1. Principales matrices d expériences

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1 Annexes

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3 Prncpales matrces d expérences Annexes. Prncpales matrces d expérences On rappelle les dfférences observées entre les expressons «lste» d expérences, «matrce» d expérences et «plan» d expérences. Une lste d expérences content les coordonnées d une sére d expérences, pour lesquelles les facteurs changent de valeurs, chacun entre ses bornes lmtes de varaton. La lste d expérences n est donc pas une appellaton unquement utlsée dans le cadre de la MPE. Ans par exemple, une populaton d ndvdus, ou de manère équvalente une génératon, dans le contexte des algorthmes génétques, peut être assmlée à une lste d expérences. Quant au terme «plan d expérences», l se rapporte entèrement à la méthode éponyme. Néanmons, cela désgne également une lste d expérences. Le mot «plan» s explque par le contexte orgnel d applcaton de la méthode : l expérmentateur dot magner et préparer une démarche complète avant de réalser concrètement ses expérences. Il y a donc une étape de planfcaton des tâches avant celle de l expérmentaton proprement dte. Il est possble de généralser le concept de plan d expérences en défnssant la matrce d expérences. Celle-c donne également la défnton de N expérences mettant en jeu facteurs, mas dans un espace d ntérêt centré rédut. Un plan devent alors une applcaton partculère de la matrce d expérences de base, pour laquelle les bornes lmtes de chaque facteur ont été changées aux valeurs du problème traté. En termes nformatques de programmaton objet, un plan est une nstance de l objet matrce d expérences. Par faclté de langage, on désgne également par «plan» l écrture matrcelle dans laquelle cette lste de coordonnées de ponts est utlsée. La matrce d expérences proprement dte ne s en dstngue alors que par les coordonnées de ces mêmes ponts, qu sont centrées et rédutes. On parle donc d un même objet mathématque à N lgnes et p colonnes. Ans, par exemple, la varable X suvante est une matrce d expérences, dans laquelle les ponts [-, ], [, -], [-, ] et [, ] sont successvement défns. X défnt dans le même temps un modèle de la forme y mod = b0 b. x b. x b. x. x ( facteurs avec nteracton). X = Dans le cas d un problème quelconque, l y a peu de chance pour que les facteurs varent également entre et. S par exemple x 4 et 0 x 0, alors le plan d expérences correspondant s écrra : , et par extenson La matrce de gauche c-dessus est également une lste d expérences. Dans cette parte sont présentées les prncpales matrces d expérences susceptbles d être utlsées lors d un processus complet d optmsaton. VIVIER Stéphane - Annexe - 3

4 Prncpales matrces d expérences Les dfférents plans se dstnguent entre autres par : le nombre d expérences demandé ; le type de modèle qu ls autorsent ; leur utlsaton ; le placement des ponts d expérences dans le domane d étude ; le volume de valdté du domane couvert par le modèle. Ces dfférents aspects ne sont pas ndépendants entre eux. Ans, par exemple, le nombre d expérences nflue fortement sur le type de modèle que l on peut dédure.. Matrces d expérences de screenng... Matrces factorelles complètes ( nveaux)... Représentatons x x 3 x - a x x Plan factorel nveaux (=) Plan factorel nveaux (=3)... Placement des ponts Les ponts d expérences d un plan factorel complet nveaux par facteur sont placés aux sommets d un hyper-cube de dmenson....3 Nombre d expérences ν = fc... Matrces factorelles fractonnares ( nveaux) 4 - Annexe - VIVIER Stéphane

5 Prncpales matrces d expérences... Représentaton x 3 x 3 x 3 x 5 = - - x x x x - x 3 x 3 x x x 5 = - - x x x x Plan factorel fractonnare 3- (=3) Générateurs ndépendants : I=abc x4 = x 4 = Plan factorel fractonnare 5- (=5) Générateurs ndépendants : I=abd=ace... Postonnement des ponts Les coordonnées des ponts des plans fractonnares sont déduts de la valeur des générateurs ndépendants. Se reporter à la parte tratant de la technque du screenng à ce sujet (Chaptre, 4. )....3 Nombre d expérences ν = ff r Où r est le coeffcent de réducton...3. Matrces de Placett - Burman Les plans de Placett-Burman sont construts à partr des matrces d Hadamard H. On rappelle que de telles matrces H sont carrées, d ordre N H, d éléments égaux à ou à et telles que H. H = N H. I N H. N H dot valor 0 modulo 4. Les matrces de Placett-Burman assocées consttuent un moyen général et smplfé pour l écrture des matrces d Hadamard. Ans, pour un nombre de facteurs, on chost la matrce telle que N H sot drectement supéreur ou égal à N=, c est-à-dre au nombre de coeffcents de tout modèle polynomal du premer degré à facteurs. Pour la valeur de N H trouvée, l faut alors utlser la sute de et de, ndquée par le tableau de référence suvant. Tableau - Tableau de référence pour la constructon des matrces d Hadamard ( ms pour et pour -) N H Séquences de nveaux VIVIER Stéphane - Annexe - 5

6 Prncpales matrces d expérences 6 - Annexe - VIVIER Stéphane Les lgnes de la matrce d expérences sont alors dédutes de toutes les permutatons cyclques (vers la drote ou vers la gauche) possbles de la séquence de et de de la lgne correspondante du tableau précédent, pour la valeur chose de N H. Après cela, on vent ajouter une lgne supplémentare de. Pour obtenr une matrce d ordre N H, l faut enfn ajouter une colonne de, sur le côté gauche (colonne de la moyenne). Ans, par exemple, pour =, l faut chosr N H=4. Par permutatons à drote, on obtent la matrce : A laquelle on vent ajouter une lgne de : Et enfn, lorsque la colonne de la moyenne est ajoutée, on obtent la matrce de Placett-Burman, pouvant servr à la créaton de plans d expérences : = M Pour N H=8, la constructon est dfférente. La matrce d expérences M est composée de 3 sousmatrces A, B et C : = B A C A C B C B A M Avec : = A = Β = C

7 Prncpales matrces d expérences..4. Matrces de Taguch Les matrces de Taguch ont été défnes de façon unvoque. Elles sont tabulées et reportées dans certans ouvrages spécalsés... Matrces d expérences de RSM (Response Surface Modellng)... Matrces pour modèles du premer degré... Matrces équradales (=)...a REPRESENTATIONS x P P R P 5 x P 3 P 4 Plan équradal (N=5)...b PLACEMENT DES POINTS Les expérences de ce plan sont dsposées à une dstance constante du centre du plan. Ans, comme leur nom l ndque, ces ponts d expérences sont placés (de façon régulère) sur un cercle de rayon constant R. Les coordonnées de ces ponts s obtennent par des relatons angulares : x R (.. ) N,=.cos π x R (. ) N.sn. π,= Avec =,,, N, où N est le nombre de ponts extéreurs du plan, tel que N = 3. Un ou pluseurs ponts au centre dovent être réalsés....c NOMBRE D EXPERIENCES Le nombre d expérences est l hypothèse prmare pour la constructon du plan. Par conséquent : ν =N e VIVIER Stéphane - Annexe - 7

8 Prncpales matrces d expérences... Matrces smplexes...a REPRESENTATIONS x x 3 P 3 R P 4 3. a 3 a x a P. a P P a x x a 3 R P 3 Plan smplexe (=) - trangle a =0.866, a =0.5 P Plan smplexe (=3) - tétraèdre a =0.865, a =0.474, a 3= b PLACEMENT DES POINTS Les ponts extéreurs du plan smplexe sont dsposés régulèrement sur la surface de l hyper-sphère de rayon R. 3 4 L -a -a -a 3 -a 4 L -a a -a -a 3 -a 4 L -a 3 0.a -a 3 -a 4 L -a a 3 -a 4 L -a Coordonnées des ponts du smplexe a 4 L -a M M M M M M L.a Avec a =.. ( ). A noter qu l exste une nfnté de façons de dsposer ponts sur une hyper-sphère de dmenson. La relaton précédente donnant les a n est qu une soluton partculère, et n est donc pas unque....c NOMBRE D EXPERIENCES Par défnton, un smplexe est une forme à sommets, dans un espace à dmensons. Ans : ν s=...d REMARQUE Les plans smplexe sont saturés par constructon. Pour = facteurs et N=3, à une rotaton près, les plans smplexes et les plans équradaux se confondent....3 Matrces factorelles ( nveaux) Se reporter au paragraphe précédent «Matrces factorelles complètes ( nveaux)» pour leur descrpton. Les matrces factorelles nveaux sont par nature déales pour la réalsaton de la technque du screenng. 8 - Annexe - VIVIER Stéphane

9 Prncpales matrces d expérences Cependant, elles fournssent dans le même temps une modélsaton (d ordre au maxmum) pouvant être explotée.... Matrces pour modèles du second degré... Matrces factorelles (3 nveaux)...a REPRESENTATIONS x x 3 x - a x Plan factorel 3 nveaux (=) x Plan factorel 3 nveaux (=3)...b PLACEMENT DES POINTS Chaque facteur prend 3 nveaux (-, 0 et ). La matrce d expérences est donc l écrture de toutes les combnasons possbles des 3 nveaux prs par les facteurs....c NOMBRE D EXPERIENCES ν = fc Matrces centrales - compostes...a REPRESENTATIONS x x 3 α a x - x Plan central composte (=) x Plan central composte (=3) VIVIER Stéphane - Annexe - 9

10 Prncpales matrces d expérences...b PLACEMENT DES POINTS Les matrces centrales compostes sont en réalté la réunon de 3 séres de ponts : les expérences d un plan factorel complet ou fractonnare à nveaux par facteur ; les expérences dtes axales (ou ponts axaux) car placées sur les axes propres au plan ; leurs coordonnées sont alors ( ± α, 0,0, K,0), ( 0, ± α,0, K,0),, ( 0,0,0, K,±α) ; une ou des expérences au pont central (orgne du repère lé au plan). La valeur du paramètre α est calculée afn de conférer des proprétés ntéressantes à la matrce centrale composte. Il en est de même avec la valeur du facteur de réducton r, pour la défnton du plan factorel fractonnare. Le tableau suvant reprend les calculs menés dans l ouvrage [Droesbee 97]. Il donne les valeurs de α, r ans que le nombre de répéttons du pont central, dans les prncpaux cas. Pour ce derner paramètre, pluseurs valeurs sont possbles, suvant que l on prvlége le respect de : l sovarance par rotaton et de la presque orthogonalté ; la précson unforme r α N 0 Orth Prec. unf Les valeurs de α ont été calculées comme étant égales à α =....c NOMBRE D EXPERIENCES S l y a utlsaton d un plan factorel complet : r ν cc=. Dans le cas où un plan factorel fractonnare est employé : ν =. cc r...d PROPRIETES Ces plans permettent de construre des modèles valdes d ordre à partr de plans factorels ntaux. Ils offrent donc la possblté de réalser l étude de RSM après celle de screenng en récupérant entèrement les ponts utlsés lors de la premère étude....3 Matrces de Box-Behnen...3.a REPRESENTATIONS x 3 b R b 0 b x x Plan de Box-Behnen (=3) 0 - Annexe - VIVIER Stéphane

11 Prncpales matrces d expérences...3.b PLACEMENT DES POINTS Les matrces de Box-Behnen sont caractérsées par le nombre fxe de valeurs dfférentes prses par chaque facteur : 3. Par la sute, les dfférents nveaux seront alors notés ( b,0,b). De telles matrces sont construtes à partr de matrces factorelles complètes, auxquelles des blocs ncomplets équlbrés sont ajoutés. A noter également la présence de pont(s) au centre. La constructon des matrces de Box-Behnen n étant pas fgée, pour une valeur de à une autre, les coordonnées des ponts d expérences sont tabulées pour chacune de ces confguratons. x x x 3 ±b ±b 0 ±b 0 ±b 0 ±b ±b x x x 3 x 4 ±b ±b ±b ±b ±b 0 0 ±b 0 ±b ±b 0 ±b 0 ±b 0 0 ±b 0 ±b x x x 3 x 4 x 5 ±b ±b ±b ±b 0 0 ±b 0 0 ±b ±b 0 ±b ±b ±b 0 ±b ±b 0 0 ±b 0 0 ±b 0 0 ±b 0 0 ±b ±b ±b 0 ±b 0 ±b x x x 3 x 4 x 5 x 6 ±b ±b 0 ±b ±b ±b 0 ±b ±b ±b 0 ±b ±b 0 0 ±b ±b 0 0 ±b 0 0 ±b ±b ±b ±b ±b x x x 3 x 4 x 5 x 6 x ±b ±b ±b 0 ±b ±b ±b 0 ±b 0 0 ±b 0 ±b ±b ±b 0 ±b ±b ±b 0 0 ±b ±b 0 ±b 0 ±b ±b ±b 0 0 ±b Les matrces précédentes sont toutes supposées comporter des répéttons de l expérence au pont central ( 0,0, K,0). Le tableau c-dessous ndque le nombre d expérences répétées en ce pont à réalser en théore, pour les dfférentes valeurs de Nombre d expérences au pont central c NOMBRE D EXPERIENCES En ne prenant qu un pont au centre, le nombre d expérences nécessares à la réalsaton d un plan de Box-Behnen pour facteurs est donné c-après ν bb...3.d PROPRIETES Tous les ponts sont en défntve placés sur la surface d une hyper-sphère de rayon constant R. Celu-c est dfférent pour les dfférentes matrces vues plus haut. Le tableau suvant donne sa valeur R b. b. 3 VIVIER Stéphane - Annexe -

12 Prncpales matrces d expérences...4 Matrces de Doehlert...4.a REPRESENTATIONS x x R x x Plan de Doehlert de type Plan de Doehlert de type b PLACEMENT DES POINTS La constructon des plans de Doehlert ou réseaux de Doehlert - se réalse par l utlsaton d une matrce S de coordonnées de ponts (dte smplexe), pour une valeur donnée de. Les coordonnées des ponts du plan sont alors calculées par soustracton de toutes les lgnes du smplexe entre elles, à, par toutes les combnasons possbles. Pour les matrces d expérences de Doehlert de type, les éléments du smplexe pour facteurs se calculent par les relatons suvantes. 0 m S ( m, )=. m =.. ( ) m Pour les premères valeurs de, les valeurs des éléments de S sont données c-après. Coordonnées des ponts du smplexe x x x 3 x 4 x 5 x Les matrces de Doehlert de type 3 se calculent par : 0 m = S ( m, )=.. m = m - Annexe - VIVIER Stéphane

13 Prncpales matrces d expérences Pour les premères valeurs de, nous avons : Les matrces smplexe S sont de dmensons [( ) ]...4.c NOMBRE D EXPERIENCES. ν = D Il est mportant de remarquer que pour tout N { 0,} : ν (, ) νd< ν(,3) Ce qu mplque que les plans de Doehlert permettent de calculer des modèles polynomaux d ordre o= au maxmum. De plus, l est toujours possble de calculer un modèle d ordre o= grâce à un plan de Doehlert....5 Matrces hybrdes Les matrces hybrdes ne sont défnes que pour certanes valeurs de : 3, 4 et 6. Les melleures sont données dans ce qu sut. Leur notaton classque est Nj, où j est une lettre afn de dfférenter les matrces ayant même et N. x x x Matrce 3A x x x Matrce 3B x x x 3 x Matrce 46B x x x 3 x Matrce 46C VIVIER Stéphane - Annexe - 3

14 Prncpales matrces d expérences...6 Matrces de Hoe x x x 3 x 4 x 5 x Matrce 68A...6.a REPRESENTATIONS x 3 x x x x Plan de Hoe, type D (=3) x Plan de Hoe, type D7 (=3)...6.b PLACEMENT DES POINTS Les matrces de Hoe sont des smplfcatons des matrces factorelles à 3 nveaux par facteur. Elles en sont donc ssues. De telles matrces sont construtes par regroupement de blocs (notés S (j)), c est-à-dre d ensembles de ponts. Le bloc S (j) est l ensemble des ponts de la matrce factorelle 3 nveaux, tels que (dans le même temps) : valeurs de chacune des coordonnées soent non nulles ; j valeurs de chacune des coordonnées soent postves. 4 - Annexe - VIVIER Stéphane

15 Prncpales matrces d expérences Ces blocs sont eux-mêmes regroupés en 4 classes, en foncton du nombre d expérences qu ls comprennent. Classes Blocs Nombre d expérences des blocs C S (0), S 0(0), S () C S (0), S (), S -(0), S -(-), S (), S (-). = ν,. C3 S (0), S (), S -(0), S -(-), S (), S (-) ( ) ( ( ) ) C4 S 3(0), S 3(3), S -3(0), S -3(-3), S (3), S (-3).( )(. ) 6 Les matrces proposées par Hoe sont alors des regroupements de blocs, dans la perspectve d obtenr un nombre total d expérences égal à ν (,) (nombre mnmal d expérences à réalser pour pouvor calculer un modèle du second ordre) au mnmum. Ces matrces sont notées de D à D7. Blocs et classes concernés Matrce C C C3 D S (-), S () S () D S (-), S (0) S () D3 0 S (-), S -() S () D4 S (-), S (), S (0) S () D5 S (-), S (), S -(0) S () D6 S (-), S (0), S -(-) S () D7 0 S (-), S -(), S () S ()...6.c NOMBRE D EXPERIENCES Les plans D, D et D3 sont construts tels que : ν = ν h ( ) (. )(, = ) Quant aux plans D4, D5, D6 et D7, ls sont tels que : ν =ν h (,) = Matrces pour modèles de degré supéreur..3. Matrces de Koshal..3..a REPRESENTATIONS x 3 x x x x Plan de Koshal, =3, o= Plan de Koshal, =3, o= x VIVIER Stéphane - Annexe - 5

16 Prncpales matrces d expérences..3..b PLACEMENT DES POINTS Le placement des ponts des matrces de Koshal est en réalté dédut de l écrture du modèle polynomal que l on veut calculer par la réalsaton de ce plan. Pour défnr des telles matrces, l faut alors connaître le nombre de facteurs consdérés () ans que l ordre du modèle polynomal vsé (o). Chaque expérence peut alors être rattachée à un monôme partculer du modèle à calculer. Par exemple, pour =3, le terme 3 x 3 renvoe à l expérence au pont [ 0 0 3], le terme x.x à 0, etc. Le terme tradusant la moyenne est donc assocé au pont orgne des axes de référence [ ] [ 0 0] 0. Ans, pour des modèles d ordre, le placement des ponts peut être résumé de la manère qu sut : Coordonnées des ponts Pour les modèles d ordre, cela devent: Nombre de facteurs () K K K K 0 0 M M M O M M 0 0 K K 0 Coordonnées des ponts Nb. 3 K - - exp K K K M M M O M M M K K K K M M M O M M M K K K K K M M M O M M M K K K 0 C La dernère parte de ce tableau correspond donc aux combnasons de éléments (en rason de l ordre o=) parm éléments...3..c NOMBRE D EXPERIENCES Par défnton, les plans de Koshal de paramètres et o ont autant d expérences qu un modèle polynomal de degré o, à facteurs. ν = ( o) ν, 6 - Annexe - VIVIER Stéphane

17 Prncpales matrces d expérences Vu le placement des ponts, on reconnaît c ν comme étant un nombre dt «pyramdal», et plus précsément «tétraédrque»..3. Matrces d expérences mxtes On qualfe par «mxtes» les matrces d expérences pouvant être utlsées à la fos pour réalser des analyses de screenng et calculer des surfaces de réponse. Le placement des ponts d expérences permet en effet de consdérer le DE comme une juxtaposton de sous-domanes contgus dans lesquels sont réalsés : des plans factorels complets (globalement cela défnt des matrces grlles) ; des plans fractonnares (ce sont alors des matrces trells qu sont défnes). D un autre pont de vue, la totalté des expérences peut être utlsée pour le calcul de surfaces de réponse. S celles-c sont des relatons polynomales, leur ordre est alors foncton du nombre de nveaux prs par chaque facteur..3.. Matrces grlles Les matrces grlles sont des extensons des matrces factorelles complètes. Le nombre de nveaux par facteur (Nn ) est c un paramètre fxé par l expérmentateur..3.. Représentatons x x 3 a 0 a x - x Plan grlle (=) avec Nn =3 et Nn =5 Plan grlle (=3) avec Nn =, Nn =5 et Nn 3=3 x.3.. Placement des ponts Les valeurs des Nn nveaux d un facteur se dédusent par :. (=,,,Nn ). Nn Les coordonnées des ponts du plan grlle sont alors formées par toutes les combnasons possbles entre les nveaux prs par les facteurs Nombre d expérences ν = g Nn = Avec les Nn désgnant le nombre de nveaux dstncts prs par le facteur Remarques Lorsque tous les Nn valent (ou 3), on retrouve la défnton des plans factorels à nveaux (ou 3 nveaux respectvement) par facteur, présentés plus haut. VIVIER Stéphane - Annexe - 7

18 Prncpales matrces d expérences.3.. Matrces trells Le placement des ponts dans le domane d étude, adopté prncpalement par la premère méthode exhaustve, peut être consdéré comme une généralsaton de celu prs par les matrces factorelles fractonnares. Dans ce contexte, l a été défn un nouveau type de matrce d expérences, les matrces trells, dont les ponts sont dsposés dans le DE suvant la méthode détallée lors de la présentaton de la méthode d optmsaton par plans factorels (Chaptre, ). Il est consellé de s y reporter pour accéder à leur descrpton complète..3.. Représentatons x 3 x x x x Plan trells (=3) avec Nn =3, Nn =5, Nn 3=3 générateurs utlsés : I=abc (N=) x Plan trells (=3) avec Nn =3, Nn =5, Nn 3=3 générateurs utlsés : I=-abc (N=3).3.. Placement des ponts Cet aspect est détallé dans le second chaptre, au paragraphe Nombre d expérences On rappelle c les résultats établs au chaptre, en utlsant les notatons courantes. Une estmaton du nombre d expérences peut être donnée par la relaton suvante : ν g ν t r =. r = Nn ν est la valeur exacte lorsque ( ) t = Nn est mpar. La relaton précédente ne donne qu une approxmaton du nombre réel d expérences de tels plans. Les fgures c-dessus font de plus apparaître la varablté de ν t relatvement à la défnton des générateurs ndépendants du plan fractonnare utlsé pour former le plan de base. De là, à défaut de pouvor calculer smplement la valeur de ν t, l est possble de spécfer un encadrement, c est-à-dre d ndquer ses lmtes nféreure et supéreure de varaton étant donné toutes les défntons possbles de la matrce fractonnare utlsée pour former le plan de base (se reporter au paragraphe de la parte Tables) Remarques Un plan trells pour lequel tous les Nn sont égaux à est rédut à son plan de base ; l s agt alors d un plan fractonnare «classque» tel que décrt dans le premer chaptre. 8 - Annexe - VIVIER Stéphane

19 Récupératon de ponts entre plans. Confguratons de récupératon de ponts entre plans Les notatons utlsées dans cette annexe sont présentées au début du Chaptre. Les partes consdérées font apparaître la dfférence entre les cellules homogènes et hétérogènes vs-à-vs de la talle des plans. Dans tous les cas, les plans d une même cellule seront supposés être du même type... Plans de même talle Type de plan Mode N r N g N conf V c V g d max.. ( )..( ) ν (conf. ). V (, R) V sphere c Doehlert 3. R. Nombre de faces ν (conf. ). V (, R) V sphere c hyper-trangulares R. ( 3 ) Factorel Nombre de faces ( a ) complet.a Nombre d arêtes Nv= 7. 0.( a )..a. Nombre de sommets. ( 3 ) ( ) a ( a ).( ) 3. a. Factorel Nombre de faces a complet 3. a 3. a 3 3 Nombre de faces ( a ) Nv=3.a Nombre d arêtes ( a )..a. ( ). 3.. Nombre de faces. ν (conf. 3). V (, R) V sphere c Central. R. ( Composte Nombre de faces 4.( ) ν (conf. ). V (, R) V sphere c. 3.R ) Factorel fractonnare r Nombre de faces ( a ).a... Plans de Doehlert x x x x Mode Mode VIVIER Stéphane - Annexe - 9

20 Récupératon de ponts entre plans... Plans factorels complets nveaux x x x x Mode Mode..3. Plans factorels complets 3 nveaux x x x x Mode Mode x x x x Mode 3 Mode Annexe - VIVIER Stéphane

21 ..4. Plans Centraux-Compostes Récupératon de ponts entre plans x x Lorsque α = Mode, l y a partage de ponts supplémentares entre les plans. x x Mode..5. Plans factorels fractonnares Les paragraphes précédents se sont concentrés sur la récupératon de ponts entre plans de RSM. Cet avantage peut être également être exploté avec des plans de screenng, et en partculer avec les plans factorels. La récupératon optmale de ponts entre plans fractonnares a été détallée au paragraphe du second chaptre, lors de la présentaton de la premère méthode d optmsaton exhaustve utlsant les plans d expérences. Les plans trells utlsent cette stratége de récupératons de ponts comme prncpe de postonnement des expérences. Ces plans sont décrts dans l Annexe (.3.. ²)... Plans de talles dfférentes Certanes confguratons de récupératon de ponts mettent en jeu des plans de même type, mas de talles dfférentes. Elles se rencontrent typquement dans les processus d optmsaton par ooms successfs. Type de plan Factorel complet Nv= pont au centre Factorel complet Nv=3 Mode N r N g N conf V c V g d max. ( a ) a a. ( a ) a a. 3 ( ) ( ). 3. ( ) a 4 ( 4).( 4 ) a 5. a. 4 a a a..3 - ( a ) a a ( ) a 4 ( 4).( 4 ) a 5. a. 4 VIVIER Stéphane - Annexe -

22 Récupératon de ponts entre plans... Plans factorels complets nveaux pont au centre x x x x Mode Mode x x... Plans factorels complets 3 nveaux Mode 3 x x x x Mode Mode - Annexe - VIVIER Stéphane

23 Récupératon de ponts entre plans x x Mode 3.3. Plans de caractérstques dfférentes Nous donnons le cas le plus courant de récupératon de ponts entre plans de même type, mas de caractérstques de constructon dfférentes. Cela concerne les plans grlles dans leur accepton générale, pour lesquels les nombres de nveaux par facteurs dffèrent entre les plans. Ce cas de fgure se rencontre notamment lorsque sont consdérés smultanément sur la même parte de domane, un plan factorel à nveaux et un second à 3 nveaux par facteur. Type de plan N r N g N conf V c V g d max Factorels complets Nn = et Nn =3 3 a a a. x x VIVIER Stéphane - Annexe - 3

24 Outls assocés aux modèles polynomaux 3. Outls assocés aux modèles polynomaux Dans cette parte sont présentés les prncpaux outls mathématques utlsés en relaton avec les modèles polynomaux des fonctons objectfs. 3.. Analyse canonque On rappelle l écrture matrcelle des polynômes du second ordre : y x. b x. B. x mod = b 0 Une mportante smplfcaton peut y être apportée s les modèles correspondants sont vus d un repère partculer, translaté et tourné relatvement au repère général orgnel fxe. Typquement, l analyse canonque est composée de étapes qu permettent d aboutr aux formes dtes A et B par transformatons approprées. Il peut arrver qu une de ces opératons sot nutle Forme A Dans un premer temps, on réalse une rotaton des axes du repère de référence. x w x w x w S x ws S Axes orgnels Poston des axes lors de l utlsaton de la forme A (Les varatons de la foncton réponse sont représentées par des lgnes de nveau) Cette opératon a pour but de supprmer les monômes d nteracton entre facteurs ( x.x par exemple). Pour cela, la matrce B dot être changée en une matrce dagonale. Les notons de vecteurs et valeurs propres ntervennent alors. On notera Λ la matrce dagonale dont l élément Λ est la valeur propre λ de B. De même, on défnt par M la matrce dont la ème colonne est le vecteur propre m de B. Par défnton, on peut écrre : B. M = M. Λ De plus, on supposera tous les vecteurs propres tels que m. m =, c est-à-dre la matrce M untare. Cela mplque que : M = M 4 - Annexe 3 - VIVIER Stéphane

25 Outls assocés aux modèles polynomaux Ce qu permet d aboutr à une nouvelle écrture des modèles du second degré : y w. θ w. Λ. w mod = b 0 Avec : θ = M. b w = M. x L équaton du modèle polynomal prend ans une nouvelle forme, dte A. La nouvelle varable w prend à présent les valeurs de ses composantes relatvement à un nouveau système d axes ; ceux-c sont à présent appelés axes prncpaux du système de réponse. Ms sous cette forme, le modèle polynomal donne de préceux rensegnements smplement par l étude des ses coeffcents (cf ) Pont statonnare L équaton matrcelle du modèle du second degré défnt mplctement l exstence d un pont dt statonnare S (unque) pour lequel, les dérvées partelles de la réponse y étudée par rapport aux varables x, x, x décrvant les facteurs, sont toutes nulles. Ses coordonnées w S sont telles que : y mod = 0 w Ce qu donne, relatvement aux axes prncpaux : w S =. Λ. θ On démontre de la même façon que les coordonnées x S de ce même pont S par rapport aux axes ntaux sont données par : x S =. B. b La réponse en ce pont est donnée par : y S = b0. θ. Λ. θ 4 = b0. b. B. b Forme B On réalse une translaton du repère général du pont orgne ntal w [ w w w ] t [ ] t 0 = 0 0K 0 = 00K0 au pont statonnare, mantenant pont orgne destnaton w = [ w w Kw ] t mantenant avec le vecteur de translaton = w 0 w. S S S S S. On travalle donc VIVIER Stéphane - Annexe 3-5

26 Outls assocés aux modèles polynomaux x x S x x S S Poston des axes lors de l utlsaton de la forme B On en dédut la relaton suvante : y mod = y S. Λ. Cette forme B permet de supprmer les termes d ordre du modèle polynomal. Les coeffcents des monômes restants sont les valeurs propres de la matrce B. Ans, une autre écrture pourrat être : y mod = ys λ. λ. K λ. La matrce M joue un rôle mportant pusqu elle permet le passage des coordonnées d orgne = x x K = K, et vce-versa : x [ ] t aux coordonnées d arrvée [ ] t x = w w = M. x x M. = S ( x ) S x S Dans le repère ( S,,, ), K, les coordonnées du pont statonnare sont [ ] t S = 00K Nature du pont statonnare Les formes A ou B permettent de comprendre sans calculs supplémentares les varatons de toute foncton réponse donnée par un modèle du second degré. Celles-c s évaluent en rasonnant dans chacune des dmensons de l espace couvert. Les dfférentes confguratons possbles offertes ne sont données que par les combnasons de valeurs prses par les valeurs propres λ. On ne consdéra donc que les caractérstques fondamentales du groupe λ, λ, K, λ. Il s agt en l occurrence du sgne de chaque élément ans que de leurs ordres de grandeur respectfs. Tous les λ sont postfs Alors S est un mnmum, pusque toute valeur de dfférente de S donne une valeur de réponse y supéreure à y S. Tous les λ sont négatfs S est un maxmum pusque toute valeur de dfférente de S donne une valeur de réponse y nféreure à y S. 6 - Annexe 3 - VIVIER Stéphane

27 Outls assocés aux modèles polynomaux Certans λ sont postfs et d autres négatfs S est un mnmax (ou pont de selle) : cette stuaton est un mélange des cas précédents. La réponse y augmente sur les axes prncpaux dont les λ sont postfs ; elle dmnue sur les axes j dont les λ j sont négatfs. Les ordres de grandeur des coeffcents ont également une mportance. En effet, pour une même varaton de la composante de la varable, son effet sera d autant plus grand que le coeffcent correspondant λ est grand. A contraro, l effet de la composante sera d autant mons mportant que son coeffcent λ sera pett. En comparant les valeurs propres λ, λ, K, λ entre elles, l est ans possble de détermner les drectons où les varatons sont les plus fortes ou les plus fables. Dans un espace à dmensons ( N ), les dfférentes combnasons de valeurs que peuvent prendre les valeurs propres λ, λ, K, λ engendrent une panople d so-surfaces (réelles ou magnares) de la réponse y. Ces dfférentes confguratons sont également présentées dans l annexe Analyse du chemn optmal 3... Prncpe L analyse du chemn optmal permet de détermner les valeurs maxmales des réponses étudées ans que les condtons expérmentales correspondantes, pour toute valeur de rayon dans un domane d étude hyper sphérque. On ne consdère que les ponts expérmentaux placés sur une hyper sphère de rayon R, c est-à-dre tels que : x R = Ou matrcellement : x. x R = 0 R est le rayon de l hyper sphère varant entre 0 et le rayon dmensonnant du domane d étude. Il s agt ans de trouver la plus grande valeur de la réponse y sous la contrante donnée par la relaton précédente. Pour opérer cette recherche, on utlse les multplcateurs de Lagrange. De là, le problème revent à trouver l optmum de la foncton suvante : Q x = y x µ. x. x R ( ) ( ) ( ) Avec µ R, multplcateur de Lagrange. On recherche donc : Q( x ) = 0 x Ce qu donne : x & =.( B µ. I ). b D où on peut dédure la valeur du rayon de l hyper sphère sur laquelle se trouve le pont expérmental de coordonnées x& : R ( & x ) = ( & x.x & ) VIVIER Stéphane - Annexe 3-7

28 Outls assocés aux modèles polynomaux On vot donc que s l on donne à µ des valeurs dfférentes, on obtendra des valeurs dfférentes de x, mas pas oblgatorement des valeurs dstnctes de R ( x ). S un tel cas arrve, cela sgnfe que l on a trouvé pluseurs optma (locaux oblgatorement) sur la surface de la même hyper sphère. Pour évter un tel cas de fgure, c est-à-dre s l on veut trouver à coup sûr un optmum global sur l hyper sphère, l faut prendre les valeurs de µ de la manère suvante : recherche du maxmum : µ > λmax ; recherche du mnmum : µ < λmn. Avec λ mn et λ max respectvement la plus pette et la plus grande des valeurs propres de la matrce B. Ans, on détermne avant tout la valeur de µ répondant aux exgences c-dessus. On en dédut alors la valeur correspondante de x ( x& ), ce qu donne R ( x& ) et y ( x& ). On recommence alors la boucle en chosssant une nouvelle valeur de µ. On réalse autant d tératons que nécessare afn d obtenr asse de ponts pour connaître entre autres : la réponse y ( x ) en foncton de R ( x ) ; la réponse y ( x ) en foncton des composantes de x Recoupement de chemns optmaux Chaque chemn optmal donne un ensemble de ponts pour lesquels les valeurs du modèle du second degré sont les melleures, relatvement à une dstance donnée du centre du domane courant. Ce sont donc en défntve des lgnes de crête. Mathématquement, les chemns optmaux sont des relatons mathématques (en général non écrtes explctement) qu ne lent que les coordonnées des facteurs entre eux. Ans par exemple, lorsque facteurs x et x sont consdérés, le ème chemn optmal est une relaton de la forme x = f ( x ), où f représente une foncton ndétermnée, lée à ce ème chemn optmal. Lorsque chemns optmaux sont calculés sur des domanes légèrement décalés, l peut y avor ntersecton en un pont partculer x. Par défnton, x appartent à ces ensembles de ponts présentés c-dessus. Il ne détermne pas la poston d un pont où la réponse est optmale, mas plutôt celle du pont pour lequel les modèles du second degré donnent leurs melleures valeurs de réponse, smultanément. De ce fat, x représente une estmaton ntéressante de la localsaton d un optmum local de la foncton objectf, car l est dédut de la connassance de modélsatons dfférentes de la réponse. Il faut sgnaler qu l y a oblgatorement ntersecton entre chemns optmaux lorsque =. C est rarement le cas pour un nombre supéreur de facteurs. Il faut alors consdérer à la place, la dstance mnmale entre ces chemns. La fgure suvante llustre cette technque de recoupement, pour =. Dans cet exemple, plans de Doehlert ont été utlsé ; la récupératon de ponts entre eux se fat par le premer mode correspondant, défn dans l annexe. Plan n Plan n Intersecton x Ch. opt. Ch. opt. x Illustraton de la technque de recoupement de chemns optmaux 8 - Annexe 3 - VIVIER Stéphane

29 Outls assocés aux modèles polynomaux Cette technque de recoupement de chemns optmaux peut être utlsée pour termner certans processus d optmsaton, en partculer ceux usant de glssements de plans (chaptre ), afn de gagner dans la précson sur l estmaton de x opt Calcul des valeurs extrémales de modèles dans des domanes (hyper-) rectangulares La foncton objectf est dans la majorté des cas étudée dans un espace (hyper-) rectangulare, dont les dmensons sont dédutes des bornes nféreures et supéreures des facteurs. Les plans d expérences de RSM permettent de calculer des modèles dans ce domane d ntérêt. Nous essayons alors de détermner les valeurs extrémales prses par ces modèles dans ces domanes d étude. On supposera dans cette parte qu aucune contrante (autre que les butées) n est actve. Les méthodes répondant à cet objectf sont dfférentes relatvement à l ordre du modèle rencontré Modèles d ordre La plus grande valeur (ou la plus pette valeur) donnée par un modèle d ordre à l ntéreur de l hyper rectangle d étude est oblgatorement prse par un sommet de cet hyper-rectangle. Par conséquent, la recherche de la valeur optmale recherchée se fat (dans le cas le plus défavorable) par le calcul de la valeur du modèle pour les sommets du domane d étude. Il est ben entendu possble que l optmum ne sot pas un sommet, mas une arête ou une facette entère de l hyper rectangle, selon les coeffcents du modèle polynomal. Cec n nvalde pas les consdératons précédentes. Cependant, ce problème est résolu beaucoup plus effcacement par la célèbre méthode dte du «smplexe» Modèles d ordre : analyse canonque récursve Ce problème est mons trval que le précédent. En effet, l optmum recherché peut être : un sommet de l hyper-rectangle d étude ; un pont dans une facette de ce domane d étude ; un pont à l ntéreur de cet espace hyper-rectangulare. Pour résumer, et de manère plus générale, l optmum peut se trouver dans n mporte quelle (sous-) dmenson de l espace d étude d orgne. En effet, un sommet est un sous-espace de la facette de l hyperrectangle auquel l appartent. Cette (hyper-) facette est elle-même un sous-espace de l hyper-rectangle de départ. On vot donc qu l est nécessare de rechercher pour chaque espace de dmenson δ (avec δ ) la valeur optmale du modèle, et de prendre la melleure à la fn..! Cette recherche est possble pusqu l a été vu plus haut (confer annexe, 5... ) qu un modèle du second degré dans un espace de dmensons données reste un modèle du second degré dans tous ses sous-espaces. L algorthme envsagé est alors récursf, permettant d étuder l espace ntal ( δ = ), pus ses sous-dmensons, pus les sous-dmensons de ces sous-dmensons, et ans de sute, jusqu à arrver à δ =. Dans un domane ntal de dmenson ( facteurs), l y a donc.! (ou.. ) (sous-) espaces à consdérer (en = comptant l hyper rectangle d étude ntal). Ce nombre de sous-dmensons est égal au nombre d appels récursfs de l algorthme tratant le problème. L algorthme s appue donc essentellement sur l analyse canonque (vue plus tôt) et sur l uncté du pont statonnare. Il faut prendre en compte le type de courbe donné par l équaton du modèle d ordre (cf. annexe et annexe 4). Etant donné qu l peut s agr sot d un maxmum, sot d un mnmum ou ben encore d un mnmax (pont de selle), la recherche de la valeur optmale est donc dfférente d un cas à l autre. Prenons l exemple de la recherche de la plus grande valeur de y. S le modèle (dans le sous-espace de dmenson δ) décrt un maxmum qu est dans ce sous-espace d étude, alors l est nutle de rechercher un VIVIER Stéphane - Annexe 3-9

30 Outls assocés aux modèles polynomaux melleur optmum dans les sous-dmensons correspondantes (pusqu l s agt alors du pont statonnare et que ce pont est unque). S, par contre, le modèle décrt un mnmum ou un mnmax, alors l est sûr que le modèle prendra ses plus grandes valeurs sur les frontères du sous-espace d étude, c est-à-dre dans ses. sous-dmensons qu l faut alors étuder une à une. Lorsque l on passe d un espace de dmenson δ à un de ceux mmédatement nféreur (de dmensons δ-), on utlse les relatons données dans la parte «Réducton des dmensons des matrces» (annexe, 5... ). Dans le cas de la recherche d un maxmum, l algorthme est donné c-après. Lors de son premer appel, l dot être ntalsé par l affectaton δ =. On travalle dans un (sous-)espace de dmenson δ. Fare une analyse canonque sur le modèle (M) en cours d étude : Les bornes du sous-espace (E) en cours sont données par la matrce L. y = b x. b x. B. x. mod 0 S M décrt un maxmum qu est dans E, alors l optmum est trouvé. L algorthme renvoe donc les coordonnées de ce pont optmum, et se termne. Dans les autres cas (M décrt un mnmum ou un mnmax) : Pour chacun des. sous-espaces du domane d étude en cours : S δ >, appel récursf de la foncton avec : - δ = δ - Calcul des nouvelles valeurs pour b0, b, B et x (réducton des dmensons des matrces) ; - Redéfnton de la matrce L des bornes. S δ =, l optmum est oblgatorement stué sur une des bornes. On calcule donc la valeur du modèle pour les valeurs de borne ; l algorthme renvoe les coordonnées du pont condusant à la plus grande valeur de la réponse. Fn de l algorthme Autres modèles Dans le cas général, aucune méthode analytque ne semble exster. L utlsaton de méthodes heurstques classques (gradent conjugué, plus grande pente, etc.) complétées de la technque des Pénaltés (extéreures ou ntéreures) peut être ntéressante. Le problème reste «relatvement smple», étant donné, entre autres : la faclté et le coût néglgeable de l évaluaton de la foncton (modèle polynomal) ; l absence de contrantes (unquement de butées nféreures et supéreures pour chaque dmenson) ; les caractérstques connues de la foncton (contnuté, nombre de ponts statonnares connus, ) Drectons de melleures valeurs Dans le cas où l on recherche le maxmum de la foncton objectf (de la réponse), la stuaton déale est de trouver le pont statonnare de la modélsaton polynomale drectement dans le domane d étude. Cependant, cela n arrve que rarement. Il est alors en général ntéressant de décaler le domane d étude. Le problème revent donc à calculer la (melleure) drecton de déplacement pour ce décalage. La détermnaton des drectons de melleures réponses se fat avec la volonté sous-jacente d utlser la technque de la récupératon de ponts d expérences entre les plans successvement réalsés (cf. Annexe ). Par conséquent, le nouveau plan d expérences est supposé être contgu au premer, vore partager un volume commun avec le plan ntal. C est dans ce cadre que sont données les solutons qu suvent. Celles-c ne sont plus les melleures s aucune récupératon de ponts n est envsagée. La réalsaton de l analyse canonque est nécessare pour connaître les coordonnées x S du pont statonnare S Le pont statonnare est le type d optmum recherché Dans le cas de la recherche du pont maxmum (mnmum), le pont statonnare obtenu par analyse canonque désgne le maxmum (mnmum) de la modélsaton Annexe 3 - VIVIER Stéphane

31 Outls assocés aux modèles polynomaux La melleure drote est alors celle qu passe par le centre du domane en cours et par le pont statonnare. L expresson du vecteur drecteur normé correspondant est donc : x S x centre d = x x S centre Le pont statonnare est l opposé du type d optmum recherché Dans le cas de la recherche du pont maxmum (mnmum), le pont statonnare obtenu par analyse canonque désgne le mnmum (maxmum) de la modélsaton. Il s agt c du cas opposé au précédent. Il faut s élogner du pont statonnare donnant les plus mauvases valeurs de la réponse. Par conséquent, le vecteur drecteur normé de melleur drecton s écrt comme : x S x centre d = x x S centre Autres cas Lorsque le pont statonnare désgne un mnmax, des stratéges hértées de l analyse canonque comme les précédentes ne sont plus applcables systématquement. La melleure soluton reste la plus évdente : défnr la drote de melleures valeurs comme celle passant par le pont central du domane en cours et par le pont dont la réponse est la melleure suvant l optmum recherché (mnmum ou maxmum). Notons x opt les coordonnées d un tel pont. D où l expresson du vecteur drecteur normé correspondant : x opt x centre d = x x opt centre Axes prncpaux On peut être amené à devor calculer les vecteurs drecteurs des axes prncpaux relatvement au pont statonnare (et non plus par rapport au centre du domane courant). Ans, les coeffcents drecteurs des drotes correspondant aux axes tournés et translatés de la forme B de dédusent de la relaton matrcelle : D = M. I Avec M la matrce de rotaton ssue de l analyse canonque. I est la matrce dentté d ordre. Elle est en réalté l écrture en une unque matrce des coeffcents drecteurs postfs untares des axes du repère utlsé pour l écrture sous la forme B des modèles du second degré. D est alors la matrce carrée d ordre, dont la ème colonne donne le vecteur drecteur d de la ème drote de base du repère valde pour la forme B. Ces coeffcents drecteurs sont exprmés dans le repère général (non translaté, non tourné) Coeffcents d ajustement de modèles Chaque modèle polynomal à p coeffcents (p monômes) est dédut de la connassance de la réponse en N ponts d expérences. On dot avor N p pour que les p coeffcents pussent être calculés. Dans le cas partculer où N=p, le modèle est saturé ; l passe exactement par tous les ponts du support, pour lesquels on a l égalté y = y mod. L ajustement du modèle aux données est donc parfat. Lorsque N>p, dans la quas-majorté des cas, le modèle ne peut plus passer par les N ponts, mas commet une erreur d ajustement en chacun de ces ponts. Il y a donc exstence d un vecteur d erreur (de résdus) non nul ε = y y mod. Il est alors ntéressant de «mesurer» globalement l erreur d approxmaton de la foncton réponse. VIVIER Stéphane - Annexe 3-3

32 Outls assocés aux modèles polynomaux Varance globale de régresson La varance globale de régresson est donnée par : CME = SCE N p ε.ε = N p La modélsaton est d autant meux ajustée aux données expérmentales que la valeur des carrés moyens des écarts (CME) est fable. Cette grandeur est parfos notée σ r ou également ˆ σ pusqu elle consttue une estmaton sans bas de la varance expérmentale σ Coeffcents de détermnaton (R², R² ajusté) On défnt le coeffcent de détermnaton R comme étant la fracton des varatons de la réponse explquée par le modèle seul. Ce coeffcent est généralement ntrodut comme sut : R y SCM =. mod y mod y. y = y. y y. y SCM REG Avec : SCM REG la somme des carrés des réponses calculées (ssue de la régresson) corrgée de la moyenne ; SCM la somme des carrés des réponses mesurées (expérmentales) corrgée de la moyenne. R peut également s écrre comme : R SCM SCE = SCM Avec SCE la somme des carrés des écarts (résdus), c est-à-dre SCE = ε. ε. Le coeffcent R peut s nterpréter comme le quotent de la varance explquée par la régresson par la varance des réponses mesurées. Ans, comme pour l analyse de varance sur modèles complets vue précédemment, on teste toujours la somme des carrés due à la régresson seule (SCM REG ou SCR). Cependant, c, la varable SCM REG est comparée à une grandeur oblgatorement de plus grande valeur (SCM qu se révèle être très smlare à la somme des carrés totaux SCT). Dans l analyse de varance, la varable SCR est testée relatvement à une autre supposée légtmement de mondre ampltude (SCE). Le coeffcent R prend ses valeurs entre 0 et. Une valeur proche de ndque un bon modèle avec un très bon pouvor prédctf. On défnt de la même façon le coeffcent de détermnaton ajusté R a, comme étant la fracton des varatons de la réponse explquée par le modèle seul, relatvement aux degrés de lberté correspondants. L expresson du coeffcent R se dédut de celle du R vue précédemment : R a Avec : CM CME = CM a CM les carrés moyens des réponses mesurées ; c est-à-dre SCM CM = ; N 3 - Annexe 3 - VIVIER Stéphane

33 Outls assocés aux modèles polynomaux SCE CME les carrés moyens des écarts (résdus) ; c est-à-dre CME =. N p Le coeffcent R a est tout à fat smlare au R ; ses valeurs s nterprètent de la même manère. Il peut cependant prendre des valeurs négatves s le R est proche de 0. Du fat de la prse en compte des degrés de lberté, on a toujours R a R Coeffcent Press PRESS sgnfe «Predctve Resdual Sum of Square». Ce coeffcent est défn comme sut : PRESS = N ( y( x ) ymod ( x ) ( h ) = N Avec h le ème élément dagonal de la matrce de Hat : X ( X X )... X. On notera que l on a h et que h = p N =. Cette quantté n est pas une mesure d ajustement, mas plutôt une estmaton du pouvor prédctf du modèle. Son prncpal nconvénent est qu elle ne permet pas de conclure de façon absolue mas unquement de manère relatve : elle peut ans être utlsée pour la comparason de modèles entre eux. On a toujours PRESS SCE Coeffcent Q Le coeffcent Q est très smlare au R ; l est parfos appelé R prédctf. Son expresson est en effet : Q SCM PRESS = SCM Le coeffcent Q vare généralement entre 0 et. Il peut être négatf pour les très mauvas modèles. Des valeurs proches de l unté désgnent de la même façon des modèles ben ajustés aux données expérmentales. R et Q sont ans mesures de la qualté d ajustement; le premer étant une sur-estmaton, le second une sous-estmaton. Le R est descrptf : l mesure la relaton entre le modèle et les réponses aux ponts ntaux, alors que le Q est davantage prédctf : l mesure la capacté du modèle à prévor la réponse aux ponts nconnus du DE Influence des observatons Dans certans cas, certanes valeurs de la réponse peuvent être aberrantes sans que leur résdus sot mportant. C est pourquo l est préférable de passer en revue l nfluence de chaque expérence sur les résultats (.e. les coeffcents du modèle). Pour cela, on défnt la dstance de Coo δ comme étant la dstance entre βˆ et βˆ ( ) où βˆ ( ) est l estmaton de βˆ en ne prenant pas en compte la ème expérence. On calcule ans : ( ˆ ˆ β β ( )).( )( ˆ ˆ X. X. β β ( )) δ = ( p )CME. VIVIER Stéphane - Annexe 3-33

34 Ou plus smplement : Outls assocés aux modèles polynomaux δ = y mod y ( p )CME. mod( ) Avec y mod ( ) = X. β ( ). ˆ Les expérences sont jugées d nfluences anormales lorsque leurs δ sont supéreures à Autres outls statstques Résdus anormaux On défnt le résdu studentsé de la ème expérence comme étant la valeur : y ( x ) y ( x ) CME. mod h Lorsque N est grand, les résdus studentsés dovent se concentrer dans l ntervalle [- ]. De fortes valeurs peuvent ndquer des résdus anormalement élevés Corrélaton entre varables Statstquement, l est ntéressant de calculer la corrélaton entre les varables utlsées dans un problème d expérmentaton : c est-à-dre entre : les facteurs ; les réponses ; les facteurs et les réponses. Pour évaluer ces dépendances nter-varables, on construt une matrce M dont chacune des p colonnes donne les valeurs successves des p varables consdérées. Dans notre cas, les premères colonnes donneront les coordonnées des N expérences (M possède donc N lgnes) et les p - dernères les valeurs des N rep=p - réponses pour les N ponts d expérences. On calcule dans un premer temps la matrce N contenant les valeurs centrées rédutes de M : N = A. M Avec l opérateur : N A = I N N La matrce des varances et covarances se dédut alors : V =. N. N N On calcule fnalement la matrce symétrque et postve R contenant les coeffcents de corrélaton lnéare entre les p varables prses à. R = D. V. D Où D est une matrce dagonale, et dont les éléments D sont tels que D =. V Chaque élément dagonal R de R est ben entendu untare pusqu l tradut la dépendance de la ème varable avec elle-même. Une corrélaton entre la varable et la varable j est jugée sgnfcatve s la valeur R j est supéreure à un seul, dont la valeur est tabulée (l s agt des valeurs crtques du coeffcent de corrélaton d un échantllon ssu d une populaton normale centrée) Annexe 3 - VIVIER Stéphane