato de ce traval, trouvet c l epresso de m a profode grattude. Je tes otammet à remercer : Moseur A. BOUHERAOUA maître de coféreces au départemet de gée cvl de l uversté Mouloud Mammer de Tz Ouzou, pour avor drgé ce traval, et de m avor perms as de le meer à so terme. Moseur N. HANNACHI professeur au départemet de gée cvl de l uversté Mouloud Mammer de Tz Ouzou, qu a be voulu eamer ce traval et présder le jury. Moseur R. BAHAR professeur au départemet de gée cvl de l uversté Mouloud Mammer de Tz Ouzou, d avor voulu accepter d être eamateur das le jury de souteace. Moseur B. MELBOUCI professeur au départemet de gée cvl de l uversté Mouloud Mammer de Tz Ouzou, d avor voulu accepter d être eamateur das le jury de souteace. Moseur A. AIT AIDER matre de coféreces au départemet de gée cvl de l uversté Mouloud Mammer de Tz Ouzou, d avor voulu accepter d être eamateur das le jury de souteace. Je ouble surtout pas mes ams qu m ot apporté ade et récofort.

3 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes SOMMAIRE SOMMAIRE Itroducto géérale Chaptre I : Elémets de statstque et de probablté 4 I. Gééraltés 4 I.. Beso de statstque II.. Statstque descrptve et statstque féretelle I. Dstrbutos statstques et représetatos assocées 5 I.. Déftos de base I.. Types de varables statstques I..3 Dstrbutos statstques. Effectfs, fréqueces I..4 Représetatos graphques des dstrbutos statstques a. Varables omales b. Varables ordales et varables dscrètes c. Varables cotues : hstogramme, polygoe des fréqueces, dagramme «brache et feulle» I.3 Fréqueces cumulées et focto de répartto I.3.. Fréqueces cumulées I.3. Focto de répartto I.4 Caractérstques d ue dstrbuto. Tedace cetrale et dsperso I.4. Gééraltés I.4. Caractérstques de tedace cetrale a. Mode b. Médae et quatles c. Moyee arthmétque I.4.3 Caractérstques de dsperso.écart terquartle.écart-type. Varace 3. Coeffcet de varato C V (X I.4.4 Momets et caractérstque de forme. Momets emprques. Caractérstque de forme I.5. Modèle théorque de dstrbuto. Varables aléatores d échatlloage 9 I.5. Varables aléatores I.5. Espérace et momets I.5.3 Los de dstrbuto théorque. Itroducto. Focto de dstrbuto I.5.4 Défto géérale d ue varable Gaussee Chaptre II : Méthodes pratques de calcul probablste 6 II. Itroducto 6 II. Appromato par les séres de TAYLOR 7 II.3 Appromato par tégrato umérque 8 s-

4 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes SOMMAIRE II.4 Appromato par ue lo ormale où logormale 30 II.5 Smulato : méthode de MONTE CARLO 3 II.6 Estmato poctuelle : méthode de ROSENBLUETH 35 Chaptre III : LES TECHNIQUES DE GEOSTATIQUE 40 III Itroducto 40 III. Bases de la géostatstque 4 IV.. Hypothèse de statoarté a. Statoarté au ses strct b. Statoarté au ses large (d ordre c. l hypothèse trsèque III.3 Proprétés du varogramme 43 III.4 Varato d estmato et varace de dsperso 46 III.5 Le Krgeage 47 III.5. Absece de dérve (krgeage poctuel smple III.5. Prse e compte d ue dérve (krgeage uversel III.5.3 Krgeage étedu (estmato des valeurs moyees III.6 Cokrgeage 54 Chaptre IV : Méthode des élémets fs 55 IV. Itroducto 55 IV. modélsato, systèmes dscrets et systèmes cotus 56 IV.. Modélsato umérque IV.. Systèmes dscrets et systèmes cotus IV.3 Formulato tégrale 57 IV.3. Itroducto IV.3. Méthodes des résdus podérés IV.4 Appromato par élémets fs 60 IV.4. Itroducto IV.4. Gééraltés IV.4.3 Défto de la géométre des élémets Chaptre V : Stablté des petes, théores et calculs 67 V. Itroducto 67 V. Méthode d équlbre lmte 67 V.3 Forme de la surface de glssemet 68 V.3. Surfaces de glssemets crculares V.3. Surfaces de glssemets tragulares V.3.3 Formes géérales de la surface de glssemet V.4 Méthode des traches 7 V.4. Méthodes ordares des traches (méthode de Felleus V.4. Développemet gééral des équatos du facteur de sécurté V.4.3 Méthode de Bshop smplfée V.4.4 Méthode de Jumbo smplfée V.4.5 Méthode rgoureuse de Jumbo V.4.6 Méthode de Morgester-prce V.4.7 Méthode suédose smplfée V.4.8 Méthode Sarma s-

5 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes SOMMAIRE V.4.9 Méthode des cales V.4.0 Méthode de pete fe V.5 Cocluso 87 Chaptre VI : Aalyse probablste de la stablté des ouvrages 88 VI. Itroducto 88 VI. Coeffcet de sécurté et probablté de rupture 88 VI.. Coeffcet de sécurté VI.. Probablté de rupture VI..3 Coeffcet de sécurté ou probablté de rupture VI.3 Méthode de calcul probablste du comportemet des ouvrages 93 VI.3. Appromato par les séres de TAYLOR VI.3. Appromato par tégrato umérque VI.3.3 Appromato par ue lo ormale ou logormale VI.3.4 Smulato : méthode de Moté Carlo VI.4 Aalyse probablste de la stablté des petes 95 VI.4. Itroducto VI.4. Commet amélorer les méthodes de calcul probablste VI.4.3 Aalyse de la stablté par abaque (rupture crculare, sol homogèe VI.4.4 Aalyse de la stablté das l hypothèse d u sol trcouche (rupture crculare VI.4.5 Ue méthode d aalyse probablste de la stablté des petes (ALONSO,976 VI.4.6 Proprétés du sol VI.4.7 Presso tersttelle VI.4.8 Géométre du talus VI.5 Processus de moblsato de la résstace au csallemet 08 Chaptre VII : logcel CESAR-LCPC 9 VII. Itroducto VII. Présetato de la structure géérale du logcel CESAR-LCPC VII.3 Descrpto géérale du logcel CESAR-LCPC VII.3. Itroducto VII.3. Iterface graphque VII.4 Etape : Créato du mallage 3 VII.3. Itroducto VII.3. Les outls permettat la défto de la géométre VII.3.3 Représetato graphque VII.5 Etape : Le découpage 4 VII.4. Itroducto VII.4. Les outls permettat l affectato des découpages VII.4.3 Représetato graphque VII.6 Etape 3 : Le mallage 5 VII.5. Itroducto VII.5. Les outls permettat la défto du mallage VII.5.3 Représetato graphque VII.5.4 Mallage de régos s-3

6 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes SOMMAIRE VII.7 Etape 4 : Itato du modèle de proprétés 9 VII.6. Itroducto VII.6. Itato modèle VII.6.3 Italser u ouveau modèle VII.6.4 Défr le modèle courat VII.6.5 Défto du problème physque VII.6.6 Domaes d applcato et modèles de calcul VII.6.7 Type d tato VII.6.7 Chosr ue méthode d tato VII.8 Etape 5 : Doées d tato du modèle chose 30 VII.7. Itroducto VII.9 Etape 6 : Les codtos au lmtes 3 VII.8. Itroducto VII.8. Domaes d applcato VII.0 Etape 7 : Cas de charges 3 VII.9. Itroducto a / Problèmes léares b / Problèmes o léares ou focto du temps VII.9. Domae d applcato VII. Etape 8 : Eplotato des résultats 33 VII.0. Itroducto VII.0. Les outls permettat la vsualsato des résultats VII.0.3 Les outls permettat le tracé t l eplotato de courbes de résultats Chaptre VIII : Applcatos et dscutos 35 VIII. Itroducto 35 VIII. Valdato du logcel Cesar 36 VIII.. Présetato de l eemple VIII.. Résultats VIII.3 Deuème applcato : talus e rembla 40 VIII.3. Présetato de l eemple VIII.3. Résultats VIII.4 Trosème applcato 4 VIII.4. Présetato de l eemple VIII.4. Programmato de la méthode de Bshop VIII.4.3 La méthode smplfée de Bshop VIII.4.4 La méthode de Jumbo VIII.4.5 la méthode de Felleus VIII.5 Quatrème applcato 48 VIII.5. Calcul de stablté d u talus par Abaqus VIII.5. Géométre et modèle VIII.5.3 Résultats et dscutos VIII.5.4 Programma de calcul Cocluso Géérale 65 s-4

7 RESUME Les méthodes de calcul actuellemet utlsées e géotechque (dtes méthodes détermstes se baset sur des los de comportemet du sol ou des valeurs fes sot attrbuées au paramètres fgurat das les équatos du modèle mathématque adopté. Les facteurs de sécurtés as calculés sot comparés à des dfféretes sources d certtudes comme par eemple l échatlloage lmté, les erreurs de mesure évtables, l mperfecto des modèles mathématques et la varablté das le temps et das l espace des prcpau paramètres géotechques, l est évdet que ces derers e peuvet jamas être évalués de maère etèremet détermste. C est pourquo les résultats fau d ue aalyse géotechque deveet à leur tour affectés par ue certae quatté d certtude. L approche probablste pred e compte le caractère aléatore des varables fgurat das l aalyse. Se basat sur u modèle mécaque classque de comportemet du sol, l approche probablste compred l évaluato répéttve des facteurs de sécurtés ( ou de mporte quelle autre focto défssat la performace de l ouvrage,dte focto performace sur la base des valeurs umérques prses par les varables aléatores. Le résultat fal d ue aalyse probablste est la probablté de rupture qu représete ue mesure de fablté de l ouvrage évaluée sur la base des valeurs de la focto performace correspodat au dfféretes réalsatos umérques des paramètres aléatores. Le problème de la stablté des talus e terre représete ue des plus fréquetes applcatos de l approche probablste das le domae géotechque. Le sujet prcpal abordé das ce mémore cocere l évaluato de la fablté d ue pete e teat compte de la cotrbuto des ombreuses surfaces de ruptures potetelles. Autremet dt, l certtude pesat sur la posto de la surface de rupture est prse e compte das le calcul de la fablté globale de la pete étudée. / Modélsato umérque des paramètres aléatores : - Méthode de Moté Carlo (smulato umérque : elle pourrat être applquée au cas très smples (vu le ombre des smulatos écessares af d obter des résultats sgfcatfs

8 / Recherche de la surface crtque e focto des résultats obteus das la phase précédete : La techque de grlle assocée à la méthode de Bshop (utlsée pour évaluer le facteur de sécurté correspodat à chaque œuds de la grlle a été falemet adoptée. E coséquece, seules des surfaces de rupture crculares serot cosdérées. 3/ Evaluato de la probablté de rupture et terprétato des résultats obteus. ABSTRACT The calculato methods curretly used geotechcal egeerg (so-called determstc methods are based o the laws of coduct sol or fed values assged to the parameters set the equatos of the mathematcal model adopted. The securty factors are calculated ad compared to dfferet sources of ucertates such as lmted samplg, measuremet errors evtable mperfecto of mathematcal models ad the varablty tme ad space of key parameters geotechcal It s obvous that the latter ca ever be evaluated o a etrely determstc. That s why the fal results of a aalyss geotechcal become tur affected by a certa amout of ucertaty. The probablstc approach takes to accout the radom ature of varables the aalyss. Based o a classc model mechacal behavour of sol, probablstc approach cludes assessmet of factors repettve securty (or ay other fucto defg performace of structure, kow fucto performace o the bass of umercal values take by radom varables. The fal result of a probablstc aalyss s the probablty of falure whch s a measure of relablty of structure assessed o the bass of servce values correspodg to dfferet performace achevemets dgtal radom parameters. The problem of slope stablty o earth represets oe of the most frequet applcatos of probablstc approach the geotechcal feld. The ma topc dscussed ths memory cocers the evaluato of the relablty of a slope, takg to accout the cotrbuto of may areas of potetal dsruptos. I other words, ucertaty about the locato of the fracture surface s take to accout calculatg the overall relablty of the slope studed. / Modelg dgtal radom parameters:

9 -- Method of Mote Carlo (smulato: t could be appled to very smple cases (gve the umber of smulatos eeded to obta sgfcat results / Research of the crtcal surface depedg o the results obtaed the prevous phase: The techcal grd assocated wth the method of Bshop (used to evaluate the safety factor for each ode of the grd was fally adopted. Accordgly, oly fracture surfaces crculars wll be cosdered. 3 / evaluato of the probablty of rupture ad terpretato of results.

10 Chaptre 0 Itroducto Itroducto Mémore de magstère Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes.

11 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Itroducto INTRODUCTION GENERALE La mécaque des sols classques repose sur des hypothèses smplfcatrces qu goret le caractère hétérogèe des sols. La varato d u pot à l autre des proprétés physques et mécaques du sol crée pourtat des certtudes sur les valeurs représetatves des paramètres de calcul, ce qu se tradut par des certtudes sur la prévso du comportemet des ouvrages. Le caractère probablste des doées de mécaque des sols est pas prs e compte das les méthodes usuelles de calcul des projets, qu sot de ature détermste. Cette questo, ou autremet dt, la résoluto de problèmes auss fodametau que la représetatvté d u esemble de sodages par des paramètres, des valeurs de calcul, est lassée à l apprécato de l géeur qu se cotetera souvet d u tratemet subjectf. Cette stuato est pas sas covéet. Auss depus ue tretae d aées, ous assstos au développemets de méthodes de calcul statstques et probablstes e mécaque des sols. Ces méthodes ot pour objectfs prcpau de caractérser d ue part la varablté aturelle des sols af d optmser les recoassaces géotechques et d estmer d autre part les certtudes affectat le dmesoemet des ouvrages. Malgré le développemet d outls de calculs (méthodes umérques de plus e plus performats et ue descrpto de sol de plus e plus proche de la réalté, l este toujours u écart etre les résultats de calcul et les valeurs des solutos réels à la fos e laboratore et stu. C est das l espor de rédure ce bas estat, ou, tout au mos de progresser das la compréheso de ces dvergeces, que les géotechces pousset leurs vestgatos das l applcato des statstques et probabltés, avec comme objectf de predre e compte l effet de la varablté des proprétés physques et mécaques de sol das l aalyse probablste de la cosoldato qu reste ecore u grad sujet d térêt. Les méthodes de calcul actuellemet utlsées e géotechque (dtes méthodes détermstes se baset sur des los de comportemet du sol où des valeurs fes sot attrbuées au paramètres fgurat das les équatos du modèle mathématque adopté. Les facteurs de sécurté as calculés sot comparés à des dfféretes sources d certtudes comme par eemple l échatlloage lmté, les erreurs de mesure évtables, l mperfecto des modèles mathématques et la varablté das le temps et das l espace des prcpau paramètres géotechques. Il est évdet que ces derers e peuvet jamas être évalués de maère etèremet détermste.

12 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Itroducto C est pourquo les résultats fau d ue aalyse géotechque deveet à leur tour affectés par ue certae quatté d certtude. Actuellemet, la justfcato de la stablté des projets d'ouvrages géotechques se fat par catégores d'ouvrages et utlse des méthodes de calcul codfées. Le traval préseté das ce mémore trate d ue approche dte stochastque pour le calcul de stablté des petes. Le problème de la stablté des talus e terre représete ue des plus fréquetes applcatos de l approche probablste das le domae géotechque. Le sujet prcpal abordé das ce mémore cocere l évaluato de la fablté d ue pete e teat compte de la cotrbuto des ombreuses surfaces de ruptures potetelles. Autremet dt, l certtude pesat sur la posto de la surface de rupture est prse e compte das le calcul de la fablté globale de la pete étudée. Pour pouvor predre e compte le caractère hétérogèe du sol au travers de ses proprétés physques et mécaques, et doc pouvor décomposer le massf e élémets plus petts avec des valeurs de la déformablté et l agle de frottemet, ous utlsos la méthode des élémets fs au travers logcel CESAR-LCPC. La méthode statstque est la méthode de Mote Carlo. La méthode de Mote Carlo, qu cosste à effectuer ue sére de smulatos umérques détermstes du phéomèe étudé, e utlsat des valeurs des paramètres de calcul répartes coformémet au los de probabltés doées, a été applquée e effectuat des valeurs aléatores au paramètres de calcul das chaque élémet du massf. Ue sére de smulatos est as réalsée pour ver à bout de cette varablté du massf de sol et doc de ses proprétés physques et mécaques. Das tous les cas, o cherche la surface crtque e focto des résultats obteus das la phase précédete : La techque de grlle assocée à la méthode de Bshop (utlsée pour évaluer le facteur de sécurté correspodat à chaque œud de la grlle a été falemet adoptée. E coséquece, seules des surfaces de rupture crculares serot cosdérées. Pour attedre les objectfs vsés das cette étude, ous avos dvsé otre traval e hut chaptres, ue troducto géérale et ue cocluso. As, le chaptre I doe quelques élémets et autres otos de ce qu l est oblgatore de maîtrser s l o veut aller au bout des projets : les otos de statstques et probablstes. Cellesc sot ue faço péétrer l cou qu découle de l hétérogéété des sols e termes d certtude qu affecte l estmato des paramètres de calculs.

13 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Itroducto Le chaptre II trate d ue questo essetelle das cette étude : les techques d aalyse des massfs de sols hétérogèes. Dverses méthodes estet plus ou mos performates et permettet la résoluto de problèmes complees. Le chaptre III se dstgue des deu chaptres précédets par so aspect orgal, que l o dot à Mathero de l Ecole des Mes et que l o peut cosdérer comme ue eteso des otos développées das ce chaptre I. Ces outls, dts de géostatstque, permettet ue descrpto des varatos des varables dtes régoalsées. Pour pouvor predre e compte le caractère hétérogèe du sol au travers de ses proprétés physques et mécaques, et doc pouvor décomposer le massf e élémets plus petts avec des valeurs des paramètres de calcul, ous utlsos presque toujours la méthode des élémets fs dot les otos essetelles ot été revues au chaptre IV. C est la méthode la plus utlsée tat elle est performate. Be souvet so applcato à des problèmes classques se fat au travers de logcels comme le CESAR-LCPC. La structure géérale de ce logcel est passée e revue das le chaptre VII. Le chaptre V a trat à la théore de la stablté des petes. Nous avos passé e revue l étude du phéomèe de la rupture des talus. Nous avos auss aalysé l esemble des méthodes estates qu permettet l évaluato de la stablté. Cette étude est mportate pusque otre applcato portera sur l étude de la stablté d u talus. Quat au chaptre VI, o évoque l aalyse de la stablté des ouvrages pour sster sur les bases d étude et les quelques théores estates aujourd hu, comme par eemple, la oto du coeffcet de sécurté. Au derer chaptre, sot doc le chaptre VIII, ous avos fat part de otre ôtre propre traval et des quelques résultats auquels ous sommes arrvés. Il est évdet que le domae auquel ous ous sommes téressés est somme toute ouveau ; auss, l faut d autres travau pour se fare ue dée plus précse sur so mportace. 3

14 Chaptre I Elémets de statstques et probabltés Chaptre I Elémets de statstques et de probabltés Mémore de magstère Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes..

15 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I Chaptre I ELEMENTS DE STATISTIQUES ET PROBABILITES I. GENERALITES I.. Beso de statstques Du fat de la varablté, o est das le domae de l certa. Cette scece de l certa, c est le déf qu a relevé la statstque e s appuyat sur le cocept de probablté. Plutôt qu ue seule valeur, la prse e compte de l certa permet de détermer u tervalle à l téreur duquel o a ue certae probablté de se stuer et doc u rsque de e pas y être. Das ce chaptre ous présetos les otos essetelles de la statstque descrptve, dspesables das l aalyse de la varablté des sols et le calcul probablste des ouvrages. O appred commet décrre de faço clare et cocse l'formato apportée par des observatos ombreuses et varées sur u phéomèe doé. Il s'agt de trer ces doées, les décrre, les résumer sous forme de tableau, de graphques, et sous forme d'u pett ombre de paramètres-clés (moyee, médae par eemple. I.. Statstque descrptve et statstque féretelle De maère appromatve, l est possble de classer les méthodes statstques e deu groupes : celu des méthodes descrptves et celu des méthodes féretelles. - La statstque descrptve. O regroupe sous ce terme les méthodes dot l objectf est la descrpto des doées étudées ; cette descrpto des doées se fat à travers leur présetato (la plus sythétque possble, leur représetato graphque, et le calcul de résumés umérques. Das cette optque, l est pas fat appel à des modèles probablstes. O otera que les termes de statstque descrptve, statstque eploratore et aalyse des doées sot quasmet syoymes. - La statstque féretelle. Ce terme regroupe les méthodes dot l objectf prcpal est de précser u phéomèe sur ue populato globale, à partr de so observato sur ue parte restrete de cette populato ; d ue certae maère, l s agt doc d dure (ou ecore d férer du partculer au gééral. Le plus souvet, ce passage e pourra se fare que 4

16 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I moyeat des hypothèses de type probablste. Les termes de statstque féretelle, statstque mathématque, et statstque ductve sot eu auss syoymes. D u pot de vue méthodologque, la statstque descrptve précède e gééral la statstque féretelle das ue démarche de tratemet de doées : les deu aspects se complètet be plus qu ls e s opposet. I. DISTRIBUTIONS STATISTIQUES ET REPRESENTATIONS ASSOCIEES I.. Déftos de base O appellera : Idvdu, l'uté d'observato (eemples : etreprse, chaîe de producto ; Populato, l'esemble des dvdus cocerés par l'étude (eemples : esemble des etreprses algérees, esemble des pèces sortat de la chaîe ; Échatllo, u sous-esemble de la populato dot les dvdus ferot l'objet de l'étude. Le cho de l'échatllo se fat e respectat certaes règles ; Varable ou caractère statstque, l'aspect de l'uté statstque que l'o va étuder (eemples : stuato géographque de l'etreprse, damètre de la pèce. O dra que cette varable pred des valeurs (ou modaltés. I.. Types de varables statstques O peut défr quatre classes (ou types das lesquelles se répartsset les varables statstques selo la ature de leurs valeurs. Les dfférets types de varables sot présetés das le tableau I.. Tableau I. Dfférets types de varables statstques Dfférets types de varables statstques Esemble des valeurs prses par la varable Type de varable Eemples See Amorphe (sas structure Ordoé Ue parte de l esemble des eters Catégorelle (ou omale Ordale Dscrète Natoalté Catégore socoprofessoelle Cotrôle Qualtatf d ue pèce Stuato de famlle Tout jugemet qualtatf Meto à u eame Nombre d efats Nombre de dplômes Pods Gere de varable Qualtatves 5

17 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I Ue parte de l esemble des réels Cotue Température Fréquece d u sgal Ampltude d u brut thermque Valeur boursère Quattatves I..3 Dstrbutos statstques. Effectfs, fréqueces Lorsque le recuel des doées a été effectué, o dspose, pour chacu des dvdus de l échatllo (ou de la populato, de la valeur de la varable étudée. Le premer tratemet cosste alors à relever cette valeur pour chaque dvdu et esute à compter le ombre d dvdus pour lesquels la varable pred ue valeur doée. O assoce, à chaque valeur prse par le caractère statstque étudé, so effectf. Notato : les varables serot otées par des lettres majuscules X, Y, Z ; o ote leurs modaltés (valeurs par des lettres muscules, y j, z l et les effectfs assocés par Eemple : X = see, = fém, = mascul, = ombre de femmes, = ombre d hommes Ce tratemet est be sûr drectemet possble que pour les varables qualtatves ou dscrètes, qu ot qu u ombre lmté de valeurs possbles, dscerables etre elles. Pour les varables cotues, o commece par rager les observatos e classes, celles-c état des tervalles de la forme[, a [. Esute, pour chaque classe, o compte le ombre a d dvdus dot le caractère appartet à la classe : ce ombre est l effectf de la classe. O ote k le ombre de modaltés. Défto : o appellera dstrbuto statstque des effectfs de la varable X : L esemble des doées (,,,..., k L esemble des doées ([ a, a [,,,..., k, =, s X est ue varable qualtatve ou dscrète, =, s X est ue varable cotue. Les résultats sot gééralemet présetés das u tableau du type du tableau I.. j, l. 6

18 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I Tableau I. Présetato des varables statstques Présetato des varables statstques X est catégorelle, ordale ou dscrète X est cotue Classes Effectfs Classes Effectfs.... k k [ a, [ 0 a [ a, [ a.. [, a [ a k k.. k Total ( N = k Total N = k ( N est l effectf total de l échatllo Remarque : das le cas des doées dvduelles (c est-à-dre lorsque l o e regroupe pas les réposes, o a : = =. =.. k À la dstrbuto d effectfs défe c-dessus, o préfère souvet la dstrbuto de fréqueces assocée. Défto : La fréquece (ou proporto assocée à la valeur du caractère (resp. à la classe[ a, a [ est la valeur f défe par : f = N La fréquece f représete doc la part de l échatllo pour laquelle la valeur de la varable est (ou appartet à[, a [ a (le pourcetage sera alors00 f.. O peut par eemple l eprmer sous forme de pourcetage Remarque. Cette quatté est dépedate de la talle de l échatllo, ce qu permet de comparer les résultats obteus sur pluseurs échatllos. Les fréqueces vérfet les proprétés suvates : 0 f f f... f =,..., k k = I..4 Représetatos graphques des dstrbutos statstques Très souvet, o préfère des représetatos graphques à des tableau. Les graphes apparasset comme plus «parlats». Ces représetatos sot adaptées au type de varable étudée : omale, ordale, dscrète ou cotue. 7

19 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I a. Varables omales O dspose pour ces varables de dagrammes e bâtos, as que de dagrammes crculares (ou e secteurs, ou e «camembert». Dagramme e bâtos (fgure I.a À chaque modalté, o assoce u «bâto» de logueur f (ou, s l o veut, à l effectf. O a doc h = Cte f. h proportoelle à la fréquece Pour ue varable omale, seules les hauteurs sot sgfcatves ; l ordre et l écart des e sot pas sgfcatfs. Dagramme crculare (fgure I.b L agle de chaque secteur E degrés, o a = 360 f. est proportoel à la fréquece f. C est la représetato la plus utlsée pour les varables omales. C est la représetato la plus utlsée pour les varables omales. De surcroît, elle est plus fdèle que la précédete. Fgure I. Représetatos graphques des varables omales 8

20 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I b. Varables ordales et varables dscrètes Varables ordales O utlse les mêmes représetatos que pour les varables omales. Toutefos, l covet de oter que, pour le dagramme e bâtos, l ordre des modaltés à u ses cocret, car l dot correspodre à l ordre estat etre les valeurs. Varables dscrètes Pour ce type de varables, o préfère le dagramme e bâtos car, das ce cas, l ordre et l écart etre les bâtos sot sgfcatfs. c. Varables cotues : hstogramme, polygoe des fréqueces, dagramme «brache et feulle» O cosdère ue varable statstque cotue dot les valeurs ot été ragées e classes[ a, a [. L ampltude de la classe [ a, a [ est A = a a. Pour représeter graphquemet la dstrbuto statstque d ue telle varable, o a recours à u hstogramme. Le prcpe est le suvat : à chaque classe, o fat correspodre u rectagle de base l tervalle [, a [ a (pour la classe et de hauteur h, de sorte que la surface du rectagle sot proportoelle à l effectf. As, o calcule la hauteur rectagle au moye de la formule suvate : h = a D u pot de vue pratque, o costtuera u tableau du type du tableau I.3. a h du Tableau I.3 Varables cotues : ampltudes et fréqueces Varables cotues : ampltudes et fréqueces Classes Effectfs Fréqueces f Ampltudes A Hauteurs h. k [ a, [ 0 a [ a, [. a [, a [ a k k. k f f. f k a a 0 a a a. k a k (a a 0 (a a. k (a k a k O obtet as le graphque de la fgure I. : - e abscsse, o porte l esemble des valeurs prses par la varable, découpé e classes ; - e ordoée, o porte les hauteurs : 9

21 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I h = a - o trace ef des rectagles. Remarque. S les ampltudes sot toutes égales, o porte les effectfs e ordoée. La costructo de l hstogramme s opère de la faço suvate : O calcule la dfférece de la dstrbuto, dfférece etre la valeur la plus élevée et la valeur la plus fable. O partage l étedue de la dstrbuto, e k classes d ampltudes égales. O compte le ombre de valeurs comprses das chacue des classes. Pus o reporte ces ombres N sur u graphque où l o porte e abscsse les valeurs du paramètre étudé et e ordoée les effectfs de chaque classe. a Fgure I. Représetatos graphques des varables cotues À partr de l hstogramme d ue varable statstque cotue, o peut tracer le polygoe des fréqueces assocé (fgure I.b e procédat de la maère suvate : - o jot par des morceau de drotes les mleu des segmets horzotau supéreurs des rectagles de l hstogramme ; 0

22 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I - o ajoute à drote et à gauche de l hstogramme des classes fctves, toutes deu de même ampltude et d effectf ul, ce qu doe alors leu à deu ouveau segmets. Remarque. O e dot pas «lsser» la courbe. E derer leu, lorsque l o étude u échatllo de fable talle (N < 00 et que l o dspose des doées dvduelles, o peut dresser, pour la varable étudée, u dagramme dt brache et feulle (e aglas stem ad leaf, qu a l avatage de coserver l formato de la répartto à l téreur des classes. Prcpe. Das tout ombre, o peut dstguer deu partes : u chffre de «plus haut pods» (brache et u chffre de «plus bas pods» (feulle. I.3. FREQUENCES CUMULEES ET FONCTION DE REPARTITION I.3.. Fréqueces cumulées Pour les varables qualtatves ordales et pour les varables quattatves, o peut eploter la relato d ordre estat etre les valeurs possbles de la varable. O déft as les dstrbutos cumulées (Fgure I.3 et tableau I.4. Fgure I.3 Focto de répartto Tableau I.4 Dstrbutos cumulées Valeurs Effectfs Fréqueces Effectfs cumulés Fréqueces cumulées.. k- k f f k- k- f k- k k f k f f f.... k- f f f k- k =N f f f k =

23 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I I.3. Focto de répartto Cette oto e cocere que les varables quattatves. Défto. La focto de répartto du caractère X est la focto F, allat de l esemble des réels vers [0,], défe par : F ( = proporto d dvdus de l échatllo dot la valeur de X est < Sot X ue varable cotue, dot les valeurs sot ragées e classes [, a [,..., [ a, [ a 0 k a k avec des fréqueces,..., f k f. O commece par calculer les valeurs de F au pots du découpage : F(a f (a 0 k = 0, F(a = f,..., F(a k = f f... f k = f f... f k Esute, das chaque classe[, a [, o fat ue terpolato léare (o rele les a pots etrêmes par u segmet de drote. Pus o prologe la courbe par 0 à gauche de a 0 et par à drote de a k (fgure 3., I.4 CARACTERISTIQUES D UNE DISTRIBUTION. TENDANCE CENTRALE ET DISPERSION I.4. Gééraltés Jusqu à préset, ous ous sommes téressés uquemet à la représetato des doées statstques. Cepedat, s l est vra que les dvers tableau et graphes défs plus haut «résumet» la dstrbuto, ls e permettet aucue quatfcato. Le but de ce paragraphe est doc de défr, pour chaque type de dstrbuto statstque, u certa ombre de caractérstques (ou dcateurs, c est-à-dre quelques ombres permettat de résumer de maère quattatve (et o plus qualtatve chaque dstrbuto. Be etedu, mporte quelle quatté e peut pas être u dcateur. E 950, le statstce Yule a doé u certa ombre de proprétés de «bo ses» que dovet, a pror, vérfer les dcateurs statstques. Selo lu, ceu-c dovet : - être déf de maère objectve (et doc être dépedat de l observateur ; - utlser toutes les observatos ; - avor ue sgfcato cocrète, af d être comprs par les o-spécalstes ; - être smple à calculer ; - être peu sesbles au fluctuatos d échatlloage (oto trodute das l artcle suvat de ce traté ;

24 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I - se prêter asémet au opératos mathématques smples. Nous ous lmteros c à types de caractérstques statstques : - celles dtes de tedace cetrale, qu doet u «ordre de gradeur» de la varable étudée e dégageat la modalté de la varable la plus représetatve ; - celles dtes de dsperso qu, elles, foursset des formatos sur la faço dot les dvdus se répartsset (se «dsperset» autour de la tedace cetrale. Le tableau I.5 doe les caractérstques étudées pour chaque type de varable. Tableau I.5 Caractérstques d ue dstrbuto CARACTERISTIQUES D UNE DISTRIBUTION Type de varable Tedace cetrale Dsperso Nomale Mode ordale Mode, médae, quatles Ecart terquartle Quattatve Mode, médae, quatles, moyee Ecart-type, écart terquartle I.4. Caractérstques de tedace cetrale a. Mode Il est déf pour tous les types de varables. O le déft comme sut. - S X est ue varable statstque omale, ordale ou dscrète, le mode de la dstrbuto assocée est la modalté de X la plus représetée, c est-à-dre celle pour laquelle l effectf est le plus grad ; - S X est ue varable cotue, le mode (ou classe modale de la dstrbuto assocée est la classe dot la hauteur das l hstogramme est la plus élevée. b. Médae et quatles Ces dcateurs sot défs pour toutes les varables sauf les varables omales. La médae est la valeur de la varable telle que le ombre d observatos supéreures ou égales à cette valeur est égal au ombre d observatos strctemet féreures à cette valeur. O vot que, par eemple, pour les varables cotues, cela revet à chercher u tel que F ( = 0, 5. E règle géérale, cette valeur de este pas das le tableau de doées dot o dspose. C est pourquo o adopte la défto suvate : la médae de la dstrbuto de X est doée par : pour les varables ordales ou dscrètes : 3

25 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I o S la fréquece cumulée e est < 0,5 et celle e vaut, est > 0,5, alors la médae o S la fréquece cumulée e est égale à 0,5, alors la médae vaut Pour les varables cotues, répartes e classes [, a [ o S F(a < 0. 5 et (a 0. 5 a : F >, la classe médae est [, a [ médae par terpolato léare sur l tervalle [, a [ ; a et o calcule la a : M éd = a ( a a avec F focto de répartto de X (fgure I.4, o S F(a = 0. 5, la médae vaut a. 0.5 F( a F( a F( a Remarque. La médae est peu sesble au valeurs etrêmes de la varable, doc au erreurs de mesure qu, be souvet, produset des valeurs aberrates. O dt que la médae est robuste ou résstate. Celle oto de médae peut se gééralser à celle de quatle. Sot das l tervalle ],[ d ordre, par 0. S F(a < et F(a >, o déft le ombre Q, quatle Q = a Les cas partculers les plus ctés sot : o Les quartles o Les décles o Les cetles. (a a F(a F(a F(a 4

26 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I Fgure I.4 Classe médae c. Moyee arthmétque Elle est défe que pour les varables quattatves et, pour celles- c, c est la caractérstque de tedace cetrale la plus «aturelle» et la plus utlsée. La moyee (arthmétque d ue varable X sera otée et O déft la moyee arthmétque de la maère suvate. N =... k S X est ue varable quattatve dscrète, doée par sa dstrbuto d effectfs (,,,..., k =,, alors la moyee de X est doée par = (... k k N S X est ue varable cotue ragée e classes[, a [ Où, pour tout = N,c est le cetre de la classe[, a [, sot a ( c c... kc k c a a = a O dra qu ue varable est cetrée s sa moyee est ulle. Il faut oter les remarques suvates :, la moyee de X est - la moyee peut être défe à l ade des fréqueces = f f... f k k : pour les varables dscrètes et = f c f c... f pour les varables cotues ; kc k - l este d autres sortes de moyees (géométrque, harmoque dot ous e parleros pas c ; 5

27 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I - la moyee, preat e compte toutes les valeurs observées, est très sesble au observatos aberrates ; - chaque fos que la répartto est assez symétrque (ce qu se tradut par u hstogramme proche d ue courbe «e cloche», la moyee, la médae et le mode sot proches. La moyee est plus élevée que le mode ou la médae s la répartto est dssymétrque, avec u accet vers les valeurs élevées ; s l accet est, par cotre, sur les valeurs fables, la moyee est plus pette que le mode ou la médae. I.4.3 Caractérstques de dsperso Les caractérstques de tedace cetrale doet u ordre de gradeur du caractère statstque observé. Il est téressat d obter des formatos sur la varablté des observatos et de leur dsperso autour de la tedace cetrale. Itutvemet, ue «boe» caractérstque de dsperso dot être telle que, plus la varablté est grade autour de la tedace cetrale correspodate, plus cette caractérstque dot être grade, et versemet lorsqu l y a peu de dsperso, la caractérstque dot être vose de 0. De plus, ue caractérstque de dsperso dot toujours être postve.. Écart terquartle Il est déf pour toutes les varables, ecepté les varables omales. Défto. L écart terquartle est la dstace etre le er et le 3e quartle. Il vaut doc Q0.75 Q0. 5. Il représete les valeurs etrêmes d ue dsperso de 50 % des effectfs autour de la médae.. Écart-type. Varace Ils e sot défs que pour les varables quattatves. Défto. La varace est la moyee des carrés des écarts à la moyee, c est-à-dre : - pour ue varable dscrète : V(X ( = k = k = = N = N = - pour ue varable cotue ragée e classes[, a [ a, de cetres c V(X ( c = k = k = = N = N = c Das chaque cas, c est la secode epresso qu sera le plus souvet utlsée pour effectuer les calculs. 6

28 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I L écart-type est alors la race carrée de la varace : σ ( X = Var(X 3. Coeffcet de varato C V (X S l écart type mesure l erreur absolue das l estmato de la moyee, alors le coeffcet de varato, oté C V (X est : (X C V σ(x = C V (X est u facteur admesoel utle. Il caractérse la dsperso trsèque de la varable. I.4.4 Momets et caractérstque de forme. Momets emprques S l o dspose d u échatllo de valeurs momets emprques ' m r de cet échatllo.,,..., - Momets emprques d ordre (moyee arthmétque emprque : - Momet emprque d ordre r : m m r = m' = = N m ' r = = = r, o peut d abord calculer les Toutefos les momets emprques e costtuet pas des estmateurs sas bas des momets correspodats. E effet u estmateur est e gééral pas égal à la gradeur à estmer et l o appelle bas d u estmateur la dfférece etre sa valeur et celle de la gradeur cosdérée. d ordre r. O utlse e pratque les estmateurs sas bas suvats pour les momets cetrés Estmateur de momets cetré d ordre. µ ' = 0 Estmateur du momet cetré d ordre. µ ' = s = ( m' = Estmateur du momet cetré d ordre 3. 7

29 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I µ ' 3 3 = ( m' ( ( = Estmateur du momet cetré d ordre 4. µ ' 4 3( 4 = ( ( m' ( m' 3s ( ( ( 3 = =. Caractérstque de forme Les momets cetrés d ordre 3 et 4 doet les formatos sur la forme de la desté de probablté. Ils sot souvet présetés sous forme admesoelle : β ' 3 β = = 3 3 = σ σ = µ µ ' = E[T4 ] = σ 4 4 ( m' 3 = E[T ] 3 S la dstrbuto est symétrque par apport à la moyee arthmétque m, o a β = 0 Pour ue dstrbuto asymétrque, β peut être postf ou égatf suvat le sge de µ 3. Il mesure alors «l asymétre» de la dstrbuto (fgure c-dessous β est pour cette raso appelée «coeffcet d asymétre». F( F( 0 m X 0 m X m Asymétre postve β > 0 Symétre β = 0 Fgure I.5 Coeffcets d asymétre Asymétre égatve β < 0 β = 0 : la dstrbuto des fréqueces est symétrque par rapport à m. β 0 : la dstrbuto est plus étalée à drote de m qu à sa gauche. β 0 : la dstrbuto est plus étalée à gauche. 8

30 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I Le coeffcet β doe ue dcato sur la faço dot la dstrbuto est cocetrée autour de la moyee ; de fables valeurs de β mplquet ue courbe plus plate pour la desté de probablté ; β est appelé «coeffcet d aplatssemet». E vue de comparer toute dstrbuto à la dstrbuto ormale, o forme A k k µ 4 = 3= 4 4 σ σ = ( m' µ 4 Le rapport 4 pour ue dstrbuto ormale (gaussee est égal à 3. σ As : - pour ue dstrbuto gaussee A k = 0, - pour ue dstrbuto potue que la dstrbuto gaussee A k > 0, - pour ue dstrbuto mos potue que la dstrbuto gaussee: A k < F(X A k > 0 A k = 0 A k < 0 X Remarque X m T = est dte varable rédute. Elle est écrte sous forme admesoelle. Elle σ est de moyee ulle est a pour varace. I.5. MODELE THEORIQUE DE DISTRIBUTION. VARIABLES ALEATOIRES D ECHANTILLONNAGE La lo de dstrbuto des valeurs d u paramètre physque ou mécaque das u massf de sol e peut aturellemet pas être parfatemet coue, pusqu l est mpossble de mesurer ce paramètre e tous pots. O e dspose doc e pratque que de l hstogramme des valeurs mesurées et des momets emprques de l échatllo statstque four par les essas. 9

31 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I O coçot pourtat asémet que l utlsato des los de dstrbuto epérmetales est pas très pratque : o essae toujours pour cette raso de modélser la lo observée par l ue des los de dstrbuto théorques développées par les spécalstes des statstques. Il est doc téressat de rappeler quelques otos géérales cocerat les los de dstrbuto des varables aléatores. I.5. Varables aléatores O appelle varable aléatore toute gradeur o détermée à pror dot o sat avec quelle probablté elle peut predre telle ou telle valeur parm ue populato (esemble de valeurs. Par eemple, la teeur e eau das ue couche de sol, qu pred des valeurs,,. avec des probabltés p, p,, p respectvemet. La varable aléatore peut être caractérsée par ue desté de probablté f( (modèle mathématque d u dagramme de dstrbuto déf de la faço suvate : { X d} f ( = prob Elle peut être auss défe par sa focto de répartto F( (modèle mathématque du dagramme de répartto qu est la focto défe e tout pot comme la probablté que la varable aléatore X sot féreure ou égale à. F( = prob G( = prob { X } { X } = g( d( = p( G( G( 0 0 La varable aléatore X peut être dfféremmet défe par sa desté de probablté g( ou sa focto de répartto G(. 0

32 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I I.5. Espérace et momets Nous avos vu qu à la varable statstque X, ous avos par aaloge fat correspodre la varable aléatore X de même ous avos caractérsé ue dstrbuto observée grâce à deu sorte de paramètres. - Paramètre de posto, stuat la valeur cetrale des observatos, pour cela ous avos reteu pour valeur cetrale, la moyee arthmétque ou m ou Moy (, - Paramètres de dsperso, précsat la répartto des écarts etre les dverses valeurs observées et la moyee, ous avos prcpalemet reteu la varable Var(X et l écart type s ou σ(, race carrée de la précédete. E ous doat ue lo de probablté d ue varable aléatore X, ous décrros smplemet ue dstrbuto théorque des dfféretes valeurs de cette varable aléatore. Il est doc tout à fat ormal que ous défssos des paramètres de posto et de dsperso : ls portet la déomato géérale de momets.. Espérace mathématque E(X qu correspod à la moyee Moy (X. C est u paramètre de posto. L espérace mathématque d ue varable aléatore X de desté g( est sa valeur moyee défe par E (X = g( d = 0 dp(. Le momet d ordre r de la varable aléatore X est égale à : r E(X = m r r g( d. O ote que l espérace mathématque est égal au momet d ordre de X, oté m ou plus gééralemet m. Les momets cetrés calculés par rapport à l espérace mathématque et d usage plus r fréquet que les momets calculés par rapport à l orge ([ X ] E r r [(X E[ X ] ] = µ = ( m g ( d Le premer momet cetré est ul et le secod est égal à la varace qu est u paramètre de dsperso où σ est l écart type. V( = σ = µ R = E[( E( ]

33 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I I.5.3 Los de dstrbuto théorque. Itroducto E pratque, o e dspose que de l hstogramme des valeurs mesurées et des momets emprques (moyee arthmétque, varace, de l échatllo statstque four par les essas. O essaye alors de modélser la lo de dstrbuto observée par l ue des los de dstrbutos développées par les spécalstes des statstques. La lo la plus coue est la «lo de Gauss»qu a été la plus employée pour représeter les varatos des proprétés des sols à l téreur d ue couche homogèe. Cette lo est pourtat pas toujours la meu adaptée au problèmes de mécaque des sols.. Focto de dstrbuto Toute focto g( vérfat la codto g (d = peut servr de desté de probablté pour ue varable aléatore. Il este toutefos u certa ombre de foctos employées de faço classque et qu ot de ce fat ue mportace pratque beaucoup plus grades que les autres. La plus part des destés de probablté g( classques peuvet être géérées à partr de l équato dfféretelle Avec : a 0, b 0, b et b costates. Pearso». dg( d Les dstrbutos correspodates (a bg( 0 = (* b0 b b sot regroupées sous le om de «systèmes de Pearso a déf tros prcpau types de courbes d après les valeurs de K, appelé «Crtère»qu s eprme e focto des quatre premers momets de g( (Harr, 977 K = 4(β β ( β 3 3β 6(4β 3β β et β état respectvemet les coeffcets d asymétre et d aplatssemet. Les tros types de courbes sot : Type I : K < 0 Dstrbuto bêta Type IV : 0 < K < Courbes o borées et asymétrques Types VI : < K Boré d u côté.

34 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I Ces tros types de courbes de dstrbuto couvret l esemble des cas possbles. Il este toutefos des dstrbutos de trasto etre les dfférets types. Par eemple, s β = 0 et β = 3 K =0 (das l équato * o a b = b = 0 : dstrbuto ormale. C est ue dstrbuto de trasto etre les types I et IV. Toujours pour K=0, masβ 3, Pearso a déf deu types de courbes symétrques : le type II ( β < 3 et le type VII ( β > 3 eemple de dstrbuto de type VII.. La dstrbuto de Studet est u Normale t t Fgure I.6Dstrbuto t de studet (type VII de Pearso La dstrbuto de type III de Pearso correspod à ue valeur fe de K ( K = ±. C est la gééralsato d ue dstrbuto appelée «Gamma». g ( = 0,5, β = 0, =, β = 0,5 =,0, β = 0, =, β = Fgure I.7 Eemples de dstrbuto gamma. 3

35 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I Les dstrbutos X et epoetelle sot deu eemples de dstrbutos de type III. Pour K = type V (par eemple, la lo logormale. La fgure I.8 c-dessous présete ue classfcato schématque des types de dstrbuto de Pearso e focto des varatos du crtère K. K= K< 0 K=0 K= K= 0<K< K< Type I Type III Type VI Type III Dstrbuto symétrque Dstrbuto ormale s β =3 Type II s β < 3 Type VII s β > 3 Type V Type VII Fgure I.8 Classfcato des dstrbutos selo la valeur de K I.5.4 Défto géérale d ue varable Gaussee O dt très gééralemet qu ue varable aléatore (cotue ou assmlable à ue varable probablste de l évéemet{ X } s eprme par la focto de répartto F( = σ( π E( ep ( σ d Epresso das laquelle E( est l espérace mathématque et σ( l écart type de la varable aléatore cosdérée. X E(X S l o substtue à la varable aléatore X la varable cetrée rédute T =, σ(x O obtet ue epresso plus smplfée : E(X prob t = σ(x Et la focto de desté de probablté est : π t t ep( dt Ou : f ( = σ( e( ep π σ( 4

36 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre I t f (t = ep C La courbe représetatve des varatos de f(t est la très fameuse courbe e cloche. F(t Fgure I.9 La courbe e cloche 5

37 Chaptre II méthodes usuelles de calcul probablste Chaptre II Méthodes usuelles de calcul probablste Mémore de magstère Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes..

38 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II Chaptre II METHODES USUELLES DE CALCUL PROBABILISTE II. INTRODUCTION L élaborato des méthodes de calcul probablstes est ecore lo de so terme, malgré le ombre élevé des publcatos cosacrées à ce sujet. Les calculs mécaques des sols écessares au dmesoemet des ouvrages (ouvrages de soutèemet, ouvrages e terre, fodatos, etc. ot tous pour objectf de détermer la valeur de paramètres (coeffcet de sécurté, temps de cosoldato, ampltude des tassemets, etc. qu dépedet des proprétés physques et mécaques des sols, de la géométre des problèmes et des codtos tales et au lmtes mposées. S l o trate les varatos das l espace des proprétés des sols, les varatos das le temps des codtos au lmtes et les fluctuatos de la géométre des sols et des ouvrages comme des phéomèes aléatores dot chacu peut être représeté par ue varable aléatore X, les résultats des calculs écessares au dmesoemet des ouvrages sot eu-mêmes des varables aléatores Y, foctos des varables aléatores X. Chacue des varables aléatores Y a sa propre focto de répartto G(y et sa desté de probablté g (y, qu l s agt d évaluer. Le calcul probablste des ouvrages de mécaques des sols est doc «smplemet»u problème de calcul de foctos de varables aléatores : Y = f (X. Pour deu varables dépedates X et X de destés de probablté g et g (, la forme eacte de la desté de probablté de la somme Y = X X, produt Z = X X ou du quotet W = X X est la suvate ( Lumb, 974 : g g g ( y ( y ( y = = = g g g ( y g ( z ( w ( d g g ( d ( d Et la combaso de ces équatos permet e prcpe de calculer la desté de probablté de toute focto comportat uquemet des sommes, des produts et des quotets.. Mas cette méthode peut être très laboreuse e pratque, otammet parce qu elle écesste l évaluato d tégrales parfos complees. 6

39 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II Par alleurs, l este pas toujours de relato eplcte etre les paramètres physques, mécaques et géométrques des ouvrages et les résultats qu l s agt d évaluer. Ef, la plupart des méthodes de calcul utlsées pour le dmesoemet des ouvrages e sot qu approchées, ce qu trodut à la fos u bas et ue certtude supplémetare qu l faut corporer das l aalyse de la focto Y = f (X. Dfféretes méthodes peuvet être utlsées pour détermer de faço approchée la desté de probablté g (Y a partr des los de dstrbuto des paramètres X du modèle de calcul. Nous décrros c- après quatre d etre elles : Appromato par les séres de Taylor Appromato par tégrato umérque Appromato par ue lo ormale ou logormale Smulato par la méthode de Mote-Carlo. II. APPROXIMATION PAR LES SERIES DE TAYLOR S la focto y = f( est dfférecable par rapport au, aalytquemet ou umérquemet, elle peut être développées e séres de Taylor autour de la valeur moyee f(m, m,.m, m désgat l espérace mathématque de la varable aléatore X. E lmtat le développemet au premer ou secod ordre, ou plus, o obtet ue epresso approchée de y, qu permet de détermer plus smplemet les valeurs des paramètres de la desté de probablté de Y. As (Bejam et Corell, 970 l espérace mathématque a pour epresso approchée au secod ordre : E[Y] = f (m f (,...,,m,..., m σ XX j = j= ( m, m,..., m (II. ( σ X X j désge la covarace des deu varables aléatores X et Xj ; la varace a pour epresso approchée du premer ordre : V[Y] (m, m,..., m j = j= ( m, m,..., m j ( m, m,..., m (II. f ( σ, X X,..., j f (,,..., σ X X 7

40 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II Das le cas où les varables aléatores X sot dépedates, o a σ 0 pour j et X = X j σ X X j = σ X = V(X D où V(y = f (,..., ( m, m,..., m V[X ] Les momets d ordre 3 et 4 sot doés par les epressos suvates (Lumb, 974 : (II.3 µ f (, [ Y] = µ 3[ ] 3 X = (m, m,..., m,... 3 (II.4 µ [Y] = 3 6 = jp = f (,,..., f (,,..., (m, m,...,m (m, m,...,m 4 µ 4 [ X ] f (,,..., (m, m,...,m ( σ X. σ X j σ XX j (II.5 La coassace des momets d ordre,, 3 et 4 ( [ Y ], V[ Y ], [ Y] E 3 [Y] permet d estmer de probablté de Y das le système de Pearso. µ (E[Y],µ 3 [Y] et µ 4 II.3 APPROXIMATION PAR INTEGRATION NUMERIQUE Lorsque l epresso de Y = f (X est pas coue sous forme aalytque, mas peut être détermée sous forme umérque ou epérmetale, le calcul des dérvés partelles précédetes est pratquemet mpossble mas les momets de Y peuvet cepedat être détermés de faço précse par tégrato umérque (Lumb, 974. La méthode repose sur l utlsato de la formule suvate, qu doe l espérace mathématque [ H] E E [H] de la focto H = h(x : E [ H] j P h (a = C.h ( j σ ;a a h (a a j j σ ;a a h (a σ h (a σ N a a a j j Avec les otatos suvates : σ j h (a σ;a a a σ j h (a σ;a a a j j j j σ j, σ j (II.6 8

41 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II - C, N, P, a j, a - sot de costates ; - h (X est la valeur de ( l espérace mathématque des X ; h au pot ( m, m,..., m - h( a σ est la valeur de h( au pot [ m,..., (m σ a,..., m ] - h( a σ ; a j σ j est la valeur de h( au pot [ m,..., (m a σ,...,(m a σ,..., ] j j j m, les m désgat Les sommes sot calculées pour toutes les combasos possbles des dces. Il y a par coséquet termes das la premère somme et ( termes das la secode somme. Cette epresso (II.6 s applque à toute focto h( et otammet à la focto «espérace mathématque de Y = f (» et au momets d ordre r de Y = f (. Das le premer cas, o remplace smplemet h( par f ( das l équato (II.6 ; das le secod, o remplace h( par { f ( E[ f ( ]} S l o trodut, pour smplfer, les deu otatos suvates : δ = β [ X ] (coeffcet d asymétre de la desté de probablté de la varable aléatore X, [ X ] = β (coeffcet d aplatssemet de la probablté de la varable X, Les costates de l epresso (II.6 ot les valeurs suvates : avec : a = δ R, S (S T, N = ( S ( R, P = (4 R R, j j R S = S = T = = ( = S ( = ( δ 3 4 δ δ δ,, (II.7 9

42 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II Ces epressos ot été obteues das le cas où les varables X sot dépedates, c'est-à-dre que la covarace de X et X j est égale à σ 0. X = Das ce cas où toutes les varables X sot ormales, o trouve X j a = a C = ( 7 /8 N P j = ( 4 (6 3 = = 3 (II.8 II.4 APPROXIMATION PAR UNE LOI NORMALE OU LOGNORMALE (LAMB, 974 S Y est la somme de varables aléatores dépedate, Y = X =, d après le théorème de la lmte cetrale, quad le ombre devet grad, la desté de probablté de Y ted asymptotquemet vers ue lo ormale c'est-à-dre que : (y y lmg(y = ep, (II.9 σ π σ à la codto que tous les momets des X aet des valeurs fes. De même s Y est le produt de varables aléatores dépedates, Y = X =, la desté de probablté de Y ted asymptotquemet vers ue dstrbuto logormale. Par coséquet, pour les sommes et les produts de varables aléatores dépedates, o a beso de coaître que l espérace mathématque et la varace de Y = X = et de Z = = lg X Pour les combasos léares de varables dépedates X, o a : Y = β X (II.0 = = [ ] E [Y] = β E X (II. =, [ X] V [Y] = β V (II. 30

43 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II Pour les produts de la forme Y = (X, o peut écrre : = = Z = lg Y = lg X = W (II.3 = = E [Z] = E[W ], (II.4 V [Z] = ( V[W (II.5 = ] Pour obter les epressos des E [ W ] e focto des E [ X ] eemple la méthode du développemet e séres de Taylor., o peut utlser par Il vet après mse de la varable X sous forme rédute [ X ( C U ] = : 3 3 C U C U [ X ] = lg 0,434l ( C U = lg 0,434 C U... (II.6 0,434 d où : E [W ] = lg X C (II.7 [ W ] (0,434 C V = Remarque : Lumb (974, p.63 doe des formules légèremet dfférets : E 3 = (II [ W ] lg X ( C ( C 5 4 E [ W ] = lg X ( C (II.9 II.5 SIMULATION : METHODE DE MONTE-CARLO Il est toujours possble de détermer emprquemet la desté de probablté d ue varable Y = f(x e calculat les valeurs y e correspodat à des esembles de valeurs des géérés de faço aléatore coformémet au destés de probablté de chacue des varables aléatores t e détermat la desté de probablté de Y d après la dstrbuto des fréqueces des y obteus la précso de cette smulato augmete avec la race carrée de la talle de l échatllo et de ce fat l faut dsposer d u échatllo très mportat pour obter des résultats utles. Cec écesste e pratque l utlsato d u ordateur. Lumb 3

44 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II (974, Bejam et Corell (970 et Harr (977, par eemple, doet des dcatos sur l emplo de cette méthode. U des aspects mportats de la méthode de Mote-Carlo est qu elle écesste la géérato de séres de valeurs aléatores de chacu des paramètres des modèles de calcul. Il este les bblothèques de sous programmes statstques des programmes capables de géérer des sutes de ombres aléatores suvat des los de dstrbuto smples (desté uforme sur u tervalle doé lo ormale, lo logormale, etc.. Pour les los de dstrbuto uformes, les programmes de calcul utlset des algorthmes tels que : X = (A mod M (II.0 X = (A B mod M (II. qu permettet de calculer u sére de ombre à partr d ue valeur tale 0 quelcoque. La otato = (y mod M dque que est le reste de la dvso du ombre eter y par le ombre eter M. le ombre M est la pérode de la séquece aléatore géérée. O le chost très grad. Le ombre A est comprs etre 0 et M-, as que le ombre B. les ombres géérés sot uformémet réparts etre 0 et M-. O ajuste la sére{ } à l tervalle [a, b] désré e utlsat la formule b a = a (II. M ' Le tableau II. cotet ue sére de 00 ombres aléatores uformémet réparts sur l tervalle [0,], obteus à l ade de la relato = = ( mod9997, avec 0 = , 0, ,6709 0,4393 0,0388 0,4778 0, ,9757 0,6380 0, ,7449 Tableau II. Valeurs aléatores pour dstrbuto uforme R U (0, 0,584 0,0740 0,0304 0,0799 0, ,900 0,358 0,8335 0, ,6847 0,840 0,9774 0,6449 0,4438 0, , ,8596 0,9873 0,040 0,34764 (moyee 0,499, écart type 0,989 0,6357 0,77 0,744 0, ,340 0, 78 0, ,8680 0,970 0,9363 0,0350 0,7048 0,3905 0,363 0,6860 0,7009 0,9368 0,6734 0, , ,985 0,0945 0,75 0, ,9789 0, ,365 0, ,3044 0, ,7604 0,8933 0, ,6395 0,9345 0, ,5090 0,4577 0, ,7598 0,6589 0,9955 0,0549 0, ,7554 0, ,034 0,9495 0, , , ,7393 0, ,04 0, ,0675 0,6668 0,4885 0,7333 0,8838 0, ,0584 0, , , ,8064 0,84 0,4686 0,4788 0,8455 3

45 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II Pour obter des valeurs aléatores suvat ue lo ormale de moyee µ et d écart type σ, o utlse les valeurs géérées sur l tervalle [ 0,] pour ue dstrbuto uforme, sot Ru ( 0, : o calcul d abord la valeur d u ombre ( 0, (moyee 0 et écart type à l ade de l epresso R N R N suvat ue lo ormale rédute (0, = l u cos ( πu (II.3 qu fat terver deu ombres u et u géérés das l tervalle [0,] comme dqué cdessous. Pus o ajuste l epresso : la lo ormale à sa moyee et à so écart type à l ade de RN ( µ, σ = σ RN(0, µ (II.4 Le tableau II. cotet ue sére de 00 ombres aléatores suvat ue lo ormale rédute R N ( 0,. Tableau II. Valeurs aléatores pour ue dstrbuto rédute uforme R U (0, (moyee 0,403, écart type 0, ,6658 0,5809-0, , ,795-0,098,556-0,5304 0,0484-0,3753,7407 0,033 0,936-0, ,5937 0, , , , ,499 -,60535,703-0,3755-0,6834 0,857-0, ,586 0,8654-0,0657 0,5-0,6800 0, ,8595 -,74 -,6530-0,59 0,5355-0,4963 0, ,4840-0,3576 -,574-0, , ,57880, , , ,6376,6838, ,354 0,3539-0,9300,3845 0,0503-0,6434,6489 0,604-0,5594 0,5563 -,5569 -, , ,7879,7457 -,0330-0,0534 0, , ,376,3568 0,06-0,736 0,9764-0,5877 0, , ,0704 0, ,375 0,3955 -,5453,47609,4760 0,400-0,5974,959-0,5884 -, ,4785,6700 -,708 0,5993,0049 -,9535-0,5306-0,90 0,53 0,647 Pour les valeurs etères des paramètres et β de la lo bêta, o peut utlser l epresso suvate, due à Hah et Shapro (967 : = ( 0, R N ( = = R B 0, ( β (II.5 R N ( 0, qu utlse ( β valeurs aléatores ormales rédutes ( 0, R N. Pour les autres valeurs de et β, l faut procéder par terpolato. Il faut pour termer dquer que l o peut «faclemet «géérer des valeurs aléatores de toute varable dot o coaît la focto de répartto G( e utlsat l algorthme 33

46 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II suvat, qu repose sur le fat que les valeurs de G( sot uformémet répartes sur l tervalle [0,] : o géère des valeurs aléatores de R U ( 0, et l o retet les valeurs X de la varable qu sot telles que G( R ( 0, = U. La fgure II. llustre la procédure adoptée. G( R U ( 0, R U ( 0, 0 Fgure II. Procédure de géérato de valeurs aléatores d ue varable X dot la focto de répartto G( est coue. Les techques de géérato de valeurs aléatores qu veet d être décrtes s applquet à des varables solées dépedates. Das le cas de pluseurs varables dépedates, la géérato d esembles de doées est plus dffcle. Il este éamos dfféretes techques utlsables X et X dot o coaît la desté de probablté jote h (,, à trer d abord ue valeur aléatore de pour pouvor défr le desté de probablté g ( et géérer esute la valeur de. Par eemple das le cas d ue dstrbuto b ormale de paramètres ( µ µ, σ, σ, ρ = µ = µ R,, o obtet : ( 0, ( 0, ρ R ( 0, N { } ρ R N N σ (II.6 So applcato pour des problèmes d aalyse de stablté d ouvrages où l est teu compte de la varablté des paramètres de calcul, elle est souvet lée à ue méthode umérque dot la 34

47 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II méthode des élémets fs. L orgagramme qu sut doe l esemble des étapes écessares pour l obteto d ue soluto fable. Varablté Ifluece sur la soluto Hypothèses de calcul. Cho des paramètres de calcul (Varables aléatores. - Essas de laboratore - Essas e place. Aalyse statstque des paramètres. Moyees, Varaces Los de dstrbuto Cho d ue méthode umérque Dscrétsato du mleu e élémets. Relatos etre paramètres de base et coues du problème. Géérato des valeurs aléatores pour chacu des paramètres de calcul Calcul valeurs de la soluto détermste Aalyse statstque des résultats. Moyees, Varaces Fgure II.Schéma motrat les dfféretes étapes écessares à la détermato de la soluto probablste. II.6 ESTIMATION PONCTUELLE : méthode de Roseblueth De toutes les méthodes d'appromato d'ue focto de varables aléatores, la plus smple est celle de Roseblueth (975. Elle e écesste la coassace de l'epresso aalytque (développemets e séres de Taylor, des moyes de calculs très pussats (méthode de smulato de Mote Carlo. Roseblueth a e effet préseté ue méthode basée sur ue appromato par des valeurs poctuelles. Elle permet l'estmato des momets statstques d'ue focto d'ue ou pluseurs varables aléatores. C'est ue méthode d'tégrato umérque appromatve d'ue focto aléatore : E ( y = y df (y 35

48 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II Sot la varable aléatore, sa focto de desté de probablté f ( et deu valeurs de, et, stuées de part et d'autre de so espérace mathématque (moyee (fgure cdessous. Le postulat de Roseblueth est que 0, varable aléatore dscrète dot et sot le domae de défto, est ue appromato poctuelle de la varable cotue, s les tros premers momets de X 0 sot égau à ceu de la dstrbuto de. Les codtos d'appromatos doet : l'espérace de 0 est équvalete à celle de ( 0 =, = P P (II.7 - La varace de 0 est équvalete à celle de ( σ = σ 0 σ ( P ( = P (II.8 - Le trosème momet cetral de X 0 est équvalet à celu de : β ( 3 P ( 3 σ = P (II.9 β est le coeffcet de dssymétre de Pearso et P et P sot les probabltés correspodates de et Les valeurs et : ( P Pr ob 0 = = ( P Pr ob 0 = = état mutuellemet ehaustves et eclusves, o a : P P = (II.30 Le système des quatre équatos (II.7 à (II.30 a pour soluto : β P = β ( β P = P σ = P P = σ P P 36

49 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II Cosdéros mateat ue focto y = F(, uvoque, das laquelle est ue varable aléatore. Roseblueth coçot que la quatté aléatore y pusse égalemet être représetée par ue appromato poctuelle Y 0, défe par les valeurs y et égales à celles attrbuées à et : y, de probabltés P et P, y y = F( = F( (II.3 La démarche correspodate est llustrée par la fgure c-dessous : f ( f (y y P P y = F( P P 0 y - y Coassat et, P et applcato des relatos (II.7 à (II.8 : P, les paramètres de la dstrbuto (y s'obteet par f y y = P P y (II.3 y σ y ( y y P ( y y = P (II.33 β ( y y 3 P ( y 3 3 yσ y = P y Et d'ue maère plus géérale : E (II.34 N N N ( y = P y P y (Momets o cetrés E (Momets cetrés [( y y ] N = P ( y y N P ( y y N 37

50 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II Cas d'ue focto de pluseurs varables : Das le cas d'ue focto de pluseurs varables F(,,...,,,..., y = das laquelle sot des varables dépedates ou dépedates (corrélées, les premers momets s'obteet comme pour les foctos d'ue seule varable : - Das le cas de deu varables ( F(, E (y y = : = P P y y P y P y avec : ± [ (P P, (P P, ] ± ± σ ± σ y ± ± = F E(y N = P N N N y P y P y P y N V(y = σ = [ E(y ] E(y y - Das le cas de tros varables ( F(,, y = : 3 E(y N = P y N P P y N y P N P y N y P N P y N y N P y N V(y = σ = [ E(y ] E(y y - das le cas de varables y = F(,,..., E(y = P y, j, k, l,, j, k, l, où les sutes, j, k, l, sot les permutatos de sges ± ; l y a permutatos. Les termes : y, j, k, l, = F ± ( ( ( ± ± σ P P,..., ± σ P P sot les foctos poctuelles de la focto. E géérale : E(y N = P, j, k, l, y, j, k, l, V(y = σ [ E(y ] = E(y y 38

51 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre II Les cocetratos ot les valeurs suvates : - das le cas où les varables sot symétrques et dépedates : P P P = P = 4 = P... = P = 8 = P = (, j, k, l, - das le cas où les varables sot symétrques mas corrélées : P P = P = P = = ( ρ 4 ( ρ 4 où ρ est le coeffcet de corrélato etre et. ( ρ ρ 8 P = P = 3 ρ3 ( ρ ρ 8 P = P = 3 ρ3 ( ρ ρ 8 P = P = 3 ρ3 ( ρ ρ 8 P = P = 3 ρ3 où les ρ j est le coeffcet de corrélato partel etre les varables et j. - das le cas où les varables sot dépedates mas dssymétrques (Roseblueth, 983 : P = P ( P ( P = P ( P ( P = P ( P ( P = P ( P ( où les valeurs de (, P (, P (, P ( sot doées par les relatos (II.3. P 39

52 Chaptre III les techques de géostatques Chaptre III Les techques de géostatques Mémore de magstère Méthodes stochastques de calcul de la stablté des petes..

53 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III Chaptre III LES TECHNIQUES DE GEOSTATIQUE III. INTRODUCTION Les paramètres de varatos spatales motret deu caractérstques : ue fluctuato locale aléatore et u comportemet global systématque. Ce comportemet global possède ue certae structure, qu est aturellemet dfférete d u paramètre à l autre et d u ste à l autre. Les études statstques classques s téresset seulemet à l aspect aléatore des valeurs du paramètre et e peuvet predre e compte la corrélato évetuelle etre les valeurs du paramètre. E même temps, les trats structurau présetet ue rrégularté et ue varablté locale telles qu ls échappet à toute représetato foctoelle smple. Cet aspect chaotque suggère ue terprétato probablste. Ce cho méthodologque doe alors l dée de cosdérer la dstrbuto spatale d ue varable de sol comme ue réalsato uque d ue focto aléatore. Ue telle varable e géostatstque est dte «varable régoalsée» (Mathero, 97. C est ue focto du pot. A ce propos MATHERON écrt : «u phéomèe est régoalsé s l se déploe das l espace et y motre ue certae structure». L dée prcpale est doc d assocer à l esemble des pots de l espace, u esemble de varables aléatores ou autremet dt ue focto aléatore. Mas e pratque, la valeur z( du paramètre du sol est coue qu e certas pots (=,,N, à partr de sodages ou prélèvemets. A chaque pot k de l espace R est assocée ue valeur z( k du paramètre, qu est cosdérée comme ue réalsato partculère de la varable aléatore z( k Plus gééralemet, o assoce à l esemble f de pots de l espace u esemble de varables aléatores ou autremet dt ue focto aléatore Z(. Mas e chaque pot k, o e dspose qu ue d ue seule réalsato z( k et l esemble f des pots de mesure est doc cosdéré comme ue réalsato partculère de la focto aléatore Z(. S par eemple, o avat effectué le même ombre d essas e des pots localsés dfféremmet, o aurat trouvé des valeurs dfféretes. 40

54 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III Le modèle utlsé pour représeter les esembles de valeurs va cosster à trouver ce qu l peut y avor de commu etre ces esembles. Le problème de l étude de la focto Z(, vu sous l agle probablste, se ramèera à ajuster ue lo de probablté sur les doées de maère qu elle rede compte de l échatlloage. Das otre cas, l faut défr les caractérstques de la focto Z( dot la dstrbuto spatale est : F [ ( z,..., Z( k zk ]... k ( z, z,... zk = P Z ou de l esemble de toutes les los de dstrbuto, pour tout eter postf k et pour tous les cho possbles de k pots d appu das l espace. Caractérser ce modèle à partr d ue réalsato uque est mpossble. O se heurte doc, au problème de l férece statstque qu est possble qu à la codto d trodure des hypothèses lmtatves ayat pour but de rédure le ombre de paramètres de la focto aléatore pour recosttuer e parte la lo de la focto aléatore dot l formato fragmetare du ste est ue réalsato. O est doc codut à formuler des hypothèses lmtatves d homogéété spatale du pot de vue statstque. L hypothèse la plus courate est l hypothèse de statoarté du secod ordre de la focto aléatore que l o veut aalyser. Sot Z( la varablté régoalsée étudée. S les valeurs de Z( e deu pots quelcoques du champ de réalsato sot dépedates, le phéomèe est pas structuré et l o est e présece d u modèle aléatore. Toutefos cec est rare das la ature et la valeur Z( e u pot est lée e gééral à celle des pots stués au vosage. Le champ de régoalsato est plus au mos orgasé et l o dstgue pluseurs degrés das statoarté. III. BASES DE LA GEOSTATISTIQUE III.. Hypothèse de statoarté a Statoarté au ses strct Ue focto aléatore est statoare, au ses strct s la lo spatale est varate par traslato. Das ce cas les deu varables aléatores vectorelles à k composats{ Z(,...Z( } et { Z( h,...,z( h } k k k varables, quel que sot le vecteur traslato h. présetet la même lo de dstrbuto à 4

55 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III Cette hypothèse permet de résoudre le problème posé par l férece statstque, car à partr d ue réalsato o peut obter pluseurs. E effet, ue réalsato de la varable aléatore vectorelle [ (,...T( ] T est foure par les valeurs du paramètre doées par les sodages réalsés e,,. Mas les valeurs doées par les sodages mplatés au pots : h, h,... h costtuet égalemet ue réalsato de la varable vectorelle et cec pour toute valeur de h Mas cec est rare e mécaque des sols. E pratque les los de varato des paramètres chaget fréquemmet d u pot à u autre. C est ue hypothèse forte. b Statoarté au ses large (d ordre C est l hypothèse la plus courate. Elle mplque que la moyee est costate E { Z( } = m = Costate et que pour toute coupe { (, Z( h } Z, la covarace este et e déped que de la dstace h. { Z( h Z( } m C( h = E, L estece et la statoarté de la covarace mplquet l estece et la statoarté de la varace. E effet : Var { Z( } = E{ Z( m] } = C(0, Lorsque la varace à pror est fe C(0 este et l o a : {[ Z( h Z( ] } = C(0 C( h γ ( h = E ; γ (h est appelé varogramme La covarace et le varogramme sot deu outls équvalets pour caractérser la varablté de la varable Z(. γ (h γ ( =C(0 γ (h C(h C( =0 h 4

56 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III Mas certas phéomèes physques présetet ue capacté de dsperso llmtée, c'està-dre qu ls e présetet covarace varace à pror fe. Pour les trater, l covet de cosdérer leur accrossemet ce qu codut à l hypothèse trsèque qu e suppose que l estece du varogramme. c. l hypothèse trsèque Ue focto aléatore Z( est dte trsèque s - L espérace mathématque este et e déped que du pot d mplatato : E { Z( } = m,. - Pour tout vecteur h, l accrossemet [ Z( h Z( ] déped pas de : Var { Z( h Z( } = E [ Z( h Z( ] aura ue varace fe qu e { } = λ(h, E pratque la focto structurale (covarace ou varogramme est utlsée que pour des dstaces lmtées h b. la lmte b représete la dstace du vosage d estmato ; pour estmer la valeur coue Z( 0, seules les doées stuées das u rayo b sot prs se compte. III.3 PROPRIETES DU VARIOGRAMME Das le cas de l hypothèse trsèque, la focto sem- varogramme γ(h est défe par la relato : {[ Z( h Z( ] } γ ( h = E Z( état la focto aléatore représetat la varable étudée. L étude de la structure par le varogramme cosste à suvre l évoluto de «varato quadratque moyee» de l accrossemet de la focto Z( e focto de h d ampltudes, crossate. O obtet as le varogramme das ue drecto doée. La fgure c-dessous représete ue courbe de la varato typque du varogramme e focto de la dstace h. γ(h Fgure III. Eemple de varogramme C (0 = σ Paler Pots epérmetau -- modèle C 0 Portée a Effet de pépte 43 a h

57 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III Le varogramme crot avec h. cec provet du fat que plus les pots sot élogés, plus les valeurs des paramètres e ces pots ot des chaces d être dfféretes. E absece de dérve et lorsque la capacté de dsperso du mleu est fe, le varogramme se stablse autour d ue valeur lmte γ( pour des dstaces h supéreures à ue certae lmte à appeler portée. γ( est d autre que la varace à pror de la focto aléatore, sot : { Z( } C(. γ ( =Var = θ Il peut arrver que le varogramme présete ue dscotuté à l orge, c'est-à-dre que γ(0 =C 0 0 C est l effet de pépte qu tradut la varablté due au erreurs de mesure et /ou la varablté à pette échelle. L étude des varatos de [γ(, h] pour dfféretes drectos met e évdece l évetuelle asotrope de la varable Z(. À ttre d eemple, la portée du varogramme das la drecto vertcale est e gééral dfférete de celle obteue das la drecto horzotale. γ(h a a Fgure III. Ajustemet du varogramme- Modèle théorque. h E prcpe, pour estmer le varogramme epérmetal γ(h à partr des doées dspobles, o utlse la formule suvate : ˆ γ ( h = N N [ ] Z( h Z( = Das laquelle N représete le ombre de couples de valeurs de Z( mesurées e des pots dstcts de h. 44

58 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III Le varogramme epérmetal état obteu, o déterme le varogramme théorque qu s ajuste le meu au pots du varogramme epérmetal. Dfférets modèles théorques ot été élaborés pour ter compte des trats caractérstques du comportemet du varogramme. O dstgue les modèles sas palers et modèles avec paler. Pour ces derers ctos : Le modèle sphérque, d équato : 3 [ 3h h ], γ( h = C(0 a 3 a γ(h = C(0, h a a est la portée et C(0 le paler. h a Le modèle epoetel d équato h γ ( h = C(0 ( e a Ce paler C (0 est attet théorquemet quad portée égale à 3a. h mas e pratque, o predra la La fgure c-dessous doe l allure des modèles de varogramme théorques sphérque et epoetel. γ(h C(0 3 a ( a ( 3a Fgure III.3 Modèles de varogramme ( Modèle sphérque ( h 3 γ 3 h h = C(0 a a ( Modèle epoetel γ ( h C(0 = e h / a h Le varogramme théorque sert d ue part à l aalyse structurale du phéomèe étudé (effet de pépte, portée, estece de paler, et d autre part à aborder certas problèmes de varablté spatale et d estmato. 45

59 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III III.4 VARIATION D ESTIMATION ET VARIANCE DE DISPERSION E fat la vrae valeur de la varable Z est comme qu e certas pots où l o dspose de mesures poctuelles par des sodages. Pour coaître la vrae valeur de Z e tout autre pot, o dot procéder à ue estmato à partr des doées dspobles. Il covet alors de coaître l erreur commse lorsqu o utlse la valeur estmée Z* e u pot au leu de la vrae valeur Z coue. Pour caractérser cette erreur, o fat appel au otos de varace de dsperso et de varace d estmato. Cosdéros u sous domae v de l espace V. Par eemple, V est u dépôt d argle et v l esemble f des pots de mesure. { / =, N} v =,... où N est le ombre de pots de mesure. Par sute, la moyee des valeurs mesurées est : * Z = N N = z ( Lorsqu o estme la vrae valeur de la moyee z par z * o commt ue erreur d estmato V = z v * z V Quad o adapte comme valeur moyee de la varable das u domae V celle du domae v, o fat ue erreur d estmato dot la varace (d estmato est : σ e (v, V = Var (Z v Z * = γ (v, V γ (V, V γ (v, v γ ( v, V, γ ( V, V et γ ( v, v sot des valeurs moyees de varogramme. γ (, γ ( y et γ (, respectvemet, quad j, j décrvet dépedammet le domae v et et y décrvet le domae V. Eemple : γ γ γ (v, V (V, V (v, v = = = v.v.v V v v d v d d v v v γ ( d γ( ydy γ ( d j j La varace d estmato déped de la forme et de la talle de v et V, as que de la posto relatve de v par rapport à V. 46

60 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III De même, la varace de la valeur moyee Z * v des z( lorsque v occupe toutes les postos possbles das u domae peu vaste V a ue valeur moyee appelée varace de dsperso de v das V et est désgée par : σ ( v / V. O démotre que : σ D (v / V = γ(v,v γ(v,v D σ (0 v σ ( v V σ σ (0 V σ (0 v (a (b Effet de pépte volume v V volume V Fgure III.4 Varace d estmato (a et varace de dsperso (b III.5 LE KRIGEAGE Comme o l a lassé etedre précédemmet le varogramme permet d aborder deu classes de problèmes : les problèmes d estmato (théore du krgeage et les problèmes de fluctuato (thème des smulatos. Les observatos sot gééralemet fates de maère dscotue et rrégulère, à ue ou pluseurs dmesos. Il est doc souvet écessare de procéder à des terpolatos pour coaître la valeur la plus probable de la varable e dehors des pots de mesure souvet dsparates et e ombre lmté. Deu types d terpolato sot gééralemet employées : d ue part les méthodes d terpolato par ajustemet global, qu cosstet à «ajuster» ue focto (polyôme smple ou trgoométrque à l esemble des valeurs epérmetales, et d autres part les méthodes d terpolato par ajustemet local compreat les procédés classques basés sur la méthode des modres carrés et la techque de krgeage. Mas ces procédés, ecepté la techque du krgeage, ot u covéet majeur : l ajustemet codut e quelque sorte à «forcer» les doées à etrer das le cadre rgde d ue focto aalytque et la cotuté de la varable est parfos surestmée. E plus, pour ce qu est des méthodes classques, l sotrope est souvet admse et la codto d optmalté est pas respectée. 47

61 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III Seule la méthode d terpolato par krgeage repose sur ue méthode statstque satsfasate et permet d obter la vrae varace d estmato. Brèvemet, car ous e pouvos le fare das ce cadre de traval, ous dros que le krgeage est ue méthode d estmato de la dérve spatale d ue varable aléatore qu opère par combasos léares des dfférets échatllos dspobles e mmsat l erreur moyee. Cette méthode est partculèremet be adaptée pour ter compte des dfférets facteurs qu fluet la précso de l estmato : téressate, - ombre de pots de mesure de la proprété et qualtés des mesures, - posto de ces pots das le domae étudé et dstace etre eu et la zoe - cotuté spatale des varables terpolées. Le problème se pose as : o dspose des valeurs epérmetales { z (, =,,..., N }, mesurées au pots du sous esemble v du domae V. O coaît le varogramme γ (h de z(, o veut détermer au pot 0 V le melleur estmateur léare o basé (. z 0 L estmateur de la focto aléatore z( de moyee m coue et dot les z( sot ue réalsato partculère, au pot 0, est de la forme : z ( N 0 = λ Z( = L estmateur ( z 0 est ue combaso léare des valeurs coues ; les coeffcets λ, dts podérateurs, sot à détermer de telle faço que : L estmateur sot o basé (codto d uversalté { Z( Z ( } 0 E 0 0 = La varace d estmato sot mmale (codto d optmalté E {[ Z( ] } 0 Z ( 0 mmale III.5. Absece de dérve (krgeage poctuel smple Das ce cas, la moyee m est costate, sot : { Z( } m et E{ Z( 0 } = m E = La codto de o bas etraîe que : 48

62 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III E N = λ ( Z( Cette codto est vérfée pourvu que : N λ = focto de covarace : E = N N 0 = λ m m = m λ = = La codto de varace d erreur mmale s eprme e focto de la N N N {[ Z( Z ( 0 ] } = λ λβ C(, β C(0 ou e termes de varogramme : E 0 λ C(, 0 = β= = N N N {[ Z( Z ( 0 ] } = λ λβ γ(, β 0 λ γ(, 0 = β= = La varace d estmato apparaît as comme ue forme quadratque e λ, mmser sous la cotrate de o bas : λ β qu l faut N λ = = l epresso : Pour cela, o trodut le multplcateur de Lagrage µ et o cherche le mmum de ϕ = Var E aulat les dérvées partelles : ϕ λ N { Z( 0 Z ( 0 } µ λ, =,,..., N et ϕ µ = O obtet le système de (N équatos à (N coues (les podérateurs paramètre de Lagrage µ, dt «système de krgeage» : N β= N λ = β λ γ( =, β µ = γ(,, =,,..., N La varace de krgeage est doée par l epresso : σ K = Var N { Z( 0 Z ( 0 } = λ γ( 0 µ = Pour chaque pot à krger, l este doc u esemble d équatos du type : 0 λ et le 49

63 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III ( = γ( N λγ β 0 µ = N λ γ( β = γ( 0 µ =... N λ Nγ( N β = γ( N 0 µ = N λ β = β Sous forme matrcelle, ces équatos s écrvet : 0 γ(... γ( N γ( γ( N 0... Ou sous ue forme plus compacte : γ( γ( γ( β λ γ( =... 0 µ [ k ] { Λ} = { M} [ K ] est la matrce de krgeage, carrée et symétrque... 0 N N λ γ( γ λ ( =... λ N γ( N 0 µ [ K ] et { M } état coues, le vecteur des pods λ peut doc être calculée après verso de [ K ] z ( 0 est alors obteue à partr de la relato classque : z ( 0 = λ z( λ z(... λ N z( La coface à accorder à la valeur estmée au pot 0 est d autat plus fable que la varace d estmato est grade pour ce pot. S la moyee m est coue, l estmateur s écrt sous la forme : z * CK Les podérateurs N β= ( = m λ β 0 N = λ { Z( m} λ sot les races du système d équatos : { C(0 γ( } = C(0 γ(, =,,..., N La varace d estmato est das ce cas : β N 50

64 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III σ CK = N = λ C(0 N = λ γ ( III.5. Prse e compte d ue dérve (krgeage uversel 0 Quad l este ue dérve, le varogramme epérmetal e ted gééralemet pas vers ue lmte : les valeurs de z( sot terdépedates das tout le champ d étude. Das le cas gééral, la varable étudée peut être cosdérée comme la réalsato Z( d ue focto aléatore, o statoare e gééral. Elle peut être décomposée e la somme d u terme de dérve et d u terme résduel y( = Z( m(, d espérace ulle : Z( =m( y(, avec E { Z( } = 0 O suppose coue la forme de la dérve m(. Par eemple m( peut être ue combaso léare de k foctos quelcoques mas coues ( f l (, l = à k, les coeffcets a l restat be sûr cous, de sorte que la dérve m( reste coue : m ( = N l= a l f l ( O peut as adopter les premers termes du développemets de Taylor, sot : m ( = a a pour ue dérve dte «léare», m ( = a pour ue dérve dte «quadratque». a a 3 Das u espace à deu dmesos, la dérve quadratque predrat la forme : m(u, v = a a u a 3v a 4u a 5v a 6uv L estmateur ( Z 0 de la varable à terpoler au pot 0 est doé par la même epresso que précédemmet : z ( N 0 = λ z = Les codtos à respecter sot auss les mêmes : Codto de o bas Doc : N = N l= 0 λ a k l= 0 a f l l ( k l= 0 a f ( = 0 l l 0 f l ( 0 N l λ f l ( = = Les coeffcets a l état cous, o dot auss vérfer que : 0 5

65 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III N = λ l ( = f l ( 0 f, quel que sot l. l varat de 0 à k, ce qu mpose (k codtos supplémetares. Varace d estmato mmale Compte teu des codtos de o bas précédetes, les termes fasat terver la dérve coue m( s élmet du développemet de la varace d estmato : Et l reste : E E {[ Z( ] } 0 Z ( 0, N N N {[ Z( Z ( 0 ] } = λ γ(, 0 0 λ λβ γ(, β = = β= La varace d estmato sera doc mmale s les N = λ λ γ( f ( = f = γ( β 0 = l= 0 N l l (, l = 0 à k 0 k µ f ( l l λ vérfet :, = à N Il y a doc k multplcateurs de Lagrage assocés à la codto de o bas. Il e este autat que de termes das l epresso de la dérve. Notos que : ( γ est la valeur de la dem varace correspodat à la dstace etre deu pots cous β et das l espace de régoalsato et ( β correspodat à la dstace etre le pot Les valeurs γ ( et ( β γ 0 est la valeur de la dem-varace et le pot à terpoler 0. γ 0 sot calculées à l ade de l epresso correspodat au modèle de varogramme sous-jacet chos. La varace d estmato est : σ = N = λ γ( 0 k l= 0 µ f ( l l 0 III.5.3 Krgeage étedu (estmato des valeurs moyees C est la gééralsato du krgeage poctuel. Le support est c u segmet, ue surface ou u volume. Le krgeage est évdemmet effectué là auss qu l este ou o ue dérve (krgeage étedu smple ou krgeage étedu uversel. La valeur moyee peut être calculée de deu maères : ou be les observatos fates das l élémet étudé servet seules au calcul (krgeage étedu local, ou be celles fates e des pots du vosage sot elles auss prses e compte (krgeage étedu global. 5

66 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III Z V Cosdéros l estmato de la valeur moyee : ( = 0 V V z( d défe sur le segmet V cetré au pot 0, à partr de N formatos z( défes sur les supports v. La techque de calcul est detque à celle du krgeage poctuel. As, l estmateur est de la forme : Z N V ( 0 = λ z( = N désge le ombre de pots de mesure, et les coeffcets {[ Z ( Z ( ]} 0 E V 0 V 0 = E{ [ Z ( Z ( ]} (estmateur sas bas mmale. V 0 V 0 λ sot choss tels que : Das le cas du krgeage local uversel, par eemple, la dérve coue est ue focto polyomale de forme géérale : m ( = k l= a l f l ( Le formalsme classque de Lagrage, à l ade duquel la varace de l erreur ( Z mmsée sous la cotrate de o bas, Z est V V N λ = = Codut à u système de (Nk équatos léares à (Nk coues (les N podérateurs les k paramètres de Lagrage système de krgeage uversel : N k λβ β= l= 0 N λ β= 0 β λ et µ l appelé «système de krgeage sas bas d ordre k» ou ecore ( v V l γ( β µ l b = γ v, l l b v = b v, l = à k β = à N Avec : b l V = V V f ( d l 53

67 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre III b l V = v v f l ( d Les f l ( sot les (kl foctos d estmato coues de la dérve m(. La varace de krgeage est : σ ke = λβ γ(v,v µ k l= 0 l b l v γ(v, v Toutefos les supports sélectoés, à l téreur desquels sot recuells les échatllos, sot souvet des supports rches e ce ses que la caractérstque étudée y a souvet des valeurs élevées ; le krgeage local codut pour cette raso souvet à surestmer les estmatos et cela d autat plus que les échatllos etéreurs sot cosdérés comme d fluece ulle. Il faut doc das ce cas fare des estmatos e teat compte auss des échatllos recuells au vosage. C est le krgeage étedu global. Das le krgeage étedu global, le prcpe de calcul de l estmato de la valeur moyee d u paramètre sur u support V est le même que celu utlsé pour le krgeage local, à ue dfférece près : les N pots prs e compte das le système de krgeage sot ceu coteus das le support V, pour lequel la moyee est calculée, et ceu se trouvat au vosage de V. III.6 COKRIGEAGE Das la plupart des stuatos pratques, ue des varables régoalsées peut e pas avor été suffsammet échatlloée (dffcultés epérmetales, coût élevé. La techque de cokrgeage, tout à fat aalogue à celle du krgeage, permet d estmer cette varable, o seulemet à partr de doées dspobles sur cette varable mas auss sur d autres varables qu lu sot corrélées. 54

68 Chaptre IV Développemet de la méthode des élémets fs Chaptre IV Développemet de la méthode des élémets fs Mémore de magstère Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes.

69 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV Chaptre IV METHODE DES ELEMENTS FINIS IV. INTRODUCTION Les sceces de l géeur permettet de décrre le comportemet de systèmes physques grâce à des équatos au dérvées partelles. La méthode des élémets fs est l ue des méthodes les plus utlsées aujourd hu pour résoudre ces équatos. C est ue méthode très géérale qu s applque à la majorté des problèmes recotrés das la pratque : problèmes statoares ou o statoares, léares ou o léares, défs das u domae géométrque quelcoque à ue, deu, ou tros dmesos. De plus elle s adapte très be au mleu hétérogèes et au domaes de formes complees souvet recotrés das la pratque. La méthode des élémets fs cosste à utlser ue appromato smple des varables coues pour trasformer les équatos au dérvées partelles e équatos algébrques. Elle cosste doc à remplacer u problème cotu par u problème dscret équvalet. La dscrétsato se fat sur deu frots. D ue part, le domae géométrque est subdvsé e sous domaes de géométre smple, appelés élémets, sur lesquels l étude de problème peut se fare e ue seule opérato, et d autre part, les équatos au dérvées partelles sot remplacées par des équatos algébrques à l ade de calcul varatoel ou des méthodes de mmsato de l erreur comme les méthodes des résdus podérés. La soluto fale s obtet e résolvat u système d équatos global formé e assemblat les équatos algébrques obteues sur tous les élémets costtuat le domae. 55

70 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV Système physque Formulato des équatos Equatos au dérvées partelles Los de la physque, scece de l géeur Méthode des résdus podérés Trasformato des équatos Résoluto umérque Formulato tégrale Système d équatos algébrques Appromato des foctos coues par élémets fs et orgasato matrcelle Résoluto umérque du système Soluto approchée Fgure IV. Trasformato des équatos d u système physque. IV. MODELISATION, SYSTEMES DISCRETS ET SYSTEMES CONTINUS IV.. Modélsato umérque La modélsato umérque est la smulato umérque du comportemet d u système physque, e utlsat l outl formatque. La démarche est la suvate. Modèle physque : c est la descrpto e lagage d géeur d u système physque. Modèle mathématque : c est la traducto du problème physque e écrture mathématque. Modèle umérque : c est u modèle assocé au modèle mathématque, obteu e utlsat ue méthode de dscrétsato tel que la méthode des élémets fs. Modèle formatque : c est l écrture d u logcel smulat le comportemet du système physque. 56

71 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV IV.. Systèmes dscrets et systèmes cotus U système est dscret s l possède u ombre de degré de lberté f. U système est cotu s l possède u ombre de degrés de lberté f. Le comportemet d u système dscret est représeté par u système d équatos algébrques. Celu d u système cotu est le plus souvet représeté par u système d équatos au dérvées partelles ou tegro-dfféretelles assocés à des codtos au lmtes. IV.3 FORMULATION INTEGRALE IV.3. Itroducto La résoluto des systèmes d équatos au dérvées partelles régssat le comportemet des systèmes physques cotus pas toujours possble aalytquemet. Pour cela, ous remplaços ce système cotu par u système dscret régt par des équatos algébrques facles à la résoluto. IV.3. Méthodes des résdus podérés Les méthodes des résdus podérés sot des méthodes umérques permettat la résoluto des systèmes d équatos au dérvées partelles e appromat la soluto eacte U e, par ue soluto approchée U. Sot u système d équatos dfféretelles suvat : L ( U = f sur Ω e v (IV. Avec des codtos au lmtes sur U e Nous chosssos ue focto approchée, U, pour U e gééralemet : = ( U = a P (IV. a =,...,, paramètres de l appromato. P ( : Foctos polyomales ou trgoométrques léaremet dépedates cotues. U : Satsfat les codtos au lmtes mposées sur U e. E remplaçat U e par U das (IV. ous commettos ue erreur appelée résdu, R : ( U f 0 R = L (IV.3 v R = 0 e tout pot de Ω, s U = U. e 57

72 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV A l ade des foctos de podérato résdu de s auler e pot de Ω : Ψ be choses, ous mposos à l tégrato du Ω W = Ψ R dω = 0, pour =,..., (IV.4 Les foctos de podérato de paramètres de l appromato. Ψ sot dépedates et leur ombre dot être égal au ombre Le cho de ces foctos de podérato codut à pluseurs méthodes Méthode de collocato par pots Méthode de collocato par sous domaes Méthode des momets Méthode de Galerke Méthode des modres carrés. IV.3.. Méthode de collocato par pots La méthode de collocato utlse les foctos de Drac, défes comme sut : ({ } = 0 s{ } { } ({ } = s{ } = { } (IV.5 Comme foctos de podérato pour le système d équatos dfféretelles e pots du domae Ω. Les pots sot gééralemet réparts, mas pas écessaremet, régulèremet reparts sur le domae Ω. L équato (IV.4 devet alors : W Ω = R dω = 0, pour =,..., IV.3.. Méthode de collocato par sous domaes Cette méthode est smlare à la méthode de collocato par pots. La seule dfférece c est qu au leu que l tégrale du résdu s aule e certas pots du domae, l est egé qu elle s aule sur des sous domaes Ω Ω de Ω : W = R dω = 0, pour =,..., (IV.6 58

73 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV 59 IV.3..3 Méthode des momets Cette méthode utlse comme foctos de podérato l esemble des foctos dépedates suvates : 0,...,. = = Ψ L tégrato du résdu s écrt alors : ( ( 0 d f U L d R v = Ω Ψ Ω = Ψ Ω Ω Avec, ( P U 0 = = IV.3..4 Méthode de Galerk Cette méthode est u cas partculer de la méthode des résdus podérés. Elle utlse comme foctos de podérato l esemble des varatos U δ des foctos approchées U : { } ( P U K k k = = Ψ = δ (IV.7 L équato (IV.4 s écrt alors : { } ( { } ( { } ( { } { } ( 0 d f P L P 0 d f P L P W v k k k k k v k k k k k k Ω = δ = Ω = δ = = Ω = Ω = Comme la relato précédete dot s auler pour tout{ } δ, alors ous l écrvos tout smplemet comme sut : { } ( { } ( { } ( { } ( { } ( { } ( 0 d f P L P W... 0 d f P L P W 0 d f P L P W v k k k v k k k v k k k Ω = = Ω = = Ω = = = Ω = Ω = Ω Ce système est symétrque s l opérateur L est auto adjot.

74 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV IV.3..5 Forme tégrale fable La focto approchée U devat satsfare les codtos au lmtes mposées sur elle as que les codtos de dérvablté mposées par l opérateur. L tégrato par partes fourt des formes tégrales dtes fables qu réduset l ordre des dérvées de U, et egedret deu types de codtos au lmtes. Ces proprétés peuvet être utlsées avec proft par la méthode des résdus podérés. Elles permettet d alléger, d u part, les codtos des dérvabltés de la focto approchée, et d autre part, les codtos au lmtes mposées sur elle. E résumé, pour u système dfféretel d ordre m, la focto U dot satsfare toutes les codtos au lmtes. Après s tégratos par partes, ous pouvos chosr les codtos sur U et Ψ suvates : U dot être dérvable m-s fos ; Ψ dot être dérvable s fos ; U satsfat seulemet les codtos au lmtes coteat des dérvées jusqu à l ordre m-s- ; Ψ est ulle sur les frotères sur lesquelles U dot satsfare les codtos au lmtes essetelles ; les codtos au lmtes qu coteet des dérvées d ordre supéreur ou égal à m-s (aturelles sot alors prses e compte das la formulato tégrale. IV.4 APPROXIMATION PAR ELEMENTS FINIS IV.4. Itroducto Résoudre u problème est ue tache assez dffcle qu l sot sous formulato tégrale ou dfféretelle. Cette dffculté ous cte à rechercher ue soluto approchée, dot la mapulato est mos dffcle. Mas trasformer les équatos tégrales ou dfféretelles au équatos algébrques e résout pas etèremet le problème de fat que das la réalté, les domaes d térêt se présetet souvet sous des formes quelcoques. Pour paler à ce problème ous subdvsos le domae e sous-domaes de géométres smples appelés élémets fs, o appelle ce procédé, dscrétsato par élémets fs, et cherchat ue appromato de la focto coue U ( sur les élémets. 60

75 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV IV.4. Gééralté a Appromato odale Nous avos vu précédemmet qu o pouvat appromer ue focto coue, U e, par ue focto approchée U, costrute sur la base de foctos polyomales ou trgoométrques léaremet dépedates tel que : e( U( U ( pour l objectf vsé. La focto approchée U est plus souvet léare e a : ( = P ( a P ( a... P ( a U Sous forme matrcelle : Où : U ( = P ( P (... P ( P { a}, P, P3,..., P = sot assez pette a a = (IV.8... a P sot des foctos léaremet dépedates, elles s appellet les foctos de base ou la base foctoelle. a sot les paramètres de l appromato, appelés coordoées gééralsées,a,a 3,..., a ou paramètres géérau de l appromato. Ils ot pas e gééral de ses physque. Cepedat, ous pouvos leurs e doer u. Pour cela, fasos coïcder e pots, appelés œuds, la valeur de la focto approchée (,, 3,..., focto eacte U e (. De la relato (IV.8, ous pouvos écrre alors : ( = P ( a P ( a... P ( a = U e ( ( = P ( a P ( a... P ( a = U ( U U... e U avec la ( = P ( a P ( a... P ( a = U e ( = U U Sous forme matrcelle : e = U = U ( P (...P ( ( P (...P ( U P U = P U P a a... ( ( ( P...P a 6

76 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV De faço plus compacte : { U } [ P ] { a} = (IV.9 Sot, e versat la matrce odale [ P ] d ordre, s elle est pas sgulère : { a} [ ] { } = P U (IV.0 E remplaços (IV.0 das (IV.8 : ( = P( [ P ] { U } U ( N( { } U U = (IV. Avec ( P( [ P ] N (IV. = O appelle ce type d appromato : appromato odale. Les paramètres U sot les varables odales et les foctos N ( sot les foctos d terpolato odales ou foctos de forme. Remarque N j U = U = U, les foctos : Comme ( e ( ( 0 s j = s = j. L erreur d appromato s aule e tous les pots : e( 0. = b Appromato par élémets fs Précédemmet, ous avos costrut ue focto approchée U ( de ( domae Ω, s le ombre de pots U e sur tout le est mportat, cela aboutrat à des polyômes de degré trop élevé, et le ombre d coues devedrat trop mportat, doc o peut observer des phéomèes d stablté. Pour évter ce gere de problème, ous allos costrure la focto c par morceau : ous subdvsos le domae Ω e u ombre f de sous domaes Ω e sur lesquels la costructo de U est smplfée. Das ce cas, ous fasos ue appromato par élémets fs. La méthode d appromato par élémets fs écesste doc les étapes suvates : Dscrétser le domae Ω e u ombre f de sous-domaes smples ou élémets fs Ω e, cette opérato est appelée mallage ; 6

77 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV Défr ue focto approchée U e ( dfférete sur chaque élémet Ω e par la méthode d appromato odale, elle e fat terver que les varables odales attachées à des œuds stués sur Ω e et sur sa frotère. Les foctos approchées U e ( sur chaque élémet dovet être cotues sur Ω e, et satsfare les codtos de cotuté etre les dfférets élémets. Ue fos toutes les foctos U e ( costrutes, la focto approchée ( e ( = U (. U Déftos e Les sous-domaes Ω e sot appelés des élémets fs. Les pots sur lesquels la focto approchée U e ( U est obteue par : U e ( sot les œuds d terpolato ou pots odau. Les coordoées, X, de ces œuds sot les coordoées odales. e Les valeurs U U ( = U ( = sot les varables odales. e coïcde avec la focto eacte IV.4.3 Défto de la géométre des élémets a Nœuds géométrques Nous chosssos u esemble de pots, sur le domae Ω, qu servra à défr la géométre et l ordre de gradeur des k élémets tercoectés à des œuds géométrques. Ces pots odau, peuvet évetuellemet coïcder avec les œuds d terpolato. b Règles de répartto du domae e élémets La dscrétsato du domae Ω e élémets Ω e dot respecter les deu règles suvates : b. Deu élémets dstcts e peuvet avor e commu que des pots stués sur leur frotère commue, s elle este. Cette codto eclut le recouvremet de deu élémets. Les frotères etre élémets peuvet être des pots, des courbes ou des surfaces : 63

78 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV Ω Ω Ω Ω Ω Ω Frotèr Frotèr Frotèr dmeso 3 dmesos Ω Ω dmesos Recouvremet admssble Fgure IV. Les dvers types de frotères etre les élémets. b. l esemble de tous les élémets Ω e dot costtuer u domae auss proche que possble du domae réel doé Ω. Nous ecluos e partculer les «trous» etre élémets : Fgure IV.3 Trou admssble etre les élémets. Lorsque la frotère du domae Ω est costtuée par des courbes ou des surfaces plus complees que celles qu défsset les frotères des élémets, ue erreur est évtable. Cette erreur est appelée erreur de dscrétsato géométrque. Elle peut être rédute e dmuat la talle des élémets, ou e utlsat des élémets à frotères plus complees : Fgure IV.4 Mmsato de l erreur de dscrétsato géométrque. a Formes d élémets classques Nous présetos les formes de quelques élémets classques correspodat à des domaes à ue, deu ou tros dmesos. Chaque élémet est detfé par u om précsat sa forme as que par le type de frotère. De plus, ous doos le ombre de œuds géométrques écessares pour le défr. Il faut que le ombre de œuds 64

79 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV géométrques sur chaque frotère sot compatble avec la forme de la courbe qu costtue la dte frotère. c. Elémets à ue dmeso Léare Quadratque (3 Cubque (4 Fgure IV.5 Elémets à ue dmeso. c. Elémets à deu dmesos Ce sot des tragles ou quadrlatères dot les cotés sot des courbes polyomales du er, e ou 3 e degré. Elémets tragulares : Elémets quadrlatérau : Léare Quadratque Cubque Fgure IV.6 Elémets tragulares. Léare Quadratque Cubque Fgure IV.7 Elémets quadrlatérau. c.3 Elémets à tros dmesos Ce sot des tétraèdres, heaèdres ou prsmes dot les faces sot des surfaces polyomales du er, e ou 3 e degré. 65

80 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre IV Elémets tétraédrques Léare Quadratque Cubque Fgure IV.8 Elémets tétraédrques. Elémets heaédrques Léare (8 Quadratque (0 Cubque (3 Fgure II.9 Elémets heaédrques. Elémets prsmatques Léare (6 Quadratque (5 Cubque (4 Fgure II.0 Elémets prsmatques. 66

81 Chaptre V Stablté des petes : théores et calculs Chaptre V Stablte des petes : theores et calculs Mémore de magstère Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes.

82 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V Chaptre V STABILITE DES PENTES : THEORIES ET CALCULS V. INTRODUCTION Ue fos la géométre et les codtos du sol d ue pete ot été détermées, la stablté des petes peut être évaluée. Les prcpau objectfs d ue aalyse de stablté de petes cluet l évaluato du rsque de rupture à travers le calcul du facteur global de sécurté pour ue pete d ue part, et de localser le log de la surface à potetel de glssemet les zoes à fort potetel rupture d autre part. La stablté de petes est habtuellemet aalysée par des méthodes d équlbre lmte. Ces méthodes de calcul supposet que le terra se comporte comme u solde qu obét au los classques de la rupture par csallemet. Pour évaluer la stablté des petes par ue méthode d équlbre lmte, l este pluseurs méthodes léares et o léares. Les méthodes léares sot des méthodes drectes de calcul de facteur de sécurté et les méthodes o léares écesstet u processus tératf. Le facteur de sécurté est déf comme le rapport etre la résstace au csallemet et l effort de csallemet requs pour l équlbre de la pete. R c σtgφ F = = (V. S τ F S ( σ u c' tgφ' = (V. τ Ce chaptre, présete les dfféretes méthodes utlsées das l aalyse de la stablté des petes qu détermet le facteur de sécurté appropre et qu chossset la surface crtquer de glssemet V. METHODE D EQUILIBRE LIMITE Il este pluseurs méthodes d aalyse de la stablté des petes, qu reposet sur u calcul à l équlbre lmte. La plupart de ces méthodes utlset la techque dte des traches. Das des méthodes, le facteur de sécurté est calculé e utlsat ue ou pluseurs équatos d équlbres statques applquées à la masse du sol. Das quelques méthode telle que la méthode de pete fe, l effort de csallemet et l effort ormal ι et σ peuvet être calculés drectemet à partr des équatos d équlbre statque, pus être employés das 67

83 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V l équato (V. ou (V. pour calculer le facteur de sécurté. Das la plupart des autres cas, y comprs la méthode de bshop smplfée, la méthode de specer, u procédé plus complee est egé pour calculer le facteur de sécurté e utlsat l équato (V. ou (V., e cas des efforts effectfs ; l effort de csallemet selo l équato (V. est eprmé par c ' ( σ u tg φ τ = (V.3 F s F s Le facteur de sécurté est calculé e supposat pluseurs valeurs de Fs, et o calcule l effort de csallemet correspodat à l équato (V.3 jusqu à ce que l équlbre sot réalsé. E effet, la cotrate est rédute par le facteur de sécurté Fs, jusqu à attedre l état d équlbre. V.3 FORME DE LA SURFACE DE GLISSEMENT Les méthodes d équlbre lmte écesstet de défr au préalable la surface pour laquelle le coeffcet de sécurté sera évalué. Les calculs du coeffcet de sécurté sot répétés pour u ombre de surface ayat le facteur mmal de sécurté. La forme de la surface de glssemet déped de la géométre, des caractérstques matérelles, et des possbltés du procédé d aalyse utlsé. Les formes de la surface de glssemet peuvet être crculare ou o crculare Fgure V.. Les méthodes d équlbre statque décomposet la masse du sol, au dessus de la surface de glssemet, e équlbre statque e u ombre f de traches Fgure V. Forme de la surface de glssemet (USACE,

84 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V V.3. Surfaces de glssemets crculares La rupture est observée das les matérau relatvemet homogèes, elle se produse souvet le log des surfaces de rupture courbées. Ue surface crculare de glssemet, comme celle représetée sur la fgure V..a, est souvet employée parce qu l est commode d addtoer des momets autour du cetre du cercle, et auss l emplo d u cercle qu smplfe les calculs. Les surfaces crculares de glssemet sot presque toujours utles pour commecer ue aalyse. E outre, les surfaces crculares de glssemet sot gééralemet suffsates pour aalyser les remblas ou les petes relatvemet homogèes, et sur des bases avec des couches relatvemet épasses du sol (USACE, 003.Des arragemets de recherche pour les surfaces crculares de glssemet sot llustré das les fgures V..b, et V..c. Ue surface crculares est défe par la posto du cetre de cercle, le rayo, et par le pot par lequel le cercle dot passer, ou par le pla auquel la surface de glssemet dot être tagete. Des recherches sot habtuellemet accomples e chageat ue de ces varables et e chageat ue deuème varable jusqu à ce qu u facteur mmum de sécurté sot trouvé. Fgure V. Surface crculare de glssemet 69

85 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V V.3. Surfaces de glssemets tragulares La rupture est défe par ue surface de tros drots défssat ue cale actve, u bloc cetral, et ue cale passve (fgure V.3.b. les surfaces tragulares de glssemet eget la recherche de l edrot crtque du bloc cetrale est llustrée das la fgure V.3.a et mplque u chagemet systématque des coordoées horzotales et vertcales des deu etrémtés de la base du bloc cetral, jusqu'à ce que le bloc cetral correspodat au facteur mmum de sécurté sot trouvé. Pour chaque posto d essa du bloc cetral, les clasos de la base des segmets actfs et passfs dovet être basées sur des règles smples. Ue hypothèse smple et commue dot être fate pour l clato de chaque segmet actf (mesuré à partr de l horzotal 45Ø D/ degrés, et de chaque segmet passf 45- Ø D/ degrés. La quatté Ø D représete l agle de frottemet développé par le facteur de sécurté calculé ta (Ø D= ta (Ø /F. Cette hypothèse pour l claso des cales actves et passves est seulemet approprée où les surfaces supéreures des cales actves et passves sot horzotales, mas fourt des résultats rasoables pour les petes doucemet clés. Des méthodes commues pour la recherche de l cluso de la base des cales sot motrées das la fgure V.3.b, telle que la valeur du θ est chagée jusqu à que la force mamale d ter-trache sot trouvée pour la cale actve et la force d ter-trache mmale sot trouvée pour la cale passve (USAGE, 003. Fgure V. 3 : Surfaces tragulares de glssemet 70

86 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V V.3.3 Formes géérales de la surface de glssemet L ue des procédures les plus pussates, et utles est celle développé par Celesto et Duca (98. La méthode est llustrée das la fgure V.4. Das cette méthodes, ue premère surface de glssemet est supposée et représetée par ue sére de pots qu sot reles par les lges drotes. Le facteur de sécurté est d abord calculé pour la surface supposée de glssemet. Apres, que tous les pots supposés sot fés, le pot «flottat» est décalé par ue pette dstace das deu drectos. Les drectos pourraet être vertcalemet e haut et e bas, horzotalemet à gauche et drote, au-dessus et au-dessous de la surface de glssemet. Le facteur de sécurté est calculé pour chaque pot décalé de la surface de glssemet. Pedat le décalage du pot flottat, tous les autres pots sot lassés à leurs edrots orgau. Ue fos que tous les pots ot été décalés das les deu drectos et le facteur de sécurté a été calculé pour chaque décalage, u ouvel edrot est estmé pour la surface de glssemet basée sur les facteurs de sécurté calculés. La surface de glssemet est alors déplacée à l edrot estmé. Ce processus est cotué jusqu'à ce qu aucue réducto supplémetare du facteur de sécurté e sot otée (USAGE, 003. Fgure V.4 Forme géérales de glssemets o crculares. V.4 METHODE DES TRANCHES Beaucoup de méthodes d équlbre statque s adresset à u équlbre statque e dvsat la masse du sol au-dessus de la surface de glssemet supposée e ombre f de traches vertcales. Les forces agssat sur ue trache dvduelle sot llustrées das la fgure V.5. Les forces cluet. 7

87 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V W- Pods de la trache E- Force d ter trache ormale horzotale des côtés de la trache X- Force d ter trache vertcale de csallemet etre les traches N- Force ormal sur le fod de la trache S- Force de csallemet sur le fod de la trache Fgure V.5 Forces agssates sur ue trache, -décomposto complète. Ecepté le pods de la trache, toutes ces forces sot coues et dovet être calculés de telle sort satsfasset l équlbre statque. La force de csallemet S sur le fod de la trache est pas cosdérée drectemet comme coue das les équatos d équlbre. Cette force est eprmée e termes d autres quattés coues et coues, comme sut : S sur a base d ue trache est égale à l effort de csallemetτ, multplé par la logueur de la base de la trache l, D où : S = τ. l (V.4 ( N u l ' ' c l tgφ S = (V.5 F S F S Les dverses méthodes d équlbre lmte emploet dfféretes hypothèses pour fare le ombre d équatos égal au ombre d cous. Elles dfféret égalemet e ce qu cocere les hypothèses de calcul das les équatos d équlbres. Par eemple, la méthode ordare de traches, la méthode de Bshop smplfée, et la méthode suédose modfe smplfée les codtos cotrates ou hypothèses, das les équatos d équlbres statques. Les méthodes telles que, Morgester-Prce et Specer eget plus de cotrates- hypothèse das les équatos d équlbres statques. Des lmtatos commues au méthodes d équlbre lmte sot défes comme sut 7

88 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V. O suppose que le facteur de sécurté est costat le log de la surface de glssemet.. Les caractérstques de cotrate déformato e sot pas eplctemet prset e cosdérato. 3. la dstrbuto tale des efforts le log de la surface de glssemet est pas eplctemet cosdérée. 4. les forces ormales égatves peuvet être calculées le log de la base des traches das certaes codtos. 5. le processus de calcul est tératf, et das certaes stuatos la covergece est dffcle. V.4. Méthodes ordare des traches OIMS (Méthode de Felleus La méthode ordare des traches OMS a été développée par Felleus (936. Das ces méthodes, les forces ter-traches sot églgées, Fgure V.5. La force ormale sur la base de a trache est calculée e addtoat les forces das ue drecto perpedculare au fod de la trache. Ue fos que la force ormale est calculée, les momets au cetre du cercle sot addtoés pour calculer le facteur de sécurté. Le facteur de sécurté est calculé par l équato (V.6 (Brusde, 987. [ c' l ( W cos u l cos taθ '] W s F = (V.6 Das le cas d ue pete possédat de l eau etere, o trate l eau comme ue charge etere et hydrostatque sur le dessus des traches Fgure V.7. Das le pot de drot ou les charges de l eau agssat sur le dessus de la trache, l epresso du facteur de sécurté dot être modfe comme sut. F = { c' l [ W cos P cos( β u l cos ] W s M R P ta Φ Tel que P= Force résultate de l eau agssat perpedcularemet au dessus de la trache β= Iclaso du dessous de la trache M P = Momet produt par la force de l eau agssat sur le dessus de la trache. (V.7 73

89 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V A. Aalyse d effort total sur ue trache B. Aalyse d effort effectf sur ue trache Fgure V.6 Forces agssates sur ue trache pour la méthode ordare des traches Fgure V.7 Forces agssates sur ue trache avec de l eau etere V.4. Développemet gééral des équatos du facteur de sécurté Das u système de forces e équlbre lmte, la somme des forces et la somme des momets sot égales à zéro. Pour les surfaces de glssemet crculares, le cetre des momets est le cetre de la surface de glssemet. Pour les surfaces de glssemet ocrculares mporte quel pot peut être cosdéré comme cetre des momets. La fgure V.8 représete les forces à cosdérer lors de l aalyse d u problème de stablté de petes. 74

90 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V W S m ( X X 0 s N cos = (V.8 La force de csallemet S m écessare pour l équlbre lmte : l [ c' l ( N u l taφ' ] F r S m = lτ req = / (V.9 Remplaços l équato V.9 das V.8, o obtet : c' l s u l taφ's N = W ( X X / m F F (V.0 Avec : m taφ's = (cos (V. F La somme des équatos d équlbre des forces horzotales : ( E E ( A A L cos 0 ϖ N s S m cos KW r l = (V. Tel que : ( E 0 = E (V.3 E remplaçat S m de l équato V.9 das l équato V., l epresso du facteur de sécurté F f, dédut de l équlbre des forces, est [ c' lcos ( N u l taφ'cos ] s KW ( A A L cos F f = (V.4 N ϖ Tel que : L : Chargemet etéreur ; ϖ : agle du chargemet etéreur par rapport à l horzotale ; Z : dstace du chargemet au cetre des momets ; KW : force due à l accélérato horzotale ; A l A r : les forces résultates de la presso d eau gauche et drote agssat sur la secto r l 75

91 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V Fgure V.8 Paramètres utlsés das la méthode gééralsée Noto que le facteur de sécurté le log de la surface de glssemet est costat, et N est ue focto du facteur de sécurté (équato V.0. De même das l équlbre lmte, la somme des momets de toutes les forces autour du cetre des momets est ulle. Le facteur de sécurté basé sur l équlbre des momets. W KWk ( A a Ar ar Lj Nf S mr = L 0 (V.5 E remplaçat S m das l équato V.9, o obtet le facteur de sécurté basé sur l équlbre des momets : F m = [ c' / R ( N u / R ta gφ ] W KWk ( Al al Ar a r Lj Nf (V.6 Le facteur de sécurté est calculé par des teractos sur les deu équatos jusqu à à la satsfacto de la codto F f = F m. les méthodes de calcul dffèret parles hypothèses cosdérées sur les efforts ter-traches. 76

92 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V V.4.3 méthode de bshop smplfée (955 La méthode admet que les forces ter-traches sot horzotales, comme celles représetées sur la fgure V.9 (BRUNSDEN, 987, et que la surface de glssemet est crculare. Les forces sot addtoées das la drecto vertcale. L équato d équlbre est combée avec l équato de Mohr-Coulomb et la défto du facteur de sécurté pour détermer les forces sur la base de trache. Les momets sot addtoés autour du cetre de la surface crculare de glssemet pour obter l epresso suvate du facteur de sécurté. F m = Tel que : R r u { c' b W ( r ta gφ} WR s ( A a = u / γh u l l sec ta gφ ta g F A a KWk l l (V.7 Tous les termes sot cous et F m est calculé par teractos successves. La premère térato est fate e adoptat, comme la valeur F m0, le coeffcet de sécurté obteu par la méthode de felleus. Fgure V.9 : Forces agssat sur ue trache pour la méthode de Bshop smplfée V.4.4 méthode de Jabu smplfée La méthode de jambu eplque l aalyse smple de la surface de glssemet, telles que les forces ter traches qu dérvet de l epresso de N sot églgées. L epresso de la force horzotale d équlbre : F 0 = [ c' / cos ( N u / ta gφ'cos ] N s KW ( Al Ar L cos 77 (V.8

93 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V Cette soluto smple est corrgée par l troducto d u facteur de correcto f 0 F f F f = 0 0 (V.9 Le facteur de correcto f 0 déped du terme de cohéso, de l agle de frottemet et de la forme de la structure de glssemet V.4.5 méthode rgoureuse de Jabu Cette méthode dffère de celle de Jambu smplfée, où les forces ter-traches sot églgées. L évaluato des forces ter-traches se fat par ue procédure successve de détermato de momet autour du cetre de la basse de la trache, telle que la force X devet X = E ta g t ( E E f / b ( = KWh / / b (V.0 Où f et t sot la posto et l clato par rapport au cetre de la basse de la trache. Les forces horzotales d ter-traches (E - -E (équato (V.0 sot obteues par la sommato des forces horzotales et vertcales d équatos d équlbre pour chaque trache. ( E E = [ W X X ] ta g S / cos KW ( m (V. Les forces d ter-traches dépedet de S m das l équato (V. et de la valeur du facteur de sécurté F f détermé das l équato (V.9. O adopte ue soluto tératve sur la valeur de F f équato (V.4 jusqu'à l obteto de la surface de glssemet recherchée. La méthode de specer suppose que les forces latérale ter-traches est costate dépedammet de la trache cosdérée ; et que les forces ormales sur le fod de la rache agsset au cetre de la base. La méthode de specer répod etèremet au egeces d équlbre des forces et des momets, tel que ta gθ = X / E = X / E = cos ta te Be que specer (967 a préseté à l orge sa méthode pour les surfaces de glssemet crculares, Wrght (969 a prouvé que la méthode pourrat asémet être prologée au aalyses des surfaces o crculares de glssemet. L évaluato du facteur de sécurté d ue surface par la méthode de specer requert u processus tératf. L claso des forces latérales ter-traches est évaluée à pluseurs reprses jusqu'à ce que toutes les codtos d équlbre des forces et des momets soet satsfates pour chacue des traches et que F m =F f 78

94 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V V.4.6 méthode de Morgester-Prce La méthode de Morgester-Prce suppose que l claso Ø de la résultate des forces latérales ter-traches vare systématquemet d ue trache à ue autre le log de la surface de glssemet. La valeur de l agle Ø est doée par l epresso suvate. ta = X / E = λ. f ( Avec λ : u scalare costat à détermer lors du calcul du facteur de sécurté, F( : ue focto supposée dépedate de X : ue dstace vare le log de la surface de glssemet Deu cas spécau sot metoés - f(=0 la soluto est celle de Bshop smplfée - f(= costate, la soluto est celle de specer. Les équatos d équlbres de cette méthode sot smlares à celle décrtes précédemmet, méthode Bshop, Jumbo, Specer. L effort de csallemet ter-trache par les équatos (V.0 et (V. V.4.7 méthode suédose modfée (Modfed swedsh method La méthode suédose modfée satsfat l équlbre des forces das les drectos horzotales et vertcales. Mas elle e satsfat pas l équlbre des momets. Toutes les méthodes d équlbre des forces sot basées sur les clasos de celle-c etre les traches. Das la méthode suédose modfée, les forces d ter-trache peuvet être représetées par deu maères. Das la premère, les forces d ter- trache représetet toutes les forces etre les traches (effort effectfs et les pressos tersttelles. Das la deuème, les forces latérales représete les forces effectves sur les frotères d ter-traches, et les forces résultate des pressos tersttelles sot cosdérées comme des forces séparées sur les frotères d ter-traches. La valeur calculée du facteur de sécurté sera dfférete selo l approche employée 79

95 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V Fgure V.0 : Force agssate sur ue trache pour la méthode suédose modfée Le facteur de sécurté est obteu par supposto de pluseurs valeurs (u procédé tératf, et e costrusat le polygoe des facteurs de forces pour chaque des vecteurs de forces pour chaque trache jusqu'à ce que l équlbre de forces sot satsfat pour toutes les traches. Les forces agssates au dessus pour le cas où l y a aucue presso tersttelle sot motrées das la fgure V.0. Les forces compreet le pods de la trache W, les forces des cotés gauches et drotes de la trache (Z et Z, et les forces ormales et de csallemet sur la base de la trache (N et S. La force d ter-trache, Z, représete la force du coté supéreur de la trache, alors que Z Représete la force du coté féreur. La force de csallemet sur le fod de la trache est eprmée par : S = ( c / N taφ Où S = ( c D / N taφd F Tel que c c D = Et, F ta φ = D taφ F E dessat les polygoes de forces llustrés sur ue trache das la fgure V..b, o vot que la force cd / agt das le ses parallèle à la base de trache, alors que la force F D agt sous u agle Ø D à la ormale de la base de la trache. Les polygoes de forces sot costruts pour chaque trache comme le motre la fgure V..d. 80

96 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V Das le cas d ue pete qu possède de l eau etere, la résstace au csallemet est eprmée e utlsat des efforts effectf fgure V.. O a e plus du premer cas, des forces de pressos tersttelles sur la gauche et la drote de la trache U L. et U R, les forces de coté résultates d efforts effectfs Z et Z, ue force addtoelle P et la force résultat des pressos d eau tersttelles sur la base de la trache U b. Toutes les forces W, U L, U R, U b et P sot des forces coues. Le polygoe de ces forces coues est représeté par ue force résultate smple R Fgure V..c. La force R sera vertcale s l a aucue fltrato-débt ul-- ; autremet la force, R, sera clée de la vertcale Fgure V..d Fgure V. : Force et polygoes des forces agssat sur ue trache Fgure V. : Force et polygoes des forces agssat sur ue trache avec l eau etere 8

97 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V La soluto umérque pour mporte quelle méthode d équlbre de forces (méthode suédose modfée, la force latérale du coté de la trache est calculée e utlsat l équato suvate, dérvée des équatos de l équlbre vertcal et horzotal de forces. C C C3 C4 Z = Z (V. Tel que taφ'cos C = W s F (V.3 C C ( U U cos = 3 taφ' cos( β (V.4 F taφ' cos( β = P s( β F (V.5 l ( c' ta F C4 = µ φ' (V.6 taφ's( θ = cos( θ (V.7 F L équato (V. commerce par la premère trache ou Z =0, esute o applque trache par trache jusqu à ce que la derère trache sot attete. Ic o suppose que les calculs sot effectués à partr du fod de la pete, dépedammet de la drecto de la pete. La force d ter-trache Z calculée du coté féreur de la derère trache-ortel de la surface de glssemet- devrat être zéro s ue valeur correcte a été supposée pur le facteur de sécurté. S la force du coté féreur de la derère trache est pas égale à zéro, ue ouvelle valeur est supposée pur le facteur de sécurté et le processus est répété jusqu à ce que la force du coté fereur de la derère trache sot zéro. V.4.8 Méthode Sarma (979 La méthode Sarma est basée sur l équlbre des forces et des momets des traches dvduelles. Les traches sot créées e dvsat la régo stuée au-dessus de la surface de glssemet par des plas gééralemet clés-trache clée-. Cette méthode est basée sur les hypothèses suvates. 8

98 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V Le mouvemet de traslato est le seul autorsé ; Les etesos de jots sot llmtées ; Les déformatos réelles das les blocs rocheu sot églgeables ; Le crtère de rupture de Mohr-Coulomb est utlsé sur la surface de glssemet polygoale et sur les jots etre les traches ter traches ; Le facteur de sécurté est supposé le même pur tous les surface de glssemet. La méthode Sarma est adaptée à l aalyse de stablté d u mleu o homogèe, comme ue pete rocheuse fracturée, Il est talemet écessare de défr les traches. Il faut d abord partr des blocs e cotact avec la surface de glssemet pus défr les traches à partr de ces blocs, c est-à-dre regrouper les blocs de bases avec les blocs stués au dessus. Das cette stuato, ous pouvos mager pluseurs états de traches. Il est doc écessare d aalyser toutes les stuatos possbles et de chosr la mos stable d etre elles. Tel que le cho adéquat de la géométre des traches, e partculer de leur claso, peut provoquer des problèmes de forces égatves. C est u problème partculer pour l aalyse des massfs rocheu car o e peut pas chosr les traches comme o le souhate. V.4.9 Méthode des cales (The Wedge Method La méthode suppose que la masse coulssate se compose de tros régos Fgure V.3, la cale actve, le bloc cetral, et la cale passve, et les forces sur les frotères vertcales sot supposées clées. Cette méthode satsfat etèremet l équlbre des forces das les drectos vertcales et Horzotales et gore l équlbre des momets. Les seules dfféreces etre la méthode des cales et la méthode suédose modfée sot les hypothèses pour la forme de la surface de glssemet, et probablemet les clasos des forces d ter-trache etre les cales. Cepedat, o suppose parfos que la force d ter-traches etre le bloc cetral et la cale passve est horzotale. Les solutos pour la méthode des cales sot les mêmes que pour mporte quelle de ces procédures d équlbre de forces. Le facteur de sécurté calculé e utlsat la méthode cales est sesble au clasos des forces latérales. La méthode de cales peut être employée pour eamer les solutos de specer pour assurer les surfaces o crculares e tros partes de csallemet. L claso latérale des forces est prse comme l claso latérale des forces trouvée par specer. 83

99 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V Les mêmes procédures, graphques ou umérques, employés pour vérfer les calculs eécutés par la méthode suédose modfée, peuvet être employées pour vérfer des calculs par la méthode des cales. Fgure V.3 : Forces et polygoes d équlbre pour la méthode de cales V.4.0 Méthode de Pete Ife (The Ifte Slope Method La méthode de pete fe suppose que la pete est ue surface latérale fe, et que le glssemet se produt le log d ue surface plae parallèle à la surface de la pete fgure V.4. Pour des petes composées de sols de fable cohéso (c =0, la surface crtque de glssemet sera parallèle à la pete etere sur ue pette profodeur -z 0. Das cette stuato, la surface de glssemet est cosdérée comme ue surface crculare peu profode avec u rayo très grad qu est proche du mécasme f de rupture. Le facteur de sécurté sera detque à celu calculé e utlsat ue aalyse de pete fe. Cepedat, l aalyse de pete fe est plus smple et plus facle, et elle devrat être employée pour des petes e matérau de fable cohéso. 84

100 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V La méthode de pete fe est u cas spécal du procédé d équlbre des forces, avec ue trache. Avec seulemet ue trache, deu équatos sot dspobles-équlbre horzotal et vertcal de forces-et deu cous dovet être évaluées, le facteur de sécurté et la force ormale sur le la base de la trache. As, la méthode est statquemet détermée. Fgure V.4 : Force agssates pour la méthode de pete fe Pour des résstaces au csallemet eprmées e termes d efforts effectfs et du terme de cohéso ul c =0, le facteur de sécurté est doé par F = Or D où ( σ u tgφ' τ τ = γ.z.s β. cos β et σ = γ.z.cos β ( cos β r u tgφ' F = (V.8 cos β s β L équato (V.6 peut auss s écrre Tel que [ r ( ta β ] tg φ ' F = u (V.9 ta β r u = u / γz Das le cas spécal de presso d eau tersttelle (u=0; r = 0 l équato (V.9 se rédut u à tgφ' F = (V.30 ta β 85

101 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre V Le facteur de sécurté pour des codtos comportat l fltrato comme celle représetée sur la fgure V.5 peut être eprmé comme sut :terme de cohéso ul ; c =0. Avec s γ ' γ w ta s ta β taφ' F = (V.30 γ ta β sat = agle etre les lges d écoulemet et la surface de la pete (Fgure V.5 β = l claso de la pete mesurée à partr de l horzotale. Fgure V.5 : Petes fes avec des lges de flu parallèles V.5 CONCLUSION Les géotechces calculet par habtude le facteur de sécurté pour évaluer la stablté des petes e utlsat les méthodes détermstes malgré les dfféreces etre les résultats obteus- le facteur de sécurté, la surface hypothétque de glssemet-, mas l aalyse de la stablté des petes obteue par la méthode d équlbre lmte calcule le facteur de sécurté e se basat sur u esemble fe de codtos et de paramètres matérels. Das la pratque géotechque, l ya pluseurs sources d certtudes das l aalyse de la stablté des petes, par eemples, certtudes spatales (topographe et stratgraphe d emplacemet, etc. et certtudes de doées d etrée (caractérstques du sol, proprétés du sol stu, etc..l aalyse détermste de la stablté des petes par le calcul du facteur de sécurté, est pas ue boe maère pour cosdérer la varablté des paramètres de résstace du sol. Ue approche probablste complète d aalyse et la cocepto de petes, parce qu elle eplque et cosdère la varablté des paramètres d etrée das le calcul. 86

102 Chaptre VI Aalyse probablste de la stablté des ouvrages Chaptre VI Aalyse probablste de la stablté des ouvrages Mémore de magstère Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes..

103 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI Chaptre VI ANALYSE PROBABILISTE DE LA STABILITE DES OUVRAGES VI. INTRODUCTION L approche probablste ou sem- probablste de la sécurté des ouvrages est à la mode. O l a trodute das les règlemets de calcul des ouvrages e béto, béto armé, béto précotrat et métal et certas resposables la verraet be péétré e force das le domae des fodatos de ces ouvrages et même das le dmesoemet de tous les ouvrages de gée cvl. A l heure actuelle, ue telle évoluto des méthodes de la mécaque des sols est certaemet prématurée, mas elle est probable à plus ou mos log terme. Il état, pour cette raso dspesable de cosacrer u chaptre du préset documet au fodemets de l approche probablste de la sécurté des ouvrages e mécaque des sols. L élaborato des méthodes de calcul probablstes est ecore lo de so terme, malgré le ombre élevé des publcatos cosacrées à ce sujet. Mas, l est déjà possble de poser les bases de ce que dovet être les méthodes d études probablste de la stablté des ouvrages et auss d dquer ce qu elles e peuvet pas être. La sute de ce chaptre est dvsée e quatre sectos ayat pour thèmes respectfs : - Ue aalyse des otos de coeffcet de sécurté «classque» et de probablté de rupture, - La présetato des prcpales méthodes d aalyse probablste du comportemet des ouvrages, cosdéré comme ue focto de varables aléatore, - Ue troducto à l aalyse probablste de la stablté des petes et - Des dcatos sur les autres types de calculs à la rupture. VI. COEFFICIENT DE SECURITE ET PROBABILITE DE RUPTURE VI.. Coeffcet de sécurté E mécaque des sols, le dmesoemet des ouvrages comporte tradtoellemet deu étapes : ue étude de stablté, objet du préset chaptre, et u calcul e déformato, das les cas où c est écessare. Pour l étude de stablté, la pratque e vgueur depus pluseurs dzaes d aées comporte le calcul d u état lmte (rupture rotatoelle pour les remblas sur les sols mous, 87

104 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI poçoemet pour les fodatos profodes ou superfcelle, reversemet, glssemet, poçoemet et rotato d esembles pour les ouvrages de soutèemet, etc. et de calcul d u état «de servce» déf par référece à cet état lmte à l ade d u coeffcet de sécurté F. Le coeffcet de sécurté est déf dfféremmet selo le problème traté : Das les études de stablté de pete, l est gééralemet égal au rapport des efforts résstats au efforts moteurs qu s eercet sur ue masse de sol lmtée par ue surface de rupture de forme de doées. Pour les calculs e rupture crculare, pour chaque cercle de rupture possble, o pose as F = momets des forces réss ta getes par rapport au cetre du cercle momets des forces motrces par rapport au cetre du cercle Et le coeffcet de sécurté de la pete est prs égal au mmum des valeurs de F calculées sur l esemble des cercles de rupture evsagés, tads que, pour les calculs e rupture o crculare o utlse plutôt le rapport des forces résstates au forces motrces. La stablté est assurée par u processus tératf das lequel o modfe les hypothèses géométrques du problème jusqu'à obter la valeur désrée du coeffcet de sécurté ; Pour les fodatos superfcelles, o calcule la capacté portate du sol e plastcté parfate (à l ade d abaques pus o calcule la charge de servce e devsat la capacté portate par u coeffcet de sécurté ; Pour les fodatos profodes, o calcule séparémet la cotrbuto de la pote et de la surface des peu et l o déterme la charge de servce e affectat chacu de ces termes d u coeffcet de sécurté partculer ; Pour les ouvrages de soutèemet, o évalue les forces qu s eercet sur l ouvrage et o calcule les rapports «effort résstat/effort moteur» correspodat au dfférets modes de rupture possbles et l o modfe la géométre de l ouvrage jusqu à ce que ces coeffcets de sécurté partels aet tous des valeurs coveables. E pratque, cette dversté des déftos des coeffcets de sécurté e pose pas de problème tat que l o étude des ouvrages solés : o sat qu l faut predre F =.5 pour que les remblas sur sols compressbles, F = 3 pour les fodatos superfcelles, F = ou pour les frottemets latéral et l effort de pote, respectvemet, das les calculs de peu, etc. 88

105 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI La oto de sécurté est pourtat cotestée, pour deu grades rasos : - O lu a reproché de e pas être u «coeffcet de sécurté» au ses strct du termes, parce qu l est pas par rapport à u état lmte correct [dfféretes recherches ot été réalsées ou sot e cours sur ce pot, otammet au laboratore de mécaque des soldes de Palaseau et au laboratore cetral des pots et chaussés_ o pourra se reporter pour plus de détals au publcatos de Saleço (974, Coussy (978,Trsta- Lopez (98 et Geou (98 sur ce sujet] ; - O se heurte fréquemmet au problème de dmesoemet d ouvrages complees, comportat par eemple des fodatos superfcelles, des ouvrages de soutèemet et des déblas (fg VI., pour lesquels la défto d u coeffcet de sécurté uque est ardue, so mpossble. Fodato superfcelle Débla Mur de soutèemet Fgure VI. Eemple de stuato complee pour le calcul du coeffcet de sécurté S le premer reproche est justfé sur le pla théorque, l e trouble pas la coscece des projeteurs das la mesure où la pratque de l utlsato des coeffcets de sécurté est cosdérée globalemet comme satsfasate par les mécaces des sols. Le problème des ouvrages complees état beaucoup plus gêat e pratque et l o cherché très tôt à ufer la défto et le calcul des coeffcets de sécurté, sas grad succès, l est vra. Les espors de soluto de ce problème délcat reposet aujourd hu sur la oto de probablté de rupture. 89

106 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI VI.. Probablté de rupture A l heure où ces lges sot écrtes, persoe e s offusque de lre le terme de probablté de rupture pour u ouvrage de gée cvl, mas cela a pas toujours été le cas. Lors de débuts de l applcato des méthodes statstques et probablstes e mécaque des sols, l paru tout à fat cogru à beaucoup de spécalstes que l o applque la théore du hasard à l étude de comportemet d u matérau dot les proprétés sot parfatemet défes e chaque pot. O déft d alleurs ecore le coeffcet de sécurté comme ue coséquece de la lo de comportemet de matérau, c'est-à-dre comme la mesure d ue lmte à e pas dépasser pour évter les phéomèes désrables (déformato plastque, otammet qu se produset peu avat la rupture. E réalté, le coeffcet de sécurté est plus d ue barrère de protecto de ature rhéologque : c est auss est peut être surtout, u «coeffcet d certtude», ue précauto cotre otre gorace des proprétés réelles du sol de fodato das la régo de l ouvrage à costrure. Sous cet aspect, le recours au vocabulare probablste devet aturelle : quad o dmesoe u ouvrage avec u coeffcet de sécurté de,3 par eemple, ue rupture peut tout à fat se produre s les essas réalsés lors de la recoassace géotechque ot doé ue mage erroée des proprétés mécaques du sol de fodato : La varablté aturelle des proprétés des sols et l échatlloage ( au ses statque réalsé lors de la recoassace lasset subsster le rsque d ue estmato basé des paramètres, c'est-à-dre qu à tout dmesoemet est assocée ue probablté de rupture, fable e gééral, mas jamas ulle. Le prcpe de calcul de la probablté de rupture des ouvrages est smple : o compare de faço tout à fat habtuelle la résultate des efforts moteurs C (charge et la résultate des efforts résstates R et l o dt qu l ya rupture lorsque C devet supéreur à R. Mas l o ajoute que compte teu des formatos dspobles sur le sol de fodato, o e coaît pas que de faço certae les valeurs de C et R : o peut seulemet calculer la dstrbuto des probabltés des valeurs de ces deu paramètres (Fgure VI.. 90

107 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI G R (r G C (c a Dstrbuto de la charge C C c (c Gc (c C C dc C R (r C r DETAIL b Dstrbuto de la résstace R C r Fgure VI. Dstrbuto des probabltés de C et R est égale à : La probablté que la résstace R sot féreure à ue valeur détermée de charge C c { R c } = Pr ob p g R ( r dr = Are hachurée de la fgure VI..b. (VI. Comme la probablté de la valeur c de la charge est elle-même égale à G c (c dc, o peut par tégrato calculer la probablté de rupture P Ou ecore : c G c c g R r dr dc = ( ( (VI. r r R C P = G ( r g ( c dc (VI.3 E désgat par g r (r la focto de répartto de la varable aléatore R. E réalté, comme o le verra das la sute de ce chaptre, le calcul de la probablté de rupture est ue opérato complee qu écesste ue boe coassace des méthodes de calcul probablste mas auss des méthodes de calcul tradtoelles des ouvrages cocerés. 9

108 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI VI..3 Coeffcet de sécurté ou probablté de rupture O pourrat peser que la oto de probablté de rupture va remplacer à plus ou mos log terme celle de coeffcet de sécurté pour dmesoemet des ouvrages. E fat, comme o l a dqué précédemmet, le coeffcet de sécurté recouvre deu précautos dfféretes : - O cherche, par so termédare, à compeser le caractère très partel des formatos rassemblées lors de la recoassace géotechque du sol de fodato ; - O cherche égalemet, das le cas par eemple des remblas sur sols compressbles, à évter l apparto des grades déformatos plastques qu précèdet la rupture. - La probablté de rupture se substtue parfatemet au coeffcet de sécurté et costtue même u progrès vs-à-vs du premer objectf. Pour ce qu cocere le secod, elle est totalemet opérate et l est dffcle d mager ce qu pourrat remplacer le coeffcet de sécurté das ce secod rôle. VI.3 METHODE DE CALCUL PROBABILISTE DU COMPORTEMENT DES OUVRAGES Les calculs mécaques des sols écessares au dmesoemet des ouvrages (ouvrages de soutèemet, ouvrages e terre, fodatos, etc. ot tous pour objectf de détermer la valeur de paramètres (coeffcet de sécurt, temps de cosoldato, ampltude des tassemets, etc. qu dépedet des proprétés physques et mécaques des sols, de la géométre des problèmes et des codtos tales et au lmtes mposées. S l o trate les varatos das l espace des proprétés des sols, les varatos das le temps des codtos au lmtes et les fluctuatos de la géométre des sols et des ouvrages comme des phéomèes aléatores dot chacu peut être représeté par ue varable aléatore X, les résultats des calculs écessares au dmesoemet des ouvrages sot eu-mêmes des varables aléatores Y, foctos des varables aléatores X. Chacue des varables aléatores Y a sa propre focto de répartto G(y et sa desté de probablté g (y, qu l s agt d évaluer. Le calcul probablste des ouvrages de mécaques des sols doc «smplemet»u problème de calcul de focto de varables aléatores : Y = f ( X 9

109 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI Pour deu varables dépedates X et X de destés de probablté g et g (, la forme eacte de la desté de probablté de la sommey = X X, produt Z = X X ou du quotet X W = est la suvate ( Lumb, 974 : X ( g y = g ( y. g ( d g z = g ( z /.. g ( ( d ( g w = g ( z... g ( d Et la combaso de ces équatos permet e prcpe de calculer la desté de probablté de toute focto comportat uquemet des sommes, des produts et des quotets.. Mas cette méthode peut être très laboreuse e pratque, otammet parce qu elle écesste l évaluato d tégrales parfos complees. Par alleurs, l este pas toujours de relato eplcte etre les paramètres physques, mécaques et géométrques des ouvrages et les résultats qu l s agt d évaluer. Ef, la plupart des méthodes de calcul utlsées pour le dmesoemet des ouvrages e sot qu approchées, ce qu trodut à la fos u bas et ue certtude supplémetare qu l faut corporer das l aalyse de la focto Y = f ( X. Dfféretes méthodes peuvet être utlsées pour détermer de faço approchée la desté de probablté g(y à partr des los de dstrbuto des paramètres X du modèle de calcul. Nous décrros c- après quatre d etre elles : Appromato par les séres de Taylor Appromato par tégrato umérque Appromato par ue lo ormale ou logormale Smulato par la méthode de Mote-Carlo. L esemble de ces méthodes sot décrtes au chaptre VI. 93

110 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI VI.4 ANALYSE PROBABILISTE DE LA STABILITE DES PENTES VI.4. Itroducto Ue dzae de méthodes de calcul probablste ot été publés jusqu à préset pour l aalyse de la stablté des petes. Pourtat, ces méthodes pour l stat des produts de recherche sas applcatos pratques das les bureau d étude, où les coeffcets de sécurté tradtoels restet le seul outl du projeteur. Cette stuato, a pror étoate, est certaemet due pour parte à la leteur habtuelle du trasfert des ovatos des chercheurs au pratces. Elle a toute fos auss ue autre orge : l suffsace des méthodes testées jusqu à préset. E effet, das la plus part des artcles dspobles das la lttérature, o se red compte que l utlsato des méthodes de calcul probablste codurat à ue augmetato parfos sesble mas toujours coûteuse des coeffcets de sécurté habtuellemet adms. Le caractère pessmste des méthodes de dmesoemet probablste est pourtat pas éluctable : O peut rasoablemet peser que l amélorato de la descrpto des varatos aturelles des proprétés des sols, l amélorato des méthodes de calcul probablste et l amélorato de la descrpto des mécasmes de rupture devraet codure à des méthodes de calcul utlsables pour les projets. L eemple du paragraphe VI.4. motre commet l o peut dmuer la probablté de rupture par ue smple amélorato de la descrpto du sol (et ue complefcato smultaé de la méthode de calcul. Le résultat obteu das cet eemple est pas ecore suffsat, mas l motre sas ul doute la voe à suvre. Le paragraphe VI.4.3 présete à ttre d eemple ue méthode d aalyse proposée par Aloso (976 et le paragraphe VI.4.4 doe quelques dcatos sur les oretatos possbles pour des petes. O pourra trouver des résumés des prcpales publcatos cocerat ces méthodes d aalyse das les travau de Maga et Baghery (98 VI.4. Commet amélorer les méthodes de calcul probablste Cosdéros u massf de sol compressble d épasseur H sur lequel o veut costrure u rembla de sable d épasseur H r, de pods volumque γ r et d agle de frottemet tere ϕ r =35. La recoassace géotechque du ste a comporté cq sodages scssométrques avec u essa tous les mètres de profodeur. Calculos la probablté de rupture pour les valeurs des paramètres dqués sur la fgure VI.4. 94

111 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI ϕ = 35 r 3 γ = 0 kn / m r Fgure VI.4 Hypothèses géométrques et mécaques de l aalyse de stablté. VI.4.3 Aalyse de la stablté par abaque (rupture crculare, sol homogèe La plus smples des aalyses probablstes cosste à calculer la stablté du rembla à l ade des abaques de Plot et Moreau (973, e supposat que la cohéso o draée c u a ue valeur uforme certae. L aalyse probablste va comporter deu phases : - Il faut d abord estmer la lo de dstrbuto des valeurs mesurées de la cohéso o draée. - Pus, l faut dédure de la lo de la dstrbuto c u des valeurs du coeffcet de sécurté F. la probablté de rupture sera alors égale à { } P r = Pr ob F < (VI.4 moyee Les 45 valeurs de la cohéso o draée dquées sur la fgure VI.4 ot pour cu = 30, KPa pour écart type σ c = 8, 63 KPa et pour valeurs etrêmes u C = 5KPa et C = 50KPa. u m u ma S l o admet que les valeurs de c u suvet ue lo ormale, o trouve la lo représetée sur la fgure VI.5.a 95

112 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI µ σ Cu Cu = 30kPa = 8,63kPa a.lo ormale estmée d après les 45 valeurs mesurées de Cu F Cu N = γ H b. Abaque pour le calcul de stablté ( ϕ = 35 ; Hr / H = 0,5; pete / Fgure VI.5 Etapes du calcul de stablté à l ade d abaques Pour fare les calculs de stablté o va utlser l abaque de la fgure VI.5, qu a été étable d après les abaques de Plot et Moreau (973 pour ϕ r = 35, des talus de rembla de pete léare et u rapport H =. O vot que F est lé à c u par ue relato à peu prés H r r r 96

113 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI F 0,06 5, N = 0,06 0, 05 Par coséquet, le coeffcet de sécurté a ue lo de dstrbuto de même forme que c u, mas avec des paramètres dfférets. O obtet : µ F =,6 σ F = σ c u 0,05, = 0,449. Das le cas d ue lo ormale, o peut calculer asémet la probablté de rupture P = Pr od r sot { F < } F µ = Pr od F σ F c u µ < F F µ = Pr od F σ F σ F P r = 0,0837 <,38 Ce calcul serat eact s l o état certa de la valdté du schéma de calcul et de la représetatvté des valeurs de c u utlsées pour représeter la résstace au csallemet du sol. Or chacu sat que les modèles de calcul utlsés pour les aalyses e stablté e sot q approchés et que, d autre part, les valeurs de c u détermées au scssomètre coduset à des valeurs de F trop fortes das les sols plastques (dces de plastcté I p > 0 et trop fable das les sols peu plastques (I p <0 ; à tel pot que l o corrge systématquemet les résultats e focto de l dce de plastcté [correcto µ(i p de Bjerrum]. E pratque cela mplque que la rupture est pas obteue pour F < mas pour F féreur à ue valeur F* dépedat de l dce de plastcté du sol et de l certtude sur le modèle de calcul. O peut admettre que F*est ue varable aléatore dot la lo de dstrbuto est ormale (faute d formatos plus précse avec ue moyee µ F * et u écart type σ F *. S l o admet que, pour l eemple traté, µ =. et σ = 0., o trouve F F { F < F *} = Pr ob{ F F * < 0} = Pr ob{ 0} P r = Pr ob Y < (VI.5 E trodusat la varable aléatore Y = F F dot la desté de probablté est g( y = rupture P r : ep π σ * F F µ F σ F µ F * σ F * d Pour évter le calcul de cette tégrale, o utlsera ue autre forme de la probablté de P = G ( g * ( d, r F F 97

114 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI Qu cosste à tégrer le produt de la probablté que F * = ± d par la probablté G F ( que F sot féreur à. U calcul umérque approché codut à (tableau VI.4 : P r 30 = G (0, g F F (0, 0, = 0,806. Tableau VI.4 Détal du calcul de P R g f g F ( I 0 0 G F 0, g F 0 G F gf 0, G F G g F F I 0, G F 0 g f * 0 G f.g *.0, , , , ,4.0-4,4.0-4,4.0-3, , ,34 0,748 0,380 0,3 0,3946 0,48 0,5707 0,6557 0,7336 0,803,40 3,989,40 5,4.0-4,4.0 -, ,99.0-6,97.0-5,76.0 -,69.0 -, ,3.0-5, VI.4.4 Aalyse de stablté das l hypothèse d u sol tr couche (rupture crculare O peut amélorer la descrpto de la résstace au csallemet du sol, qu augmete avec la profodeur, e subdvsat la couche compressble e sous couches. Das ce qu sut, o a prs tros couches d épasseur H. 3 L aalyse des doées dot être recommecée à l téreur couches : o obtet les résultats représetés sur la fgure VI.6. de chacue des sous L aalyse probablste a été effectuée par la méthode de Mote-Carlo e supposat que les valeurs de la cohéso o draée étaet dépedates d ue sous couche à l autre et qu elles suvaet ue lo ormale. 98

115 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI Das chacue des sous couches, vgt calculs o été réalsés e rupture crculare. Les doées des calculs (valeurs de c u, c u, c u3, das les tros sous couches et les coeffcets de sécurté calculés sot rassemblés das le tableau VI.5. Fgure VI.6 Valeurs de la cohéso o draée mesurées das chaque couche Tableau VI.5 Calcul de stablté (méthode de Mote_Carlo C u C u C u3 F ,85,34 5,4 0,30 8,69 3,83 4,6 3,6 9,5 3,76 8,98,00,3 5,54 5,3 30,35 30,94,49 4,4 5,7 36,08 8,6 7,67 3,4 3,96 37,55 38,9 8,07 3,,30 0,8 37,6 7,68 9,5,00 36,30 5,06 4,77, 3,3 7,093 49,8 36,5 38,56 7,3 47,54 3,69 3,3 8,6 3,4 37,6 36,45 43, 34,98 46,85 39,98 4,07 39,7 33,50 39,88,9,6,43,,5,40,4,37,8,8,4,3,7,48,9,7,4,7,9 0,98 99

116 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI L hstogramme des valeurs de F as trouvées est représeté sur la fgure VI.7. Fréquece = 0 m s F =,37 = 0,58,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Fgure VI.7 Hstogramme des résultats des calculs F F O vot que, be que le coeffcet de sécurté moye sot plus fable que das l aalyse de la secto précédete, l écart type σ F est beaucoup plus fable : P r µ σ F F =,3 0,6, De telle sorte que, s l o admet que F sut ue lo ormale, la probablté de rupture F u F uf F µ F = Pr ob{ F < } = Pr ob < = Pr ob < σ F σ F σ F Vaut P r = 0,075, c'est-à-dre q elle est quatre fos plus fable que das l aalyse précédete. O peut avor ue dée de la probablté de rupture par rapport à F*(µ F * =, ; σ F *= 0, e calculat P r { <,} 0, 7 = Pr ob FF = U calcul plus précs, aalogue à celu de l aalyse précédete, codut à P r 0,35. Cocluso L eemple traté c-dessus appelle quelques commetares. Il motre tout d abord que s l o admet que le modèle de calcul est eact, l amélorato de la descrpto des varatos de la cohéso o draée dmue sesblemet l certtude sur le coeffcet de sécurté calculé et par coséquet auss la probablté de rupture. Toutefos, l certtude relatve au modèle de calcul (représetée par F* das le cas cosdéré joue u rôle très mportat : pour les hypothèses adoptées, elle rédut à éat l effet postf d ue amélorato de la descrpto des proprétés du sol, comme o e dspose e gééral que de peu d formatos sur l eacttude des modèles de calcul, cette certtude 00

117 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI péalse très souvet les calculs probablstes et peut eplquer leur caractère souvet pessmste (par rapport au pratques tradtoelles. Ef, das l eemple préseté, o a cosdéré comme varable aléatore comme cohéso o draée du sol. D autres paramètres peuvet être égalemet tratés comme varables aléatores, pods volumque et agle de frottemet tere du rembla géométre de la surface du terra aturel et du rembla géométre du substratum, pods volumques du sol de fodato. Les probabltés de rupture calculées sot pour cette raso u peu plus fables que les probabltés de rupture réelles (toutefos, les varatos aturelles de c u et l certtude sur le modèle de calcul représetet les causes prcpales de l certtude sur les résultats. VI.4.5 Ue méthode d aalyse probablste de la stablté des petes (Aloso, 976 La méthode géérale d aalyse de la stablté des petes développée par Aloso (976 est u eemple téressat de méthode de calcul probablste. Cette méthode cosste e ue aalyse probablste de la méthode des traches. Elle tet compte de la varablté de la cohéso, de la presso tersttelle, de l agle de frottemet tere, du pods volumque du sol, de la hauteur des traches et du paramètre qu décrt le degré moblsato de la résstace au csallemet dspoble. Parm tous ces paramètres ce sot les varatos de la cohéso et de la presso tersttelle et la méthode de calcul qu sot détermates. Bshop (955 a établ pour le momet moteur M a et le momet résstat M r les epressos suvates : M a Ns = r γ h s θ (VI.6 = M r = r Ns c γ h tg Φ µ tg φ, = cosϑ R sϑ tg φ (VI.7 0

118 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI y r k k Y k- θ - Y = a b Fgure VI. 8 Géométre de la surface de glssemet Avec les otatos : r - rayo du cercle de rupture, - largeur costate des traches (égale pour toutes les traches, N s - ombre de traches, γ - pods volumque du sol de la e trache, h - hauteur de la e trache, θ - agle de la tagete à la surface de rupture avec l horzotale, c - cohéso du sol à la base de la e trache, φ - agle de frottemet du sol à la base de la e trache, u - presso tersttelle moyee à la base de la e trache, R - degré de moblsato de la résstace au csallemet à la base de la e trache. La moyee et la varace du coeffcet de sécurté F = M r sot égales à : M a E[ M r ] µ F = E[ F] = (VI.8 E[ Ma] 0

119 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI [ V[ M r ] E[ Mr] cov [ M, M ] E[ M ] V[ Ma] V F] = r a r. (VI.9 E[ M a ] E[ M a ] E[ M a ] 4 Les valeurs de E [ M r ] = µ M et E [ M ] r a µ M a = s obteet e remplaçat chaque varable par sa valeur moyee das les epressos doées plus haut. O a d autre part : N N N N V[ Ma ] h = j= γ γ = j= h h s Ma Ma cov [, ] Ma = Ma λ γ j cov[ h, ] V [ M r ] = W c W tg W r W u W W h a Wc N N cos θ Rsθ tg cosθ R sθ tg φ s s = = j= cov[ c, c ] N N W tg = = j= Γ ( c R s θ cosθ γ h µ cosθ ( c R [(cosθ R sθ tg Φ(cos Φ R sθ cosθ γ h sθ tg Φ ] Ns Ns Γ h tg θh tg φ W r = cov[ c, c] = j= cosθ R sθ tg Φ cosθ R sθ tg Φ Ns Ns Γ θ tgφ W u = V[ u] (cosθ R sθ tg Φ (cosθ R sθ tg = j= Φ µ cosθ W h W r Ns Γ γ tgφ = V[ h] (cos s Φ = θ R θ tg N = V[ R] V[ h] Γ sφ ( u tg φ λ h tgφ c s = (cosθ R sθ tg Φ cov[ M M ] = r M M M M γ Ns Ns N s N s R R R R cov[ γ, γ ] V[ h] = j= γ γ = j= γ Il faut doc détermer les covaraces et autocovaraces des paramètres. VI.4.6 Proprétés du sol O peut trater les proprétés du sol comme des foctos de varables aléatores. Par eemple, la cohéso c peut être représetée par la somme d ue dérve f(. et d ue varable aléatore cetrée c (c,y : 03

120 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI 04, ( ',...,, (, ( ^ ^ y C y f y C c = = (VI.0 Les varables aléatores j, état les estmateurs des paramètres de la dérve. Sur le segmet (-, c est à dre sur la base de la e trache, la cohéso moyee est égale à : [ ]d y C y f C I X X =, ( ',...,, ( ^ (VI. S l o remplace l arc de cercle (-, par u segmet de drote d équato y = a b (fgure VI.8, o obtet [ ] [ ] d y f E E C X X =...,, (, (VI. La covarace des C pour sa part pour epresso : (VI.3 S l o suppose qu l este régresso léare etre C et la profodeur y c'est-à-dre s :,,...,, ( y y f = (VI.4 Ce qu est souvet vra. O a : *, ( ] [ K y b X X a C E K K K K K = = Où Y K désge l ordoée du cetre du segmet (k-, k. Par coséquet le terme C se calcule à partr de la relato suvate : m K k m y y V y y V C ] [ ](, cov[ ] [ = (VI.5 [ ] [ ] ] [ ] [ ] [ ] [ ],,,,,,, '(, ( ', ( ', ( '...,, (, ( '...,, (,, ( ', ( '...,, (, ( '...,, (, '(...,, (, ( '...,, ( ], [ cov C C C C d y c d y c COV d y c d y c y f COV d y c y f d y c COV y c y f d y c y f COV d y c y f d y c y f COV C C k m m X X X X M k X Xk X Xm k X X M X Xk k X Xk X Xm k X X M X k k M K = = = =

121 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI et sot calculées à partr d u échatllo de valeurs par la méthode des modres carrées. d = d C( y ; = a C ( y = = Avec = y a a = y y / ( = y y y = = y La fgure VI.9 motre la varato de la cohéso c e focto de y as que la dérve obteue par régresso léare et c (,y. (,0 (,0 (,0 X,y,c C(,y ((,y, X,y,c X,y,c (a (b (c C(,y dérve c (,y Fgure VI.9 Varato de la cohéso du sol Pour obter l epresso de C, o utlse le fat que : cov [ X, Y ] = E[ X, Y ] E[ X ] E[ Y ] ' Et que, comme C ( cov Comme f ( [ ] = 0 ' = E[ f C ] E, o a : [ f (, ( ] ( ( C. = y, o obtet e coséquece: 05

122 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI 06 ( ( [ ] ( [ ] ( [ ] = ' ' ', f cov C y E C E C m. Cela permet d obter pour C l epresso fale: = = = K K m K K K M K X X X X y K K m m X X X X y K K d d y C b a C E a b a d d y C b a C E d C. ], '(, ( ' [ ( ( ], '(, ( ' [ ( 0 0 (VI.6 S la focto d auto corrélato de C a ue forme epoetelle, o peut écrre (Aloso, 975 ; Lumb,975 : ( 0 ], '(, ( ' [ τ c e B y C b a C E c K K = (VI.7 Avec 0 ] ( [( K K b a y = τ B c - Varace du paramètre C c - Degré d auto corrélato, d autat plus pett que l auto corrélato est forte Das ce cas, o peut effectuer ue tégrato partelle et o trouve :. ( K m c I y a d B C = = Avec :. ] ( [( ep 0 d b a y I K K c X X K K K = (VI.8 C se calcule par la même formule que C, e versat m et k. C représete la corrélato etre les deu varables cetrées C k et C m. S l o suppose que la drote d équato b a y = passe par les mleu des segmets k et m l epresso de C est la suvate : dy d a y e B C c c X X X X m m K K ( ( ( = (VI.9 Pour le paramètre tgφ, l aalyse est detque à celle qu vet d être eposé pour c. Pour le pods volumque, o peut supposer que γ est ue focto aléatore de la profodeur, ce qu permet d adopter la même démarche que pour la cohéso c. O suppose e outre que la corrélato etre c et tgφ est ulle. Ue corrélato este etre le pods volumque et les paramètres de résstace du sol, mas vu la dstace de

123 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI corrélato (evro m et les dmesos des traches aalysées, cette corrélato est églgeable. O fat la même hypothèse sur toutes les corrélatos des paramètres deu à deu. VI.4.7 Presso tersttelle L epérece prouve qu l este ue forte autocorrélato etre les pressos tersttelles des dfféretes traches. O pred doc ρ = das l epresso : j cov[u,uj] = ρ σ (VI.0 j u VI.4.8 Géométre du talus La précso des relevés topographques ayat pas de raso de varer d ue trache à l autre, o cosdère la hauteur des traches comme ue varable aléatore o autocorrélée, de varace σ h costate : cov [ h, h j ] = δ σ (VI. j h Avec : δ j = 0 s s = j j VI.5 Processus de moblsato de la résstace au csallemet Les valeurs de R j pour les dfféretes traches sot cosdérées de varace σ R. D où cov[ R, R j ] = δ σ. (VI. j R VI.5. Applcato de la méthode Le schéma suvat (fgure VI.0 motre la procédure utlsée pour la recherche du cercle correspodat à la probablté mamale de rupture : o se fe à pror u esemble de cercles à tester. Pour chacu des cercles o calcule la valeur moyee et la varace du coeffcet de sécurté F, ce qu permet de détermer la probablté de rupture 07

124 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI Lre les caractérstques du sol, la géométre du talus et les codtos du calcul Aalyse de régresso. Calcul des paramètres statstques Détermato des coordoées du cercle à tester Défto de géométre moyee des traches et de la dstrbuto moyee de pressos tersttelle Calcul de la moyee et de la varace de c, tgφ et γ Calcul des dfférets termes de V [M R ] et V [M A ] Calcul de la moyee et de la varace du coeffcet de sécurté Calcul du rsque assocé (modèles ormal et logormal Impresso des résultats No A- to o fat le calcul pour tous les cercles? Ou Fgure VI.0 Procédure de détermato du cercle de rupture le plus défavorable FIN Aloso a applqué cette procédure à l étude de la stablté d ue pete das l argle sesble d Ottawa. La géométre et les paramètres du problème étudé sot dqués sur la fgure VI. Les paramètres statstques de la presso tersttelle ot été calculés à partr des masures effectuées sur dfférets pézomètres stallés au pots dqués sur la fgure VI. 08

125 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI y Sodage 8,3 m Echelles (mètres 0 5 0,6 4,575 m Fgure VI. Géométre et paramètre du cas étudé par Aloso (976 Hauteur (peds Fgure VI. Posto des pézomètres et coclusos des mesures Comme le calcul pour chaque cercle de la probablté de rupture augmete sesblemet la durée des calculs, o peut profter du fat emprque (sur la base des résultats complets d Aloso que le mmum des coeffcet de sécurté et le mamum des probabltés de rupture coïcdet pour détermer d abord le cercle de coeffcet de sécurté mmal pus 09

126 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI effectuer le calcul de probablté sur ce cercle uque. Aloso a effectuer le calcul de probablté pour chaque cercle calculé t obteu les résultats représetés sur la fgure VI.3 sous forme de courbes d égale probablté de rupture et d égal coeffcet de sécurté. O otera que les courbes d égale probablté de rupture dffèret suvat la lo de probablté adoptée pour F (lo ormale ou lo logormale, mas que, das les deu cas, l semble que le cercle crtque sot le même pour l approche détermste classque et pour l approche probablste. Fgure VI.3 Courbes d égale probablté de rupture et d égal coeffcet de sécurté Aloso a égalemet étudé la cotrbuto des dfférets facteurs à la varace des momets actfs et résstats das cet eemple de Gree Creek. 0

127 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI Il a trouvé que, l certtude sur le résultat provet essetellemet de la presso tersttelle u et de la cohéso c (fgure VI.4, l certtude état beaucoup plus grade pour le momet résstat que pour le momet des forces motrces. Fgure VI.4 Cotrbutos de dfférets facteurs à la varace des momets (cercle crtque Fgure VI.5 Ifluece de la presso tersttelle sur la probablté de rupture Les fgures VI.4 et VI.5 motret l fluece des varatos de u et de c et φ sur la probablté de rupture, suvat la forme ormale ou log-ormale

128 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI Fgure VI.6 Ifluece de la cohéso et du frottemet sur la probablté de rupture que l o retet pour le coeffcet de sécurté. Aloso dque à ce propos que la prse e compte de l certtude lée au modèle de calcul (varable aléatore N défssat le crtère de rupture (rupture s F < N, de valeur moyee µ N = et d écart type σ N comprs etre 0, et 0,5 a tros effets : - le rsque de rupture se trouve augmeté, - la probablté de rupture vare mos, -les résultats deveet peu sesbles à la dstrbuto adoptée pour F Fgure VI.7 Ifluece du degré d autocorrélato des proprétés du sol sur la probablté de rupture.

129 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI Aloso a égaemet étudé l fluece du degré d autocorrélato des proprétés du sol ( sur la probablté de rupture. Les résultats motret (fgvi.7 que, plus est fable c est-à dre plus les proprétés du sol sot lées das l espace, plus la probablté de rupture est grade. D autre part, o vot qu au-delà d u certa seul ( > 0,75 m -, par eemple, la varato du paramètre devet s rapde qu elle a plus d fluece sur le coeffcet de sécurté, qu résulte d ue tégrato sur ue surface assez étedue. Ue cocluso mportate de l étude d Aloso est qu l este pas de relato uque etre le coeffcet de sécurté et la probablté de rupture, pusque le coeffcet de sécurté déped essetellemet des valeurs moyees, tads que la probablté de rupture déped égalemet des coeffcets de varato. La fgure VI.8 présete les relatos obteues das l hypothèse ou seules les valeurs moyees des paramètres varet, les coeffcets de varato restat costats. Sur la fgure VI.8 ot été ajoutées les courbes proposées par Meyerhof (l970, sur la base d observatos emprque et de so epérece. Cette fgure peut être utlsée e premère appromato pour l aalyse des glssemets das l argle Champla. Fgure VI.8 Relato etre le coeffcet de sécurté et la probablté de rupture. Baghery (980 a applqué la méthode développée par Aloso à l étude de la stablté du rembla A du ste epérmetal de remblas sur sols compressbles de Cubzac-les-Pots (Grode 3

130 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI VI.5. Prcpes géérau des méthodes d aalyse probablste de la stablté des petes Comme o a pu le costater das l eemple précédet, l aalyse probablste de la stablté d ue pete fat terver tros élémets d mportace égale : - La descrpto des varatos aturelles des proprétés physques et mécaques des sols et des codtos géométrques du problème traté, - ue méthode de calcul détermste de la stablté des petes - et ue méthode de tratemet aalytque ou umérque des foctos de varables aléatores. Le cho des paramètres de calcul est lé à celu de la méthode de calcul détermste utlsée. Sur ce pla, les méthodes de calcul e cotrates totales, qu caractérset la résstace du sol par ue cohéso o draée, sot évdemmet plus smples que les méthodes de calcul e cotrates effectves, pour lesquelles l faut coaître la cohéso c, l agle de frottemet tere φ et la presso tersttelle e tout pot. Lorsque l o développe ue méthode d aalyse probablste, l faut chosr parm tous les paramètres du problème ceu que l o cosdérera comme détermstes et ceu que l o tratera comme des varables aléatores. Ce cho est pas smple car le tratemet aalytque ou umérque des équatos de la méthode de calcul adoptée devet très complee quad le ombre des varables aléatores augmete. Le désr d ehaustvté du chercheur, qu voudrat décrre so problème de la faço la plus précse possble, est pour cette raso souvet vacu par le désr cotradctore de développer des méthodes de calcul applcables à des problèmes réels. A l autre etrême, le tratemet probablste de la seule résstace au csallemet du sol fourt des solutos dot o peut cradre qu elles soet optmstes (ou «suffsammet certaes» quat à la stablté réelle de l ouvrage. Seules des aalyses détallées, telles que celle de la fgure VI.5 précédete, peuvet permettre de fare des cho rasoables. O vot sur cette fgure que, pour les calculs e cotrates effectves, l certtude sur la stablté réelle de la pete déped prcpalemet de l certtude sur les pressos tersttelles et de l certtude sur la cohéso du sol. Pour smplfer le tratemet umérque de la stablté des petes, o pourrat doc lmter à deu le ombre des varables aléatores, e tégrat das l certtude sur le modèle de calcul l fluece des varatos des autres paramètres. Le be-fodé d u tel cho dot toutefos être vérfé das chaque cas, e l état actuel de os coassaces. Ue fos que l o a chos les varables aléatores du calcul, l faut e détermer les caractérstques statstques, ce que l o peut fare d après des résultats de mesures ou d essas 4

131 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI ou e utlsat des valeurs publées das la lttérature. Outre la moyee et l écart type, l est dspesable de détermer la dérve évetuelle des varables aléatores das l espace et leur focto d autocorrélato, as que les corrélatos multples etre ces varables. Faute de ter compte de ces caractérstques de la varablté aturelle des sols, o rsque d obter des résultats d térêt pratque à peu près ul. La méthode de calcul détermste qu costtue l termédare oblgatore, etre les hypothèses du calcul et la probablté de rupture que l o cherche à détermer dot être chose avec so. Les méthodes de calcul «eplctes», das lesquelles le résultat est ue focto eplcte des hypothèses du calcul, sot e gééral plus smples à trater que les méthodes de calcul das lesquelles le résultat provet d u calcul tératf. Deu crtères peuvet être utlsés pour caractérser la stablté (ou l stablté des petes : -la marge de sécurté M S, égale à a dfférece etre le momet résstat et le momet moteur, peut être comparée à 0 (ou à ue valeur aléatore représetat l certtude sur, le modèle de calcul ; -le coeffcet de sécurté F, égal au rapport du momet résstat au momet moteur, peut être comparé à (ou à ue valeur aléatore représetat certtude sur le modèle de calcul. Les deu méthodes peuvet être utlsées et sot e pratque équvaletes. Il semble toutefos que le coeffcet de sécurté F sot d u emplo plus fréquet. Pour détermer la dstrbuto statstque du résultat du calcul détermste, qu l s agsse de la marge de sécurté ou du coeffcet de sécurté, o peut utlser l ue des quatre méthodes décrtes au paragraphe 3. La méthode de Mote-Carlo est fréquemmet utlsée parce qu elle est smple, mas elle demade u volume de calculs très mportat et écesste ue procédure adaptée pour la géérato des esembles de valeurs aléatores des paramètres. So grad mérte est d être utlsable même quad le problème aalysé admet pas de soluto eplcte. O a toutefos toujours térêt à eamer s l est pas possble d utlser e prorté les autres méthodes. VI.5.3 Perspectves Les eemples d aalyse probablstes décrts c-dessus reposet sur ue schématsato très smple (udmesoelle du comportemet des sols sous les ouvrages. S l o admet que les aalyses probablstes e peuvet avor beaucoup plus de valeur que les schémas 5

132 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI détermstes sous-jacets, la smplcté des modèes utlsés pour ces études lmte la coface que l o peut leur accorder e pratque. Das le cas aalysé par Maga et Baghery (98, l est frappat de costater par eemple que le tassemet observé sous le rembla est très ettemet supéreur au valeurs calculées lors de l aalyse probablste (Fgure VI.9 Fgure VI.9 Comparaso des mesures et du résultat de l aalyse probablste (Rembla B de Cubzac-les-Pots, Maga et Baghery, 98. Cette dvergece est certaemet due pour parte à l mperfecto du schéma de calcul udmesoel adopté, mas elle a auss ue autre orge : l ordre de gradeur du coeffcet de cosoldato utlsé pour le calcul est fau, par Sute des mperfectos des méthodes utlsées pour le détermer e laboratore. Il est d alleurs plutôt rassurat de costater que l troducto de techques statstques et probablstes das des secteurs ou les méthodes de calcul détermstes tradtoelles sot globalemet cosdérées comme satsfasates e red pas utle le perfectoemet des méthodes de mesure des proprétés des sols et de calcul des ouvrages. Comme pour les études de stablté, le développemet des méthodes d aalyse probablste des tassemets des ouvrages devrat être mportat au cours des d prochaesaées. Ce développemet, qu passe par l élaborato de méthodes de calcul probablste spécalsées pour chaque esemble «descrpto statstque du sol schéma de calcul détermste méthode de tratemet probablste», e pourra toutefos être utle à l géeur pratce que s l o forge des outls smples et d utlsato pratque e e reteat das la 6

133 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VI descrpto des sols et des Ouvrages que les élémets prcpau, c est-à-dre ceu qu eercet ue fluece otable sur la varablté du résultat. Ce cho e peut être fat a pror sas rsque d erreur. Il faut doc das u premer temps développer des outls de calcul complees pour pouvor les smplfer esute. Cette phase des recherches est e cours depus quelques aées et l o peut e attedre des résultats utles das u aver proche. 7

134 Chaptre VII Logcel CESAR-LCPC Chaptre VII Logcel cesar-lcpc Mémore de magstère Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes..

135 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Chaptre VII LOGICIEL CESAR-LCPC VII. GENERALITES Das le cadre des études de stablté de petes, l este actuellemet das le mode, de ombreu orgasmes de recherche de gée cvl qu ot développés des codes ou des logcels de calculs performats et pussat, pouvat effectuer des calculs complees de deu ou tros dmesos avec dverses los de comportemet. Ces logcels (codes, auss remarquables soet ls coduset à des couts d vestgatos mportats. E coséquece, le calcul au élémets fs e mécaque des sols reste trop souvet réservé au grads ouvrages pour les quels les budgets permettet ue étude plus élaborée. Iversemet, les études e termes de projet das otre pays sot effectuées selo les règles classques de calcul de stablté, sas pour autat fare appel à ue modélsato complee car trop couteuse. C est das ce but de répodre à ce type d études (e termes de recherches et e termes de projet, qu o a egagé l établssemet d u programme de calcul par la méthode des élémets fs das lequel l serat possble d aalyser les cotrates et les déplacemets das les petes des sols. VII. PRESENTATION DE LA STRUCTURE GENERALE DU LOGICIEL CESAR- LCPC Le logcel CESAR-LCPC est u esemble de programmes de calculs par la méthode des élémets fs. Il compred pluseurs sous esembles appelés modules, et désgés sous les oms de : Géométre (cotour Découpage Mallage Modèle et proprétés Doées d talsato du modèle 8

136 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Codtos au lmtes Cas de charges Calculs Eplotato des résultats Le module géométre (cotour a pour objet la défto de la «géométre» de la structure. Par géométre de la structure ous etedos, l esemble des pots et des lges (frotères servat de support à la défto du mallage (régos surfacques, élémets léques.les frotères géérées sot de type «segmets de drotes», «arc de cercles», «arc d ellpse»ou «courbe sple». Le module «découpage» etrae l actvato d u module permettat de caractérser la fesse du mallage par la défto des découpages assocés au frotères du modèle. Le module «Mallage» prépare le mallage et les doées écessares au calculs, l géère automatquemet les élémets quadrlatères so paramétrques à hut(08 œuds et tragulares à s(06 œuds. Les modules «précédets»ous ot perms de défr ce que ous avos coveu d appeler u «mallage eutre». Ce mallage eutre est essetellemet caractérsé par les élémets suvats : - Ue lste de œuds ; - Ue lste d élémets fs (poctuels, surfacques,..typés par leur géométre mas pas par la ature du problème physque à résoudre ; - Ue lste de groupes d élémets. Sur la base d u même mallage eutre, l est possble de défr pluseurs «modèles».a ttre d eemple, l sera as possble de créer u premer modèle permettat la résoluto d u problème de dffuso thermque pus u autre modèle permettat d aalyser d u comportemet mécaque. De maère géérale, u modèle sera caractérsé par les élémets suvats : - U domae d applcato (statque, hydrogéologe, thermque, ; - Le «module de calcul» cosdéré ; - Les «proprétés»des élémets fs du modèle cosdéré ; 9

137 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII - U ou pluseurs esembles de codtos au lmtes (codtos sur les coues prcpales du problème ; - U ou pluseurs esembles de codtos de «chargemet» ; - U esemble de doées caractérsat le modèle de calcul chos. Nous avos vu das «talsato d u modèle» qu l coveat d assocer u «type d talsato» à chaque modèle. Le foctoemet de certas modules de calcul réclame la défto de «valeurs tales».das le cas d u module de calcul permettat par eemple la résoluto d u problème statque, l covedra as de défr au mmum les déplacemets et les cotrates tau à chacu des œuds du modèle. Le cho du modèle «codtos au lmtes» etrae l actvato d u module permettat de défr les caractérstques de l esemble de codtos au lmtes courates. Pour u modèle doé, l est das certa cas possble de défr pluseurs «cas de charges». Le module «eplotato des résultats» permet la vsualsato graphque des prcpau résultats obteus pour le «modèle courat» cosdéré. Représetato du mallage par le logcel CESAR-LCPL 0

138 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Les paramètres à fourr pour chaque couche de sol sot : E, γ, ρ, c, φ ; les calculs sot meés e cotrates totales avec l hypothèse de déformato plae das tout les cas d études cosdérés. VII.3 DESCRIPTION GENERALE DU LOGICIEL CESAR-LCPC VII.3. Itroducto CESAR-LCPC est u code de calcul e élémets fs dédé à l aalyse des déformatos et de stablté des projets d ouvrages géotechques. Le développemet du pro logcel CESAR-LCPC a débuté das les aées 980. Il a été ms e pratque déftvemet à partr de 986, l utlsato tesve de ce pro logcel durat de ombreuses aées e assure doc la valdato. Nous présetos das ce qu sut, les composats de l terface graphque du CESAR- LCPC verso.0.5 utlser pour préparer otre traval de recherche. VII.3. Iterface graphque L terface se partage comme sut : - Les meus : ls regroupet l esemble des foctoaltés du logcel ; - Les utltares : l s agt des côes permettat d effectuer les actos courates comme sauvegarder, mprmer, sélectoer, cofgurer Les étapes d ue étude : l s agt des côes qu permettet de basculer d ue étape de l étude à ue autre. La bote à outls : l s agt des outls écessares à l étape de l étude das laquelle vous vous stuez. Cette bote adapte so coteu automatquemet. La zoe graphque : l s agt de la zoe das laquelle s affche la structure. Chaque bouto correspod à ue étape du déroulemet d ue étude. De gauche à drote ous avos : Costructo du modèle ; talsato du modèle ; talsato des codtos au lmtes ; édto des cas de chargemet ; lacemet des calculs et eplotato des résultats.

139 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII VII.4 ETAPE : CREATION DE LA GEOMETRIE VII.4. Itroducto Cette opto a pour objet la défto de la «géométre» de la structure. Par géométre de la structure, ous etedos c l'esemble des pots et des lges (frotères servat de support à la défto du mallage (régos surfacques, élémets léques,. Les frotères géérées sot de type "segmet de drote", "arc de cercle", "arc d'ellpse" ou "courbe sple". VII.4. Outls permettat la défto de la géométre La défto de la géométre est réalsée à l ade des outls c-dessous. Défto de pots Lges brsées Arcs de cercles Arcs d ellpses Courbes sples Cogés de raccordemet Motfs prédéfs Tagece Subdvser Smplfer Traslato Rotato Symétre VII.4.3 Représetato graphque Deu ettés prcpales sot vsualsées graphquemet das ce module de défto de la géométre. Les pots Les pots créés das ce module «Géométre» sot c vsualsées. Ces derers peuvet être affectés d u attrbut de couleur. Les frotères Les frotères créées das le module «Géométre» sot c vsualsées. Ces derères peuvet être affectées d u attrbut de couleur.

140 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Pots Frotères Pots VII.5 ETAPE : DECOUPAGE VII.5. Itroducto Le cho de l opto Découpages etraîe l actvato d'u module permettat de caractérser la fesse du mallage par la défto des découpages assocés au frotères du modèle. VII.5. Les outls permettat l affectato des découpages L affectato des découpages sur les frotères du modèle est réalsée à l ade des outls c-dessous. Découpages par ombre d tervalles Découpages par dstace Découpages de logueur varable Pots supplémetares VII.5.3 Représetato graphque représetés. Les frotères vsbles du modèle et les pots de découpages assocés sot c 3

141 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Sur la fgure c-dessus, ous otos que les pots de découpages sot représetés par u symbole e forme de cro. VII.6 ETAPE 3 : MAILLAGE VII.6. Itroducto Ce module permet la réalsato où l édto du mallage. VII.6. Outls permettat la défto du mallage La défto du mallage est réalsée à l ade des outls c-dessous. Mallage de régos Mallage d élémets poctuels Elémets léques sur segmets Elémets léques à partr de mallage Oretato élémets léques Lasos élémets léques Créato mauelle d élémets Elémets d terface (de cotact Mallage par etruso Assemblage de mallages Traslato de mallages Rotato de mallages Symétre de mallages Trasformato affe Chagemet de type Assocer VII.6.3 Représetato graphque Das ce module, les ettés c-dessous sot vsualsées. Frotères Groupes d élémets géérés (Elémets poctuels, léques, surfacques, volumques, élémets de laso, élémets de cotact. 4

142 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Frotères Régos sélectoées Procédures de sélecto Nous décrvos das ce paragraphe l esemble des «ettés sélectoables» das le module de mallage. L outl «Fltre de sélecto» permet à l utlsateur de «fltrer» les ettés qu l souhate reter das les procédures de sélecto. Nœuds et régos La sélecto de œuds peut être utlsée pour la géérato d élémets poctuels. Nœuds sélectoés Elémets poctuels géérés sur les œuds sélectoés Les régos peuvet égalemet être sélectoées af d être mallées. Ue régo sélectoée Cq régos sélectoées Das ce module de défto du mallage, l est égalemet possble de sélectoer des ettés otées c «segmets». Par segmets, ous etedos c des ettés géométrques léques léares (deu œuds ou quadratques (tros œuds. Les segmets peuvet être utlsés comme support d élémets fs léques ou servr de base pour l obteto d u mallage par etruso. 5

143 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Les segmets cosdérés sot costtués à partr des élémets suvats : Frotères : Les élémets de frotères séparat deu œuds de «découpage» costtuet des segmets. «Bords» de groupes "surfacques" : Les bords d élémets stués sur les frotères eteres de groupes surfacques sot égalemet cosdérés comme des segmets. Le fltre de sélecto propose à l utlsateur tros méthodes pour la sélecto des segmets as cosdérés. Segmets (u par u : E mode sélecto, le fat de clquer sur u segmet etraîe la sélecto du seul segmet clqué. Groupe de segmets : Les segmets apparteat à ue frotère ou costtuat les bords de groupes d élémets surfacques sot classés de maère automatque e groupes af de faclter les procédures de sélecto. E mode sélecto, le fat de clquer sur u segmet etraîe c la sélecto de tous les segmets du groupe auquel appartet le segmet clqué. Segmets par agle : E mode sélecto, le fat de clquer sur u segmet etraîe c la sélecto de l esemble des segmets tels que l agle etre deu segmets «voss» est féreur à ue valeur d agle doée. Cette valeur d agle lmte peut être modfée par l opto «Précsos». Frotères avec leurs découpages Sélecto d u «groupe» de segmets Sélecto de segmets par «agle» Il est possble de sélectoer de maère «dvduelle» les élémets fs apparteat à l u des quatre types suvats : Elémets fs poctuels Elémets fs léques Elémets de laso sur élémets léques Elémets de cotact 6

144 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Il est possble de sélectoer les «groupes» d élémets fs apparteat à l u des types suvats : Groupe d élémets fs surfacques Groupe d élémets fs poctuels Groupe d élémets fs léques Groupe d élémets de laso sur élémets léques Groupe d élémets de cotact L esemble des ettés défes c-dessus peuvet être sélectoées par l u des outls cdessous : Sélecto Sélecto par lge brsée Les groupes d élémets peuvet égalemet être sélectoés par l u des deu autres outls de sélecto suvats : Sélecto par couleurs Sélecto de groupes par leur om Mallage de régos Cet outl permet la réalsato automatque du mallage des régos sélectoées. L actvato de cet outl etraîe l affchage d ue boîte de dalogue permettat le réglage des élémets suvats : Type d terpolato des élémets géérés L utlsateur peut c chosr s les tragles ou quadrlatères géérés aurot ue terpolato léare (tragles à tros œuds et quadrlatères à quatre œuds ou quadratque (tragles à s œuds ou quadrlatères à hut œuds. Type des élémets géérés L utlsateur peut c chosr le type des élémets géérés (tragle, quadragle ou dfféret. Mallage e élémets quadragles de régos régulères 7

145 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Réalser le mallage de régos surfacques. Sélectoer l esemble des régos surfacques que l o souhate maller.. Actver l outl «Mallage de régos surfacques». 3. Défr le type d terpolato (léare ou quadratque des élémets à géérer. 4. Défr le type des élémets géérés (tragle, quadragle ou dfféret.. 5. Modfer évetuellemet le procédé de mallage chos par défaut. 6. Actver les boutos «Applquer» ou «Valder» pour réalser le mallage des régos surfacques sélectoées. VII.7 ETAPE 4 : INITIATION DU MODELE ET PROPRIETES Les modules «précédets» ous ot perms de défr ce que ous avos coveu d appeler u mallage «eutre». Ce mallage eutre est essetellemet caractérsé par les élémets suvats : Ue lste de œuds, Ue lste d élémets fs (poctuels, surfacques, typés par leur géométre mas pas par la ature du problème physque à résoudre, Ue lste de groupes d élémets. Sur la base d u même mallage eutre, l est possble de défr pluseurs «modèles». A ttre d eemple, l sera as possble de créer u premer modèle permettat la résoluto d u problème de dffuso thermque pus u autre modèle permettat l aalyse d u comportemet mécaque. De maère géérale, u modèle sera caractérsé par les élémets suvats : U domae d applcato (Statque, hydrogéologe, thermque,, Le «module de calcul» cosdéré, Les «proprétés» des élémets fs du modèle cosdéré, U ou pluseurs esembles de codtos au lmtes (codtos sur les coues prcpales du problème, U ou pluseurs esembles de codtos de «chargemet», U esemble de doées caractérsat le module de calcul chos. La lste ehaustve des los de comportemet et proprétés utlsables sot défes das le mauel d'utlsato du "solveur" CESAR-LCPC. 8

146 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII VII.8 ETAPE 5 : DONNEES D INITIATION DU MODELE CHOISI Nous avos vu das «Italsato d u modèle» qu l coveat d assocer u «type d talsato» à chaque modèle. Nous dstguos les quatre types d talsatos c-dessous : Pas d talsato. Italsato paramètres. Italsato de type «phasage». Italsato de type «reprse». La défto des caractérstques de l talsato chose est réalsée à l ade de l tem correspodat das le meu «Modèle». Notos c que l ttulé de cette opto de meu repred le type d talsato chos das l talsato du modèle. Das le cas partculer ou le modèle cosdéré e réclame aucue talsato, cette opto de meu est «o accessble». Le foctoemet de certas modules de calcul réclame la défto de «valeurs tales». Das le cas d u module de calcul permettat par eemple la résoluto d u problème dyamque, l covedra as de défr au mmum les déplacemets et vtesses tau assocés à chacu des œuds du modèle. L actvato de l opto Italsato paramètres etraîe : L affchage d ue boîte à outls permettat l'talsato des paramètres cosdérés pour le modèle courat. L affchage das la zoe graphque de l écra d'ue vue représetat le modèle cosdéré. Notos c que les paramètres tau e sot pas vsualsés eplctemet de maère graphque. Quel que sot le module de calcul assocé au modèle cosdéré, la boîte à outls permettat l talsato des paramètres compred les élémets c-dessous. 9

147 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Ue lste à cho multple permet de chosr le paramètre à talser das la lste assocée au module de calcul du modèle courat. A ttre d'eemple, das le cas partculer du module CSLI, cette lste à cho multple proposera les paramètres : Déplacemet Cotrate Charge VII.9 ETAPE 6 : CONDITIONS AUX LIMITES Le cho de l opto Codtos au lmtes etraîe l actvato d'u module permettat de défr les caractérstques de l esemble de codtos au lmtes courat. L actvato de cette opto etraîe : L affchage d ue boîte à outls permettat la défto des codtos au lmtes pour l esemble courat. L affchage das la zoe graphque de l écra d'ue vue représetat le modèle avec les codtos au lmtes déjà défes. Comme le motre la fgure c-dessus, la boîte à outls est as décomposée e autat d ettés qu l y a de problèmes physques élémetares pour le module de calcul cosdéré. 30

148 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII A u stat doé, u seul problème physque élémetare est «actf». Le fat de clquer sur le bouto d actvato d u problème physque élémetare etraîe : L actvato des outls assocés au problème élémetare chos. La «désactvato» des outls assocés au autres problèmes physques élémetares. L affchage das la zoe graphque des codtos au lmtes assocées au problème physque élémetare actf. VII.0 ETAPE 7 : CAS DE CHARGES Pour u modèle doé, l est das certas cas possble de défr pluseurs «cas de charges». Le cho de l opto Modèle / Défto cas de charge etraîe l actvato d'u module permettat de défr les caractérstques du cas de charge courat. L actvato de cette opto etraîe : L affchage d ue boîte à outls permettat la défto des codtos de charge pour le cas courat. L affchage das la zoe graphque de l écra d'ue vue représetat le modèle avec les codtos de charge déjà défes. Das le cas partculer où le domae d applcato assocé au modèle cosdéré est de type «Problèmes couplés», l covet de défr des codtos de charge correspodat chacue à u «problème physque élémetare». A ttre d eemple, la résoluto d u problème de cosoldato (Modules CSLI et CSNL suppose la prse e compte des deu problèmes physques élémetares «Mécaque» et «Hydrogéologe». Pour ter compte de cette évetuelle multplcté de problèmes physques élémetares, la boîte à outls permettat la défto d u cas de charge aura la forme défe cdessous. 3

149 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII Comme le motre la fgure c-dessus, la boîte à outls est as décomposée e autat d ettés qu l y a de problèmes physques élémetares pour le module de calcul cosdéré. A u stat doé, u seul problème physque élémetare est «actf». Le fat de clquer sur le bouto d actvato d u problème physque élémetare etraîe : L actvato des outls assocés au problème élémetare chos. La «désactvato» des outls assocés au autres problèmes physques élémetares. L affchage das la zoe graphque des codtos de charge assocées au problème physque élémetare actf. VII. ETAPE 8 : EXPLOITATION DES RESULTATS Ce module permet la vsualsato graphque des prcpau résultats obteus pour le "modèle courat" cosdéré. Peuvet être as représetés les résultats apparteat au types suvats: Déformée du modèle (cas des problèmes mécaques, Vecteurs, Teseurs, Isovaleurs, Efforts das les élémets de type poutre et barre. Sur ue même vue, ces résultats peuvet être superposés. Il est as possble de vsualser à ttre d'eemple les sovaleurs assocées à u crtère doé, les cotrates prcpales, le tout sur la structure représetée e posto déformée. 3

150 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VII L'opto "Cho des vsualsatos" permet la sélecto des types de résultats à vsualser. Pour chaque type de résultats, l est possble de régler u certa ombre de paramètres tels que : Cho de l'etté à vsualser (type du vecteur, teseur, scalare pour sovaleur,, Echelles, Palettes de couleurs, U outl spécalsé est dédé pour défr les paramètres assocés à chaque type de résultat. Ces réglages serot as défs par l'termédare des outls : Optos déformée du modèle (cas des problèmes mécaques, Optos vecteurs, Optos teseurs, Optos sovaleurs, Optos efforts das les élémets de type poutre et barre. 33

151 Chaptre VIII Valdato du logcel CESAR-LCPC et applcatos Chaptre VIII Valdato du logcel cesar-lcpc et applcatos Mémore de magstère Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes..

152 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Chaptre VIII RESULTATS DES CALCULS VALIDATION DU LOGICIEL CESAR-LCPC ET APPLICATIONS VIII. INTRODUCTION Pour valder le logcel «CESAR-LCPC», ous avos procéder à l eécuto de pluseurs eemples ssus de la lttérature, esute le logcel a été utlsé pour aalyser la stablté de petes. D ue maère géérale, das ue modélsato umérque preat compte u modèle élastoplastque, l élastcté joue pluseurs rôles mportats, pour cela la premère eécuto a été effectuée sur des calculs e élastcté léare qu représete la premère étape dspesable das la vérfcato d u code de calcul par élémets fs et le cotrôle de doées (chargemet, codtos au lmtes, etc.. La deuème applcato cocere l aalyse de la stablté des petes preat e compte u modèle élastque parfatemet plastque (MCNL pour cela quatre (04 calculs ot été effectués, ls coceret l applcato de forces repartes sur u massf de sol (Smth et Grffths, 988, u calcul cocerat u massf chargé symétrquemet ( pour valder le logcel CESAR-LCPC (calcul de cotrates et des déformatos, pluseurs calculs de stablté de talus soums à u chargemet uformémet réparte avec les paramètres C (la cohéso, et φ(l agle de frottemet varables. U calcul ou C, φ, E, γ, ρ, et ψ sot costats. Détermato du coeffcet de sécurté par les méthodes détermstes suvates - La méthode smplfée de BISHOP ; - La méthode de FELLENIUS ; - La méthode des traches ; - Et la méthode de JUMBU. E utlsat les résultats doés par le logcel CESAR-LCPC. 35

153 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII VIII. VALIDATION DU LOGICIEL CESAR VIII.. Présetato de l eemple Le premer eemple est relatvemet smple. Il est tré de l ouvrage «Programmg the fte elemet method» (Smth et Grffths, 988.Le but cosste à comparer les résultats de calcul e termes de déplacemets et de cotrates, e élastcté léare, détermés avec CESAR à ceu trouvés par Smth et Grffths. La géométre, le mallage et les caractérstques du mleu sot motrés sur la fgure VIII. Lge de coupe U=0 U=0 9.0 m E=0 6 KN/m ν=0.3 γ=0 U=V=0 6.0 m Fgure VIII. Géométre, mallage et proprétés mécaques du massf étudé 36

154 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII VIII.. Résultats Les résultats des calculs effectués sot cosgés das le fcher préseté c après, et das les fgures VIII., llustre les déplacemets vertcau de chaque œud de la lge de coupe. La comparaso de ces résultats avec ceu doés das la référece (Smth et Grffths, 988 motre ue boe cocordace (tableau, ce qu dque le bo déroulemet des calculs. Tableau VIII. Déplacemets vertcau des œuds Les déplacemets vertcau Nœuds Smth et Grffths CESAR-LCPC E E E E E E E E E E-05 Fgure VIII. Déplacemets vertcau de la lge de coupe 37

155 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Fgure VIII.3 Déplacemets horzotau (u des œuds du massf Fgure VIII.4 Déplacemets vertcau des œuds du massf 38

156 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Fgure VIII.5 Cotrates de csallemet mamales des œuds du massf Fgure VIII.6 Cotrates prcpales S des œuds du massf 39

157 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Fgure VIII.7 Cotrates prcpales S des œuds du massf VIII.3 DEUXIEME APPLICATION : TALUS EN REMBLAI VIII.3. Présetato de l eemple La deuème applcato cocere le calcul des déplacemets et des cotrates d u talus e rembla soums à u chargemet uformémet répart e focto de la cohéso du sol C et l agle de frottemet ϕ qu varet d u élémet à u autre. La géométre du problème et les proprétés mécaques reteues sot représetées sur la fgure VIII.8. Le comportemet du sol est décrt par u modèle élasto-plastque utlsat le crtère de Mohr coulomb avec ue règle d écoulemet assocée.les calculs ot été effectués avec les mêmes caractérstques d élastcté et le même crtère de plastcté de Mohr coulomb. Le mallage gééré est représeté sur la fgure VIII.8, l comporte u ombre total de œud égal à 49 et u ombre total d élémets égale à 848 etre élémets quadrlatères à hut(08 œuds et élémets tragulares à s (06 œuds. Les crémets de charge sot : 4MN/m 3, 8MN/m 3, MN/m 3 40

158 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Charge Q, ρ= 0MN/m 3, E=00 KPA, ν=0.3, C=0MN/m, φ=, ψ=30 Fgure VIII.8 Géométre et Mallage gééré par CESAR-LCPC d u talus e rembla VIII.3. Résultats Le prcpal résultat de calculs effectué par «CESAR-LCPC»est résumé sur la fgure VIII.0, selo la lge de coupe représetée sur la fgure VIII.9. Lge de coupe Fgure VIII.9 Représetato de lges de coupe pour le massf étudé 4

159 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Lge de coupe Fgure. VIII.0 Déplacemets horzotau pour les tros cas de charge VIII.4 CALCUL DETERMINISTE : TALUS EN REMBLAI VIII.4. Présetato de l eemple Pour ce calcul, ous avos étudé u modèle détermste avec ue lo de comportemet Mohr Coulomb sas écroussage, la géométre et les caractérstques mécaques sot représetées sur la fgure VIII.. CESAR-LCPC ous doe après troducto des doées du problème : les déplacemets (u et v les cotrates à mporte quel pot du massf. Charge Q=0.MN/m, ρ= 000kg/m 3, E=00 KPA, ν=0.3, C=9.9MN/m, φ=30.5, ψ=5 Fgure VIII. Géométre et Mallage gééré par CESAR-LCPC d u talus e rembla 4

160 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII VIII.4. Résultats Les résultats du calcul effectué par «CESAR-LCPC»sot résumés sur les fgures VIII. à VIII.5, selo la lge de coupe où les déplacemets sot mamum, représetée sur la fgure VIII.9. Fgure VIII. Evoluto des déplacemets horzotau sur la lge de coupe Fgure VIII.3 Evoluto des déplacemets vertcau sur la lge de coupe 43

161 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Fgure VIII.4 Evoluto des cotrates S sur la lge de coupe Fgure VIII.5 Evoluto des cotrates S sur la lge de coupe 44

162 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII VIII.4.3 Iterprétato des résultats Le calcul permet de détermer les valeurs de déplacemets (U et V et les cotrates, e tout pots de mallage motré sur la fgure VIII.9, choss pour l étude de comportemet du massf du sol. Les résultats obteus sot résumés sous forme des courbes des fgures VIII. à VIII.5, qu représete l ue ou l autre des relatos suvates : Evoluto du déplacemet horzotal U selo la lge de coupe, Evoluto du déplacemet vertcal V selo la lge de coupe, Evoluto des cotrates S selo la lge de coupe, Evoluto des cotrates S selo la lge de coupe, a Les déplacemets horzotau U L eame de l évoluto du déplacemet horzotal U e focto de la logueur de la lge de coupe du massf (fgure VIII., appelle les observatos suvates : - La courbe sut ue allure régulère, la valeur ma des déplacemets U est eregstrée au vosage de 55m, du au chargemet. - Les déplacemets sot uls au ecastremets latérau. b Les déplacemets vertcau V L eame de l évoluto du déplacemet vertcal V e focto de la logueur de la lge de coupe du massf (fgure VIII.3, appelle les observatos suvates : - La courbe sut ue allure régulère, la valeur ma des déplacemets V est eregstrée au vosage de 45m, du au chargemet. c Les cotrates S L eame de l évoluto des cotrates S e focto de la logueur de la lge de coupe du massf (fgure VIII.4, appelle les observatos suvates : - La courbe sut ue allure régulère, la valeur ma des cotrates S est eregstrée au vosage de 45m, du au chargemet. - Les cotrates sot ulles à partr de 75m, ce qu eplque la o mplcato de cette parte de massf. d Les cotrates S L eame de l évoluto des cotrates S e focto de la logueur de la lge de coupe du massf (fgure VIII.5, appelle les observatos suvates : - La courbe sut ue allure régulère, la valeur ma des cotrates S est eregstrée au vosage de 45m, du au chargemet. VIII.5 TROISIEME APPLICATION VIII.5. Présetato de l eemple Pour les calculs, ous avos étudé s modèles avec ue lo de comportemet Mohr Coulomb sas écroussage et pour chaque modèle o a trodut 40 valeurs de C et 40 valeurs de φ, C et φ des valeurs géérées aléatoremet par ue lo ALEA (*(b-aa (vor tableau VIII., tout e gardat les autres caractérstques (E, ρ, ν et ψ et la géométre du massf costates. CESAR-LCPC ous doe après troducto des doées du problème : les déplacemets (u et v les cotrates à mporte quel pot du massf, et o utlse ces résultats pour calculer les coeffcets de sécurté par dfféretes méthodes à savor : 45

163 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII - La méthode smplfée de Bshop ; - La méthode de Felleus ; - La méthode des traches ; - Et la méthode de Jumbu. Qu ot été programmées par Ecel. VIII.5. Géérato des valeurs aléatores des paramètres C u et φ L étude tratée c suppose les varables C u et φ dépedate. sot : Les valeurs des paramètres sot géérées e utlsat l Ecel. Les paramètres d etrée - Le ombre de trages aléatores : l déped du ombre d élémets hétérogèes du massf de sol dscrétsé et du ombre de smulatos. - Le type de lo de dstrbuto : o a la possblté de chosr ue lo logormale ou ue lo ormale (das ce cas, o dot lmter la lo à des valeurs postves. - Les coeffcets statstques de la dstrbuto du paramètre reteu pour l aalyse probablste de la stablté des petes (la moyee et la varace. Icotourable lorsqu l s agt de gérer des phéomèes aléatores complees, la smulato probablste s mpose égalemet das l esegemet des probabltés et de la statstque ductve parce qu elle permet d aborder ces dscples, réputées théorques et ardues, par la voe de l epérmetato. 46

164 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Le tableau qu sut regroupe deu catégores de los :. les los fodametales de la statstque : de la lo cotue uforme à la lo de Fsher.. les los epoetelles, bêta, gamma et log-ormale, courammet utlsées e aalyse du rsque et e fablté. Tableau VIII.. Les formules d Ecel permettat de géérer des valeurs aléatores compte teu du type de lo et des paramètres statstques 47

165 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII VIII.5.3 Processus de géérato des valeurs aléatores Le processus de géérato de ombre aléatores d u paramètre dot o coaît la lo de dstrbuto théorque sera décrte comme sut : Das le cas précs qu ous téresse (géérato de ombres aléatore e suvat la lo logormale, la démarche est la suvate : - Géérato de ombre aléatore de dstrbuto uforme comprs etre 0 et e utlsat la «lo cotue uforme etre a et b» [=ALEA(*(b-aa] - Smulato de la varable, ormale, de moyee m et de varace σ à l ade de l utltare d aalyse Ecel. - Pour chaque réalsato chaque réalsato j j - y ep( y =. j de, o obtet faclemet Tableau VIII.3 Eemple de géérato de valeurs aléatores E cosdérat ue lo de dstrbuto ormale 48

166 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Fgure VIII.6 Mallage de massf étudé à 40 élémets Pour la méthode smplfée de Bshop le coeffcet de sécurté est calculé par la formule suvate : F S = ( S u j j b j cosθ W sθ Avec : (S u j cotrate de csallemet o draée pour chaque trache, doée par le logcel CESAR. j VIII.5.4 Méthode de BISHOP : programmato et arrve à : F = Avec M j Bshop das sa méthode smplfée suppose que les composates s'aulet deu à deu [ c jb j ( W j u jb j ϕ ] W j sθ ( θ = cosθ j ta ' M ' ( taθ taϕ F j j ( θ 49

167 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII h j Fgure. VIII.7 Forces agssates sur ue trache j, décomposto complète. Par la méthode de BISHOP smplfée F tervet des deu cotés de l'équato et o est doc oblgé de procéder par tératos successves e gééral à partr de F 0 détermé par la méthode de FELLENIUS, jusqu'à la stablsato. Méthode à suvre / Numéro de la trache j / Largeur de la trache b j 3/ Hauteur de la trache h j 4/ Pods de trache w j 5/ Dstace au cetre j 6/ sθ= j /R 7/ θ j 8/ w j sθ j w j j= sθ =momet moteur j (VIII. 9/ Hauteur pézométrque au dessus de la surface de glssemet h j w j 50

168 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII 0/ Presso tersttelle uj=h j w j γw / u j b j / w j -u j b j 3/ (w j -u j b j taφ' (VIII. 4/ c.b (VIII.3 5/ (VIII. (VIII.3 (VIII.4 6/ M j (θ pour ue valeur supposée de F (de par eemple (VIII.5 7/ (VIII.3 :(VIII.4 Σ (7=momet résstat (VIII.6 8/ Calcul de F = (VIII.6 :(VIII. 9/ M j (θ pour F (VIII.7 0/ (VIII.4 :(VIII.7 Σ (0=momet résstat (VIII.8 / Calcul de F = (VIII.8: (VIII. Comparer F et F, S F suffsammet pett OK, S o recalculer M j (θ etc. VIII.5.5 Méthode smplfée de Bshop. Sol Homogèe Les caractérstques mécaque et géométrque du sol étudé sot résumées das le tableau suvat VIII.4 Tableau VIII.4 Caractérstques mécaque et géométrque du sol étudé s u 30 kpa φ' 33 deg. γ w 9,8 kn/m 3 γ sat 8 kn/m 3 z cr 3,33 m z s 4 m FS,06 assumé β b R z z w θ E jectat les valeurs du tableau VIII.4 das la formule de Bshop doée précédemmet, ous obteos les résultats doés par le tableau VIII.5. 5

169 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Tableau VIII.5 Calcul du coeffcet de sécurté par Bshop A log terme à court terme Trache b z W=γbz z w r u θ m j Wsθ W ( - r u taφ' m j s u b/cosθ m m kn m deg,5 3,65 64,3 0 0, ,95 39,3 0,6 4,5,5 7,63 343,4 0 0, ,88 5, 97,3 0,0 3,5 9,5 48,0 0 0, ,86 57,5 38, 93,9 4, ,0 0 0,00 7 0,86 04,3 50,0 84, 5,5 9,96 448, 0 0,00 0 0,87 53,3 53,3 79,8 6,5 9,5 47,5 0 0,00 0,9 8,6 5,7 76,4 7,5 8,67 390, 0 0,00 4 0,96 7, 43,6 75, 8,5 7,49 337, 0 0,00 0,00 0,0 8,9 75,0 9,5 5,97 68,7 0 0,00-8,0-37,4 9,8 75,7 0,5 4, 84,5 0 0,00-6,6-50,9 5, 78,0,5,46 0,7 0 0,00-5,54-46,8,0 8,8,5 0,97 43,7 0 0,00-3,85 -,5 5,3 87,5 Somme 956,8 6,8 060,0. Sol à tros couches FS,36, Tableau VIII.6 Caractérstques mécaque et géométrque du sol étudé Sol Sol Sol 3 uté s u kpa φ' deg. γ w 9,8 kn/m 3 γ sat 8 7,5 7 kn/m 3 FS,0 assumé Tableau VIII.7 Calcul du coeffcet de sécurté par Bshop Trache b z z z 3 W=γbz z w θ Wsθ s u b/cosθ m m m m kn m deg 4, , -3-34,5 59,7,5,3,3 0 60,4 3,6-0 -7,8 76, 3,4, 0 63,4 4,6 0 0,0 60,0 4 3,6 0 98, ,0 60,7 5 0,9 4,,5 6,9 5,5 7 66,3 6,7 6 0,8 4, 40,3 5,3 9 6,5 68, ,7 3, 34,9 4,5 39,5 49,4 08,9 8,5 0,5 3,8 7,,9 49,5 7,7 6,7 9,6 0 0,6 43,5 0, 65 39,4 9,6 FS,9 Somme 53, 978, 5

170 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII VIII.5.6 La méthode de Jambu Sol à deu couches Tableau VIII.8 Caractérstques mécaque et géométrque du sol étudé Sol Sol φ' 9 33,5 deg. γ w 9,8 kn/m 3 γ sat 0 0 kn/m 3 d 4,5 m l,5 d/l 0,39 f o,06 FS,04 assumé Tableau VIII.9 Calcul du coeffcet de sécurté par Jumbo Trache b z z W=γbz θ m j Wtaθ Wtaφ' cosθ m j m m m kn deg 0,7 68,0-45 3,03-68,0 80,7 3,5,5 35,0 0,00 0,0 74,6 3 4,3,0 45 0,9,0 76,7 4,9 0,5 45,0 59,9 0,95 50, 45,7 VIII.5.7 Méthode de FELLENIUS FS,0 Somme 394, 377,7 Tableau VIII.0 Calcul du coeffcet de sécurté par Felleus Trache b z W=γbz z w θ C'b Wsθ Wcosθtaφ'(-cosθ m m kn m deg,5 3,65 8, ,75 54,8 6,78,5 7,63 38,5 3, ,75 79,0 48,74 3,5 9,5 475,5 4, ,75 86, 45,04 4, , ,75 7,0 8,60 5,5 9,96 498,0 5,5 0 74,75 70,3 6,6 6,5 9,5 475,0 5,3 74,75 90,6 5,05 7,5 8,67 433,5 4,5 4 74,75 30, 0,6 8,5 7,49 374,5,9 0 74,75 0,0 0,00 9,5 5,97 98,5 0, -8 74,75-4,5,69 0,5 4, 05, ,75-56,5 4,50,5,46 3, ,75-5,0 6,5,5 0,97 48, ,75-5,0 3, , 87,9 FS,0 53

171 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII VIII.5.8 Comparaso calcul détermste au calculs probablstes Itroducto -O a réalsé u calcul détermste ou o a utlsé ue moyee arthmétque des valeurs des paramètres C (cohéso et φ (agle de frottemet C = C = et ϕ = = & ϕ U massf ou o a trodut ue seule valeur de C, φ, E, ρ, ν et ψ pour tout les élémets du rembla. - Et des calculs probablstes, pluseurs calculs et das chaque calcul, o a gardé les valeurs de E, ρ, ν et ψ costates das tout le massf, et o a jecté les valeurs géérées de C et φ das chaque élémet du massf, e tout 400 valeurs trodutes mauellemet faute de o matrse de la programmato das Cesar. Présetato des résultats Les fgures VIII., VIII.3, VIII.4, et VIII.5 motret l évoluto des déplacemets U, V, et les cotrates S, et S le log du massf. (Calcul détermste Les fgures VIII.3 à VIII.30 motret l évoluto de la moyee et l écart type des déplacemets U, V, et les cotrates S et S le log du massf. (Calculs probablstes O remarque que l allure des graphes du calcul détermste et l allure des graphes des calculs probablstes se ressemble éormémet et que la soluto probablste dffère sesblemet de la soluto détermste. 54

172 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Sythèse Graphque de Cu Médae, Iterv alle Iter-quartles & Iterv alle No-Aberrat Moyee & Itervalle de Cof ace à 95% Moyee & Iterv alle de Prév so à 95% Shapro-Wlk p: /a Moyee: 9,55 Ecart-type: 3,59 Varace: 85 Err-Type Moy. 0,458 Asymétre: 0,037 N Actfs: 880 Mmum: -,8 Quartle If. 0,46 Médae: 9,60 Quartle Sup. 38,75 Mamum: 70,7 IC à 95% de l'ecart-type If.,98 Sup. 4,6 IC à 95% de la Moyee If. 8,65 Sup. 30,45 Prévsos à 95% de l'obs. If.,860 Sup. 56,4 Fgure VIII.8 Lo de dstrbuto du paramètre C Sythèse : Cu 300 K-S d=,06, p>.0; Lllef ors p>.0 Courbe Normale Théorque 4 3 Drote de Hery : Cu Nombre d'observatos V. Normale Théorque X <= Bore de catégore Valeur Stats de Sythèse : Cu N Actfs=880, % Obs. Valdes=00, Moyee= 9,54793 Coface -95,000%= 8, Coface 95,000= 30, Médae= 9, Mode=, Fréquece du Mode=, Somme=600,63630 Mmum=-,79985 Mamum= 70,73870 er Quartle= 0, ème Quartle= 38, Cetle 0,00000=,79840 Cetle 90,00000= 46,94 Varace=84, Ecart-type= 3, Ec-type Cof. -95,000%=,98343 Ec-type Cof. 95,000%= 4,56549 Coef.Var.= 45,99309 Erreur Type= 0,4580 Asymétre= 0,03664 Aplatssemet= -0, Fgure VIII.9 Lo de dstrbuto du paramètre Cu Cu Médae = 9,605 5%-75% = (0,460, 38,7538 M-Ma = (-,8, 70,739 55

173 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Dstrbuto du paramètre φ Médae, Iterv alle Iter-quartles & Iterv alle No-Aberrat Moy ee & Iterv alle de Cof ace à 95% Moy ee & Iterv alle de Prév so à 95% Shapro-Wlk p: /a Moyee: 30,34 Ecart-type: 6,6 Varace: 37,96 Err-Type Moy. 0,08 Asymétre: 0,037 N Actfs: 880 Mmum:,38 Quartle If. 6, Médae: 30,37 Quartle Sup. 34,5 Mamum: 48,76 IC à 95% de l'ecart-type If. 5,886 Sup. 6,463 IC à 95% de la Moyee If. 9,93 Sup. 30,75 Prévsos à 95% de l'obs. If. 8,4 Sup. 4,44 Fgure VIII.0 Los de dstrbuto du paramètre φ Sythèse : F Nombre d'observatos K-S d=,06, p>.0; Lllef ors p>.0 Courbe Normale Théorque X <= Bore de catégore V. Normale Théorque Drote de Hery : F Valeur Stats de Sythèse : F N Actfs=880, Moyee= 30, Mmum=,37753 Mamum= 48, Ecart-type= 6,69 F Moyee = 30,3404 Moyee±Ecart-Type = (4,79, 36,506 Moyee±,96*Ecart-Type = (8,644, 4,464 Fgure VIII. Los de dstrbuto du paramètre φ 56

174 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII 350 Hstogramme : F K-S d=,06, p>.0; Lllefors p>.0 Courbe Normale Théorque 300 Nombre d'observatos X <= Bore de catégore Fgure VIII. Lo de dstrbuto du paramètre φ Hstogramme de valeurs géérées de φ Moyee des U (mm Logueur (m Fgure VIII.3 Moyee des déplacemets horzotau U 57

175 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII 0 Ecart type des U(mm Logueur (m Fgure VIII.4 Ecart type des déplacemets horzotau U 00 Moyee des V (mm Logueur (m Fgure VIII.5 Moyee des déplacemets vertcau V 58

176 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Ecart type des V (mm Logueur (m Fgure VIII.6 Ecart type des déplacemets vertcau V 0,3 Moyee des cotrates S(MN/m 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0-0, , Logueur (m Fgure VIII.7 Moyee des cotrates S 59

177 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII 0,7 Ecart typa des cotrates S(MN/m 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Logueur (m Fgure VIII.8 Ecart type des cotrates S Moyee des cotrates S (MN/m 0-0, -0, -0,3-0,4-0,5-0,6-0,7-0,8-0, Logueur (m Fgure VIII.9 Moyee des cotrates S 60

178 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII,4 Ecart type des cotrates S (MN/m, 0,8 0,6 0,4 0, Logueur (m Fgure VIII.30 Ecart type des cotrates S VIII.6 QUATRIEME APPLICATION VIII.6. Calcul de stablté d u talus par ABAQUS Cet eemple llustre l'utlsato du modèle de matérau artculée au cotete des applcatos géotechques. Nous eamos la stablté de l'ecavato d'ue parte d'ue masse rocheuse fracturée, lassat u talus e pete. Ce problème est essetellemet chos comme u cas de vérfcato, car l a été étudé précédemmet par Barto (97 et Hoek (970, qu a utlsé des méthodes d'équlbre lmte, et par Zekewcz et Pade (977, qu ot utlsé u modèle d'élémets fs. VIII.6. Géométre et modèle Le modèle de déformato plae aalysée est motré das la Fgure VIII.3 as que la géométre et les proprétés des matérau d'ecavato. La masse de roche cotet deu séres de plas de fablesse: u seul esemble de jots vertcau et u jeu de jots clé. Nous partos d'u état o ul de cotrate. Das ce problème, cela cosste e ue cotrate vertcale qu augmete léaremet avec la profodeur pour équlbrer le pods de la roche: ue telle cotrate est assez courammet recotrée das la géotechque. Les actfs "chargemet" se composet d'u elèvemet de matère à représeter l'ecavato. Il est clar que, avec u 6

179 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII autre état de cotrates tales, la répose du système serat dfférete. Cec llustre la écessté de l'aalyse o léare das des applcatos géotechques, la répose d'u système etere "chargemet" déped de l'état du système lors de cette séquece le chargemet commece (et, par eteso, à la séquece de chargemet. Nous e pouvos plus peser à la superposto des cas de charge, comme cela se fat das ue aalyse léare. Foulles géotechques pratques mplquet ue sére d'étapes, das chacue desquelles ue parte de la masse de matérau est elevé. Cet eemple est quelque peu académque, e ce que l'o e recotre pas ce veau de completé. Au leu de cela, sute à l'utlsato des auteurs précédets de l'eemple, ous supposos que l'ecavato etère se produt smultaémet. VIII.6.3 Résultats et dscusso Das ce problème, ous eamos l'effet de la cohéso commue sur l'effodremet de talus à travers ue séquece de solutos avec des valeurs dfféretes de la cohéso, avec tous les autres paramètres mateus fes. La fgure VIII.3 motre la varato des déplacemets horzotau que la cohéso est rédute à la crête de la pete (pot A de la fgure VIII.3 et à u seul pot du ters de la hauteur de la pete (pot B de la fgure VIII.3. Ce graphque suggère que la pete s'effodre s la cohéso est féreure à 4 kpa pour le cas des flu assocés ou féreure à 6 kpa pour le cas de l'écoulemet o assocé. Ces valeurs coïcdet be avec la valeur calculée par Barto (6 kpa. Hoek calcule ue valeur de cohéso de 4 kpa pour l'effodremet de la pete. Zekewcz et Pade assumer, les jots ot ue résstace à la teso d'u dème de la cohéso et de calculer la valeur de cohéso écessare à l'effodremet de 3 kpa pour les flu assocés et 5 kpa pour l'écoulemet o 6

180 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII dlatat. Fgure. VIII. 3 Le modèle de déformato, la géométre et les proprétés des matérau d'ecavato. 63

181 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Fgure VIII.3 La varato des déplacemets horzotau e focto de la cohéso au pots A, et B à la crête de la pete 64

182 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII 65

183 Méthodes stochastques de calcul de stablté des petes Chaptre VIII Fgure VIII.33 Géométre et codtos au lmtes du massf étudé Fgure VIII.34 Déplacemets horzotau doés par ABAQUS Fgure VIII. 35 Déplacemets horzotau doés par CESAR 66