Polyèdres réguliers [ Année ]

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1 Polyèdres réguliers [ Aée ] Élèves : Victor DALLE, Nicolas FRACHE, Laura CRAVE, Ghislai BENARD, Maurice-Michel DIDELOT élèves de 4ème Établissemet : Collège Sait-Domiique à Nacy (54) Eseigats : Mme Véroique DUPUITS M. Hervé VAN POUCKE Chercheur : M. Bruo DUCHESNE IECL Nacy (Uiversité de Lorraie) Sujet : Quels sot tous les polyèdres réguliers? Nous avos pu démotrer qu'il existe u ombre fii de polyèdres réguliers et e avos doé la liste. 1. Défiitios Défiitio 1 : U polyèdre régulier est u solide covexe dot les faces sot des polygoes réguliers est tel que chaque sommet est commu à u même ombre de faces. Défiitio 2 : U polygoe régulier est ue figure covexe iscrite das u cercle dot tous les côtés ot la même logueur. Défiitio : Ue figure (u solide) est covexe lorsque tout segmet reliat deux poits quelcoque de la figure (ou du solide) se situe etièremet à l itérieur de la figure (ou du solide). 2. Recherche empirique Pour commecer, ous avos voulu costruire des polyèdres réguliers. Pour cela, il fallait costruire les faces, c est-à-dire des polygoes réguliers. Nous avos décidé de costruire des polygoes réguliers de à 18 côtés. a. Costructio d u polygoe régulier O ote le ombre de côtés du polygoe régulier. est u etier aturel supérieur ou égal à. O ote A1, A2,, A les sommets du polygoe. Ce polygoe est iscrit das u cercle de cetre O. 60 A1 OA2. O a doc α= O ote α l'agle au cetre ^ (1) figure 1 : agle au cetre page 1

2 Le tableau ci-dessous présete les valeurs de l agle α pour les premiers polygoes réguliers : a a Polygoe Polygoe Triagle Heptagoe 7 51,4 Carré 4 Octogoe 8 45 Petagoe 5 72 Eéagoe 9 40 Hexagoe 6 Décagoe 10 6 Avec le logiciel de géométrie Geogebra, ous avos costruit os polygoes réguliers de à 18 côtés. b. Costructio des polygoes réguliers Après ue logue séace de découpage de os polygoes, ous avos commecé la costructio des polyèdres. Cela a écessité beaucoup de patiece de dextérité et de ruba adhésif! Ci-cotre 4 de os réalisatios. (2) c. Cojecture figure 2 : os essais Malgré tous os efforts, ous avos jamais pu réaliser de polyèdre régulier covexe dot les faces sot des polygoes à 6 côtés ou plus. Et seulemet ciq polyèdres réguliers semblet réalisables (dot quatre sot visibles sur la photo ci-dessus).. La démostratio a. Préambule Pour costruire u polyèdre, il faut que chaque sommet soit relié au miimum à trois faces. Si les faces sot des triagles, des carrés ou des petagoes, trois polygoes ayat u sommet commu laisset u espace qui permet de costruire le polyèdre. figure : 4 triagles équilatéraux figure 4 : Trois carrés Par cotre, trois hexagoes avec u sommet commu formet ue figure plae. Et avec u polygoe de plus de 6 côtés, il y a chevauchemet! Figure 5 : trois petagoes figure 6 : trois hexagoes figure 7 : trois heptagoes page 2

3 b. Ue histoire d agles Pour la démostratio, il est écessaire de coaître l agle aigu etre 2 côtés cosécutifs d u polygoe. O défiit doc les agles β et γ (voir figure ci-cotre). C est l agle γ qui ous itéresse. figure 8 : om des agles ^ et OBA ^ sot de même mesure. Comme Le triagle OAB est isocèle e O. Les agles à la base OAB das u triagle la somme des agles vaut 180, o a doc das le triagle OAB : O obtiet doc pour l agle γ : ^ AOB+^ OAB+^ OBA=180 α+β+β= α β= 2 γ=2β=180 α Le tableau ci-dessous présete les valeurs des agles pour les polygoes jusqu à 7 côtés : Polygoe α β γ Triagle équilatéral 0 Carré 4 45 Petagoe Régulier Hexagoe Régulier 6 Heptagoe régulier 7 51, c. Détermiatio du ombre de polyèdres réguliers Das u polyèdre, o ote N le ombre de faces reliées à u même sommet. Tout d abord, N est u etier aturel supérieur ou égal à. Esuite, pour que le polyèdre soit réalisable, il faut que. N γ<60 () figure 9 : somme des agles à u sommet Fialemet, il faut que l etier N vérifie les 2 coditios suivates :. 60 γ. N <6 60 L etier N peut doc predre les trois valeurs, 4 et 5. Trois polyèdres réguliers covexes à faces triagulaires sot réalisables. (4) (1) Pour le triagle, γ=60, l etier N doit vérifier le système : page

4 (2) Pour le carré, γ=90, l etier N doit vérifier le système : 90 N <4. L etier N peut doc predre la seule valeur. U seul polyèdre régulier covexe à faces carrées est réalisable. (5) 10 () Pour le petagoe, γ=108, l etier N doit vérifier le système : 108 L etier N peut doc predre la seule valeur. U seul polyèdre régulier covexe à faces petagoale est réalisable. (6) N (4) Pour l hexagoe, γ=120, l etier N doit vérifier le système : 120 Aucu etier N e peut vérifier ces coditios. Aucu polyèdre régulier covexe à faces hexagoale est réalisable. Il e est de même pour les polygoes a plus de six côtés. (7) N < d. Coclusio Il existe 5 polyèdres réguliers covexes dits polyèdres de Plato : Trois polyèdres à face triagulaire Le tétraèdre figure 10 L octaèdre L icosaèdre figure 11 U polyèdre à face carré figure 1 figure 12 U polyèdre à face petagoale figure 14 Le cube Le dodécaèdre page 4

5 Notes d'éditio : (1) O peut remarquer que tous les triagles costruits à la figure 1 sot isocèles et idetiques etre eux. O utilise ici u résultat de la géométrie plae, coue sous le om de théorème de l'agle au cetre. L'ituitio est que, comme pour le triagle équilatéral, o peut diviser tout polygoe régulier à côtés e triagles isocèles ayat pour sommet commu le cetre O. La somme des agles de ces triagles e O doit doc faire. (2) Dot trois avec = et ue avec =4. () L'agle γ défiit das la sectio.b est l'agle etre deux côtés cosécutifs d'u polygoe. Il est aussi appelé agle au sommet. E cosidérat les N faces reliées à u même sommet, o peut calculer la somme des agles à u sommet via la formule N γ. O admet ici le fait (ituitif, expliqué e préambule) que cette somme doit être iférieure à "u tour complet", soit. Ue autre démostratio repose sur la formule d'euler, qui relie le ombre de sommets, d'arêtes et de faces pour tout polyèdre régulier. (4) Voir les figures 2, 10, 11 et 12. (5) Voir la figure 1. (6) Voir la figure 14. N 2 (7) Car 2 page 5