AVERTISSEMENT. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction encourt une poursuite pénale. LIENS

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1 AVERISSEMEN Ce oumen es le fru 'un long raval approuvé par le ury e souenane e ms à sposon e l'ensemble e la ommunaué unversare élarge Il es soums à la propréé nelleuelle e l'aueur Ce mplque une oblgaon e aon e e référenemen lors e l ulsaon e e oumen D'aure par oue onrefaçon plaga reprouon enour une poursue pénale lle Cona : o-eses-ona@unv-lorranefr LIENS Coe e la Propréé Inelleuelle arles L 22 4 Coe e la Propréé Inelleuelle arles L L 335 p://wwwfopesom/v2/leg/leg_ropp p://wwwuluregouvfr/ulure/nfos-praques/ros/proeonm

2 HÈSE Présenée à L UNIVERSIÉ PAUL VERLAINE-MEZ UFR Maémaque Informaque Méanque e Auomaque Pour obenr le grae e Doeur e l Unversé Paul Verlane e Mez Spéalé : Auomaque Par URKI Saok Impa u éla e lvrason sur le nveau e sok : une approe basée sur la méoe IPA Souenue le 7 éembre 2 evan le ury omposé e : Pr Abella EL MOUDNI Pr Xaolan XIE Dr Plppe HOMAS Dr Naoufel CHEIKHROUHOU Pr Naale SAUER Dr Sope HENNEQUIN Professeur à l UBM Belfor Rapporeur Professeur à l ENSM San-Eenne Rapporeur Mare e onférenes à l Unversé e Nany II Examnaeur Collaboraeur senfque à l EPFL Lausanne Examnaeur Professeur à l'unversé Paul Verlane Mez Dreeur e èse Maîre e Conférenes à ENIM Mez Co-enaran

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4 able es maères Lse es fgures Lse es ableaux v Noaons v Inrouon générale Capre : Généralé e éa e l ar 3 Inrouon 3 2 Sysèmes e prouon 3 2 Inrouon 3 22 Défnon 3 23 Moélsaon un sysème e prouon 6 23 Les fles aene Les réseaux e Per Les moèles à flux sres Les moèles à flux onnus Conluson 24 Conranes nusrelles 25 Prse e éson pour ploer un sysème e prouon 26 Conluson 3 Evaluaon es performanes e opmsaon 3 Inaeurs e performanes 2 32 Smulaon es sysèmes 4 33 Méoes analyques 5 34 Analyse e sensblé 6 35 La méoe analyse es perurbaons 7 35 Prnpe e l analyse es perurbaons Analyse es perurbaons nfnésmale 9 36 Analyse es perurbaons nfnésmale applquée à l opmsaon 2 37 Conluson 2 4 Conluson 22 Capre 2 : Moèle à flux onnus ave prse en ompe un éla e lvrason onsan 23 2 Inrouon Sysème e prouon onséré Eue es raeores Opmsaon basée sur la méoe IPA Esmaeurs IPA Algorme opmsaon Résulas numérques 43

5 25 Conluson 45 Capre 3 : Applaon e la méoe IPA sur un moèle à flux sres un sysème e prouon ave un éla e lvrason onsan 46 3 Inrouon Sysème e prouon onséré Eue es raeores Opmsaon basée sur la méoe IPA Esmaeurs IPA Algorme opmsaon Résulas numérques Conluson 76 Capre 4 : Méoe IPA e Moèles à Flux pour un sysème e prouon ave es élas e lvrason aléaores 78 4 Inrouon Moèle à flux onnus Moèle à flux sres 8 44 Analyse es Perurbaons Infnésmales Analyse es Perurbaons Infnésmales pour le moèle à flux onnus Analyse es Perurbaons Infnésmales pour le moèle à flux sres Esmaeurs IPA Moèle à flux onnus Moèle à flux éres Impa es unés e oû s s - r e s sur le sok opmal Comparason u moèle à flux sres e moèle à flux onnus 46 Eue e la fonon e oû pour le moèle à flux onnus 462 Eue e la fonon e oû pour le moèle à flux sres Conluson e l éue e la fonon e oû 2 47 Conluson 3 Conluson générale 4 Bblograpes 8 Annexe 6 Annexe 2 32

6 Lse es fgures Fgure : Représenaon grapque un sysème e fles aene smple 6 Fgure 2: Fononnemen général e PA 8 Fgure 2: Sysème e prouon ave un éla e lvrason onsan 24 Fgure 22 : Déalage enre le nveau u sok pour la raeore perurbée e elu pour la raeore nomnale 28 Fgure 23 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée exemple 29 Fgure 24 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée exemple 2 29 Fgure 25 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée eux yles en alernane 3 Fgure 26 : Déalage zone 32 s s s v Fgure 27 : Déalage zone 33 Fgure 28 : Déalage zone 33 Fgure 3 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée as A 5 Fgure 32 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée as B 5 Fgure 33 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée eux yles en alernane 5 Fgure 34 : Fonon e oû moyen C ex en fonon e 73 Fgure 4 : Sysème e prouon ave emps e lvrason aléaore 79 Fgure 42 : zone 84 v v Fgure 43 : C f 2 Fgure 44 : C f 2 ex ex sra ex v v Fgure : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée as C 7 Fgure 2 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée as D 7

7 Lse es ableaux ableau 2 : Impa u éla e lvrason sur as 44 ableau 22 : Impa u éla e lvrason sur as 2 44 ableau 3 : Evénemens pobles à l nsan n 54 ableau 32 : Impa u éla e lvrason sur as 74 ableau 33 : Impa u éla e lvrason sur as 2 75 ableau 34 : Comparason es résulas onnés par les moèles à flux sres e onnus résulas orresponan au as 75 ableau 4 : Impa es oûs s s - r e s sur ableau 42 : Impa es oûs s s - r e s sur ss v

8 Noaons s s r s ex MBF MR Coû unare e sokage Coû unare pour les emanes perues Coû unare e ranspor Coû unare une lvrason en rear Coû unare une lvrason en avane emps e lvrason emps e lvrason planfé Moyenne u emps e bon fononnemen Moyenne u emps e réparaon Moèle à flux sres D Demane len u Vesse e prouon e la mane M à l nsan U Vesse e prouon maxmale y Nombre e pèes qu sor u sok à l nsan x Nveau u sok à l nsan X D Nombre e pèes ransporées à l nsan Sok opmal Nombre e emanes non sasfaes à l nsan s Nombre e pèes arrvan en avane à l nsan r Nombre e pèes qu arrven en rear v

9 C Fonon e oû à l nsan C y u X s r ss C ex C sr C sr Coû moyen penan une péroe e emps Valeur e la perurbaon Insan où le sok es ve pour la raeore perurbée Insan où le sok es ve pour la raeore nomnale Nombre e pèes soran u sok à l nsan pour la raeore perurbée aux e prouon à l nsan pour la raeore perurbée Nombre e pèes ransporées à l nsan pour la raeore perurbée Nombre e pèes arrvan en avane à l nsan pour la raeore perurbée Nombre e pèes qu arrven en rear pour la raeore perurbée ème nsan où le sok pour la raeore perurbée even sauré ème nsan qu annule le éalage enre la raeore nomnale e la raeore perurbée Coû moyen penan une péroe e emps Fonon e oû à l nsan as sysème ave un emps e lvrason planfé Fonon e oû moyen penan une péroe e emps as sysème ave un emps e lvrason planfé Moèle à flux onnus D Demane len u Vesse e prouon e la mane M à l nsan U Vesse e prouon maxmale v

10 x Nveau u sok à l nsan g Nombre e pèes ransporées à l nsan Sok opmal D Nombre e emanes non sasfaes par uné e emps à l nsan P Nombre e emanes non sasfaes à l nsan s Nombre e pèes arrvan en avane à l nsan r Nombre e pèes qu arrven en rear C Fonon e oû à l nsan C a x u g s r D P s s v Coû moyen penan une péroe e emps Valeur e la perurbaon Déalage enre la raeore nomnale e perurbée à l nsan Nveau u sok pour la raeore perurbée à l nsan Vesse e prouon à l nsan pour la raeore perurbée Nombre e pèes ransporées à l nsan pour la raeore perurbée Nombre e pèes arrvan en avane à l nsan pour la raeore perurbée Nombre e pèes qu arrven en rear pour la raeore perurbée Nombre e emanes non sasfaes par uné e emps à l nsan pour la raeore perurbée Nombre e emanes non sasfaes à l nsan pour la raeore perurbée ème nsan pour lequel le sok sur la raeore nomnale even sauré ème nsan pour lequel le sok sur la raeore perurbée even sauré ème nsan pour lequel le sok sur la raeore perurbée even ve e qu annule le éalage enre la raeore nomnale e la raeore perurbée v Derner nsan pour lequel le sok pour la raeore nomnale even ve v

11 enre s e v Ca C a C sr Esmaon éanllonnée u oû moyen pour la raeore nomnale Esmaon éanllonnée u oû moyen pour la raeore perurbée Fonon e oû à l nsan as sysème ave un emps e lvrason planfé v

12 Inrouon générale Lors es ernères éennes u fa une offre supéreure à la emane le omporemen es enreprses a évolué vers es prous ave plus e versfaon e e nombreux serves offers L envronnemen onurrenel auel fa qu l es mpéraf ésormas pour oue enreprse e proure e e lvrer ans es élas prés à es oûs réus en sasfasan es nveaux e serve élevés exgés par les lens Il es on rual que les sysèmes e prouon aen une par es emps e prouon ours e aure par es soks les plus fables poble soks fables pour réure les oûs mas ou e même néessares pour assurer le aux e serve Les enres e prouon qu son e plus en plus élognés es fournsseurs e es lens afn e réure les oûs e man 'œuvre e e maères premères engenren es oûs e ranspor e e sokage élevés C es pourquo le sysème e prouon e sa geson se son mposés auour u omme es oneps lés ans les enreprses Quel que so l angle sous lequel on abore la onepon l organsaon la geson e prouon la logsque le managemen e la geson une aîne logsque es evenue nonournable Son obef : négrer e opmser globalemen les fonons les nveaux e éson e les fférens segmens avés Les progrès enques e éonomques e par onséquen la omplexé rossane es sysèmes e prouon soulèven e plus en plus e nouveaux éfs e e nouvelles problémaques Ce néee l ulsaon e méoes ben aapées pouvan guer le onepeur ans les ox qu'l es amené à fare ans les pases e onepon où elles permeen l'évaluaon a pror es performanes 'un sysème ypoéque que l'on veu mensonner e ans les pases 'exploaon où elles permeen par exemple l'évaluaon e règles e ploage u sysème Les nusrels saven qu ls peuven fare la fférene par rappor à leurs onurrens à ravers une opmsaon globale e leur sysème e prouon Les enreprses oven on êre plus performanes que amas ouours plus nnovanes e plus réaves fae à un maré exgean es enreprses on beson ouls 'ae à la éson apables amélorer sans esse leurs performanes e e garanr leur pérenné fae à une onurrene e plus en plus fore e fae à es onranes nusrelles plus mporanes L axe e nore reere onsse à évelopper une méoologe qu va permere aux enreprses e prenre es ésons fables lors e la onepon e/ou le ploage u sysème e prouon en enfan e moélsan les onranes nusrelles e les pénomènes aléaores Nore rappor s arulera auour e quare apres : Dans le premer apre nous allons présener l éa e l ar qu onerne les sysèmes e prouons l évaluaon e leurs performanes

13 Dans le euxème apre nous allons applquer un moèle à flux onnus à un sysème e prouon onsué par une mane qu peu omber en panne un sok e apaé nfne e un len qu emane à aque nsan une quané e prou La parularé e nore éue sera négrer explemen le emps e lvrason Une méoe appelée analyse es perurbaons nfnésmale sera éuée e applquée à nore moèle Cee méoe sera ulsée pour éermner la valeur opmale u sok qu mnmse la fonon e oû oal Des résulas numérques obenus par un algorme opmsaon seron présenés à la fn e e apre Dans le rosème apre un moèle à flux sres sera applqué au même sysème e prouon que elu éué ans le euxème apre La méoe analyse es perurbaons nfnésmale IPA sera égalemen applquée pour e moèle pour rouver le nveau e sok opmal La parularé e e apre sera l applaon e ee méoe à un moèle à flux sres qu à nore onnassane n a amas éé menée A la fn e e apre nous allons omparer les résulas onnés par l applaon e la méoe IPA sur un moèle à flux onnus euxème apre à eux obenus par l applaon e la méoe IPA sur un moèle à flux sres Nous onsérerons ans le quarème apre un sysème e prouon ave un éla e lvrason planfé enre le len e le proueur En effe nous supposerons que le proueur propose pour le len un éla e lvrason mas u fa es fférens aléas qu peuven se proure au nveau u ranspor le prou sera lvré à l eure en avane ou en rear les élas e lvrason aléaores Le bu e e apre es éuer l mpa es oûs e lvrason sur le nveau e sok opmal La méoe analyse es perurbaons nfnésmale sera égalemen applquée pour les eux ypes e moèles moèles à flux onnus e sres Nous ermnons e mémore par une onluson es ravaux effeués ensue nous égageons es perspeves qu peuven êre éveloppées par la sue ouvran ans e nouvelles voes e proposons ans le bu e poursuvre e raval 2

14 Capre : Généralé e éa e l ar Inrouon Dans e apre nous aborons un éa e l ar es reeres en géne nusrel e plus parulèremen sur le ploage es sysèmes e prouon Ans nous ommençons par présener les sysèmes e prouon ans la premère pare ave leurs élémens araérsques les moèles ulsables pour les représener e les prnpales onranes nusrelles Pus ans la euxème pare nous éuons l évaluaon es performanes qu oue un rôle mporan pour la prse e éson Les prnpales méoes ulsées en évaluaon es performanes son présenées e qu nous perme nroure la méoe e l analyse es perurbaons nfnésmales que nous ulsons pour opmser les sysèmes e prouon onsérés ans nos ravaux 2 Sysèmes e prouon 2 Inrouon Depus les années 97 l offre es supéreure à la emane les enreprses se oven on e séure es lens ouours plus exgeans en agssan foremen sur les élas e lvrason la qualé es prous e ben sûr ou en offran es prx arafs L évoluon rape es marés es enologes e es formes e onurrene mpose un progrès permanen Au œur e es eneux le sysème e prouon oul e ransformaon es maères premères en prous onsommables es un élémen lé pour augmener la prouvé e la ompévé es enreprses nusrelles Dans ee pare nous éfnssons les sysèmes e prouon pus nous présenons les fférens élémens un sysème e prouon Dfférens moèles son présenés à la fn e ee pare 22 Défnon Avan e éfnr un sysème e prouon ommençons par éfnr la fonon prouon elle qu elle es ére ans la léraure La prouon es l une es avés éonomques les plus anennes e raonnelles ans l évoluon e l umané Gar éfn la prouon omme éan une ransformaon e ressoures apparenan à un sysème prouf e onusan à la réaon e bens e e serves Les ressoures peuven êre es équpemens manes es ommes opéraeurs es maères maères premères e omposans es nformaons enques ou proéurales gammes nomenlaures fes opéraores [GIA88] 3

15 Fonanl pour sa par a onné une aure éfnon : «La prouon 'un ben s'effeue par une sueon 'opéraons onsomman es ressoures e ransforman les araérsques morpologques ou spaales e "maères"» [FON99] Gerswn éfn la prouon omme su : «la prouon es la ransformaon es maères en un obe ule e ransférable» [GER94] Dans sa èse Spérano a éfn un sysème e prouon omme une organsaon élémens neragssan ans le bu e réalser es fonons éonomques fnanères soales éermnées L nérê une elle approe es e renre exples une par les relaons enre le sysème e son envronnemen e aure par les relaons enre les fonons exernes es-à-re vs-à-vs u maré u sysème e son organsaon nerne [SPE5] Gerswn éfn un sysème e prouon omme une fonon e prouon qu ransforme les maères premères en un prou fn Il s'ag e la olleon e ous les élémens qu nfluen sur les proessus e prouon els que les manes les moyens e ranspor le sokage les maères maères premères omposans e prous fns ans que les gens qu affeen la quané e la qualé es prous els que les ravalleurs e les lens [GER94] Dans l nusre l exse eux ypes e prouon la prouon srèe e la prouon onnue es eux ypes éan sngués par la moblé es maères uran la prouon En effe la prouon es srèe lorsque la moblé es maères es onsérée omme es enés srèes pèe par pèe par exemple la prouon auomobles e rus éleronques ornaeurs La prouon es onnue lorsque la moblé es maères es onsérée omme un flux onnu par exemple penan le raffnage u pérole l nusre mque Dans e qu su nous allons éaller plus présémen les élémens qu onsuen un sysème e prouon Une mane es un équpemen essenel ans un sysème e prouon permean 'effeuer une ou pluseurs âes sur es prous Pluseurs ypes e mane son éfns omme su : Les manes mono-âe qu ne son apables e réalser qu un seul ype opéraon sur un ou fférens prous Les manes mulâes qu peuven fare pluseurs ypes opéraons fférenes Les manes éées qu fon une ou pluseurs opéraons sur un même prou Les manes assemblage [NOB8] qu réalsen es opéraons assemblage sur pluseurs prous pour obenr un prou unque Les manes e ésassemblage qu fon es opéraons nverses aux manes assemblage Les manes nspeon [COL6] qu on pour âe e onrôler la qualé es prous fabrqués Les maères proues par les manes son généralemen plaées ans un sok 4

16 Un sok es l ensemble es maères premères maranses fournures prous sem-ouvrés prous fns prous en ours emballages e qu apparennen à une enreprse à une ae onnée Les maères qu exsen ans le sok au ours u emps engenren es fras e sokage La apaé un sok [HID98] [GER8] [COC9] peu êre lmée ou llmée Dans un sysème e prouon les soks son ulsés pour absorber les aléas e réguler la prouon Nous pouvons rerouver : Les soks qu onennen pluseurs ypes e prous en mêmes emps appelés soks paragés Les soks qu son ulsés pour soker es prous enre eux opéraons onséuves appelés sok ampons Les soks ouen un rôle mporan ans les sysèmes e prouon Ils permeen e : Fare un équlbre enre la aene e onsommaon e la aene e prouon En effe l n es pas ouours poble e proure quan la emane se manfese En aures mos la prouon e la onsommaon ne oïnen pas ouours ans le emps e l espae D éver la propagaon e ysfononnemens En effe sans la présene es soks un ysfononnemen au nveau un seul se ans un sysème e prouon peu se propager ou au long u sysème Auremen un rear exéuon ans un pose e raval ou un problème e ranspor n arrêera pas mméaemen l ensemble un proessus e prouon s l y a es soks prévus ans e proessus Pour éplaer les prous enre eux soks ou enre une mane e un sok nous avons beson un moyen e ranspor ou e manuenon Un moyen e ranspor ou manuenon es ulsé pour éplaer es prous un enro à un aure Nous pouvons er : Les aros flogués qu permeen assurer le éplaemen un prou un pon quelonque e l aeler à un aure Les robos qu effeuen es éplaemens pour es prous légers Des onvoyeurs qu son ulsés pour le éplaemen e prous lours ou à for éb Les sysèmes e ranspor rouer ferrovare ou aéren [LOL] Ces moyens e ranspor on une apaé ben éermnée nombre e pèes éb un lque Le emps ms par es moyens e ranspor pour éplaer les prous un pon à un aure es appelé emps e ranspor ou e manuenon L ensemble e es fférens élémens manes moyens e ranspor soks formen es aelers e prouon Pluseurs ypes aelers peuven êre éfns omme les lgnes assemblage e/ou e ésassemblage les lgnes en U les ellules e los e prouon e les lgnes e ransfer [GER94] [DOL8] [SOR8] [KHA9] 5

17 Nous avons présené e éué le rôle es élémens qu onsuen un sysème e prouon La moélsaon es un oul qu perme e présener es élémens e leurs omporemens on le bu e smplfer l éue un sysème e prouon Nous allons éuer la moélsaon es sysèmes e prouon ans e qu su 23 Moélsaon un sysème e prouon Ave la monalsaon e la globalsaon es éanges marans l enreprse o auour u fare fae à pluseurs onranes omme les élas la qualé la spéalsaon e la omplexfaon es prous e ou en sasfasan ses lens les ulsaeurs u prou mas égalemen les aonnares e salarés e l enreprse Ces fférenes onranes renen les sysèmes e prouons rès omplexes Il es on rès ffle éuer le omporemen e e omprenre le fononnemen un sysème auel e prouon sans éfnr un bon moèle u sysème qu onsère une par les relaons enre l organsaon nerne e les fonons u sysème e aure par les relaons enre le sysème e son envronnemen [LEM94] D une façon générale la moélsaon perme e réure la omplexé u sysème pour omprenre e analyser son omporemen e on ensue perme son ploage Dans la léraure pluseurs approes e moèles son éveloppés noammen les réseaux e Per les fles aene les moèles à flux sres e les moèles à flux onnus e 23 Les fles aene Les fles aene son un oul e moélsaon qu es généralemen omposé par un serveur e es lens vor Fgure Ce oul moélse un sysème en ermes e serveurs ou manes e e lens ou nombre e pèes ans un sok en aene ans es fles Les lens rulen une fle à une aure après avor reçu un serve Les emps e serve son aléaores e obéssen à es los e probablés généralemen e ype exponenel Les fles aene son apparues à la fn es années nquane [JAC57] ensue elles on onnu un éveloppemen onsérable e es nombreuses exensons e leur formalsme [BRU] Les prnpaux omanes applaon es moèles e fles aene son les sysèmes manufaurers les sysèmes e prouon e e sokage les sysèmes e ommunaon e les sysèmes nformaon Arrvées es lens Dépars es lens Fle aene Serveur Fgure : Représenaon grapque un sysème e fles aene smple 6

18 Les moèles e fles aene son parulèremen ules pour l analyse es sysèmes à apaé lmée Harkose e al on moélsé une méoe e planfaon e la prouon pour n'mpore quel nombre e poses e raval par un réseau e fles 'aene ave es apaés e sok lmées [HAR4] Maa e al [MA5] on raé un problème évaluaon es performanes es sysèmes 'assemblage Les aueurs on ulsé es enques e réseaux e fles 'aene pour aluler les mesures e performane u sysème les plus mporanes elles que le flux e prouon le pourenage es ommanes sasfaes le nveau moyen u sok prous fns e le pourenage e ommanes non sasfaes D aures approes on abanonné le formalsme es réseaux e fles aene e aopen un nouveau formalsme plus pussan nrou au ébu es années 6 Il s ag es réseaux e Per 232 Les réseaux e Per Les réseaux e Per son es ouls grapques e maémaques permean e érre les relaons exsan enre es onons e es événemens Ils permeen e moélser le omporemen e sysèmes à événemens sres e e apurer vers pénomènes qu les araérsen omme le parallélsme Le synronsme le parage e ressoures la onurrene e Le parallélsme rau que les événemens peuven se proure 'une manère népenane s'ls son renus afs Le synronsme rau qu'l n'y a pas e sysème 'orloge néren qu ave les ransons Le manque e éomposon érarque e le manque e méansmes qu exprmen les onranes emporelles représenen l nonvénen es réseaux e Per e base Les réseaux e Per on éé largemen éveloppés par pluseurs aueurs en négran parulèremen l aspe emporel e soasque ans le moèle nal omme par exemple les réseaux e Per emporsés e les réseaux e Per soasques qu son souven ulsés pour la moélsaon e l évaluaon e performanes es sysèmes e prouon On peu er par exemple Al Jaar e Desroers [ALJ9] qu on ulsé les réseaux e Per pour l'évaluaon es performanes un sysème auomasé Km e al [KIM7] on présené une nouvelle méoe oronnanemen pour un sysème e prouon flexble basé sur le réseau e Per emporel ans le bu e mnmser le emps aèvemen maxmal En effe les aueurs on ulsé un réseau e Per emporel pour moélser leur sysème afn e suvre son omporemen pysque e e érre le omporemen logque u proessus e prouon Kenne e Gerr [KEN4] on éveloppé un moèle général un réseau e Per pour éuer e smuler un sysème omposé e n manes e n soks e apaé fns les manes peuven omber en panne e oven êre réparées Les plaes ans e réseau e Per représenen les éas e la mane ou les éas u sok Les aueurs on smulé e moèle pour éermner le nveau opmal e aque sok En effe les aueurs on monré que le réseau Per es apable e moélser un sysème ans lequel les événemens peuven se proure en même emps mas es onranes sur la fréquene e oïnenes es événemens peuven apparare Balbo e al [BAL87] on monré la supéroré es réseaux e Per soasques par rappor aux réseaux e fles aene pour la moélsaon e l analyse e performanes aelers flexbles 7

19 Les réseaux e Per son ulsés pour verses problémaques Ils son plus pussans que les réseaux e fles aene L avanage le plus onnu es réseaux e Per es leur smplé e ompréenson e leur apue à onner es nformaons onernan l exéuon u sysème Mas u fa e leur naure grapque ls ne permeen pas la moélsaon e pénomènes omplexes 233 Les moèles à flux sres Un moèle à flux sres [FEN] es une représenaon srèe u flux es pèes ans un sysème e prouon [CAS7] qu évolue suvan l ourrene événemens Les moèles à flux sres son souven onsérés omme es moèles plus réalses pour la prouon srèe Ils son ulsés pour l évaluaon es performanes pour suvre l évoluon u sysème pèe par pèe ou ans le onrôle es flux à emps réel Dans la léraure pluseurs aueurs on onséré e moèle On peu noammen er les ravaux suvans : Mouran I e al [MOU3] on éué un moèle à flux sres un sysème à un éage ave un seul prou Leur éue prouve que la polque u pon e séparaon es la polque opmale pour e sysème e prouon à flux sres Fu M e Xe X [FU2] on éué les aes e épars es prous ave les moèles à flux sres e les moèles à flux onnus Les aueurs on monré que ans le as où la alle es prous ans le moèle à flux sres even nfnésmalemen pee alors la ae e épar une quané q proue sur une mane ans un moèle à flux sres onverge vers la ae e épar e la même quané sur la même mane ans un moèle à flux onnus olo e al [OL2] on onséré un moèle à flux sres pour un sysème e prouon omposé un sok à apaé fne e e eux manes non fables Les aueurs on applqué pour e moèle une méoe analyque pour évaluer le aux e prouon e le nveau e sok Le moèle onséré perme e suvre la prouon es manes e le nveau e sok pèe par pèe Le moèle à flux sres es fale à smuler e à manpuler Il es souven ulsé pour l évaluaon es performanes es sysèmes e prouon mas le proessus sre es pèes ren l analyse es performanes plus ffle En effe lorsque le sysème e prouon ompore un nombre mporan e pèes le moèle à flux sres even nexploable u fa e l augmenaon rape u nombre éas L éue even alors rès omplexe e quelquefos mpoble à mener Ce problème peu êre résolu par un aure moèle appelé moèle à flux onnus 234 Les moèles à flux onnus Un moèle à flux onnus es une approxmaon onnue u sysème pysque Les moèles à flux onnus son ulsés généralemen pour es sysèmes e prouon onnus Ils son au largemen ulsés pour la ommane opmale e la onepon e sysèmes e prouon sres ans le as e prouons à au volume Kmema e Gerswn [KIM83] 8

20 son les premers à avor ulsé le moèle à flux onnus pour onrôler la prouon un sysème e fabraon ave prse en ompe es pannes mane L avanage e e moèle es qu l perme e réure la omplexé nérene à la moélsaon raonnelle es pèes srèes maleureusemen e moèle néglge eranes araérsques mporanes es sysèmes e prouon els que les élas e ranspors Dans la léraure on rouve es ravaux qu on onséré e moèle els que : We e al [WEI7] on onséré un moèle à flux onnus pour un sysème e prouon ybre proessus onnus e événemens sres Les aueurs on applqué à e moèle la polque e pon e onrôle [GER] pour éermner le nveau opmal u sok lorsque le aux maxmum e prouon es manes vare an e Gerswn [AN7] on ulsé un moèle à flux onnus pour évelopper une méoologe pour l analyse générale un sysème e prouon ave un sok lmé War e Melame [WAR99] on proposé un moèle à flux onnus qu peu êre ulsé pour la moélsaon smulaon e l analyse exemples e raeores pour pluseurs lasses e réseaux Lu e al [LIU7] on ulsé un moèle à flux onnus pour analyser un sysème e prouon soums à es pannes e es arrvées e emane en rafale Les aueurs on applqué à e moèle la polque u pon e séparaon pour éermner le nveau opmal u sok lorsque l arrvée e la emane vare Mouran e al [MOU8] on ulsé un moèle à flux onnus pour opmser un sysème e prouon ave un seul éage e un seul ype e prou ave une emane onsane e es élas e ranspor enre la mane e le sok En effe les moèles à flux onnus on l avanage 'êre smple e fale à analyser mas ls ne ennen pas ompe es rears qu on un mpa mporan sur les performanes u sysème e prouon Dans e arle les aueurs on onséré un moèle à flux onnus en enan ompe es élas e ranspor Ce raval es un axe néressan pour nroure les rears ans les moèles à flux onnus ave la onservaon e la smplé u moèle à flux onnus Sur e Fu [SUR9] on ulsé les moèles à flux onnus pour l analyse es performanes e lgnes à flux sres Les aueurs on formalsé la rauon es paramères enrée e es mesures es performanes enre les lgnes à flux onnus e elles à flux sres Pus les aueurs on monré que le moèle à flux onnus peu êre représené omme un proessus sem-markoven généralsé Ce mène à un algorme ons e smulaon pour un moèle à flux onnus Les moèles à flux onnus son ulsés ans e nombreux ravaux pour moélser analyser e smuler les sysèmes e prouon En effe les moèles à flux onnus son smples à éuer analyquemen son es bonnes approxmaons es moèles sres e 9

21 permeen ulser les méoes opmsaon basées sur les graens mas égalemen applquer falemen es méoes e onrôle omme la polque e pon e séparaon 235 Conluson Ben que les moèles à flux sres e les moèles à flux onnus ne moélsen pas les élas e lvrason ls semblen plus néressans pour moélser nore sysème En effe es eux moèles offren une falé éue e smulaon e e manpulaon La polque e onrôle u pon e séparaon peu êre applquée falemen ave es eux moèles Dans nore raval nous allons moélser nore sysème e prouon selon es eux fférens moèles en enan ompe es onranes omme les pannes mane e les emanes len e les résulas onnés pour aque moèle seron omparés Dans e qu su nous allons présener quelques onranes nusrelles qu seron onsérées ans nore sysème 24 Conranes nusrelles Comme nous l avons éà noé les sysèmes e prouon son soums à fférenes onranes lées au sysème lu-même e à son envronnemen Parm les onranes nous pouvons er : Panne mane es un ysfononnemen uran lequel la quané e maère proue par ee mane es égale à zéro La prse en ompe e la panne mane es rès mporane ar elle a un mpa re sur les performanes souaées Xe [XIE89] a éué la ommane opmale un sysème perurbé par es pannes olo e al [OL2] on présené une méoe analyque pour évaluer les performanes une lgne e ransfer ave un sok e eux manes non fables Caque mane peu omber en panne Les emps enre eux pannes e le emps enre eux réparaons son générés par une srbuon géomérque Demane len es la quané e prous ommanée par un len qu peu êre varable ou onsane au ours u emps La sasfaon es lens es un élémen lé auellemen u fa e l offre supéreure à la emane e les enreprses meen en œuvre oues les enés e l enreprse pour sasfare le maxmum e emanes len e façon à réure les oûs e rupure e e fournr un melleur serve De plus l envronnemen onurrenel auel ren ffle l engagemen es lens sur le moyen erme e qu oblge les enreprses à proposer es soluons e es méoes pour s aaper au meux à une emane fluuane La prse en ompe e la emane len pour la planfaon aque ans les enreprses es on un eneu rual pour leur bon fononnemen [GAL8] 25 Prse e éson pour ploer un sysème e prouon La prse e la éson a fa l obe e nombreux ravaux e reere epus pluseurs éennes noammen au sen un sysème e prouon Le proessus e éson es la émare vsan à analyser e moélser une suaon en vue en égager les élémens pouvan onure à la prse e éson Il s ag ben sûr enfer les alernaves mas égalemen les onséquenes e aune es ésons La onepon un prou au sen

22 un sysème e prouon a un mpa sur les ésons prses lors e la onepon e e sysème Pour e sue l exse es ouls e es méoes proposés e parfos ms en plae nusrellemen qu reposen sur es moèles onenan es onnées qu représenen les fuures onons exploaon Ces onnées peuven êre mpréses omme par exemple les emps e prouon ou les emps e ranspors ou varées au ours u emps omme par exemple la emane len 26 Conluson Nous avons présené les fférenes éfnons ans la léraure un sysème e prouon e les élémens qu onsuen e sysème Les moèles à flux sres e les moèles à flux onnus son onsérés omme un paragme alernaf aux réseaux e fles aene [MAN8] pour l analyse e la synèse es sysèmes e prouon ls son les moèles les plus ulsés pour les sysèmes e prouon Dans nore raval nous allons moélser le sysème e prouon ave un moèle à flux onnus e un moèle à flux sres La prse e la éson éan un sue essenel pour un sysème e prouon l es rual e onnare les performanes u sysème avan e pouvor prenre une éson L évaluaon es performanes nous perme e valorser les performanes un sysème 3 Evaluaon es performanes e opmsaon La moélsaon e l évaluaon es performanes es sysèmes e prouon resen une préoupaon prnpale es fférenes ommunaués senfques e en paruler u géne nusrel L envronnemen éonomque e enologque es sysèmes e prouon es en perpéuelle évoluon Ces sysèmes son soums à es onranes e plus en plus fores par exemple la sasfaon e ses lens ou e ses aonnares Cepenan les sysèmes e prouon oven se laner ans e grans proes améloraon e leurs performanes Ce néee l ulsaon e méoes évaluaon qu permeen e érre l évoluon es faeurs e performane u sysème e on e éer s l es néessare e mofer le sysème pour amélorer ses performanes Hsorquemen les reeres en moélsaon e évaluaon e performanes son ouours eux sues rès lés En général la moélsaon perme e représener un sysème e prouon par es paramères e e onsérer les relaons enre es fférens paramères L évaluaon e performanes perme analyser l effe e es paramères sur la varaon es performanes un sysème e ans e onsaer l évoluon e le onrôle e e sysème au ours u emps Alors l ulsaon ouls évaluaon e performanes es néessare pour la onepon e le ox e la polque à aoper au sysème evan aenre es performanes souaées malgré les aléas panne mane emane aléaore u len e Pluseurs ravaux ulsen es méoes pour éuer les performanes un sysème an e Gerswn [AN7] on éveloppé une méoologe pour l analyse générale un sysème e prouon à flux onnus ave un sok fn La méoologe proposée es un oul évaluaon e performanes e e sysème Les performanes mesurées son le aux e prouon e le nveau opmal u sok Gerswn [GER9] a présené une méoe

23 'évaluaon e performanes pour une lgne e ransfer ave un sok e apaé fne basée sur un moèle à flux sres pour érre le omporemen e ee lgne En effe l exse es méoes évaluaon e performanes es sysèmes qu peuven êre basées sur la smulaon [ING98] l ulsaon e méoes analyques [AY99] ou l ulsaon naeurs e performanes Mas avan e présener plus en éal es méoes nous allons présener quelques ravaux qu éue l évaluaon es performanes els que : olo e al [OL2] on présené une méoe analyque pour l'évaluaon es performanes e lgnes e prouon ave es emps e raemen éermnses es manes ave mulples moes e panne e es soks à apaé fne Les aueurs on omparé ee méoe à une aure méoe obenue par l éue un sysème qu onsère un seul moe e panne Colleanl e olo [COL5] on proposé une méoe 'analyse approxmave basée sur es enques e éomposon pour la moélsaon e l'évaluaon es performanes es sysèmes e prouon ave un moèle à flux sres mplquan es flux e prouon qu se séparen e se réunssen es prous mulples es sok à apaé fne e es opéraons e fabraon 'assemblage ou ésassemblage Levanes e al [LEV3] on présené une méoe analyque approxmave effae pour l'évaluaon es performanes es lgnes e prouon asynrone ave es élas e prouon éermnses pluseurs moes e panne e un sok e apaé fne Le flux sre e pèes es approxmé par un flux e maérau onnu e aque mane peu êre affeée par fférens moes e panne aune es manes es araérsée par un emps spéfque à la panne e un emps e réparaon La méoe es basée sur la enque e éomposon proposée par Gerswn [GER87] qu perme l'évaluaon approxmave 'une lgne ave K manes par l'évaluaon e K -lgnes e eux manes Marello e ullo [MAR9] on proposé une aure méoe 'analyse pour évaluer les performanes es sysèmes e prouon les aueurs on mplané ans es sysèmes les enques e maîrse es proéés sasques En effe le omporemen es manes es survellé par es sposfs 'nspeon e 'éanllonnage qu mesuren les araérsques e qualé es pèes proues La performane u sysème e prouon es évaluée en applquan un algorme qu vse par alernane la mane e le nveau u sok Les résulas numérques monren la bonne préson e la méoe proposée elle perme apporer e nouvelles perspeves ans les relaons enre les eux omanes 3 Inaeurs e performanes Le sou onsan e ou éeur fae aux sysèmes e prouon auels es l améloraon e performanes Ces sysèmes oven êre onus e façon e plus en plus fne afn amélorer onnuellemen les performanes prnpalemen ans les omanes u oû u éla e e la qualé es prous L naeur e performane es un oul évaluaon e performane qu es apparu à parr es années 98 e qu perme aux 2

24 onepeurs e vérfer le nveau e sasfaon un omporemen onséré AFGI [AFG92] propose la éfnon suvane : «un naeur e performane es une onnée quanfée qu mesure l effaé ou l effene e ou ou pare un proessus ou un sysème réel ou smulé par rappor à une norme un plan ou un obef éermné e aepé ans le are une sraége enreprse» Selon Berra [BER2] «les naeurs e performane son les nsrumens u ploage» D une façon générale les naeurs e performane son éfns pour un omane e omporemen onné l s ag e vérfer par un proessus éraf le nveau e sasfaon assoé à une soluon proposée par le onepeur Dans e proessus les soluons explorées son mémorsées pour rensegner sur l améloraon ou la égraaon relave es soluons sueves Caque naeur e performane assoe ros paramères : un obef une mesure e une varable éa rausan la performane quané oû éla La mesure es performanes o êre pernene au regar es obefs vsés par le sysème Elle o êre égalemen oérene vs-à-vs es aons engagées es-à-re que la mesure o varer lorsque es ésons son prses où l mporane es naeurs e performane pour la sruure un sysème e prouon En effe ans un sysème e prouon les naeurs e performane parpen à la formaon e ableaux e bor qu son esnés aux responsables es fférens enres e éson mplqués ans le proessus e prouon Le rôle e aque ableau e bor éabl es nformer le éeur onerné sur la performane réalsée e arer son aenon sur les érves u sysème Les naeurs e performanes les plus fréquemmen évaluées ans l nusre son : oû e rupure es soks roaon es soks élas e lvrason sok moyen oûs e sokage rears e lvrason aux oupaon une mane ou une ressoure emps e yle fréquene e prouon Nous allons présener ans e qu sue quelques performanes qu onerne nore raval e èse Le nveau e sok es la quané e maère ans le sok nombre e pèes quané e lque e L exsene e ee quané ans le sok au ours u emps engenre un oû e sokage De nombreuses éues son effeuées pour erer le nveau opmal u sok qu mnmse les oûs e sokage évenuellemen qu mnmse le oû global Jeonga e Km [JEO] on éermné les nveaux opmaux es soks suvan la onfguraon es manes ans un sysème assemblage le bu e ee éue es e erer la onfguraon la mons oûeuse Le aux e prouon es le nombre e pèes proues par uné e emps [GER94] Ce aux es généralemen ommané ans les sysèmes e prouons Par exemple le aux e prouon es réu s la emane es fable ou s le sok es sauré Beauoup e ravaux on éué le ploage u aux e prouon Can e al [CHA7] on éué un sysème e prouon ave un emps e rear une emane nerane e une prouon supplémenare Les aueurs on éabl un moèle maémaque pour un problème e ploage e la prouon on le bu es e mnmser le oû u nveau es en-ours e le oû e prouon supplémenare Pour résoure e problème une polque e ype pon e séparaon à eux nvaux prouon normale e supplémenare es éable Sanay [SAN8] a éué un sysème e prouon ave un aux e prouon flexble le aux e prouon 3

25 o êre réu pour avor es nveaux e soks pes fae à une onrane e urée e onservaon Yuyue e Gn [YUY5] on proposé un algorme e programmaon ynamque pour le alul 'un alenrer e aux e prouon opmale pour le as e emanes varées e pour le as un sysème plus smple ave es emanes fxées Dans nore èse nous voulons onrôler le aux e prouon par la polque u pon e séparaon [AKE86] Le emps e lvrason es la péroe u emps que me une emane len enre le sok enrepô magasn e son arrvée au len Swar e Papasavrou [SWI99] on éveloppé un moèle soasque e ynamque pour les problèmes e lvrason e e ramassage enlèvemen Les aueurs on onséré la varaon es apaés es véules Dolgu e Aly Oul-Louly [DOL2] on présené un moèle pour la planfaon approvsonnemen sous es élas nerans Les aueurs on proposé une méoe pour éermner la valeur opmale u éla planfé qu mnmse le oû e sokage e le oû e pénure Van Ryzn e al [VAN9] on onséré l mpa u rear pour le onrol opmal un ob sop on le bu es e mnmser le oû moyen Nous onsaons que le emps e lvrason es un paramère qu a un mpa non néglgeable sur les performanes un sysème e prouon Cepenan ans le as e moèles à flux onnus ou sres peu éues onsèren e éla explemen ans le moèle Dans e raval nous éuerons l mpa u emps e lvrasons sur la valeur opmale u sok Nous onsérerons le oû e ranspor ans la fonon e oû oal à mnmser ans que l mpa e e emps e lvrason sur le sok opmal Il exse es méoes e onepon naeurs e performane par exemple Balane Soreare [KAP92] qu es la plus ulsée auellemen Il exse aures méoes laques ssues es senes e geson elles ABC Avy Base Cosng ou ABM Avy Base Managemen [CHA96] L oul naeur e performane a parfos l nonvénen e proposer un nombre mporan naeurs qu l n es pas fale e suvre en onnu e manère régulère Il es on néessare e fare appel à la smulaon qu perme e moélser fnemen les aspes ynamque e soasque u sysème éué De plus elle favorse la mse en évene es lens exsans enre les varables éa performane 32 Smulaon es sysèmes L évaluaon es performanes un sysème e prouon fa souven appel à la smulaon nformaque qu quan à elle es un oul pussan qu a prouvé son ablé à analyser es sysèmes omplexes omporan es pénomènes soasques e ynamques Grâe à ses avanages la smulaon es onsérée omme un oul prvlégé pour analyser les performanes e as à éelle réelle La smulaon es sysèmes e prouon représene les événemens qu peuven surgr quan le sysème es opéraonnel par une séquene éapes ans un programme nformaque reprousan ans erans aspes u fononnemen ynamque es sysèmes e prouon Elle perme au e prenre en ompe l aspe aléaore e erans événemens els que les emanes len pannes manes réparaons manes e 4

26 L apue à érre en éal e une façon prése les relaons logques exsan enre les événemens fa e la smulaon un oul unversel pour l évaluaon es performanes es sysèmes e prouon Subas e al ans leur arle [SUB9] érven ommen la smulaon peu êre ulsée pour e la prse e éson e le onrôle es sysèmes e prouon flexbles En effe les aueurs on onséré un sysème e prouon flexble qu ombne une prouvé élevée e la flexblé e la prouon Une smulaon es ulsée pour onrôler e sysème omplexe e prenre es ésons préses afn assurer que e sysème sasfasse les emanes u maré Généralemen la smulaon représene une esrpon éallée es relaons enre événemens leurs ronologes e leurs enaînemens Ans elle perme e onner es résulas exas e prés Elle a le pouvor e quanfer e e usfer es ox éonomques e enologques plus parulèremen lors es pases e onepon e e mensonnemen Par exemple la smulaon perme e éermner les valeurs mnmales es soks ans un sysème e prouon Ce onne es naons sur la reon vers laquelle les effors améloraon oven êre porés Cepenan pour obenr es résulas pernens l es néessare e passer par un proessus éraf long ans lequel pluseurs smulaons u sysème son onues afn obenr es valeurs sasquemen sgnfaves Il fau au éenr un gran nombre e onnées afn e mener un proessus opmsaon par smulaon Ces onnées onernen généralemen les paramères sruurels les paramères e mensonnemen es emanes e es manes arrvée es emanes e la quané es emanes aux e prouon emps enre eux pannes e emps enre eux réparaons e leurs los e srbuon Les méoes analyques qu son es ouls évaluaon es performanes néeen une smplfaon u moèle mas proposen es soluons ans es élas rès ours Nous allons présener quelques méoes ans la pare suvane 33 Méoes analyques Les méoes analyques permeen e érre un sysème par es relaons maémaques en se basan sur un moèle Ces méoes se basen essenellemen sur es réseaux e fles aene ou sur es aînes e Markov Ces méoes ans leur versé se snguen par la falé e leur mse en œuvre ans le as où l on proèe à leur mplémenaon ans es proéures e alul une façon générale e e mensonnemen plus parulèremen De plus elles parassen néressanes lors es premères pases e onepon lorsque oues les onnées ne son pas enore onnues e que le ox es valeurs e varables es sue à es méoes opmsaon Cepenan ans le as où le sysème éué es omplexe ou que la alle u problème es élevée requéran un emps e alul mporan es approxmaons ou ypoèses smplfares peuven êre formulées afn e ramener le problème e épar à un ensemble e sous-problèmes e alle mons mporane où es enques e alul s avèren plus smple à mere en œuvre Parm les fférenes méoes exsanes l exse une méoe analyque évaluaon es performanes rès onnue appelée analyse e sensblé Cee méoe onsse à analyser ommen réagssen les sores un moèle à es perurbaons sur ses 5

27 varables enrée L analyse e sensblé nforme sur la façon on se réperuen les perurbaons enrée sur les varables e sore Ces nformaons son ulsées pour prenre es ésons sur le sysème éué Dans e qu su nous allons présener la enque analyse e sensblé 34 Analyse e sensblé L analyse e sensblé es une enque évaluaon e performane es sysèmes elle onsse à éuer l mpa e la varablé es enrées un moèle sur la varablé e sa sore Elle perme évaluer es nes e sensblé qu quanfen omben une varable ou un groupe e varables onrbue à la varane e la sore En effe nous onsérons un moèle maémaque formé un ensemble e varables enrée aléaores une fonon éermnse e un ensemble e varables e sore ou réponses aléaores f : R P R X Y f X La fonon u moèle es f L ensemble es varables enrée X = X Xp regroupe oues les enés onsérées omme aléaores ans le moèle L ensemble es varables e sore es supposé réu à une unque varable Y Alors l analyse e sensblé éue ommen es perurbaons sur les enrées u moèle engenren es perurbaons sur la réponse Elle nforme sur la façon on se réperuen les nerues enrée sur les varables e sore Comme es nformaons son ulsées pour prenre es ésons sur le pénomène éué l es mporan avor à l espr que es nerues son assoées au moèle ulsé L'analyse e sensblé regroupe eux ypes e méoes: qualaves ou quanaves Les méoes qualaves ou e "sreenng" onssen à lasser les onnées 'enrée 'un sysème en fférens groupes suvan l'nfluene qu'elles on sur la varablé e la sore Les méoes quanaves peuven êre loales ou globales suvan qu'elles auorsen les paramères 'enrée 'un sysème à varer un par un ou ous à la fos ; mas elles vsen surou à mesurer présémen l'nfluene es perurbaons es onnées 'enrée sur la varablé e la sore De nombreux esmaeurs sasques e la sensblé 'un sysème on éé proposés ans e omane [SAL] [LAM9] De nombreux ravaux ulsen l analyse e sensblé pour raer es problèmes e onepon ou ae à la éson ans les sysèmes e prouon [KLE98] [WAR] [KLE4] Nous nous néressons ans nore èse à une méoe plus parulère e l'analyse e sensblé appelée analyse es perurbaons Cee enque évaluaon es performanes es ulsée une par pour le mensonnemen es sysèmes e prouon e aure par pour leur ploage Elle perme e aluler les graens e la mesure e performane en fonon es paramères e onfguraon es sysèmes e prouon apaé e sokage aux e prouon Nous allons présener ee enque ans la pare suvane 6

28 35 La méoe analyse es perurbaons Les problèmes posés ans la onepon es sysèmes e prouon ournen auour e la proposon e méoologes omplèes e générques e onepon e mensonnemen e e ploage Les ffulés son relaves à l ourrene événemens aléaores e aux envronnemens nerans ans lesquels évoluen es sysèmes Fae à es onranes on proèe généralemen par es éues séparées es fférens moules e onepon En effe pour obenr un sysème à fononnemen opmal l fau évelopper es méoologes formelles e es enques aapées Ces enques son généralemen es moèles évaluaon ou opmsaon basés sur es approes oérenes enre les fférens nveaux fononnels C es e qu usfe le éveloppemen es enques basées sur l analyse es perurbaons PA ans le omane e onepon e l opmsaon e sysèmes e prouon La méoe PA a éé proposée par Ho Eyler e Cen en 979 [HO79] Elle a éé éfne omme une enque évaluaon e performane es sysèmes à événemens sres SED à ravers les nformaons onenues ans une seule exéuon e smulaon [HO85] [HO9] Elle a éé ulsée nalemen sur es sysèmes e ype réseaux e fle aene [HO83] [HO97] Plus réemmen [CHE] a ulsé l analyse es perurbaons sur un sysème assemblage en lgne pour mensonner les soks nerméares afn e maxmser le aux e prouon PA onsse à analyser e suvre l évoluon e eux raeores éanllons une raeore perurbée e l aure e nomnale un paramère qu nous néresse afn éuer e e mesurer l effe e sa perurbaon sur les performanes u sysème Elle présene une souplesse ulsaon e une rapé e réponse aux angemens ynamques à ravers les nformaons onenues ans une seule observaon un sysème ans un envronnemen soasque e qu a amené pluseurs aueurs à évelopper ee méoe pour résoure es problèmes opmsaon es sysèmes e prouon Auremen ee méoe a éé ulsée omme un oul opmsaon [PAS4] En effe Les problèmes opmsaon es sysèmes e prouon son au omplexes qu mporans u pon e vue es gesonnares e la prouon on l obef ulme es e onevor e e gérer es sysèmes à renemen opmal e à oû mnmal Les enques e résoluon es problèmes e onepon fon appel à es ompéenes e éveloppemen algormes opmsaon soasque basés sur le alul e graens à ravers l analyse es perurbaons Cee enque fourn une méoologe opmsaon es mesures e performane es sysèmes laquelle sera par la sue mplanée ans es sysèmes e prouon ans le bu e éermner la melleure polque e ommane C es e qu usfe nore nérê à ulser ee méoe omme une enque évaluaon e performane e opmsaon Nous allons présener ans e qu su le prnpe e PA 35 Prnpe e l analyse es perurbaons PA perme e onsrure un ensemble e relaons formelles lan le veeur e ésons à la mesure e performane J afn e pouvor esmer le graen e la 7

29 performane J en aque pon Ces relaons son éues e l éue es raeores En effe PA es ssue e l analyse e sensblé Elle perme esmer la sensblé es naeurs e performane grâe aux varaons es varables e éson A parr e ee analyse e sensblé le graen e la fonon obef peu-êre alulé e le sysème opmsé en onséquene Le fononnemen général e PA es le suvan Fgure 2 : Smulaeur PA Opmsaon J + J Fgure 2: Fononnemen général e PA A l ae u smulaeur on mesure la performane J u sysème en un pon e fononnemen Le blo Analyse es Perurbaons PA qu es un algorme à base e relaons e la ynamque u sysème perme e prére la réponse u sysème au pon + e ans aluler la sensblé le graen J u sysème fae à la perurbaon nroue Le graen esmé J au pon es alors ulsé ans un algorme opmsaon maémaque Un nouveau pon + es ans éermné suvan la reon u graen J e ans e sue Le blo PA Fgure2 es basé sur la formalsaon préalable e eux ypes e raeore : la raeore nomnale qu on oben en smulan le sysème en un pon e fononnemen e la raeore perurbée obenue en nrousan une perurbaon sur le veeur e éson : + L éue e es eux raeores perme esmer la sensblé u sysème par rappor à la perurbaon nroue S on nrou une perurbaon nfnésmale sur le veeur e éson e s on fa enre la longueur es raeores raeore perurbée e nomnale vers l nfn on oben reemen une esmaon u graen e la mesure e performane moyen ans e as la méoe PA sera appelée analyse es perurbaons nfnésmale IPA [SUR87] 8

30 352 Analyse es perurbaons nfnésmale Analyse es perurbaons nfnésmale [YU4a] [CAS2] esme la valeur e l espérane e la valeur lme quan e la érvée e la mesure e performane observée L/ ave L es la mesure e performane u sysème éermnée à parr e la smulaon un moèle ou e l observaon un sysème réel e es le veeur es varables aléaores qu représenen ous les pénomènes aléaores u sysème En effe l nérê e l IPA pore sur la éermnaon e la valeur e la érvée e l espérane e la valeur lme e L E[L]/ s elle exse x es l évoluon emporelle e l éa u sysème omme par exemple le nveau u sok la raeore u nveau u sok x épen es valeurs e réalsaon es fférenes varables aléaores lors e l observaon ou e la smulaon L mparalé unbaseness e la onssane e l esmaeur son vérfées respevemen par les eux onons suvanes : EL=EL Lm [ L x ]/ Lm L x / 2 L mparalé ou la onvergene un esmaeur rau qu l es sans bas En effe pour une perurbaon e une réalsaon e la raeore nomnale x e la raeore perurbée x+ ommeneron à verger s le arnal e l ensemble es raeores es assez gran Alors l évoluon e la raeore perurbée es omplèemen fférene e elle e la raeore nomnale Ce qu explque l apparon une sonnué ans la fonon pour une réalsaon onnée e Cee sonnué rée un problème e érvablé e la fonon L alors l équaon n es plus vale [SUR88] Mas s l équaon es vale ela reven à obenr es mesures e performane représenan une onnué enre la raeore nomnale x e la perurbée x+ La probablé avor es sonnués e la fonon L es rès fable s on onsère une perurbaon nfnésmale En plus s on renonre une sonnué sa valeur sera suffsammen pee pour ne pas onrbuer effaemen au méansme e alul e la moyenne où l équaon rese vale La onssane es la rauon e la onvergene soasque e l esmaeur e la érvée e la performane obenue par une seule smulaon vers la érvée e la performane saonnare quan la longueur e la raeore es nfne En effe la onssane usfera l ulsaon un esmaeur IPA obenu par une longue raeore éanllonnée au leu e la moyenne e N esmaons En onluson la méoe IPA ave ses eux araérsques la onvergene e la onssane possèe un avanage par rappor aux aures méoes raonnelles esmaon e la érvée : le fa que l IPA perme esmer la érvée e la mesure e performane en une seule smulaon au leu e N smulaons Ce avanage usfe l ulsaon e ee méoe ans e nombreux ravaux pour résoure es problèmes opmsaon Dans la pare suvane nous allons présener la méoe IPA omme enque opmsaon 9

31 36 Analyse es perurbaons nfnésmale applquée à l opmsaon Dans la ve quoenne nous sommes souven onfronés à es problèmes opmsaon Cela peu êre par exemple une personne qu souae ranger son bureau qu es l obef à aenre plaer son mobler e aller usqu'à l opmsaon es sysèmes e prouon par exemple pour mnmser es oûs e sokage e ranspor e manenane e Ces exemples peuven êre exprmés sous la forme générale 'un "problème 'opmsaon" Dans ous les omanes nusrels l opmsaon oue un rôle mporan en effe elle perme obenr une onfguraon opmale ou un plan opmal qu sasfasse es besons éonomques ou fononnels Mas ee âe n es pas ouours smple e même parfos rès ffle l es alors néessare 'avor reours à es méoes opmsaon qu oven rouver un omproms enre pluseurs faeurs : sasfare les besons les oûs e éveloppemen e le ox enre fférens oneps poble sur une base e fasablé D une manère générale l obef e es méoes opmsaon es e fournr une soluon e qualé à un problème onné en un emps rasonnable Parm les méoes opmsaon nous nous néressons aux méoes qu son basées sur le alul es graens e la mesure e performane par rappor aux paramères e éson Ces méoes son onsérées omme es enques effaes opmsaon ans es envronnemens soasques Leur prnpe onsse à aluler le graen e performane en un pon e fononnemen onné ensue e fare évoluer e pon ans la reon u graen e qu perme e rouver rapemen l opmum sans avor beson e reouvrr ou le omane es valeurs pobles par exemples ans nore as le omane es valeurs e nveau e sok La méoe IPA es l une es méoes basées sur le graen qu ere à résoure fférens problèmes opmsaon non laques e ela généralemen ans un onexe soasque En effe l applaon e l IPA à l opmsaon a onnu un gran suès ans pluseurs ravaux e es usfé par le fa qu elle présene une souplesse ulsaon e une rapé e réponse aux angemens u sysème à ravers les nformaons onenues ans une seule observaon e l évoluon u sysème Elle perme e réure le nombre e smulaons pour l obenon un esmaeur non basé u graen Une seule smulaon es suffsane pour l esmaon e la érvée e la mesure e performane onraremen aux approes raonnelles qu néeen au mons eux smulaons pour l esmaon e e même graen en un pon e fononnemen onné En effe le non bas es esmaeurs assure leur effaé par sue ls pourron êre mplanés ans un algorme opmsaon pour onner une soluon proe e l opmal Ho a monré que l algorme basé sur IPA es le plus effae pour obenr es esmaeurs e sensblé [HO87] En plus l perme e réure le emps e alul Un aure avanage remarquable e l IPA es qu'elle évalue la performane es graens reemen e non par es fférenes fnes Inalemen IPA es applqué aux réseaux e fles 'aene [EGE2] [MAN8] [WAR95] Ho e Cao [HO83] on érvé une nformaon sur la sensblé un éb un sysème par rappor à vers paramères Cee nformaon peu êre ensue ulsée pour l'opmsaon e réseaux e fles 'aene Yu e Cassanras [YU4b] on examné les sysèmes e prouon ave es fles 'aene unques opéran ave un méansme e ommane es nformaons Les aueurs on ulsé l'ipa pour éermner les esmaeurs e graen un aux e peres par rappor à la alle u sok Par la sue l IPA a éé applquée 2

32 à es moèles à flux soasques [AN7] [WAR99] Markou e Panayoou [MAR7] on ulsé es esmaeurs IPA qu son obenus à parr un moèle soasque flue pour opmser la performane un sysème à événemens sres Les aueurs on mplané les esmaeurs 'IPA ans fférens algormes pour les évaluer e pour l'opmsaon u sok u sysème à événemens sres La méoe IPA es applquée au sur es moèles à flux onnus pour l opmsaon es sysèmes e prouon Par exemple Panayoou e Cassanras [PAN6] on applqué la méoe IPA à un moèle à flux soasques moèle à flux onnus pour éermner les apaés opmales e eux soks pons e séparaon e prous fns afn e mnmser la fonon e oû un sysème e prouon Les aueurs on éermné les esmaeurs es sensblés érvés e la fonon e oû somme u oû e sokage e pénure par rappor aux apaés Les aueurs on monrés que es esmaeurs son non basés e pus ls les ulsen ans un algorme pour éermner les apaés opmales Yu e Cassanras [YU4a] on ulsé un moèle à flux soasques pour la ommane e la prouon un sysème e prouon Les aueurs on applqué la méoe IPA à e moèle pour éermner les esmaeurs es graens u flux e prouon e u épassemen e sok par rappor aux paramères e ommane e la prouon Les aueurs on monré que es esmaeurs son non basés pus ls les ulsen pour opmser la fonon obeve qu es omposée par le oû e épassemen u sok e le oû u flux e prouon 37 Conluson Les méoes évaluaon es performanes reposen sur la smulaon les méoes analyques ou l ulsaon naeurs e performanes Ces méoes permeen analyser l mpa es paramères u sysème sur la varaon es performanes afn nformer le éeur s l es néessare e mofer le sysème pour amélorer ses performanes Les méoes évaluaon es performanes basées sur la smulaon son souven aopées par les nusrels La enque analyse e sensblé qu es une méoe analyque onsse à mesurer l'nfluene es perurbaons es onnées 'enrée sur la varablé e la sore e e éermner la varable 'enrée la plus nfluene sur les varables e sore La méoe analyse es perurbaons PA es une varane e l'analyse e sensblé ans laquelle les varaons es résulas sous l effe e angemens es valeurs e ous les paramères enrée son obenues par analyse fférenelle Nous avons monré l nérê poré à PA omme enque évaluaon e performanes es sysèmes e au omme oul opmsaon Dans le as une perurbaon nfnésmale la méoe PA sera appelée analyse e perurbaons nfnésmale IPA Nous avons éué ee méoe e présené ses araérsques mparalé e onssane En effe l IPA semble la plus sasfasane u fa qu elle ne néee qu une seule smulaon u sysème afn e éermner les graens es mesures e performane e qu réu largemen les emps e alul e e reere e la soluon opmale D où l ulsaon e ee méoe ans e nombreux ravaux réens 2

33 4 Conluson Nous avons présené les sysèmes e prouon ave leurs élémens Nous avons éallé es élémens e leur rôle ans les sysèmes e prouon Pour la moélsaon es sysèmes e prouon nous avons présené quare ypes e moèles les réseaux e Per les fles aene les moèles à flux sres e les moèles à flux onnus Le moèle à flux sres es fale à smuler e à manpuler Il es souven ulsé pour l évaluaon es performanes es sysèmes e prouon mas le proessus sres es pèes ren l analyse es performanes plus ffle Le moèle à flux onnus plus smple à éuer analyquemen es une bonne approxmaon es moèles sres e perme ulser les méoes opmsaon basées sur le graen Les moèles à flux sres e les moèles à flux onnus ne ennen pas ompe es rears qu on un mpa mporan sur les performanes u sysème e prouon Dans ee èse nous allons moélser le sysème e prouon ave un moèle à flux onnus e un moèle à flux sres pus nous allons omparer les résulas onnées par aque moèle L évaluaon es performanes es rès mporane pour la onepon un sysème e prouon e e son évoluon En effe ee évaluaon permera e s assurer avan l mplanaon pysque que le sysème e prouon aenra fae aux aléas les performanes souaées Elle permera égalemen e onsaer l évoluon es performanes au ours u emps Nous avons présené les performanes les plus fréquemmen évaluées ans l nusre : aux e prouon le nveau e sok e le emps e e prouon Nous avons présené e éué les méoes évaluaon es performanes la smulaon les méoes analyques e les naeurs e performanes Parm les méoes analyques nous avons présené la enque analyse e sensblé pus la enque analyse es perurbaons nfnésmale qu es ssue e l analyse e sensblé L analyse e perurbaons nfnésmale perme obenr es esmaeurs non basés u graen par une seule smulaon Alors le gran avanage e ee méoe par rappor aux approes raonnelles esmaon e la érvée e la mesure e performane va la smulaon es le nombre e smulaons relavemen réu Ce qu a amené pluseurs ravaux à ulser ee méoe pour résoure es problèmes opmsaon es sysèmes e prouon Dans nore èse nous allons ulser la méoe analyse e perurbaons nfnésmale pour un sysème e prouon moélsé par un moèle à flux onnus pus nous éenrons les résulas obenus à un moèle à flux sres 22

34 Capre 2 : Moèle à flux onnus ave prse en ompe un éla e lvrason onsan 2 Inrouon Auour u l n y a auun oue sur l mporane u rôle oué par l opmsaon ans vers omanes Cepenan la résoluon praque es problèmes opmsaon emeure enore ffle pour un eran nombre e rasons noammen la néeé e éfnr une façon prése les élémens un problème opmsaon organser es élémens e elle sore que le problème parasse solvable e e osr une méoe effae pour résoure le problème La méoe IPA analyse es perurbaons nfnésmale es l une es méoes opmsaon qu se basen sur le alul es graens e qu es ulsé pour résoure es problèmes opmsaon non laques ans les envronnemens soasques omme nous l avons vu ans le apre Dans e apre nous allons applquer la méoe IPA sur un moèle à flux onnus pour éermner le sok opmal Les moèles à flux onnus [MAR7] son largemen ulsés pour la onepon l analyse e l'opmsaon es sysèmes e prouon L ulsaon e es moèles es usfée par le fa qu ls on onné e bons résulas ans pluseurs ravaux En omparan es moèles aux moèles à flux sres les moèles à flux onnus son plus smples à éuer analyquemen e à exploer En effe ls falen la manpulaon e l analyse es sysèmes à événemens sres ls permeen e réure la omplexé nérene à la moélsaon es flux sres Pour l opmsaon les moèles à flux onnus nous permeen ulser es méoes opmsaon basées sur le graen omme la méoe IPA Maleureusemen les moèles à flux onnus exsans néglgen eranes araérsques mporanes es sysèmes e prouon e même pour les moèles à flux sres els que les élas e lvrason qu on un mpa mporan sur les mesures es performanes C es pourquo ans e apre nous éfnssons un moèle à flux onnus en représenan explemen le éla e lvrason e nous éuons l mpa e e éla e lvrason sur le nveau e sok Dans la premère seon e e apre nous allons applquer à nore sysème un moèle à flux onnus en négran les élas e lvrason Nous onnons par la sue les équaons évoluon u sysème A la fn e ee seon nous présons la fonon e oû moyenne qu épen u sursokage u nombre e emanes perues e e nombre e pèes ransporées Dans la euxème seon e e apre nous éuons les raeores selon la méoe IPA une raeore nomnale e une perurbée pour le nveau u sok e les aures varables u sysème Des exemples e es raeores son présenés Nous onnons ensue les éorèmes qu généralsen ee éue e qu seron ulsés ans la rosème seon pour esmer va une smulaon les graens e la fonon e oû 23

35 Dans la rosème seon e e apre nous éermnons la valeur u sok opmal par l ulsaon un algorme basé sur la méoe IPA La premère pare e ee seon onsse à éermner les esmaeurs es graens e la fonon e oû en ulsan les éorèmes éermnés ans la euxème seon e nous monrons que les esmaeurs es graens e la fonon e oû son non basés Dans la euxème pare e ee seon nous présenons un algorme opmsaon basé sur la méoe IPA qu ulse les esmaeurs es graens e la fonon e oû pour éermner la valeur u sok opmal Dans la rosème pare e ee seon les résulas onnés par l algorme opmsaon son présenés e analysés 22 Sysème e prouon onséré Dans e mémore nous onsérons un moèle à flux onnus un sysème e prouon omposé une mane M un sok B e apaé nfne e un len La mane prou un seul ype e prou e la polque e ommane ulsée es une polque e ype pon e séparaon [MOK5] On noe D es la quané e prou par uné e emps emane len qu sor u sok à l nsan pour êre lvrée ez le len à l nsan + Nous noons que la emane D es aléaore e es générée par une lo unforme pour l événemen emane e normale pour la valeur e la emane Le nombre e pèes ransporées à l nsan enre le sok e le len es noé par g Fgure 2 u M x B D Clen D g Fgure 2: Sysème e prouon ave un éla e lvrason onsan Supposons que la mane ne so amas affamée La mane M peu êre so en éa e panne so en éa e mare Une varable booléenne énoée es ulsée pour nquer l'éa e la mane à l nsan s la mane es en éa e mare à l' nsan s la mane es en panne à l' nsan 2 La vesse e prouon e la mane M à l nsan es énoée par u Lorsque la mane es en éa e mare es-à-re = u peu prenre une valeur omprse enre e U où U la vesse e prouon maxmale apaé maxmale Lorsque la mane es en panne es-à-re = alors u = Pour s assurer que la emane pusse êre sasfae nous supposons que la prouon maxmale perme e sasfare la emane e U >D 24

36 Nous onsérons le as une apaé nfne u sok où le nombre e prous ans le sok B à l nsan es noé par x Les emps e bon fononnemen e les emps e réparaon son exponenellemen srbués ave es aux noés e respevemen es-à-re que la moyenne es emps e bon fononnemen MBF = / e que la moyenne es emps e réparaon MR = / Ces emps ne épenen pas es paramères u sysème Dans le as e emanes non sasfaes nous onsérons que la emane non sasfae es perue Nous onsérons que le emps e lvrason es sremen posf Dans e apre nous onsérons que es onsan e onnu Les événemens pobles son : panne mane PM réparaon mane RM sok sauré SS sok ve SV e arrvée une emane DE Hypoèse 2 : Nous supposons que la fonon e oû es érvable ans [ Hypoèse 22 : Pour l'applaon e la méoe IPA e afn 'éver es sonnués nous evons onsérer un seul événemen à aque nsan on nous proposons es prorés enre les événemens s fférens événemens se prousen au même nsan La proré es arbuée ans un orre érossan omme su : - Evénemen mplquan le sok : SS ou SV - Evénemen mplquan la mane : PM ou RM - Evénemen emane : DE La polque e ommane ulsée es une polque e ype pon e séparaon Elle es onnée par : D u U s = e x s = ou x s = e x 22 Cee polque e ploage es ose ar elle es smple e peu êre mplémenée falemen En effe ee polque assure que le nombre e pèes ans le sok x ne épasse pas un nombre onné noé La polque Kanban [ZHO6] es généralemen applquée aux prouons répéves e quas onnue ee polque ne peu pas réponre rapemen aux angemens e la emane En oure la polque u pon e séparaon a éé prouvée omme éan opmale [AKE86] lorsque le éla e lvrason n'es pas onséré e la emane es onsane Par onséquen nous ulsons ee polque pour nore sysème Le nombre e prous ans le sok épen e la vesse e prouon u e e la emane D 25

37 La ynamque u sysème es onnée par : x u D ave x 23 Le nombre e emanes non sasfaes par uné e emps es noé par D qu épen e la emane len e u nveau e sok En effe lorsque le len fa une emane D e le sok es ve la emane ne sera pas sasfae e elle sera perue Par onséquen D es nul s le nveau e sok es sremen posf e es égal à la emane s le nveau e sok es nul Le nombre e emanes non sasfaes par uné e emps à l nsan es onné par : s x D D s x 24 Nous avons éfn la vesse u nombre e emanes non sasfaes D ar nous en avons beson pour éermner les expreons u nombre e emanes non sasfaes 25 ans que le nombre e pèes ransporées 26 Le nombre e emanes non sasfaes à l nsan es noé par P e onné par : P D D s x P s x 25 Nous avons éfn P ar nous en avons beson ans la fonon e oû à l nsan 27 Le nombre e pèes ransporées qu épen e la emane e u nveau e sok es égal au nombre e pèes qu soren u sok à l nsan - e qu von arrver à l nsan En effe la vesse u nombre e pèes ransporées enre - e es égale à la emane len par uné e emps D mons le nombre e emanes non sasfaes par uné e emps D Alors le nombre e pèes ransporées à l nsan es onné par : g D D 26 La fonon e oû C à l nsan qu épen u nombre e pèes ans le sok B u nombre e pèes ransporées e es emanes perues es onnée par: 26

38 C s x s P g 27 Ave: s s : le oû unare e sokage : le oû unare e la emane perue : le oû unare e ranspor Le oû moyen penan une péroe e emps noé par C a es onné par : Ca lm E C 28 Dans la seon suvane nous allons applquer la méoe IPA pour le moèle os Ans nous allons analyser les raeores u nveau u sok une nomnale e l aure perurbée afn éuer l effe e la perurbaon sur les performanes u sysème Cee éue nous permera e éermner les esmaeurs IPA e e prouver que es esmaeurs son non basés 23 Eue es raeores L'IPA es une approe qu perme évaluer les graens es mesures es performanes selon erans paramères par exemple ans nore as le nveau e sok opmal Cee méoe onsse à observer e analyser eux raeores : une raeore nomnale e l'aure perurbée afn e mesurer l effe une perurbaon sur les performanes u sysème So x e x respevemen le nveau u sok e la raeore nomnale e le nveau u sok e la raeore perurbée Fgure 23 e Fgure 24 Nous avons es le sok opmal e x nous supposons que es augmené par une perurbaon noée ave une perurbaon négave peu êre onsérée une manère smlare Le nveau u sok opmal pour la raeore perurbée es on Nous éuons l effe e la perurbaon sur les varables u sysème e nous évaluons les angemens nus ans la fonon e oû Lorsque le sok pour la raeore nomnale even sauré un éalage enre les raeores nomnale e perurbée noé ave ommene à se proure usqu à aenre la valeur à l nsan où x even sauré e x La Fgure 22 monre l évoluon u éalage 27

39 Nveau e sok x x Fgure 22 : Déalage enre le nveau u sok pour la raeore perurbée e elu pour la raeore nomnale Pour l éue es raeores nous supposons que : Les varables aléaores arrvées es pannes emanes u len réparaons mane son srbuées e la même façon pour les eux raeores e que par onséquen es le même pour les eux raeores 2 La prouon maxmale es enque pour les eux raeores Les noaons suvanes son ulsées : u g : Vesse e prouon à l nsan pour la raeore perurbée : Nombre e pèes ransporées à l nsan pour la raeore perurbée D P : Nombre e emanes non sasfaes par uné e emps à l nsan pour la raeore perurbée : Nombre e emanes non sasfaes à l nsan pour la raeore perurbée s : ème nsan pour lequel le sok sur la raeore nomnale even sauré e qu enraîne un éalage enre la raeore nomnale e la raeore perurbée Nous avons on s e s s s ave =2 : ème nsan pour lequel le sok sur la raeore perurbée even sauré e s x à e nsan le éalage aen s : ème nsan pour lequel le sok sur la raeore perurbée even ve e qu v annule le éalage enre la raeore nomnale e la raeore perurbée où e x x v v v 28

40 v : Derner nsan pour lequel le sok pour la raeore nomnale even ve enre s e v Des exemples évoluon es eux raeores pour Fgures 23 e 24 son onnés ans les Nveau e sok x x s s v v s s v v Fgure 23 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée exemple Nveau e sok x x s s v v s v v Fgure 24 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée exemple 2 L'nervalle peu êre vsé selon eux yles qu s alernen Fgure 25 : les premers yles apparassen lorsque e les aures lorsque s v v s 29

41 Fgure 25 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée eux yles en alernane Ces yles seron ulsés ans les émonsraons es éorèmes qu généralsen l éue es raeores La vesse e prouon sur la raeore perurbée es onnée par : D s = e x u s = ou x 25 U s = e x Le lemme 2 monre qu à l nsan le nveau u sok pour la raeore perurbée even sauré e qu enraîne un éalage enre la raeore nomnale e la raeore perurbée Nous allons ulser e lemme ans la émonsraon u éorème 2 Lemme 2 : S alors x x Nous allons émonrer e lemme après la émonsraon u éorème 2 Le éorème 2 monre que s s v e la raeore perurbée es égale à la raeore nomnale plus le éalage Ce éorème es ulsé après pour éermner les esmaeurs IPA e pour monrer qu ls son non basés éorème 2 : S x x e s v alors x x ave Nous avons s Preuve u éorème 2 : s s e s alors x x s s v s s s v v v s s s v v v nous allons monrer que ans les nervalles 3

42 S Fgure 2: s s Nous monrons par l absure que s x x Nous supposons que s ' x x Alors s ' avons : e e s s nous ne pouvons pas avor s s ave ' nous avons x ' x ' s s nous avons x ' e x ' e après l équaon 23 nous x x ' u D ' e x x ' u D ' x ' u D ' S s s nous avons x ou x e x après l équaon 22 nous avons respevemen u ou u D e u U Alors nous avons : x x ' U D ' S u alors x x ' D ' x ' D ' x S u D alors x x ' D D ' x ' on x x ar U D Dans ous les as nous avons x x où l es mpoble que x x s s s Don l exse un éalage enre x e x où x x La Fgure 2 représene le éalage ans zoom e la zone qu exse sur la Fgure 23 s s s s e 3

43 x x s s s s v Fgure 27 Fgure 26 : Déalage zone Nous monrons par réurrene que s s v nous avons x x Nous supposons que x x e nous allons monrer qu à l nsan ' x ' x ' ave ' S ' e s v nous avons : s s s v que x ' x u D ' x u D ' e x ' x u D ' Pour u e u nous avons ros as selon les équaons 22 e 25 : - as : lorsque x alors nous avons x e s e u = u = D - as 2 : lorsque x alors nous avons x e s alors u = u = U - as 3 : lorsque Par onséquen u Nous avons alors alors u u s = u = = s v x ' x ' où x x Nous avons x x lemme2 Don x x s s s s v 32

44 Nveau e sok x x s s v v s v v Fgure 28 x x Fgure 27 : Déalage zone Nous monrons par l absure que s nous ne pouvons pas avor Nous supposons que lorsque v v nous avons x x S x x nous avons x x ans e as e qu es s v mpoble ar Alors x x v v v v v v v v v v v Nveau e sok x x v v Fgure 28 : Déalage zone v v CQFD 33

45 S Preuve u Lemme 2 : s s nous avons x x x ' u D ' x ' u D ' ave Nous avons u U s s s alors ' U u Nous avons eux as s s s u ou u D ' - Cas : s u alors ' U ' - Cas 2: s u D alors ' U D ' Nous onsaons que ans les eux as es rossan sur l nervalle En effe à l nsan le éalage aen son maxmum e Alors x s s s x CQFD Remarque 23 : Dans l éue es raeores la perurbaon es nfnésmale e le emps e smulaon en vers l nfn alors nous supposons que s e s v v où le éalage s Le lemme suvan monre qu à l nsan le nveau u sok e la raeore perurbée even ve e qu annule le éalage enre la raeore nomnale e la raeore perurbée nous allons ulser e lemme ans la émonsraon u éorème 22 Lemme 22 : S alors x x v Nous allons émonrer la preuve e e lemme après la émonsraon u éorème 22 Dans le éorème 22 nous allons monrer que s nomnale x e la raeore perurbée x son égales v s v alors la raeore éorème 22 : S x x e v s alors x x vor Fgure 24 v v s s s v s s s Preuve u éorème 22 : Nous monrons par l absure que s x x ave v s nous ne pouvons pas avor 34

46 Nous supposons que x x s ave A l nsan nous avons x x lemme 22 alors x x où on l es mpoble que s v v s v v v Alors lorsque nous avons x x v s v v s v CQFD Preuve u Lemme 22 : v v S v nous avons x v = x ' u D ' v v v ave ' v x v x ' u D ' v v v Nous avons u = u e x ' x ' ' ave ' ou v v x v = x ' v x v ' nous avons ' alors x as poble ou x v v as mpoble Le éorème 23 monre que s CQFD le nombre e pèes ransporées pour la raeore perurbée g es égale à elu pour la raeore nomnale g plus la perurbaon éorème 23 : S v v e D alors g g S Preuve u éorème 23: v v alors x e x e après l équaon 22 nous avons D D e D où g e g D Alors g g s D Nous onsaons que s v v v v le éalage enre le nombre e pèes ransporées pour la raeore perurbée e elu pour la raeore nomnale es égal au éalage enre le nveau e sok pour la raeore perurbée e elu e la raeore nomnale Or après la v v Remarque 2 e éalage es éfn par Don s v v le éalage enre g e g es égal à e 35

47 Par onséquen g g CQFD Le éorème 24 monre que s \ v v le nombre e pèes ransporées pour la raeore perurbée e pour la raeore nomnale son égaux éorème 24 : S \ v v alors g g Preuve u éorème 24 : Nous avons \ \ S \ nous avons x e x e après l équaon 22 nous avons D D où g D g S nous avons x x éorème 22 alors s x x nous avons g D g e s x x nous avons g g Alors g g s \ v v s v v v v s s v v s v v v v CQFD Dans la seon suvane nous allons ulser es éorèmes pour éermner les esmaeurs IPA 24 Opmsaon basée sur la méoe IPA Dans ee seon nous allons monrer que les esmaeurs IPA son non basés es esmaeurs seron ulsés par la sue ans un algorme opmsaon pour éermner la valeur u nveau e sok opmal 24 Esmaeurs IPA Dans ee pare nous allons éermner les esmaeurs IPA e la fonon e oû La valeur moyenne es érvées es raeores es obenue par smulaon e es ulsée à la plae e la érvée e l espérane u oû Par onséquen nous evons monrer que les esmaeurs u graen son non basés En effe la émonsraon absene e bas es une onon pour ulser es esmaeurs ans un algorme opmsaon e qu nous perme e vérfer que les esmaons es érvées son égales aux érvées exaes Pour ela nous evons prouver que : 36

48 37 pour ou ans H H es l ensemble es valeurs pobles e [PAN6] Le oû moyen qu orrespon à la raeore perurbée es onné par : g P s x s E lm L esmaon éanllonnée pour le oû moyen qu orrespon à la raeore perurbée es la suvane : g P s x s E L esmaon éanllonnée pour le oû moyen qu orrespon à la raeore nomnale es onnée par : g P s x s E Nous pouvons manenan éermner les esmaeurs es graens e la fonon e oû L esmaon éanllonnée e la fférene enre le oû moyen e la raeore perurbée e le oû moyen e la raeore nomnale es onnée par : a a C C A x x s E B P P s C g g C E C E a a C a a C C a

49 38 Nous allons éermner les expreons A B e C Nous supposons ans l nervalle qu l y a m nervalles Pour l expreon A : Nous avons s x x x x 2 s v v s x x x x vm v s x x x x Nous avons s éorème 2 e s éorème 22 Don nous avons : Pour l expreon B : Nous avons P P v v v P P P P v v v v P P P P 2 vm P P Nous avons P e P qu son égaux s ar ans e as les emanes son sasfaes pour les eux raeores Par onre lorsque le nombre e pèes sasfaes es égal au nombre e pèes ans le sok où la fférene enre le s v x x s v x x s v \ m m v s v s x x x x v v \ v v

50 nombre e pèes sasfaes pour la raeore perurbée e elu pour la raeore nomnale es égale à x x La fférene enre le nombre e pèes perues non sasfaes pour la raeore perurbée e elu pour la raeore nomnale es égale à l opposé e elle pour le as es pèes sasfaes où P P P P m v m v P P m v m v Pour l expreon C : Nous avons g g v v g g g g v 2 v Nous avons g g s v v éorème 23 e g g s \ v v éorème 24 où v v g g g g vm v g g g g m v v Alors nous avons : C a Ca E m v s s m v v s m v v Supposons que ave Alors m v s w m Ca Ca E s w s v v w 39

51 L esmaon éanllonnée e la fférene u oû moyen es omposée e ros pares qu son : l esmaon e la fférene u oû e sokage u oû e emanes perues e u oû e ranspor Les graens e la fonon e oû son éfns par : C E s s a w w C a ' ' ' E X s B s G ave e les ' ' ' X G B esmaeurs es graens u aque pare e la fonon e oû qu son onnés par : ' X ' w ' w G e B éorème 25 : Les esmaeurs u graen u oû moyen son non basés Preuve u éorème 25 : Pour monrer que les esmaeurs u graen u oû moyen son non basés nous evons sasfare les eux onons suvanes : - La érvée e la fonon e oû Ca exsen - La fonon e oû es onnue par Lpsz La premère onon es garane par l ypoèse 2 [PAN6] [GLA9] l nous rese à monrer que la fonon e oû es onnue par Lpsz Le oû moyen es C a onnu par Lpsz ans H s l exse une onsane k R elle que : C a C k a H L esmaon éanllonnée e la fférene enre le oû moyen e la raeore perurbée e le oû moyen e la raeore nomnale es onnée par : C a Ca E w s s Nous avons eux as e s : Cas : s s w s Nous avons C a Ca E w s s alors 4

52 C a w Ca E s s E w s Nous avons w alors C a Ca E w s E s C C E s a a Nous supposons k E s alors C C k a a Cas 2 : s s w s Nous avons C a Ca E w s s alors w Ca Ca E s s w w E s s E s Nous avons w alors C a Ca C C E s a a w E s E s Nous supposons k E s alors C C k a a Dans ous les as nous avons selon Lpsz C a C k alors la fonon es onnue a CQFD Dans e qu su nous présenons un algorme algorme 'esmaon permean ' ' ' e éermner les esmaeurs IPA X G e B qu seron ulsés par la sue ans un algorme 'opmsaon 4

53 So S F e R les esmaeurs IPA paramères qu seron ulsés ans l algorme ' S ' R ' F suvan el que X G e B Algorme es esmaeurs IPA Débu S= F= R= = q= l= w= // Inalsaon Fare S s alors q= s Avaner S v alors l= v Avaner S v alors w= v S= S+ w-q R=F=F+ w-l q=l=w= Avaner Fn an que < ' S ' R X G e ' B F Dans e qu su nous présenons l algorme 'opmsaon qu éermne le nveau u sok opmal 242 Algorme opmsaon L'algorme 'opmsaon nous perme e éermner le nveau u sok opmal Il es onné par : Débu mn = e max = MRD moy ave D moy es la moyenne es emanes Fare Eape : = max Eape 2 : Déermner les esmaeurs R S e F qu orresponen à = max par l ulsaon e l algorme es esmaeurs IPA Eape 3 : Déermner l esmaon u graen e la fonon e oû V à parr es esmaeurs R S e F ave V R s S s F / Eape 4 : S V alors mn = max e max = 2* max e revenr à l éape snon passer à l éape 5 Eape 5 : m = max + mn /2 pus éermner V m 42

54 Fn Eape 6 : S V m alors mn = m s non max = m Eape 7 : S max - mn > revenr à l éape snon passer à l éape 8 Eape 8 : Le sok opmal es égal à m Dans e qu su es résulas numérques son présenés pour monrer l'nérê e nore méoe e éuer l'mpa u éla e lvrason sur la valeur e 243 Résulas numérques Dans ee pare nous éuons l'mpa u éla e lvrason sur pour les eux as suvans : - Cas : la emane es omprse enre e uran En effe e as orrespon au fa que le len s'aen à reevor sa emane avan e fare une nouvelle emane Auremen s le len a fa une emane à l nsan l o aenre l nsan + l nsan où le len reço sa emane pour fare une nouvelle emane - Cas 2: la emane es omprse enre e à aque nsan Ce as orrespon au fa que le len fa une emane à aque nsan e l la reço l nsan + La emane es générée par la lo unforme pour l événemen emane e normale pour la valeur e la emane MBF e MR son générés par es los exponenelles Pour valer les résulas es smulaons nous avons ulsé le ese e Suen pour aque smulaon e qu onsse à aluler le oû C éravemen en fos e éermner à parr e es valeurs alulés l nervalle e onfane en ulsan la able e la lo e Suen [SAD] e enfn e vérfer que aque valeur e oû C apparen à e nervalle En effe nous avons éable une fonon es qu perme e vérfer s aque valeur e oû apparen à l nervalle e onfane pus e éermner le pourenage es valeurs qu apparennen à e nervalle Nous présenons les résulas es smulaons ave les pourenages onnés par la fonon es Les résulas es smulaons es as e 2 son présenés respevemen ans les ableaux ableau 2 e ableau 22 Pour les eux as vare e à e le programme éermne le nveau u sok opmal qu mnmse la fonon e oû moyen en fonon e Les paramères e smulaon son les suvans : - U = pèe/uné e emps - La moyenne es emanes es égale à 8 - La moyenne u emps e bon fononnemen MBF es égale à 2 e la moyenne u emps e réparaon MR es égale à - Le oû unare e sokage s es égal à uné monéare - Le oû unare e ranspor es égal à uné monéare - Le oû unare une emane perue s es égal à 2 unés monéares - Le emps oal e smulaon es égal à E+7 unés e emps 43

55 - Le nombre e egré e lberé os pour éermner les bornes es nervalles e onfane à parr e la able e lo e Suen es égal à 4 egrés e lberé Nveau u sok opmal C uné monéare Pourenages es valeurs e oû qu apparennen à l nervalle e onfane % % % % % % % % % % ableau 2 : Impa u éla e lvrason sur as Nveau u sok opmal C uné monéare Pourenages es valeurs e oû qu apparennen à l nervalle e onfane % % % % % % % % % % ableau 22 : Impa u éla e lvrason sur as 2 Nous pouvons vor que le éla e lvrason ans le as a un mpa sur la valeur e En effe le as le len s'aen à reevor sa emane avan e fare une nouvelle emane Alors le nombre oal e emanes mnue lorsque que le éla e lvrason augmene le nveau e sok mnue lorsque les emanes mnue selon la polque u 44

56 pon e séparaon Don pour e as la valeur e qu mnmse le oû moyen ben sûr mnue lorsque le éla e lvrason augmene Pour le as 2 la emane es népenane u éla e lvrason on le nveau e sok es égalemen népenan u éla e lvrason Don pour le as 2 le éla e lvrason n'a pas 'mpa sur la valeur e 25 Conluson Nous avons applqué un moèle à flux onnus pour un sysème e prouon en enan ompe es élas e lvrason Le sysème es omposé une mane un sok e apaé nfne e un len qu emane à aque nsan une quané e prou aléaore Le éla e lvrason es onnu e onsan Nous avons ulsé la polque u pon e séparaon pour ploer la prouon Pour éermner le nveau e sok opmal qu mnmse le oû nous avons applqué la méoe IPA Ans nous avons éué e analysé les raeores u nveau e sok e u nombre e pèes ransporées Nous avons obenu eux yles alernés e répéfs : le premer yle orrespon au fa que la raeore perurbée es égale à la raeore nomnale plus un éalage e yle orrespon à l obenon u sok sauré sur la raeore perurbée Le euxème yle orrespon au fa que les raeores perurbée e nomnale son égales e yle orrespon à la onsruon u sok Nous avons généralsé es éues par es éorèmes Nous avons ensue ulsé es éorèmes pour éermner les esmaeurs IPA e prouvé qu ls son non basés Nous avons éermné les valeurs opmales e par un algorme 'opmsaon qu ulse les esmaeurs IPA Nous avons smulé eux as qu éuen l'mpa es élas e lvrason sur Les élas e lvrasons on un mpa sur la valeur u sok opmal ans le as où la emane es omprse enre e uran Ce as orrespon au fa que le len s'aen à reevor sa emane avan e fare une nouvelle emane où le nombre oal e emanes mnue lorsque que le éla e lvrason augmene Alors le nveau e sok mnue lorsque les emanes mnuen Cee éue a onné leu à une présenaon ans une onférene nernaonale [URa] Dans la sue nous allons moélser nore sysème par un moèle à flux sres afn e fare une omparason enre les résulas obenus pour un moèle à flux sres e pour un moèle à flux onnus En effe la méoe IPA es largemen applquée au moèle à flux onnus ans e nombreux ravaux ave e bons résulas Par onséquen nous voulons évaluer les résulas obenus pour un moèle à flux sres en les omparans ave les résulas obenus ans e apre en ulsan les mêmes paramères e mêmes ypoèses 45

57 Capre 3 : Applaon e la méoe IPA sur un moèle à flux sres un sysème e prouon ave un éla e lvrason onsan 3 Inrouon Dans e apre nous nous néressons au même sysème e prouon que elu éué ans le apre prééen Nous avons ulsé ans le apre prééen un moèle à flux onnus pour analyser e opmser e sysème Dans e apre nous allons ulser un moèle à flux sres pour moélser analyser e smuler le sysème e prouon en enan ouours ompe es élas e lvrason La méoe IPA analyse es perurbaons nfnésmale sera égalemen applquée pour e moèle pour rouver le nveau e sok opmal L obef e e apre n es pas seulemen e éermner le nveau e sok opmal mas au e omparer les résulas rouvés ans le apre prééen à eux qu son rouvés ans e apre En effe l s ag e omparer les résulas onnés par l applaon e la méoe IPA sur un moèle à flux onnus apre prééen à eux qu son onnés par l applaon e la méoe IPA sur un moèle à flux sres Les moèles à flux sres [FEN] [MOU7] son souven onsérés plus réalses pour les sysèmes e fabraon srèe que les moèles à flux onnus En effe pour l'évaluaon es performanes ou le onrôle es flux en emps réel les moèles à flux sres permeen e suvre l évoluon u sysème pèe par pèe Ans ls son généralemen plus fales à smuler D après nos onnassanes l n exse pas e ravaux qu applquen la méoe IPA à es moèles à flux sres en rason u fa que généralemen les esmaeurs evennen basé pour es moèles [CAS2] En effe l absene e bas pour les esmaeurs es la onon prnpale pour renre l'applaon e l'ipa ule en praque Ces esmaeurs non basés peuven êre ensue ulsés ans es algormes 'approxmaon soasque Maleureusemen les moèles à flux sres omme les moèles à flux onnus néglgen eranes araérsques mporanes es sysèmes e fabraon els que les élas e prouon e les élas e lvrason De nombreux fabrans pensen à réure les rears e ranspor els que le éla e lvrason Ce éla a un mpa onsérable sur les mesures e performane En général les rears son moélsés par l ulsaon équaons fférenelles e rear à la plae es équaons fférenelles ornares Il exse es ravaux qu réalsen l mporane es rears en examnan l mpa es rears sur le ploage opmal 'un ob sop e façon à mnmser le oû oal mas le sysème onséré es omposé seulemen e eux éages Mouran e al [MOU7] on éenu le moèle e Van Ryzn e ls on proposé un moèle e réseau e Per onnu ave es rears pour la moélsaon es performanes e l opmsaon es lgnes e ransfer Swar e Papasavrou [SWI99] on éveloppé un moèle soasque e 46

58 ynamque pour les problèmes e ramassage e e lvrason Les aueurs on onséré les varaons es apaés es véules Pro e al [PRO97] on proposé un moèle e planfaon assemblage e e sokage es pèes sous l ypoèse une emane onsane pour les prous fns e es élas approvsonnemen aléaores pour les pèes à assembler Les aueurs prennen en ompe le oû e sokage es pèes e le oû e pénalé Cepenan l éue es sysèmes e prouon ave es élas e lvrason ombnée à l IPA es un sue rès réen Le plan e e apre es le suvan Nous allons éermner les équaons u sysème ans la premère seon e e apre Pus nous allons érre la fonon e oû moyen qu épen u nveau e sok u nombre e emanes perues e u nombre e pèes ransporées Nous allons éuer ans la euxème seon les eux raeores IPA u nveau e sok une raeore nomnale e une perurbée u nombre e pèes ransporées e u nombre e pèes perues pour une perurbaon posve Par la sue nous onnons les éorèmes qu généralsen es éues e qu seron ulsés ans la rosème seon pour esmer uran la smulaon les fférenes e la fonon e oû Ces esmaeurs son ensue mplanés ans un algorme opmsaon basé sur la méoe IPA pour éermner la valeur u sok opmal e les résulas onnés par e algorme son présenées à la fn e la rosème seon Dans la onluson nous synésons les résulas e e apre e les rquons en les omparans aux résulas u apre prééen Enfn nous onnons quelques perspeves à nos ravaux 32 Sysème e prouon onséré Dans e apre nous onsérons un moèle à flux sres pour le même sysème e prouon que elu présené ans le apre prééen Fgure 2 Les varables D u U x e son remplaés respevemen par D u U x e e son nangés Nous aouons eux aures varables y le nombre es pèes qu soren u sok à l nsan e X le nombre es pèes ransporées à l nsan La emane D es booléenne e arrve selon une srbuon e Bernoull Nous onservons les mêmes ypoèses que elles u apre prééen Nous onsérons le as une apaé nfne u sok où le nombre e prous ans le sok à l nsan es noé par x e onné par : x x - u - y 3 Les pèes qu soren u sok prennen un emps e lvrason pour êre ransporée Le nombre es pèes qu soren u sok à l nsan es noé par y e onné par : 47

59 y D x s x - D s x - s x - D 32 Pour nore sysème nous supposons que les pèes qu soren u sok seron ransporées ans un véule qu es onséré omme un sok Nous supposons au que le nombre e pèes exsanes ans e véule à l'nsan es le nombre e pèes ransporées à l'nsan En effe le nombre e pèes qu soren u sok y es le nombre e pèes qu enren ans le véule e le nombre e pèes qu arrven au len es le nombre e pèes qu soren u véule Alors le omporemen u nombre es pèes ransporées es semblable à elu u nombre es pèes sokées On noe X es le nombre es pèes ransporées à l nsan Il es égal au nombre es pèes ransporées à l nsan prééen X plus le nombre e pèes qu soren u sok y mons le nombre e pèes qu arrven ez le len y - D où l équaon : X = X +y y - 33 Lorsque la mane es en panne e = u = Lorsque la mane es en éa e mare e = u peu prenre une valeur enre e U nlus u U D D - x - s = e x s = e x s = e x s = < = > 34 Hypoèse 3 : Nous supposons que le nveau opmal u sok es sremen supéreur à > En effe lorsque = l éue éorque es raeores IPA ne peu pas êre généralsée Remarque 3: Nous allons usfer l ypoèse 3 ans les émonsraons u lemme 33 ans la seon 33 Les événemens pobles son les mêmes événemens que eux onsérés ans le apre prééen en aouan un événemen prouon mane UM Hypoèse 32 : Pour l'applaon e la méoe IPA e afn 'éver es sonnués mporanes nous evons onsérer un seul événemen à aque nsan on nous proposons es prorés enre les événemens s fférens événemens se prousen au même nsan La proré es arbuée ans un orre érossan omme su : - Evénemen mplquan le sok : SS ou SV - Evénemen mplquan la mane : UM PM ou RM - Evénemen emane : DE Cee prorsaon es événemens n a pas effe sur l évoluon u sysème pusqu on en ompe e ous les événemens qu arrven au même nsan 48

60 Remarque 32 : Nous avons à un nsan l événemen DE s mane en panne e s nous ne n avons pas SS ou SV e s nous n avons pas forémen un événemen PM u = La fonon e oû C à l nsan qu épen u nombre e pèes ans le sok B le nombre e pèes ransporées e es emanes perues es onnée par: C s x s s son éfns ans le apre prééen s D X 35 Ave D le nombre e emanes non sasfaes perues D D y La fonon e oû oal noée par C e qu épen e es onnée par : C C ave le emps oal e smulaon 36 Dans la seon suvane nous analysons les raeores u nveau u sok les pèes soranes u sok e les pèes ransporées Cee éue nous permera e rouver les esmaeurs IPA e e prouver que es esmaeurs son non basés 33 Eue es raeores So x le nveau u sok e la raeore nomnale ave omme sok opmal e x le nveau u sok pour la raeore perurbée s la perurbaon es posve Fgure 3 e Fgure 32 Le as une perurbaon négave es onné en Annexe Pour ela nous supposons que le nveau u sok opmal ans le as > es augmené par une perurbaon e nous évaluons les angemens nus ans la fonon e oû en ulsan es argumens géomérques Remarque 33 : Le nveau u sok opmal e la raeore perurbée es Pour l éue es raeores nous onservons les mêmes ypoèses e les mêmes remarques que elles présenées ans le apre prééen en aouan l ypoèse suvane : La perurbaon ans la éore e l IPA la perurbaon o êre rès pee mas fférene e alors nous avons os plus pee valeur enère Les noaons suvanes son ulsées : : Insan où le sok es ve pour la raeore perurbée : Insan où le sok es ve pour la raeore nomnale y : Nombre e pèes soran u sok à l nsan pour la raeore perurbée u : aux e prouon à l nsan pour la raeore perurbée 49

61 X : Nombre e pèes ransporées à l nsan pour la raeore perurbée : ème ss nsan où le sok pour la raeore perurbée even sauré e qu enraîne un éalage enre la raeore nomnale e la raeore perurbée x x alors on a : ème nsan qu annule le éalage enre la raeore nomnale e la raeore perurbée ave où L nsan orrespon à l un es nsans le sok even ve pour la raeore perurbée e qu peu orresponre à l un es eux as suvans : - Cas A Fgure 3 : e as se prou à l nsan + lorsque nous avons à l nsan u u e x e s à l nsan + D L nsan + es l nsan - Cas B Fgure 32 : e as se prou à l nsan + lorsque nous avons à l nsan u u e e s à l nsan + D L nsan + es l nsan ss ss On peu onlure que s alors nous avons eux as pobles : - Cas A nous avons x x - Cas B nous avons x x x Des exemples évoluon es eux raeores pour > e qu représenen les as A e B son onnés respevemen ans les Fgure 3e Fgure 32 Nveau e sok x x ss ss Fgure 3 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée as A 5

62 Nveau e sok x x ss ss Fgure 32 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée as B So un orzon fn nous onsérons les raeores x e x ave L'nervalle peu êre vsé selon eux yles qu s alernen : les premers yles apparassen lorsque e les aures lorsque vor Fgure 33 ss ss Pour es nervalles les raeores perurbée e nomnale son analysées e omparées x x ss ss Cyle Cyle2 Cyle Fgure 33 : Nveau u sok es raeores nomnale e perurbée eux yles en alernane Dans e qu su l'éue es raeores sera généralsée ans sx éorèmes qu seron ulsés pour éermner les esmaeurs IPA Nous allons monrer que s e > la raeore perurbée x es égale à la raeore nomnale x ss plus la perurbaon éorème 3 pus s ss e > la raeore nomnale x es égale à la raeore perurbée x éorème 32 Dans e qu su nous présenons les lemmes 3 e 32 qu seron ulsés ans les émonsraons es éorèmes 3 e 32 En effe le nveau u sok épen e la prouon e la mane en amon mas égalemen es pèes qu son ransporées ez le len 5

63 équaon 32 Les lemmes 3 e 32 suvans nous permeen e onnaîre le nombre e pèes ransporées pour la raeore nomnale e pour la raeore perurbée Lemme 3: S \ alors y y D Preuve u Lemme 3 : S \ nous avons x ar s nous avons x ou or n es ss pas nlus ans l nervalle D où y D équaon 32 Euons y +: y a : S alors y D avons ben y y D équaon 32 Dans e as nous b : S x alors Ce as es mpoble ar Don y x ss ss D s on n a pas l événemen SV pour la raeore nomnale alors CQFD Remarque 34 : L éue es valeurs e y e ans le as événemen SV sera raé ans l éue u as u éorème 3 as où le premer événemen à pour la raeore nomnale es SV Lemme 32 : S \ e \ e s x x e ss y ss y ss x x alors y y D ss n Preuve u Lemme 32 : S \ alors x n e x n n=2 ar s ss alors x n e x n as A e as B Alors après l équaon 32 on a : y n D n s x n y n D n s x n D où y n y n 52

64 CQFD Le lemme suvan monre qu à l nsan le nveau u sok e la raeore perurbée even sauré e qu enraîne un éalage égal à enre la raeore nomnale e la raeore perurbée e lemme orrespon à la onon nale u éorème 3 Lemme 33 : S e alors x x ss ss Nous allons émonrer e lemme après les émonsraons es éorèmes 3 e 32 pare que elles- son lées Le éorème 3 monre que la raeore perurbée es égale à la raeore nomnale plus la perurbaon s ss ee péroe orrespon à l aèvemen u sok sauré pour la raeore perurbée ss éorème 3 : S > e s ss x x alors x x pour ou ss ss Preuve u éorème 3 : Nous allons émonrer e éorème par réurrene Supposons qu à l nsan n l égalé x n x n so vrae nous evons monrer qu à l nsan ss n x n ss En ulsan l ypoèse e la réurrene les équaons u sok son les suvanes : E D après le lemme 3 s x E nous avons: n x n u n D n ss ss x n x n u n D n ss ss x n x n u n y n ss ss ss ss ss ss x n u n y n ss ss ss x n x n u n y n ss ss \ ss ss ss ss ss ss ss ss x n ss Par onséquen x n x n u n u n ss ss ss ss Don l suff éuer les sx as u n e u n pour monrer e éorème ss ss 53

65 A l nsan ableau 3 ss n fférens événemens peuven se proure Ils son onnés ans le Premer événemen à ss n pour la as raeore nomnale SV 2 SS 3 PM 4 RM 5 UM 6 DE ableau 3 : Evénemens pobles à l nsan n Avan e émonrer ee réurrene ans les sx as pobles l ne fau pas oubler que le nveau maxmal u sok e la raeore perurbée es e que par onséquen u es onné par : ss u U D D - x - s = e x s = e x s = e x s = < = > 37 Cas : A ss SV ave e n le premer événemen onséré pour la raeore nomnale es ss Nous avons on x n e x n x n Deux as son pobles : u n e u n selon les équaons 34 e 37 Cas a : S n nous avons alors u e u n U où u n U u n Cas b : S n alors u n u n Par onséquen ans ous les as u n u n Euons x n e x n suvan les fférenes valeurs pobles e y n e ss applable ans e as ss ss ss n U ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss y n onnées par l équaon 32 le lemme 3 n es pas ss ss ss ss ss 54

66 Nous avons y n ar x n ss Euons la valeur e y n à n ss ss ss Nous avons y n D n ss ss ar x n ss Cas : S D n ss alors y n y n ss ss D où x n x n ss ss Cas : S D n alors ss x n u n u n ss ss ss Selon la valeur e u n nous obenons eux as : Cas : S u n RM à =n+ nous remarquons que e as orrespon au as B Fgure 32 alors ar ans e as ss as mpoble Cas2 : S u n nous remarquons que e as orrespon au as A Fgure 3 alors n as mpoble ar snon D où le Cas es mpoble Le seul as poble lorsque nous avons SV pour la raeore nomnale es on le Cas D n Ce qu onne Don x n x n Cas 2 : A ss x n x n ss ss ss ss n le premer événemen onséré pour la raeore nomnale es SS ave e S à n on a l événemen SS pour la raeore nomnale e x n ss nous avons égalemen l événemen SS pour la raeore perurbée ar x n x n Euons les fférenes valeurs pobles e u n e u n onnées par les équaons 34 e 37 ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss n ss ss ss ss 55

67 Cas 2a : S n e x n Ce n es pas poble ar nous ss avons l événemen SS Cas 2b : S n UM e SS ou RM e SS e x n alors ss nous avons u n D n ss Comme x n x n alors u n D n ss ss Par onséquen nous avons ben u n u n ss ss ss Cas 2 : S n UM e SS ou RM e SS x n e alors nous avons u n D n x n ss ss ss ss ss ss ss ss ss Comme x n x n ss ss alors u n D n x n D ss ss n x n ss D ss n x ss n Par onséquen nous avons ben u n u n Cas 2 : S n PM e SS u n u n ss ss ss ss ss ss Par onséquen ans ous les sous as x n x n ss ss u n u n ss ss e on Cas 3:A ss n le premer événemen onséré pour la raeore nomnale es PM ave e S à ss n on a l événemen PM pour la raeore nomnale nous avons égalemen l événemen PM pour la raeore perurbée Don n e par onséquen u n u n ss ss ss Alors nous avons ben x n x n Nous avons n ss ss Cas 4 e 5 : à ss n le premer événemen onséré pour la raeore nomnale es RM ou UM ave e ss ss ss ss ss 56

68 Nous n avons pas SS e SV pour la raeore nomnale Monrons qu l n es pas poble avor es événemens pour la raeore perurbée S nous avons SS pour la raeore perurbée e aurons x ss n x ss n x n ss e qu es mpoble alors nous De la même façon s nous avons SV pour la raeore perurbée e x ss n alors nous aurons x n x n e qu es mpoble Pusque alors u n u n U équaons 34 e 37 où Cas 6 : à ss n le premer événemen onséré pour la raeore nomnale es DE ave e par onséquen les premers événemens SS SV UM PM e RM ne son pas pobles pour la raeore nomnale où n e après les équaons 34 e 37 on a u n u n Alors nous avons ben x n x n Remarque 35: à nous avons la onon nale u éorème 32 Le lemme suvan monre qu à l nsan CQFD le nveau u sok e la raeore perurbée even ve e qu annule le éalage enre la raeore nomnale e la raeore perurbée e lemme orrespon à la onon nale u éorème 32 Lemme 34 : à nous avons x x ss x n x n ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss Nous allons émonrer la preuve e e lemme après la émonsraon u éorème 32 ss ss s Le éorème 32 monre que la raeore perurbée es égale à la raeore nomnale Cee péroe orrespon à la onsruon u sok ss éorème 32 : S > e > e s x x alors x x pour ou ss Preuve u éorème 32 : Nous allons égalemen émonrer e éorème par réurrene Les équaons es soks son les suvanes : ss ss 57

69 x x n u n y n e x n x n u n y n Nous allons on émonrer ee réurrene ans les sx as pobles Cas : à n le premer événemen onséré pour la raeore nomnale es SV ave e on x n alors x n Euons les fférenes valeurs pobles e y n e y n onnées par l équaon 32 n x n u ss ss n y n Nous avons SV y n y n ar x n x n Euons les fférenes valeurs pobles e u n e u n onnées par les équaons 34 e 37 Cas a : S u n U ar n UM e SS ou RM e SS alors u n Cas b : S n PM e SS alors u n u n Par onséquen ans ous les sous-as nous avons x n x n u n u n e Cas 2 : à n le premer événemen onséré pour la raeore nomnale es SS ave e ss On ne peu pas avor l événemen SS pour la raeore perurbée au même nsan ar n ss Don s on a l événemen SS pour la raeore nomnale on n a pas événemen SS pour la raeore perurbée e que x n x n alors x n Comme la supposon e la réurrene Euons les fférenes valeurs pobles e u n e u n onnées par les équaons 34 e 37 ss x n 58

70 Cas 2a : s x n x n Cas mpoble ar n ss Cas 2b : S n UM e SS ou RM e SS e x n alors nous avons u n D n Comme x n x n alors u n D n Cas 2 : u n u n s PM e SS Par onséquen nous avons ben x n u n u n e x n Cas 3 : à n le premer événemen onséré pour la raeore nomnale es PM ave e Don n e par onséquen u n u n Alors nous avons ben x n x n Cas 4e 5:à n le premer événemen onséré pour la raeore nomnale es RM ou UM ave e Nous avons n ss ss Euons les fférenes valeurs pobles e u n e u n onnées par les équaons 34 e 37 ans le as où n Comme le premer événemen onséré es RM ou UM nous n avons pas SS e SV pour la raeore nomnale Monrons qu l n es pas poble avor es événemens pour la raeore perurbée Nous ne pouvons pas avor l événemen SS pour la raeore perurbée ar n ss S nous avons SV pour la raeore perurbée e x or n x n x n e qu es mpoble ar à n on n a pas événemen SV pour la raeore nomnale Pusque alors u n u n U équaons 34 e 37 Nous avons ben x n x n ss ss 59

71 Cas 6 : à l nsan n le premer événemen onséré pour la raeore nomnale es DE ave e Pour applquer le lemme 32 ans e as on o monrer que s nous avons pour la raeore nomnale l événemen DE alors nous n avons pas l événemen SV pour la raeore perurbée S nous avons SV pour la raeore perurbée e x n alors x n x n e qu es mpoble ar à n on a un événemen DE pour la raeore nomnale Euons les fférens valeurs pobles e u n e u n onnés par les équaons 34 e 37 Nous avons l événemen DE pour la raeore nomnale alors les événemens SS SV UM PM e RM ne son pas pobles pour la raeore nomnale e n e après les équaons 34 e 37 nous avons u n u n Alors nous avons ben x n x n Remarque 36: à ss nous avons la onon nale u éorème 3 Nous allons monrer les lemmes 33 e 34 Preuve u Lemme 33 : ss ss À l nsan ss le nveau u sok es onné par : CQFD x x u y ss ss ss ss x ss x ss u ss y ss À l nsan ss le nveau u sok pour la raeore perurbée even sauré alors à l nsan ss nous avons x ss Le nveau u sok peu augmener ou mnuer une uné snon l rese onsan Alors enre ss e le nveau u sok a augmené une pèe e qu mplque que x ss ss x ss Nous avons alors x x éorème 32 ss ss ss ss 6

72 Alors s x ss e x ss forémen u ss e y ss S y ss e après l équaon 33 nous avons eux as: Cas : x e as es mpoble ar x ss Cas 2 : D alors y y ss Par onséquen nous avons : ss ss ss x x u u ss ss ss ss x u ss ss Euons les valeurs e u ss D après l équaon 34 nous avons u = D ar x Pour ela nous allons éuer les valeurs e D ss ss ss ss Cas 3: s D u ss ss alors: x ss x x ss ss Cas 4: s D u ss ss alors: x x ss ss Ce as épen e Cas 4: s Nous allons éuer la poblé e e as selon les valeurs pobles e x 2 Auremen pour aque valeur e x 2 e pour D nous allons vérfer s x ss Enre ss 2 e ss le nveau u sok peu augmener ou mnuer une uné snon l rese onsan Alors nous avons ros valeurs pobles e ans les sous-as suvans : ss Cas 4: s x 2 x le nveau e sok es ss ss mnué une pèe enre ss 2 e ss e as es mpoble ar ss x 2 qu son éuées ss ss 6

73 ss 2 ee péroe orrespon à la onsruon u sok éorème 32 alors x 2 Cas 42: s x 2 x le nveau e sok es le même enre ss 2 e ss e as es le même enre ss 2 e ss Cas 43: s x 2 x le nveau e sok es augmené une pèe enre ss 2 e ss e as es mpoble ar nous avons : Or x 2 alors y D ss équaon 32 e qu mplque que e as es mpoble Par onséquen le as 4 es mpoble s Cas 42 : s ss Comme nous avons éué le as 4 nous allons éuer la poblé e e as selon les valeurs pobles e x 2 Nous avons on ros sous-as : Cas 42: s x 2 e as es enque au sous-as 4 Cas 422: s x 2 x vor sous-as 42 Cas 422: s x 2 ss Ce as es poble s e seulemen s y e u 2 où : Nous avons x 2 alors y équaon 32 Alors nous avons eux as pour u 2 ss ss ss Cas 422a : s u 2 alors le as 422 es mpoble ss x x 2 y u 2 ss ss x y u 2 ss ss ss ss ss x x 2 y u 2 ss ss x y u 2 ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss 62

74 Cas 422b : s u 2 alors le as 422 es poble ss Nous pouvons on en onlure que le as 4 es poble s u 2 e x 2 Dans e as x alors le lemme 33 n es pas vérfé ss Alors nous supposons que ypoèse 3 pour éver le as ss ss Alors nous avons ben x x s ss ss Remarque 37: Ben que le as prenrons en ompe ans les smulaons numérques Preuve u Lemme 34 : CQFD ne so pas onséré ans la pare éorque nous les Nous allons monrer qu à nous avons x x Nous avons à : x x u y ss ss x x u y orrespon à l nsan où le sok even ve où x > or le nveau u sok un nsan à un aure peu augmener ou mnuer une uné ou reser onsan D où le sok enre e a mnué une uné alors x Nous avons après le éorème 3 nous avons où x alors nous avons y équaon 32 Pour avor x l fau que u e y S u nous avons eux as onnés par l équaon 37 ss x x u D s x es un as mpoble ar Alors le as poble es lorsque e après 34 nous avons u Alors nous avons : x x u y 63

75 Nous avons ben x x ss ss CQFD Nous avons éué le nveau u sok pour les raeores perurbée e nomnale nous allons manenan éuer le nombre e pèes ransporées pour les raeores perurbée e nomnale X e X qu épenen u nombre e pèes qu soren u sok pour les raeores perurbée e nomnale y e Commençons par éuer ou abor y 36 e y ans les éorèmes 33 e 34 pus e ans les éorèmes 35 e Le éorème 33 émonre que s les nombres e pèes qu soren u sok pour les raeores perurbée e nomnale son égaux e qu explque au que les nombres e emanes sasfaes pour les raeores perurbée e nomnale son égaux s éorème 33 : S \ alors y y Preuve u éorème 33 : y X X S \ nous avons x e alors y y D So avons y y x x x alors y y équaon 32 où \ nous Éuons manenan les valeurs e e y à y S alors x e x éorème 3 où y e y D Nous avons quare as : Cas : s D e alors u u ans e as y y Nous avons : x x x y u u 64

76 D où x alors ans e as ou Cas 2 : s D e alors u u ar ans e as x e x où y y Nous avons : D où x alors ans e as ou Cas 3 : s D e alors u u or e as orrespon au as A Fgure 3 où ou as non raé ar \ Cas 4 : s D e alors u u or e as orrespon au as B Fgure 32 où ou as non raé ar \ Conluson : s \ alors y y pusque y y nous obenons s \ y y CQFD Le éorème 34 émonre que s le nombre e pèes qu soren u sok pour la raeore perurbée es égal au nombre e pèes qu soren u sok pour la raeore nomnale plus la perurbaon e qu explque au que la emane es sasfae pour la raeore perurbée e pas pour la raeore nomnale ar à nous avons éorème 34 : S alors y y Preuve u éorème 34 : x x y u x x y u u x S nous avons x e y y alors nous avons eux as : Cas : le as où x e as se prou lorsque D e u u où x x y u u 65

77 Alors y y Cas 2 : le as où x se prou lorsque D e u u où x x y u x alors y Dans les eux as nous avons ben y y CQFD Le éorème 35 monre que le éalage enre le nombre e pèes ransporées pour la raeore perurbée e elu pour la raeore nomnale augmene à l nsan e mnue à l nsan éorème 35 : S x = x y y e X X alors pour nous avons X X z ave z 2 y Preuve u éorème 35 : Nous allons émonrer e éorème par réurrene Nous supposons que X n X n z n s n Nous allons monrer que X n X n z n s n Nous avons : X n X n y n y n X n X n y n y n Nous allons éuer n e n Cas: s n \ ave p 2 e p alors n = n éorème 33 p 2 Cas 2: s n alors y n y n éorème 34 Nous érvons n en fonon es eux as selon l éue e n e y n y X y y p y y 66

78 Cas : s n \ nous avons : p X n X n y n y n X n z n y n n Nous avons eux as y n e y n Cas : s n \ ave q 2 e q alors y n = y n Dans e as nous avons y q 2 X n X n z n y n X n z n y n Dans e as z n z n Alors nous avons n n z n alors y n = y n Cas 2: s n Dans e as nous avons : X q n X n z n y n y n X n z n Dans e as z n z n Alors nous avons Cas 2: s n X n X alors n y n y n X n z n y n y n Nous avons eux as e y n e n Cas 2: s X X n Dans e as nous avons : p n X X \ q n z n y X n X n z n y n y n X n z n y n y n X n z n 67

79 Dans e as z n z n Alors nous avons X n n z n Cas 22: s n Dans e as nous avons : q n X n z n y n y n X n z n y n n Dans e as z n z n Alors nous avons n n z n y QED éorème 36 : S x = x y y e X X alors pour \ nous avons X X X Preuve u éorème 36 : Nous allons émonrer e éorème par réurrene X X Nous supposons que X n X n s n \ X n z n X Nous allons monrer que X n X n s n \ À n nous avons X n X n y n y n X n X n y n y n Nous avons \ n \ e n \ n alors n \ e après le éorème 33 nous avons y n y n e y n y n D où X n X n y n y n n X CQFD Nous avons éermné les éorèmes qu généralsen l éue es raeores es éorèmes son ulsés pour éermner le sok opmal ans la seon suvane 68

80 34 Opmsaon basée sur la méoe IPA Dans ee seon nous allons éermner le sok opmal à l ae un algorme opmsaon basé sur la méoe IPA Ce algorme su l évoluon e la fonon e oû en fonon u sok opmal par le alul es esmaeurs e la fférene e la fonon e oû Ces esmaeurs son éermnés à parr es fférens éorèmes onnés ans l éue es raeores Pour ela nous allons ou abor éermner es esmaeurs 34 Esmaeurs IPA Dans ee pare nous allons éermner les esmaeurs pus nous monrer qu ls son non basés Le oû moyen sur un orzon fn es éfne par : C ex lm E C 38 Cee fonon peu êre vsée en ros pares elles que : C ex lm s E X EX s EB ave X x X X e B D Nous pouvons manenan éermner les esmaeurs e la fférene e aque pare e l espérane u oû Ces esmaeurs son effaes ans la praque lorsqu ls son non basés alors nous evons vérfer l absene e bas es esmaeurs avan e pouvor les ulser ans l algorme opmsaon éorème 37 : Les esmaeurs e la fférene e aque pare e l espérane u oû son non basés : X X E E X X E E E B B E Preuve u éorème 37 : Nous supposons que ans l exse n nervalles e l nervalles ss ss 69

81 7 Pour nous avons Nous avons pour ou éorème 3 e pour ou éorème 32 alors : Alors Nous avons alors Don nous avons ben : Pour X nous avons Nous avons éorème 35 alors Nous avons ans les nervalles e s \ Alors l l X z D où l E X E Nous avons X x x x X x x ss x x ss n ss x x X n ss E X E x E x E X E n ss E X E x E x E x E x x E x x E n ss E X E X E X X X z X X z X z 2 z X E X E X E

82 7 Alors l E Alors nous avons ben l X E E X E Pour nous avons D D B ave D le nombre e emanes non sasfaes pour la raeore perurbée Alors y D y D D D éorème 33 l r r D D B Par onséquen Nous avons : D E D E D E B E l r r E D D E Alors nous avons ben l r r B E E B E CQFD Dans e qu su nous présenons un algorme algorme 'esmaon permean e éermner les esmaeurs IPA qu son ulsés ensue ans un algorme 'opmsaon So S C e C2 les esmaeurs IPA paramères X E X E X E X E X X E X X E B y y l r r E B E

83 X S X C B C2 Ave E E E E e E E Algorme es esmaeurs IPA Débu Fn C= C2= S= = // Inalsaon Fare S alors S = S+ ss S alors C= C+ / / S ss alors C2= C2+ = + // avanemen u emps an que < X S X C e B C2 Dans e qu su nous présenons un algorme 'opmsaon qu éermne le nveau u sok opmal 342 Algorme opmsaon L'algorme 'opmsaon nous perme e éermner le nveau u sok opmal e es onné par : Débu Fn new = 2 > ou2 = C ex new Fare = new ou = ou2 Déermner les esmaeurs C C2 e S par l ulsaon e l Algorme es esmaeurs IPA Déermner la fférene es esmaeurs W ave W s C2 s S C / S W alors new = + Snon new = - Cou2 = C ex an que ou2 < ou Remarque 38: W épen e C C2 e S e vare à aque éraon W n es pas onsan Dans e qu su les résulas numérques son présenés pour monrer l'nérê e nore méoe e éuer l'mpa u éla e lvrason sur la valeur e 72

84 343 Résulas numérques Dans ee pare nous omparons eux ypes e smulaon fférene : smulaon ype sysème à événemens sres SED e smulaon basée sur la méoe IPA Par la sue nous éuons l'mpa es élas e lvrason sur La smulaon es effeuée ave les paramères suvans : - U = pèe/uné e emps - La emane qu es booléenne es onnée selon une srbuon e Bernoull e probablé p=8 - La moyenne u emps e bon fononnemen MBF e la mane es égale à 2 e la moyenne u emps e réparaon MR es égale à - Le oû unare e sokage s es égal à uné monéare - Le oû unare e ranspor es égal à uné monéare - Le oû unare une emane perue s es égal à 2 unés monéares - Le emps oal e smulaon es égal à E+7 unés e emps La Fgure 34 monre les résulas onnés pour les eux ypes e smulaons : smulaon ype SED e smulaon basée sur la méoe IPA Fgure 34 : Fonon e oû moyen C ex en fonon e Pour nore exemple le plus bas oû moyen C ex es obenu pour = 4 On vo que la smulaon basée sur la méoe IPA onne ben sûr les mêmes résulas que elle onnée par la smulaon e ype SED la seule fférene es le nombre éraons En effe par l ulsaon e la smulaon e ype SED on o aluler pour oues les valeurs e le 73

85 C ex orresponan mas par l ulsaon e la smulaon basée sur la méoe IPA on o aluler le C ex orresponan à nq valeurs e Cee fférene s'explque par le fa que l'opmsaon basée sur l'ipa alule la fférene es esmaeurs W à aque nsan où pren une nouvelle valeur e la valeur e W onne es nformaons sur le momen où la smulaon o s arrêer la valeur opmale e es obenue La smulaon e ype SED méoe exausve o aluler pour aque le C ex orresponan Éue e l'mpa es élas e lvrason sur : Dans ee pare nous éuons l'mpa u éla e lvrason sur selon eux as suvans : - Cas : la emane es égale à ou uran - Cas 2 : la emane es égale à ou à aque nsan Pour les eux as vare e à e le programme éermne pour aque valeur e le nveau e sok opmal qu mnmse la fonon e oû moyen Les paramères e smulaon son les mêmes que eux présenés ans la pare prééene Afn e omparer les résulas onnés par le moèle à flux sres e le moèle à flux onnus apre prééen les généraons es varables ans es smulaons son effeuées e manère équvalene à eux u apre prééen Pour valer les résulas es smulaons nous avons ulsé la même méoe que elle ans le apre prééen e qu onsse à vérfer que aque valeur e oû C ex apparen à l nervalle e onfane Les résulas e smulaons es as e 2 son présenés respevemen ans les ableaux ableau 32 e ableau 33 le nveau e sok opmal C ex uné monéare Pourenages es valeurs e oû qu apparennen à l nervalle e onfane % % % % % % % % % % ableau 32 : Impa u éla e lvrason sur as Lorsque le éla e lvrason es ans l'nervalle [3 ] nous avons égal à es résulas ne son pas onsérés ans l'éue éorque ar > ypoèse 3 Cepenan 74

86 nous pouvons noer que es résulas pourraen êre obenus par nore algorme 'opmsaon basée sur la smulaon Nous voulons re que l ypoèse 3 es néessare pour les émonsraons es éorèmes mas pas pour l applaon numérque le nveau e sok opmal C ex uné monéare Pourenages es valeurs e oû qu apparennen à l nervalle e onfane % % % % % % % % % % ableau 33 : Impa u éla e lvrason sur as 2 Nous pouvons vor que le éla e lvrason ans le as a un mpa sur En effe le as orrespon au fa que le len s'aen à reevor sa emane avan e fare une nouvelle emane Alors le nombre oal e emanes mnue lorsque le éla e lvrason augmene le nveau e sok mnue lorsque le nombre e emanes mnue selon la polque u pon e séparaon Don pour e as la valeur e qu mnmse le oû moyen ben sûr mnue lorsque le éla e lvrason augmene Pour le as 2 le nombre oal e emanes es népenan u éla e lvrason on le nveau e sok es népenan u éla e lvrason Don pour le as 2 le éla e lvrason n'a pas 'mpa sur la valeur e Le ableau suvan représene les résulas onnés par la smulaon un moèle à flux onnus e la smulaon un moèle à flux sres pour le as afn e omparer les résulas obenus en sre e la méoe IPA à nore onnassane e ype éue n a pas éé menée par alleurs omparavemen à l applaon en onnu le nveau e sok le nveau e sok opmal moèle à flux sres opmal moèle à flux onnus ableau 34 : Comparason es résulas onnés par les moèles à flux sres e onnus résulas orresponan au as 75

87 La méoe IPA es largemen ulsée ans pluseurs ravaux ans la léraure pour l opmsaon un moèle à flux onnus sans prse en ompe u éla e ranspor e a onné e bons résulas Alors nous supposons que les résulas rouvés ans le apre prééen son les résulas e référenes pour les résulas rouvés par l applaon e la méoe IPA sur le moèle à flux sres Pour les mêmes paramères e smulaon les valeurs u nveau e sok opmal qu son éermnées par les eux moèles son proes Don la méoe IPA qu es applquée sur le moèle à flux sres semble rès effae 35 Conluson Nous avons onséré un sysème e prouon omposé une mane qu peu omber en panne un sok e apaé nfne e un len qu emane à aque nsan une quané aléaore e prou Cee emane es perue s elle n es pas sasfae Nous avons proposé un moèle à flux sres pour moélser le éla e lvrason enre le sok e le len Le éla e lvrason es onnu e onsan Nous avons ulsé la polque u pon e séparaon pour ploer le aux e prouon e la mane e prs en ompe le éla e lvrason les pannes e la mane e les emanes aléaores Nous avons applqué la méoe IPA analyse es perurbaons nfnésmale D après nos onnassanes l'applaon e ee méoe pour le moèle à flux sres es un nouveau sue e reere Nous avons ulsé l IPA pour éuer e analyser les raeores u nveau e sok Nous avons obenu eux yles répéfs Le premer orrespon au fa que la raeore perurbée es égale à la raeore nomnale plus la perurbaon Ce yle orrespon à l aèvemen u sok sauré pour la raeore perurbée Le euxème yle orrespon au fa que les raeores perurbées e nomnale son égales Ce yle orrespon à la onsruon u sok Ensue nous avons éué les raeores e nous avons éermné les esmaeurs IPA e prouvé qu ls son non basés Ces esmaeurs son mplanés alors ans un algorme 'opmsaon qu éermne la valeur opmale e L'opmsaon basée sur la méoe IPA perme e réure le emps e smulaon omparavemen à une smulaon ype SED Deux as e élas e lvrason son smulés afn 'éuer l'mpa es élas e lvrason sur Le éla e lvrason a un mpa sur ans le as où le len aen e reevor sa emane avan en fare une nouvelle la emane es égale à ou penan En effe pour e as la valeur e mnue quan le éla e lvrason augmene Pour le euxème as le éla e lvrason n'a pas 'mpa sur la valeur e pare que nous onsérons à aque momen une emane alors le nombre oal e emanes es népenan u emps e lvrason Nous avons ensue omparé les résulas onnés par le moèle à flux onnus e eux pour le moèle à flux sres Ils son rès proes Par onséquen la méoe IPA qu es applquée sur le moèle à flux sres semble êre rès effae Ces ravaux on fa l obe à un arle aepé à un ournal nernaonal IJAOM [URb] e ros présenaons ans es onférenes nernaonales [UR9a] [UR9b] [UR9] 76

88 Les reeres fuures onernen un sysème plus omplexe ave un éla e lvrason aléaore Dans e as nous proposerons un éla e lvrason planfé basé sur la méoe IPA Pour e problème l sera ffle e prouver que les esmaeurs IPA son non basés 77

89 Capre 4 : Méoe IPA e Moèles à Flux pour un sysème e prouon ave es élas e lvrason aléaores 4 Inrouon De nombreuses enreprses fon es progrès pour réure le emps e ranspor els que le éla e lvrason qu représene la péroe e emps que la emane pren enre un enrepô e un len En effe lors e es ernères années les offres on évoluées e elle façon qu elles son evenues supéreures aux emanes Alors les enreprses se oven e séure es lens ouours plus exgeans sur les élas e lvrason une melleure qualé es prous e es prx arafs Auellemen pluseurs enreprses proposen es élas e lvrason planfés omme une nouvelle sraége e markeng pour arer les lens Dans e apre nous supposons que le proueur propose pour le len un éla e lvrason planfé e que les élas e lvrason son aléaores On va s néresser à l évaluaon es performanes e nore sysème e nous allons éuer l mpa es oûs e lvrason sur le sok opmal Le omporemen un sysème e prouon es éfn par es mesures e performanes elles que les oûs lés au sokage à la rupure u sok e aux élas e lvrason Auremen l évaluaon es performanes es une éue qu perme e onnaîre a pror le omporemen un sysème e prouon pour une onfguraon onnée L éue e performane e oue enreprse a pour bu e mesurer l améloraon e la ompévé D où elle oue un rôle rès mporan ans la onepon e le ox e la polque aopée pour un sysème qu o aenre es performanes souaées Le emps e lvrason es un paramère qu a un mpa non néglgeable sur les performanes un sysème e prouon Dans e apre nous onsérons le même sysème e prouon que elu présené ans les apres prééens ave la onséraon un emps e lvrason aléaore e un emps e lvrason planfé noés respevemen par e vor Fgure 42 En effe les pèes qu soren u sok à l nsan son argées ex ans un moyen e ranspor amon avon baeau e arrven ez le len à l nsan + Nous supposons que le emps e argemen es nlus ans le emps e lvrason Nous supposons au que le proueur propose pour le len un emps e lvrason planfé ex fxe auremen les pèes qu soren u sok à l nsan son supposées arrver à l nsan + ex La Fgure 4 représene le sysème e prouon ave le emps e lvrason aléaore e le nombre e pèes qu arrven ez le len à l nsan 78

90 u M x B D y Clen D+ Fgure 4 : Sysème e prouon ave emps e lvrason aléaore Nous avons ros as poble en fonon e e ex Les pèes ransporées arrven à l eure planfée e = Les pèes ransporées arrven avan l eure planfée e < ex Dans e as la emane es aepée par le len mas ave un oû avane payé par le proueur e oû es appelé oû une lvrason en avane Les pèes ransporées arrven après l eure planfée e > ex Dans e as la emane es aepée par le len mas ave un oû e rear payé par le proueur e oû es appelé oû une lvrason rearée Dans e apre nous enons ompe u oû es lvrasons en avane e u oû es lvrasons rearées ans la fonon u oû oal Nous allons moélser le sysème par eux moèles fféren : moèle à flux onnus e moèle à flux sres Nous éuons ensue es eux moèles e omparerons leurs résulas La méoe IPA sera égalemen applquée pour les eux ypes e moèles pour l évaluaon es performanes Pour aque moèle les événemens pobles e leur proré son les mêmes que eux onsérés ans les apres prééens ex 42 Moèle à flux onnus Dans ee pare nous moélsons nore sysème e prouon pour un moèle à flux onnus Les varables D u U x e son remplaés respevemen par D u U x e Les varables e son nangées Nous onservons les mêmes ypoèses que elles u apre eux nous aouons l ypoèse suvane : Hypoèse 4 : Pour smplfer nore problème nous supposons que le emps e lvrason es nvaran enre eux événemens emane ED Auremen à aque nouvel événemen emane ED on génère une nouvelle valeur e la emane D e u emps e lvrasons 79

91 La ynamque u sysème es onnée par : x u u D La polque e ommane es onnée par : s s x x 4 D u U s = e x s = ou x s = e x 42 Lorsque le emps e lvrason es égale au emps e lvrason planfé ex alors les pèes qu soren u sok à l nsan von arrver à l eure planfée Nous noons g es le nombre e pèes ransporées qu von arrver à l eure planfée e qu es onné par : D g D s s non ex e x 43 Le nombre e pèes qu von arrver en avane es égale au nombre e pèes qu soren u sok s le emps e lvrason es sremen nféreur au emps e lvrason planfé ex Dans e as les pèes arrven ez le len avan l nsan planfé + ex Nous noons es le nombre e pèes qu von arrver en avane e qu es onné par : s D s D s s non ex e x 44 De même nous éfnssons le nombre e pèes qu von arrver en rear noé r e qu es onné par : D D s ex e x r s non 45 S le emps e lvrason es sremen supéreur au emps e lvrason planfé ex le nveau e sok es sremen supéreur à zéro e la emane D es sremen supéreur à zéro alors r es supéreur à zéro Le nombre e emanes non sasfaes par uné e emps à l nsan es onné par : s x D D s x 46 8

92 Le nombre e emanes non sasfaes à l nsan es noé par P e onné par : P D D s x P s x 47 La fonon e oû noé C sr à l nsan qu épen u nombre e pèes ans le sok B u nombre e pèes ransporées somme e g r e s u nombre e pèes arrvan en rear u nombre e pèes arrvan en avane e es emanes perues es onnée par: C sr s x s P g r s r r s s Ave : 48 s s r : oû unare e sokage : oû unare e la emane perue : oû unare e ranspor : oû unare une lvrason en rear s : oû unare une lvrason en avane La fonon e oû moyen ans l'nervalle noée par C sra es onnée par : Csra lm E Csr Moèle à flux sres Dans ee pare nous moélsons pour nore sysème e prouon un moèle à flux sres Les varables D u U y x e son remplaées respevemen par D u U y x e Les varables e son nangées Nous onservons les mêmes ypoèses que elle u apre ros Le nombre e prous ans le sok à l nsan noé par x es onné par : x = x - + u - y 4 Le nombre es pèes qu soren u sok y es onné par : y D x - La polque e ommane es onnée par : s x - D s x - D 4 8

93 u U D D - x - s = e x s = e x s = e x s = < = > Le nombre es pèes ransporés à l nsan es noé g : g y s s non Le nombre e pèes arrvan en avane à l nsan noé s es onné par : ex y s ex s 44 s non De même nous éfnssons le nombre e pèes qu arrven en rear noé r e qu es onné par : y s ex r 45 s non Nous noons C sr la fonon e oû à l nsan qu épen u nombre e pèes ans le sok B u nombre e pèes ransporées u nombre e pèes arrvan en rear u nombre e pèes arrvan en avane e es emanes perues C sr es onnée par: C sr s x s D g r s r r s s 46 La fonon e oû oal énoée par C sr e qu épene e es onnée par : C sr C sr ave es le emps oal e smulaon 47 Dans la seon suvane nous analysons les raeores u nveau u sok pour es eux ypes moèles Cee éue nous permera e rouver les esmaeurs IPA e la fonon e oû e e prouver que es esmaeurs son non basés 44 Analyse es Perurbaons Infnésmales Dans ee seon nous ommençons par éuer les raeores u nveau e sok pour les moèles à flux onnus e sres Nous allons ensue éermner les esmaeurs e la fonon e oû pour aque moèle Nous présenons par la sue un algorme opmsaon qu ulse les graens e la fonon e oû pour éermner le sok opmal 44 Analyse es Perurbaons Infnésmales pour le moèle à flux onnus Dans ee seon nous allons éuer les raeores u x e x pour éermner le éalage enre elles Par la sue nous allons au éermner les éalages enre le nombre 82

94 e pèes ransporées g e g pus enre le nombre e pèes arrvan en avane pour la raeore perurbée noé s e elu pour la raeore nomnale s enfn enre le nombre e pèes arrvan en rear pour la raeore perurbée noé r e elu pour la raeore nomnale r En effe nous evons éuer es éalages pour éermner les esmaeurs es érvées e la fonon e oû Les éorèmes suvans son ulsés ensue pour éermner les esmaeurs IPA e pour monrer qu ls son non basés Le éorème 4 monre que s s v e la raeore perurbée es égale à la raeore nomnale plus le éalage éorème 4 : s e alors x x ave s v Preuve u éorème 4 : Vor annexe 2 Dans le éorème 42 nous allons monrer que s nomnale x e la raeore perurbée x son égales v s alors la raeore éorème 42 : s v s alors x x Preuve u éorème 42 : Vor annexe 2 Le éorème 43 monre que s e que le emps e ranspor es égale au emps e ranspor planfé ex alors le nombre e pèes ransporées pour la raeore perurbée g es égale à elu pour la raeore nomnale plus la perurbaon Cela sgnfe que s v v les emanes son meux sasfaes sur la raeore perurbée que sur la raeore nomnale Nous allons ulser e éorème pour éermner le nombre e pèes ransporées sur les eux raeores éorème 43 : s v v alors g g s ex e D S Preuve u éorème 43 : v v vor Fgure 42 alors x e x on nous avons D D e D Alors s ex nous avons g e g D ou g g s v v ex e D v v g 83

95 Nveau x x v v Fgure 42 : zone v v Nous onsaons que s v v e s ex la quané e pèes qu sor u sok enre e e qu sera ransporée à l eure ez le len pour la raeore perurbée es égale à v v la quané qu exse ans le sok x Cee quané orrespon à la fférene enre le nveau e sok pour la raeore perurbée e elu e la raeore nomnale que nous avons éfne ans le apre 2 par le éalage Remarque 32 Don s v v le éalage enre g e es égale Alors g g s ex e D g CQFD Le éorème 44 monre que s \ v v les nombres e pèes ransporées pour la raeore perurbée e pour la raeore nomnale son égaux éorème 44 : s \ v v alors g g Preuve u éorème 44 : Nous avons \ \ v v s v v v v s 84

96 S \ nous avons x e x après l équaon 43 nous avons ex D D s ex où g D g S non s nous avons g g S nous avons x x éorème 22 alors s x x e ex g s v v s nous avons g D g e s g Alors g g s \ v Le éorème 45 monre que s v v v v v x x nous avons CQFD le nombre e pèes arrvan en avane pour la raeore perurbée s es égal à elu pour la raeore nomnale s plus la perurbaon éorème 45 : s v v alors s s s e D Preuve u éorème 45 : La preuve e e éorème es smlare à elle u éorème 43 ave une fférene que : s = s ex e v v Le éorème 46 monre que s s \ v v ex CQFD les nombres e pèes arrvan en avane pour la raeore perurbée e pour la raeore nomnale son égaux éorème 46 : s \ v v alors s s Preuve u éorème 46 : La preuve e e éorème es smlare à elle u éorème 44 CQFD Le éorème 47 monre que s v v le éalage enre le nombre e pèes arrvan en rear pour la raeore perurbée r es égal à elu pour la raeore nomnale plus la perurbaon r 85

97 éorème 47 : s v v alors r r s e D ex Preuve u éorème 47 : La preuve e e éorème es smlare à elle u éorème 43 ave une fférene que : r = r s ex e v v CQFD Le éorème 48 monre que s \ v v les nombres e pèes arrvan en rear pour la raeore perurbée e pour la raeore nomnale son égaux éorème 48 : s \ v v alors r r Preuve u éorème 48 : La preuve e e éorème es smlare à elle u éorème 44 CQFD Dans la pare qu su nous allons éuer les raeores u nveau e sok pour le as un moèle à flux sres 442 Analyse es Perurbaons Infnésmales pour le moèle à flux sres Nous allons éermner les éalage enre x e x y e y le nombre e pèes arrvan à l eure pour la raeore perurbée noé g e elu pour la raeore nomnale g pus enre le nombre e pèes arrvan en avane pour la raeore perurbée noé s e elu pour la raeore nomnale s enfn enre le nombre e pèes arrvan en rear pour la raeore perurbée noé r e elu pour la raeore nomnale r éorème 49 monre que la raeore perurbée es égale à la raeore nomnale plus la perurbaon s ss éorème 49 : S > e s ss x x alors x x pour ou ss ss Preuve u éorème 49 : Vor annexe 2 CQFD 86

98 éorème 4 monre que la raeore perurbée es égale à la raeore nomnale s ss éorème 4 : S > e > e s x x alors x x pour ou ss Preuve u éorème 4: Vor annexe 2 CQFD éorème 4 émonre que s les nombres e pèes qu soren u sok sur les raeores perurbée e nomnale son égaux éorème 4 : S \ alors y y Preuve u éorème 4 : Vor annexe 2 CQFD éorème 42 émonre que s le nombre e pèes qu soren u sok sur la raeore perurbé es égale au nombre e pèes qu soren u sok sur la raeore nomnale plus la perurbaon éorème 42 : S alors y y Preuve u éorème 42 : Vor annexe 2 CQFD Nous monrons ans le éorème 43 que s le nombre e pèes arrvan à l eure pour la raeore perurbée g es égal à elu pour la raeore nomnale g plus la perurbaon éorème 43 : s alors g g s e D Nous avons Preuve u éorème 43 : ss ss ex g g y y s s non s s non ex ex 87

99 S alors y y éorème 42 e s D alors y y 4 Alors g g s e D ex éorème 44 : s \ alors g g QED Nous avons Preuve u éorème 44 : g y s s non ex g y s s non ex S \ alors y y éorème 4 Alors g g CQFD Le éorème 45 monre que s le nombre e pèes arrvan en avane pour la raeore perurbée s es égal à elu pour la raeore nomnale s plus la perurbaon éorème 45 : s alors s s Preuve u éorème 45: ex La preuve e e éorème es smlare à elle u éorème 43 ave une fférene que : s = s s ex e Le éorème 46 monre que s CQFD le nombre e pèes arrvan en avane pour la raeore perurbée s es égale à elu pour la raeore nomnale éorème 46 : s \ alors s s Preuve u éorème 46 : La preuve e e éorème es smlare à elle u éorème 44 \ s 88

100 CQFD Le éorème 47 monre que s le nombre e pèes arrvan en rear pour la raeore perurbée r es égal à elu pour la raeore nomnale r plus la perurbaon éorème 47 : s r = r e alors r r Preuve u éorème 47 : ex La preuve e e éorème es smlare à elle u éorème 43 ave une fférene que : r = r s ex e Le éorème 48 monre que s CQFD le nombre e pèes arrvan en rear pour la raeore perurbée r es égal à elu pour la raeore nomnale éorème 48 : s r = e \ alors r r Preuve u éorème 48 : La preuve e e éorème es smlare à elle u éorème 44 CQFD Dans la seon suvane nous allons ulser es éorèmes pour éermner les esmaeurs IPA e monrer qu ls ne son pas basés 443 Esmaeurs IPA Dans ee seon nous allons monrer pour les eux ypes e moèles que les esmaeurs IPA son non basés es esmaeurs seron ulsés par la sue ans un algorme opmsaon pour éermner le sok opmal En ulsan les éorèmes e la seon prééene nous allons éermner les esmaeurs u graen e la fonon e oû pour le as u moèle à flux onnus e les esmaeurs e la fférene e la fonon e oû pour le as u moèle à flux sres 443 Moèle à flux onnus Le oû moyen qu orrespon à la raeore perurbée es onné par : r \ r C sra lm E s x s P g r r 89

101 Pour éermner les esmaeurs IPA e la fonon e oû nous evons éermner le oû par smulaon Alors nous allons représener le oû moyen smulé par une esmaon éanllonnée L esmaon éanllonnée pour le oû moyen qu orrespon à la raeore perurbée es la suvane : Csra E s x r r L esmaon éanllonnée pour le oû moyen qu orrespon à la raeore nomnale es onné par : C sra E s x s P g r s r r s s oû Nous pouvons manenan éermner les esmaeurs es graens e la fonon e L esmaon éanllonnée e la fférene enre le oû moyen e la raeore perurbée e le oû moyen e la raeore nomnale es onnée par : Csra Csra E s x x s P ex P ex g g r r s s r s s s r r Nous supposons que ans l nervalle l y a m nervalles Nous avons monré ans le apre prééen que : s v x x m v s e P P m v v 9

102 9 Pour S alors e éorème e 48 Alors S nous avons ros as e Cas s ex : alors e éorème e 47 Alors Cas 2 s ex : alors e éorème e 47 Alors Cas 3 s ex : alors e éorème e 47 Alors Alors ans les ros as nous avons s alors v s m g g r r s s Nous avons m ex v v r r r r ave non s s ex ex s s r r g g v v \ g g r r s s s s r r g g v v g g r r s s s s r r g g g g r r s s s s r r g g g g r r s s s s r r g g s s r r g g v v

103 m v Nous avons s s s s ex ex s s non ex v ave Alors m v m v m v Csra Csra E s s s v s m v m v r ex s ex v v Supposons que Alors m v s m w ave v v ls lv Ca Ca E s w s r ex s ex L esmaon éanllonnée e la fférene u oû moyen es omposée e nq pares qu son : l esmaon e la fférene u oû e sokage u oû e emanes perues u oû e ranspor u oû e emanes arrvan en rear e u oû e emanes arrvan en avane Les graens e la fonon e oû son éfns par : Ca E s w s w w w r s ex ex Ca ' ' ' ' ' ' E X s B s X R S ave X ' ' ' ' X B R e S les esmaeurs es graens u aque pare e la fonon e oû qu son onnés par : ' X ' S ' w ' w ' w X B R w ex ex e 92

104 ' ' ' ' éorème 49 : les esmaeurs u graen X X B R e S ' u oû moyen son non basés Preuve u éorème 49 : Pour monrer que les esmaeurs u graen u oû moyen son non basés nous evons sasfare les eux onons suvanes : - La érvée e la fonon e oû Ca exsen - La fonon e oû es onnue par Lpsz La premère onon es garane par l ypoèse 2 apre 2 Il nous rese à monrer que la fonon e oû es onnue par Lpsz k R Le oû moyen el que : C a es onnu par Lpsz ans H s l exse une onsane C a C k a H L esmaon éanllonnée e la fférene enre le oû moyen e la raeore perurbée e le oû moyen e la raeore nomnale es onné par : w Ca Ca E s s ex r ex s Nous avons w alors C C s s r s a a ex ex C C s s r s a a ex ex Nous supposons k s s r s C a C k a Alors la fonon es onnue selon Lpsz ex ex alors CQFD Dans e qu su nous présenons un algorme algorme 'esmaon permean ' ' ' ' ' e éermner les esmaeurs IPA X X B R e S qu seron ulsés par la sue ans un algorme 'opmsaon So F G Z R e S les esmaeurs IPA paramères qu seron ulsés ans l algorme suvan 93

105 ' F ' G Ave X ' ' R ' S X B R e S Algorme es esmaeurs IPA Débu F= G= Z= R= S= = q= l= w= // Inalsaon Fare S s alors q= s Avaner S v alors l= v Avaner S v alors w= v Avaner F= F+ w-q G=G+w-l R=R+ ex S=S+ ex q=l=w= Fn an que < ' F X ' G ' ' R ' S X B R e S Dans e qu su nous présenons l algorme 'opmsaon qu éermne le nveau u sok opmal 4432 Moèle à flux éres L espérane u oû aualsé sur un orzon nfn es éfn par : C ex lm E C sr Cee fonon es vsée en nq pares : ave s E S r E R C lm s E X E X s E B x e 94

106 95 x X s r g X D B r R s S Nous pouvons manenan éermner les esmaeurs e la fférene e aque pare e l espérane u oû éorème 42 : Les esmaeurs e la fférene e aque pare e l espérane u oû son non basés : X E X E X E X E B E B E S E S E e R E R E Preuve éorème 42 : Nous supposons que ans l exse n nervalles e l nervalles Pour nous avons Nous avons pour ou éorème 49 e pour ou éorème 4 alors : n ss x x X où n ss E X E Nous avons x E x E X E alors ss ss X x x x X x x ss x x ss

107 96 n ss E X E x E x Ex E x x E x x E D ou nous avons ben n ss E X X E E Pour nous avons s X g g r r s s S nous avons éorème 44 éorème 46 e éorème 48 Alors s s s r r g g s S nous avons ros as e Cas s : alors e éorème e 47 ou Cas 2 s ex : alors e ou Cas 3 s ex : alors e ou Alors ans les ros as nous avons X \ g g r r s s s \ v ex g g r r s s s s r r g g g g r r s s s s r r g g g g r r s s s s r r g g

108 97 s s r r g g s v alors l D ou l E X E s s s r r g g Nous avons E X E g r s E g r s Alors s r g E X E s s r g E s r g E r g g E s s r l E Alors nous avons ben l X E E X E Pour nous avons D D B ave D es le nombre es emanes non sasfaes pour la raeore perurbée Alors B

109 98 D D D y D y y y l r r D D B Alors l r r E B E Nous avons r l r E B E D E D E D E D D E D D E Alors nous avons ben l r r B E E B E Pour nous avons l ex S S alors S E E S E l ex / Pour nous avons l ex R R alors R E E R E l ex / CQFD Dans e qu su nous présenons un algorme algorme 'esmaon permean e éermner les esmaeurs 'IPA qu sera ulsée par la sue ans un algorme 'opmsaon So S C C2 C3 e C4 les esmaeurs IPA paramères S R

110 ave E S E X S E C3 E e X E R E C E C4 E B E C2 E Algorme es esmaeurs IPA C= C2= C3= C4= S= = // Débu Fare S ss alors C2 C2 S alors S ss / e C C S ex e ex alors C 3 C3 S ex e ex alors C 4 C4 = + an que < Fn Dans e qu su les résulas numérques son présenés pour monrer l'nérê e nore méoe e qu sera ulsée pour éuer l'mpa es oûs e lvrason sur la valeur e 45 Impa es unés e oû s s - r e s sur le sok opmal Nous allons éuer l mpa es unés e oû sur la valeur u sok opmale pour les eux moèles fférens En effe la fonon e oû C sr ou C sr épen e la valeur es oûs unares s s - r e s La valeur u sok opmal ou qu mnmse le oû épen au e es oûs unares Dans ee pare nous nous somme néressés à éuer l mpa es oûs unares r e s sur le sok opmal nous varons es oûs unares e nous ulsons la méoe IPA pour éermner le sok opmale orrespon Nous présenons es exemples e résulas e smulaon ans les ableaux ableau 4 e ableau 42 Les paramères e smulaon pour les eux moèles son les suvans : - U = pèe/uné e emps - La moyenne es emanes es égale à 8 - La moyenne u emps e bon fononnemen MBF es égale à 25 e la moyenne u emps e réparaon MR es égale à - Le emps oal e smulaon es égale à E+7 uné e emps 99

111 - Le emps e lvrason es aléaore e omprs enre e 3 s s - s r Sok opmal ableau 4 : Impa es oûs s s - r e s sur s s - s r Sok opmal ableau 42 : Impa es oûs s s - r e s sur Nous onsaons que plus les oûs e lvrason r e s evennen mporan par rappor au oû e la emane perue s - plus la valeur u sok opmal ou mnue En effe lorsque les oûs unares r e s evennen mporan plus le oû e lvrason oal oû e ranspor plus oû e lvrason en rear plus le oû e lvrason en avane augmene où le oû augmene Don la valeur u sok opmal ou qu C sr mnmse le oû C sr mnue lorsque que les oûs unares r e s augmenen 46 Comparason u moèle à flux sres e moèle à flux onnus L obef e ee seon es e omparer les résulas onnés par le moèle à flux onnus e eux qu son onnés par le moèle à flux sres Pour ela nous allons éuer la fonon e oû pour les eux moèles fférens en même emps nous allons éuer

112 l mpa u emps planfé sur le sok opmal En effe pour les eux moèles ex vare e 2 à e pour aque valeur e ex le programme éermne les valeurs es oûs qu orresponen aux valeurs u sok opmal enre e Afn e omparer les eux moèles les généraons es emanes es pannes e es réparaons son onnées une manère équvalene Les emps e lvrason planfés son e 2 usqu au la plus pee valeur u emps e lvrason planfé pour le as sres = 2 Les paramères e smulaon son les suvans : - U = pèe/uné e emps - La moyenne es emanes es égale à 8 - La moyenne u emps e bon fononnemen MBF es égale à 25 e la moyenne u emps e réparaon MR es égale à - Le emps oal e smulaon es égale à E+7 unés e emps - Le oû unare e sokage s es égal à uné monéare - Le oû unare e ranspor es égal à uné monéare - Le oû unare une emane perue s es égal à 3 unés monéares - Le oû unare une lvrason en rear r es égal à uné monéare - Le oû unare une lvrason en avane s es égal à uné monéare 46 Eue e la fonon e oû pour le moèle à flux onnus Nous présenons ans ee pare le oû moyen emps e lvrason vor Fgure 43 C sra en fonon u sok e u

113 Fgure 43 : C f ex sra - - * es la valeur opmale e qu orrespon au oû mnmal * ex es la valeur opmale e ex qu orrespon au oû mnmal 462 Eue e la fonon e oû pour le moèle à flux sres Le oû moyen C ex en fonon u sok e u emps e lvrason es représené sur la Fgure 44 Fgure 44 : C f ex ex - * es la valeur opmale e qu orrespon au oû mnmal 463 Conluson e l éue e la fonon e oû Pour les eux moèles la fonon e oû es onvexe Pour aque valeur e ex nous avons un sok opmal qu mnmse la fonon e oû Les valeurs es soks opmaux éermnées par la smulaon u moèle à flux onnus son proes aux elles éermnées par la smulaon u moèle à flux sres Le emps e lvrason a un mpa sur le sok pour les eux moèles En effe la valeur e respevemen qu mnmse le oû éro s la valeur u emps e lvrason planfé augmene Pour le moèle à flux sres nous onsaons que la valeur u sok opmal es la même sur es nervalles * u emps e lvrason planfé par exemple ans nore as nous avons =4 s ex vare e 4 à 9 vor Fgure 44 Pour le as u moèle à flux onnus nous onsaons que le sok 2