Chapitre 0 : Ondes. Equations d onde. Solutions.
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- Norbert Renaud
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1 Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" Complémens Chapire : Ondes. Equaions d onde. Soluions. Conens Qu es-ce qu une onde?. Le concep d onde.... Ondes planes....3 Ondes planes progressives Ondes sphériques progressives Ondes sinusoïdales (ou monochromaiques ou harmoniques)....6 Superposiion d ondes Superposiion de deu ondes gaussiennes se propagean en sens inverse Superposiion de deu OPPH de même fréquence se propagean dans le même sens Superposiion de deu OPPH de même fréquence se propagean en sens inverse : onde saionnaire Superposiion de deu OPPH de fréquences di(érenes se propagean dans le même sens : baemens 6.7 Ondes ransversales, ondes longiudinales... 6 Equaion d onde 7. Equaion de d Alember Aures équaions Soluions 7 3. Ondes planes progressives Ondes planes progressives harmoniques Ondes planes saionnaires Choi de la base de décomposiion... 8
2 Physique des ondes. Chapire : Ondes. Equaions d onde. Soluions. Complémens Chapire : Ondes. Equaions d onde. Soluions. Objecifs : Qu es-ce qu une onde? ; Quelques ypes d ondes. Equaion d onde. Soluions Qu es-ce qu une onde?. Le concep d onde On donne le nom général d onde à un phénomène physique décri par une foncion scalaire ou vecorielle dépendan à la fois de l espace e du emps. Eemples d ondes scalaires : rides à la surface de l eau ; ondes acousiques (provoquées par des variaions locales de pression ou, ce qui revien au même, par le déplacemen des molécules suivan la direcion de propagaion de l onde) ; ébranlemen le long d une corde ; déformaion d un ressor. Eemple d ondes vecorielles : les ondes élecromagnéiques (don la lumière visible n es qu un cas pariculier) résulen quan à elles de la variaion de champs élecrique e magnéique Commen disinguer le concep d oscillaion du concep d onde? Dans le second cas il y a ranspor d énergie. Mais il fau reconnaîre que ces deu noions son rès proches. D ailleurs, dans le cas d ondes saionnaires, on ne peu plus disinguer l onde de la vibraion car il n y a plus de propagaion. Pour simpli9er on peu reenir : Onde = double oscillaions couplées Dans la suie du cours, l onde sera caracérisée par un signal qui dépend de la posiion M e de l insan : (M,). Ondes planes s eprime en coordonnées carésiennes : (,y,z,). S il eise un repère el que l onde ne dépende plus que d une seule coordonnée carésienne d espace alors l onde es die plane. Une onde plane es donc de la forme (M,) =(, ). Dans ce cas, (M,) es uniforme sur ou plan normal à l ae (O), d où le nom d onde plane. Onde plane = on peu rouver O el que (M,) =(, ) Z M Y X
3 Physique des ondes. Chapire : Ondes. Equaions d onde. Soluions. 3.3 Ondes planes progressives L onde plane es de plus progressive si le signal se propage dans un sens déerminé. Pour un signal qui se propage sans déformaion le long de l ae (O) à viesse consane c, ona: Onde plane progressive (sens O) : + (M,) =f( /c) avec c viesse de propagaion Onde plane régressive (sens O ) : (M,) =f( + /c) avec c viesse de propagaion Tracé de () à l insan Tracé de () à l insan > On peu égalemen comparer les racés à 9é e à 9é : Tracé de () à 9é Tracé de () à 9é. Ondes sphériques progressives L onde plane es un concep simple qui n es physiquemen accepable que dans une zone limié de l espace (on obiendrai sinon une énergie in9nie). Le concep d onde sphérique es plus réalise car il correspond physiquemen à une émission isorope d un signal à parir d une source poncuelle. Il y a alors décroissance en /r de l ampliude du signal (décroissance nécessaire pour assurer la conservaion de l énergie). Onde sphérique progressive (sens e r ): + (M,) = f( r/c) avec c viesse de propagaion r Onde sphérique régressive (sens e r ): (M,) = f( + r/c) avec c viesse de propagaion r
4 Physique des ondes. Chapire : Ondes. Equaions d onde. Soluions..5 Ondes sinusoïdales (ou monochromaiques ou harmoniques) Il es possible pour les ondes précédenes de choisir une dépendance sinusoïdale. On obien en pariculier une onde plane progressive harmonique (OPPH) rès uilisée dans les problèmes de propagaion d ondes : OPPH progressive (sens e ): + (M,) = cos ( k + )= cos k. OM + Une OPPH es caracérisée par sa pulsaion e son veceur d onde k = ke = e. Elle possède deu périodes : une période emporelle T =/ une période spaiale =/k Sa viesse de propagaion es égale à la viesse de propagaion de sa phase, ou viesse de phase v : OPPH : k = ke = e ; T = ; v = k Dans une elle siuaion, il es plus commode d uiliser la noaion complee : OPPH progressive (sens e ): + (M,) = e j(k) avec = e j
5 Physique des ondes. Chapire : Ondes. Equaions d onde. Soluions. 5.6 Superposiion d ondes On peu envisager la superposiion de deu ondes se propagean en sens inverse (émises indépendamen ou obenues par re@eion)..6. Superposiion de deu ondes gaussiennes se propagean en sens inverse Superposiion de deu OPPH de même fréquence se propagean dans le même sens On considère deu OPPH de même fréquence, même ampliude e même longueur d onde se propagean dans le même sens. La superposiion de ces deu ondes s écri : (, ) = (, )+ (, ) = cos ( k + )+ cos ( k + ) = [cos ( k + )+cos(k + )] = cos cos k + + On obien alors une OPPM de même fréquence e même longueur d onde se propagean dans le même sens don l ampliude dépend de la phase. On rerouve ici le problème des inerférences de deu OPPM cohérenes..6.3 Superposiion de deu OPPH de même fréquence se propagean en sens inverse : onde saionnaire er cas : mêmes ampliudes On considère deu OPPH de même fréquence, même ampliude e même longueur d onde se propagean en sens inverse. La superposiion de ces deu ondes s écri : (, ) = (, )+ (, ) = cos ( k + )+ cos ( + k + ) = [cos ( k + )+cos( + k + )] = cos k + cos + + L onde obenue ne se propage plus car les variables e son découplées. Tous les poins de l ae O vibren en phase avec une ampliude foncion de l abcisse du poin considéré. ème cas : ampliudes di(érenes On considère deu OPPH de même fréquence, de même longueur d onde e d ampliude di(érenes se propagean en sens inverse.
6 6 Physique des ondes. Chapire : Ondes. Equaions d onde. Soluions. La superposiion de ces deu ondes s écri : (, ) = (, )+ (, ) = cos ( k + )+ cos ( + k + ) on suppose que = + 3 avec 3 > (, ) = ( + 3 )cos( k + )+ cos ( + k + ) = [ cos ( k + )+ cos ( + k + )] + 3 cos ( k + ) = cos k + cos cos ( k + ) L onde obenue es donc la superposiion d une onde saionnaire e d une OPPM..6. Superposiion de deu OPPH de fréquences diérenes se propagean dans le même sens : baemens On considère deu OPPH de fréquences f e f di(érenes, de longueurs d onde e di(érenes, de même ampliude e se propagean dans le même sens à la même viesse v = /k = /k. La superposiion de ces deu ondes s écri : (, ) = (, )+ (, ) = cos ( k + )+ cos ( k + ) = [cos ( k + )+cos( k + )] = cos k k + + cos k + k + + Si les fréquences (e donc les longueurs d onde) son proches, on obien alors un phénomène de baemens Ondes ransversales, ondes longiudinales Lorsque la vibraion s e(ecue perpendiculairemen à la direcion de propagaion de l onde, on parle d onde ransversale. Ce cas concerne évidemmen les rides à la surface de l eau, les vibraions d une corde ou d une membrane, mais aussi ceraines ondes élecromagnéiques (dans ce dernier cas, l aspec ransversal de la vibraion es à l origine d une propriéé imporane de la lumière, la polarisaion ). Lorsque, au conraire, la vibraion s e(ecue suivan la direcion de propagaion de l onde, on parle d onde longiudinale. (Cas des ondes acousiques ou celles qui couren le long d un ressor comprimé localemen).
7 Physique des ondes. Chapire : Ondes. Equaions d onde. Soluions. 7 Equaion d onde La double oscillaions couplées se radui mahémaiquemen par une équaion au dérivées parielles.. Equaion de d Alember On appelle "équaion d onde à une dimension" ou "équaion de d Alember" une équaion au dérivées parielles de la forme : c = Cee équaion radui l eisence de phénomènes de propagaion pour la grandeur e la consane c es la viesse de propagaion ou célérié.. Aures équaions Il eise d aures équaions associées à des phénomènes de propagaion d onde : équaion de Sine-Gordon : c + = c + + = équaion de Klein-Gordon : c + = 3 Soluions Rappels : Cours "Physique des ondes" - Chapire II : Phénomène de propagaion 3. Ondes planes progressives Les ondes (, ) soluions de l équaion de propagaion unidimensionnelle de d Alember c = peuven s écrire, de façon générale, sous la forme d une superposiion de deu ondes planes progressives (OPP) : f ( /c) se propagean à la viesse c dans le sens des croissans, g ( + /c) se propagean à la viesse c dans le sens des décroissans : (, ) =f + g + c c L onde associée à f (ou g) se propage, sans déformaion, à la viesse v.
8 8 Physique des ondes. Chapire : Ondes. Equaions d onde. Soluions. 3. Ondes planes progressives harmoniques Les ondes sinusoïdales du emps (, ) soluions de l équaion de propagaion unidimensionnelle de d Alember c =s écriven sous la forme d une superposiion de deu ondes planes progressives harmoniques (OPPH) : + cos +k + + se propagean à la viesse c dans le sens des croissans, cos k + se propagean à la viesse c dans le sens des décroissans : (, ) = + cos +k cos k + La viesse de propagaion c de l OPPM es égale à la viesse de propagaion de sa phase, ou viesse de phase v, donnée par la relaion de dispersion : v = k La relaion de dispersion associée à l équaion de d Alember es : k = c 3.3 Ondes planes saionnaires Les ondes saionnaires (, ) soluions de l équaion de propagaion unidimensionnelle de d Alember c =s écriven sous la forme d une superposiion de deu ondes planes progressives harmoniques (OPPH) de même ampliude e se propagean en sens inverse : cos +k + + se propagean à la viesse v dans le sens des croissans, cos k + se propagean à la viesse v dans le sens des décroissans : (, ) = cos k + + cos + + Remarque : une onde plane progressive harmonique es une superposiion de deu ondes saionnaires de même ampliude e en quadraure : (, ) = + cos +k + + = + cos + cos (k)+ + sin + sin (k) 3. Choi de la base de décomposiion D après les paragraphes précédens, nous disposons de deu familles de soluions de l équaion de d Alember : les ondes planes progressives harmoniques, les ondes planes saionnaires. Ces deu bases son équivalenes ; on choisira alors, par commodié, de décomposer la soluion recherchée sur la famille de soluions saisfaisan au condiions au limies.
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